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昆明理工大学硕士学位论文横期相似关系下的横糊韬鞋集 摘要 粗糙集理论是二十世纪八十年代初由波兰数学家z p a w l a k 首先提出的一种处理 不确定性知识的数学理论，它能有效地分析和处理不精确，不确定与不完整等各种不 完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。近几年来，它在机器学习和知 识发现，数据挖掘，决策支持与分析等方面都有广泛的应用。1 9 9 1 年，z p a w l a k 的专 著租糙集关于数据推理的理论( r o u g hs e t s t h e o r e t i c a la s p e c t s o f r e a s o n i n ga b o u td a t a ) 的问世，标志着粗糙集理论及其应用的研究进入了活跃时期。 目前，粗糙集理论已经成为信息科学最为活跃的研究领域之一，同时，该理论还在医 学、化学、材料学、地理学、管理科学和金融等其它学科得到了成功的应用。 粗糙集理论的主要思想就是利用已知的知识库，将不精确的或不确定的知识用已 知的知识库来近似刻画。模糊理论是美国计算机和控制专家l a z a d e h 于1 9 6 5 年提出 的刻画模糊现象或模糊概念的数学理论，它是通过对象关于集合的隶属程度来近似描 述的。 模糊集的隶属函数和租糙集的隶属函数都反映了概念的模糊性。前者大多是由专 家凭经验给出的，因此往往带有很强烈的主观意志，而粗糙集的隶属函数的计算是从 被分析的数据中直接获得的，非常客观。也正因为如此，将模糊集和粗糙集进行某些 整合后去描述知识的不确定性和不精确性是非常有意义的。 本文正是基于模糊集和粗糙集的结合，首次提出了相似关系下的模糊粗糙集、模 糊相似关系下的粗糙集和模糊相似关系下的模糊粗糙集。研究了它们的一些基本性质， 并讨论了该模糊粗糙集的上、下近似在相似关系下的并、交、合成、补等代数运算。 最后还讨论了模糊相似关系下的模糊粗糙集在掰、口参数下的上、下近似，并且使用 近似精度和粗糙度对之进行衡量，得出了模糊相似关系下的模糊粗糙集的上、下近似 的2 一截集表示。 关键词模糊粗糙集，相似关系。模糊相似关系，a 截集 昆明理工大学硕士学位论文 横期相戗关系下的横糊糨糙集 a b s t r a c t t h e r o u g h s e tt h e o r yw a s p u t f o r w a r d b y p r o f e s s o rz p a w l a k ，p o l a n dm a t h e m a t i c a s am a t h t h e o r yt os t u d yu n c e r t a i nk n o w l e d g e i tc a l la n a l y s i sa n dp r o c e s se f f e c t i v e l ya l lk i n d s o fi m m a t u r i t yi n f o r m a t i o na s i n e x a c t n e s s ，u n c e r t a i n , u n c o m p l e t e d , f m di m p l i c a t i v e k n o w l e d g ea n do p e no u tp o t e n t i a lr u l e s t h em a i ni d e ao ft h er o u g hs e tt h e o r yd e p i c t s a p p r o x i m a t e l yl e a r n i n go f i n a c c u r a t ea n du n c e r t a i nb yu s i n gt h ek n o w n ，f u z z yt h e o r yv f t l s a d v a n c e d b yl a z a d e h ，姐a m e r i c as p e c i a l i s ti nt h ef i e l do fc o m p u t e ra n d c o n t r o li n1 9 6 5 觞am a t ht h e o r yt op r o c e s sf u z z yp h e n o m e n aa n d f u z z yn o t i o n i td e p i c t sa p p r o x j m a t e l y a f f i l i a t e dd e g r e ea b o u t f r i z z ys e tb yo b j e c t a tt h el a s tf e wy e a r s ，i th a s e x t e n s i v eu s ei nt h e f i e l d so f m a c h i n e - l e a r n i n ga n dk n o w l e d g ea c q u i s i t i o n ，d a t am i n i n g ，d e c i s i o ns u p p o r ta n d a n a l y s i s t h em o n o s w a p ho fz p a w l a kt h a t r o u g hs e t s 一t h e o r e t i c a la s p e c t so f r e a s o n i n g a b o u td a ：a e o m eo u ti n1 9 9 1 。m a l k c dt h a tt h er e s e a r c ha b o u tt h et h e o r i e sa n d a p p l i c a t i o no fr o u g ks e t sh a dg o r e n i n t oan e w p h a s e a tp r e s e n t ，t h et h e o r yo fr o u g hs e t s h a s a l w a y sb e c o m et h em o s tl i v e l yd o m a i ni n t h ei n f o r m a t i o ns c i e n c e ，b e s i d e s , i th a s a c h i e v e ds u c c e s s f u la p p l i c a t i o ni nt h es u b j e c to f m e d i c i n e , c h e m i s t r y ，m a t e r i a l ，g e o g r a p h y ， m a n a g e m e n t s c i e n c ea n df i n a n c e a f f i l i a t e dd e g r e ea b o u tf u z z ys e ta n da f f i l i a t e dd e g r e ea b o u tr o u g hs e tr e f l e c tt h e f a i n t n e s so fn o t i o n ，t h ef o r m e r8 r e g i v e nm o s t l yb a s e do ns p e c i a l i s t se x p e r i e n c es oi t s o m e t i m e sh a ss t r o n go w n e r w i l l ，b u ta f f i l i a t e dd e g r e ea b o u tr o u g hs e ti so b t a i n e dt h r o u g h t h ea n a l y t i c a ld a t as oi ti si m p e r s o n a l j u s tf o r t h i s t h ec o n f o r m i t yb e t w e e nt h e f u z z ys e ta n d r o u g h s e ti ss i g n i f i c a n c ef o ri tt od e p i c tt h eu n c e r t a i na n d t h ei n e x a c t n e s s t h e p a p e ri sj u s tb a s e do nc o m b i n eb e t w e e nf u z z ys e ta n dr o u g hs e t ，a n dt h ef u z z y r o t l g hs e tu n d e r t h ec o n d i t i o no fs i m i l a rr e l a t i o na n d f u z z ys i m i l a rr e l a t i o nm f i r s tb r o u g h t f o r w a r d i nt h ep a p e rt h e i rs o m eb a s i cp r o p e r t i e sa r er e s e a r c ha n d a l g e b r ao p e r a t i o na st h e c o m b i n a t i o n , t h ec r o s s ，t h e p a t c h a b o u tt h e u p p e ra p p r o x i m a t i o n a n dt h el o w e r a p p r o x i m a t i o na l ed i s c u s s e d f i n a l l yt h ep a r a m e t e ra 、8a r ei n t r o d u c e di nt h ef u z z y r o u g h s e ta n da - i n s e c t i o nd e n o t a t i o no ft h ef u r y r o u g hs e tu n d e rf u z z ys i m i l a rr e l a t i o ni s 昆嚼理工大学硕士学位论文横糊相僦关系下的模期靶糙集 o b t a i n e d k e y w o r d s ：f u z z yr o u g hs e t ，s i m i l a rr e l a t i o n ，f u z z ys i m i l a rr e l a t i o n a i n s e c t i o n 1 1 1 昆明理工大学硕士学位论文 横糊相似关系下的模糊粗糙集 刖曷 当今，社会已经进入了网铬信息化时代，计算机和网络信息技术的飞速发展使得 各个领域的数据和信息急据增加( 信息爆炸) ，并且由于人类的参与使数据与信息系统 中的不确定性更加显著( 复杂系统) 。如何从大量的、杂乱无章的、强干扰的数据( 海 量数据) 中挖掘潜在的、有利用价值的信息( 有用知识) ，这给人类的智能信息处理能 力提出了前所未有的挑战。由此产生了人工智能研究的一个崭新领域一一数据挖掘 ( 洲) 和数据库知识发现( k d d ) 。而在嗍和k d d 诸多方法中，粗糙集理论与方法是一 种处理复杂系统较为有效的方法。 粗糙集理论是二十世纪八十年代初由波兰数学家z p a w l a k 首先提出的一种处理 不确定性知识的数学理论，它能有效地分析和处理不精确，不确定与不完整等各种4 ： 完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。近几年来，它在机器学习和知 识发现，数据挖掘，决策支持与分析等方面都有广泛的应用。1 9 9 1 年，z p a w l a k 的专 著褪糙集一关于数据推理的理论( r o u g h s e t s 一一一t h e o r e t i c a l a s p e c t s o f r e a s o n i n g a b o u td a t a ) 的问世，标志着粗糙集理论及其应用的研究进入了活跃时期。 目前，粗糙集理论已经成为信息科学最为活跃的研究领域之一，同时，该理论还在医 学、化学、材料学、地理学、管理科学和金融等其它学科得到了成功的应用。 本文是基于模糊集和粗糙集的结合，首次提出了相似关系下的模糊粗糙集、模糊 相似关系下的粗糙集和模糊相似关系下的模糊粗糙集。研究了它们的一些基本性质。 并讨论了该模糊粗糙集的上、下近似在相似关系下的并、交、补、合成、逆等关系运 算。最后还讨论了模糊相似关系下的模糊租裢集在口、口参数下的上、下近似，并且 使用近似精度和粗糙度对之进行衡量，得出了模糊相似关系下的模糊粗糙集的上、下 近似的a 一截集表示。 鉴于本人在该领域的研究时间较短，如上自身知识水平有限，有错误和不妥之处， 请，。大老师和同行批评指正，作者不胜感激。 作者：郭海刚 2 0 0 3 年1 0 月 6 6 9 2 3 7 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 我个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不合任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：吾痼刚 日 霸：沙哆年o 月o 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名 族辗灰 论文作者签名：二墨车到 日 期：兰= 2 生! ! 旦! !旦 昆嗡理工大学硕士拳位论文横期相似关系下的模糊辊挺集 第一章绪论 一粗糙集理论研究概况 粗糙集作为一种处理不精确，不确定与不完全数据的数学理论，最初是由波兰数 学家z p a w l a k 2 1 1 于1 9 8 2 年提出的。由于最初关于粗糙集理论的研究大部分是用波兰 语发表的因此当时并没有引起国际计算机学界和数学界的重视，研究地域也仅局限 在东欧一些国家，直到2 0 世纪8 0 年代末才逐渐引起各国学者的注意。近几年来，由 于它在机器学习和知识发现【6 ，2 5 1 ，数据挖掘( 4 ，1 8 】，决策支持与分析 1 9 ，2 0 ，3 0 】 等方面的广泛应用，研究逐渐趋热。1 9 9 2 年，第一属关于粗糙集理论的国际学术在波 兰召开。1 9 9 5 年，a c mc o m m u n i c a t i o n 将其列为新浮现的计算机科学的研究课题。 1 9 9 8 年国际信息科学杂志( i n f o r m a t i o ns c i e n c e s ) 还为粗糙集理论的研究出了一期专 辑。 粗糙集是建立在分类机制基础上的，它将分类理解为在特定空间上的等价关系， 而等价关系构成了对该空间的划分。粗糙集理论将知识理解为对数据的划分，每一被 划分的集合称为概念。粗糙集理论的主要思想是利用已知的知识库，将不确定或不精 确的知识用己知的知识库中的知识来近似刻画。该理论与其它处理不精确理论的最显 著的区别是它无须提供问题所需处理的数据集合以外的任何先验信息，所以对闯题的 不确定性的描述或处理可以说是比较客观的，由于这个理论未能包含处理不精确或不 确定原始数据的机制，所以这个理论与概率论，模糊数学等有很强的互补性。 二粗糙集理论的研究 粗糙集理论的研究由于其历史较短，所以至今为止，对粗糙集的概念的定义还没 有完全的统一，一种就是原始的p a w l a k 2 4 意义下的。也有上下近似构成的一对集合 来命名的【5 】，还有以上近似和下近似构成的区间集( 集合类) 来定义的 2 7 1 ，定义的 观点不同带来的研究侧重点不同。目前对粗糙集的研究主要集中在：粗糙集的模型的 推广，问题的不确定性研究，模糊性问题的数学理论的关系与互补，纯粹的数学理论 方面的研究，粗糙集的算法研究和人工智能方面的研究，最近还有一些与神经网络结 合在股票分析中的研究。这些研究有些是受应用推广而产生的，有的是纯理论的。 昆明理工大学硒士学位论文横糊相戗关系下的模糊粗糙集 2 1 粗裢羹模型的推广 p a w l a k 粗糙集的模型的推广是韫糙集研究的主流方向，目前主要有两种方法：1 ) 构造性方法：2 ) 代数性( 公理化) 方法。 】) 构造性方法是从给定的近似空间出发去研究租糙集和近似算子，它是以论域 上的二元关系或布尔子代数作为基本要素，然后导出粗糙集代数系统。这种方法所研 究的问题往往来源于实际，建立的模型有很强的应用价值。其缺点是不易深刻了解近 似算子的代数结构。 在p a w l a k 粗糙集模型中有三个最基本的要素：一个论域己，u 上的一个二元等 价关系r ( 或划分) ( 他们构成了近似空问) ，一个被近似描述的( 经典) 集合x ，也 称为专家概念。这样，推广的形式主要有三个方向，即从论域方向、从关系方向( 包 括近似空闻) 和从集合方向。 从论域方向推广的目前只有一种，就是双论域的情形【4 0 】，当然这时的二元关系 就变成为两个论域笛卡儿乘积的一个子集。对于将论域推广到多个的情形来研究粗糙 集理论的文献我们没有见到。 关系的推广：一种是将论域上的二元等价关系推广成为任意的二元关系得到了普 通关系下的粗糙集模型【3 9 】；另一种是将对象工所在的等价类看成是工的一个邻域，从 而推广导出了基于邻域算予的粗糙集模型1 3 7 b 也有将由关系导出的划分推广为普通 的布尔子代数的，以此出发去定义粗糙集和近似算子的【2 3 】；更普逶的是将普通关系 推广为模糊关系或模糊划分而获得模糊粗糙集模型。 将集合和近似空闻进行推广：这一类的推广是与其他处理不确定、不精确或模糊 的知识( 如概率论、模糊数学、信息论、证据理论等) 结合起来进行研究的。 当知识库中的知识模块是清晰概念，而被描述对象是一个模糊概念时，人们建立 了粗糙模糊集模型【l 】来勰决此类问题的近似推理：当知识库中的知识模块也是模糊 的，有些学者提出了模糊粗糙集模型 1 0 ，1 1 ，2 3 。对于知识库中的知识模块既是模 糊知识又是随机知识的，这类问题虽然至今无人论友，但肯定是存在的，因此也是值 得研究的。 2 ) 公理化方法也称为算子方法，这种方法不是以二元关系为基本要素，它的基 本思想是一对满足某些公理的近似算子。其中近似算子是事先给定的，这种方法的优 点是能够深刻了解近似算子的代数结构，其缺点是应用性不强。 2 2 不确定向囊的理论研究 2 昆明理工大学硕士学位论文横糊相韫关系下的横期粗糙集 粗糙集理论中知识的不确定性主要有两个原因：个原因是直接来源于论域上的 二元关系及其产生的知识模块，即近似空间本身，如果二元关系产生的每个等价类中 只有一个元素，那么等价若系产生的划分不含有任何信息。划分越粗知识就越粗糙， 这时用信息熵来刻画它的不确定性。寻求一个合适的度量来刻画不确定性也是一个重 要的研究方向。 粗糙集理论中知识的不确定性另一个原因来源于论域里粗糙近似的边界，当边界 为空集时知识是完全确定的，边界越大知识就越粗糙或越模糊。至今，粗糙集理论刻 画概念的不确定性是用正则条件熵和粗糙性测度来实现的。但这两个度量并没有提供 那些完全属于x 的下近似区域与不可分辨关系的知识粒度有关的不确定性，于是有人 提出了粗糙熵e ( x ) 的概念来刻画概念x 的不确定性【2 】。 2 3 与其他处理不确定方法的理论研究 在粗糙集理论与其他处理不确定方法的研究主要集中在与概率统计，模糊数学， 信息论，d - s 证据理论的相互渗透与补充。 在信息系统中，知识库的知识类型普通有两种：一类是所有的对象的描述是完全 已知的，p a l a w k 粗糙集模型和普通二元关系下的粗糙集模型就属于这一类；另类知 识库中的对象的描述只有部分已知的它只能通过训练样本所提供的信息来刻画概念， 为了使从训练样本获得的规则符合整个论域的对象，在抽取样本时应符合统计规律性， 粗糙集理论不管这一类工作，因此概率统计作为研究自然界，人类社会及技术中大量 随机现象的规律性的一门学科，它与粗糙集理论的结合就显得非常自然。 2 4 算法研究 粗糙集理论中有效算法是人工智能研究上的一个主要方向，粗糙集理论中有效算 法集中在导出规则的增量式算法，约简的启示式算法，粗糙集的并行式算法，以及与 神经网络算法等。 2 5 与其他数学理论的联系 对粗糙集理论的研究的不断深入，与其他数学分支的联系也更加紧密。例如，从 算子的观点看粗糙集理论，与之关系较紧的有拓扑空间，数理逻辑，摸态逻辑，格与 布尔代数，算子代数等：从构造和集合的观点来看，它与概率论，模糊数学。证据理 论，信息论等联系较为密切。粗糙集理论研究不但需要以这些理论作基础，同时也相 应地带动这些理论豹发展。 至今为止，就我们所知粗糙集理论研究与应用只限于给出数据的知识的处理， 3 昆明理工大学确士学位论文横期相 i ；i 美系下的横期粗糙集 对于由文本和连续图形的处理我们尚未见到，目前，纯粹的数学理论与粗糙集理论结 合起来进行研究的文章已出现。 三粗糙集与模糊集的比较 、 模糊集理论是美国计算机与控制论专家l a z a d e h 于1 9 6 5 年提出来的。目前， 以模糊推理为核心人工制能技术在许多方面都取得了明显的经济效益。 模糊集与粗糙集理论在处理不确定性和不精确性问题方面都推广了经典集合论， 它们都可以用来描述知识的不确定性和不完全性。然而，它们的侧重点不同。从知识 的粒度上来看，模糊集主要着眼于知识的模糊性，而粗糙集主要着眼于知识的粗糙性： 从知识的描述方法上来看，模糊集是通过对象关于集合的隶属程度来近似描述的，而 粗糙集是通过一个集合关于某个己知的可利用的信息库的一对上、下近似来描述的： 从集合的对象问的关系来看，模糊集强调的是集合边界的病态定义，即边界的不分明 性，而粗糙集强调的是集台对象间的不可分辨性；从研究的对象来看，模糊集研究的 是属于同一类的不同对象的隶属关系，重在隶属程度，而粗糙集研究的是不同类中的 对象组成的集合之间的关系，重在分类。 当然，模糊集与粗糙集的联系还是非常紧密的。粗糙集理论中用粗糙隶属函数来 刻画知识的模糊性粗糙集理论中的粗糙隶属函数可以看成特殊的模蝴隶属函数。这 样，论域u 中的任何一个经典集a 都对应一个模糊集卢。，而集合a 的下近似和上近 似分别对应这个模糊集的核和支集。由于模糊集与粗糙集都可以用来描述知识的不确 定性，各自的特点不同，因此模糊集理论和粗糙集理论有很强的互补性，将这两个理 论进行某些整合后，去处理知识的不确定性和不完全性，比它们各自去处理知识的不 确定性和不完全性可望显示出更强的功能。 四本文知识简介 本文正是基于模糊集和粗糙集的结合首次提出了相似关系下的模糊粗糙集、模 糊相似关系下的粗糙集和模糊相似关系下的模糊粗糙集。研究了它们的一些基本性质， 并讨论了该模糊粗糙集的上、下近似在关系的并、交、合成、补等代数运算下的性质。 最后还讨论了模糊相似关系下的模糊翘糙集在口、p 参数下的上、下近似，并且使用 近似精度和粗糙度对之进行衡量，得出了模糊相似关系下的模糊粗糙集的上、下近似 的 截集表示。 4 昆明理工大学硕士学位论文横糊相似关系下的模糊耗糙集 第二章预备知识 2 1 相似关系和模糊相似关系 2 1 1 相似关系 定义2 1 设只是论域u 上的二元关系，若兄满足 ( 1 ) 若对于任意的j u ，( j ，工) r ，即r 具有自反性； ( 2 ) 若对于任意的工，j ，u ，( ，y ) r ，有( y ，工) e r ，即r 具有对称性： 则称r 为相似关系。 2 1 2 模栩相似关系 定义2 , 2 设j r 是论域u 上的二元模糊关系，其隶属函数为r ( x ，y ) ，若r 满足 ( 1 ) 若对于任意的x e u ，有r ( x ，j ) = 1 ，即r 具有模糊自反性； ( 2 ) 若对于任意的z ，y u ，有r ( x ，y ) ；r ( y ，j ) ，即r 具有模糊对称性： 则称r 为模糊相似关系。 2 2 模糊粗糙集 注2 1 若无特别说明，全文中均设定论域u 非空。 定义2 3e 2 7 设( u 。r ) 为p a w l a k 近似空间，r 是论域u 上的一个等价关系， 若a 是u 上的一个模糊集合，则a 关于( u ，r ) 的一对下近似型a 爿和上近似印a 分别定义为u 上的一对模糊集合，其隶属函数为 垒_ ( ，) = j n f 乜( 工) i ) ，嘲。) ：历i g ) = s u p 扣( 工) 陟b k ) 工u 工u 其中b k 为元素工在关系r 下的等价类。若a p _ z r a = a p r r a ，则称a 是可定义的，否 则称a 为模糊糖糙集( f u z z y r o u g h s e t ) 。 a 的正域p o s r a = a p _ _ f r a 5 昆明理工大学硕士学位论立 横朔相似关系下的横期粗糙集 a 的负域n e g r a = u 一a p r r a a 的边界b n r r a = a p t r a a p r 月a 当a 为u 上的经典集合时，a p r 。a 和a p r r a 分别退化为a 在p a w l a k 意义 下关于( u ，r ) 的上近似和下近似。 定理2 1 设a 为论域u 上的一个模糊集，则a 关于等价关系r 的下近似婴r 0 和上近似j 孑r 4 具有阻下性质 a p z r a a a p r r a a p r r ( a u b ) = a p r r a u a p r r b ，a p r 月( a a b ) = a p r r a n a p r r b 面。( a n b ) 面。爿n 面。b ，型。u 功2 婴。a w a p r 。b a p r 。4 一面。( 4 ) a p r r u = u ，面月西= 中 若一c b ，贝f j a p t a c a p r r b ，a p r r 一一a p r r b 万。簖。彳) = 型。高。) = a p r 。彳， 望。k 。一) = 面。k 。一) = a p r 。一 6 渤 m 昆明理工大学硕士学位论文 模糊相似关系下的模糊租糙集 第三章相似关系下的模糊粗裢集 与模糊相似关系下的粗糙集 3 1 相似关系下的模糊粗糙集的定义 下面我们考虑r 为u 上的普通相似关系的情形。 定义3 i 设r 是论域u 上的一个普通相似关系，若a 是u 上的个模糊集合， 则a 关于r 的一对下近似璺竺r 爿和上近似d r 彳分别定义为u 上的一对模糊集合，其 隶属函数为 a p r 。4 0 ) = i n f a ( y ) p b k 面i 4 ( z ) = s u p a ( y ) i y e k k ) x u x u 其中b k 为元素毒在关系r 下的耜似类。若坚。a = 一a p r r a ，则称a 是相似可定义的， 否则称a 为论域u 上相似关系r 下的一个模糊粗糙集，简称a 为相似关系下的模糊粗 糙集。 定理3 1 设 为论域u 上普通相似关系r 下的一个模糊租糙集，则a 的下近似 a p _ z r r a 和上近似印k 一具有以下性质 ( 1 ) a p _ z r r a c _ a c a p r r a ( 2 ) 面鼬u b ) = 面动u 万。b ，婴。0 n 口) = 丝。a n a p r 。b ( 3 ) 面。( 4 n 功曼万。a n 面。b t a p r 。0 u 8 ) 坚。a u a p r 。b ( 4 曼堡r a q 月( a ) ( 5 ) a p z r r u = u ，a p r 月圣= 中 ( 6 ) 若爿b ，$ i i a p r r a c o p r r b ，一a p r r 埏一a p t b 证明由定义3 1 直接可得。 由于r 是u 上的相似关系，不满足传递性，所以定理2 1 中的( 7 ) 式通常不成立。 昆明理工丈学两士学位论文 横期相 i ：i 关系下的横糊粗瓣集 3 2 相似关系下的模糊粗糙集的性质 定义3 2 设尺，s 为u 上的普通相似关系，对j ，y e u ， v x ，y ) e r ，部有 0 ，岁) s ，则称r 包含于s ，记为尺妄s 。 引理3 1 设r s 为u 上的普通相似关系，则月s 的充分必要条件为v x u 都 有阮乩。 证明因为r c _ s r 即v ( y ) r ，都有( 工，力e s 臼r y e k l ，就有j ，e k l 成立。 从而乩童乩 定理3 2 设u 为论域，r ，s 为u 上的普通相似关系且足互s ，a e f ( u ) 则有 翌0 以，三翌0 a a p r g a 主a p r s 瓜 证明因为r s ，所以有随量乩 a p t 。一b ) = i n f 【y ) p eb k ) i i i f 缸睢乩 = a p z r 。a ( x ) 面i 。一( x ) = s u p 扣( y ) 扣k k ) s u p 爿) l y s b k = 面。爿0 引理3 2 设r ，s 为u 上的普通相似关系，则 ( 1 ) 尺u s ，r r , s 均为u 上的普通相似关系。 ( 2 ) 若r o s = s o r ，则r o s 为u 上的普通相似关系。 引理3 3 设r ，s 为u 上的普通相似关系，则 ( 1 ) 乩。= 乩u 乩，( 2 ) k k 。= 吼n 乩 证明y e b k ，甘0 ，) r u s 铮b ，y ) r 或( 盖，y ) s 口y e i x 。或y k k 舒y e 池u 乩 同理可证( 2 ) 。 定理3 3 设尺，s 为( ，上的普通相似关系，彳e 球，) ，则 婴r 。s a 2 翌r 爿n 婴s a ，一a p t m 4 = a p r 月彳u a p t s a r 昆明理工大学硕士学位论文 横糊相似关系下的模糊粗糙集 证明堡竺。爿b ) = i n f 爿0 ) p h 1 一) = i n f a ( y ) b b ku b k ) = i n f a ( y ) j y e 乩 i n f 一p 乩) = ! 堡r 一( ，) a p t 。爿( ) = 乜婴。at 、a p r 。一虹) 面；。一( x ) = s u p 扣) i y c 乩。) = s u p a ( y ) i y e k ku b k ) = s u p 4 陟陆 v s u p a y ) l y 隐) ：万。4 ( 工) v 石。4 ( z ) = 簖。4u 万。4 k ) 定理3 4 设r ，s 为u 上的普通相似关系，a f ( u ) ，则 a p z 心a ia p r a u a p ! r s a ，a p r r n s a a p r r a n a p r s a 证明由定理3 2 直接可得。 引理3 4 设r ，s 为u 上的普通关系，则ro s r ，r o s s 证明由于，r ，s 根据普通关系合成的性质，有 所以得r o s r ，r o s s 。 r o i 量r o s ， io s 盂r o s 定理3 5 设r ，s 为( ，上的普通相似关系且r 。s = s o r ，a f ( ，则 a p _ z r m a 型r a n a p _ z r s a ，a p r r 。s a j a p r r a u a p r s a 证明由引理3 5 知，ro s r ，r o s 2 s ，再由定理3 , 2 可得 a p _ z r r ：s a a p _ _ s r r a a p r r d a a p _ z r j a a p t r 。j a a p t r a ，a p r r 。j a a p r s a ； 所以婴r ；s ac _ a p _ z r r a t 、a p _ f s a ，a p r 月二a 三a p r r a u a p r s a 推论3 1 设r 是u 上的普通相似关系时，则 a p z r 舻a a p r r a ， 一a p r a 面月a n z + ) 9 昆明理工大学硕士学位论文 横期相| l ；l 关系下的横蝴粗糙集 说明在尺是【，上的普通等价关系时，对砂毫乩，有 a p t r a ( j ) = a p t r 以( ，) ， a p t 詹4 ( 工) = a p t r 一( y ) 二式成立。但是r 是u 上的普通相似关系，以上二式不成立。 铡3 1 u = k l l s8 为论域，r 是u 上的普通相似关系，i x 。1 r 表示与- 的 f 标i 相距小于等于1 的集合，模糊集合关于u 的隶属函数为 a = ，。，。，。，彳，l 则k 。k = 扛；，x 。) ，h 。k = 扛。，岛，) ，扛，k = 扛：b ，_ ，k 。k = 扛，赡) 所以得a p _ _ 5 。a = 。，。，。，。，。 面p r r a = ，。，。，。，吖，。彳，吖 显然对e x s 】。，坚。4 ( ) 塑。a ( x ，) ， 一a p r 。一( ) 一a p r 。a ( x o 3 3 相似关系下的模糊粗糙集的粗相等及粗糙度 定义3 3 设r 是u 上的普通相似关系，、b 是u 上的模糊集合，若 型。a - - a p t 。b ，称a 与b 在普通相似关系下模糊粗下相等，记为一功：若 a p t r a = a p t r b ，称一与b 在普通相似关系下模糊粗上相等，记为= 8 ；若爿：占且 a = b ，稼爿与b 在普通相似关系下模糊租相等，记为爿= b 。 容易证得，对于u 上的普通相似关系r ，一、= 月、。r 都是j f ( ( ，) 上的普通等价关系。 事实上，由于r 是u 上的相似关系，一一是u 上的相似关系自然成立，现在只颓 验证传递性。设4 与b 、爿与c 在普通相似关系下模糊租下相等，即笙r a = 型。b 、 堡巴。a ；呈竺。c ，所以竺竺r 曰= 璺竺。c ，因此得到b 与c 在普通相似关系下模糊粗下楣 等。其余类似。 定理3 6 设r 是u 上的普通相似关系。a ，b f ( u ) ，则 1 0 昆明理工大学硕士学位论文 横糊相似关系下的横糊粗糙集 ( 1 ) a l b 当且仅当ab z a 且一n 占妇 ( 2 ) a - _ b 当且仅当u b = a 且u b - b ( 3 ) 若a z a 且b = b ，则a u b z a u b ( 4 ) 若不4 且b z b l ，则爿n 厉彳。n b ( 5 ) 若a b ，且b 9 ，则爿9 ( 6 ) 若a b ，且彳= u ，则b 二【， ( 7 ) 若_ = 中，或占= 中，则a n b = 中 ( 8 ) 若a - - - u ，或b - 4 j ，则a u b _ - u ( 9 ) 一j ，当且仅当a ：u ( 1 0 ) a - a , 当且仅当a ；m 证明由定理3 ，1 及定义33 可得。 3 4 模糊相似关系下的粗糙集 定义3 4 设u 为论域，r 是论域u 上的模糊相似关系，若4 是( ，上的个经典 集合，则彳关于尺的一对下近似堡竺。a 和上近似万。一分别定义为u 上的一对模糊集 合，其隶属函数为 a p r 。彳厶) 2 噶( 1 一r ( x ，y ) ) 算u 面( j ) = s u p r ( x , y ) ，u 垤 其中r ( x ，力= 乩p ) 表示y 对工关于r 的相似程度。 定理3 。7 设只是( ，上的模糊相似关系，a p ( ( ，j ，则 ( 2 ) ( 3 ) 塑月( 一n 曰) ：婴 ac 、a p t r b t a p _ _ f r r ( aus ) = - a p _ _ f r r au a p r r b 。 印r 一( 爿) 一塑。a 面。0 n 口净面。a n a p r 。b 面。0 u 艿) = 面。爿u 石。b 垦里里三查兰堕主堂垫笙塞 墼塑塑堡差墨三塑堡塑塑壁叁 4 若a c _ b ，贝u a 2 s r r a c a p t n b ，面月a 面。8 ( 5 ) a p _ ! r r 爿爿面r a ( 6 ) 缕r u = u ，一a p r r 西= q b 注在定义3 4 中定理2 i 中的( 7 ) 式不成立。 证明1 翌一( 爿n 眯) = 蒜) l j r b ) ) 2 。i 1 4 n f ) ( 1 - r ( t y ) ) 2 一攀。卜如，) ) 。簿( 1 一尉t y ) ) i _ n f b ( 1 一只( x ，蝴 5 蝉1 一谁，y ) ) 蝉i 雌，j ，) ) 2 1 l 竺。z ( z ) ，、堡芝。占( x ) = 虹。a n a p r 。8 b ) 即r r ( 一n 8 x 算) 暑s u pr ( _ ，) y 吲a e , b j - 一时，舷力s 彳厶) ，0 d ( 2 ) 当4 d ) 4 g ) 时，尺似，) s 1 一a ( x ) ，“力 证明由定理4 3 可知a p r 。爿彳万。a ，若证彳为模糊相似可定义集，只须证 明4 0 2 s u p 4 ) n r y ) ) 与a x ) 爿g ) 时，雌，y ) 爿( 0 ，0 y ) 回理可证( 2 1 。 4 ，2 模糊相似关系下的模糊粗糙集的性质 定义4 2 设r ，s 为u 上的模糊相似关系，v k y ) u x u ，若有 尺b ，y ) 蔓s g ，y ) 则称r 包含q s ，记为r s 。若r s 且s r ，贝称月等于6 1 ，记为r ；s 。 1 7 堡里望三查兰曼主兰丝兰! l 堡塑塑堡苎墨i 盟堡塑塑塑叁 定理4 5 设尺，s 为u 上的模糊相似关系且尺s ，ae ，) ，则育 a p t r a ) 一a p r s 爿，a p t r a c 面s a 证明因为r c s ，所以育a k y ) i n f a ( y ) v ( 1 一s k 枷) = a f t 。b ) 叩r 。a ( 工) = s u p a ( y ) r ( x ，) s 如p 4 ( _ s ( t j ，) ) = 面；f _ ( 工) 所以得a p 竺r r a 些s a ，a p t r 一a p t s a 引理4 1 ( 1 ) 设r ，s 是u 上的模糊相似关系，啦r j r w s ，r n s 也是u 上的 模糊相似关系。 ( 舯 v t t ，r 是己，上的模糊相似关系，则g r ，0 r 也是c ，上的模糊相似 关系。 定理4 6 设r ，s 是u 上的模糊相似关系，a f ( u 1 ，则 a p z m a = a p r r n 型s 4 ，面。a = 面r 爿u 面j a 证明曼竺。彳b ) = i n f a c v ) v ( 1 一陋u s ) b ，蝴 = i n f a ( y ) v ( ( 1 一r ( x ，y ” ( 1 一s b ，y ) ) ) = i n f 4 v ( i 一只缸，瑚 a i n f a ( y ) v ( 1 一s ( 工，j ，) ) = 璺竖。爿b ) 堡竺。a ( x ) = 虹。ac 、a l , _ a r 。b ) 印r 。彳( 冀) = s u p 臼b ) 似u s ，力 = s u p 缸( z ) ( 赋z ，y ) vs ( x ，y ) ) ) = s u p 臼g ) 尺g ，y ) vs u p 0 0 ) n s g ，y ) = 面。爿v 万。彳g ) 昆明理工大学硕士学位论文 横榈相似关蕞下的横糊耙糙集 ：南。4 u 万。彳b ) 所以得a p r r 。s a = a p t a u a p r s a 推论4 1 设r ( f e7 t ) 是u 上的模糊相似关系，a f ( ，则 型生凡a 2 n a p r a ， j r 一 。印等量一2 导q 口r 4 定理4 7 设j r ，s 是u 上的模糊相似关系，ae f ( u ) ，则 a p r 心a d a p r a a u a p r s a ，a p r r m a a p r r a l n a p r s a 证明由于r n s r ，尺n s 至s ，再由定理4 5 可知 塑邪竺r at 型邪一；型s a a p t a 柑一妄a p r r a ，a p r r n s a a p r s a 所以 a p _ z r m s a a p r r a u a p _ _ r r s ，a p r 月4 a p r r a n a p r s a a 推论4 2 i l r , o e r ) 是u 上的模糊楣似关系，4 f ，则 a p z r 。焉一三导竺! 焉爿，q 口r 品焉a 量0 妒r 焉4 引理4 2 ( 1 ) 设r ，s 是u 上的模糊相似关系，若r o s = so r 。贝| j r o s 是u 上 的模糊相