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非线性椭圆算子的凸性分析 摘要 在偏微分方程中，凸性长期以来都是人们感兴趣的问题它描述了椭圆偏微分 方程解的个重要的几何性质，尤其是那些微分几何问题中出现的方程常秩定理 是处理关于凸性问题的一个精妙理论，它在偏微分方程解的几何性质及其微分几何 中的应用有着深刻意义本文中，我们将利用常秩定理对一类h e s s i a n 方程给出几 个凸性的结果同时，运用【2 1 中的思想我们还能得到相应h e s a i a u 算子的第一特 征值的关于区域的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式，关键是利用了“严格”的凸性结果 主要结果为 定理0 1 设n 为r 3 中光滑有界严格凸区域，若u c 。( f i ) 为 驾。1 ， 的允许解，则一( 一“) ；严格凸，且凸性指标 最佳 定理0 2 设q 为r 3 中光滑有界严格凸区域，若u c 。( q ) f l c l ，1 ( 矗) 为 。s 2 ：( d 。2 u ) = a ( - u ) 2 。n i n m f 2 , ， 的允许解，则一l o g ( 一“) 严格凸 在解具有上述正则性的情况下，我们还进一步得到岛第一特征值a 的b r u n n m i n k o w s k i 不等式，即, k - a 4 为区域的凹函数，描述如下 定理0 3 对任意两个3 维凸体k o ，髓和t 0 ，1 ，a 满足不等式 a ( ( 1 一t ) g o + t 风) 一 ( 1 一t ) a ( ) 一 + t a ( 玛) 一 ( o 3 ) 等号成立当且仅当凰，琏为r e 位h 町似，即相差一个平移或伸缩 关键词凸区域，允许解，常秩定理，凹性结构条件，h e s s i a n 算子，b r u n n - m i a k o w s l d 不等式 c o n v e x i t yo fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s a b s t r a c t t h ec o n v e x i t yi sa n _ i s s u eo fi n t e r e s tf o ral o n gt i m ei np d e ，i ti so n eo fi m p o r t a n t g e o m e t r i cp r o p e r t i e sa s s o c i a t e dt ot h es t u d yo f s o l u t i o n so f g e n e r a le l h p t i ep a r t i a ld i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s ，i np a r t i c u l a rf o re q u a t i o n sr e l a t e dt op r o b l e m si nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y t h e c o n s t a n t r a n k t h e o r e m i sar e f i n e ds t a t e m e n t o f c o n v e x i t y t h i s h a s p r o f o u n d i m p l i c a t i o n si ng e o m e t r yo fs o l u t i o n so fp d ea n dd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y i nt h i sp a p e r , w eu s e c o n s t a n tr a n kt h e o r e mt og i v es o m ec o n v e x i t yr e s u l t sf o rac l a s so f h e s s i a ne q u a t i o n a tt h es a m et i m e ，a c c o r d i n gt o 2 1 ，w eo b t a i nt h eb r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i t yi n d o m a i nf o rt h ef i r s te i g e n v a l u eo f t h ec o r r e s p o n d i n gh e s s i a no p e r a t o r , t h ep o i n ti st h es t r i c t c o n v e x i t y r e s u l t t h ef o l l o w i n ga r cs o m ec o n v e x i t yr e s u l t so b t a i n e db yc o n s t a n tr a n kt h e o r e ma n d d e f o r m a t i o nm e t h o d 定理0 4 l e tqcr 3b eas m o o t hb o u n d e d s t r i c t l yc o n v e xd o m a i n 矿u g 。( q ) 括a a d m i s s i b l es o l u t i o no f t h e f o l l o w i n ge q u a t i o n 加n 竺0 2 岫司兰募 1 ：o n a n 叫 t h e n 一( 一u ) i s s t r i c t l y c o n v e x , a n d t h ec o n v e x i t ye x p o n e n tj 1 括s h a r p 定理o 5 i f u g o 。( q ) n c l , 1 ( 晓) 妇a n a d m i s s i b l e s o l u t i o n o f t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n 加 as m o o t hb o u n d e d s t r i c t l yc o g l v e xd o m a i nf lcr 3 。s 2 ：( d 。2 u ) = a ( - u ) 2 删i n 1 n 2 , s ， t h e n l o g ( 一u ) 妇s t r i c t l yc o n v e x u n d e rt h ea b o v er e g u l a r i t y , w ec a na l s oo b t a i nt h eb r u n n m i n k o w s k ii n e q u a l i t yf o r a ，t h ef i r s te i g e n v a l u eo f t h eo p e r a t o r 岛，i e a - a 4i sc o n c a v ei nd o m a i n 定理0 6 g i v e na n yt w oc o n v e xb o d i e sk o ，硒加豫3a n dt f 0 ，1j ，as a t i s f i e st h e f o l l o w i n gi n e q u a l i t y a ( ( 1 一t ) k o + t 硒) 一 ( 1 一t ) a ( k i ) 一 + t a ( 风) 一 ( o 6 ) 1 1 华东师范大学博士论文 凸区域上一类非线性椭圆算子的几何与分析 e q u a l i t y h o l d s i f a n d o n l y i f k o a n d l r la r e h o m o t h e t i c , l e , t h e y c o i n c i d e u p t o t r a n s l a t i o n 口玎dd i l a t a t i o 刀 k e yw o r d s c o n v e xd o m a i n ，a d m i s s i b l es o l u t i o n ，c o n s t a n tr a n kt h e o r e m ，c o n c a v i t y s t r u c t u r ec o n d i t i o n ，h e s s i a no p e r a t e r , b r u n n m i n k o w s k ii n e q u a l i t y 学位论文独创性声明 本人所星交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了瞻确的 说明并表示谢意 作者签名：堡堕日期：塑：鱼：! 兰 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用t t i ；赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名 日期 为d 6 6 f2 ， 日期：碰：2 第一章引言 1 1 凸性的历史 1 1 1 从几个例子谈起 在偏微分方程中，方程解的几何形态一直是人们感兴趣的问题，在这里我们更 关心若给定一个凸区域和适当的边界条件，解是不是也具有某种凸性 关于解的凸性的研究已有很长的历史r g a b r i e l 【2 4 给出了这样一个结果； 在三维凸区域上，g r e e n 函数的水平集是严格凸的后来m a k a r - l i m a n o v 5 1 考虑 了如下边值问题： 篙2 兰萧舻 ， 他们证明了在光滑有界凸区域ncr 2 上“ 是凹的事实上如果令 = “ 则方程 化为： lr a y = 一( 1 + i d v l 2 ) i n q ， 1 ”= 0 。n 勰 他们引进了一个辅助函数p = 8 v 4 ( u - l v 2 2 一吨：) ，利用极值原理 f p 0 i n f 2 lp l o a 0 得到p 在整个区域里恒大于( 或等于) 0 ，从而证明了 的凹性( h e s s i a n 的两个特 征值都小( 等) 于0 ) 这篇文章对方程的解的某个函数g ( u ) 而不是解本身的凸性研 究给出了开创性的想法，具有重要意义 对于另一类方程h j b r a s c a m p e h l i e b 【9 】证明了如下事实： ( i ) 对热方程 f 瓦o u = “i n 觚( o ，o 。) ， 1 u = 0 o l l o f l 0 ，+ 。) ， 【u ( x ，0 ) = u o ( x ) v x n 其中n 为有界凸区域，u o 是一个给定的正函数，边界上等于零 结论：l o g u o 凹( 关于。) 号l o g u 凹，v t 0 。 粗略地看桫上热方程的基本解为 h ( x , t ，= 去唧( 一薯) ， 华东师范大学博士论文凸区域上一类非线性椭圆算子的几何与分析 从而l o g s ( x ) 凹= l o g u 凹，v ( i i ) 由上可推出凸区域上第一特征值问题 ia u = 一沁“i n nc 舯， i “= 0 o n o i 2 第一特征函数“l 也是l o g 凹的( 同时也得到了水平集的凸性) 样看，因为热方程的解按照特征空间展开其形式为 = e 。d u 女 ( 1 2 ) 它的合理性可以这 当t o 。，u 的衰减程度和e - a l t 1 差不多，由( i ) 中l o g u 凹得出l o g u l 凹 ( i i i ) 同时他们还给出了l a p l a c e 方程第一特征值的b r u n n - m i n k o w s l d 不等式，即对 任意的t 【0 ，1 ，瑞，西两个任意凸体( 中非空紧凸子集) 有 ( ( 1 一t ) k o + t 9 1 ) 一 ( 1 一t ) a ( j 砀) 一1 + t a ( k 1 ) 一 j e r i s o n 3 6 】在9 6 年问不等式中等号何时成立，该问题最近被意大利人a c o l e s a n t i 2 0 】做出，等号成立当且仅当两个凸体j 0 ，甄 同 位 相 似( h o m o t h e t i c ) ，即相差 一个平移或伸缩( 等号的证明依赖于l o gu 1 的“严格”凹性) 在1 9 8 1 年，a c k e r - p a y n e p h i l i p p i n 1 】用m a k a r _ l i m a n o v 的思想对( 1 2 ) 的二维 情形给出了新的证明同年pll i o n s 【4 7 】用热流的方法将h j b r a s e a m p - e 且l i e b 的结果推广到一般的拉普拉斯方程m a 5 0 】延续m a k a r - l i m a n o v 和a c k e r 他们的 想法重新证明了( 1 1 ) ，并得到了口= “j 的图的高斯曲率的最佳下界估计，主要用 到辅助函数p = v 2 ( “句 ( ) 2 一v o v 月和两个只在n = 2 成立的恒等式腰u 目前此 方法只限于2 维) 1 1 2 解决凸性的方法( 宏观和微观) 对解的凸性研究具有历史性的突破是在1 9 8 3 年，k o r e v a a r 写了两篇经典的文 章 4 0 】、 4 1 】他在【4 0 】中研究毛细管曲面方程的解的凸性时引进了一个很有用 的极大值原理( 一般称为凹性极大值原理) 为了便于理解和比较，现将该原理叙 述如下 设u ( z ) 满足如下椭圆方程： a j ( d u ) u i j = b ( u ，d u ) i nn ( 1 3 ) 其中n 是有界凸区域我们定义“的凹性函数妒为： 妒( z ，y ，a ) = ( z ) 一a u ( y ) 一( 1 一a ) “( z )( 1 4 ) 2 华东师范大学博士论文凸区域上一类非线性椭圆算子的几何与分析 其中z = a + ( 1 一a ) z ，0 a 1 ，v x ，y q 我们可以看出“为凸函数当且仅当 在n r 2 中妒0 如果i t c 2 ( n ) 不是凸的，则有两种情形： i ) 妒在( z ，y ) 0 ( n n ) 上是正的，或者 i i ) l p 在n n 内有局部正的极大值 所以妒可以检验函数是否非凸第一种情形可由边界点引理来判断( 见b k a w h o l 3 7 】引理3 11 、引理3 1 2 ) ，第二种情形可用凹性极大值原理处理 n k o r e v a a r 【4 0 】首先介绍了凹性极大值原理： 定理1 7 设“c 2 ( q ) 满足方程口影，b 满足 o ，嚣 0 ，d u 表示“的梯度则口矽所定义的l p 在q 内部不能达 到局部正极大值 n j k o r e v a a r 4 1 】和l t a c a f f a r e l l i - j s p r u c k 1 4 推广了这个思想，并重新证明 了凸区域上拉普拉斯算子的第一特征函数l o g 凹他们的推广如下：将方程( 1 3 ) 中 的6 ( ，d t ) 改为6 ( z ，“，d u ) ，条件( 1 5 ) 减弱为蕊o b 0 ，且b 关于( z ，) 联合凹 后来，b k a w o b l 3 8 】，a k e 4 m i n g t o n 3 9 1 分别在b 0 的情况下把条件改进 成l o g b 凹和b 调和凹( i e 1 b 凸) ，并说明了边界值问题的解的一些指数形式是凹函 数，包括推广了问题( 1 1 ) 至高维情形同时k e n n i n g t o n 在文中的注解4 2 3 中指出 凹性指标 是最佳的不难算出，若b 0 ，对( z ，“) 和任意固定的p 舭有 b 凹号l o g b 凹辛b 调和凹( i e 1 6 凸) 反之般不成立我们把改进后的凹性极大值原理及其证明归结如下( 参见k a w h o l 【3 7 ) ： 定理1 8 设u c 2 ( q ) 满足如下椭圆方程： a i j ( d u ) u 甜= b ( x ，u ，d u ) i n q 时 ( 1 6 ) 其中重复指标表求和，u i j ：毒姿设n 是有界凸区域，b n r 1 ”满足 o z t n 嚣i 倒b 0 i nn r 1 + 札， 0 0b ( z ，“，p ) 一b ( x ， ，p ) 0 ，若“ ”i nn 1 + ”， o i ob 关于扣，u ) 调和凹r f b1 b 凸： 洳 p ) ( x 2 , u 2 , p ) ) 。i x l 2 x 2 ，半，p ) 。( x l , u l , p ) 6 ( x 2 , t t 2 , p ) ( 1 7 ) 3 华东师范大学博士论文凸区域上一类非线性椭圆算子的几何与分析 则对任意z 1 ，x 2 q ，“l ，毗豫，p 础，u 的凹性函数 妒( “j x l ) x 2 ) ：= “( 半) 一互1 “( 础一刊1 瑚 不能在n q 内部达到正极大值。 证明；( 反证法) 假设妒在( 。1 ，z 3 ) n n 达到内部正极大，i e ， 心。) ；u ( 列+ 互1u ( z s ) ，其中引= ；( z - + 瑚 因为妒沿2 n 个方向的梯度在( z l ，x 3 ) 取值为零，所以有 d u ( x 1 ) = d u ( x 2 ) = d u ( x n ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 下面考虑限制更强的凹性函数驴，它定义在( z 1 ，x 3 ) 的领域内，即把。，。3 分别平 移n ，卢 ，其中t t ，为舯中个小的向量，o z ，卢为实数，使得下式中的变量仍在 n 中 乒( 刨，。，p ) ：= “( 。+ 写生 ) 一互1 “( z l + q 叫) 一互1 。3 + 卢叫) ( 1 1 0 ) 我们需强调的是这种定义方式正是与k o r e v a a r 和k e n n i n g t o n 的不同之处k o r e v a a r 引进的函数是事) ：= u ( x 2 + w ) 一l u ( x , + w ) 一；u ( x 3 + w ) ，而k e n n i n g t o r t 本质 上考虑的是( l ，y 3 ) ：= “( z 2 + 也笋) 一l u ( x l + y 1 ) 一u ( x 3 + y 3 ) 对( 1 1 0 ) 中任意的( o ，卢) r 2 ，由假设条件函数庐( 枷，p ) 在 ；0 处达到局 部极大所以 d w 乒( o ，o ，卢) = 0 ，【d ：p ( o ，n ，p ) 0 ， ( 1 1 1 ) 式中的符号表示函数对u 的梯度和h e s s i a n 矩阵下面为了方便起见，我们在相同 梯度值( 1 9 ) 下记 a ：= c 一( d u ) ，6 ( z ，u ) ：= b ( x ，u ，d “) 由( 1 1 1 ) 和矩阵护的椭圆性显然有 州珑庐( o 旭卢) 玎0 i , j = l ( 1 1 0 ) 代入上式得到 一 ( 字) 2 吲小弘c t 2 ，7 7 2 出。，卜 均 4 华东师范大学博士论文凸区域上一类非线性椭圆算子的几何与分析 冉代入万崔( 1 6 ) 得 ( 半) 2 。，心。) ) 6 x 2 ，i 1 ( 吣1 ) ) + u ( 瑚) 。 ( 1 1 5 ) 在( 1 1 3 ) 中取n = 1 ，p = o 结合( 1 1 5 ) 则有 6 ( 。，“( z ，) ) ；6 ( z 。，( z 。) ) o ( 1 1 6 ) 再取a = b ( x 3 ，u ( z 3 ) ) ，卢= 6 ( z t ，“( z - ) ) 刊( 1 1 3 ) 变为 ( 半) 2 。，吣：胚a p ( 半) 忉 i g t ；勾( 1 1 6 ) 和已知b 0 的条件推出4 0 ，上式两边同时除以旦笋，再利用 ( 1 1 5 ) 及x 2 = 盐产就有 字。( 学，互1 ( “( 训州训 0 条件；( i ) 1 f ( ，v u ) 关于( z ，u ) 联合凸； ( i i ) 解的h e s s i a n 矩阵半正定，简记为h = ( u i j ) 0 ， 则日在q 中保持常秩 证明：为了方便起见，下面我们证明一种最简单的情形“= ，( z ) ，n = 2 因为a u 0 ，所以( ) 秩不可能为0 ，只能为2 饵p ( u 1 i ) 0 ) 或1 ( ( “4 ) = 0 ) 令p ( x ) = d e t u i j ( x ) ，若在一点x n 秩为2 则p ( x ) 0 ；秩为1 则p ( x ) = 0 令u ( x ) = 扫：p ( x ) = o ) ，假设存在一点x o u 使得p ( x o ) = 0 即秩为1 ， 我们将说明在z o 的小领域j 里有 h p ( x ) c i p ( x ) + 岛i v p i ( x ) ， ( 1 2 0 ) 其中正常数a ，岛仅依赖于l i “l l c , ，| | f i l 伊，雨1 由( 2 1 ) 和强极小值原理我们立刻 得到在6 中p e0 ，即集合矿在n 中相对开又它是相对闭的，由q 的连通性得 u = n 这说明在整个区域q 上( “) 秩恒为1 下面我们只需证( 2 1 ) 式 对任意z 6 ( 以下均在该点计算) ，我们将坐标标架旋转使得( “玎) 在该点对角 化，且“1 1 0 ，取d 足够小使 得2 2 ，( z ) 2 = c o ，则? 9 1 1 p 岛下面计算v p 和p v i p =u 1 1 i 乱2 2 + u l i u 2 2 1 一“1 2 f ? a 2 1 一a d l 2a d 2 1 t 2 u 1 1 1 “2 2 + u l l u 2 2 i 由上可得 “- l t e ( p + l v p i ) ， e 仅依赖于恻b ，t 7 t 1 进一步 2 a p = u 1 i i i u 2 2 + u l l u 2 2 i l + 2 u l l i u 2 2 i “1 2 i i u 2 1 亏1 = 阻1 1 t l “2 2 + u 1 1 t t 2 2 i i + q ? , 1 1 1 u 2 2 i 2 u 1 2 t 7 $ 2 1 i 4 亏1 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) = e u 1 1 l ；札2 2 + 口z l l u 2 2 1 1 + 2 7 2 1 l i u 2 2 i 一2 u ；2 1 2 u 1 1 2 u 1 1 2 t = 1 s ( u ) l l u 2 2 2 让毳l + a p + j v 尸j ) 7 ( 1 2 3 ) 华东师范大学博士论文凸区域上一类非线性椭圆算子的几何与分析 又u 1 1 + u 2 2 = f ，等式两边关于z l 求导两次可得 代入( i 2 3 ) 得 ，1 = u l i i + u 2 2 1ju 2 2 1 = ，1 一u l l l a p u 2 2 f l l 一2 【 一u l l l 2 + c ( p + i v p l ) = ，l l 一2 片一u l l f l l + 4 f l u l l l 2 u 2 1 1 + c ( p + l v p l ) ( 1 2 4 ) ， l 一2 斤+ g p + c 2 w p l 由已知条件( j ) ，一的凸性即证( 2 1 ) 口 有了常秩定理他们用连续性方法也叫形变过程( 事实上更早一些，丘成桐 4 2 】 就有了这个想法) 重新证明了m a k a r - l i m a n o v 的结果，并给出了严格凸性这个过 程大致如下泌须保证解具有唯一性) ：先在球上( 球是严格凸的区域) 证明解是严 格凸的( 事实上一般可以利用解是径向对称的得到解的具体表达) ，再将区域由球 连续变化到要处理的凸区域若在变化过程中的某个时刻解的凸性失去了“严格” 性，常秩定理则保证解在区域上处处为非严格凸但又因为此时区域仍是严格凸区 域，做先验估计可知解在边界附近为严格凸( 即其h e s s i a n 满秩) ，从而导致矛盾 我们会在第三章中用具体例子来说明连续性方法的思想 常秩定理使我们联想到l e w y 4 5 关于调和梯度映射以及h a r t m a n - n i r e n b e r g 3 3 】关于球像映射的深刻工作，在那里其j a c o b i a n 不变号和我们的秩不变思想类 似近年来，常秩定理陆续被应用到来源于经典微分几何里的c h r i s t o f f e l - m i n k o w s k i 问题和预定w e i n g a r t e n 曲率问题所导致的完全非线性偏微分方程g u a n - m a 【3 0 】 将常秩定理推广到非线性椭圆方程瓯( 啦f ) = f ( x ) ，条件是f - l o ( z ) 凸g u a n 。m a - z h o u 【3 2 推广到q u o t i e n t 方程豢糌( z ) = f ( x ) ，条件是f 南( z ) 凸后来该定理 又被c a f f a r e l l i - g u a n - m a 【11 推广到更一般的椭圆方程，叙述如下 定理1 1 4 设ncr ”，“e 3 ( f 2 ) 为椭圆方程 f ( d 2 “( z ) ) = f ( x ，“( z ) ，v “( z ) ) ，v 。r 2 的凸解，其中f g 1 , 1 ( q 武r “) 若对任意固定的向量p ，f ( x ，“，p ) 关于( z ，) 凹，且f ( a 。) 关于a 局部凸，则h e s s i a n ( u l j ) 在q 中保持常秩 注解1 1 5 凹形极大值原理是对函数或解整体的宏观的看法，所以只能处理带边的 凸区域常秩定理是局部的微观的办法，能够处理内蕴的几何量如曲率张量等等 8 兰奎堕薹奎塑主堕苎鱼曼堡圭三耋塑丝堡塑堕叁兰竺丝堡量坌堑 而且常秩定理是强极值原理，能够得到解的严格凸性更进一步，它一种紧性定理， 对方程的结构条件要求要低，如g u a n - m a ，3 口中定理j 指出，形如鼠= 妒的方程 右端对妒的限制并不需要妒一1 严格凸，而用以前的办法或者用流加上p 加曲以g 估计 最佳也只能做到妒_ 1 严格凸 1 2s k 的准备知识 1 2 1 基本概念和一些重要性质 定义1 1 6 我们称算子f ( x ，u ，d u ，d 2 “) 为椭圆算子是指矩阵 胪) _ 器) 正定设a ， 0 分别为该矩阵的最大、最小特征值，若a 下有界，则称f 严格椭 圆；若a a 上有界则称f 为一致椭圆 下面是关于瓯的概念和重要性质，可参见 3 5 】 定义1 1 7 对1 k n 和a = ( a l ，a 。) 酞“，第阶基本对称函数瓯( a ) 定义 如下： 瓯( a ) = 九。 1 0 ，瓯( w ) o ) 其等价定义为 1 1 = a r ”：s l ( a ) 0 ，最( a ) o ) 若u 俨，我们称“为k 凸的若w = ( “o ) n 由此可见“是严格凸的仁b ( “玎) 叫等价于“为n 凸。一个偏微分方程的解称为其允许解是指u 是一凸的 另外称解为凸解是指其h e s s i a n 矩阵半正定r f b ( “灯) 印 9 堡塞堡堕奎堂堡圭垒塞鱼璧堡圭三耋! ! 丝丝塑塑塞兰墼些堡量坌堑 命题1 1 9 设w = ( w , j ) 为nxn 对称矩阵；对1s n ，令c ( w ) = 鼠( ) 则下面关系式成立 缸；j 1 ， ) ，。m 。血 ：2 t 南j ( 喊，址- 汜j l , - - , 讪) m m 眠- l j 。， j l ，j 一1 = 1 g 枷s ：= o w 堡, j o g w 一7 南6 ( w o 一鹏以一z ) w l n 眦一址。 其中对指标集i = ( i l ，t ，i 。) 和j = ( j l ，一，j m ) ，k r o n e c k e r 记号5 u ；j ) 定义为 f 1 ， d ( ，；j ) = 一1 【0 若为，的偶置换； 若j 为，的奇置换5 其它情形 设( a 1 1 ) 表示瓯( a ) 中取九= 0 ，我们有下面一些重要的性质，可参见 4 6 】 命题1 2 d 对任意k = 0 ，i = 1 ，n 以及a r ” 掣= ，a a 。 。 = s k + 1 ( a i i ) + a s k ( a i i ) = m 一女) s k ( a ) ， ( k + 1 ) 鼠+ l ( a ) 命题1 2 1 设存在某个k 2 ，n ) 使得a n ，则对任意0sl k l 和 1 isn ，有s ( l i ) 0 因此也有a ，s 1 ( a ) ，对1 i 礼 邮 喽鼢 酽 瓯 a 。 华东师范大学博士论文凸区域上一类非线性椭圆算子的几何与分析 命题1 2 2 设= ) 为对称矩阵使得其特征值属于r ，4 - v ( w ) = ( 鲁) 由( ) 0 l k n ，则矩阵 万o 啄g ( w ) ) ( 1 2 6 ) 为正定的进一步，g 在疋中凹，即 。，轰。磊( 郦( 班” n ：， 斟百斛百 骓2 2 鼠的简介 事实上鼠( w ) 为矩阵w 的所有k 阶主子式之和对于一个函数“，鼠( d 2 “) 即为它的h e s s i a n 矩阵d 2 u 的k 阶主子式之和若k = 1 ，即为u ；k = n 为 d e t d z “若a n ，则由命题1 2 1 可知鼠为非线性的椭圆算子& 在几何与方 程中不可避免地会遇到，是人们关心的一类算子几何里比如二次曲线的分类就是 由s x ，岛，岛三个不变量的符号来确定的又比如大自然里最基本的一个几何量体 积，在凸体理论里关于一个凸体 ”中非空紧凸子集) 加一个球的体积展开公式也 叫s t e i n e r 公式为 v ( k + t b ) = 扩( n ，) 眦( k ) ， i = 0 。 其中q u e r m a s s i n t e g r a l s 嗽( )三_ & - i ( w q ) d t - 一 礼j s 一1 这里面被积函数即s k ，其中( w i j ) 为凸体的支撑函数的h e s s i a n 矩阵( 见 6 1 ) 预定q u e r m a s s i n t e g r a l s 问题即c h r i s t o f f e l m i n k o w s k i 问题可转化成g - 上的偏微分 方程它具有唯一性，如a l e x a n d r o v 2 、s s c h e m 1 6 ；p o g o r e l o v 5 5 】以及 g u a n - m a 删叩对存在性也给出了一个充分条件。另外在k 副a l e r 几何( 见c h e n - t i a n 华东师范大学博士论文凸区域上一类非线性椭圆算子的几何与分析 1 7 ) ，c o n f o r m a l 几何( 见& 一y a m a b e 问题s - ya c h a n g - m g u r s k y p y a n g 1 5 1 ) 以及s p e c i a ll a g r a n g e 几何中c 见h a r v e y - l a w s o n 3 4 】、y u a n 6 9 ) 都对鼠做了研 究 椭圆方程上的研究有：h e s s i a n 方程的d i r i c h l e t 问题( 如c a f f a r e l l i n i r e n b e r g - s p r u c k 1 3 】，t r u d i n g e r 6 3 】) ，s o b o l e v 不等式及其变分理论洳c h o u 1 8 ， t r u d i n g e r - w a n g 6 4 】，c h o u - w a n g 1 9 】) ，位势理论( 如t r u d i n g e r - w a n g 6 5 】、l a b u t i n 4 4 】) 1 3 主要结果 本文我们主要研究解的凸性，首先来介绍一下o 凹的概念( 参见k c n n i n g t o n 3 9 】) 设a 为正实数，我们称个定义在即的凸子集上的非负函数u 为。凹是 指它的a 次幂、“o 为凹函数很自然的，对任意的实数a 【一o 。，+ o 。1 ，这个概念 可以推广如下；u 为常数时对应o = + o 。；0 o + 。即u o 凹；l o g “凹对应 o t = 0 ；一o 。 1 时，在具有光滑边界的凸区域上& 存在唯一 的正特征值( 事实上对更广的一类区域也成立) ，仅依赖于n ，n ，使得对应的特征 华东师范大学博士论文凸区域上一类非线性椭圆算子的几何与分析 值的d i r i c h l e t 边值问题存在唯一负解( 相差一个伸缩) u g 。( n ) ng 1 , 1 ( 而) 这 是我们解决下面问题的关键和保证 定理1 2 5 设n 为r 3 中光滑有界严格凸区域，若g ”( q ) n g l ，1 ( 磊) 为 的允许解，则一l o g ( 一) 严格凸 f 1 3 0 ) 利用上面的严格凸性结果，结合【2 1 中的思想，我们还进一步得到岛第一特 征值 的b r t m u - m i n k o w s k i 不等式，即a - l 4 为区域的凹函数，描述如下 定理1 2 6 对任意两个3 维凸体k o ，髓和t 【0 ，1 ，a 满足不等式 a ( ( 1 一t ) k o + t 蜀) 一 ( 1 一t ) a ( 瑞) 一 + t a ( j 矗) 一( 1 3 1 ) 等号成立当且仅当k o ，琏为，即位片町似，即相差一个平移或伸缩 注解1 2 7 一般情况下，对于鼠算子，解的凸性会与有关但是我们从以上结果 发现在很多情况下，岛算子在n = 3 时解的凸性与拉普拉斯算子相同，这是一个 有趣的现象那么对其他情形是不是也有这样的结果，本文我们还不能给出肯定回 答 本文我们先在第二章中给出第一个结果常秩定理的证明，然后用连续性方法证 明要解决的问题第三章介绍b r u n n m i n k o w s k i 不等式的历史和背景，然后证明第 二个关于特征值问题的凸性结果，最后给出不等式证明 1 3 ：菖l 薹 p | | 答 第二章定理1 2 4 的证明 首先重新叙述一下要证明的第一个凸性结果 定理2 1 设g 。( n ) 为 f 岛( 砒) = l ，( 2 1 ) 【u = 0 o i l a n - 的允许解，n 为璃p 中光滑有界严格凸区域则一( 一“) 严格凸，且凸性指标女为 最佳 2 1 关于定理1 2 4 的常秩定理之证明 令w = 一= 石，则 u = 一 2 ， t l ；=2 v v l ，“订；一2 ( v v , j + 哺q ) 代入原方程得到关于”的方程，记为 f ( ”，d ”，d 2 ”) = ；岛( u u ) = i 1 ， ( 22 ) 其中 f ( 玑d v ，d )= , u 2 s j ( q j ) + w ( i + 递) 口1 l + u ( ；+ u ；) 2 2 + u ( 4 - ；) 3 一 1 地( u 1 2 + v 2 1 )v v t v a ( v l s + 目引)v v z t j 3 ( v 2 3 - t - ”鞠) ( 23 ) 引理2 2 r 常秩定理u 若口满足上述方程，且在n 中v 的h e s m a n 矩阵半正定。即 w = ：( ) 0 ，则该矩阵在n 中保持常秩 证明：因为n = 3 ，所以秩只能是l 、2 、3 三种情形第一种排除，因为秩为一 意味着岛( 口。，) 退化，这与原方程矛盾现在我们假设若w 在某点如q 处达到最 小的秩2 ，我们将证明在n 中秩恒为2 令e ( x ) = d e t v i j ( x ) ，则p ( 2 0 ) = 1 3 取0 为铀的一个开领域，我们将证明在 0 中p ( 。) i0 如果成立，说明集合 z l p ( z ) = o ) 为开集，又它显然是闭集，那 么根据n 的连通性可得在整个n 中p ( x ) i0 ，即w 为常秩2 ；否则该集合为空 集，即w 秩恒为3 集，即w 秩恒为3 1 4 华东师范大学博士论文凸区域上一类非线性椭圆算子的几何与分析 沿用【1 0 】中的记号，对两个定义在开集0cq 上的函数h 和k ，以及y 0 我们称h ( v ) 焉k ( y ) 是指存在正常数c t 、c 2 使得 ( h 一后) ( ) s ( o p + c 2 i v p l ) ( 可) ( 2 4 ) 如果h ( u ) 舌k ( u ) 且k ( u ) sh ( y ) ，则我们记h ( v ) 一k ( v ) 若上面的不等式在0 中 恒成立则记h k ，其中常数c 、c 2 仅依赖于怕f f c t 和n 国y 及0 无关) 记 h k 若h sk 且h 我们将要证明在d 中 3 p s 0 ( 2 5 ) i , j = l 若上式成立，因为在n 中p 0 ，又p ( z o ) = 0 ，则由强极小值原理可得在0 中 p ( z ) 兰0 对任意固定的点z 0 ，我们可以旋转坐标标架使得在z 点对角 化，且使得地i = 凡，v i = 1 ，2 ，3 我们不妨设a 1 a 2 a 3 ，则存在一个正常数 c ，仅依赖于州b ，使得a ，a 2 c 以下均在点z 计算，并在( 2 5 ) 中的常数 有界情形下用记号“”来表示函数之间的关系 下面我们计算p 以及它在x j 方向的一阶和二阶导数因为w 在z 点已对 角化，因此 0 p v 3 3 ， f 2 6 1 0 一只一” 功v 1 1 v 2 2 v 3 3 1 j 一2 v l l v 2 3 i v 2 3 j 一2 v 2 2 v 1 3 i v l 3 j ( 2 7 ) 下面会用到一些记号 肚筹，= 筹e = 筹 一m = 瓦0 2 瓦f ， u u ，u “o 。= 西0 而2 f ， f 甜一旦 1 “一o v # o v l l 。 俨f 2 丽面 1 5 f 玎：望! 。 0 ”u 鼬 ，一塑 1 ”o v 2 。 华东师范大学博士论文 e s g 域1 ：- - 类非线性椭圆算子的几何与分析 具体计算得( 以下是我们需要用到的结果) ： f v 2 v l l v 2 2 + v v n ( v 2 + v i ) + y v 2 2 ( 口 + 疃) f “= 筹鬻= - 2 v o u署o u ， ，sa “ f “一 2 2 2 + ( 谚+ 谵) f 。一v 2 y l l + u ( 口 + 嵋) f a