（概率论与数理统计专业论文）d族相依随机变量的随机加权和的尾概率的渐近估计.pdf

摘要 摘要 本文研究的是一列口族两两渐近独立的同分布的随机变量的随机加权和的 尾概率的渐近估计其中的随机权列独立于该随机变量列我们仅要求权序列的 矩满足一定条件，而不对其相依结构做限制在本文的最后，我们给出了所得结 论在离散时间风险模型中的应用 关键词：重尾分布，d 族重尾分布，两两渐近独立，随机加权和，渐近估计，离散时 间风险模型 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ea p p r o x i m a t i o no f t h e t a i lp r o b a b i l i t yo f r a n d o m l yw e i g h t e d 双l so fas e q u e n c eo fp a i r w i s ea s y m p t o t i c a l l yi n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sw l t ha c o 舢【n o nd o m i n a t e a l l y - v a r y i n g - t a i l e dd i s t r i b u t i o nf t m c t i o n t h ew e i g h t s a r ei n d e p e n - d e n to ft h ef o r m e rs e q u e n c e ，s a t i s f y i n gs o m ea s s u m p t i o n sa b o u t t h em o m e n t s b u tn o r e a u i r e m e r i t so nt h ed e p e n d e n c es t r u c t u r eo f t h ew e i g h t sa r ei m p o s e d w ea l s og w e a n e x a m p l eo ft h ea p p l i c a t i o n o fo u rr e s u l t sa tt h el a s tc h a p t e r k e y w o r d s ：h e a v y t a i l e dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n , d o m i n a t e d l y 。v a r y i n g t a i l e dd i s t r i b u t i o n 胍t i o n ，p a i r w i s ea s y m p t o t i c a l l yi n d e p e n d e n t ，r a n d o m l yw e i g h t e ds u m ，a s y m p t o t i c e s t i m a t e ，d i s c r e t et i m er i s km o d e l g i 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科 学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅，可以将学位论文编入中国学位论文全文数据库等有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。 保密韵学位论文在解密后也遵守此规定。 函公开口保密(年) 作者签名：墅兰 签字日期：兰堕耳 导师签名： 签字日期：竺竺：乡：夕 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 有限和无限的随机加权和以及有限随机加权和的极大值的定义 本文中， 五，i = 1 ，2 ，) 代表一列同分布的实值随机变量，记其共同的分 布函数为f 以 e ，i = 1 ，2 ，) 记一列与 五，i = l ，2 ，) 相独立的非负随机 变量列，并把它们作为权序列记 五，i = 1 ，2 ，) 的有限与无限的随机加权和 如下： 其中矿表示z + = m a x z ，o = zv0 记前礼个有限随机加权和的极大值以及所有 有限随机加权和的极大值如下： 磁2 。瑟器，扎1 ；蛾2 。s m 仇a 是相互独立的 如果我们在时间段i 结束时计算净损失五，i = 1 ，2 ，那么直到时间段n 结 束为止的盈余( 用表示) 为： 一 w o = z 0 ，显然此处z 表示初始资产； l 科 晚 ：l l | 蹬 瓦q 汹 = 咒 1 一 竹 墨 e n ：l i l 畿 第1 章绪论 = ( 1 + r ) 一1 一墨，n = 1 川2 一 此外易知从时i 司段i n i 一1 的随机折现凼子为： = 志； 而从时间段t 到初始时刻的随机折现因子为： e t = i i 巧 于是直到时间段竹结束为止的盈余也可以表示为： = 击c z 一喜。t k 又时间段他结束时的破产概率的表达式为： 妒( z ；礼) = p r ( 1 r a 胁i nw k o i = z ) ； 以及该模型的最终破产概率的表达式为： 妒( z ) 2p r ( 1 m 后i z ) 就是在时间段n 结束时的破产概率；而我们考虑的所有有限随机加权和的极大值 的尾概率 v r ( s 曼 z ：对某1 n 刀) 则是最终破产概率 值得一提的是：这个模型要求净亏损和回报率各自满足独立性，而在应用中 独立性要求往往是不实际的不管是净亏损之间还是回报率之间都是有可能有一 定的联系的比如对保险公司来讲，其各个索赔事件之间就可能有很强的联系，如 发生地震所造成的索赔回报率之间的相依关系是比较微妙的，就我们所知，这方 面的很多研究都是对回报率的相依性结构不加限制的更多关于离散时间风险 模型以及有限与无限破产概率的知识可以参考文献n y r h i n e n ( 1 9 9 9 ，2 0 0 1 ) 和t a n g 一( 2 0 0 4 ，2 0 0 5 ) 一 2 第1 章绪论 1 3 回顾本课题的相关研究 由于随机加权和及其极大值的渐近尾概率的估计在保险和金融中应用很广 泛，很多学者进行了这方面的研究下面我们就按时间顺序来回顾一下关于随机 加权和及其极大值的尾概率的相关研究在以下引用的文章中，都是假设权序 列 e i ，i = 1 ，2 ，) 非负，且与 五，i = 1 ，2 ，) 相独立 r e s n i c k 和w i l l e k e n s ( 1 9 9 1 ) 中的定理2 1 是较早的结论该结论在一维情形下 可叙述为：如果权序y u o ， = 1 ，2 ，) 满足如下假设： ( 1 ) 若0 q 0 ，使得： e e 0 ，使得： ( e e ) 邵1 z ) 一f ( z ) e e 7 ( 1 1 ) i = 1i = 1 ( 此处以及以后，在没有特别说明的情况下，极限都是在z - - + o 。时所作 并且在本文中，我们会用s ，乏和一来连接两个函数 ( z ) ，丘( z ) ) ，其意义如下： f l ( x ) 焉丘( z ) 当l i m s u p 王击藩1 ； ( z ) 乏厶( z ) 当l i m i n f z - + 凳黯1 ； ) 一，2 ( z ) 当l i m 霉_ 。凳澄= 1 ) t a n g 和t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 3 a ) 对来自cn 口族的实值独立同分布随机变量 列 五，i = l ，2 ，) 推导了前他个有限随机加权和的极大值织的尾概率不 过他们的结论是特别针对离散时间风险模型而作的，即要求权序列有如下的特别 的形式： o t = ik ， k = l 其中 k ，k = 1 ，2 ，) 是满足如下条件的非负独立同分布的随机变量列：对 某p 玷，e p 名) 一p r ( x m z ) ( 1 2 ) i = l j 2 l k = li = 1 3 南 可 口七 e e 脯 第1 章绪论 同时，t a n g 和t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 3 b ) 在要求权序列 e t ，i = 1 ，2 ，卜一致有界下， 分别对来自几种重尾分布族的实值独立同分布随机变量y u x i ，i = 1 ，2 ，) 研究 了有限随机加权和及其前扎项的极大值蛾的尾概率他们的结论包括： i ) 如果f s ，且对所有的1 i 礼，存在某一对常数0 z ) 一p r ( 。m a x n o 七尥 z ) 一p r ( e 知尥 。) ； i i ) 如果f cf 3 刃，且对所有的1 钆，存在某一常数0 b 0 0 使 得p r ( o e i b ) = 1 ，则上式仍然成立 此后，t a n g 和t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 4 ) 对来自e r y ( 一q ，一声) 族的独立同分布的 五， i = 1 ，2 ，) 证明了关系式( 1 2 ) 对n 是一致成立的他们的结论如下： 如果对某0 6 2 ) 一p r ( e 惫耐 留) 一f ( z ) e e 乏 ( 1 3 ) 同时，他们也得到了有限随机加权和的尾概率估计的关系式：如果存在某巧 0 r 得e e 2 埘 0 0 ，对所有1 忌t , 都成立，则有： p r ( 1 m 。) 一f ( z ) e e 委 ( 1 4 ) w a n g 等( 2 0 0 5 ) 研究了来自c 族的独立同分布的实值随机变量列_ 【五，i = 1 ，2 ，) 的前衍有限随机加权和的极大值磁的尾概率在假设他们的共同 分布函数f 的m a t u s z e w s k a 指数满足：0 ；玷 o o ，以及假设对某满 足o z ) 对所有的n = 1 ，2 ，一致成立也即： 撬嚣l 基褊一1 l = 0 第1 章绪论 c h c n 和s u ( 2 0 0 6 ) 在对密度函数做一定限制下证明了式( 1 2 ) 对任意n = l ，2 ，都成立他们的限制条件如下： a ) 分布函数f s 绝对连续，其密度函数，( z ) 满足如下性质：当z 充分大时， 刃，( z ) 非升 b ) 对任意固定的a 0 ，有 恕嬲一o c h e n 等( 2 0 0 6 ) 对来自冗一a 族的实值独立同分布的随机变量 五， = 1 ，2 ，) 的所有有限随机加权和的极大值峨的渐近尾概率做了研究他们假设权序 列 o i ，i = 1 ，2 ，) 的每一元e t 都有有限上界，即： c k = c ( o k ) = s u p c ：p r ( o k c ) 1 ) o o ，k = 1 ，2 ， 且假设这些上界满足： 萎c 2 o o ，对某o 站使得对所有的i 1 ，有e e 詈 0 ，f r 一口，则对每一仃= 1 ，2 ，有： i i ) 如果f e r v ( 一口，一卢) ，( o o l 卢 。) ，且对某o 僻“ p z 畿 p q ； ee n 甜 刀 一f 刀 蟛k p 刀 畿 “ p 刀 砭 e “ p n 似 z 蠼“ p 第1 章绪论 关于此阶段的随机加权和的其他结论，读者可以参阅一些其他文献，比 如g e m ( 和d ev r i e s ( 2 0 0 6 ) 等 至此，所有文献都假设随机变量列 x ， = 1 ，2 ，) 是独立同分布的虽然 独立性假设为数学处理带来极大方便，但却对结论的应用带来一定限制很多学 者也注意到了这个问题他们开始研究 五，i = 1 ，2 ，) 满足某种相依性时的随 机加权和的尾概率的渐近估计 。 w e n g 等( 2 0 0 9 ) 假设 x ，l = 1 ，2 ，) 是上尾独立( 本章所涉及到的相依结构 的定义在第二章中给出) 且同分布的，其共同分布函数f 冗一口( 口 o ) 但他们 研究的权序列不是随机的，而是如下形式：记 n ，i = 1 ，2 ，) 是一常数序列，其 中n 0 ，i = 1 ，2 ，；权序列为：e i = 1 - i ；：1 而1 ，i = 1 ，2 ，他们得到如下的 结论： p r 麟妻e t 五 z 一p r z 一f c z ，喜e ； 如果墨1e 一f c z ，喜o o e z h a n g 等( 2 0 0 9 ) 在假设 五，i = 1 ，2 ，) 是来i 刍e r v ( - a ，一卢) 族的实值上尾 独立且同分布的随机变量的情形下，研究了随机加权和以及他们的极大值的渐近 尾概率之间的关系该文中他们假设 五，t = 1 ，2 ，) 和 0 t ，i = 1 ，2 ，) 满足 以下条件： i t l 0 q 卢 o 使得对所有的i 1 有：e e ? + 石 z ) 0 0 ；以下两式中任一式成立： ( 1 ) 5 0 卢 1 时，存在0 巧 口使得卢+ 6 1 ，且： e e c o ；e e r o e ； ( 2 ) 当1 p o o 时，存在0 6 q 使得： ( e e ) 南 z ) i = 1p r ( e t 五 蛾 詹0 0 p r ( 。m 鳜a x 。葛e t 五 z ) p r ( 若e t 对 z ) i = 1p r ( e t 五 n c h e n 和y u e n ( 2 0 0 9 ) 则引入了两两准渐近独3 _ f f _ ( p a i r w i s eq u a s i a s y m p t o t i ci n d e p e n d e n c e ) 这种相依关系他们研究的随机变量列 五，i = 1 ，2 ，) 是不同分布的 记这列随机变量的分布函数为毋，尼， 在假设对某p j + 1v v 蕞，非负权序列 e i ， = 1 ，2 ，) 满足e q z ) 一p r ( o x i z ) 在假设h 2 中的( 1 ) 和( 2 ) 成立的条件下，对来i ! ie r v ( - a ，一卢) 族的 五，i = 1 ，2 ，) 他 们得到如下关系式： o o p r ( 0 i 五 z ) 一p r ( o t 五 z ) 本文中，我们将推广z h a n g 等( 2 0 0 9 ) 的结论到来自d 族的实值两两渐近独立的 随机变量y u x ，i = 1 ，2 ，) 本文余下的内容如下：在第二章中我们将给出一 些预备知识以备用；在第三章中给出有限随机加权和畿及前佗个有限随机加权和 的极大值 程的尾概率的渐近估计；在第四章中则给出无穷随机加权和j s 髫以及所 有有限随机加权和的极大值蛾的尾概率的渐近估计；在第五章则给出本文的主 要结论在离散时间风险模型中的应用 7 第2 章相关知识 第2 章相关知识 2 1 一些重要的重尾分布族 在相关的研究中，通常都是假设随机变量x 的分布函数f 是重尾的我们说 一个随机变量x 或一个分布函数f 是重尾的，是指该随机变量或该分布函数不存 在指数阶矩，即 e e t x = e 切d f ( x ) = 0 0 ，v t 0 重尾分布在应用概率中应用很广，如应用在分支过程( 见0 h i s t y a k o v ( 1 9 6 4 ) ， c h o v e r 等( 1 9 7 2 ) ) 以及风险理论的研究( 见k a l a s h i n i k o v ( 1 9 9 6 ，1 9 9 7 ) ，e m b r e e h t s 等( 19 9 7 ) ，a s m u s s e n 等( 2 0 0 0 ) ) 下面我们介绍一些重要的重尾分布族 我们说一个分布函数f 是c 族( 1 0 n g t a i l e d ) 的，记作f c ，如果对任意y 0 ， 有 l i m 必：1 善- + o o f ( x ) 我们说一个分布函数f 是秒族( w i t hd o m i n a n tv a r i a t i o n ) 的，记作f 口，如果对 任意y 0 ，有 h m s u p 裂 0 ， 矾们2 南 于是我们有：l f = l i m v a a - ( 可) = 1 l i m 计l 矿( ) 这个等式在本文后面多次用 到此外，由c 族的定义易知：对f c ，l f = 1 一 第2 章相关知识 2 3 关于d 族的一些引理 下面关于f 口的引理在本文后面会用到 引理1 如果f 口则o 蛞玷 1 给出的，但是由他们的证 明过程我们发现此结论对入 o 也同样成立此外，根据这个引理，易知? p r ( o x z ) p r ( x z ) ，亦即： 。 x ) 去，s 全s u p i le 哪 0 ，可以选择充分大的t 1 t o 使得当亡 t l 时，万( a 亡) ( 1 + e ) 矿( 入) f ( t ) 对 任意t t “ 瓦( 寿) 百t ) 瓦( 亡) 二f ( 去) 瓦( t o ) 硬( 寿) 一f ( 去) l ，e 哦 二( 音) p f ( 去) l s 碍 二l 护f ( 去) 由引理1 ，我们有：l i m t f f ( t ) = o 。于是对任意e 0 ，可以选择- - t 2 使 得南 2 成立所以我们可以选择某t 3 m a x t 2 t 。，t 1 ) 使 得 一 磊 “ p 第2 章相关知识 命题1 对于随机变量 五，i = 1 ，2 ，) 和实函数 ( ) ，i = 1 ，2 ，) ， 例如果 五，i = 1 ，2 ， 是u n d ( l n d ) 的，【五( ) ，i = 1 ，2 ，) 都是单调递 增的，则 ( 五) ，i = 1 ，2 ，) 仍然是u n d ( l n d ) 的随机变量? 例如果 五，i = 1 ，2 ，) 是u n d ( l n d ) 的， 五( ) ，t = l ，2 ，) 都是单调递 减的，则 ( 五) ，i = 1 ，2 ，) ；黾l n d ( u n d ) 的随机变量j 例如果 咒，i = 1 ，2 ， f l e n d 的， 五( ) ，i = 1 ，2 ，) 都是单调递增绒者都 是单调递踟的，则 五( x ) ， = 1 ，2 ，) 仍然是d 的随机变量? 例如果 五，i = 1 ，2 ，) 是非负的并且是u d 的，则对每佃= 1 ，2 ，有： e ( 五) i i e 五 z h a n g 等( 2 0 0 9 ) 的结论是对由一个二元c o p u l a 函数引入的上尾独立的相依 结构( u p p e rt a i li n d e p e n d e n c e ) 所作的如果二元随机向量x = ( 墨，恐) 的边际分 布函数只和咒都连续，则由s k l a r 定理( 见定理1 ，或见n e l s e n ( 1 9 9 8 ) 或j o e ( 1 9 9 7 ) ) ， 墨与恐的相依结构可以由一个二元c o p u l a 函数c ( z ，) 完全确定，并且墨与恐的 联合分布函数可以表示为c ( f 1 ( z ) ，疋( z ) ) 下面我们引入j o e ( 1 9 9 7 ) 关于尾相依 和尾独立的定义 定义2 f j 鼋相依与尾独立) 假设二元c 叩“肠函数馓得极限 入：l i m 生掣剑 p l l 一弘 存在如果0 z ，恐 z )= 1 一p r ( x 1 z ) 一p r ( x z z ) + p r ( x l z ，x 2 z j 例上尾独立比负相依更容易验证一方面检验上尾独立仅仅需要检验随机变 量列两两之间的相依性? 另一方面c 叩“肠函数的引入使得对于随机变量两 两相依性的检验转化为验证函数的一些极限性质 俐上尾独立的c 掣“肠函数有很多：比如砌以浩渤m 6 p m 勿曙朗s 招朋( f g m ) c o p u a 函数就是上尾独立的n 维粥坛分布函数如下： ( 1 + l i z im a x x x ，x 2 z ) = 0 欲了解此相依结构的更多知识，读者可以参考c h e n 和y u e n ( 2 0 0 9 ) 以及该文 中所引入的文献 此夕b g e l u k 和t a n g ( 2 0 0 9 ) 引入过如下的相依结构： 定义5 ( a s s u m p t i o na ( g e l u k 幂l l t a n g ( 2 0 0 9 ) 矽假设随机变量族 x ，1 i 礼) 满y - - 女t 的相依关系： ，1 i m ，p r ( i x i l 鼢1 玛 巧) = 0 m m 协，叼，一+ o o 对所有的1 l 歹礼均成立 一 第2 章相关知识 和 显然这个相关性即是如下两个关系式的组合： l i m 、p r ( x i 墨l 码 巧) = o ； m i n x t ，即卜+ ”。 “ 。 l i m 、p r ( x i 巧) = 0 m i n x i ，即) + “ 注3 似上引入的各种相依结构之间的关系，) 例以上引入的在各篇文章中讨论到的相依关系均体现了一个思想：t h e p r i n c i p l eo f as i n g l eb i g j u m p 也即极值( e x t r e m ev a l u e ) 的出现是小概率事件， 在已知一极值出现的情况下，出现第二个极值的概率，随着极值趋向于无 穷，是趋向于零的 例当 冠，蕾= 1 ，2 ，) 同分布时，若满足d 相依结构，则满足上尾独立，两 两渐近独立，以及准两两渐近独立相依结构后三种相依结构在 五， = 1 ，2 ，) 同分布时是等价的，而觑j i 并口死愕( 2 0 0 9 ) 中引入的相依结构比这 三种相依结构要强 例上尾独立和两两渐近独立比d 结构易于验证但是他们也包含了很多常 见的相依结构比如：负相伴 定义6 像相伴创有限的随机变量族 咒，1 佗) 被称为负相伴的，如果对每 对a 1 ，a 2c 1 ，2 ，礼) ，a 1na 2 = 仍，以及每对依坐标单增的使得下列协 方差存在的函数 ，厶，有： c 伽 六( 拖。，k l a 1 ) ，先( 瓦：，k 2 a 2 ) ) 0 无穷随机变量族被称为负相伴的，如果它的任意有限子族都是负相伴的 1 7 第3 章关于有限随机加权和醒及极大值磁 本章内容分布如下：在第一小节中，我们首先叙述主要定理；然后在第二小 节中给出一些在第- - d , 节中将要用到的引理；在第- d , 节中我们证明本章的主要 定理 3 1 本章的主要定理 定理2 假设 五，i = l ，2 ，) 是一列实值同分布的两两渐近独立的随机变量，且他们的 共同的分布函数f d 而 e t ， = 1 ，2 ，) 是另一列与 五，i = 1 ，2 ，) 相独立 的非负随机变量列又设对某个p 站和所有的 l a - e e l z ) 一p r ( 磁 z ) 焉f ( z ) e m a x e i ，e ) ； i = 1 t = 1 例如果f 冗一口，则对任意固定的有? 1 9 p z 拖 e “ p ： 一f l 蠼“ p 畿“ p 硷 e “ p n 试 p l 动 溉 e “ p n 简 以f l 耐 e n ：l k p 磁e “ p 馆：i z 对 e 竹：i “ p 茁 蠼“ p z 醒 “ p z 磁 e “ p n 斌 口i ee n：l zf z 蠼“ p z 霞“ p z 鼍e ：， p n：l 3 2 一些引理 引理4 设 五，i = 1 ，2 ) 为两同分布的随机变量，且其共同分布函数f 口假设非负随 机变量 e l ，i = 1 ，2 ) 与 五，t = 1 ，2 ) 相独立如果x 1 和是渐近独立的，且对某 佃 玷，有e 哪 z ，e 。恐 z ) ( 见。+ 位。) p r ( 墨 詈，托 e e 詈) d g ( s ，t ) 厶 p r ( 墨 詈，恐 7 巾) ，! d c ( s + o o p r ( 墨 詈，恐 詈) z 3 嬲( 印) p r ( 墨 詈，尥 詈) d g 2 ( t ) + z o o p r ( 五 詈，恐 e 5 ) d c - ( s ) = ：1 1 + j 1 2 首先处理厶对某仰 玷，由引理1 ，存在正的常数c 和d ，使得 器蚓争yf ( z ) 一 、7 对所有z y d 都成立于是 = c z l + 号+ f m c 五 詈胁够 = ：l 1 + l 2 + l 3 对l 1 ，由渐近独立的定义知： lii霉n+8。1p霸两l1 霉o o 工、，o z 以， l i m s u p 霉 o o l i ms u p o 斗o 。 = 0 1 警群础)op r ( 恐 z ) 扒吖 p r ( x 1 z ，恐 z ) p r ( 恐 z ) 下面看l 2 当1 t 参，有名詈d 于是由引理1 得： p r ( x 1 詈， 詈) p r ( x = z ) p r ( ；) p r ( 咒 z ) 号) z ) xp r ( x 2 z ) 以及f = 1 ，2 这两种情形的对称性，这个引理的证明就完成了 口 引理5 设x 和e 为两独立的随机变量，且e 是非负的又设x 的分布函数f 是d 族的，且满 足 撬掰= o 擐百薇了芽2 u 如果对某含p j + ，e o p 0 ，我们有 一pr-(ozx忑- 玷，有e o p 。) 焉蛎1 p r ( e t 五 。) i = l 下面先证明式( 3 3 ) 对任意f l ， n p r ( e i x i z ) i = l 对于l ，有 1 p r ( n t = l 7 1 e t 五 z ，u e t 五 ：z ) i = 1 1 t s n 0 。五 z ，e x l z ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) n 一p r ( 0 。五 z ，e k x k 缸，e q 2 z ) 1 七g n 8 = 1 = ：a 1 一2 n7 1 p r ( e 。五 一( z 一1 ) x ，9 五 l z ) i = 1 a = l ，8 i n p r ( e i x i b ，n e j x j i = l j t ，l z ) ：1p r ( e i x i z ) 一而i - 1z ) )亿一上。 p r ( e , x j j = l , j # i l i m i n f 嚣 t 0 0 2 2 1 竺l p r ( o i x i x ) 瓦( f ) l 七q np r ( o k x k i x ，e g 蜀 i x ) 銎1p r ( o i x i z ) ：i f 乙 万 磁 e n 甜 “ p n ：l “ p n 耐 “ p l 七口n h m s u p 黼- o - 最后一个等式是根据引理4 和口族的定义得到的 于是， l i m i n f 霉+ 。o p r ( 銎1e i 五 刀) 怔n1p r ( o i x i z ) i 、m f ( ) = l f 至此( 3 3 ) 式得证 下面证明式( 3 4 ) 首先我们注意到这样一个事实：对任意z 0 和任意i 1 ， p r ( o i x 产 z ) = p r ( o i x i z ) 于是对任意去 z ) e t 砧 弘z ) ) e i 耐 p r ( o i 对一z ， o = ：p r ( e t 五 p z ) + 3 i = 1 因肛 1 鸭我们有丢 暑，于是： 3 = e t 耐 历，n j = t e t 耐 刃 ( o j x ? 肛z ) ) 竹 e i j 9 z ，f q ( o j x ? p z ) ) j = l e t 对 ( 1 一肛) z ，e 知对 罢) p r ( e 五 而1 - # 彩，e 溉 p r ( e t 而1 - # z ，e 七 岩刀) 由弓i 理3 ，我f l 矢口e i ) 迟口，t l i m s u pp r ( o i 五 z o o l i m s u p o - - t o o 1 ，于是 措z ，o k x k ：1 尸( e t 托 z ) p r ( o i x i 糟z ，e 七托 岩z ) p r ( o k x k 岩z ) p r ( o , x k p ( o k x k z ) 2 3 一 一 互埘 e l 八 石八l n 一 曷晕h 卜 n u 甜 “ p z ) i i nsux-oop警i=1黼1、cia 厶1 t 山， = 0 ，墨1p r ( o i 咒 p z ) z ) - 1 1 骢警夔赫黼 下面看式( 3 2 ) ： n p r ( 0 t 五 z ) i = 1 由引理4 ，我们有 l i m s u p + o o 于是： 4 1 黯i iy * ( 1 # ) = 写1 n p r ( u ( e , x t z ) ) i = l p r ( o 耐 z ) 一p r ( e , x + z ，o j 对 z ) i = l i i # j ；n 住 = ：p r ( e i x + i = 1 警1 p r ( o t x + z ) l i m i n f z z ) 一4 p r ( ：1e i 对 z ) 銎1p r ( o i x + 。) 模仿式( 3 1 ) 的证明过程，我们得n - 至此，我们完成了定理2 的证明 p r ( o i x ，9 j x 亨 曲 p r ( o j x + l ； l i 罂矿( p ) = 耳1 一p l ”7 z ) 口 叭啪m 沪 点n 町如 下的假设中任意一条成立： 如果0 o ，站+ 6 = ：沈 1 ，且下式 成立： o o e e ? ， 。；e e ? 2 0 一叫去+ 6 = ：p ，且下式 成立： 则有如下结论： o oo 。 l f p r ( o i x i z ) 焉p r ( 圮 z ) 焉厶；2 p r ( o i x i z ) ； ( 4 3 ) i = 1i = l 和 o 。 p r ( o i x i z ) 焉p r ( 蹭 z ) 焉l 于p r ( o i x t 历) ( 4 4 ) i = li = l 注5 体定理结论对其他重尾分布族的特殊形式) 例如果f c ，此定理的结论为： 0 0 p r ( 哦 z ) 一p r ( 蹭 z ) 一p r ( e 五。) ； i = 1 2 5 芍 z ) 一p r ( 蹬 z ) 一p r ( e i x i z ) 一f ( z ) e 0 7 i = li = i 4 2 一些引理 引理6 记x 和e 为两相互独立的随机变量- i z x 的分布函数f 满足：f 口j0 跖 站 o o e 是非负的则对任意固定的且满足o p l 昨站 刃) = p r ( o x $ ，e x d 2 ) + p r ( o x 茹，x l d 2 e 1 ) + p r ( o x z ，e z d 2 ) d 2 ，我们有 珊c x z ，吖如嚣焉蜊 z 磁e “ p ：l 万 、于dpi e 口t e觚me ：l 一f 砭 e “ p 谢 一 e 巩 掘 叫 xn 即厂 l l l i 易 q f ( 。) e e p 2 。 同样地，应用不等式( 2 1 ) ，对任意z d 1 ， j 1 3= e p r ( o x z ，0 z ) c t ( z ) e e 1 v e e 2 ( 4 6 ) 当假设矽成立时，对充分大的 ，我们有e 哪! ve 喏2 ( e 哪! ) 者v ( e o i 2 ) 者。于 是在定理3 的条件下，式6 ) 的右端是有界的 引理7 设和0 为两相互独立的随机变量设x 的分布函数f 口e o 是非负的则对 任意固定的p 岵，存在正的常数c 使得对所有的z 0 ，有下式成立： e ( o x + ) p i ( o x 万) cp r ( o x x ) x p 证明i 扫t a n g 和t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 3 a ) 中的引理3 9 ，o x 的分布函数日是1 9 族分 布，且咭= 砖- 于是n h e j i n l ，对任：新( 岵，p ) ，存在正的常数c u f g d 2 使得，对所 有的。y d 2 ，下式一致成立： 器q ( 于是当z d 2 时， j 5 7 ( o x 中枷剑矿扩器c z 嚼( 破 这里以及以后，c 表示一个正的常数，它代表的数在不同地方值可能不一 样当z d 2 时， e ( o x + ) p 厶e x 纠一h ( t ) d t c z 仉+ ( 翮舻 z j l f 1 譬m + 】p r ( o i x z ) 、 一1 m s u