（概率论与数理统计专业论文）多响应优化方法研究.pdf

摘要 摘要 本文研究多响应问题的优化方法多响应优化问题难于解决的原因在于 多响应问题不同于只有一个质量特征值的单响应问题，通常不存在一组特定 的可控变量使得所有响应变量同时达到最优；使一些质量特征达到最优的条 件，往往不能导致其他质量特征达到最优，甚至达不到质量标准 传统的解决多响应优化问题的方法是利用各响应值的几何平均值指标， 并结合响应曲面进行拟合优化分析，得出试验点该方法的缺点是忽略了响应 之间的相关性当响应之间存在很强的相关性时，极可能得不到理想的结果 本文对多响应问题的优化方法进行了实证研究，首先分析响应之间的相 关性，然后为每一个响应建立一个满意度函数，计算各响应的满意度值，再根 据满意度值之间相关性的强弱，对满意度进行主成分分析，然后利用加权主成 分综合出一个特征指标，建立特征指标与设计变量之间的曲面模型，进行优化 分析 本文的优点之处在于首先考虑了响应之间的相关性，很多问题的响应之 间存在很强的相关性；根据满意度函数把响应值转化到 0 ，1 】之间，把标准进 行了统一；若需突出某个响应，只需调整对应的响应的满意度函数的定义区 间，便可改变响应的满意度在综合指标中的权重，使问题的分析非常方便，利 于实际问题的解决 关键词：响应曲面分析；多向应优化；满意度函数；加权主成分分析 a b s t r a c t a b s t r a c t w es t u d yt h ep r o b l e mo fm u l t i - r e s p o n s es u r f a c eo p t i m i z a t i o n i ti sd i f f i c u l t t os o l v ef o rm u l t i - r e s p o n s eq u e s t i o n s ，b e c a u s et h e r em a y b en o tag r o u po fs p e c i f i c v a r i a b l e st oc a u s ea l lt h e s er e s p o n s es i m u l t a n e o u s l yt oa c h i e v eo p t i m i z a t i o n u n d e r s o m ec o n d i c t i o n s ，a l t h o u g hs o m er e s p o n s e sa c h i e v eo p t i m i z a t i o n ，o t h e r sc a nn o t ， a n de v e nc a nn o tr e a c ht h eq u a l i t ys t a n d a r d i nt h ef o r m e rr e f e r e n c e s ，s o m er e s e a r c h e r si n v e s t i g a t e dt h em e t h o d so fm u l t i - r e s p o n s eo p t i m i z a t i o na c c o r d i n gt og e o m e t r i cm e a n t h e ya l s od i da n a l y s i so nf i t t i n g o p t i m i z a t i o nb a s e do nt h er e s p o n s es u r f a c ei no r d e rt oo b t a i nt h et e s tp o i n t h o w - e v e r ，t h e r ei ss t i l lad i s a d v a n t a g et h a tt h er e l e v a n c eo fr e s p o n s e sa r en e g l e c t e d i f s t r o n gr e l e v a n c e se x i s ta m o n gt h er e s p o n s e s ，t h ei d e a lr e s u l tc a nn o tb eo b t a i n e d w ec o n d u c te m p i r i c a ls t u d yo nm e t h o d so fr e s p o n s eo p t i m i z a t i o n f i s t l y , w e a n a l y z et h er e l e v a n c eo ft h er e s p o n s e s s e c o n d l yw ec o n s t r u c tad e s i r a b i l i t yf u n c t i o n f o re a c hr e s p o n s e a c c o r d i n gt ot h es t r e n g t ho ft h er e l e v a n c eo ft h ed e s i r a b i l i t ya n d a c t u a ln e e d s ，w ed op r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i so nd e s i r a b i l i t y f u r t h e r m o r ew e p r o p o s et h ew e i g h t e dp r i n c i p a lc o m p o n e n tm o d e l ，a n ds e tu pao p t i m i z a t i o nm o d e l o ft h er e s p o n s es u r f a c ei no r d e rt od e s c r i b et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et a r g e t sa n d t h ed e s i g nv a r i a b l e s t h em e r i to ft h i sd i s s e r t a t i o ni st h a tt h er e l e v a n c e sa m o n gr e s p o n s e sa r ec o n - s i d e r e d i nt h el i g h to ft h ed e s i r a b i l i t yf u n c t i o nw ec a nt r a n s f e rt h er e s p o n s ei n t o t h ev a l u ew h i c hi sb e t w e e n0a n d1 ，a n du n i f o r mt h es t a n d a r d so ft h er e s p o n s e s i t i sa d v a n t a g e o u st h a tw ec a na d j u s tt h ed e f i n i t i o ni n t e r v a lo ft h ed e s i r a b i l i t yf u n c t i o n a c c o r d i n gt ot h eq u e s t i o nt ot h ea c t u a lp r o b l e ms o l u t i o n i i i 北京工业大学理学硕士学位论文 k e yw o r d s ：r e s p o n s es u r f a c ea n a l y s i s ；m u l t i p l er e s p o n s eo p t i m i z a t i o n ；d e s i r a b i l i t y f u n c t i o n ；w e i g h t e dp r i n c i p a lc o m p o n e n t 一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：立：坐日期竺雎兰 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： z 私 导师签名： 戤期：掣 第1 章绪论 第1 章绪论 随着社会的发展，经济进程的加速，市场竞争的加剧，以及社会需 求对产品要求的多样化，产品质量性能的提高已越来越多地成为人们关 注的焦点，而这些都要求企业必须从产品的质量、工艺流程、能源消耗 等各方面加以改进 在上述这些方面的改进中，响应曲面方法是方便可行的方法利用 它可在能源消耗、流程设计、质量水平等各方面找到比较好的结果因 此，响应曲面优化方法在工业生产中已越来越得到人们的重视，特别是 在多响应优化方面，已有越来越多的专家投入到这方面的研究中来 1 1 多响应问题的研究背景 近十年来，响应曲面方法的应用领域一直在扩大，其他领域中统计 学的进步也推动了这一领域的发展随着对该领域认识的逐渐深入，使 用响应曲面方法的范围已经不仅限于化学、食品和其他制造过程，生物 学、生物医药和快速发展的生物分子学领域的研究者们都对响应曲面产 生了浓厚的兴趣 从在工业生产中所起的作用来说，无论是在产品设计还是制造过程 中，响应曲面方法都提供了一个有效的试验方法在产品全生命周期的 前期，寻找最优试验条件，以大幅度降低开发的时间和成本，使产品具 有更高可靠性；在制造过程中，找出制造过程中的最优条件以提高产出 率，减少不良品，以实现最佳生产管理或经济效益 在传统的多响应优化方面，k h u r 和c o n l o n ( 1 9 8 1 ) 1 】提出了的马氏距 离法，该方法是考虑使马氏距离最小化的因子水平，假设所有响应函数 都依赖于同一组设计变量，并用多项式回归模型来描述，从而找出在试 1 北京工业大学理学硕士学位论文 验性区域内的较佳操作条件，但当各个响应之间存在明显的冲突时，该 方法的效果就不理想；a m e s ( 1 9 9 7 ) 2 l 提出了多响应问题的二次损失函数 法，使损失最小的情况下，可以达到较好的稳健性，但该方法也无法考虑 响应之间的相关性，不能解决响应之间可能存在的交互作用问题；k i m 等提出的满意度函数法f 3 1 4 一，该方法通过特定的满意度函数将各个响应 的满意度值转化到 0 , 1 】之间，然后利用几何平均定义总体的满意度，使 所要研究的问题变得简单，方便可行。但没有做响应之间的相关性问题的 研究如果响应之间存在很强的相关性，利用上述方法均不能得到理想 的结果；宗志宇等( 2 0 0 6 ) 6 】做了响应之间的相关性的比较和应用研究； 何桢( 2 0 0 6 ) 7 】利用改进的满意度，应用到多响应优化中，效果有了改进， 但不够直观；钟晓芳等( 2 0 0 3 ) 8 】利用主成分优化的方法，将多响应问题 转化为互不相干的部分，因而减少了多响应问题中设计参数优化冲突的 问题，用于解决工业生产问题，此方法是对主成分分析和质量损失函数 的应用，对于解决实际问题非常方便，他也没有考虑响应之间的权重； h u n g - c h a n g 和l i a o ( 2 0 0 6 ) 9 l 利用主成分分析的方法，考虑了权重，使问题 的解决更加方便，但对各响应的数据标准没有进行统一 多响应曲面方法概述 1 2 1 响应曲面方法基本概念 响应曲面方法最早由b o x 和w i l l s o n 提出理论基础，经过h i l l 和h u n t e r 的发展于1 9 6 6 年建立更广泛的响应曲面定义和最优化模式胡雅琴【1 0 】 在此方面做了系统研究，响应曲面方法是一种结合数学应用、统计分析 和试验设计的技术探讨影响因子与响应输出之间的数学模式关系，经由 试验设计者在所关心的试验区域内以系统的方式进行试验，取得所希望 的响应值和因子水平【1 1 1 响应曲面方法是一系列有效的统计和数学方法 2 。 第1 章绪论 技术的集合，用于过程的改进和优化它不但在设计和开发新产品方面 有重要作用，而且对于现有产品设计的改进方面也很有效 响应曲面方法最广泛的应用还是在工业领域，特别是针对那种产品 或过程的质量特性和性能指标同时存在多个输入变量的情况这种性 能指标或者质量特性被称为响应这些指标大部分是连续的，尽管也 会偶尔有一些离散的变量实际应用中，响应曲面方法( r e s p o n s es u r f a c e m e t h o d o l o g y , r s m ) 中大部分响应都超过一个 1 2 2 响应曲面方法的过程 通常情况下，试验者所关心的是产品( 过程或系统) 的响应y ，也称为 输出与响应y 对应的是一系列的输入变量，称之为因子设某过程有 k 个因子f l ，已，& ，建立输入与输出之间的函数关系 2 ，= ，( l ，已，缸) + e ( 1 2 。1 ) 其中，称为真实响应函数，形式未知；e 为系统误差，表示由其他变异 源所造成的，无法解释的误差它是各种误差的综合，包括测量误差， 系统误差及过程自身的其它变异、其它变量的作用等e 是一种统计意 义上的误差，通常假设其均值为0 ，方差为盯2 故 e ( y ) = ，( 1 ，靠) ( 1 2 2 ) ( 1 2 2 ) 式中的变量专l ，已，靠通常是自然变量，即它们用测量值的 自然单位表示，如温度、压力或浓度等在许多响应曲面方法问题中， 通常把这些自然变量转化为规范变量x l ，z z ，z 七这些规范变量都是 没有量纲的，均值为0 ，具有标准方差在规范化变量的情况下，真实响 应函数可以写为 ，7 = e ( y ) = f ( x l ，x 2 ，x k ) ( 1 2 3 ) 3 北京工业大学理学硕士学位论文 由于真实响应函数，是未知的，试验者必须对它给出一个近似因 此，响应曲面方法的第一个步骤就是找出一个合适的关系式，来描述响 应和自变量集合之间的真实函数关系 若响应与自变量之间存在线性函数关系，则近似函数就是一阶线性 模型 y = 岛+ 岛x l + 屈x 2 十十凤巩+ e ( 1 2 4 ) 当模型存在曲性时，需要用更高阶的多项式进行拟合，例如二阶模型 ( 1 2 5 ) 几乎所有的响应曲面方法问题都可以用这些多项式近似当然，在 自变量的整个空间上只用一个多项式模型来进行近似是不大合理的，但 在一个相对小的区域内这种近似的效果会很好 1 2 3 拟合向应曲面的试验设计 只有通过良好的试验设计获得有效、可靠的数据，并进行适当地拟 合，才有可能得到响应曲面的近似函数y = ，( z ) + 从解析几何的角度考 虑，y = ，( z ) + e 是坐标空间( 2 ：1 ，2 ：2 ，x k ) 上的一个曲面对y = ，( z ) + 进 行分析，寻找使响应输出变量y 达到最优的各因子水平的组合，并了解 各因子如何影响响应变量过程，这就是r s m 所研究的主要内容 拟合一阶模型设计 设要拟合k 个变量的一阶模型，响应为y ，模型同式( 1 2 4 ) ，如下 有一类独特的设计，它使得回归系数的方差极小化这就是正交的 一阶设计如果x 7 x 矩阵的非对角线元素全为零，那么，这个一阶设计 4 e+ n1p 成 七耐 + 巧 戤反 量的 + 觑 七：i + 肺 = 耖 + 吼侥 七=l + 岛 = 第1 章绪论 是正交的也就是说x 矩阵的列的交叉乘积之和为零在使用这些设计 时，我们假定七个因子都规范化为水平士1 ，我们用2 3 设计来拟合一阶模 型，举例如下 y = 岛+ 风x l + 屁z 2 + 屈x 3 + e 拟合此模型的矩阵x 如下式，可以证明，此设计的x x 矩阵的非对角线 元素全为零 x = 拟合二阶模型设计 二阶模型设计的主要目的就是要令试验者能够拟合二阶模型( 1 2 5 ) 式该式包含了1 + 2 k + k c k 一1 ) 2 个参数也就是说设计点数不少于这 个结果，而且对于拟合二阶模型的试验设计，每个因子必须至少有三个 水平有很多设计可用于拟合二阶模型对于一阶模型，正交性是最优 的设计性质，因为它能够使回归系数的方差达到极小化对于二阶的情 形，设计模型满足正交性也是十分理想的性质，因为这使得预测响应的 方差v a r ( 9 ) 能够满足优良设计的要求。 1 2 4 一阶和二阶多项式回归 一阶线性回归 设有礼 k 个观察值，以z 莳表示第i 个自变量觋的第j 个观察值， 如表i - i 所示 5 一 一 一 一 1 1 l 1 1 1 i 1 l 一 一 一 一 1 1 工 1 1 工 1 1 _ 1 上1 上 一 一 一 一 1 l l l l l 北京工业大学理学硕士学位论文 表1 - 1 观测值设计表 y z 1 x k y l x l lx k l y n x l n x k n 可以将模型写成 协= 角+ 风x t j + 侥x 2 j + + 厥x k j + j k = 岛+ 屈z 巧+ 勺 i = 1 用矩阵形式表示为 y = x 8j r 其中 x = z2：121zx221；zx；k2xlnx 2 n x k n l ) ，= ( 主) ， i1 p l l _ _- 。 l i p k ( 1 2 6 ) e l 、，y l 、 罩 ，y = l 警1 e n 弧 求模型( 1 2 6 ) 中未知参数向量卢的最小二乘估计，只要使 7 l l = 弓= e ，= ( y x 卢) ( y x 卢) ( 1 2 7 ) j = l 取最小值工可表示成 令丽c o l = 。，可得 l = y | y 一8 x | y y 1 x z + 8 x xb = y 1 y 一：y x 3 y + 8 x | x z 一2 x | y 七2 x x 8 = 0 。 6 第1 章绪论 当x 7 x 可逆时，由上式可解出卢的最d 、- - 乘估计 二阶回归 矽= ( x 7 x ) 一1 x 7 y( 1 2 8 ) 二阶模型在r s m 中得到了广泛应用，主要是因为二阶模型能够拟合 多种函数形式，所以常能够用来逼近真实的响应曲面；而且二阶模型的 参数很容易估计，可用最小二乘法估计参数值； 设某一过程的因子为z 1 ，2 7 2 ，x k ，响应变量为y ，r s m 二阶模型的 一般形式为 y = 风+ 反观+ 岛磁勺+ 展 z ；+ i = l i j i = l 其矩阵形式表示为 y = 岛+ x 7 b + x 7 b x + e ( 1 2 9 ) 其中 x ：( 三) ，6 ：( 兰 ，b ：f 历1 2 毫； 运用最小二乘法，可得模型( 1 2 9 ) 中各系数的最d 、- - 乘法估计值 1 2 5 最速上升法 最速上升法是沿着最速上升的路径，即响应朝有最大增量的方向逐 步移动的方法当然，如果求的是最小值，则叫做最速下降法拟合的一 阶模型为 雪= 岛+ 反 ( 1 2 1 0 ) 7 2 2 2 七 七 七尻晚风 北京工业大学理学硕士学位论文 最速上升的方向就是雪增加最快的方向这一方向平行于拟合响应 曲面等高线的法线方向通常取所感兴趣的区域中心并垂直于拟合曲面 等高线的直线为最速上升路径 最速上升路径上的坐标由一阶模型的系数来决定变量z = ( x l ，t r 2 ，x k ) 沿最速上升路径的移动步长跟回归系数b 成比例，且正负符号相同；如 果是最速下降，则符号相反 对于一个拟合好的一阶模型 雪= b o + b z x z + b 2 x 2 + + b k x k ( 1 2 1 1 ) 在最速上升路径上，我们期望得到最大响应，并且存在约束z ；= r 2 换句话说，对于所有的点，远离初始中心点的步长都是相同的当然， 这里的z = ( x l ，x 2 ，x k ) 都是规范化变量这个约束表明z 构成了一 个以中心点为球心，以，- 为半径的球 为求得雪的最大值，通常使用拉格朗日算子法，对下式 l = b o + b l z l 十慨+ + k x k - - a ( 霹一r 2 ) ( 1 - 2 1 2 ) 的两边分别对各巧求偏导，并令其等于零，歹= 1 ，2 ，k 得到 罢= 如一2 屿，歹= 1 ，2 ，七 ( 1 2 1 3 ) 通过解上述方程组，得各q 在最速上升路径上的值为 ：关，歹：1，2，kj( 一1 2 1 4 。) 2 甄，21 ，z ， ) 视1 2 a 为一比例常数p ，于是，上式可改写成 x l = p b z ，x 2 = p b 2 ，x k = p b 膏( 1 2 1 5 ) 8 第1 章绪论 这里p 是与a 相关的一个常数，由试验者决定其大小 1 2 6 二阶模型分析 当试验点接近最优点时，因真实响应曲面通常存在着曲性，故用二 阶曲面模型来逼近响应二阶模型的表达式如下： 响应曲面方法的目标是要求出z l ，z 2 ，x k 的水平，在此水平下，预测 的响应值达到最优如果这个点( 2 ：1 ，z 2 ，x k ) 存在的话，它应该满足 差= 差- = 鱼o x k o 如1如2 一 这个点就叫做稳定点再由( 1 2 9 ) 式得： 宴：b + 2 b x ：0 ( 1 2 1 7 ) d z 稳定点就是上式的解： x o = 一壶b 山 ( 1 2 1 8 ) 将式( 1 2 1 8 ) 代入式( 1 2 1 6 ) ，求得在稳定点处的预测响应值为 9 0 = 扁+ 扣6 ( 1 2 1 9 ) 一旦求出稳定点，通常必须表示出响应曲面在这一点最临近区域的特 征，即要确定稳定点是响应的最大值点或是最小值点，还是鞍点 小结 本节是对向应曲面方法的一个概括性的介绍，为第二章的实例研究 作准备筒言之。r s m 包括两阶段设计：第一阶段设计，包括因子试验 设计，拟合一阶数学模型，确定模型及最速上升( 或下降) 方向并求取该 阶段最优值根据最速上升( 或下降) 方向，可以确定下次试验各控制变 9 一 s + o。1 z 展 七僦 + z 贼反 七谢 +岛 七僦 +岛 = 耖 北京工业大学理学硕士学位论文 量的变化范围其中，在因子试验中要增加试验中点，它用于估计模型 拟合误差，并有助于估计二次项系数 第二阶段设计主要工作是当发现模型拟合误差显著时，拟合二次回 归方程，绘制出响应曲面与等值线图，进行分析在这个过程中二阶模 型对模型的拟合精度起着决定性的作用 1 3 多响应问题的优化方法 经过众多学者的不断探索与研究，到目前为止已经形成行之有效的 方法，如：马氏距离法、多元损失函数法、满意度函数法等，它们各具特 色，张于轩【1 2 】做了系统研究下面，我们就较为详细地阐述一下 1 3 1 马氏距离法 k h u r ，和c o n l o n 1 】提出用马氏距离来优化多响应系统，马氏距离是响 应的估计值与其协方差的函数，见式( 1 3 1 ) ： m d = 【( 9 ( x ) 一丁) 7 f v 蔚( 矿( z ) ) 】7 ( 矿( x ) 一r ) 】( 1 3 1 ) 其中，v 打( p ( z ) ) = z 7 ( x ) ( x 6 x o ) 一1 z ( x ) 竞 响应i 的估计为幺( x ) = ( x ) 反，z 伍) 是矩阵在x 点处的行向量， v a r ( p ( z ) ) 是p ( 。) 的方差一协方差矩阵，丁是响应的目标值，弱为设计 矩阵 马氏距离是求使马氏距离m e ) 最小化的因子水平该方法假定所有 响应函数都依赖于同一组设计变量，并用多项式回归模型来描述但该 方法没有考虑各响应的相对重要性 何桢【1 3 】提出了一种改进的马氏距离函数法，将马氏距离与质量损失 函数的思想相结合，根据各个响应在经济上的重要性，提出 j d p ( x ) ，叫= 【( p ( x ) 一圣) 7 矿 y o r ( 矿( x ) ) 一1 ( 9 ( x ) 一西) 】( 1 3 2 ) 1 0 第1 章绪论 其中w = d i a g ( w l ，w 2 ，叫，) ，撕= 1 ，姚 0 ，l 】，i = 1 ，2 ，r 对应于 损失函数的权重，多响应问题就转化为对改进的马氏距离进行最小化 但距离法没有考虑响应模型的预测能力 1 3 2 多元损失函数法 a m e s 【2 】2 提出了多响应问题的二次损失函数，但忽视了响应之间的相 关性，不能解决响应间可能存在交互作用的问题p i g n a t i e l l o 14 】提出如 下多元损失函数，考虑了过程的经济性和响应的相关性 m l ( y , r ) = ( y 一丁) 7 q ( y 一丁) 其中q 是正定常数矩阵，其值与产品的维修和废弃成本有关，由产品的 功能满意度决定如果y 服从均值向量为e ( y ) ，协方差矩阵为的多元 正态分布，则期望损失为 n ( v ) = e 【( y r ) q ( y 下) 】= t r l q i + | e ( y ) 一丁1 7 q e ( y ) 一丁i ( 1 3 3 ) 他提出的这个方法只适用于望目质量特性的问题，t s u i 1 5 l 将其扩展到望 大和望小质量特性的问题，( 由于通常假定质量特性为非负，故对于望 小特性，目标用0 代替，对于望大特性，将响应化为l k ，然后按望小特 性对待) 对于矩阵q 的确定方法，k u h n t 1 6 】给出了一种通过估计每个响应的 相对重要来确定q 的方法，这比估计每个响应的成本来得容易 v i n i n g 1 7 l 给出的多元质量损失函数与p i g n a t i e u o 提出的相似，主要差 别在于他用预测响应而不是响应的方差一协方差，考虑预测的质量， k o 1 8 】结合了v i n i n g 和p i g n a t i e l l o 的方法，同时考虑了响应的方差一协方 差和预测的质量 北京工业大学理学硕士学位论文 r i b e i r o 和e l s a y e d 1 9 】提出了一种多元梯度损失函数： m l g = 纠l 沪卅吒+ k 虹= l 阿l 3 = 姚i 慨一亿) + 吒+ 磋。i 罴 ( 1 3 4 ) 怔1”o j 其中吒为响应鼽的方差估计，程。为设计参数波动的估计，咄和t 分 别为响应i 的权重和目标值该梯度损失函数除了考虑对目标的偏离， 还考虑了可控因子和噪声因子产生的变异 此外，j o s e p h 2 0 】还研究了非负变量的损失函数 1 3 3 满意度函数法 该方法是将多响应转化为单响应一个简单易行的方法，它是将每个 响应转换成满意度函数，对于望目特性的响应，其单个满意度函数为 f 糍1 ：坯硗鲰 哦( 瓠) = f 桀罢r 正豌s 凰， ( 1 3 5 ) i 【五一皿j q 一一” 【0 其他 其中厶是最低限，皿是最高限，五是响应i 的目标值，乳和岛 决定满意度函数的形式，对于望大和望小特性的满意度函数可参考文 献 2 l 】多响应问题总满意度函数的求法通常是，求各响应的几何均值 d ：曼噍 去，然后使其最大化来寻找最优条件d e r r i n g e 。【2 2 】使用加权几 何均值d ：曼t 1 赢，考虑了响应的权重 当系统对满意度函数的形状不敏感时，用上述满意度函数比较合适， 当需要非线性满意度函数时，很难确定现和如值k i m 3 提出了指数满 意度函数，可通过调节参数咖来调节满意度函数的形状，比较方便 盔(识)：j竺里垒ex堕p群( 毋。， ( 1 3 6 )盔( 鳓= ) 一1 7 一 ( ) i1 一吲咖= 0 1 2 第1 章绪论 其中妒为常数一。o o o ，z 是标准化参数对于望目质量特性， z：逝：尝，矿岫彩(z)矿畎(137)?max_7 。j j i 巧_ 巧r a i n 4 “。“4 、7 望大和望小质量特性的z 值可参照文献【3 】，同时他们还通过将咖变为7 而将模型的预测能力考虑进来，其中= 庐+ ( 1 一r 2 ) ( 毋“戕一) ：俨找为 足够大值，以使d ( z ) 的形状足够凹，从而对优化没什么影响 但以上提到的满意度函数法都没有考虑响应间的相关性为此， k i m 1 4 】和j e o n g 2 1 】通过使最小满意度的满意度函数最大化来进行优化， m a x ( r a i n ( d 1 ( x ) ，矗( x ) ) ) ( 1 3 8 ) 、 通过最大一最小化满意度函数来对多响应参数设计进行优化，这种方法 对存在相关性的响应是稳健的，但该方法只考虑了满意度最低的那个响 应 l e e1 4 等人将过程能力引入满意度函数，提出 奶= 毒篇 ( 1 3 9 ) 其中，q 和卢为常数，c 为过程能力指数，该方法考虑了响应方差 w u 5 将质量损失函数引入满意度函数，用改进的双指数满意度函数对具 有相关性的多响应问题进行优化，但该方法只是质量损失法的另一种形 式，而且很难精确确定响应的质量损失，也没有考虑预测误差 1 3 4 概率法 c h i a o 2 3 和p e t e r s o n 2 4 , 2 5 】提出了一个简单的方法，即使多响应问题转 化成响应向量y = ( y 1 ，y 2 ，y m ) 7 在规格域中的概率最大化的问题 每个响应m 都存在一个规格限( 1 i ，) ，每个响应的规格限组成的空 间记为a ，a 可以是任意形式，从而多响应优化问题可转化成使响应向量 1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 一在a 中的概率最大，即 m a x p ( y a i x ) ，s t x r ( 1 3 1 0 ) 该方法还考虑了噪声因子的影响，则设计优化的目标为 ， m a x p ( y a i 五) = p ( y a l ( z c ，z n ) ) 如。， s tz 。r c ( 1 3 1 1 ) ， 其中z 。是可控因子，x n 是噪声因子，r c 是可行域r 在可控因子空间的 投影 1 3 5 双向应曲面法 双响应曲面法通常用于优化单一响应，q u e s a d a 2 6 1 将双响应曲面方 法扩展至多响应问题的优化该方法是先估计出多响应的均值和方差， 然后解决如下优化问题： m i n ，( v 缸( y ) ) ，s t l z ( r ) s 阢 z x ( 1 3 1 2 ) 1 3 6 其他方法 以上五种方法是目前常用的几种优化方法，此外文献中还提出了其 他一些方法 t o n g 2 7 1 ，a n t o n y 2 8 和钟晓芳【8 】利用主成分分析优化田口方法中的多 响应问题，是将原有响应转换成一系列不相关的部分，因而减少了多响 应问题中设计参数优化冲突的问题但主成分分析法却没有考虑各响应 的权重 h u n g - c h a n g ，l i a o 在文献 9 】中利用主成分分析的方法，考虑了权重， 但过于机械，不够灵活 a u e r 2 9 j 指出用质量损失的期望值e ( l ) = 【e ( y d x ) 一曩】2 + v 缸m l z ) 作 为响应值会更好 1 4 第1 章绪论 c h p n g k s 0 1 用c p m 指数进行多响应优化，在优化响应的同时能使响应 方差保持在较低的水平 d e lc a s t i l l o 3 1 】提出了用置信区间法来进行多响应优化，该方法是计 算响应变量的置信区间，然后使其响应值在其置信区间内作为约束条件 来进行优化 此外，t o n g 3 2 】用模糊理论对多响应问题进行优化，此外还提出多响 应信噪比( m u l t i r e s p o n s es i g n a lt on o i s er a t i o ，m r s n ) 的方法】 l u l a 4 1 将各个响应的信噪比基于模糊规则推理得到一个输出，即多性 能统计( m u l t i - p e r f o r m a n c es t a t i s t i c s ，m p s ) 值，将田口方法延伸至m p s ，m p s 值越大，方差越小 a r t h a n 撕( 3 5 j 将博弈论用于解决多响应优化时各响应预测值及方差间 的冲突 在工业生产等各方面，优化方法得到了广泛的应用，诸位勇【3 6 】和张 建方 3 7 】在自己的著作中也阐述了优化方法的应用 1 4 主成分分析的原理 1 4 1 引言 主成分是一种处理高维数据的方法，它通过投影的方法，将高维数 据尽可能少的信息损失投影到低维空间，使数据降维到简化数据结构的 目的它也是将多个相关变量以尽可能少的信息损失为原则进行综合化 为少数几个不相关变量的方法它的目的一般是：数据的压缩和数据的 解释 主成分分析更多地是一种达到目的的方法，而非目的本身 1 5 北京工业大学理学硕士学位论文 1 4 2 总体主成分 主成分在代数学上是p 个随机变量五，恐，砀的一些特殊的 线性组合，而在几何学上这些线性组合代表选取一个新坐标系，它是以 置，局为坐标轴的原坐标系旋转后得到的新坐标轴代表数据 变异性最大的方向，并且提供多协方差结构的一个较为简单但更精炼的 刻画主成分只依赖于墨，恐，砗的协方差( 或相关系数矩阵力它 们的进一步讨论不需要多元正态的假设另一方面，对由多元正态总体 导出的主成分可用常数密度椭球来做有用的阐明进而，当总体是多元 正态时，可由样本分量做出推断设随机向量x ，= 阢，x 2 ，】有协 方差阵，其特征值a 1 a 2 0 考虑线形组合 m = - i x = a l l x l + a 1 2 x 2 + + a l p 玛， y 2 = o ；x = 0 , 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + + a 2 p 砗， = a ；x = 唧1 x 1 + 唧2 恐+ + 锄 则得到： v a r ( y t ) = 啦i = 1 ，2 ，p c o v ( y t ，巧) = a ：t a y i ，j = 1 ，2 ，p 主成分是那些不相关的线性组合m ，m ，。，k ，它们能使上式中的 方差尽可能的大 第一主成分是有最大方差的线性组合，也即它使v a r ( y 1 ) = a 1 1 f a l 最 大化显然，v a z ( y 1 ) = a l e a l 会因为任何口1 乘以某个常数而增大为消 除这种不确定性，一个方便的方法是只关注有单位长度的系数向量因 此，r i c h a r d 和d e a n a s 定义： 一1 6 第1 章绪论 第一主成分= 线性组合a i x ，在o i o l = 1 时，它使哳( n j 。) 最大； 第二主成分= 线性性组合a 2 x ，在o t 。a 2 = 1 和c o v ( n i z ，必z ) = 0 时，它 使( 必z ) 最大；在第i 步， 第i 主成分= 线性组合o ：x ，在吼= 1 和c o v ( o ：z ，口2 z ) = 0( k 0 因为x x 与 ( x d ) 7 ( x d ) 一般具有不同的特征值和特征向量，因此对x 进行主成分分 1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 析与对x d 分析结果是不同的于是对x 进行主成分分析需要考虑对其 元素标度的选取，使之合理 为消除各个变量量纲之间的差异，常以相关阵作主成分分析但实际 中各个变量不一定是同等重要的，这样一律用相关阵来作主成分分析， 就未必合适可以考虑对数据的不同参照点和对变量或个体的不同加权 的分析，使得分析更符合数据的实际情况和满足分析者对数据的不同需 求，利用协方差阵进行主成分分析就是常见的一种 1 5 本文研究的问题及论文结构 本文研究的是多响应问题的优化方法是在前人研究多响应问题的 基础上，吸取其精华，然后进行更深入的研究为了克服响应之间的相 关性给问题带来的影响，首先对响应的相关性进行分析研究；然后，结 合实际问题的需要，对每一个响应建立一个满意度函数，把响应值转化 到 o ，1 】之间，从而对响应的标准进行了统一，对问题的研究更方便，更科 学；然后用研究各个响应的满意度之间的关系来代替对响应的直接研 究；如果响应的满意度之间存在很强的相关性，就利用主成分分析的原 理进行分析，综合出一个加权主成分指标，进行拟合优化，寻找最优试 验点所以会用到试验设计，主成分分析等方面的知识所以在第一章 的绪论中，除了介绍研究问题的背景之外，还介绍了响应曲面的有关内 容，多响应的优化方法以及主成分分析的原理，旨在为本文的研究做知 识铺垫第二章是本文研究的内容，针对不同的问题进行分析，提出不 同的模型，以便对问题进行优化分析第三章是利用实例加以分析，对 于两类响应相关性不同的问题进行分析，经过拟合，发现对于利用满意 度和加权主成分结合来优化问题，会得到比较好的结果 1 8 第2 章多响应相关性问题的研究 第2 章多响应相关性问题的研究 2 1多响应问题的提出 在现实生活中，无论是工业生产还是其他的过程控制，往往涉及的 不是单一的指标，不是单一的响应，而是多个响应，而对于有多个响应 的过程设计来说，就不象单一响应那么简单和方便多响应问题通常不 存在一组特定的可控变量使得所有这些特征值同时达到最优事实上， 经常出现的情况是：使其中某个质量特征值达到最优的条件，恰恰会导 致另外一些质量特征值达不到最优，甚至达不到合格的标准因此，试 图寻找使得所有响应都同时达到最优的可控变量的组合是不切实际的 这也告诫我们，在解决多响应输出问题时，不应对各个响应进行孤立的 分析，而应该从整体上加以把握 7 1 尤其当响应之间存在某种相互关联 时，更应该注意这一点 2 2 多响应相关性的分析 为了研究问题的方便，我们首先要收集数据进行分析研究，所以要 设计试验，收集试验数据试验表的设计可以参照 4 0 】， 删， 4 5 】，如下表 所示： 表2 - 1 数据收集表 试验设计变量响应变量 次数墨x 2m配碥 i 2 是 1 9 北京工业大学理学硕士学位论文 当然在试验设计研究方面，我国的专家也取得了瞩目的成就任露 泉【4 6 1 在理论方面和实践方面都做了深入的研究，还有陈魁m 、王万中 【删等 然后根据收集到的试验数据，进行性关性分析，此处也可以待建立 各个响应的满意度函数之后，求出各个响应的满意度值，再分析其相关 性，因为响应与满意度之间是线性关系，不影响其相关性 根据响应的特点，判断是“望大”型，“望小”型，还是“望目”型，结 合第一章中所阐述的满意度函数法，根据控制过程的要求和先验知识， 为每一个响应建立一个满意度函数，这样就可以把不同响应的不同量纲 统一标准 考虑到h a r r i n g t o n 的满意度函数形式较为复杂，且在转化时缺乏一 定的柔性，d e r r i n g e r 与s u i c h 对该方法进行了改进，提出了不同的函数 形式，但过程基本相同根据响应的望目、望小和望大三种特性，现在 d e r r i n g e r 与s u i c h 的基础上进一步改进，建立如下的函数形式：对于望目 特性的响应m ( x ) ，设其目标值为正，上规格限为u ，下规格限为l 最理想 的情况是m ( x ) 等于其目标值正，此时满意度值为1 0 0 同时当且仅当响 应值超过上规格限为u 或下规格限为工时，满意度值为0 于是将望目 情况下的满意度函数定义为： 她，= 喾雅罴蔓矿 对于望小特性的响应m ) ，它只具有一个上规格限u 当响应值越小 时，其满意度越高，如果响应k ( x ) 小于某个特定的值( 现有条件所能达 到的最小值或者达到该点后增加响应值不能明显的改进产品质量) ，将其 2 0 第2 章多响应相关性问题的研究 记为k ，m i n ( x ) 则认为达到了理想的状况，此时的满意度值为1 0 0 相反， 如果响应值超过了上规格限u ，则满意度值为0 于是，望小特性的响应 的满意度函数表达式定义为； 也( k ( x ) ) = m ( x ) ，m i n ( x ) ， m ，r n i 。( x ) m ( x ) 矾 k ( x ) 矿 她，= 0 南- 妻爱， 然后， 2 1 生卜 羔日 阵 矩 数系关相 和，ll 阵 h孙： 矶觯： 差 ；| 方扰 毗勉；耽 的威 趴跑； 意 满 = 的 s 应 句 h 出算计 北京工业大学理学硕士学位论文 f r l lr 1 2 i 耻卜；2 1 2 然后对各个响应的满意度的相关性进