（应用数学专业论文）半参数函数关系模型参数估计的研究.pdf

西北大学硕士学位论文 本文对半参数函数关系模型 摘要 篓“” 关键词。半参数函数关系模型；最d x - - 乘估计；m 估计；强相合性；p 阶平均相 合性；渐近性 西北大学硕士学位论文 a b s t r a c t 篓鲥t ) k e y w o r d s ：s e m i p a r a m e t r i ce r r o r s i n - v a r i a b l e sm o d e l ；l e a s ts q u a r e se s t i m a t i o n ；m e s t i m a t i o n ；s t r o n g l yc o n s i s t e n t ；pm e a nc o n s i s t e n t ；a s y m p t o t i cp r o p e r t y i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知i 识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复e i j 件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 墨差蓑妻纂篓薹雯? 递指导教师签名：逊学位论文作者签名：缝丝指导教师签名：竺! ! 兰! i 7 年6 月了日妒7 年参月弓日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：乳盛 砷年月7 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 背景介绍 在许多应用领域中，弄清实际问题中变量间的关系，依照所得的关系式对相应的 问题进行描述、预测、控制或做某种设计，这足一项很重要的工作通常的做法是假定 自变量取值足可精确观测的，在这个前提下进行回归分析然而这样的假定足不符合实 际的在观测变量的取值时往往会受到多种因素的影响，导致一些偏差如抽样误差， 仪器误差，记录误差等等；另外，人们考察变量间的关系，只是关心主要因素对变量的 影响，那么诸多的影响作用不大的因素的效应将反应于变量取值的偏差中我们将观 测数据带有误差的问题称为变量含误差( 或测量误差) 问题，分析这些数据的统计模型 和方法称为变量含误差( e r r o r s - i n - v a r i a b l e s ) 模型，或称测量误差( m e u r e m e n t e r r o r ) 模型 变量含误差回归模型的研究是个崭新的领域，它的发展源于1 8 7 7 年r j a d o c o c k ( 3 0 l 最先开始讨论简单的两个变量的观测均含误差的直线拟和，至此之后，一直受到人们 的重视这种模型早期的研究足受自然领域的应用驱动，尤其足天文学方面，接着很 快又有了经济学领域的应用陈希孺1 1 l 】在2 0 0 1 年中国现场统计研究会第十届学术年 会上所做的报告中也提到了这种模型 在变量含误差的回归模型中，根据解释变量的情况，模型可分为两类：认为不可观 测的解释变量是未知的非随机变量( 从而就足未知函数) 时，模型称为函数( f u n c t i o n ) 关系模型；认为不可观测的解释变量足随机变量时，模型称为结构( s t r u c t u r a l ) 关系 模型而对于一般的回归分析，可以根据回归参数的形式，如线性与非线性分类变 量含误差模型也可类似的分为线性回归，非线性( 参数型) 回归，非参数回归和半参 数回归我们在响应变量y 与解释变量( z ，t ) 之间的半参数回归关系y = 卢+ g ( t ) 中对解释变量引入误差，就构成了部分线性变量含误差回归模型( 也称为半参数函 数关系模型) ，这种模型就是本文讨论的主题 西北大学硕士学位论文 1 2 预备知识 首先介绍一些相关的基本概念，见文献 1 q ，侧 定义1 2 1 设 厶，足有限可测函数序列，t 足可测函数， 如果对v e 0 ，p ( “厶一，1 2e ) ) o ( n o 。) 则称序列 厶 足依测度收敛的记作厶， 注；当测度足概率时，定义的依测度收敛就成为依概率收敛，记作厶， 定义1 2 2 如果矗，f l ，n = 1 ，2 ， e i 矗一f i 一0 ( n o o ) 则称 靠 r 次平均收敛于f ，记作矗 注；为了证明靠j f ，当已知。l ，n = 1 ，2 ，- 时， 只需验证e i 矗一 i7 一0 ，而不必预先验证f l ， 定义1 2 3 如果p l i r a 矗( o j ) = f p ) = 1 则称 矗( u ) ) 以概率1 收敛于f ) ，又称( 矗) 几乎处处收敛于( u ) 记作靠( u ) f p ) 口矗 定义1 2 4 对于分布函数列 r ( z ) ) ，如果存在一个非降函数f ( x ) 使 l i r ar ( z ) = f ( z ) 在f ( z ) 的每一连续点上都成立，则称晶( z ) 弱收敛于f ( ) n 并记为r ( z ) 与f ( z ) 定义1 2 5 设随机变量矗( u ) ，f ( u ) 的分布函数分别为r ( z ) 及f ( z ) 如果r ( z ) f ( z ) ，则称 矗( u ) ) 依分布收敛于) 并记为矗) o f ) 本节以线性模型为例，介绍m 估计及相合性的相关知识 m = z ：p + e l ( 1 i n ，n2 1 ) ( 1 2 1 ) 口为p 维回归参数，e 。为误差 定义1 2 6 用极值点定义口的m 估计 2 西北大学硕士学位论文 对于模型( 1 2 1 ) 选定一个定义于r 1 的函数p ，令 易( p ) = p ( k 一刃( 卢俨) ( 1 2 2 ) l = l 卢的m 估计记为反，定义( 卢) 的一个最小值点 珥( 反) = m i l l 易( p ) ：卢俨( 1 2 3 ) 注。这里并没有要求反有唯性，而反也的确可以不唯一 定义1 2 7 对于模型( 1 2 1 ) ，用( 1 2 2 ) 定义卢的m 估计反，并设p 的导数= 妒 在r 1 上处处存在，则反必满足方程 n 妒( k z ：卢) = 0 ( 1 2 4 ) i = l 下面定义相合性的概念 对于模型( 1 2 1 ) ，设c ( p ) 为卢的一个已知函数，瓦；品( m ，蚝，k ) 为c ( p ) 的 一个估计，若在某种意义上，当样本量n + o o 时，矗收敛于被估计的c ( 卢) ，则称瓦为 c ( ) 的相合估计，或说b 有相合性，在统计学中，若瓦依概率收敛，即死oc ( p ) ， 则称瓦是弱相合的；若瓦以概率1 或几乎必然收敛，即瓦c ( p ) a 8 ，则称死 足强相合的；而当瓦为r 阶平均收敛时，即e l 死一c ( 卢) r ，0 ，则称死是r 阶平 均相合的 如所周知，由后两种相合性可以推出弱相合性，但后两者之间并无蕴含关系因 此我们在研究相合性时，只要研究强相合性与r 阶平均相合性即可 引理1 2 ，1 靠) c 则厶f 的充分必要条件足 ( i ) 靠o ，且f i 矗一引咖一致连续或 a ( i i ) 矗f ，且，i d p 一致连续 a 引理1 2 2 若 矗) 一致有界，( 即l c ( 常数) ) n = 1 ，2 ，且 靠三f 则靠二f 引理1 2 3 若厶则靠与f 3 西北大学硕士学位论文 引理1 2 4 若靠) 一f ) a 8 则矗三f 引理1 2 5 若矗上则厶三f 特别地，设c 足常数，则矗- c 搴= 争矗幺c 引理1 2 6 设足( q ，p ) 一个测度空间，a 是一族可测集合，j n 集合 a 。= u q ：u a j ，j = 1 ，一，o 。 若p ( a j ) o 。那么p ( a 。) = o j = l 4 西北大学硕士学位论文 第二章半参数回归模型的一些结果 考虑回归模型 2 1 引言 y i = z ：了+ 9 ( 岛) + e i ，1 i n( 2 1 1 ) 其中戤为已知的p 维设计向量，p 为p 1 待估向量，g ( ) 为冗1 上的未知b o r e l 函 数，误差序列 e ) i i d ，且e ( e 1 ) = 0 ，0 碚= e ( e 1 ) 2s ，假设 t d 与 q 独 立，且 t d i i d 该模型是e n g l ee ta 1 1 7 】在研究气候条件对电力需求影响这一实际问题时提出来 的，它既含有参数分量又含有非参数分量，用它来描述实际问题更接近真实，更能充 分利用数据所提供的信息 关于模型( 2 1 1 ) 的研究，目前在所能见的文献上已有些结果h e c k m a n 2 0 ，c h e n n 先后讨论了当g ( ) 的估计分别取样条估计和近邻估计时，卢的加权最i j 、u 乘估计的渐 近正态性及强弱收敛速度等l i a n g ”l 在其博士论文中讨论了卢的渐近有效估计 文献【2 】，嘲，例运用二阶段估计方法，给出了参数估计量的一些性质文献目， 1 q ，f 1 日捌 运用最z j 、- - 乘估计和加权最小二乘估计的方法，给出了强相合性，收敛速度以及渐近 正态性本章以二阶段估计为例，介绍参数估计的相关性质 2 2 二阶段估计及其相关结果 我们基于模型( 2 1 1 ) 的可加性，建立二阶段估计方法首先将( 2 1 1 ) 变换成一 个标准的线性模型，利用最小二乘估计得到卢的第一次估计废，并且由新模型的残 差得出g 的估计蟊，最后将蠡代回( 2 1 1 ) ，再次利用最小二乘法得到卢的估计量风 具体地说，令 o = e g ( t 1 ) ，岛= g ( t 1 ) 一o + 岛 i 1 ( 2 2 1 ) 5 西北大学硕士学位论文 则模型( 2 1 1 ) 变换成 这里1 ，2 ，ni i d 且 鼽= o + z ：p + 岛1 s i n ( 2 2 2 ) e c l = o ，0 口2 = e e ：= y 口r 扭( t 1 ) 】+ 靠 0 为窗宽，如式( 2 2 6 ) 定义蟊( t o ) 在文献阁中有如下假设条件 ( a ) ( a 1 ) e l ，e 2 ，i i d e ( e 1 ) = 0 ，0 p ( 岛) s u p ( i , 。p 1 。n ) 1 ( c ) e g ( t 1 ) 】2 o o ， ( d ) j0 c 1 c 2 o o 使c l i ( 1 u l 2 ) r ( “) c 2 ，( i i 2 ) ，“r 1 ，( ) 为示性函数，以勺记，的连续点集，c 为绝对常数，在不同是可以取不同值 我们先介绍成的一些性质 引理2 2 1 在条件a d 下，废一pn 矗当且仅当 爵1 + 0 ( 2 2 8 ) 引理2 2 2 在引理2 2 1 条件下， 成j - p 骨羼兰= + p ，1 r s2 铮佛一口s ， ( 2 2 9 ) 其中厶表示ej j 肚0 引理2 2 3 在条件a c 下。且 。蜕! ：咎乩。蛾燃z ：品t 钆：o ”一 咒l 0 ，n ( 1 2 ，1 ) 则 蟊) 一g ( t o ) a 8 v t o 。，n t o ：y ( t o ) o ) ( 2 2 1 2 ) 对于口的第一阶段估计量成，我们做了上述讨论，下面我们讨论卢的二阶段估计量 反，即式( 2 2 7 ) 的解显然 赢= 簖1 m 一靠( f ) ) ( 2 2 1 3 ) 其中靠( t ) = ( 蟊( t 1 ) ，鲩她) ，靠( t 。) ) 对于口的二阶段的估计量赢，我们有如下结果 引理2 2 6 在引理2 2 5 条件下，用s u pl ：r l 。= o ( 1 ) 代替b ( 2 ) 且 n p ( 1 ) 0 i n ! f ( t o ) ss u p ( t o ) p s ：1 0 ，则 、，丽( 厦一p ) 三n ( o ，盯2 一1 ) ( 2 2 1 6 ) 引理( 2 2 8 ) 说明赢是p 的自适应估计 此外，我们可以进一步研究下面两类重要的半参数回归模型 8 西北大学硕士学位论文 模型( i ) 羹= z ：卢+ g ( 墨) + e i ， 1s sn 其中q 是固定设计点列，p = ( 风，岛，纬) 0 1 ) 是未知待估参数，g ( ) 是定义 在俨上的未知函数，误差序列k ) i i d ，且e ( e ) = 0 ，0 靠= e ( e ) 2 o o 模型( i i ) y l = j 8 + g ( z ) + e ， 1 isn 其中孔是固定非随机设计点列，卢是待估参数，9 ( ) 是定义在j 妒上的未知函数， 误差序列 e i i d ，且e ( b ) = 0 ，0 砖= e ( 岛) 2 对于这两种模型，我们同样可以进行相应的讨论 这里需要说明的是，尽管表面上模型( i ) ，( i i ) 看起来像是模型( 2 1 1 ) 的特殊 情形，但已有文献中对p 的估计说明，它的构造方法不能和模型( 2 1 1 ) 中的相同，这 又是由于模型( i ) ，( i i ) 本身的特性决定的 9 西北大学硕士学位论文 型 第三章固定设计下半参数函数关系模型参数估计的相合性 3 1 引言 本文讨论固定设计的部分线性变量含误差的回归模型，也称为半参数函数关系模 曼“们 ， 西北大学硕士学位论文 考虑模型 3 2估计方法与主要结果 ( 3 2 1 ) 其中( z 。，t 1 ) 舻r 1 是固定设计点列误差e i 和魂( i = 1 ，2 ，n ) 独立同分布， 且满足( 3 1 2 ) 未知的卢，盯2 和g ( t ) 的估计可以通过以下步骤得到；定义一般权向量 ( t ) = - ；( t ；t l ，如，。) ；1 i 耐，则函数9 ( - ) 在p 已知时可估计为 如( t ，p ) = e “ ( t ) 一p ) 参数卢利用最j 、- - 乘估计定义p 的估计风为下列 i = l 方程的解 ( t 一毫赢一如( 岛，) ) 2 = 锲 ：( 豇一毫p 一蟊( 如，p ) ) 2 得到口的最终估计反= 嚣z 贾p 其中 nn 畿= 贾贾 爱= 五一( 屯) 码幺= k 一w 。j ( t 。) 巧 j = 1j = 1 贾= ( 矗，宠，矗) 7矿= ( e ，玩，托) 参数口2 可估计为 冉；砉( e 一椭2 于是g ( ) 的估计量就定义为 本文将给出反，鲩( ) ，矗2 的p ( 2 ) 阶平均相合性本文的主要结果是在如下条件 下得到的； 条件1 ：当n 充分大时， c l 笠q生q 1 】 2 枞 刮 | | = 玑k 咒 阮 一 k眠 。 = 鼽 西北大学硕士学位论文 由左半边不等式可得， i 咒l 苛 壶( 竿) 5 = 缸 条件2 ：存在p ( 2 ) ，e l e l l 9 0 o 8 以下是本文的的主要结果； 定理3 2 1 假设条件1 , 2 ，3 成立，则 反n 鱼，蟊( t ) _ + 9 ( t ) o 矗 定理3 2 2 假设条件1 , 2 ，3 成立，则 e l 反一卢i p 一0 ，e l f f , ( t ) 一g ( t ) l p 一0 定理3 2 3 假设条件1 , 2 ，3 成立，则 矗2 _ 矿o s 若将条件2 换成存在p 芝2 使得e l e l l 印 ，e i d l i 却 0 ，设= e j l ( 1 e j l s 2 j )= e j e 二，1 j sn 1 3 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 西北大学硕士学位论文 由e ( 1 e - 1 2 ) ，利用三级数定理可知j = l l l ，再由条件3 有 心m a ，xi 蔷w t l j ( q | - 1 臻刚洲蔷i 伽如啕 ( 3 3 _ 4 ) 盟i 哪沪( 揶峰m a xt w n j ( i ；驯2 川咖确啕 ( 3 3 5 ) 记e n j = - ( t ) ( 弓一e ( ) ) ，则 e 可；1 j n 独立，具有零均值，且 球毛) _ d 旷幻 岣m a ! x 。l e n j l 啕 对0 t l 一 ) + j = l 燃l ( 龇( 如) 一g ( t ) ) l i ( i t 一t j n 一 ) 由条件2 ，9 ( ) 在闭区间i 上连续，因而一致连续且有界的性质及其条件3 可得 综上所得 定理3 2 2 的证明 由于 z b _ + 0 o 8 蟊( ) 一g ( t ) 一0 1 , 8 反一卢= 靠2 毫蠡+ 靠2 需磊 t = 1t = 1 簖2 i = 1 毫蠡+ i = 1 2 毫岛+ 燧i 著( 勺i ；i 定i 靠2 1 7 西北大学硕士学位论文 于是由g 不等式可得 nnnn e i 反一卢i ，c ( 嚣印e l 定卯+ 靠劫e l 宴e t i ，+ e l ( w 。a t ；) e j 毫) i ，s z 2 ，) 其中 由于 = c ( 置。+ 历。+ 局。) 根据条件1 及式( 3 3 1 ) 知 e l n = e l 学i p = i 学i 苛l 2i 苛i 而由w h i t t l e 不等式及条件1 和条件2 得 易。= s p e i 宴龟i ，s 2 i 1 2 , 1 2 ( e l 岛i 一) ，2 j 。 c 簖9 芋一0 由w h i t t l e 不等式及条件2 和条件3 ( 1 ) 得 nn = s ( , e p e i 暖( ( 南) 酬r c 却【( y g w j ( t t ) ) 2 ( e i 勺| p ) ；】e ( 3 3 9 ) ( 3 3 1 0 ) 。跗i m a ：x 。w n j ( t i ) i 一0 ( 3 3 1 1 ) 综合式( 3 3 9 ) 一式( 3 3 1 1 ) 知e i 风一p 1 9 - - - - - 40 下面证明e l f f ( t ) 一g ( t ) l ，0 由文献嘲中的式( 3 1 3 ) 及条件3 ( 1 ) 可知 1 8 塑霹 酬 譬 枷 艘 一 一 - 兰 li 吕 吼一 墨畿 一 西北大学硕士学位论文 e i 靠( t ) 一e f f 。( t ) l e i w j ( t ) e j l j = 1 纠薹o ) e j l 9 髅i ( 1 9 一。 同理可以证明 e i e t 矗( t ) 一g ( t ) 1 9sc l w n j ( t ) l c l m 。a xi w j ( t ) l 一0 综合式( 3 3 1 2 ) ，式( 3 3 1 3 ) 知e i 蟊( t ) 一g ( t ) l p ，0 定理3 2 3 的证明 ( 3 3 1 2 ) ( 3 3 1 3 ) 壹( 只一毫反) ： 唬2 = 苎l 一 n ；喜瞬一鲫2 + ：娄蠡2 + ：砉也2 + 1 n nnnn i 峨( 卢一a ) 1 2 + i 磊( p 一厦) 亟+ ；磊( p 一反) 自+ n n n n n n i 萋彰一反) 五( p 一皮) + i 亟自+ i 善亟五一反) + i 五( 卢一反垃 由条件1 及定理3 2 1 知 ：阮( 卢一反) 】2 一o ( 3 3 1 4 ) 由于 ：争= 鸯2 一套c 喜酬卅：骞c 酬扩 1 9 峙 0 口 一 - 吼 。日 麟1 一n 一 铲 。m 1 一n 知”p 式由 西北大学硕士学位论文 s ：砉e i 2 + 滕i 薹n m 蚓；喜k l + 燃l ；n m 蚓2 显然 ：喜e 1 2 一矿：喜h i 一球“佗一o o ) 又由式( 3 3 2 ) 可得 ：喜磊2 一口2 慨s 埘 ：宝瞰卢一鲫2 一。 ” 又由条件1 和式( 3 3 1 ) 及定理3 2 1 可知 i 萎磊( 卢一虎城刮 又由条件1 和定理3 2 1 及式( 3 3 1 6 ) 可知 i ；喜础p 一反蚓。i j 一度似：喜磊2 ) ( ：喜翻p 一。 n s 类似于上式可证得 i ：喜磊和一厦胤卢一反) i 2 i p 一反阿( 磊1 备n 磊叫云备n 确。卢一。 由式( 3 3 1 ) 可知 i ；喜磊磊i z l m i “；n 引【( ：喜胡p 一。们 由式( 3 3 1 ) ，式( 3 3 1 6 ) 和定理3 2 1 可知 i ；喜蠡盂一厦) f z i p 一反i 盟喜引( ：喜弘一。n s 由定理3 2 1 ，式( 3 3 1 6 ) 可得 l 磊2 若n 盂( p 一反矧2 i 卢一反：n 磊2 ) ( ：盂2 ) 捧一。一 9 n 砷 砷 ” 动 印 1 1 l 2 2 2 z 3 3 3 s 3 3 a 置 p p n 0 慨 仁 似 西北大学硕士学位论文 轿首瓦【3 3 1 4 ) 一瓦慨3 2 卅口j 知靠_ 口s 下证引矗2 一a 2 i p 0 若将条件2 换成存在p 2 使得e l e l l 2 p o o ，e i j l l 2 p o o ，则定理3 2 2 成立 即e i 反一p i 印一0 利用g 不等式知 e i o , , 2 - a 2 1 9 c ( e 唛壹i = i 陋和一反) 】2 | p + 别：喜嗣9 + e 哇；n 磊2 一一p + e 唔酗n ( p 确】2 | 9 删：娄础p 嘲卯+ e i ：擎( p 确卯删：擎( p 嘲2 卯+ e 唔喜蠡甜+ e 唔喜亟五一反妒+ 引元1 善n 盂一盘蚓) e h 条件1 及定理3 2 2 可得 e l ；喜吲伊一鲫2 卜唔喜钥印一厦i 劫一。 ( s 3 2 4 ) 由式( 3 3 1 ) 可得 e 唔娄翮9 = 唼喜鲥9 燃；n 铲1 9 一。 ( 。s z s ) 对于 e i ；娄弘碉渊：喜弘一9 + - nn - nn e 畦e ；( w 3 ( t t ) 勺) 附e 嵯( ( t t ) 勺) 2 i ，) ( 3 3 2 6 l = ij = il = ij = l ；喜弘一2 西北大学硕士学位论文 又由于 f ：喜e ；i 咖= e i ：n e 2 l p c ，：e i e i i = p p ( a ) = e l e t l 誓p c a ，= 。( p ( a ) - - - , o ) 故 e 嚎妻e ；。i ，一。n - - + ( x ) ) ( 3 彻) 由w h i t t l e 不等式知 垃m a ! x 。引薹呲。矿 0 使 e ( p ( e l + u ) 一p ( e - ) ) l l u 2 ( i u l 0 及0 a 1 ，使e ( 妒+ ( e l - 4 - ) ) ；h 0 ( 岛)9 ( ) 在闭区间，上连续 当n 充分大时么( ) 满足 2 8 p毡 碥 。日 = k 。 西北大学硕士学位论文 ( d 。s 。u pl m s 。a s x 。w ( t ) = d ( 。”) n ( d 2 )s u p f h 名；( ) i 川屯一t i q 。) = 0 ( q 。) o s t s ld = l ( d a ) 其中= n - l o g n 定理4 2 1 如果a d 假设成立，则 蚪s pi 。w 艄j = ) a 。一8 0q s 定理4 2 2 如果a d 假设成立，则 首先给出一个引理 s u pi 蟊( ) 一9 ( 0 1 = 0 ( n 一 l o g n ) 0 主 l 4 3 定理证明 引理4 3 1 ( r a y l e i g h r i t z )假设a 是一个礼阶的h e r m i t e 矩阵 a l a 2 a 。是a 的特征值，则 一x ? a x x 。a x 3 - 2 蛩嚣丽2 贻丽 证明见文献【鹞) 下面给出定理的证明 定理4 2 1 的证明不失普遍性，不妨设p = 0 对矩阵a = ( 。巧) ，记i a i = 1 学i i 假设a 是一个n 阶的正定矩阵，a 12a 22 k 是a 的特征值，则 l a i a l( 4 3 1 ) 2 9 叫 = e 。d 一磊薯一 西北大学硕士学位论文 由引理4 3 1 有0 a ns 啦zsa l “= 1 ，2 ，n ) 则l m l “ n k a l 由s c h w a r z 不等式，易得式( 4 3 1 ) 设l 和p 。分别表示的最大和最小特征值，那么p 0 和p 分别表示 岛的最小和最大特征值，由式( 4 3 1 ) 有 0 0 表示它的p 个特征值，假设m n 使用 n e u m a n 中的不等式【1 q 有 掘2 = j = l 毒簖1 巧；等等 由p ，0 得到p ，- i c 纛，即p 毒：d ( 矗) 综合式( 4 3 4 ) ，式( 4 3 5 ) ，即得式( 4 3 3 ) 西北大学硕士学位论文 由第三章中的引理3 3 2 知，在假设c 和d 下有 。峨& 2 a 0 因而存在正常数c 及0 0 由于假设p = 0 则赢一p ：簖 成 i 簖；1 i ：d ( 卢i ) ：d ( n 一1 ) 口s 则 虎一0 = p n 8 即虎一p - - - - 40 口8 定理证毕 定理2 2 2 的证明由文献嗍中的式( 3 1 2 ) 有 ( 4 3 6 ) ( 4 3 7 ) s u pi 蟊( t ) 一g ( t ) i s u pi 靠 ) 一e g g ( t ) i + s u pl e 7 靠( t ) 一g ( t ) i = i i + 2 0 曼t 10 兰t 兰l0 s t s l 5 器曼f 著( t ) ( e j 一) + 薹( 砷 e ( 弼( 反一钟一巧( 磊一所 由假设d 及定理1 知 = o ( n 一 l o g n ) 2 s u p ，i g ( t ) 一9 ( s ) 卜2 s u p ，i g ( t ) l w j ( t ) l i ( i t 一t l n - l o g n ) + d ( 1 ) i t - s l ! n 一l o g n o ! 1 1 一j = l 由假设c 和假设d 知 如= o ( n 一l o g n ) 综上所得定理成立 3 1 西北大学硕士学位论文 本文主要做了以下工作 结束语 1 介绍了半参数回归模型的参数与非参数估计量的相合性与渐近性问题 2 把半参数回归模型拓展到半参数函数关系模型( 即部分线性变量含误差的模型) ， 对模型的参数与非参数进行估计，给出了参数与非参数估计量的强相合性，p 阶平均 相合性和渐近性，并得到了关于参数的一个大样本置信椭球估计及假设检验的结果 3 基于最小二乘估计的不稳健性，提出了参数的m 估计法，并讨论了参数在其m 估计下的相合性 由于本人能力有限，所作研究还很肤浅，本人认为该方向还有下面一些问题具有理 论和实用价值 1 m 估计是一种比较稳健的估计方法，如何把线性模型研究中积累的一套方法移 植于这一模型，或者更广泛模型的研究，得到更本质更有实用意义上的结果，这将是 一个富于挑战性的问题 2 关于文中解释变量中的z 与t 的观测均含有误差当然是最合理的，但是这也使 得问题更为复杂，如何在这种状况下研究模型参数的性质，目前还没有这方面的文 献，这也是一个重要而且困难的任务 西北大学硕士学位论文 参考文献 【1 】a r n o l d ，s t t h et h e o r yo fl i n e a rm o d e la n dm u l t i v a r i a t ea n a l y s i s j o h nw i l e ya n d s o u s ，n e w y o r k m 1 9 8 1 【2 】柴根象，孙平，蒋泽云半参数回归模型的二阶段估计应用数学学报1 9 9 5 ( 7 ) ，v 0 1 1 8 ， n o 3 ：3 5 3 - 3 6 3 【3 】柴根象，张文扬半参数回归估计的相合条件数学物理学报1 9 9 5 ，1 5 ( 3 ) ：3 0 3 - 3 1 3 【4 】c h e n ，h c o n v e r g e n c er a t ef o rp a r a m e t r i cc o m p o n e n t si nap a r t l yl i n e a rm o d e l a n n s t a t i s t 1 9 8 8 ( 1 6 ) ：1 3 6 - 1 4 6 【5 】陈建东线性模型参数m 估计的强收敛速度中国科学技术大学学报2 0 0 2 ( 8 ) ，v o l ，3 2 ， n o 4 ：4 2 6 - 4 3 2 6 】陈建东线性模型参数m 估计的强收敛速度大学数学2 0 0 2 ( 1 0 ) ，v 0 1 2 0 ，n o 5 ： 4 5 4 9 【7 陈明华固定设计下半参数回归模型参数估计的收敛速度应用概率统计1 9 9 8 ( 5 ) ， v 0 1 1 4 ，n o 2 ：1 4 9 - 1 5 8 8 】陈明华固定设计下半参数回归模型估计的相合性高校应用数学学报a 辑 1 9 9 8 ( 3 ) ，v 0 1 1 3 ，n o 3 ：3 0 1 3 1 0 【9 陈明华，任哲，胡舒合部分线性模型中估计的相合性数学学报1 9 9 8 ( 3 ) ，v 0 1 4 1 n o 2 ： 4 2 0 - 4 3 8 【1 0 】陈希孺，赵林城线性模型中的m 方法【m 1 上海科学技术出版社，1 9 9 7 【1 1 陈希孺，回归分析一百年中国现场统计研究会第十届学术特邀报告 2 0 0 1 ：1 8 【1 2 】c u i ，h j ，l i ，r c o np a r a m e t e re s t i m a t i o nf o rs e m i l i n e a re r r o r s - i n - v a r i a b l e sm o d - e 1 8 j m u l t ia n a l 1 9 9 8 ( 6 4 ) ：1 - 2 4 1 1 3 】d o n a l d ，s g a n dn e w e y , w k s e r i e se s t i m a t i o no f s e m i l i n e a rm o d e l s j ，m u l t i v a r i a t e a n a l 1 9 9 4 ( 5 0 ) ：3 0 - 4 0 1 4 】杜雪樵，一类半参数回归模型中m 估计的收敛速度合肥工业大学学报( 自然科学 版) 2 0 0 3 ( 1 2 ) ，v 0 1 2 6 ，n o 6 ：1 1 3 1 1 1 3 6 1 5 杜雪樵，妒混合样本回归参数核估计的强一致收敛速度合肥工业大学学报( 自 然科学版) 1 9 9 8 ，2 1 ( 3 ) ：1 0 6 - 1 1 0 西北大学硕士学位论文 【1 6 】e n 舀e ，r f ，g r a n g e r ，c w j ，r i c e ，j a n dw e s s i ，as e m i p a r a m e t r i ce s t i m a t e so ft h e r e l a t i o nb e t w e e nw e a t h e ra n de l e c t r i c i t ys a l e s j a m e r s t a t i s t a s s o c 8 1 ：3 1 0 - 3 2 0 【1 7 】e u b a n k ，r l a n ds p e c k m a n ，p c u r v ef i t t i n gb yp o l y n o m i n a lt r i g o n o m e t r i cr e g r e s - s i o n b i o m e t r i k a 1 9 9 0 ( 7 7 ) ：1 - 9 【1 8 】高集体，陈希孺，赵林城半参数回归估计的渐近正态性数学学报1 9 9 4 ( 3 ) ，v 0 1 3 7 ， n o 2 ：2 5 6 - 2 6 8 【1 9 】高集体，洪圣岩，梁华部分线性模型中估计的收敛速度数学学报1 9 9 5 ( 9 ) ， v 0 1 3 8 ，n o 5 ：6 5 8 - 6 6 9 2 0 】h e c k m a n ，n e s p l i n es m o o t h i n gi nap a r t l yl i n e a rm o d e l j r o y s t a t i s t s o c s e t ( b ) 1 9 8 6 ( 4 8 ) ：2 4 4 - 2 4 8 2 1 】h o e f f d i n g ，w p r o b a b i l i t yi n e q u a l i t i e sf o rs u m so f b o u n d e dr a n d o mv a r i a b l e s j a m e r s t a t i s t a s s o e 1 9 6 3 ( 5 8 ) ：1 3 - 3 0 【2 2 】洪圣岩，赵忠柏偏线性模型的核最i b - - - - 乘估计的浙近性质数学年刊1 9 9 3 ( 6 ) ， 1 4 a ：7 1 7 - 7 3 1 2 3 】h u b e r ，p j r o b u s te s t i m a t i o no f al o c a t i o np a r a m e t e r a n nm a t hs t a t i s t 1 9 6 4 ( 3 5 ) ： 7 3 - 1 0 1 【2 4 h u b e r ，p j r o b u s tr e g r e s s i o na n ns t a t i s t 1 9 7 3 ( 1 ) ：7 9 9 8 2 1 【2 5 】l i a n g ，h a s y m p t o t i ce f f i c i e n c yi ns e m i p a r a m e t r i er e g r e s s i o nm o d e l ，p h d t h e s i s ， i n s t i t u t eo fs y s t e m ss c i e n c e ，a c a d e m i as i n i e a ，1 9 9 2 【2 6 】马俊玲，吴可法，聂赞坎关于半参数函数关系模型的渐近性数学年刊，2 0 0 2 ( 4 ) ， 2 3 a ：4 7 5 - 4 8 2 【2 7 1m a ，j