（计算机应用技术专业论文）图像的连续对称度量.pdf

图像的连续对称度量 张庆磊( 计算机应用技术) 指导教师：李宗民( 教授) 摘要 随着信息产业的迅猛发展，图像信息量急剧增加，越来越多的研究者 着手研究图像检索和查询技术。而在基于内容的图像检索中，对称性是一 个非常重要的特征。对称性既是物体的重要特征，又是人类视觉感知组织 系统中的重要组成部分。各种对称性的检测与利用是计算机视觉的一个重 要研究方向。从复杂的图像中提取对称特征并进行度量，被广泛的应用于 图像识别和图像处理等领域。 本文首先简单介绍了目前主流的一些图像对称性检测方法和对称性度 量方法，对它们的性能进行了简单的分析和比较。然后，提出了一种新的 图像对称度量的方法，该方法把图像的对称度量作为一个连续特征，采用 了原始图像和变换后图像的面积比来描述图像的对称程度。该度量可以用 来比较同一图像不同类型的对称的程度，也可以用来比较不同的图像的同 一类型的对称的程度，并且该方法能够适用于各种形状的图像，特别是对 于那些边界占整幅图像比重较小的图像效果更好。最后给出了大量的实验 数据予以证明。 关键词：图像，连续对称度量，对称性，面积比，特征函数 c o n t i n u o u ss y m m e t ym e a s u r eo fi m a g e z h a n g q i n g - l e i ( c o m p u t e ra p p l i c a t i o nt e c h n o l o g y ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rl iz o n g - m i n a b s t r a c t w i mt h ed e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o ni n d u s t r y , t h ei n f o r m a t i o nc a p a c i t yo f i m a g e si n c r e a s e ss h a r p l y m o r ea n dm o r ep e o p l eb e g i nt os t u d yt h ei m a g e s e a r c h e sa n dt h ei m a g eq u e r yi no r d e rt og e t t i n gm o r eb u s i n e s sv a l u e i nt h e s t u d yo fi m a g es e a r c h e sb a s e do nt h ec o n t e n t ，s y m m e t r yi s av e r yi m p o r t a n t f e a t u r e s y m m e t r yi s n o to n l ya ni m p o r t a n tf e a t u r eo fi m a g e sb u ta l s oa c o m p o n e n to fh u m a nv i s i o ns y s t e m t h es e a r c h e sm a dt h eu s e so fs y m m e t r yi s a ni m p o r t a n ts t u d yd i r e c t i o n g e t t i n ga n dm e a s u r i n gt h es y m m e t r i c a lf e a t u r e f r o mi m a g e sh a sb e e nu s e di nt h ef i e l do f i m a g er e c o g n i t i o na n di m a g et r e a t i n g i nt h i sp a p e rw ei n t r o d u c es o m em a i n l ym e t h o d so f s y m m e t r ys e a r c h e sa n d s y m m e t r ym e a s u r e sf i r s t t h e nw eg i v ean e wm e t h o do fi m a g es y m m e t r y m e a s u r e n l i sm e t h o db a s e do nc o n s i d e r i n gt h es y m m e t r ym e a s u r ea sa c o n t i n u o u sf e a t u r e i nt h i sm e t h o dw eu s et h er a t eo ft h ea r e ao ft h eo r i g i n a l i m a g ea n dt h et r a n s f o r m e di m a g e t h i sm e a s u r ec a nn o to n l yb eu s e dt o m e a s u r et h es a m es y m m e t r yt y p eo fd i f f e r e n tb u ta l s ob eu s e dt om e a s u r et h e d i f f e r e n ts y m m e t r yt y p eo ft h es a m ei m a g e ，b e s i d e st h i sm e t h o dc a nb eu s e dt o m e a s u r ea 1 1i m a g e s e s p e c i a l l yf o rt h o s ew h o s eb o u n d a r yp i x e l sa r el e s sr e l a t i v et oa l l p i x e l so f t h ei m a g e ，t h em e a s u r ei sm o r ee x a c t l a s t ，w eg i v eae x p e r i m e n to f t h es y m m e t r y m e a s u r e k e yw o r d s ：i m a g e ，c o n t i n u o u ss y m m e t r ym e a s u r e ，s y m m e t r y , a r e ar a t e ， c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国石油大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 导师签名： 墅丝 毒幽 年 生 月 月 日 日 中国石油大学( 华东) 硕士论文第l 章前言 第1 章前言 ，1 课题来源和提出的背景及意义 本课题来源于国家科技攻关课题：数字化三维人体运动的计算机仿真 研究( 编号2 0 0 1 b a 9 0 4 8 0 8 ) 。 目前，随着信息产业的迅猛发展，图像信息急剧增加，数字图书馆研 究、电子商务、网络出版系统等显示出强大的生命力，形成不可逆转的趋 势。越来越多的研究者着手研究图像检索和查询技术，以作为上述具有很 强的商用价值应用的关键技术支撑。基于内容的图像检索研究对信息化建 设以及经济社会的发展具有重要意义 1 ，2 ，而图像视觉特征描述是其中重 要的内容。 视觉特征描述研究一直是图像理解、计算机视觉研究的重要内容 3 ， 涉及到图像处理、模式识别、生物生理学、心理学等学科 4 ，5 ，6 ，在视 觉特征描述中，对称性是一个重要内容。对称性是数学和物理学中的一个 重要概念。小到钻石的微观结构，大到宇宙的星体和太阳系，对称性在自 然界中无处不在。自然的和人工的物体通常会引起人的对称性的感觉。人 们对对称性的感觉非常强烈，使得大多数的人工制造的物体都是对称的， 并且心理学上认为对称性是感知的一个基本原则。人们的直接感觉就是几 乎所有感兴趣的区域都是由各种形式的对称组成的。自然界中的最明显的 对称性之一是植物和动物表现的镜像对称。由于对称性的普遍存在，对理 解和解释自然界的图像来说，检测和度量对称性具有重要意义。 对称性在感知问题上起很重要的作用。例如，当视觉模式出现“对称 性”时，大脑活动就会出现与之对应的峰值。一块区域的对称性越强，越 中国石油大学( 华东) 硕十论文第1 章前言 容易被看成图形。对称性本质上是一种规则性。在军事伪装中常用不同颜 色和不同形状去破坏物体原有的图案( 例如迷彩服) 就是这一规则的应用。 对称性可以影响人的注意机制，从而指导后期视觉的物体检测、特征提取 与识别过程，而且对称性也可以作为进行物理、化学研究和医学诊断方面 的重要指导参数。然而，人类视觉中的对称检测的生物原理目前仍然没有 完全揭开，而图像处理中的对称性检测和度量由于各方面的原因也并不令 人十分满意。 另外，对称性的精确数学定义对描述和量化自然界中和人类视觉的对 称来说是远远不够的。有时甚至十分对称的图形也会因为封闭、角度的变 化、图形的数字化带来的噪声等等原因。在投影到图像平面或生物视网膜 上后失去部分对称的特征，丢失图像的某种信息 8 。物体形状的对称性描 述和物体形状的检测对发现物体形状匹配、基于模型的物体匹配和物体识 别与定位是非常有用的。所以对称性检测和度量广泛地应用在图像处理领 域。对称性不仅在平面物体的定位、识别方面发挥着重要的作用，而且对 称性作为一个必要条件，己经应用在3 d 物体的重建中 9 ，l o ，1 1 】。最近，由 于智能机器人在工业、商业、医疗等方面的大量应用，对称性也被广泛地 用来进行检测纹理和引导机器抓取物体 1 2 ，提高了工作的自动化程度， 并且在一些环境恶劣、人类无法工作的地方，得到了大量的应用。因此从 复杂的图像中提取它的对称性，对于模式识别和图像处理来说具有重要的 意义。各种对称性的检测与应用已成为计算机视觉的一个重要研究方向 对称性是一个很重要的特性，可以用来标识物体的结构，广泛应用于计算 机视觉，是目前比较热门的研究方向。 2 中国石油大学( 华东) 硕十论文第1 章前言 1 2 对称性检测和度量的发展概况 1 2 1 对称性检测的发展概况 对称性检测在基于内容的图像检索研究中占重要地位，通过对称性检 测可以对图像整体特征进行检索。自然界和日常生活中的很多物体都具有 某种形式的对称性。对称性既是物体的重要特征，也是人类视觉感知组织 系统中的重要组成部分。例如：物体对反射( 沿直线、平面或超平面对折) 的不变性称为镜像对称性。镜像对称性在生活中最为常见，几乎所有的动 物、植物、人造物体包括人在外观上都具有一定程度的镜像对称性 1 2 。 由于人类对物体和图形的最初认识是他们的形状和轮廓，由此可以很快地 得到它们是否对称的结论，虽然这只是一个模糊的概念( 因为绝对的对称在 自然界中是不会存在的) ，但是，人们可以知道这些物体和图形近似的对称 中心和对称的方向，这样使人类可以更好地识别和定位图像。所以对称性 是视觉初期提取的特征，它可以影响人的注意机制，是人们对所感兴趣的 物体和图形的逐步和宏观的认识与定义，从而可以指导后期视觉的物体检 测、特征提取与识别过程。与人类的视觉特点类似，生物和机器的视觉任 务也涉及到巨大数量的信息处理。为了在节省时间、节省图像存取空间的 基础上分析这些信息，就需要直接涉及到图像特征点的获取与定位。可以 设想一个符合对称性特征直观概念为基础的算法，进行图像的前期处理。 根据物体的对称性，可以进行高效率的数字图像的压缩与编码，从而可以 更快地存储和传送图像信息，迅速确定物体内部的相对位置关系，识别感 兴趣物体的整体架构，可以使被遮挡的部分或丢失的信息恢复出来，还可 获得物体在三维空间中的方位与姿态，指导三维物体的检测与识别。因此， 越来越多的人开始对图像的对称性进行研究。 目前的绝大多数对称性检测算予都是在空间域进行的，虽然在图像傅 中国石油大学( 华东) 硕七论文第1 章前言 里叶领域也进行了一些有益的研究，但在用傅里叶方法检测图像的对称性 方面的研究还远远不够，目前的绝大多数对称性检测算子的最主要的缺点 是，在进行所有的对称性分析之前都需要进行物体分割，文献 1 3 ，1 4 把对 称性检测问题转化为协方差矩阵的特征值分解问题，文献 1 3 还要求物体 的对称轴与图像二值化时的对称轴相同。文献 1 5 由功率谱得到复数矩表 示对称性，并给出离散复数矩表示。文献 1 6 ，1 7 使用方向直方图和梯度信 息进行对称性检测。 a t a l l a h 1 8 的方法需要把物体表示为点、线段和圆，然而形态学方法 如中轴变换、细化等，只能应用于二值化物体。x i a 1 9 对这些方法进行了 概括。形态学方法的难题是对物体轮廓的微小变化特别敏感物体轮廓中的 一个凹槽会形成几个对称轴，使得物体的表征复杂化。 k o v e s 2 0 ，利用相位信息研究了对称性检测问题，得出了一些有益的 结果。该方法不需要图像的任何先验知识，不需要物体识别或分割，直接 对原始图像进行处理，而且对对比度具有不变性。但是在k o v e s i 的检测结 果中不但包括物体的对称性，还包括背景的对称性，这显然不是所需要的。 文献 2 1 提出了一种为数不多的不需要物体分割或识别的对称性检测 方法。考虑了图像中对于某位置在一定距离之内的相对立的成对的点，主 要是关于这些点的亮度梯度的方向与强度。计算图像中的每一点周围的成 对的点的对称程度的加权和，得到总体的对称性度量。每一对点对对称性 度量的贡献取决于它们的亮度梯度的方向和大小的对称性，同时取决于亮 度梯度的强度本身。该方法的缺点是除取决于几何形状以外，还取决于对 比度。 综上所述，目前的大多数对称性检测算子主要存在以下三方面的问题。 首先，它们都是针对只包含一个物体的图像设计的。当图像包含多个 物体时就需要进行分割，而在处理图像以前并不知道图像中包含多少物体， 4 中国石油大学( 华东) 硕十论文第l 章前言 因此这类算子具有很大的局限性。 其次，它们主要利用图像的梯度信息( 灰度信息) 。而这不符合人类的 视觉特性。比如，在同样的背景下有两个灰度不同的圆，如果用基于梯度 的对称性检测算子进行度量则这两个圆的对称性必然与其梯度有关。即这 两个圆的对称性不同，对比度大的圆，比对比度小的圆“更圆”。这显然 与客观不符，因为无论灰度大小，圆的对称性永远是相同的。大多数算子 都可以保证具有旋转不变性，而对于对比度和亮度的变化则不具有不变性， 根本原因就是利用图像的梯度信息。 最后，它们一般只能检测某一类或两类对称性，比如只能检测镜像对 称性 2 2 ，2 3 或者旋转对称性 2 4 ，2 5 ，2 6 或者镜像对称性和旋转对称性 2 7 ，2 8 ，而对其它类型的对称则无能为力，即通用性较差。 1 2 2 对称性度量的发展概况 对一个系统s ，应用变换r ，得到系统s = r ( 回，若s = s ，称系统s 完 全对称。若该变换定义为关于某个超平面的映射交换，称该系统具有完全 的双边对称性( 镜像对称) 对于图像来说，该变换是关于线的映射变换。在 自然图像中不存在完全的对称性，在实际应中，近似对称性很重要。当一 个系统关于某变换几乎不变时，称它具有近似对称性。对“几乎”的定义 对成功应用很重要，可由一种对称性度量函数来表示，体现s 与s 的近似 程度。在对称性研究领域中，许多研究集中在二维图像中的对称性检测上。 对称性度量的直观方法是基于相关的穷举法。a t a l l a h 提出优化枚举法， 用于检测理想对称图形单元构成的样本集的镜像对称性 1 8 ，z a b r o d s k y 针对不同的对称性定义了连续的对称性距离( s d ：s y m m e t r yd i s t a n c e ) 1 ： m a r o l a 用镜像对称系数来表征物体的镜像对称程度，并在实际的对称轴附 近采用极大化方法寻优 2 9 ；g i l a t 提出一种c h i r a lc o e f f i c i e n t 度量 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 ( 表示物体偏离镜像对称的程度) ，结合误差最小化方法求解 3 0 1 。 这些方法的主要问题是： 1 ) 忽略了图像中的灰度值。 2 ) 仅使用检测出图像中的边缘。 3 ) 需要进行参数选择。 4 ) 计算量大。 1 3 对称性检测和度量技术的应用前景 随着基于内容的图像检索技术地飞速发展，对称性检测和度量技术不 断完善，在更多的领域内得到了广泛的应用。随着数字时代的发展，信息 成为人们日常生活和国家政府工作的重要内容，多媒体技术的进步，使人 们通过语音图像信息进行联系与交流，而图像由于它的直观、准确，与人 的视觉匹配等原因，更加受到人们的重视。但是，一幅图像往往具有很大 的数据量，如果要存储、传送大量的图像信息，就是一件很困难的事情了。 随着图像处理所需的计算机设备地不断发展，处理器和大容量的储存器的 诞生，图像数字化和图像显示设备越来越普及，和不断涌现出的新应用， 在商业、工业、医学应用中，数字图像的使用持续增长。更重要的一点是 数字处理技术的不断进步，对称性检测广泛地应用于电子会议，远程教学， 远程医疗，艺术收藏，博物馆管理，地理信息系统，天气预报，时装设计， 建筑和工程图纸的查询，智能群体决策，网络购物，计算机支持协同工作， 金融市场，军事指挥系统，防汛指挥系统等方面。另外。在遥感图像处理 和空间检测，机器人视觉及图像测量，材料分析，电子图书馆。保安系统， 卫星图像管理等领域也被广泛地使用。 对于基于内容的图像检索来说，对称性检测和度量技术占有重要的地 位。对称性作为物体的基本特征，对于人们对物体的认识具有指导意义， 6 中国石油大学( 华东) 硕十论文第l 章前言 所以在进行数据库检索时，对称性可以作为查询图像的依据，或者是i ； 期 指导。例如：f i s c h e r 等 3 1 利用图像的对称轴方向与个数，在a d i a c 的计划 框架的硅藻数据库中工作，目的是对硅藻自动进行识别和分类。而且，对 称性检测在图像压缩方面有很大的发展潜力，利用对称性的特征对人脸图 像进行有效的压缩，可以更加简洁，准确地表达人脸信息。在对智能机器 人的研究中，通过模仿人类视觉的特点，基于对称性的检测，实现智能机 器人对规则物体准确抓取。 目前，人脸的识别与提取的研究工作发展十分迅速，而且它的应用领 域十分的广泛，人脸自动识别是一种重要的个人身份鉴别方法，可以广泛 应用于公安、保卫、银行、商业等部门。与利用指纹、视网膜等其他人体 生物特征进行人身鉴别的方法相比，它具有直接、友好、方便的特点。因 为这种原因，人脸识别的研究在近几年变得非常热门 3 2 ，3 3 。人脸定位则 是人脸识别系统中重要的步骤，它主要是指求取两只眼睛中心点的位置坐 标。如果求出眼睛的中心位置，就能够实现人脸特征的归一化，其他一些 特征的位置坐标也可以比较容易地得到。人脸上有许多对称特征，例如： 两只眼睛和两只耳朵关于脸部中线是对称的，同时鼻子和嘴巴处在这条脸 部中线上。在人脸定位的方法中，比较引人注目的是广义对称变换方法。 对于人脸图像来说，人眼、眉毛、嘴巴等都具有很强的点对称性。文献 3 4 3 提出了方向对称变换。它不仅能像广义对称变换一样描述各点的点对称性， 而且能够通过对称性在不同方向上的分布来描述物体的基本形状，而形状 是物体识别的重要依据，这无疑会在识别、定位上带来更大的便利。在将 方向对称变换应用于简单背景、正面人脸图像的定位时，为了提高定位速 度，有学者提出了一种快速的人脸定位方法，依靠对尺度因子的自动估计 来大幅降低计算量，同时在定位准确率上也有相当提高。r e i s f e l d 等 3 5 采用局部对称算子，遍历整幅梯度图像，得到与原图像相似的局部对称的 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第l 章前言 映射图通过局部对称信息与图像彩色的信息融合，计算出人脸各个特征 点。 总之，对称性检测和度量是图像特征检测的重要内容，广泛应用于图 像处理、计算机视觉、基于内容的图像检索、信息传输等领域，拥有广阔 的应用前景。 1 4 本论文的工作及内容安排 视觉描述中的对称性检测及度量是目前国内外异常活跃的研究课题， 在数据压缩、图像描述、图像分割、图像定位等方面具有重要的应用潜力。 该课题的难点在于：如何获得待识别和分析目标的对称特征点，如何在整体 上对一幅图像进行分析，如何找到可以表达和描述感兴趣图像的对称特征 的对称性度量。本论文在前人工作的基础之上，对灰度图像进行分析，提 出了一种新的图像的对称度量方法。该方法对图像进行特征提取后，利用 原始图像和变换后图像的面积比作为图像对称程度的度量。该方法简单易 行，既可以对同一幅图像的不同类型的对称进行度量，也可以对不同图像 的同一类型的对称程度进行度量。该方法对各种类型的灰度图像的对称度 量都有较好的效果。 本文主要作了以下几方面的工作： 1 对对称性特征在图像处理、计算机视觉、基于内容的图像检索以及 信息传输等领域的作用做了简单的描述。对现有的图像对称性特征提取以 及对称检测和对称度量的发展概况进行了一下粗略的总结，指出了目前图 像对称检测和对称度量存在的问题。并对图像对称性检测和对称性度量技 术的应用前景进行了展望。 2 对人们经常研究的对称类型进行分类，并给出了每一种对称类型的 数学定义。然后对目前主要的图像对称性检测和对称性度量的方法进行了 中国钉油大学( 华东) 硕十论文第1 章前言 详细的阐述，指出了每一种方法的优势和不足。 3 提出了一种新的基于面积比的图像对称性度量的方法，该方法基于 把图像的对称特征作为一个连续特征，利用原始图像和变换后图像的面积 比作为图像对称程度的度量。分旋转对称和镜像对称两种情况给出了该度 量的定义。该度量应用范围广，可以用于各种形状的灰度图像的度量，也 可以度量各种类型的对称。 4 给出了基于面积比的图像对称度量在离散情况下的表达形式，并给 出了在离散情况下，计算该度量的实现算法。最后，通过大量的实验来说 明了该算法的有效性。 本论文的内容安排如下：第一章前言，简要介绍了图像对称度量和对称 检测的发展概况和应用前景。第二章对称性检测和度量技术，介绍了常用 的几种类型的对称，给出了每种对称的数学定义。介绍了目前主要的图像 对称检测和对称度量的方法。第三章基于面积比的图像的连续对称度量， 分旋转对称和镜像对称两种情况，给出了基于面积比的图像对称度量的定 义，并分析了该度量具有的性质。第四章算法实现及实验结果讨论，给出 了基于面积比的图像对称度量在离散情况下的定义，并给出了计算该对称 度量的实现算法。最后，给出了大量的实验并实验结果进行了分析。第五 章结论及展望。 9 中国石油大学( 华东) 硕+ 论文第2 章对称性检测和度晕技术 第2 章对称性检测和度量技术 本章将详细介绍对称性检测和度量的方法。首先给出了图像中不同类 型对称性的定义，为以后进行的对称性检测和度量提供依据。然后，详细 的对当前常用的对称性检测和度量的方法进行了综述。 对称性既是物体的重要特征，也是人类视觉感知组织系统中的重要组 成部分。自然界和日常生活中的很多物体都具有某种形式的对称性。对称性 是视觉初期提取的特征，可以影响人的注意机制，从而导致后期视觉的物体 检测、特征提取与识别过程。因次，各种对称性检测成了计算机视觉和模式 识别中的一个重要课题。 2 1 对称定义和分类 根据几何变换理论，对称性主要可以分为镜像对称、旋转对称、平移 对称。根据物体的内部几何关系又可以分为斜对称，平行对称和光滑局部对 称f 3 6 。 2 1 镜像对称 假设图像中心在原点，图像用极坐标f c r ，印表示，如果存在一条过原 点并与工轴夹角为妒的直线，使得对某一角口，有f c r ，+ 口) = f c r ，妒一口) ， 则图像关于直线，镜像对称，其中，称为对称轴。这种对称在自然界中普遍 存在，如图2 1 所示，各图均为镜像对称图像。 1 0 中国石油大学( 华东) 硕十论文第2 章对称性检测和度量技术 督秘呦 (a)(b)( c )( d ) 图2 - 1 镜像对称图像 2 1 2 旋转对称 对于一幅图像，其数学表达式为f ( r ，口) ，如果有： 厂( ，口) ：，( r ，臼+ ( i - 1 ) 2 9 ，) ，f ：l ，2 ，k ，口 o 2 万) k 则称该图像是七阶旋转对称的，过原点和x 轴夹角为口 ( i - 1 ) 2 r 、 i ：1 ，2 ，七) 石 的直线称为旋转对称轴。我们知道圆是一个最为特殊的旋转对称图形，它有 无数条对称轴，而椭圆只有两条旋转对称轴。 铬妒碴* ( a )( b )( c )( d ) 图2 2 旋转对称图像 2 1 3 斜对称 给定一个方向口( 与图像x 轴的夹角) ，在图像f ( x ，y ) 上任取一点p ， 过p 沿护的方向做直线交于图像另一点g ，设线段p g 的中点为r ，如果所 有的，都在一条直线，：上，则称该图像是斜对称的，直线f 2 为斜对称轴。事 实上，斜对称图形可由一个镜像对称图形经过正投影变换获得。研究表明， 中国石油大学( 华东) 硕十论文第2 章对称性检测和度荤技术 人类视觉系统很容易把斜对称理解成一个实际的镜像对称，而这在物体识别 中有重要应用。 图2 - 3 斜对称图像 2 1 4 光滑局部对称 光滑局部对称是寻找平面曲线的对称性，其对称轴是一条光滑曲线。 假设曲线的参数方程为c ( s ) = ( x ( j ) ，灭j ) ) ，取曲线上两点c ( s i ) ，c ( s 2 ) ，此两 点的曲线单位切矢量分别记为( 毛) f ：( j ：) ，c ( s 。) ，c ( j ：) 的连线记为矢量 r ( p l ，p 2 ) 。如果r ( p i ，见) ( ，2 ( & ) 一( 而) ) = o 则称c ( 函) 和c ( 屯) 是局部对称的， 所有局部对称点的连续中点形成一条光滑曲线，则称该图像曲线为光滑局部 对称。光滑局部对称在目标匹配、识别、图像压缩等领域都有重要应用，例 如利用图像的光滑局部对称实现匹配识别。 6 ( s 1 ) 图2 - 4 光滑局部对称图像 2 1 5 平行对称 令两条曲线的参数方程分别为，q ( j ) = ( 黾( s ) ，y 。0 ) ) 和 1 2 中国石油大学( 华东) 硕七论文第2 章对称性检测和度量技术 c ：= ( x ：( s ) ，儿( s ) ) ，q ( s ) 和岛( s ) 分别是此两条曲线的切线矢量函数，如果存 在一个单调连续函数厂( s ) ，使得b ( s ) = 易( ( s ) ) ，则称曲线c l ( s ) 和c ：( s ) 是 平行对称的。 图2 - 5 平行对称图像 2 1 6 平移对称 给定一副图像八薯力，直线，将图像分为两部分f d x , 力和五似力，如 果对图像 ( x ，y ) 上任一点( _ ，y ，) ，在图像l ( x ，y ) 上都存在一点o ：，) ，2 ) ， 使一“，y i ) = 以( 恐+ 聊，y ：+ 行) ，则称图像，( x ，y ) 为平移对称，其中m ，以为 常数。 图2 - 6 平移对称图像 2 2 二维图像对称性检测方法 当前图像对称性检测的研究大多数是基于边缘、轮廓、特征点提取后 的代表点的集合。根据它们所采用的数学思想，主要可分为模式匹配法，统 计方法，曲线微分法。 2 2 1 模式匹配法 这种方法的思路是将平面图像的对称性检测转化为点的连接问题 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章对称性检测和度荤技术 a m l l a h 在文献d s 中提出的方法就是一种典型的用模式匹配的方法检测镜 像对称的问题。假设图像由一组点p ，p 2 - - , p 。组成，其中点坐标记为c ，坐 标原点记为。，则易得c 的坐标矢量为品= ! m 至j 1 面，而图像点的对称轴妒 必通过点c ，因而关于妒的一对对称点到中心点c 的距离必是相等的。据此， 首先将这些点分为k 组，局，易，e ，使得每一组e 的点到点c 的距离都是 相等的，然后对每一组e ，寻找印。使其通过c 点，并且关于妒，成镜像对称， 最后求得所有妒。的交集即即为该组图像点的对称轴。 这种模式匹配方法只能检测镜像对称，对精确对称的某些形状的几何 体，如点、圆、椭圆等组成的图像较为有效，但是对于灰度图像等大多数图 像，由于成像、数字化等产生误差，因而这种方法无法应用，而且其计算复 杂度也较高。 2 2 2 统计方法 模式匹配法要求对称图像点精确对称，而且它们对噪声敏感，由于物 体图像在成像、数字化以及边缘检测等处理过程中会产生很多误差，显然， 这些方法对一般图像的对称性检测并不能普遍使用。统计方法由于反映图像 的整体统计特征，因而能克服噪声等影响。 d s h e n 1 2 等提出了广义复数矩方法检测对称性，该方法将检测镜像对 称性和旋转对称性统一起来，同时能找出图像所有的镜像对称轴和旋转对称 轴。 1 ) 广义复数矩的定义 对一幅图像f ( x ，y ) ，它对应的极坐标形式为f ( r ，臼) ，则该图像的广义复 数矩可以用下式定义： g c p 广r p q e y c m = 2 - - 1 - ir 8 l ：。竹，o ) ( r p , e j q 9 ) r d r d o ( 2 - 1 ) ) r d r d o 【厂( ， 1 4 中国石油大学( 华东) 硕十论文第2 章对称性检测和度蕈技术 其中p 是非负的整数，q 是正整数。 对任意一幅图像，其图像函数可以用下式表示 f ( r ，印= f m ( r ) e 巾9 ，( 2 - 2 ) 其中，厶( ，) = 磊l r 。( ，8 ) e j - a d p 2 ) 计算非零复数矩 在计算非零复数矩的过程中，阶数p 通常是固定的，在实际应用中，确 定一个合适的p 非常关键。下面给出确定p 和控制整个过程的两个准则： ( 1 ) 根据图像可变能量与总能量的比口。确定。 ( 2 ) 根据图像残余能量与总能量的比九确定。 下面是口，和的计算公式， 矿卜器 ， 其中，一( 口) = r ，( r ，口p ”r 办，日，( g ) = 去f 砟( 口) e j q o d p 2 万( k ( o ) j j 2 + 2 壹j l - ，( 埘2 ) 驴1 。可丽南广 亿4 为了达到最好的效果，在计算过程中，令口，5 ，b q = l 。 3 ) 检测镜像对称轴 根据复数矩的特点，可以利用非零复数矩的相位角检测图像的镜像对称 轴。假设图像的非零复数矩的集合是 g c ，。，_ ，= l ，2 ， ，它对应的相位角的 集合为 。，_ ，= 1 , 2 ， 。如果图像是标准的镜像对称图像，那么所有的非 中国石油大学( 华东) 硕七论文第2 章对称性检测和度量技术 零复数矩都是实数，非零复数矩的相位角肯定是石的整数倍。把一个标准的 镜像对称图像f ( r ，护) 旋转一个角度，则该图像就变为f ( r ，o - p ) ，则非零 复数矩的集合变为 g c p 4 。p 冉”，_ ，= 1 , 2 ， ，g c p 柚9 的相位角为 q j f l 一勋a 为了突出一般性，令给定的图像是标准的镜像对称图形旋转角度后得 到的图像，若第- ，个非零复数矩g c 蛐的相位角是绵嘶，则妒，唧= 吼一切 下面的定理1 和定理2 给出了用非零复数矩计算图像所有镜像对称轴的方 法。 定理1 ：图像f ( r ，0 ) 的所有镜像对称轴包含在下面的集合中， 触= a x i s w i t h a n g l e i p = 字肛蜘( g ，卅 定理2 ：图像八，0 ) 的所有镜像对称轴都在下面定义的集合中，并且该 集合中的所有轴都是图像的镜像对称轴。 a x e s s e t = a x e s s e t nna x e s s e t q , na x e s s e t q , n na x e s s e t 虮n 4 ) 旋转对称轴的检测 ( 1 ) 检测旋转对称轴的数目 给定一幅图像八，研，其旋转对称轴的数目可以由定理3 得出， 定理3 ：若图像厂( r ，口) 的非零复数矩的集合为 g c 。，= 1 , 2 ，3 ，) ，则图 像的旋转对称轴的数日为集合( 以，j = l ，2 ，3 ，) 中q 的最大公约数 在实际应用中，要计算图像f ( r ，0 ) 的旋转对称轴的数目，只需要计算前 三阶非零复数矩 g c 。，g c 肋，鳓 的阶数锄，q 2 ，q ，) 的最大公约数。 ( 2 ) 检测旋转对称轴 除了检测图像旋转对称轴的数目，检测图像的旋转对称轴也非常重要。 1 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章对称性检测和度晕技术 定理4 给出了计算图像旋转对称轴的方法，= _ g ，等于集合 - i 乱i ，= l ，2 , 3 ，刀中以的最大公约数。定理5 给出了计算 i - ，= l ，2 ，3 ，以 的方法。 定理4 ：复合复数矩兀( g c 聊) 的相位角是x ，妒胁，其中 ij 。l c - - - c r q j ( _ ，= 1 ，2 ，3 ，) 是图像厂( ，口) 的非零复数矩，是整数，x t 是一个整数 权，则存在= _ g 条旋转对称轴，这些轴对应的角度是 j z x j t p m j + ( f 1 ) 2 万 j q = 上i 巧一，其中i = 1 2 x ，q ， ( 2 5 ) x ，q ， ”1 j m l j 定理s ：存在合适的整数权 i _ ，= l ，2 ，3 ，乃，使得x j q j 的值等于 j - i 劬i j = 1 ，2 ，3 ，) 的最大公约数。权值l ，= l ，2 ，3 ， 可以通过求解下面 的线性规划问题获得，其中，目标函数是 j m i n x j q 工，i _ ，= l ，2 ，3 ，毋， j - l 约束条件是： 圭_ g 1 刮工小m a x ( q 川1 2 ，3 ， 3 1 1 2 2 3 曲线微分法 曲线的几何性质能较为直观的反映图像的形状特征，所以，基于曲线 的微分性质检测图形的对称性是一个较为有效的方法。温巍，袁保宗 3 7 1 提 出了一种曲线微分性质的斜对称检测方法。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章对称性检测和度量技术 1 ) 斜对称闭合曲线的定义及其性质 一般地，三维物体的表面是由若干个区域所组成，每个区域的边界就 是一条闭合曲线，因此，研究闭合曲线的斜对称性，以及识别其斜对称性 和准确地获得其斜对称轴线，对恢复物体的结构和确定其方向和位置信息， 都是非常有意义的。 闭合曲线也是一个典型的图形。对于非闭合曲线图形，只需将其断开 的端点以直线连接，就可构成一个闭合的曲线。斜对称闭合曲线具有许多 独特的性质，这些性质可以作为识别的特征。 定义1 ：如果向量函数，( r ) 是周期函数，即存在常数m 0 ，使得 r o + 缈) = ，( f ) ( c i t 6 ) ，则一条正规的平面曲线c ：r = r ( r ) s t 茎6 ) ， 称为是闭合的。具有这种性质的最小常数称为曲线c 的周期；一个周期 内，( ，) 是与t 一一对应的。 定义2 ：对于一条闭合曲线c ，若存在一条直线，将c 分为两部分g 和 c ：，c i 与c ：之间的各对应点的连线互相平行，并且各连线的中点m 总 是落在直线，上，则闭合曲线c 是关于斜对称轴线，的斜对称闭合曲线，如 图2 7 所示。 图2 - 7 斜对称图像 如果c l 与c ：之间的对应点连线总与直线成直角，那么就称闭合 曲线是正交对称的。 定理l ：闭合曲线c 若存在两条或两条以上的斜对称轴线，则这些轴线 1 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章对称性检测和度荤技术 不存在平行性，且必然都相交于一点，这一点就是其对称中心。 定理2 ；如果闭合曲线共有一条正交对称轴线，那么任意两条相邻的对 称轴线之间的夹角相等，且等于。 推论1 ：已知闭合曲线具有 条斜对称轴线，若相邻两条斜对称轴线之 问的曲线段还具有斜对称性，且斜对称轴线的数目为m ，则该闭合曲线应 共有斜对称轴线m + 1 ) n 条。 推论2 ：如果一条闭合曲线具有无数条正交对称轴线，那么它一定是一 个圆，反之亦如此；如果一条闭合曲线具有无数条对称轴线，那么它一定 是一个椭圆，反之亦如此。 定理3 ：线性几何变换定义为 t ：p ( x ，力啼g ( f ，r 1 ) 善= a l l x + 口2 2 y + r ( 2 7 ) ，7 。b l i x + b 2 2 y j 其中a l l , a 2 2 ，b l l b 。，s 均为常数。在线性几何变换下，( a ) 一条正交对 称闭合曲线将成为斜对称闭合曲线；( b ) 一条斜对称闭合曲线，选择适当的 变换参数，总可以恢复成正交对称闭合曲线。 推论3 ：若线性几何变换中的常数，= j = 0 。一条闭合曲线的中心位于 坐标原点，则变换后的闭合曲线的中心仍位于坐标原点。 定理4 ：一条闭合斜对称曲线c 表示成参数形式z ( r ) ，y ( f ) ，t 为参变量。 直线，是其中的一条斜对称轴线，点p 。f x ( ) ，y ( f 1 ) 】与p 2 x ( f 2 ) ，j ，( f 2 ) 】是关于 直线z 的一对斜对称点，那么，则存在着如下关系： 酬学掣一学掣c o 警掣一 疵2 ( 。t 2 ) d x 西( t 2 ) ， 其中c 0 为常数。 ( 2 8 ) 2 ) 斜对称闭合曲线的轴线检测步骤 1 9 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章对称性检测和度量技术 卜挎 9 ， 卜专扣， 怕驯 粥：嚣l 卜) - y x ：砌+ 2 ) + x ( n ) - 2 x ( n + ，) ( 2 - 1 0 ) l x ( 疗) = 工( 疗+( 疗) = 】伽+1 ) 它叫斛? 叫功，( 1 $ i s l ) ( 2 _ 1 1 ) i x x 疗) = x ( n + o + x ( n d - 2 x ( n ) 足( 以) = x 义胛) ( 订) 一_ ( 疗) j ，义玎) 】 ( 2 1 2 ) 2 0 中国石油大学( 华东) 硕十论文第2 章对称性检测和度量技术 这些关键点与闭合曲线的中心相连，就是候选的斜对称轴线。此外，如果 两个相邻关键点的曲线段是一段直线，那么就把该直线段的中点增补为关 键点。 ( 5 ) 对于每条候选的斜对称轴线，检验位于斜对称轴线两边的关键点， 是否满足斜对称的定义：两边的关键点数相同；从位于斜对称轴线上的关 键点向两边出发，对应的关键点连线是否平行；对应的关键点连线的中点 是否位于候选的斜对称轴线上。 ( 6 ) 若上述3 个条件均已满足，则逐一对位于候选对称轴线两边的曲线 点进行检验。如果其离开轴线的误差小于某个阈值，即可确认该候选的斜 对称轴线是闭合曲线的一条真正斜对称轴线；否则取消该斜对称轴线的候 选资格。另外，所确定的斜对称轴线有些可能是重复的，因此还要去掉多 余的斜对称轴线。 2 2 4 基于主元分析的对称性检测方法 为了解决模式匹配法和优化搜索法中需要高质量对称点集这一瓶颈， 卢春雨等【14 】提出了一种可以用于快速粗定位的对称性检测方法，即基于 主元分析的对称性检测方法。该算法基于下面三个定理及其推理上面。 定义lz 二维空间中样本点= ( ，y 。) 7 在方向口上的投影，定义为由 p o 向直线y c o s ( o r ) = x s i n ( a ) 做垂线的交点。考虑到方向相反的投影方向 上，样本投影分布相同，因此把投影方向限制在区间口【o ，厅) 上。 定义2 ：协方差矩阵的特征向量，统称为主元( 依特征值由大而小的顺 序依次称为第f 主元，f - 1 , 2 ) 。 定义3 ：两个向量的夹角口 o ，万】，定义为两向量正方向之间构成的小 于等于，r 的角。 引理1 ：满足如下关系： 2 l 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章对称性检测和度量技术 f t 舭( = k t a n ( # ) o ，妒万，2 ，七 o ，七为常数 i 砖= 石2 ，若妒= # 1 2 的映射，：- - h 0 ，0 【o ，万) ，矿【0 ，7 ) 是一个严格单调增的一一映射， 引理1 的成立是显而易见的，图2 - 8 给出了它的直观解释。 图2 - 8 定理1 ：二维样本集在任意方向上的投影方差，可由基于二阶中心矩 的样本协方差矩阵唯一确定；矢量长度p 为样本集在方向上投影方差的 平方根，矢量方向0 由下式确定，当投影方向遍历区间 0 ，万) 后，极坐标矢 量 p ，e 】的轨迹构成一个椭圆或圆。 删，= 舞= 厕似，2 b = # 1 2 一= # 2( 2 1 3 ) _ _ _ _ _ _ _ _ 一r 。1 。1 。：。一 p = 4 v a r w ( # ) = c o s 2 ( ) + 如s i n 2 ( 妒) 由定理1 可知，给定一个样本集的协方差矩阵，任意方向上该样本集的 投影方差均可确定地连续映射到一个由协方差矩阵确定的椭圆上。若 = 厶样本集的投