（应用数学专业论文）非线性三阶三点边值问题的正解.pdf

硕士学位论文 摘要 近年来，三阶常微分方程边值问题受到了人们的广泛关注，所用的工具有锥上的拉 伸与压缩不动点定理( 或称为g l l 0 1 r 蹒n o s e l s l l 【i i 不动点定理) ，l e g g e 仳w i l l i 锄s 不动点 定理和五个泛函的不动点定理等 本文主要研究一类非线性三阶三点边值问题正解的存在性与多重性文中首先构造 了相关的线性边值问题的格林函数；其次通过一种新的方法得到了格林函数的一些重要 的性质；最后运用不同的不动点定理得到了所研究的三阶三点边值问题正解的存在性与 多重性结果 全文共分四章：第一章引言主要介绍有关边值问题的发展概况、本研究课题的学术 背景及理论与实际意义、本研究课题的来源及主要研究内容 第二章分别运用c h l 0 鼬镪n o s e l s k i i 不动点定理和不动点指数理论得到了边值问题至 少一个和至少两个正解的存在性 第三章运用l e g g e t t w i l l i 锄s 不动点定理得到了边值问题至少三个正解的存在性， 继而j 我们证明了对任意的正整数m ，边值问题至少2 m 1 个正解的存在性 第四章研究边值问题在非线性项满足奇异性条件下正解的存在性 本文与众不同的地方在于：据作者所知，文中所考虑的边值问题是没有人涉及过的； 研究格林函数的性质所运用的方法也是新的这对研究边值问题的人有一定的启发事 实上，本文的研究成果已被推广和引用 关键词：三阶三点边值问题；格林函数；正解；锥；不动点定理 非线性乏阶三点边值问题的正解 a bs t r a c t r e c e n t l y ，t l l i r d o r d e rb 0 1 u l d a d rv a i u cp r o b l e i l l sf o ro r d i n a 巧d i 腩r e n t i a le q _ u a t i o i l sh a v e r e c e i v e dm u c ha _ t t e 嘶o n t h e1 l s e dt o o l s2 u r et l l ef i x e dp o i l l tt h e o r e mo fc o n e 【p 卸s i o na n d c o m p r e s s i o n ( o rc a l l e dg u o l 渤s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r 咖) ，k g g e n - w i l l i a l l l s 做e dp o m t h e o r e m ，t h ef 如ef 妇c t i o n a l sf i x e dp o i n tt h e o r e m 觚i ds oo n t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yd i s c l i s s e st h ee x i s t e n c ea 1 1 dm u l t i p l i c 时o fp o s i t i v es o l 埘o l l sf o r ac l a 鼹o fn o n l i i l e a rt 1 1 砷o r d e rt h r e c 巾o i n tb o l m d a 巧v a h l ep r o b l e m i n l i sd i s s e r t a t i o n ，f i r s t 堍 m e ( h e n sf i l l l c t i o nf o rt h ea s s o c i a t e dl i n e a rb o l l n d a r yv a l u cp r o b l 锄i sc o 璐仇l c t e d ，锄d l h 钮，s o m el l s e 龟lp r o p e r t i e so ft l l eg r e 饥sf i l n c t i o na r eo b t a i n e db yan e wm e t l l o d f i n a l l y ， 甑i s t e n c e 锄dm u l t i p l i c 时r e 跚l t so fp o s “i v es o l 埘o n sf o ri h eb 0 吼d a 巧v a l u ep r o b l e m 盯e e s t a b l i s h e db yl l s i n gt h ed i f f e r 钮tf 诙e dp o i mt l l e o r e m s t h ep a p e ri sd i v i d e di n t of 0 l l rc h a p t e r s ：i nc h 印t e ro n ew e 劬柏d u c eas u n ，e ) ，t 0t l l e 出e l o p m e n to fb o u n d a 巧v a l u ep r o b l e m s ，t h es c i e n t i f i cb a c k 舀饥m d ，t l l e o r e t i c a l 龇i dp r a c t i c a l s i g n i f i c a n c eo ft h i sr e s e a r c ht o p i ca n dm es o u r c e 趾dm a i nc o i l t e 】吐so fm i sp a p e r i nc h 印t e r 腑o ，w e0 b t a i nt h ee x i s t c er e s u l t so fa tl e a s t0 n ep o s i t i v es 0 1 u t i o n 锄da tl e a s t 铆op o s i t i v es 0 o 璐f o rt h eb o l m d a d r l u ep r o b l e ml l s i n gm eg 1 1 0 一k n 蛳o s e 酞i i 触c d p o mt 1 1 e o r e l n 孤dt h ef i x e di n d e xt l l e o 朋n ，陀s p c c 6 v e l y i nc h a p 锨t h r ，w ee s t a b l i s ht h ee x i s t c n c er e s u l to fa tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l 埘o i 塔b y l l s 吨t l l ew e l l k n o w nl e g g e t t w i l l i 锄sf i x e dp o i n tt h e o 砌1 f 珊l e m o r e ，f o ra r b i t r a r y p o s i t i v ei n t e g e rm ，w ep r o v e 也ee x i s t e n c eo f a tl e a s t2 m 一1p o s i t i v e l u t i o 璐 i nc h a p t e rf 0 u r ，w e 咖d yt h e 既i s t 吼c er c 跚l to fm ep o s i t i v es o l u t i o nf o rm eb o u n d a d r v a l u ep r o b l e mw h e nm en o l l l i n e a rt c r n ls a t i s f i e st h es i i l g u l a r i t ) r 弱s 哪p t i o n t h i sd i s s e r t 撕o ni sd i 佰o r e n t 筋mt l l eo t h e r sa tm ef o l l o w i n ga s p e c t s ：n 0o n ei n v o l v e dl h e b o u n 出呵v a l u ep r o b l e ms t u d i e di nt l l i sd j s s e r t a t i o n ；t h em e t h o dt 0s t i l d yt h ep r o p e r t i 髓o f 也e g r c 姐sf i l n c t i o ni sn e w a uo ft h e s ew i l l 西v ea ni l l 眦i n a t i o nt op e o p l ew h oa r ei n t e r 懿t e di n l l l eb 0 砌成町v a l u ep r o b l e m i nf 如t ，t h er e s u l t so ft h i sd i s s e n a t i o nh a v eb e e n 弧p a n d e d 趾d c i t e d 、 k 田w o r d s ：n i r d - o r d e r 缸e e - p o mb o u n d a d rv a l u ep r o b l 锄；g r e 饥sf i l n c t i o n ；p o s “i v e s o h l t i o n ；c 0 n e ；f i x e dp o i n tm e o r e m i i 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：匀诵冤 日期：2 川引月p 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据 库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 篡三霭 导师签名：么1 雪乏 移咻。 日期：2 瑚年月加日 日期：扫肛1 1 月i 。日 硕士学位论文 第l 章引言 1 1 课题意义及国内外研究现状 随着科学技术的进步与发展，在非线性扩散、气体动力学、流体力学、物理学、种群动 力学、自动控制、生物学、医学和经济学等许多自然科学和边缘学科的领域中都提出了大量 由微分方程描述的具体的数学模型微分方程理论发展于十七世纪末，很快就变成了研究自 然现象的强有力的工具远在十七、十八世纪，在力学、天文、物理和技术科学中，就借助 于微分方程理论取得了巨大成就由于寻求其通解十分困难，故从理论上探讨解的存在性及 其性态一直是近年来研究的热点问题非线性微分方程，特别是高阶多点非线性微分方程的 边值问题，由于涉及领域广泛而倍受人们关注一直以来，由于非线性微分方程边值问题正 解的存在性研究具有重要的现实意义，因此此类问题一直是研究的热点问题之一 在微分方程理论的定解问题中，边值问题同数学物理问题密切相关这一问题的研究， 从十九世纪三十年代由s t u r m 和l i o u v i l l e 讨论二阶线性微分方程的边值问题起，到二十世纪 由h i l b e n 等人奠定了常微分方程边值问题的理论基础，不论在问题的深度和广度方面，还是 在研究方法上都有了很大的发展边值问题正解的理论研究作为常微分方程边值问题的一部 分，在最近三十年中有了迅速的发展国际文献中这一领域的论文已有数百篇，一九九四年 以来连续出版了有关边值问题正解理论的专著达3 本【l 3 】，广泛的应用背景是促使这一理论迅 速发展的基础 由于在现实世界中往往需要求解边值问题的正解，人们对它进行了广泛的研究并取得了 丰富的成果e r b e 和w a n g 在文献 4 】中首先利用g u 0 i 缸咖o s e l s 不动点定理【5 】研究了微分 方程“。+ 口( f ) ( f ) ) = 0 正解的存在性，其中口( f ) 在【0 ，1 】上是连续的并且厂 ) 在【0 ，o o ) 上是 连续的自此，g 血o i m 吼o s e l s 垃不动点定理被广泛应用于讨论边值问题正解的存在性对二 阶边值问题 y ，+ 厂( y ) ) = 0 ，0 f l ，( 1 1 ) y ( 0 ) = y ( 1 ) = o ，( 1 2 ) 其中厂：r 寸【0 ，) 是连续的，赋予，一些增长条件后，a v e r y 【6 】利用l e g g 甜一w i l l i 舭1 j s 不动点 定理川得到了边值问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 至少三个对称正解的存在性；r i a v e 柙j h e n d e r s o n 在文章 非线性三阶三点边值问题的正解 8 】中利用五个泛函的不动点定理【9 】和有关格林函数的对称性改进了a v e 巧的结果 目前，对边值问题的研究，已经覆盖了常微分方程、泛函微分方程、脉冲微分方程和带 有拉普拉斯算子的微分方程尽管人们对边值问题的研究已经取得了一系列成果，但对多点 边值问题的理论研究仍尚不完善对于这些问题进一步的研究，无论在理论上还是在实际应 用中都有很重要的意义 多点边值问题的研究起源于许多不同的应用数学和物理领域例如，在利用分离变量法 解线性偏微分方程的经典问题中，人们遇到了含有几个参数的满足几个点边值条件的微分方 程；由n 部分不同密度组成的均匀截面的悬链线的振动可以转化为多点边值问题；在弹性稳 定性理论的许多问题中也可由多点边值问题处理对线性二阶微分方程多点边值问题的研究 由文献 1 0 ，1 1 】开始，通过文献 1 0 ，1 1 】的启发，文献【1 2 】研究了非线性微分方程的三点边值问 题，自此，许多作者研究了更一般的非线性多点边值问题1 ，2 近几年来，人们十分关注微 分方程多点边值问题正解的存在性马如云在文献 2 2 】中利用锥上的q 一l r 弱n o l s 蛐不动点 定理证明了二阶三点边值问题 甜”+ 以o ) ( “( f ) ) = 0 ， 0 f l ，( 1 3 ) “( 0 ) = o ，伐甜n ) = 箔( 1 ) ( 1 4 ) 1 正解的存在性其中o t 1 l ，o o 【 二，口c ( 【o ，1 】，【0 ，o o ) ) 并且厂c ( 0 ，) ， o ，) ) 是超 t 1 线性的或次线性的2 0 0 3 年，马如云和王海燕在文献【2 3 】中研究了更一般的二阶三点边值问题 “。( f ) + 口( f ) “( f ) + 6 ( f ) “( f ) + ( f ) 厂( “( f ) ) = o ，f ( o ，1 ) ， ( 1 5 ) “( 0 ) = 0 ，a “( r 1 ) = “( 1 ) ，0 0 ，当6 0 ，6 ) 时边值问题( 1 5 ) 一( 1 7 ) 至少存在一个正解， 当6 6 时边值问题( 1 5 ) 一( 1 7 ) 没有正解随着对二阶多点边值问题的更广泛研究，三阶多点边 值问题也逐渐成为人们热衷研究的对象，但至今为止，对三阶多点边值问题的研究相对来说 比较少，这就为我们研究三阶多点边值问题提供了广阔的空间 硕士学位论文 三阶微分方程在应用数学和物理不同的领域也有很重要的应用，例如，带有固定或变化 横截面的屈曲梁的挠度，三层梁，电磁波，地球引力吹积的涨潮等嘲近年来，三阶边值问 题受到了广泛关注，如文章 2 7 - 3 3 】讨论了一些三阶两点边值问题，其中刘在文献 3 3 】中研究 了下列三阶两点边值问题 x 胛( f ) + 九0 l ( f ) ( f ，x ( f ) ) = 0 ，口 f 0 是参数，倪c ( ( 订，6 ) ，灭+ ) ，厂c ( 【n ，刎( 0 ，+ o o ) ，尺+ ) 且仪( 力在f = 口，6 处可以是 奇异的，( f ，j ) 在s = 0 处可以是奇异的而文献 3 4 3 9 】研究了一些三阶三点边值问题特别 的，a n d e r s o n 【划通过运用著名的g 1 鼬部n o s e l s k i i 不动点定理【5 1 和l e g g e t t - w i l l i 锄：l s 不动点定 理【7 】得到了边值问题 x ”( f ) = 厂 ，工( f ) ) ， f f 2 ， x ( f 1 ) = 工0 2 ) = 0 ，p ( f 3 ) + 融一( f 3 ) = 0 正解的若干存在性和多重性结果；在2 0 0 5 年，孙【3 5 】建立了下列三阶三点边值问题 工_ ( f ) 一九口( r ) 厂0 ，x ( f ) ) = 0 ，0 f l ， x ( o ) = x ( n ) = x ”( 1 ) = 0 至少一个和多个正解的存在性结果，其中t 1 三，1 ) ，口( f ) 在f = o 和或f = 1 处可以是奇异的 运用的主要工具是g h o i 湘姐o l s k i i 不动点定理 1 2 本文主要内容 受以上优秀工作的强烈启发，本文主要研究下列非线性三阶三点边值问题的正解： “一( f ) + 疗( f ) 厂( “( f ) ) = 0 ，0 f 1 ，( 1 8 ) “( 0 ) = 材( 0 ) = 0 ，”( 1 ) = 0 【“( t 1 ) ， ( 1 9 ) l 其中0 t 1 l ，l 0 l 二 t 1 本文的主要内容是：第一章引言主要介绍了有关边值问题的发展概况、本研究课题的学 术背景及理论与实际意义、本研究课题的来源 第二章是本文的关键所在，文中首先构造了相关的线性边值问题的格林函数：其次通过 一种新的方法得到了格林函数的一些重要的性质；最后分别运用( 沁o 1 r 雒n o s e l s k i i 不动点定 理和不动点指数理论得到了边值问题( 1 8 ) ( 1 9 ) 至少一个正解和至少两个正解的存在性 非线性j 阶三点边值问题的正解 第三章运用l e g g e t t 、矾l i i a i l l s 不动点定理得到了边值问题( 1 8 ) ( 1 9 ) 至少三个正解的存在 性：进一步，对任意的正整数m ，证明了边值问题( 1 8 ) ( 1 9 ) 至少2 n 1 1 个正解的存在性 在本文的第二章和第三章我们假设下列条件始终成立： ( i ) 厂c ( 【o ，1 ，【o ，0 d ) ) ： ( i i ) 口c 旺o ，1 】，【o ，) ) 且在i1 ， 1l 上不恒等于零 l o lj 第四章研究了非线性微分方程 “刖( f ) + ，( f ，“( f ) ) = 0 ， 0 f 1 ( 1 1 0 ) 在满足边界条件( 1 9 ) 时的边值问题同第二章和第三章不同的是，非线性项在f = o 和或 f = l 处可以是奇异的通过运用g 1 1 0 。鼬镯n o s e l s k i i 不动点定理得到了边值问题( 1 1 0 ) 一( 1 9 ) 正 解的存在性和多重性结果 为方便起见，全文我们定义函数 g ( j ) ：i ! ! 二! l s ( 1 一s ) ，j 【o ，1 】 一4 一 硕士学位论文 第2 章至少一个和两个正解的存在性 本章我们考虑三阶三点边值问题 “_ ( f ) + n ( f ) 厂( “( f ) ) = 0 ，0 f 1 ，( 2 1 ) “( 0 ) = “( o ) = o ，“( 1 ) = 0 【“( r 1 ) ， ( 2 2 ) l 其中0 t 1 l ，1 口 三 t 1 首先构造了边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 相对应的线性边值问题的格林函数，然后运用一种新的方 法得到了格林函数的一些重要的性质，最后分别运用g i l 0 k 均s n o s e l s b i 不动点定理和不动点 指数理论得到了边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 至少一个和至少两个正解的存在性结果 2 1 格林函数及其性质 定理2 1 1 令o m 1 ，则对j ，c 【0 ，1 】，边值问题 “_ ( f ) + y ( f ) = 0 ，0 f l ， “( o ) = “( o ) = 0 ，“( 1 ) = 0 【“( r 1 ) 有唯一解“( f ) 2j 。g ( f ，s ) y ( j ) 凼，其中 i ( 2 捃一j 2 ) ( 1 一。川) + f 2 j 一1 ) ，占i n m h ，f ) ， g 瓴沪而僻二嚣：东叫，= ：， i f 2 ( 1 一j ) ，m a ) 【n ，f ) s 被称为格林函数 证明：如果f t 1 ，则 “( f ) = j ：g ( f ，s ) y ( s ) 凼 = 而高扣，) ( 1 - a 小心 _ 1 ) m 蛐 + 肌2 ( 1 0 l t l ) + f 2 j ( 0 l 一1 ) y ( j ) 出 ( 2 3 ) + j ：f 2 ( 1 一s ) y ( s ) 出j 非线性三阶三点边值问题的正解 鼍皇曼皇皇曼曼皇曼曼毫曼鼍曼曼詈曼皇詈鼍量曼曼量皇曼量曼皇皇曼寡皇鼍穹皇! 釜皇曼鼍皇曼量曼皇曼曼舅皇曼葛皇皇曼皇皇鼍_ 所以 缸) = 而缸2 叩一仅咖2 捃 - 1 ) ) 出 + f l 一叩) + 2 7 一1 ) 】删凼 + r 2 f ( 1 一j ) 夕( s ) 出工 “t ) = 夏圭毫币 l ：2 s 一l 杪。) 凼 + j ? 【2 ( 1 一d q ) + 2 s ( 包一1 ) y ( s ) 出 + r 2 ( 1 一j ) y ( j ) 出j ， 矿( 归而焉 2 f 叫y ( 沪【2 ( 1 0 c 小2 f - 1 ) ) = 一y ( f ) 如果f t 1 ，则 所以 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) “( f ) = j ：g ( f ，s ) 少( j ) 出 = 而 i = i ( 2 捃。) ( 1 0 n 1 ) s _ 1 ) m 出 + r 【( 2 捃一s 2 ) ( 1 0 【t 1 ) + f 2 ( 仪t 1 一j ) 】少( j ) 凼 2 7 + f f ：( 1 一s ) y ( s ) 凼) ”( f ) = 夏f 毫币位 2 s ( 1 一叩) + 2 如 一1 ) 抄( s ) 出 + r 【2 s ( i 一。m ) + 2 f ( 0 川一s ) 】y ( s ) 凼 + r 2 f ( 1 一s ) y ( s ) 凼) ， “砸) = 夏f b 币 | i l 2 s 一1 沙( j ) 出 + j ：2 ( 0 n 1 一j ) y ( s ) 凼+ j c l 2 ( 1 一s ) y ( s ) 出l = 而【2 ( 叩叫- 2 ( 1 叫删 = 一) ，( f ) 因此，由式( 2 6 ) 和式( 2 1 0 ) 可得 “_ ( f ) + y ( f ) = 0 ， 0 f 1 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 又由式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) 可得 “( 0 ) = ”( o ) = 0 最后，由式( 2 9 ) 有 “( 1 ) ：仅“m ) 口 定理2 1 2 令o t 1 1 ，l 伐 三，则对任意( f ，s ) 【0 ，l 】【0 ，1 】，格林函数满足 1 1 0 g ( f ，j ) g ( j ) 且0 qo ，s ) g ( j ) 证明：首先，我们先来证明g ( f ，占) o ，( f ，s ) o ，l 】 o ，1 由于其他情形是显然的，我们只 需证明q s f 的情形当t 1 s f 时， g m 垆而【( 2 捃) ( 1 一叩) 州2 吖) 】 其次， 如果s m i n 如果f s t 1 ，则 = 互石三兰i 5 【( r 2 2 细+ = 一l 一二i j _ r 2 ( 1 0 n 1 ) ” s z ) a ”+ j ( 2 f f 2 一s ) 】 + 。虹。一f z ) + o s ) ) s m i l l m ，f ， f s t 1 ， ( 2 1 1 ) 1 r i s f ， m a x 们，f ) s ) + 捃( 0 l 1 ) 】 伐 2 l 到 一 得 缸 易 一) 睿 币 搭 一盯 很 一一 ， 丽c ；叫可端 的 定固意任对 l l 曲 】1 - ，i_o 一嫩讯撕 + + + 叽一叭叫政 一 一 一 一 o o 啦o s 引 s击 = ， 小 则 b g 咖 训 叫 删 似 。一上上触 g 非线性i 阶三点边值问题的正解 曼量葛舅曼皇皇量皇曼! 曼曼曼曼皇曼皇曼曼皇曼鲁寡曼曼曼鼍曼! 鼍! 曼詈皇曼皇曼皇! ! 曼暑鼍曼詈鼍! 曼皇皇皇曼鲁鼍曼鼍皇曼皇曼曼皇篁曼曼寡詈曼曼皇曼曼皇詈葛 。 如果t 1 j f ，则 如果m a ) 【们，f ) s ，则 所以， g ，( f ，s ) = 【三【f ( 1 一叩) + 捃( 0 l 一1 ) 】 l 一仅n - l 咄( 1 一t 1 ) 1 一叩 、“ - l 黜( 1 一s ) 1 一o n l 、。 g ( s ) g ，0 ，s ) = 了! = = _ b ( 1 一o m ) + f n 1 一s ) 】 l a t l = 了! 一b ( 1 一f ) + o m ( f s ) 】 1 一u o i _ l b ( 1 一s ) + o 岱( 1 一s ) 】 1 一u i = g ( j ) ( 1 f ( f ，j ) g ( s ) ，( f ，s ) 【o ，l j 【o ，l j ( 2 1 2 ) 因此对任意( f ，s ) o ，l 】 0 ，l 】，我们可得 g ( f ，s ) = j ：qo ，s ) 出胎( s ) 凼= 留( s ) g ( s ) ( 2 1 3 ) 最后，由式( 2 1 1 ) 很容易验证g ( f ，s ) 0 ，再结合式( 2 1 2 ) 和式( 2 1 3 ) 证明了定理 口 定理2 1 3 令o t 1 1 ，1 d 鲁，则对任意( f ，s ) i 导川l 【o 1 】，格林函数满足 n l uj g ( f ，j ) 丫g ( s ) ，其中o 旦：垒二! ! 一2 仪2 ( 1 + 0 【) y ， 当f s t 1 时 g ( f ，s ) f 2 ( 1 0 n 1 ) + f 2 s ( 仪一1 ) 9 0 )2 ( 1 + 仪) s ( 1 一占) 当f t 1 占时 即g ( f ，s ) 丫g ( j ) f 2 ( 0 【一1 ) 2 【l + 伐) 【l s ) ! 堑二! 1 2 ( 1 + 0 l ) 旦：鱼二1 2 2 0 l2 ( 1 + 0 【) y ， g ( f ，s ) 一 f 2 ( 1 一墨) g ( s )2 ( 1 + a ) j ( 1 一s ) f 2 2 ( 1 + 伐) s ! ： 2 ( 1 + a ) 旦： 一缸2 ( 1 + 0 l ) 1 ， 口 非线性三阶三点边值问题的正解 2 2 一个正解的存在性结果 我们首先定义厶= 姆掣，六= 嫩掣 在本节中我们使用的工具是锥上的拉伸与压缩不动点定理，也称g 1 l o 心a s n o s e l 幽i 不动 点定理 定理2 2 1 ( 锥拉伸与压缩不动点定理) 【柏，4 l 】设e 是b a n a c h 空间，kce 是一个锥， q l ，q 2 都是e 中的有界开子集，使得9 q 】，q lc q ：又设彳：k k 是全连续算子，如 果下列条件之一满足： ( 1 ) 怕“l l i ，“kna q 且怕“l i i ，“k 厂、m ：；或者 ( 2 ) 0 彳“0 州l ，“k 厂、m 。且8 么“0 州i ，“k 厂、a q ： 则彳在kn ( q z q ，) 中至少有一个不动点 定理2 2 2 若下列条件满足： ( 1 ) 兀= o 且六= ( 超线性) ；或者 ( 2 ) 厶= 且五= 0 ( 次线性) 则边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 至少存在一个正解 证明：令b a n a c h 空间e = c 【o ，1 】，赋予其范数恻l = 毽紧k ( f ) f 我们定义 r1 肛卜豇以幻 0 ，f 0 ，l l 娑净训h l l 主， 显然k c 是锥 对“k ，我们定义 么铭( f ) = j ：g ( f ，s ) 口( s ) ( j ) ) 凼， f o ，1 ( 2 1 4 ) 则由定理2 1 2 得 o 彳“o 2 兰g ，s n s ) 厂掰占凼 ( 2 1 5 ) 拈( s ) 口( s ) 厂( “( s ) ) 出， f “o ，1 】 所以， 0 彳“i i j ：g ( s ) 口( s ) 厂( “( s ) ) 出 ( 2 1 6 ) 硕士学位论又 皇曼，哩曼曼皇鲁舅皇葛曼量曼曼曼曼曼曼鼍曼寡曼曼皇摹曼鼍曼皇曼舅_ 曼曼曼鼍曼量量皇量皇暑曼鼍曼皇曼寡曼皇鼍量皇詈皇置 由定理2 1 3 和式( 2 1 6 ) 可得 么“( f ) = j ：g ( f ，s ) 口( s ) 厂( “( 占) ) 出 丫j ：g ( s ) 口( s ) 厂( “( s ) ) 幽 冲“l i ，f bj 因此， 早l i n 彳“( f ) yi i 爿“l l 言5 嘞 这就证明了似ck 进一步我们可以检验彳：k k 是全连续的，且彳的不动点就是边值 问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 的解 首先，我们考虑超线性情形：兀= o 且六= o o 由于五= o ，我们可选择日l o 使得厂( “) ”，o “h 。，其中 0 满足 ：g ( s ) 口( s ) 出1 ( 2 1 7 ) 所以，如果“k 且= h 。，则由定理2 1 2 及式( 2 1 7 ) 可得 彳“( ) = j ：g ( f ，j ) 口( j ) 厂( “( s ) ) 凼 j ：g ( j ) 口( s ) 厂( “( j ) ) 出 j ：g ( j ) 口( s ) “( j ) 出 j ：g ( s ) n ( s ) 凼 日，f 【0 ，1 】 现令q 。= 缸e ：l o 使得 ) p “，“日，其中p 0 满足 丫pcg n ，s ) 口( 占) 出1 ( 2 1 9 ) 令日：m a ) 【 2 日，日丫) 及q ：= 函e ：m i ，“kr 、施： ( 2 2 0 ) 因此由式( 2 1 8 ) 、( 2 2 0 ) 及定理2 2 1 的第一部分可知，4 有一个不动点“k 厂、( 孬：q 。) ， 即为边值问题( 2 1 ) - ( 2 2 ) 的正解 下面我们考虑次线性睛形：六= 且六= o 由于五= o o ，我们可选择日， o 使得厂m ) 九“，o “日，其中九 0 满足 研cg ( r 1 ，s ) 口( s ) 出1 ( 2 2 1 ) 则甜k 且叫l = 吼时，由式( 2 2 1 ) 可得 么“n ) = j ：g 们，s ) 口( s ) 厂( “( s ) ) 凼 仨g m ，s ) 口( s ) 厂( “( s ) ) 凼 。n 九cg n ，s ) 口( s ) ”( s ) 出 砷罡g m ，s ) 口( s ) 出 现令q ，= 函e ： 0 使得厂 ) 肛，“m ，其中p 0 满足 叫( s ) 口( s ) 出1 ( 2 2 3 ) 我们考虑两种情形： ( 1 ) 假设厂是有界的，即对所有“【0 ，) ，厂 ) 在这种情形下我们可选择 h 。= m a x 乜皿，j ：g o ) 口( s ) 出) ，则对任意 k 且l ：日。有 坝士掌位论文 么“( f ) = j ：g ( f ，s ) 口( s ) 厂( “( s ) ) 凼 j ：g ( j ) 口( j ) 出 矾，f o ，1 】 所以，怕“悱 ( 2 ) 假设厂是无界的，则可令只= m a ) 【仁马，m ) 且使得当o “日。时厂 ) 厂( 凰) 则对 任意“k 且i = 日。，由式( 2 2 3 ) 可得 么“( f ) = j ：g ( f ，j ) 口( j ) 厂( “( s ) ) 幽 j ：g ( s ) 口( s ) ( “( s ) ) 出 j ：g ( s ) 口( s ) 厂( 以) 出 i j l 日4 r g ( s ) 口( s ) 出 以= ，f “o ，l 】 所以，忙“i l 因此，无论是哪种情形，我们都可令q 4 = 似e ：m i 0 ， 定义 q ，= 如k ：m l r ) 假设彳：孬，_ k 是全连续算子且当“m ，时彳“，则 ( 1 ) 如果“m ，时怕甜l i ，则f 0 ，q ，k ) = l ； ( 2 ) 如果”鼬，时0 彳甜0 叫l ，则f ( 4 ，q ，k ) = o 定理2 3 2 若下列条件满足： ( c 1 ) 厶= l = ： ( c 2 ) 存在正常数，和九 【i ：g ( s ( s ) 凼r 使得当“【0 ，】时厂 ) s h 则边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 至少存在两个正解“。和 ：且忆0 r 忙：l i 非线性三阶三点边僵问题的正解 证明：令b a l l a c h 空间露= c 【o ，l 】，赋予其范数l = 罢警卜( f ) 1 我们定义 k = 卜胁巩州叫，篓圳圳) 显然kce 是锥 对“k ，我们定义 么“( f ) = p ( f ，s ) 口( s ) 厂( “( s ) ) 出， f 0 ，1 】 由定理2 2 2 知我们可证明似ck 且易检验爿：k k 是全连续的，么的不动点就是边值 问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的解 首先，由于兀= ，故存在0 1 ( 2 2 4 ) 令q 。= 函k ： 0 “0 ， 从而 她“8 ，“孢。 故由定理2 3 1 的2 ) 可知 f 0 ，q 。，k ) = o ( 2 2 5 ) 其次，由于l = ，故存在吒 ，使得当“托时，厂 ) m ：“，其中m ： 0 满足 川：cg 们，s ) n ( s ) 出 1 ( 2 2 6 ) 令q 吒= 缸k ：恻l ， 从而 肛“l l l “m 咆 故由定理2 3 1 的2 ) 可知 f 0 ，q 恐，k ) = o ( 2 2 7 ) 最后，令q ，= 函k ：0 甜6 ，) ，则对于任意的“勰，由定理2 1 2 和条件( c 2 ) 可知 彳“( f ) = j ：g ( f ，s ) 口( s ) 厂( ”( s ) ) 出 j ：g ( s ) 口( j ) ( “( s ) ) 出 加j ：g ( s ) 口( s ) 出 r = ， f 【o ，1 】 从而 肛“l ，“m ， 故由定理2 3 1 的1 ) 可知 i ( 么，q ，k ) = 1 ( 2 2 8 ) 鉴于式( 2 2 5 ) 、( 2 2 7 ) 、( 2 2 8 ) 以及不动点指数的可加性可得 f 0 ，q ，孬。，k ) = l 且f 0 ，q 吩孬，k ) = 一1 ， 这表明么至少有两个不动点”。q ，q ，- 及“：q 吃q ，即边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 至少存在两 个正解甜l 和“2 且 吒 l r i 尽g m 蚺 - l 使得当“陋，日】时似) 删 则边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 至少存在两个正解“，和且忆8 日 陋。0 非线性三阶三点边僵问题的正解 证明：首先，由于= 0 ，故存在0 何。 0 满足 胎( s ) 口( j ) 出 1 ( 2 2 9 ) 令q 甘。= 缸k ：恻i h ) ，则对于任意的“m 峨，由定理2 1 2 及式( 2 2 9 ) 有 彳“( f ) = j ：g o ，s ) 口( s ) 厂 o ) ) d 叠 j ：g ( s ) 口( s ) 厂( “( s ) ) 出 g ( s ) 口( s ) “( s ) 凼 j ：g ( s ) 口( s ) 凼 删， f 【0 ，l 】 从而 怕“l l | 悱掰a q ” 故由定理2 3 1 的1 ) 可知 f 0 ，q 拭，k ) = 1 ( 2 3 0 ) 其次，由于无= 0 ，故存在0 日 o 满足 川o ) 口o ) 凼 m a 】【每，胎( s ) 口( s ) 凼) ，则对任意”k 且i = 日：有 彳”( f ) = j ：g ( f ，s ) 口( s ) 厂( “( s ) ) 幽 j ：g ( j ) 口( s ) 出 日2 ，f 【o ，1 】 从而，怕“ 疗且使得 厂( “) 厂( 日2 ) ，0 “日2 ( 2 3 2 ) 则对任意“k 且叫l = h ：，由式( 2 3 1 ) 和式( 2 3 2 ) 可得 硕士学位论文 么“( f ) = j ：g ( f ，s ) 口( j ) 厂( “( s ) ) 出 j ：g ( 墨) 口( j ) 厂( “( s ) ) 凼 j ：g ( s ) 口( s ) ( 日：) 出 旧：j ：g ( s ) 口( s ) 凼 日2 ，f 【0 ，1 】 所以，洳i l | 蚪 因此，无论是哪种情形，我们都可令q 片：= 函e ：m l 日：) ，则对任意“a | q 日：都有 0 彳“ ，“m 故由定理2 3 1 的2 ) 可知 f 0 ，q 耳，x ) = o ( 2 3 4 ) 鉴于式( 2 - 3 0 ) 、( 2 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 以及不动点指数的可加性可得 f 0 ，q 日五两，k ) = 一l 且f 0 ，q 也孬口，x ) = 1 ， 这表明彳至少有两个不动点“3 q 日q 曲及q 日，q 日，即边值问题( 2 1 ) 一( 2 2 ) 至少存 在两个正解“3 和且 。 陋，i l 。9 何： 口 非线性i 阶三点边值问题的正解 第3 章至少三个正解的存在性 本章我们研究边值问题 “胛( f ) + 口( f ) 厂( “( f ) ) = 0 ，o f l ， 甜( 0 ) = “( 0 ) = 0 ，“( 1 ) = 0 l “( r 1 ) ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) 其中o t 1 1 ，1 a ! 通过著名的l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理我们建立了边值问题 t 1 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 至少三个正解的存在性，进一步，我们证明了对任意的正整数m 边值问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 至少2 m 1 个正解的存在性 3 1 基本概念及定义 本节我们先介绍一些基本概念及定理 定义3 1 1 设e 是b a n a c h 空间，p 是e 中的一个锥，如果o ：pj 【0 ，+ o o ) 是连续的，且对所 有工，) ，p 和0 f l 都有 o ( 红+ ( 1 一f ) y ) f g ( x ) + ( 1 一f ) o ( 少) 则称6 是尸上的非负连续凹泛函 设口，6 为非负常数且0 口 6 ，6 是