（材料物理与化学专业论文）大规模集成电源网络的规划分析和优化设计.pdf

摘要 在现代大规模集成电路设计中，电源网络正逐渐成为影响电路性能和可靠性 的重要因素。电源，地网络上的电压降可能导致功能失效，或者降低芯片的工作 速度，从而无法满足时序设计指标。另一方面，电源网络上的大电流也可能导致 芯片的电迁移失效。因此，为避免过大的电压降以及电迁移失效，在设计流程中 对电源网络进行分析是非常必要的。 本文提出了一套基于电源网络分析的设计流程，在设计过程中的多个阶段对 芯片进行电源网络分析。但是，传统的电源网络分析方法通常非常耗时，并不适 合在芯片的规划阶段使用。因为我们在芯片的规划阶段完成了电源网络的规划设 计，所以为了能够在规划阶段分析电源网络从而优化设计，本文同时也提出了一 种适用于规划阶段，且快速精确的电源网络分析方法。 我们将这种设计方法应用在了复旦大学。中视一号”高清晰数字电视地面传 输协议芯片当中。模拟和流片实验结果显示，这种方法非常精确，而且分析速度 快在设计中，通过使用本文中电源网络分析方法，这种基于电源网络分析的设 计流程成功地解决了芯片中的电压降以及电迁移问题，保证了芯片一次流片成 功。 关键词：大规模集成电路，电源网络，芯片规划，电压降，电迁移 中图分类号：t n 4 7 a b s t r a c t i nm o d e r nv l s ld e s i g n p o w e rd i s t r i b u t i o nn e t w o r k sa r eb e c o m i n gi i m i t i n g f a c t o r so ft h ec i r c u i to e r f o i t g a n c ea n dr e l i a b i l i t y v o l t a g ed r o po nt h ep o w e ra n d g r o u n d ( p i g ) g r i d sm a yc a u s ef u n c t i o n a lf a i l u r e so rs l o wd o w n t h ec h i p ss o t h a ti ti si m p o s s i b l et om e e tt h et i m i n gr e q u i r e m e n t s o nt h eo t h e rh a n d ，h i g h s u p p l yc u r r e n t sf l o w i n gt h r o u g ht h ep o w e rg r i d sm a yc a u s ee l e c t r o m i g r a t i o n f a b u m s t h u si ti sc r i t i c a it oa n a l y z ep o w e rd i s t r i b u t i o nn e t w o r k sf o rs e v e r e v o l t a g ed r o pa n de l e c t r o m i g r a t i o nf a i l u r e si nt h ed e s i g nf l o w i nt h e s i s ，w ep r e s e n tap o w e ra n a l y s i s - d r i v e nd e s i g nm e t h o d o l o g y t h i s m e t h o d o l o g yc o v e r st h en e e df o ra l ls a g e so ft h ed e s i g np r o c e s s b u t t r a d i t i o n a lp gn e t w o r ka n a l y s i sm e t h o d sa r et y p i c a l l yv e r yc o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v ea n dt h u sn o tf e a s i b l et ob eu s e da tt h ef l o o r p l a n n i n gs t a g e w e d e s i g nt h ep ，gn e t w o r kt o p o l o g ya tt h ef i o o r p l a n n i n gs t a g e ，s oi n o r d e rt o m a k et h ep ，gn e t w o r ka n a l y s i sf e a s i b l e w ep r e s e n tav e r ye f f i c i e n t ，y e t s u f f i c i e n t l ya c c u r a t ea n a l y s i sm e t h o di nt h e s i s ac a s es t u d yo fa p p l y i n gt h i sm e t h o d o l o g yt ot h e 。c d t v l ”h i g h - d e f i n i t i o n t v ( h d t 、，) c h i pi sp r e s e n t e d t h ee x p e r i m e n tr e s u l t s s h o wt h a to u rp ，g n e t w o r ka n a l y s i sm e t h o di sa c c u r a t ee n o u g ha n dv e r ye f f i c i e n t i nt h ed e s i g n c a s e ，w i t ho u rp i gn e t w o r ka n a l y s i sm e t h o d ，t h ep o w e ra n a l y s i s - d r i v e nd e s i g n m e t h o d o l o g ys u c c e s s f u l l y f i x e dt h ei rd r o pa n de l e c t r o m i g r a t i o na tt h e f i o o r p l a n n i n gs t a g ea n de n a b l e dt h es i n g l e - p a s s e dd e s i g n k e y w o r d s ：v l s i ，p gn e t w o r k ，f l o o r p l a n ，v o l t a g ed r o p ，e l e c t r o m i g r a t i o n c l cn u m b e r ：t n 4 7 图表目录 图1 1c p u 功耗趋势2 图1 2i r 电压降降低了噪声容限4 图1 3 电迁移现象5 图1 4 v l s i 中的电源网络结构6 图2 1 线性电路的叠加性和齐次性。1 1 图2 2 独立源1 2 图2 3 线性无源器件1 3 图2 4 线性受控源1 4 图2 5 基尔霍夫电压定律例一1 5 图2 6 基尔霍夫电流定律例1 6 图2 7 电源网络示意图1 9 图2 8 电源网络组成1 9 图2 9 电源网络的r l c 模型2 0 图2 1 03 x 3 网格2 1 图3 1 设计流程2 5 图3 2a s t r or a i l 电压降分布结果2 6 图3 3 芯片规划阶段示意图2 7 图3 4 芯片规划阶段的电源网络分析流程2 8 图3 5 电源网络分析算法2 8 图3 6 电压源模型2 9 图3 7 电流源模型3 0 图3 8 电源网络的电阻模型3 1 图3 9 算法实现流程3 3 图4 1 “中视一号”基于电源分析的设计流程3 6 图4 2 布局和电源线分布对电压降的影响3 7 图4 3 “中视一号”规划设计3 8 图4 4 电压降分布图3 9 图4 5 电流分布图4 0 图4 6 “中视一号”特殊的电源网络结构4 1 图4 7 不同电源金属条宽度下的电压降4 3 图4 8 不同电源金属条宽度下的电迁移“ 图4 9 电源网络分析结果4 6 图附1 a s t r o r a i l 流程4 9 图附2l o a dp o w e rs u p p l y 5 0 图附3 调用线网翻转信息5 1 图附4 功耗分析5 2 图附5p i ge x t r a c t i o n 5 2 图附6 电压降和电迁移分析5 3 表1 1 集成电路发展趋势1 表2 1 独立源的数学表达1 2 表2 2 线性无源器件的数学表达1 3 表2 3 线性受控源的数学表达1 4 表2 4 改进节点分析法的演变。1 7 表4 1 物理设计各阶段耗时3 6 表4 2 不同电源金属条宽度下的电压降值4 2 表4 3 电源网格结构4 3 表4 4 电源网络分析结果对比4 5 第一章前言 1 。1 集成电路发展趋势 第一章前言 大规模集成电路( v e r yl a r g es c a l ei n t e g r a t e d ，简称v l s i ) 正朝着高性 能和低功耗方向发展。为了达到高性能的电路设计，集成电路的工艺不断进步， 线宽不断缩小，而电路的功能日趋复杂，设计复杂度不断攀升，从而使得芯片的 规模也不断扩大。与此同时，规模的扩大导致了芯片的功耗急剧上升，为了减少 电路的功耗，系统中可以采用很多方法，比如：门控时钟、系统电源管理技术等 等。但是最常用且效果最明显的方法是直接降低电路的供电电源电压，这是因为 芯片的功耗p 是和电源电压v d d 的平方成正比的。综上所述，高性能和低功耗 的发展趋势导致了现代大规模集成电路的工艺线宽越来越小，功能越来越复杂， 功耗越来越大，电源电压越来越低，如表1 1 所示的英特尔( i n t e l ) 公司的处理 器产品。 芯片中电源分布网络( p o w e rd i s t r i b u t i o nn e t w o r k ) 的作用主要是把电压从 电源p a d 供给给芯片里的每一个器件和单元。电路功能的复杂使得芯片内部电 表1 1 集成电路发展趋势 i n t e ic p up e n t i u mm m xp e n t i u m2p e n t i u m3p e n d u m4 发布时间 1 9 9 71 9 9 81 9 9 92 0 0 0 核心频率( m h z ) 1 3 5 04 5 01 6 0 0 晶体管数目( 百万) 4 5 07 5 09 5 0 5 5 0 0 芯片面积( m m 2 ) 1 2 81 3 0 91 5 3 92 1 3 工艺技术( u m ) 0 3 50 2 50 1 80 1 3 工作电压( v )2 82 01 81 3 平均功耗( w )7 4 9 81 9 63 5 数据来源于英特尔网站h n p ：l w w w i n t e l c o m 第一章蓠言 源分布网络也变得非常庞大，目前超大规模集成电路通常采用的怒电源网格 ( p o w e r g r i d ) 麴结构。与藏弱对，供电嘏妪戆簿羝捷褥电路对电源瞧蓬在电源 网络上的波动变化非常敏感，甚至可能导致电路的失效。由于电源分布阙络并不 悬个理想的网络，其上有瓣电压的损耗，造成了供给绦逻辑门和晶体管的实际 电聪要低于标猴参考电压v o o ，这就是电援降现象( v o l t a g ed r o p ) 。京使得电路 豹貌噪声容限降 氛，同爵毽臻粕了逻辑门瓣延逛。抗噪声容陵静降低舔能使得菜 个逻辑门发生误翻转；而逻辑门延迟的增加使得电路降低了整个芯片的工作速 度，甚至达不到设计指标。因此，如果电服降超过一定的限制，芯片很难保证能 委鬻z 俸 h 4 l 。麓癸芯冀麓袋瓣扩大，蠖缮芯片戆功耗魄越来蔻大，嘏迁移e ( e l e c t r o m i g r a t i o n ) 问题也成为影响芯片可靠性的重要方面。因诧，一个可靠 的电源网络设计能够避免这贱电学问题，保证芯片设计的成功，提高芯片的可靠 性1 5 。 1 2 芯片中的惫学阕题 图1 1c p u 功耗趋势 拦瀑委皴米艺懿集成魄鼹，魄磐擞楚毽藜班及一魏专爰集成毫鼹( a s l e ) 中，功耗密度达到了2 0 w 4 0 0 m m 2 = 5 0 k w m 2 。而一个大型城市静功耗密度也 2 第一章前言 不过是5 0 0 m w 1 0 0 k m 2 = 5 w m 2 ，其供电网络已经出现了不少问题，这和芯片 内部的电源网络具有某种相似性【3 】。如今，芯片的功耗不断上升，平均电流可以 达到数十安的数量级，如图1 1 所示，对于一个功耗密度如此大的芯片，电源分 布网络的分析和设计是对整个芯片可靠性的挑战。在这节中，我们将讨论芯片的 电学问题和电源分布网络之间的关系。这些电学问题可能导致芯片的失效，而对 电源网络的合适的设计和分析将有利于我们降低这个可能性。 通常，芯片里有两种主要的电学问题：电压降( v o l t a g ed r o p ) 和电迁移 ( e l e c t r o m i g r a t i o n ，简称e m ) 失效。电源分布网络上严重的电压降将会导致 某个逻辑门的错误翻转，从而使得芯片失效。即使不是很严重的电压降，也会降 低电路的工作速度，从而无法达到设计指标。而电迁移问题则是集成电路中一个 重要的可靠性失效机理。电源网络中的商电流密度会导致两种失效方式：( 1 ) 在 金属线中长生空洞，从而可能导致开路；( 2 ) 在金属表面形成凸起的小丘或晶须， 从而可能导致电路短路。在下面，我们将分别讨论这两个电学问题。 1 2 1 电压降 随着工艺技术的进步，金属线宽不断缩小，然而功能的复杂造成了芯片规模 扩大，金属线的长度却在不断增大。这些趋势都导致了金属线条上的电阻越来越 大。与此同时，芯片供电电压下降的速度超过了器件阈值电压的下降速度。这些 技术上的趋势都使得电压降成为了现代集成电路技术中的一个严重的问题。 由于芯片需要通过一个复杂的电源网络对芯片中的每一个器件和单元供电， 而这个网络并不是一个零电阻和电感的理想网络，当电流流过的时候，电压在其 上必然有电压损耗。这使得每个器件的实际供电电压并不是理想参考电压，实际 的电源端电压要小于电源电压。，实际的地端电压要大于地电压o v 。当电流 流过金属线时，引起的电压降可以用下面这个公式来表示： 旷= 僚+ 工，( 1 1 ) 这里尺和上分别是金属线上的电阻和电感。因此电压降，又称为电源的噪声， 主要来自两部分：因为电阻所产生的胴下降和因为电感所产生的厶a ，下降。 通常的集成电路设计中，电阻的尺下降发生在芯片内部，而电感的工血多数 发生在封装处【7 】，而本文讨论的是芯片内部的垠下降。 电压降的存在使得逻辑门的延迟大大增加，根据简化模型，我们可以得到一 个简单的c m o s 倒相器的上升和下降时间【8 】： 3 第一章前言 其中f ，是上升时间，t ，是下降时间；q 是负载电容；是器件的电压；屏和风 分别是p 管和n 管的导电因子；墨和k ，是两个和器件相关的参数。可以看到， 当电源电压下降时，倒相器的上升和下降时间将变大，器件延迟变大。这里用的 只是粗糙的简化模型，而且只是考虑了单个器件。实际上大量器件交杂在一起， 延迟会变得更为明显，电源电压下降5 ，整个电路的延迟将增加1 5 闭。这使 得整个电路的工作速度下降，可能使设计无法达到设计指标。 图1 2l r 电压降降低了噪声容限 图1 2 中是一个尺的电压下降如何降低了噪声容限，从而导致芯片失效的 例子唧。假设l m a 的电流从。供给到图1 1 中的倒相器，这条金属线长1 5 m m ， 而方块电阻为o 0 7 q g i n 。因此，这根金属线的电阻是l k d ，其上的电流导致的 电压下降是a v = 1 v 。这使得这个倒相器的电源并不是珞。，而是。一a v ：地 端也不是零电压，而是a v 。而图中另外一个器件可能直接连接在电源上， 这就使得m 1 管可能部分导通。这导致节点x 处错误被充电，使得静态功耗增加。 _ 2 2 电迁移 电迁移是集成电路中一个重要的失效机理，因此变得日益重要。在如今高性 能的集成电路设计中，在电源网络的金属线上通过的电流越来越大。电流在增加， 4 巧 吩 生概盈 第一章前言 瑟金嚣线豹尺寸帮越来越夺，这导致7 金属线上穰滚密度戆增大，麸嚣霞德金属 线更容易发生电迁移，从而鼯致整个电路的失效1 1 0 1 。 电迓移是一种在外力作阕下，通过扩教使得鑫属粒予大量迁移的过程。稿片 串，这个外力是由于产生电流盼丈量移动的电予帮金属粒予交换魂豢产生魏。因 此，在金属线中通过一方向阉定的电流，经过定的时间，就会产擞空洞、晶须 或者凸怒戆套丘。在电路孛，金疆线孛产生空演，蓑意味麓金羁线发生了开鼹， 这样，金属线毫无疑问将无法提供电流，从而可能导致电路失效。同样，金属线 上突出的小丘或者鼹须的形成，也可熊使得金属线和周围的其它金属线导通，从 两形成麓鼹，使褥芯片失效翻。鋈1 3 给密麓楚魄子显徽镜下麓察刘豹毫迂移糯 象，a 图给出的魑盒属线条中出现空洞从而断裂的照片，b 图给出的是金属线条 上生长如金属晶须验照片。 盆。空洞 b 晶须 图1 ，3 电迁移现象 5 第一章翁言 金属线的平均失效时间m t f ( m e a nt i m et of a i l u r e ) 取决于温度、晶体结 稳，滋疑瞧滚密瘦，这瑶淤廷下嚣瓣公式寒表承辫， l ： m t f = ；唧 3 ， 荚孛，a 爨襄麓粒及冀工艺攘关我参数；0 是电浚密疫；k 怒鬻数；丁是澡嶷， e a 是扩散过程的激活熊；电流密发的指数n 刚怒一个经验值，它盼值分稚在1 到6 之问，通常集中在2 附近。 嚣要注意的是( ，3 ) 式的假设薄提是电流怒直流电( d c ) 。然而，拦芯片 静电源黼络中，雩| 发邀迁移翁癸力麓赫狰式靛蠹流电。嚣既，海了在这静赫潍式 直流电下，失效模型怒不一样的，可以用下式袭舔【。1 ： 聪嘎幽。f 一徽：了m t f f ( 1 。4 ) 这里d 怒确定方向的魄流波形的占密比系数。 通过这些公式，我们可以明确娥看出，对予个电路设计辫，我们唯一能控 铡戆医索藏是龟滚密度。逶常，设诗孛会有一今瞧浚密度豹隈裁，这令限露壤， 考虑了最麓的情况，秘：如，最高滚度。 。2 。3 壤滚瘸终黪绣融戮及竣诤要求 图1 4v l s i 中的电源网络结构 6 第一章前言 电路功能的复杂使得芯片内部的电源网络的规模越来越大，发展成为一种网 状结构，称为电源网格( p o w e rg r i d ) ，如图1 4 所示。在芯片最外部的一圈用来 放置芯片的p a d ，在芯片的核心区域的( c o r e ) 用来放置各种电路器件和单元。 而芯片的核心区域和p a d 区域之间的为电源环( p o w e rn n g ) ，电源v o o 和地 、，鸽各有一个方形圈，p ：a d 中的电源和地p a d 都将分别连接到各自的电源环上。 在电源布线的金属层上每隔一定的间隔做一个电源的分支条( p o w e r t r u n k ) ，形 成横竖多组( 通常奇数层金属用来平行布线，偶数层金属用来垂直布线) ，而交 叉的金属连线则通过通孔( v i a ) 相连。这些电源或者地的分支条通过通孔再和 相应的电源环连接在一起，这样最终形成一个上下多层，纵横交错的网格状结构。 芯片中的电学问题电压降和电迁移，是电路可靠性的潜在隐患，因此在 现代集成电路中变得曰益重要。为了避免此类问题造成的电路失效，对于电路设 计者在电路设计中，注重电路功能完善的同时，也要对这些电学问题有可靠的设 计保障。对于电压降问题，需要在我们进行电源分布网络设计的时候，充分考虑 到在这个非理想网络上的电压损耗；而对于电迁移问题，设计者可以控制的唯一 因素就是电流密度，而在芯片中，大电流往往都出现在电源线上，个可靠的电 源网络设计将避免电迁移问题造成的芯片失效。因此，一个可靠合适的电源网络 设计将大大增加芯片的可靠性，下面将给出电学问题对芯片中电源网络设计的约 束条件n 2 】； 电压降问题的约束条件 对网络中任一个点j ，它相应的电压矿必须满足下面的约束： k 电源v d d 网络 k 地v s s 网络 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 这里，是电源v o d 网络中，约束的最低值：是地v s s 网络中，约 束的最高值。这两个值都会以芯片的设计指标形式给出，在设计中，为 了保证电路的正常工作，电源和地的i r 电压降之和通常会限制在1 0 以内。 电迁移问题的约束条件 嵋盯 ( 1 7 ) 这里，是点j 处的电流；是点，处的金属线宽度；圹是对固定厚度的 某一金属线容许通过的电流线密度。这个约束同样可以表示为： k 一吃降以盯 7 ( 1 8 ) 第一章前言 这里，和k 分别是点和2 处的电压；p 为此金属线的电阻率；是 金属线的厚度。 从上面的约束中可以看出，为了判断一个电源网络设计是否可靠，我们需要 的是计算出这个电源网络中每个点的电压值。因此，为了在设计中能使得芯片避 免各种电学问题，一种有效的电源网络分析方法是必要的。 1 3 论文工作和组织结构 1 3 1 论文工作 随着集成电路的发展，电压降和电迁移成为了集成电路可靠性的两个重要因 素。因此在集成电路的设计过程中，对芯片的电源网络进行快速可靠的分析，能 大大提高集成电路的可靠性。现有的集成电路设计流程只是在芯片完成版图设计 之后对电源网络进行最终分析，一旦发现问题，很难再对芯片进行修改，需要对 芯片版图进行重新设计。 这些问题的出现需要我们改变现有的设计方法学，必须在设计中更多地关注 电源网络的设计和分析。这个流程应该在整个芯片的设计的多个阶段分析电源网 络，特别是在电源网络拓扑结构设计的芯片规划( f l o o r p l a n ) 阶段，从而发现设 计中的问题隐患，在设计流程的早期进行修改。但是现有的电源分析工具不适合 在规划阶段进行分析，因此本文提出了一种在芯片规划阶段对电源网络进行分析 的算法，并在这个分析算法的基础上设计了一个基于电源网络分析的设计流程。 我们将这种基于电源分析的设计流程应用到了复旦大学。中视一号”高清晰数字 电视地面传输协议芯片的设计中，实验证明，这个新的设计流程保证了电源网络 设计的可靠性，保证了芯片设计的一次流片成功。 1 3 2 论文组织结构 本文由五章构成，组织结构如下： 第一章为前言，介绍了课题背景，讨论了大规模集成电路的发展趋势以及随 之带来的电学问题电压降和电迁移，以及这些电学问题对芯片内部电源网络 设计带来的约束。 8 第一章前言 第二章介绍了线性电路的一些基本知识，然后介绍了传统的电源网络分析方 法中使用的r l c 模型，以及用来建立数学矩阵方程的改进节点分析( m o d i f i e d n o d ea n a l y s i s ，简称m n a ) 方法。 第三章介绍了基于电源网络分析设计流程的思想，并提出了在芯片规划阶段 对电源网络进行分析的算法。这种新的算法改进了传统的电源网路分析方法，其 分析快速，结果精确，并且与现有的设计流程中的数据文件能很好的衔接起来， 具有很强的实用性。 在第四章钟，我们将基于功耗分析的设计流程应用在了复旦大学“中视一号” 高清晰数字电视地面传输协议芯片设计中，并分析了芯片规划阶段电源网络分析 算法的作用和可靠性。 第五章为本文的总结。 9 第二章线性电源网络分析概述 第二章线性电源网络分析概述 为了分析实际电气器件和设备的基本特性，一般进行理想化和简单化处理， 从而建立它们的物理模型或数学模型。对于本文所讨论的电源网络，通常认为它 是一个线性时不变系统( l i n e a r 1 3 m e i n v a r i a n ts y s t e m ) 。为了对电源网络进行 建模分析，需要了解一些关于线性电路分析的基本知识，在本章的2 1 节中，将 详细介绍线性电路系统，以及线性电路中一些基本元件的数学模型；在2 2 节中， 将介绍线性电路系统中常用的基尔霍夫电流守恒定律( k i r c h h o f fc u r r e n tl a w ， 简称k c l ) 和基尔霍夫电压守恒定律( k i r c h h o f fv o i r a g el a w ，简称k v l ) ，以 及在线性电路分析计算机方法中一种常用的建方程方法改进节点分析法 ( m o d i f i e dn o d e s a n a l y s i s ，简称m n a ) ；在2 3 节中，将介绍芯片电源网络分 析的建模和分析方法。 2 1 线性电路系统 满足叠加原理的系统称为线性系统，即，若某一输入是由n 个信号的加权 和组成，则输出是系统对这几个信号中每一个的响应的加权和输出。而如果系统 响应与激励加于系统的时刻无关，则称为时不变系统。对于本文所讨论的电源网 络，通常认为它是一个线性时不变系统。 2 。1 1 线性电路 仅由线性元件组成的电路称为线性电路，这些元件包括独立源、线性无源器 件以及线性受控源。若电路中至少含有一个非线性元件，则电路称为非线性电 路。这些非线性元件可能是非线性电阻、非线性电容、非线性电感等等。对于线 性电路，我们列出的电路方程通常是代数方程；然而对于非线性电路，其方程不 一定为线性方程，可能为隐形方程。线性电路的最基本的特性是它具有叠加性和 1 0 第二章线性电源网络分析概述 齐次性【1 5 】。 叠加性 对线性网络，每一支路的电流( 或电压) 可看称各独立源单独作用时， 在该支路上产生的电流( 或电压) 的代数和，即： u i = 毛魄1 十岛魄2 + 噍0 l + 坞岛2 + ( 2 1 ) 需要注意的是，当独立源不作用时，即电压源为0 或者电流源为0 ，电 压源应用导线倒替，电流源要取消该支路。另外，受控源不能单独作用， 独立源不工作时，受控源要保留。 齐次性 单激励增大k 倍，响应也增大k 倍。 x l b k z y l 孔 图2 1 线性电路的叠加性和齐次性 叠加性和齐次性的含义可以用上面的图2 1 来说明。图中的方框表示电路， x 表示加在电路上的输入信号，或称激励；) ，表示电路对该输入信号产生的输出， 或称响应。叠加性的含义是：若激励而产生的激励为m 。激励而产生的激励为照， 则当葺与如共同作用于电路时产生的响应为咒+ y 2 。齐次性的含义是：若激励x 作用于电路产生的响应为y ，则激励b 作用于电路产生的响应必为砂。换句话 说，线性电路对于各个激励共同作用的响应是各个激励的加权之和。严格说来， 真正的线性电路在实际中是不存在的，但是大量的实际电路在一定条件下都可以 近似视为线性电路。 善母 第二章线性电源网络分析概述 2 1 2 线性元件 电路的基本元素是元件，电路元件是实际器件的理想化物理模型。下面将介 绍几种基本的线性电路元件及其数学表达，包括独立电源、线性无源器件以及线 性受控源1 1 3 1 5 1 。 独立电源 为了对实际电源进行模拟，理论上定义了两种理想的店里电源：独立电 流源和独立电压源，这里“独立”一词反映了电源本身的特性与其它元件无 关，这也是区别后面将要介绍的受控源。若有一个二端元件不论其电流 为何值，或外部电路如何，其两端电压始终保持某确定的时间函数v a t ) 的 电源称为独立电压源；同样，若一个二端元件，不论其电压为何值，或 者外部电路如何，其电流始终保持确定的时间函数f 。( ，) 的电源称为独立 电流源，图2 2 所示的是独立电压源和电流源的示意图，表2 1 中则给 出的是其分别在时域和s 域中的数学表示。 图2 - 2 独立源 c u r r e n ts o u r c e 表2 1 独立源的数学表达 v ( t ) = ( f ) ，矿o ) = 圪( s ) 电压源v s l ( s ) = - v ( s ) z ( s ) i ( t ) = i s ( t ) ，( s ) = i s p ) 电流源i s 矿( j ) = 一，( s ) z ( j ) 1 2 第二章线性电源网络分析概述 v - 育v = v v v ： 1 2 2 v 专 v 2 去- v 2 v 2 r n l 一霏 v 1 v ：v1 v 2 v l v ： 表22 线性无源器件的数学表达 电阻rv ( r ) = r x i ( t ) ，矿( j ) = r x ，( s ) 电感l k t ) = l d i ( t ) m t ，v ( s ) = l x s l ( s ) 电容c i ( t ) = c 西( f ) 毋，l ( s ) = c x s v ( s ) 线性受控源 受控源与独立电源不同，它不能给电路提供能量，而是描述了电路中不 同之处的电压与电流之间的关系，即同一电路中某处的电压或电流受另 一处的电压或电流控制。本文限于讨论控制量与被控制量之间呈线性关 系的受控源，即线性受控源。线性受控源包括电压控制电压源( v o l t a g e c o n t r o lv o l t a g es o u r c e ，简称v c v s ) 、电压控制电流源( v o l t a g ec o n t r o l c u r r e n ts o u r c e ，简称v c c s ) 、电流控制电压源( c u r r e n tc o n t r o lv o l t a g e s o u r c e ，简称c c v s ) 和电流控制电流源( c u r r e n tc o n t r o lc u r r e n t s o u r c e ，简称c c c s ) ，如图2 4 所示，表2 3 中给出的是其在时域中的 数学表示。 1 3 第二章线性电源网络分析概述 - - - - - - - - - - 0 - v l + v l 图2 4 线性受控源 表2 3 线性受控源的数学表达 i2 v c v s v 2 ( f ) = 研( o v c c s f 2 ( r ) = g v l ( t ) c c v s 屹= 0 ( ，) c c c s i 2 ( t ) = 嘲( f ) 2 2 线性电路分析 2 2 1 基尔霍夫守恒定律 通常对于线性电路网络，我们使用基尔霍夫电流守恒定律( k i r c h h o f f c u r r e n t l a w ，简称k c l ) 和基尔霍夫电压守恒定律( k i r c h h o f f v o l t a g el a w ，简称k v l ) 来分析1 13 。1 蜘。 1 4 第二章线性电源网络分析概述 基尔霍夫电压守恒定律 电路任一个回路上，在任何时刻，沿着该回路闭合路径绕行一周的全部 支路电压的代数和等于零，其矩阵表达形式为： b y = 0 v = 彳7 k ( 2 2 ) 其中，k 是电路中各节点处电压构成得向量；v 是的转置；b 是基本 环矩阵( b a s i cl o o pm a t r i x ) 。对于一个拥有n 个节点和t 条分支的图 形g ，它的基本环的数目是( t - n + 1 ) ，因此基本环矩阵的维数是( t - n + 1 ) x t 。在图3 5 的例子中，有5 个节点，7 条分支，因此它的基本环矩阵 为： 图2 5 基尔霍夫电压定律例 基尔霍夫电流守恒定律 电路中任何时刻，任一个节点上流入和流出的电流之和总为零，其矩阵 表达形式为： 彳f = o ( 2 4 ) 其中，f 是各分支电流构成的电流向量；彳是i n c i d e n c e 矩阵。对于如图 3 ，6 所示的电路，其a 矩阵如下： 5 2 1，j 0 0 o 0 1 o 0 0 o 0 1 0 o 0 0 o n p m 国 l | 8 第二章线性电源网络分析概述 ( 2 ) l - 1 a = ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) o o 0 o10 1o 1 oo一1 o 0 0 一l一1o ooo o10 100 111 o0l 3 2 2 改进节点分析法 图2 6 基尔霍夫电流定律例 ( 2 5 ) 对于复杂的电路，一般采用以下步骤分析【1 4 】： 1 选取一组适合的电路变量( 电压和，或电流) ； 2 根据k v l 和k c l ，以及元件的电压和电流关系( v c r ) ，建立该组变量 的独立电路方程； 3 求解电路变量。 下面将提供一个建立独立电路方程的方法，改进节点分析法( m o d i f i e d n o d e s a n a l y s i s ) 。 对复杂电路建立独立电路方程有很多种方法，表2 4 给出的是改进节点分析 法不断发展演变的过程，同时也给出了各种方法的适用电路以及优缺点。可以看 到改进节点分析法列方程容易，是一种非常适合于计算机编程处理的电路分析方 法 1 3 - 1 5 。 1 6 第二章线性电源网络分析概述 表2 4 改进节点分析法的演变 适用电路建立方程维数优点缺点 形成矩阵方便维数高 表矩阵法 基本都适用 2 m + n 对电路描述全面矩阵密度低 电路中不能含有 导纳为无穷大的 拓扑矩阵法 n 形成的矩阵阶数较低 不能处理某些支路 元件和除v c c s 外的受控源 电路中不能含有 导纳为无穷大的方程维数低 节点电压法 n 不能处理某些支路 元件和除v c c s易编程处理 外的受控源 改进节点电解决了节点电压法无 基本都适用 n + l 存在冗余变量 压法法解决的一些支路 消除了改进节点电压 双图法基本都适用n + l编程复杂 法方程中的冗余 改进节点分析法仍然是基于基而霍夫定律和元件电学属性对电路进行分析 的，它的主要变量是电路中的节点电压以及非导纳支路的电流。它基本思想是将 网络的所有支路分成导纳型和非导纳型支路，并对每一个非导纳型支路将它的电 流设为补充变量，对每一个节点按节点法列写节点方程。这时若遇到非导纳支路， 将它的支路电流作为未知变量保留在节点方程中，这样所得节点方程的未知变量 包括节点电压和非导纳支路的电流。为此，必须对每一个非导纳支路写出一个支 路方程作为补充方程，且补充方程必须用节点电压和非导纳支路电流来描述，进 一步推广将难处理的支路( 如c c v s ，c c c s ) 和待求的支路均设为补充电流变 量，在列出相应的补充方程，这样得到的一组方程组就是改进节点方程，m n a 的方程形式如下【 川5 】： 在式( 2 6 ) 中 g x + c x = b u( 2 6 ) x = 习 1 7 ( 2 7 ) - 第二章线性电源网络分析概述 g = 瞄司 c = 渊 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 其中，x 为电路变量向量，v 是电路中节点的电压向量，是非导纳支路的电流 向量：g 是网格的电导矩阵，n 是电阻的分量；c 是网格的电容和电感矩阵，q 是电容分量，q 是电感分量；u 是格点的电压向量。因此，式( 2 6 ) 可演变为 下面的形式： 2 3 电源网络的建模和分析 言 ； + 詈： ； = b u c 2 ，。， 为了设计出可靠的电源网络，以避免出现各类电学问题，对芯片电源网络进 行有效的分析是必不可少的。为了对电源网络进行分析，我们必须对其进行建立 数学模型，并有效求解，在本节将介绍电源网络的建模和分析方法。 2 3 1 电源网络的线性模型 我们通常把电源网络和外部供电电压v d o 的连接称为电源的源( p o w e r s o u r c e s ) ，因为电流正是通过这个连接通往电源网络的。同样，电源的漏( p o w e r d r a i n s ) 就是那些从电源网络中吸取电流的单元和器件，比如晶体管、逻辑门之 类的。对电源网络以及电源的源和漏，进行建模，是进行电源网络分析的第一步。 图2 7 是集成电路中电源网络的一个示意图，在第一章中，我们已经描述了芯片 内电源网络的基本结构，它是由一圈电源环和一组组横竖相交的电源支条构成的 一个网络。电源网络从顶层金属层开始，通过金属层之间的通孔( v i a ) ，不断向 下延伸，最终到达有源器件，如图2 8 所示。对于这样一个网络，通常被认为是 一种由电阻、电容和电感( 很少) 无源器件所构成的线性时不变网络f 9 】。对于现 代超大规模集成电路，这个网络中可能包括上亿个无源器件，以及它们之间的连 接点。对于电源的源，我们通常把它们看成电压源；对于电源的漏，则被认为是 1 8 第二章线性电源网络分析概述 v 【，d p d x ，。f 。 善女1茹 一，碧整一_，岛彰* 燕嚣_艘贾# ： 1 ，g _：- ：。名；：i 蛙1 ：孽璧套1i = 燮盛跨 i m a c r o b 。 亍 o _ v i a v s s p d 舀 i 亍 上 1v b b v s s p a d p a d = 裔# 器摹，盏篷p，罐j # 瑟， _ _轻_龋醴每蚺；44 111 ，；_ j 山 v _ 5 5p o w e rr i n gv o op o w e rr i n g 1 9 第二章线性电源网络分析概述 随时间变化的，数目巨大的。在实际的芯片中，我们可以认为电路的电源的源， 即电压源是一个恒定不变的值，为v o o 或者v s s ，而电流源则是随时间变化的。 由上面的假设得到了：整个电源网络模型是一个由电阻、电容和电感( r l c ) 组成的线性网络，它们被固定的电压源和大量随时问变化的电流源所驱动。需要 注意的是，网络中的电阻、电容和电感器件都没有接地，所有的电压源和电流源 被认为接在电源网络上的节点和地之间。对于这样一个电路模型，正如上一章所 讨论的，可以用改进节点分析建立方程【1 ”： g x ( 0 + c x ( f ) = “( f ) ( 2 1 1 ) 其中g 是网格的电导矩阵；c 是网格的电容和电感矩阵；x 是格点电压以及源 和电感的电流组成的向量；u ( o 是格点的电压向量，包括了源和漏。事实上，u 包括三种类型数据：1 具有正的、，o d 值( 或者零电压v s s 值) 的行，这是那些连 在电源的源上的节点；2 具有负( 正) 的电流值，这些节点是连接到电源的漏上 面的；3 其它节点则都是o 。 到此为止，我们得到了这样一个电源网络模型：一个由电阻、电容、电感、 电压源和电流源组成的线性网络。但是在本文的论述中，我们将忽略芯片中电感 的影响，而假设电源网络仅仅是一个电阻和电容构成的网络，正如图3 3 所示。 这是因为在如今的集成电路技术中，芯片上的电感对电源网络分析的影响是很小 的。加入这个假设后，电源网络将只是一个有电阻和电容组成的网络，具有固定 电压值的电压源以及随时间变化的电流源【”l 。 图2 9 电源网络的r l c 模型 第二章线性电源网络分析概述 2 3 2 电源网络的分析 上一小节中，我们将芯片的电源网络抽象为一个由电阻、电容、电感、电压 源和电流源组成的线性网络，并用式( 2 1 1 ) 来描述这样一个网络。但是式( 2 1 1