（计算机应用技术专业论文）基于布朗运动的地形构造算法及其真实感渲染.pdf

沈阳理工大学硕士学位论文 摘要 地形和云彩是自然界中最为复杂的景物，由于分形几何学可以很好的描述各 种自然景物，因此，应用分形几何学进行分形地形和分形云的建模，不仅能够获 得具有真实感的分形地形和分形云图，同时，也是科学合理地描述自然景物的客 观要求。 本文基于分数布朗运动数学模型，采用分形随机插值理论，实现了对分形地 形和分形云的建模及其真实感渲染的全过程。在分形云建模过程中，基于 d i a m o n d s q u a t 算法，通过构建独立平稳的随机增量过程，采用高斯一维随机插值 算法进行分形云建模。依据高斯分布具有中心极限定理的意义，利用系统的伪随 机序列实现了服从高斯分布的数学插值模型。为了建立过渡自然的分形云真实感 模型，利用分形特征参数日和仃，提出了具有简单线性关系的真实感建模算法， 并对相关参数进行了控制分析，从而获得了详尽而丰富的分形云效果图。在分形 漉形生成过程中，本文提出多维高斯随机插值算法并用的改进算法，通过加大非 一致缩放而改变布朗函数的表征特性，可以更为合理而精确地描述布朗曲线、曲 面的梯度变化过程，获得多特征布朗曲线和曲面。同时，在对分数布朗运动的指 数化过程进行分析中，引入离散方差的参数分析，从而实现通过改变高斯函数的 离散度，来改变地形在空间上的分布，并结合改进算法，得到了一系列具有多变 地形特征的逼真分形地形模拟结果。 本文采用垂直着色技术、光照模型、雾化及添加分形云图背景等操作，对生 成的实体进行渲染，使分形地形更具真实感。然后，依据计算机图形学的坐标变 换、投影变换原理，实现了在分形地形场景中的虚拟漫游。 关键词：分形随机地形：分数布朗运动：d i a m o n d - s q u a r e 算法；高斯随机插值算 法；虚拟漫游 沈阳理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t a st e r r a i na n dc l o u di sm o s tc o m p l e xs c e n e r ya n dw a sm o d e l e db yf r a c t a lg e o m e t r y ， t h ep a p e ra p p l i e df r a c t a lg e o m e t r yt om a t h e m a t i c a lm o d e l i n go ff r a c t a lt e r r a i na n df r a c t a l c l o u d i tc a no f f e ra i li m m e r s i o ns e n s eo ff r a c t a lt e r r a i na n df r a c t a lc l o u d , a n dm o r e s c i e n t i f i c a l l yd e f i n e dn a t u r a lc h a r a c t e r i s t i co fs c e n e r y b a s e do nm a t h e m a t i c a lm o d e l i n go ff r a c t a lb r o w n i a nm o t i o na n da d o p t e df r a c t a l s t o c h a s t i ci n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m s ，t h ep a p e rr e a l i z e dt h ep r o c e s so fm a t h e m a t i c a l m o d e l i n ga n dr e a l i s t i cr e n d e r i n g i nt h ep r o c e s so ff r a c t a l c l o u do nm a t h e m a t i c a l m o d e l i n g , b a s e do na na r y a n so fd i a m o n d s q u a r ea l g o r i t h m sa n dc o n s t r u c t e dt h e s t a t i o n a r yp r o c e s so fs t o c h a s t i ci n d e p e n d e n ti n c r e m e n t s ，t h ep a p e ra d o p t e dt h a tg a u s s i a n l ds t o c h a s t i ci n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m sa p p l i e dt ot h ef r a c t a lc l o u dm o d e l i n g a c c o r d i n g t ot h ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mo fg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n , i ta c h i e v e dm a t h e m a t i c a l i n t e r p o l a t i v em o d e l i n gf o rg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n i no r d e rt om o d e lf r a c t a lc l o u d r e n d e r i n gm o d e l i n g t oc h a n g en a t u r a l l bi n t h i sp a p e r , 锄s i m p l el i n e a rr e n d e r i n g m o d e l i n ga l g o r i t h m st oa d o p tf r a c t a ic h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r s ( 日& o r ) a r ea d v a n c e d ， a n ds o m er e l a t i o n a lp a r a m e t e r sw e r ea n a l y z e do nc o n t r o lt og e td e t a i l e da f f l u e n t s i m u l a t i o np i c t u r eo ff i - a c t a lc l o u d i nt h i sp a p e r , a ni m p r o v e da l g o r i t h mt oa d o p t m u l t i d i m e n s i o n a lg a u s ss t o c h a s t i ci n t e r p o l a t i o na r ea d v a n c e di nt h eg e n e r a t i o np r o c e s s o ff r a c t a it e r r a i no nm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g t ob ec h a n g e dc h a r a c t e r i z a t i o nf e a t u r eo f b r o w nf u n c t i o nb yi n t e n s i f y i n gn o n l i n e a rs c a l i n g , i tc a nb ed e s c r i b e dl o g i c a l l ya n d a c c u r a t e l yt h ec h a n g eg r a d i e n tp r o c e s so fb r o w nc u r v e sa n ds u r f a c e s ，g o tm u l t i f e a t u r e b r o w nc u r v e sa n ds u r f a c e s t h e n , i tm a k e st h em a t h e m a t i c a la n a l y s i sp r o c e s so ff b m s i n d e xa n di n t r o d u c e sp a r a m e t e ra n a l y s i so fd i s c r e t ev a r i a n c et oc h a n g eg e o g r a p h i cs p a c e d i s t r i b u t i n gb yv a r i a t i o n a ld i s p e r s i o ns c a l eo fg a u s sf u n c t i o n , a n dc o m b i n e sw i t h i m p r o v e da l g o r i t h mt og e tas e r i e so fv i s u a l l yr e a l i s t i cs i m u l a t i o no ff r a c t a lt e r r a i nw i t h m u l t i f e a t u r e t h ep a p e ra d o p t e dt e c h n i q u ea n da l g o r i t h m s , s u c ha sv e r t i c a lr e n d e r i n ga l g o r i t h mo f r g b ，l i g h t i n gm o d e l ，f o ga n df r a c t a ld o u db a c k g r o u n d ，s oi tp e r f e c t l yo f f e r e da n i m m e r s i o ns e n s eo ff f a c t a lt e r r a i n t h e n , a c c o r d i n gt oc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o na n d 沈阳理工大学硕士学位论文 p r o j e c t i o nt r a n s f o r m a t i o no nc o m p u t e rg r a p h i c sa l g o r i t h m s ，i tr e a l i z e dv r t u a lr o a m i n gi n t h ef r a c t a lt e r r a i ns c e n e r y k e yw o r d s ：f r a e t a l s t o c h a s t i ct e r r a i n ；f r a c t a lb r o w n i a n m o t i o n ；d i a m o n d - s q u a r e a l g o r i t h m s ；g a u s s i a ns t o c h a s t i ci n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m s ；v r t u a lr o a m i n g 沈阳理工大学 硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由作者本 人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在文中指出， 并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本 声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：劢缘 日期 ：函明年月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解沈阳理工大学有关保留、使用学位论文 的规定，即：沈阳理工大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权沈阳理工 大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 笋氨骢 ! r 签嚣瑟。夕 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 概述 虚拟现实( v i m a a l r e a l i t y ，简称v r ) 技术主要研究交互实时三维图形在计算 机环境模拟方面的应用1 1 1 。该技术的最大特点是用户可以用自然方式与虚拟环境进 行交互操作，改变了过去人类除了亲身经历，就只能间接了解环境的模式，从而 有效地扩展了人类的认知手段和领域。虽然早在2 0 世纪6 0 年代，就已经提出此 项技术，由于其涉及的学科面宽，对实时三维计算机图形的要求很高，因此直到 2 0 世纪8 0 年代后期，随着计算机硬件的迅猛发展，以及自然科学新兴学科的涌现， 虚拟现实技术的研究才开始活跃起来。较快的研究工作也使得该技术已在航空航 天、自然景观模拟、医疗、艺术等领域得到初步应用，并获得了广泛的关注，虚 拟现实技术正在使众多传统行业和产业发生革命性的改变。 虚拟现实技术除了用到大量的计算机图形学知识以外，还可以从新的领域中 得到支持。分形几何学理论作为新兴的一门学科，于1 9 7 5 年被正式提出，它使人 们能以新的观念、新的手段来处理非线性问题，透过扑朔迷离无序的混乱现象和 不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部和整体之间的本质联系【2 l 。 自然景观模拟作为虚拟现实技术中重点研究的对象，由于其自身结构体现为不规 则形态，因此分形几何学理论在自然景观模拟中，得到了广泛地借鉴和推广，初 步取得了一定的进展和应用，而这些成果显然是令人激动和鼓舞的，不仅仅因其 模拟结果与现实表象上的相近，更因为对于欧式几何无法解决不规则事物的建模 问题，却在分形几何学理论中得到了很好的解决和现实应用。而且，随着分形几 何学理论的完善和新理论地提出与推广，对于虚拟现实技术的蓬勃发展，无疑会 起到更为重要的作用，尤其对于自然景观建模问题，分形几何学理论已经成为其 关键技术，并在自然景观模拟最为复杂的地形模拟中，初步得到了应用，并展现 出广阔的发展前景。 无论是虚拟现实技术，还是分形几何学的应用，都离不开科学计算。在2 0 世 纪8 0 年代后期，发达国家提出并发展起来一个新兴的研究领域一一科学计算可视 沈阳理工大学硕士学位论文 化( v i s u a l i z a t i o ni ns c i e n t i f i cc o m p u t i n g ) 。该领域的思想是：不仅需要分析计算机 得出的计算数据，而且需要了解在计算过程中数据的变化，这些要借助计算机图 形学及图像处理技术【3 1 。由此可以看出，对于虚拟现实技术和分形几何学应用而言， 不仅仅要强调视觉效果和应用理论结果，更重要的是强调对模拟过程的分析和控 制。因此，对于现实事物客观规律的揭示，尤其是自然景物形态特征的科学研究， 有利于虚拟现实技术的应用，并进行精确地分析和控制，从而达到预期的效果。 在众多新理论、新技术的背景下，计算机科学在社会实践生产中的应用将会更加 理想和完善。 1 2 课题研究的意义 地形在自然景物中是最为复杂的事物，因此，对其模拟的难度很大。由于通常 所用地形图的数据量较大，三维真实感地形图的生成计算对计算机图形处理能力 提出了很高的要求。这些工作原来只能在三维图形工作站或大型计算机上完成， 其昂贵的价格使大量用户望而却步，因此，在p c 机上如何生成具有动态特征的三 维真实感地形图成为计算机图形领域的一个挑战课题，它具有重要的应用价值。 利用分形理论进行三维地形的虚拟建模，与地理信息系统利用海量数据生成的 虚拟地形相比，具有生成速度快，以及较逼真的真实感，更加适用于相关学科的 基础研究、地物观察、试验教学等领域。同时，随着计算机图形学的发展，尤其 是分形理论研究的成熟，在此方面会取得更多的突破。 对于能够生成适合于专业要求的地形而言，是分形图形学未来应用的一个重 要发展方向，而且对于分形地形的商业化开发和专业性应用具有深远意义，能够 拥有我国自主产权的分形虚拟技术，将是我国未来数年发展的趋势。同时，也希 望能够通过此课题深化对分形几何学、计算机图形学、地理信息系统等学科的融 合，尤其是可以加强对分形几何学的理论深入研究和广泛应用。 1 3 国内外研究现状及存在问题 众所周知，三维数字地形发展经历了线划地形图、实体地形图和三维地形图三 个发展阶段m 1 。线划地形图和实体地形图虽然具有一定的立体效果，但信息量不足， 实用性不强。而三维真实感地形图能较逼真地反映外部真实世界，可它又缺乏动 第l 章绪论 态特性。通常上述三种地形图的原始数据是提前做为文件存储起来的，这不仅仅 在存储空间的占用方面付出了不小的开销，还要对这些数据再进行大量的采样计 算，直接影响了地形生成的实时性。 我国于上个世纪八十年代已经开展了关于计算机虚拟地形的研究，直到现在， 随着多学科研究发展的融入，使得最近十年在该领域不断取得新的虚拟手段和研 究结果。总的来说，三维地形的模拟分为两类：真实地形和模拟地形。真实地形 是现实世界中真实地形的再现，具有非常高的真实度，必须采用真实世界中的具 体数据来构造，在这种情况下一般采用数字高程模型( d i g i t a le l e v a t i o n m o d e l ，d e m ) 方法【5 l 。它利用卫星遥感图片和卫星定位系统所取得的海量地理数据， 生成计算机虚拟地形。尽管数据的准确性勿庸置疑，但其数据量过于庞大，且该 方法数据结构比较复杂，虽然精度非常高，但是，图形生成速度慢，生成虚拟地 形非常耗时。对于某些并不需要高精度计算的研究领域，这样的不足是无法忍受 的，尽管目前地质专业研究人员也提出了很多改进措施，但是，仍然无法从根本 上改变这一现状。另一种方法就是利用分形几何学理论建立模型。分形几何学理 论诞生于2 0 世纪7 0 年代中期，创始人是美国i b m 的研究人员b b m a n d e l b r o t ， 作为研究非线性科学的重要理论，分形几何学具有极强的概括力和解释力，目前 国内外许多学者从事这方面的研究，并且取得了一系列令人瞩目的成果l 销l 。针对 分形理论给出的计算机模拟的图形结果，使得人们在对不规则集的研究上迈出了 重要一步。由于自然景观多为分形结构，因此分形理论的创新和应用，对于地形 虚拟建模有着特殊重要的意义。 虽然人们在某些自然景物的计算机模拟上取得了可喜的结果，然而在地形模拟 方面所做的工作并不多，并且现有的算法在模拟效果方面也不十分理想。b 1i n n 曾 提出应用法向扰动来模拟表面细微的凹凸不平的景物，并在模拟自然界的植物表 皮方面取得了很好的效果1 9 l ；f o u r n i e r 等人首次利用分形布朗运动( f b m ) 来生成 地域和各种星球表面的图形【1 0 1 ；骆岩林、汪国昭等人在卜细分法的基础上提出采 用细分化方法来进行地形模拟i n l ；为了提高分形图形生成的运算速度，1 9 9 9 年燕 山大学开始对分形图形分布式处理技术进行系统研究【8 l ；2 0 0 1 年，彭仪普、刘文 熙采用分形布朗运动中的随机中点位移法实现了地形的模拟【1 2 】；中科院的李红达 等人利用分形插值曲面进行了地形地貌的模拟和研究。虽然上述各种方法都有效 沈阳理工大学硕士学位论文 地模拟了地形，但有的算法在表面细节方面所模拟的地形表现力不够强，带有较 大的人工痕迹；而有的方法算法比较复杂，计算量很大，从而限制了其在实时仿 真场景中的应用。目前较普遍的分形建模方法还是基于分数布朗运动原理的改进 方法。 总的来说，常用的地形建模观点有两种：一种观点就是把地形看成是由复杂的 几何面组成的，另一种观点是地形是图像的叠加。第一种观点在计算机上的实现 方法是：用三角形面片或其它计算机易于实现的图形进行逼近，建立地形图形的 三维网格模型，通常称它为基于图形建模( g e o m e t r y b a s e dm o d e l i n g ) ；第二种观 点在计算机上的实现方法就是对已有的多幅图像进行处理，消除重复的部分，产生 三维的特征，通常把它称为基于图像建模( i m a g e b a s e dm o d e l i n g ) 1 3 1 。 基于图像的建模技术出现的较晚，它的优点是基于真实图像，因此它是真实的。 缺点是，进行图像建模需要大量的真实数据，使用这种技术生成的三维环境不能 够进行动态的漫游和改变，此外，它的三维感也不够强。由此看来，这种技术还 不够成熟。基于图形的建模技术比较成熟，生成这种地形需要大量计算，但在计 算机软硬件快速发展的今天，这些计算很容易满足，且它带来的好处就是数据量 较少，易于网络的传输等。此外这种方法建立的是真正三维的几何模型，因此能 够能通过模型变换，很方便地进行漫游等交互操作。当前使用的三维地形大多数 是基于图形的。 正如前述，基于图形的地形建模生成技术中，主要有三个不同研究方向上的解 决方法。一种是使用d e m 数据构造多边形面，用多边形网格进行逼近的方法称为 数字高程模型d e m 1 4 1 。该技术是由美国麻省理工学院的c a h i e r sl m i l l e r 教授针 对高速公路的自动设计于1 9 5 6 年提出的，其目的是使用测量仪器或其它技术手段 获得地形的高度数据，在满足一定精度的前提下，在计算机中用离散的数字形式 表示。其中具有代表性的几种方法为：h u g u e sh o p p e 提出的累进网格( p r o g r e s s i v e m e s h e s ，p m ) 、法【1 5 l 。这种算法通过一系列的边折叠( e d g ec o l l a p s e ) ，将原始数据 网格简化为一个简单的基网格，这样就可以根据其逆操作边分裂( e d g es p l i t ) 将 细节逐次添加到基网格上去。对于中点位移算法，还有许多改进的方法，如将边 折叠边分裂扩展到点分裂合并等处理。 另外一种方法是基于数据拟合的地形生成，用曲面( 如二次曲面，b e z i e r 曲面 第l 章绪论 或其它一些曲面) 进行拟合【1 6 】。这种方法可以保证相邻曲面块的连续性，没有突 点和断点。但对于复杂场景，需要较大的计算量，此外这种方法生成的曲面比较 光滑。为了增加其真实感，可以用分形的方法进行噪声扰动，从而形成较为真实 的地形表面。 最后一种是基于分形技术的地形生成。分形几何关注的是物体的随机性、奇异 性和复杂性，透过混乱的表象和不规则的造型提示了隐藏在其背后的局部与整体 的本质联系和运动规律1 1 7 1 。分形几何是自然景物的建模与绘制的最有效的工具， 使用递归和迭代算法使用简单的公式就能生成很复杂的景物。本课题研究内容就 属于这类方法，采用了分形几何学中分数布朗运动数学模型，通过迭代算法和 高斯分布进行离散点采样，加强分形地形生成参数的控制，尽可能地消除人为痕 迹，从而获得了非常理想的分形地形图形。 1 4 本文的主要工作 1 4 1 本文基本思想 生成具有真实感的分形地形分为三个过程：数学建模、图形建模、真实感建 模。 建立在分形几何学基础上的数学建模，是分形地形模拟的理论基础、立题之 基，因此采用具有可变分形维数的分数布朗运动做为分形地形模拟的数学模型， 力求获得多变的地形表现和良好的自相似特性。 图形建模是在数学模型的基础上解决分形地形表象的建模过程。通过中点位 移经典算法可以对分形地形离散点进行算法遍历，而对于数学模型的采样则可基 于维纳随机过程理论，利用高斯随机差值算法获得，同时，为了尽可能地消除人 为痕迹，引入高维高斯随机插值算法进行图形建模采样，从而尽可能地消除地形 表象上的雷同与相近。为了更好地加强计算机对分形地形图形模型算法处理的合 理性，利用中心极限定理进行高斯分布函数的程序设计构建，以便科学地支持数 学模型和图形模型的理论性和应用性。 分形地形真实感建模是基于o p e n g l 三维交互式图形应用程序开发环境及其 强大的图形处理能力，对具有高程值的离散点进行三维直线贯连，以使其具有网 格结构的分形地形表象。对于该地形网格结构进行普通的面片化三维渲染处理， 沈阳理工大学硕士学位论文 得到二维数组分形地形的单个图形效果图。为了增强三维分形地形的真实感，本 文依据o p e n g l 提供的图形渲染功能，采用了光照功能、雾化功能，并就此作出了 详细论述，给出了相应的程序代码。同时，为了解决通常采用图像纹理映射而造 成的图像纹理拼接过程中存在明显边界的问题，而使用垂直着色技术，不仅产生 的分形地形色彩过渡自然真实，而且在三维虚拟漫游过程中，不会产生图像面片 遮挡和加载过慢的现象，有效地适应了三维虚拟漫游的需要，同时也增强了分形 地形的真实感。 1 4 2 本文主要内容 第一章绪论。系统而深入地研究和分析了国内外虚拟现实技术和分形几何学 在三维地形建模中的应用和现状，说明了分形地形研究的重要意义。在客观地分 析前人分形地形建模特点和存在问题的基础上，提出了基于布朗运动的分形山构 造算法及其真实感渲染的详细解决方案，并合理地规划了论文的主要工作。 第二章分形地形的数学建模。通过对分数布朗运动数学模型特性的分析，阐 述了在分形地形数学建模过程中，采用分数布朗运动数学模型的必要性和合理性。 第三章分形地形的图形建模。基于经典的随机中点位移算法，阐述了引入高 维高斯插值算法的合理性，强化了分形地形的多变特征，同时利用中心极限定理 进行程序构建高斯分布函数，有力地支持了分形地形在数学建模和图形建模过程 中的理论性和应用性。 第四章分形地形的真实感建模。对分形地形的图形模型进行网格化以及真实 感渲染，同时，采用垂直着色技术进行分形地形色彩着色，有利于在动态三维分 形地形中获取过渡自然的地形色彩。深入讨论并采用了虚拟漫游技术，增强在漫 游过程中地形的真实感和实时性。 第五章分形云图的建模与真实感渲染。基于分形地形理论和构建方法，构建 基于一维随机插值的分形云图形，并在垂直着色原理的基础上，增强分形云线性 色彩控制，从而构建多变的分形云图像。 第六章分形地形生成控制与结果分析。基于以上建模原理和算法，对分形建 模过程中的参数作用进行详细的分析，旨在建立分形建模的控制机理，有目的和 可人为控制地生成特定分形图形。 第l 章绪论 结论部分。在总结了本课题的实际工作和相关结论的基础上，谨慎地提出了 分形地形有待进一步完善的系统规划，以及未来发展的预计目标。 1 4 3 课题设计环境 本课题以w i n d o w s 为平台，采用v i s u a lc + + 6 0 和o p e n g l 开放图形库为编程 工具，依赖软件技术来实现。 v i s u a lc 抖是面向对象的程序设计语言。面向对象技术以其独特的封装性、继 承性和多态性为软件工程带来了一场变革。同传统的软件开发方法相比，面向对 象技术可以更直观地进行对现实世界的抽象，使软件工程的分析、设计和编程等 几个阶段的衔接更加自然和平滑，因此，更符合软件开发的规律，使软件开发更 加规范化，大大提高了软件的可继承性、可靠性、可维护性和可扩充性1 8 l 。 o p e n g l 是一个w i n 3 2 内部的应用程序编程接口( a p p l i c a t i o np r o g r a m m i n g i n t e r f a c e ，简称a p i ) 1 1 9 l ，从本质上说，o p e n g l 是完全可移植并且速度很快的 3 d 图形和建模库。由于具有体系结构简单合理、使用方便、与操作平台无关等优 点，o p e n g l 已经成为一种3 d 图形接口的工业标准，并能够在各种平台上实现。 o p e n g l 的运行机制是客户服务器( c l i e m s e r v e r ) 机制，由客户( 用o p e n g l 绘制图形的应用程序) 向服务器( o p e n g l 内核) 发送o p e n g l 命令，服务器则负 责解释这些命令。o p e n g l 的图形库被封装在一个动态连接库o p e n g l 3 2 d l l 内。从 客户应用程序发布的对o p e n g l 函数的调用首先被o p e n g l 3 2 d l l 处理，传送给服务 器后，被w i n s r v d i l 进一步处理，再传给、舨n 3 2 设备驱动接口( d d i ) ，最后把处 理过的图形命令送给视频显示驱动程序。 1 4 4 课题研究目标 分形地形的真实感不单单是感官上的真实可信度，还应该包括分形地形建模 的合理性，以及对数学模型采样的准确性。因此，分形地形的真实感应该是它建 模过程的科学性和完备性的集合。这也是本文采用分形地形构建模型和算法的主 要依据和根本目的，力求尽可能地去除人为痕迹。同时，对于建模过程中的参数 进行科学合理地分析，不仅可以预期分形地形在随机生成过程中的真实感效果， 同时也是加强分形生成控制的有效手段。只有进行合理而有效的分形建模控制， 沈阳理工大学硕士学位论文 才能强调分形地形的真实感，从而构造出丰富多变的分形地形结果。 第2 章分形地形的数学建模 第2 章分形地形的数学建模 只有对分形几何学理论的深入理解，才能够准确地应用分形几何学理论逼真 地描绘出地形、云、树木、花等自然景物，因此，选择科学精确的分形数学模型， 是建立虚拟景物成败的关键，而做为自然景物中表象结构最为复杂的地形而言， 数学建模过程是构建分形地形的基础，也是效果图真实感程度优劣的关键。 2 1 分形几何学概述 回顾过去的一个世纪中数学的发展历程，可以欣喜地看到数学家们在追求数 学理论的完美性和数学应用的广泛性上，所做出的孜孜不懈的努力和所取得的丰 硕成果。在层出不穷的新学科中，美籍法国数学家b b m a n d e l b r o t 于本世纪7 0 年 代中期所开创的分形几何理论在上述两个目标的追求上都取得了突出成就，被誉 为开创了2 0 世纪数学的重要阶段1 2 0 1 。 2 1 1 分形几何学及其性质 分形几何中的主要角色都是传统数学中的病态结构或数学怪物所扮演的三分 康托( g c a n t o r ) 集、冯科克( y o nk o c h ) 雪花曲线等图形，m a n d e l b r o t 把它们 放在分形几何中统一处理，使人们看到了过去那些被认为是病态的怪物展现出的 新规则，这一切使科学工作者惊讶并更加直观地接受分形几何学。分形几何学为 研究自然界中形形色色的复杂形状和结构提供了十分简洁的工具，因而在天文学、 地质学、物理学等众多领域得到了十分广泛的应用，以至于从8 0 年代中期开始， “分形热成了科学界叫得最响的名词。 为了更好地理解分形几何学，人们试着象对其它学科那样，给出该学科的严 密定义，但遗憾的是，做为客观存在的非线性本质的事物而言，无法象欧几里德 几何那样进行精确的描述，凡是试着这么做的结果，总是会将一些明显应当是分 形的集合排除在外，反而限制了分形几何学的发展。其实，就如同无法为“生命 做严密的科学定义一样，完全没有必要去硬性规定非线性事物存在的客观性。因 沈阳理工大学硕士学位论文 此，对分形图形最好把它看成具有相关性质的集合，而不去寻找精确的定义。从 数学的观点来看，这样“定义”使得更容易区分和得到分形图形。 称集f 是分形，即认为它具有下面典型的性质1 2 1 之2 1 ： ( 1 ) f 具有精细的结构，即有任意小比例的细节； ( 2 ) f 是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述； ( 3 ) f 通具有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的； ( 4 ) 一般地，f 的“分形维数( 以某种方式定义) 大于它的拓扑维数； ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，f 以非常简单的方法定义，可能由迭代产 生： 2 1 2 分形维数与自相似性 传统欧氏几何所研究的图形或空间都是足够正则，足够光滑的。然而，自然 界的真实形态并非如此光滑规则，对于起伏不平的地形地貌、曲曲弯弯的海岸线、 纵横交错的大地褶皱、断层裂缝等等，它们不是欧氏几何意义下的光滑规则形体。 根据研究问题的需要，光滑规则的形态不仅不能较好地近似它们，有的甚至连一 级近似也做不出来。1 9 世纪的数学家也凭借想象创造出来了一些不够光滑不够正 则的形体空间形式，如c a n t o r 集合、y o nk o c h 曲线、s i e r p i n s k i 地毯等等。但 是长期以来它们被视为是病态的，或称为数学怪物。由于分形这一新概念的诞生， 才使这些非正则的数学怪物获得了新生，科学家们发现这些难以想象的错综复杂 的结构，以极其简洁的形式描绘出复杂的物体，因此科学家们称分形几何是大自 然本身的几何。 2 1 2 1 分形图形自相似性 正如很容易理解欧氏几何图形具有一个或几个特征( 如图形的大小、长度、 半径等) ，分形几何图形往往无法具备这些特征。m a n d e l b r o t 已经成功地提出了 英国海岸线测不准问题【2 引，由于分形图形具有无限细节，不具有特征尺度，因此 无法进行精确的定量和描述。由分形图形的性质可以知道，复杂的分形图形背后 往往存在着极为直观的规律性和简单性。m a n d e l b r o t 在介绍海岸线时，已经提到 了在不同高度或以不同尺度看到的海岸线的相似性，同样，再考察y o nk o c h 曲线 第2 章分形地形的数学建模 时，可以更加直观地发现，只要把 0 ，1 3 这一部分图形放大3 倍，结果和原来 的曲线完全相同。把 1 3 ，1 2 - 1 1 22 3 2 31 上的各部分放大3 倍也能得 到同样的结果。把 01 9 上的图形放大9 倍，也得到与原来相同的曲线。对更小 的部分放大相应倍数，结果仍然如此。不论多小的部分，放大适当倍数都会得出 和y o nk o c h 曲线一样的图形，这种性质称为自相似性。自相似性表明分形图形的 复杂性不随尺度的减小而消失。 形体的自相似性不仅限于这类y o nk o c h 曲线，山脉的起伏、复杂多变的地形， 也有类似的性质，一般很难估计它们的比例尺有多大，其复杂的分枝构造也一定 程度上的具有自相似性，但是这种自相似性不是严格的，而是统计意义上的，也 就是说局部与整体具有相同的统计分布，称为统计自相似性。统计自相似性的适 用范围更加普遍，几乎涵盖了所有自然景物。例如地形具有更复杂的分形结构， 尊从对地形结构的简单放大和缩小的过程中，很难发现它的规律性，但是，正如 真实的海岸线构造一样，它也表现出了统计自相似性特性，即它的任意部分放大 以后与整体具有相同的统计分布规律。也正是自然地形具有的这种统计自相似特 性，才使得可以用分形几何学的思想来考察它，同时，也可以科学合理地引入随 机过程理论来进行分形地形的建模研究。 2 1 2 2 分形维数 分形几何与传统欧氏几何的之间的差别之一就是，传统的欧几里德几何的维 数都是正整数维的，但分形图形的维数是允许存在分数维的，而且大部分分形图 形的维数都是分数维。正如在前面讨论分形自相似性的过程中了解的内容，利用 v o nk o c h 曲线来解释一下非整数维的概念是恰当而易于理解的。 设为单位区间1 0 ，1 】，第一步，即n = l ，以e o 的中间三分之一线段为底，s j j = 1， 作一个等边三角形，然后去掉区间( ，詈) ，得一条四折线段多边r g e , 。第二步，即 jj 刀= 2 ，对的四条折线段重复上述过程，得一条十六批线段e 。再重复上述过程， 由e 到k ，当刀趋于无穷时，便得到一条v o nk o c h 曲线( 见图2 1 ) 。显然它 是一条连续但不可导的曲线。 沈阳理工大学硕士学位论文 ( e 0 ) ( e 2 ) 图2 1k o c h 曲线的生成过程 考察v o n k o c h 曲线在一维空间中的长度。显然，由于它是一条闭区问的曲线， 那么在二维空间中，其面积为0 。在经历了相同的若干次迭代后，其具有无限细化 的特点，由此可见这条曲线是没有大小的，也就是说k o c h 曲线是在传统的欧几里 德几何中是无法度量的。 这个问题终于在2 0 世纪7 0 年代被美国数学家b e n o i tb m a n d e l b r o t 彻底解决。 他分析了维数真正的定义，实际上，在欧几里德几何中，若对长度为l 的线段力等 分，每段长为，则 ，l ，= 1 对面积为l 的正方形作疗等分，每个小正方形的边长为，则 刀，2 = 1 对体积为l 的正立方体作l r i 等分，每个小正立方体的边为，则 刀，3 = 1 在上面三个等式中，的幂次实际上就是该几何体能得到定常度量的空间维 数，于是可以推广出下面这个公式 聆，d = 1 两边取对数，得到分形图形的空间维数d 的表达式： j d ：一_ i n n ( 2 1 ) l n ， 、 第2 章分形地形的数学建模 则可以由公式( 2 1 ) 求出一些严格自相似的分形图形的维数。 对于k o c h 曲线而言，在进行第刀步时，其等长折线段总数为4 “，每个折线段 的长度为) ”，于是k o c h 曲线的维数d 应为 一篑= 等“2 6 h ( 二) ” “。 分形维数是分形图形最基本的不变量，做为完备的表征参数，分形维数的获 取方法很多，考查的角度也不尽相同。在地形建模过程中，任务自然不是获得精 确的分形维数，只是由分形维数的意义来考查分形图形的特征，而分形维数做为 刻画分形图形占领空间规模和整体复杂性的量度，往往可以较为简单地理解分形 图形在空间内的形变程度，通过测量分形维数来提供用于量化自然的不规则形状。 因此，想要得到丰富的分形图形，必须采用分形维数来区分相似性很接近的分形 图形，尤其是对采用同一数学模型建立的分形图形，它是分形建模分析和控制的 主要考证参数和依据。 2 2 噪声 任何量矿随时间t 的不可预测变化被称为噪声【2 4 1 。噪声定义表征了空间随机 特性，同时，时间变化和空问变化一样，在不同比例上有许多相同的自相似特性， 因此对噪声的分析与研究，有效的将随机过程和分形图形的自相似特性联系了起 来。 典型的噪声分为三种：白噪声、1 f 噪声和布朗噪声( t f 2 噪声) 。图2 2 就 是三种典型噪声的样本。可以看出，白噪声是随机性最大的噪声，而且点点完全 不相关，其频谱密度是一条水平直线，表示在所有频率下量值相同。就象白光可 以分出有色光一样，白噪声同样也包含另外两种典型频率的噪声。较之白噪声而 言，1 f 噪声和布朗噪声具有更好的相关性，且自然景物和现象的不规则性更接近 于1 f 噪声。但是，在实际模拟任何一种自然景物的过程中，都需要经过反复实 验才能找到适合的1 f 噪声纹理函数，从而大大地限制了它的应用2 卯。 沈阳理工大学硕士学位论文 _ 一， z 斟 静 鬯 h t 驯 帮 蜘 k 、 z 削 相 整 l o b ， j _ 以j 1 ，i i l 。l l 札l i j l l k _ 圳 下r 1 if i l rp1 5 。咿1w 图2 2 典型噪声样本 然而，从白噪声中可以分离出的布朗噪声则与它们不同。布朗噪声包含的低 频要比高频多，也是三类典型噪声中相关性最好的，就分形几何学方面，这种相 关性不仅基于随机分形层面，而且也是基于统计特性的。因此，布朗噪声具有相 对较好的统计相关特性，其噪声表达形式也较为简单，且容易获得。即使是直观 上的感觉，也可以看出布朗噪声在对自然景物和自然现象的不规则性描述方面， 也要较之前两种典型噪声更符合，因而，基于布朗噪声原理模拟出的地形地貌更 加自然，而不会显得突兀失真。 基于噪声理论来对自然景物进行随机性和自相似性的分析，可以较好的借助 分形特性选取自然景物模拟的数学模型。布朗噪声具有随机特性，同时可以从其 一维图像明显看出它具有的统计自相似分形特征，从大貌上也能较好地反映出地 形的变化。因此在分形几何领域内，利用布朗噪声特性，进行三维景物建模是客 观而科学的，无疑这对地形建模也一样适用。基于对它维特性的认知，在构建 数学模型过程中，可以加深对布朗运动的规律分析和建模认知，对其高维特性进 行研究和应用也具有特殊意义。 第2 章分形地形的数学建模 2 3 布朗运动( 酬) 和分数布朗运动( f b m ) 自然中发展的随机分形的一个极为有用的数学模型一直是m a n d e l b r o t 和v a n n e s s 的微小的分数布朗运动( f b m ) 1 6 , 2 4 , 2 6 。基于对布朗噪声和布朗运动的研究， 分数布朗运动是二者概念的延伸，它在物理和数学上均起着极其重要的作用。几 乎所有自然的计算机图形学分形模拟均基于分数布朗运动，甚至是更高维的分数 布朗运动。因此，在分形地形数学建模过程中，认知和应用分数布朗运动是非常 必要和重要的。 2 3 1 布朗运动 英国植物学家b r o w n 在1 8 2 7 年注意到浮在液面上的微粒极不规则的运动，空 气中的烟尘粒子也具有相似的现象，后来解释为由液体的分子撞击所引起，称这 一现象为布朗运动1 2 4 ,