（计算数学专业论文）带弯曲界面的对称光波导中波传播计算的研究.pdf

摘要 本文主要研究了对称三层平面光波导中光的传播问题 在光波导中光传输的波方程可以从麦克斯韦方程得到，再通过傅立叶变换，最 终可以将波方程转化为h e h n h o l t z 方程 原始的二维h e l m h o l t z 方程为： p 吴( ! 妻) + 嘧0 ( 1 o u ，i + 。( 即) 2 。( 叩) 2 。：o ， 9 瓦( ；瓦) + 9 瓦p i + “忙，2 厂“恤，。) “2 o ， 其中( z ，。) 定义域为；一o 。 z + o c ，0 = + o c ，在本文中，我们研究具有弯曲 交界面的问题 首先，由于原始问题中z 是无界的，不能用数值方法有效的解决，因此引进完 美匹配层( p m l ) ，将无界的问题化为有界的问题，在数学上可以近似地看作是对 坐标进行一个复的伸展变换= 。+ i 届a ( r ) d r ，在p m l 中h e l m h o l t z 方程变形为t ；+ d 未c 高是，州m 蹦n ( x , z y u = 。”。+ 订：i 而爵。订葡习瓦j 十。j 2 “ 由此定义域变为一h z + 日，0 = + o o 由于所述的问题具有弯曲的界面，用传统的方法如折线法容易产生比较大的误 差，所以在此先进行局部正交变换，使得转化之后的问题具有平的界面 局部正交变换构造函数2 = ，( e = ) ，女= g ( x ，z ) ，满足正交条件和边界条件， 同时，为了使方程适合步进计算，再令u = y ，使变换之后的方程不含k 项，即 得到变换之后的方程为k j + o v 知+ 卢u + 7 v = 0 ，由分离变量法，可以得到特征方 程n ”( 2 ) + 脚7 ( ) + 伸( ) = ( 2 ) ，对这个特征方程在2 方向进行离散，可以得到 a 西= a 中，其中系数a 是一个复的三对角矩阵，壬为特征值a 相应的特征向量 然后，我们利用r a y l e i g h 商迭代法具有局部收敛和快速收敛的特点，构造多重 r a y l e i g h 商迭代，来求解这个复矩阵的特征值和特征向量紧接着，我们采用o n e - w a y 方法来计算光波的传播，并与m a r c h i n g 方法所得计算结果作比较在进行波的 传播计算中，传播模和泄漏模对波的计算影响较大，特别是传播模在文中，通过 观察，发现r a y l e i g h 商迭代会发生漏解的现象解决的方法是在多重r a y l e i g h 商迭 代中对其划分加密，使得每一步的初值和解之间相差较小，从而保证其收敛，从而 减少漏解的发生 最后，通过一系列的例子，验证了文章中所提方法的可行性与有效性 关键词：对称光波导，弯曲界面h e l m h o l t z 方程，传播计算，多重r a y l e i g h 商迭代 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r jw em a i n l yd e a lw i t ht h ew a v ep r o p a g a t i o ni nt h es y m m e t r i ct h r e el a y e r s s l a bo p t i c a lw a v e g u i d ew ec a no b t a i nt h ew a v ee q u a t i o nf r o mt h em a x w e l le q u a t i o n b y f o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n ，t h eh e l m h o l t ze q u a t i o ni so b t a i n e d t h eo r i g i n a lt w od i m e n s i o nh e l m h o l t ze q u a t i o ni s ： p 吴( ! 豢) 十p 瓦0 ( = l 瓦o u ) 十k ( 文。) 2 n ( z ，。) 2 ：o ， 9 瓦【i 瓦j 十9 瓦l ；瓦j 十“。j 。肿2 ”， w h e r e ( x ，z ) s a t i s f i e s ： 一o o 茁 + 。o ，0 z + 。， a n dt h e i ri n t e r f a c ei sac u r v e f i r s t ，t h eo r i g i n a lp r o b l e mh a sau n b o u n d e dr e g i o n ，s ow ec a n tu s et h en u m e r i c a l m e t h o dt os o l v ei t s ow ei n t r o d u c et h ep e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r s ( p m l ) c h a n g i n gt h e u n b o u n d e dp r o b l e mt ot h eb o u n d e dp r o b l e m b yu s i n gt h ec o m p l e xt r a n s f o r m a t i o n = 茁+ ij 孑a ( r ) d r ，t h ee q u a t i o n i sc h a n g e d ，a n d t h ea r e a i s h 。 + 日，0 z + 。 t h ep r o b l e mw ed i s c u s s e d h a sac u r v ei n t e r f a c e i tw i l lh a v eb i ge r r o ri fw eu s e t h et r a d i t i o n a lm e t h o da st h es t a i r c a s ea p p r o x i m a t i o n w ep r o p o s eal o c a lo r t h o g o n a l t r a n s f o r m a t i o n l o c a lo r t h o g o n a lt r a n s f o r m a t i o nd e s i g n st h ef u n c t i o n = ，( z ，。) ，t = 9 ( z ，z ) w h i c hs a t i s f i e st h eo r t h o g o n a lc o n d i t i o na n db o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h e nl e tu = w 矿， w eh a v et h ee q u a t i o na f t e rt r a n s f o r m a t i o n 比j + n u + 卢b + 1 y = 0 w ed i s p e r s ea tt h e d i r e c t i o nw i t ht h ee i g e n f u n c t i o n h a v i n ga 西= 壬w h e r eai sac o m p l e xt r i d i a g o n a l m a t r i xa n d 圣i st h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n v e t o ro fa a n dt h e n w eu s eam u l t i - g e n e r a l i z e dr a y l e i g hq u o t i e n ti t e r a t i o nm e t h o dt oc o l n - p u t et h ee i g e n v a i u e sa n dt h ee i g e n v e c t o r s ，a n du s et h eo n e - w a ym e t h o dt oc o m p u t et h e p r o p a g a t i o n ，b yc o m p a r i n gw i t ht h em a r c h i n gm e t h o d a tt h ec o m p u t a t i o no ft h ep r o p a - g a t i o n ，p r o p a g a t i n gm o d e sa n dl e a k ym o d e si sv e r yi m p o r t a n t ，e s p e c i a l l yt h ep r o p a g a t i n g m o d e s w ef o u n dt h a te i g e n v a l u e sm a y b el e a v eo u tb yt h er a y l e i g hq u o t i e n ti t e r a t i o n m e t h o d s o 、em a k eas m a f ip a r t i t i o nw h e nw eu s et h em u l t i g e n e r a l i z e dr a y l e i g hq u o - t i e n ti t e r a t i o nm e t h o d ，s ot h a tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h ei n i t i a lv a l u ea n dt h et e r m i n a l v a l u ei ss m a l l ，i tw i l le n s u r et h ec o n v e r g e n c ea n dd e c r e a s et h ee i g e n v a l u e sl e f to u t a tl a s t ，t h en u m e r i c a le x a m p l e sv e r i f yt h ef e a s i b i l i t ya n dv a l i d i t yo ft h em e t h o di n t h i sp a p e r k e y w o r d s ：s y m m e t r i co p t i c a lw a v e g u i d e ，h e l m h o l t ze q u a t i o nw i t hc u r v ei n t e r f a c e ，p r o p - a g a t i o nc o m p u t a t i o n ，m u l t i - g e n e r a l i z e dr a y l e i g hq u o t i e n ti t e r a t i o n 第一章引言 1 1 理论背景 二十世纪七十年代光纤诞生以来，光纤技术一直在飞速发展随着科学技术的 迅速发展，光导纤维现已在通信、电子和电力等领域日益扩展，成为大有前途的新 型基础材料与之相伴的光纤技术也以新奇、便捷赢得人们的青睐光纤技术的应 用已经越来越广泛光纤不仅仅是一种传输介质。它已成为构成各种光纤功能器件 的基础，如光纤光栅、光纤耦合器、光纤干涉仪、光纤放大器、光纤激光器等等 同时，光纤技术还涉及到通信和网络领域i n t e r n e t 的迅猛发展对光纤网络技术提 出了更高要求，同时也推动了新兴光纤网络技术的不断涌现时代的发展需求充分 说明了光纤技术发展的重要性因此研究光在光纤中的传播就显得极为迫切 为了研究光纤的导波模，我们从它的简单情况一平面波导 2 9 】来研究在自由 空间中传播的光，称为空间传播光相对于空间传播光，光被限定在与传播方向垂 直的截面内，在密闭区间传播的光，成为导波光约束导波光的介质称为光波导 在两层低折射率介质板中间夹有一层高折射率透明介质板。则构成平面介质波导 当光从小于临界角的方向从高折射率介质向低折射率介质入射时，在上下两界面间 反复受到全反射，并向前传播这时，对光起导波作用的高折射率介质称为芯层， 两边的低折射率层称为包层由截面形状不同，有各种光波导我们所要讨论的就 是一种常见的波导。三层平面波导，即中间为芯层，上下为包层的波导，如果上下 包层中的材料相同，则称为对称三层平面波导 同所有的电磁现象一样，光波导中光的传输也服从麦克斯韦方程组，描述光波 导中光传输的波方程可以从麦克斯韦方程组得到再通过傅立叶变换，最终可以将 波方程转化为h e l m h o l t z 方程许多数学物理问题，如光波传播、激光物理学、电 磁学、地震学及其它应用领域大规模波传播问题，在数学上，常常最终可以归结为 变系数的h e l m h o l t z 方程。所以，研究h e l m h o l t z 方程及其快速数值计算具有十分 重要的意义 如果对称三层平面波导中芯层和包层的界面是平的，那么h e h n h o l t z 方程的特 征方程可以给出一个非缌隆方程，此时可用牛顿法进行数值求解然而当两者的界 面是弯曲的时候，我们就无法得到相关的方程了此时，我们就必须通过离散特征 方程来求解它的特征值和特征向量求解h e l m h o l t z 方程目前常用的方法主要是有 限元方法、有限差分方法、及积分方程方法等，尽管这些数值方法对复杂问题有一 定的适用性，但这些数值方法都属于全局方法，都将导致高阶系统，将会占用大量 的c p u 内存及计算时间如果遇上非稀疏矩阵，在存储空间上将会碰到更大的困 难 第一章引言 2 在本文中我们所要叙述的问题具有很多特殊性，因此我们需要寻找更为合适的 方法。首先是因为光波导和光波的特殊性，光波的波长很小而且光波导是开放式结 构，也就是说所求问题的求解区域是无界的，这时，当我们采用数值方法的时候，就 必须进行预处理，用有界的区域来模拟无界区域的问题这样，就需要对边界进行 处理，否则边界就会发生反射，从而无法模拟原问题通常的做法，就是增加恰当的 边界吸收条件，减少反射在本文中，我们采用的吸收条件是完美匹配层( p m l ) 1 9 9 4 年，b e r e n g e r 首先提出了完美匹配层这个边界吸收层的概念剐，它被认为是日 前最好的吸收边界层条件其次，在我们的问题中涉及到弯曲的界面，如果我们采 用一般的阶梯折线法t 2 4 ，即用不连续的折线来代替原先光滑连续的界面，显然， 这只是种粗略的估计，当划分并不是很小时，将会产生很大的误差，则只能加密 分点，但是这就会使得离散之后的矩阵阶数大为增加，从而导致大运算量因此， 我们需要寻找一种更为有效的方法首先我们想到的是利用坐标变换将原来的弯曲 界面拉直如果使用全局变换，当波导范围比较大且界面比较复杂时，它的计算会 变得非常困难；局部变换相对比较容易计算，也被广泛使用，若使用局部非正交变 换法向导数会变成水平方向和纵向的组合方式，偏导数的存在会给数值计算带来 很大的难度相比于全局正交变换和非正交局部变换，我们准备使用局部正交变换 【l ，2 洲】，使得方程具有平的界面，新旧坐标的转换可以用牛顿迭代比较容易地实 现同时，再通过改变因变量来进一步简化方程 通过局部正交变换和改变因变量后，原先的h e l m h o l t z 方程具有以下的形式： 碓 + q k + p u + 7 v = 0 ， 且该方程具有平的界面，其中的a ，口，1 三个系数与， 有关 我们研究它的特征方程； a 毋”( 童) + 卢毋7 ( 聋) + 1 庐( 童) = 毋( 圣) ， 采用差分法并通过合适的划分对特征函数进行离散化，得到一个三对角系数矩阵 4 ，使得a 圣= 中，其中垂= ( 妒l ，) 7 接下来的问题就是对a 圣= 圣进行求解，也就是求系数矩阵a 的特征值和特 征向量，这里的难点在于a 是一个复矩阵，很多传统的方法如( 1 ) 将其化为特征 多项式，使用牛顿迭代法求解时，它的收敛性就比较依赖于初值的选取；或( 2 ) 调用m a t l a b 或l a p a c k 计算，需存储整个矩阵，且计算效果不理想因此我们在此 选用r a y l e i g h 商迭代法| 上圳 同时，r a y l e i g h 商迭代是局部收敛的，即当初值和所求特征值相差比较大时， 它有可能不收敛，所以我们采用改进的r a y l e i g h 商迭代t 3 ，多次迭代，并取前一次 迭代所得的特征值作为下一次迭代的初值，这样初值和特征值之间就比较接近，就 能保证r a y l e i g h 商迭代的收敛 第一章引言3 在本篇文章中，我们采用多种方法来检验r a y l e i g h 商迭代法的有效性首先是 将r a y l e i g h 商迭代法应用于对称三层甲面光波导中芯层和包层的界面是甲的情况 此时，h e l m h o l t z 方程可以得到较精确的鼹，而且，对于未加p m l 求解区域是无界 的原始问题也可以求得较精确的解，所以可以将r e y l e i g h 商迭代法所得到的解和较 精确解进行比较；然后就是与自身的比较，也就是说用同样的数据对划分进行加密 之后看其是不是收敛，观察加大p m l 宽度后解的变化情况经过了这些比较我们 可以看到多重r a y l e i g h 商迭代法确实是可行而且有效的这样，我们就可以将用这 种方法求得的特征值和特征向量应用到渡传播计算的问题中在本文中，我们选择 o n e - w a y 方法1 1 7 ，8 ，2 1 来进行模拟计算，并与m a r c h i n g 方法【4 ，5 ，6 】所得的较精 确的结果进行比较 下面就对上述内容进行具体的讲述 1 2 基本方程 对称三层平面光波导，有两个介质交界的界面，中间一层折射系数为n o ，称 为波导的芯层光波就在芯层中传播芯层上下两层为包层，由于这里所讨论的是 对称波导，所以这两层的材料是相同的，折射系数为n 1 为了使光波集中在芯层 中，即光波在通过上下包层的界面处发生全反射，包层的折射系数必须小于芯层的 折射系数如果上下两个包层的材质不同，平板波导就是是非对称的。对称乎板波 导其实是非对称平板波导的特殊情形 将波导的纵轴定义为x 轴，且设在波导中能量沿z 方向传输这样选取坐标 后，平板波导的研究就成为二维问题了光是一种电磁波，根据麦克斯韦方程，可 以导出二维光波导中的导波的h e l m h o l t z 方程： 瞧豢囊裂蒜三i 葚m - ， 【p 1 瓦万蕊) + p 1 蕊五蕊j 十“o i ”。”“例 其中，z 定义域为t一。 z + o 。，0 。 + 0 0 ， z 表示纵轴，：表示 横轴( 光的传播方向) ，”( z ，z ) 表示导波的场分量， 一。表示真空中的波数。满足 。- u 、，e i 面：竺：娑，a o 表示光在真空中的波长，m n l 为折射率，m z ) 是两 c n 层介质的界面函数，p o 和m 分别表示芯层和上下两相同包层的密度 特别，当芯层和包层是密度均匀的介质时，方程可以简化为； 。3 h h ( z ) 、 o o l | | | u u 11 n n 时吣 十十 + + “ 砧 u u ，lj【，【 第一覃引言 4 在界面上，场分量及其流量应保持连续，所以界面条件是： i 。叫l i r a 矿“( 邵) - 。叫l i r a 矿u ( 郴) 1 去。骣掣= 去。掣 i l i r a 。( 。j + u ( 2 ，。) 2 。! 嗣：) 一“( 。，。) 1 赢1 一l i m ，+ 掣= 甜1 l 州i r a 矿掣 其中，对于t e 模，舶= p i - 1 ，对于t m 模，伽= 稍，m = n 为记号简单起见， 以下分析t e 模对于t m 模，可以采用同样的方法进行分析 同时，对于这个无界区域，要使问题有确定的解，还必须在其无限远处的边界 上确定边界条件因为光波导在介质板外的场分量迅速衰减，所以方程的边界条件 是当一o o 时，u 一0 这个方程的特殊形式就是当界面是平的时候，也就是h ( x ) = 常数，我们可以简单 的令h ( $ ) = 1 此时，界面条件中的方向导数也就变为在z 正方向是o u 瓦( z , 一z ) ：i o u ， c ，n口z 在。负方向是塑姿兰! ；一五o u 按照模式展煮1 也就毫至面的方程有以下形式的解： 其中( ， ) 满足特征方程 u = ( z ，a ) e , x 。 ：。( 。， ) + k 3 n 2 ( 。，a ) = 枷( $ ，a ) 随着a 的不同，方程的解“也随之不同其中卢= a 被称为传播常数， 称 为模，根据卢的不同，可以对模进行分类 如果传播常数是实数，那么当它满足x o n z p x o n o 时，光波被约束在芯层内 的模，称为导波模，也就是传播模，同时，相应的波场在包层内呈指数分布，逐步衰 减为零，而且，传播模只能取离散个值如果传播常数不再满足一o n - 卢 k o n o ， 而小于一o n t 时，从波方程可知，模相应的场分布在包层内也呈波动函数形式，从整 个空间来看，它已经不是约束在芯层内的模，即称为辐射模辐射模谱是无限的 第二章完美匹配层p m l 我们看到前一章提出的问题，也就是方程( 11 ) 是定义在一个无界的区域之下， 在这种情况之下，如果我们要采用数值计算，那么离散的区域则是无界的，显然这 对于数值方法足无法实现的前面我们提到，传播模在离开芯层进入包层之后呈指 数分布，会迅速衰减，那么，我们可以选择适当的距离将其截断，直接用有界区域的 问题来代替原始无界的问题，这样的方法非常简单明白，容易操作，但是却存在隐 患，如果我们截断的距离太小，那么误差肯定会比较大，如果截断的距离够大。那 么虽然可以是在一定程度上模拟原先的问题，但是却明显增大了计算量和存储量 所以，我们必须增加一定的条件才能用有界的区域来模拟无界区域的问题常 用的方法就是增加吸收边界条件，这样可以让波传到边界的时候尽量减少反射，而 被边界吸收，模拟原先问题中向无界区域衰减的情况吸收边界条件也经历了一系 列的发展首先是2 0 世纪7 0 8 0 年代，提出了四类吸收边界条件，这四种边界吸 收条件在边界一般具有o5 到5 的反射系数接着是在2 0 世纪9 0 年代，出现了 完全匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，简写为p m l ) 的边界吸收条件。这种方法的 反射系数和上面四种比较大大减小了 p m l 最初是在1 9 9 4 年由j e a n - p i e r r eb e r e n g e r 提出来的嗍但是此时提出的 p m l 层还只是在物理的应用中，还没有涉及到数学的应用在1 9 9 5 年，b c h e n 和 dg f a n g 对p m l 进行了改进，使得在边界的反射系数更小直到1 9 9 7 年， f r a n c i sc o l l i n o 将p m l 的理论转化为了数学方程【l u l 也是在1 9 9 7 年，s a u la b a n b a n e l 和d a v i dg o t t f i e b 对p m l 方法作了数学上的分析 i i 】在1 9 9 8 年，m l a s s a sa n d es o m e r s a l o 对p m l 方程的存在性和收敛性进行了讨论分析m 在2 0 0 3 年的一篇 比较新的文章 1 3 j 中，s z a b o l c s g a a l 等人对这一理论再一次进行了详细的说明。这 篇文章阐述了p m l 的由来，用理论证明了p m l 的有效性，并用大量的例子证明了 这一理论的正确性 因此，我们引入完美匹配层，将原先无界的区域截断为有界，并加上完美匹配 层作为吸收介质这样，当波由区域内通过界面传播到完美匹配层时，基本上不会 发生反射 下面，我们将说明如何具体的为光波导加上完美匹配层 首先指定需要加p m l 的区域，在d ( h 这两个区域中进行操作完美 匹配层( p m l ) 可以近似地看作是变量通过衰减系数口( 。) 从实坐标系到复坐标系 的变换： t ：。+ i r 。c ，) a ， 童= z +f 口盯) d 7 其中a ( z ) 是一个非负的连续函数，它在d h 内是正值，而在其它区域则取 5 第二章完美匹配层p m l 6 为零值，需要满足a ( r ) d r 足够大理论上，若当a ( z ) 越大，当电磁波穿过完美 匹配层的边界时，穿透波会衰减地越快，当然由数值方程产生的解也越来越接近于 精确解我们现有结论：当苍a ( r ) d r 和岩a ( r ) d 丁趋于无穷大时。加了p m l 的 问题就是原先无界区域的问题所以函数a ( z ) 的选取是一个非常关键的问题 2 3 n , , kp m l 之后，原先的问题就变成了以下形式的问题，并且，求解区域也变 成了复区域为了简便起见，我们仍旧把解记成“ f 叱一毗c 0 2 。 t l , 2 。一o ， g 8i x i 枷( = ) “：；+ t 地+ g o 。扎；“= 0 ， 口s ( z ) f 。f d ( 2 1 ) iu 。+ 忐吴( 忐祟) a - t t 0 2 n ! u ：o ，n s d d l z i 日 【“+ i 石两蕊( 订研两瓦) l “2o ，0 8 h 日 其中，d ，h 为常数，如图( 2 1 ) 所示 1 1 1 1 h l l a y 州p i d l ) 。 f h t “l a y e r 一一一一 。t h e i a y e r 。thefirstlwet 一一一一一一一 。thesecondir_ m ，州r a t a y e r p m u 图2 1 坐标图，其中z = 矗( z ) = l c ed ( 量一 r ，手= 0 2 ，寿= 1 0 0 ，= 1 0 ，d = 2 , 0 ，h = 2 5 而包层与芯层之间的界面条件仍旧具有原先的形式，这里不再重复 在上下两包层的最外端产生的边界条件为t 塞k h = 叫。：n ，瓦o u k h = 一一k 一“，丽l z 2 h = o 乱 z = h ，否；i 净h = 一m i 净h ， 其中n 是一个模足够大的常数当选择足够大时，相当于“= 0 ，即最外端的场量 为零于是，我们就采用u = 0 作为我们的边界条件 第三章局部坐标变换 在本文中我们需要解决的问题中有一个弯曲的界面对于这种弯曲的情况有两 大类的处理方法，第一类是用折线( 也就是是不连续的平行线段) 来近似代替原先 弯曲的界面。在折线法中，在每一个小区间内( 水平方向的) ，可以看作足乎坦的界 面，这样原来整个弯曲大区域的求得问题，就转化为一系列平坦的小区间上的求解 问题这种近似方法很容易实现，但这也同时带来了一对矛盾首先相邻折线底边 的不连续性会带来误差，特别是水平距离很大的情况，误差会累积增大；其次，若 要很好的近似弯曲界面，减小误差，要求水平方向的划分很细，即步长要取得很小 才行，但这就失去了计算的大步长的优点，增大了计算量 另一类方法就是通过坐橱凌换，将带有弯曲界面的区域通过变换变成易于求解 的平坦的三层带状区域有三种坐标变换，全局变换 1 4 1 ，局部变换( 非正交) 1 1 5 1 和局部正交变换 全局变换是用一种共变映射拉平原先的弯曲界面，同时也保持了原方程的简单 形式，但是当波导范围很大的时候，全局变换会带来很大的计算量和全局变换比 较，局部变换的计算量就相对小些如果采用的是非正交的局部变换，对于原先具有 法向导数的界面条件变换之后界面条件就会具有纵向和传播方向的偏导的组合， 这样就会给计算带来一定的难度。如果我们采用的是正变的局部变换，就可以克服 这种困难，不仅保持原方程的简单形式，而且界面条件也变得相对容易些同时， 新旧坐标之间可以通过牛顿迭代来转换 下面开始讲述具体的局部正交变换 在芯层中，也就是0 z h ( z ) 的区域内，取局部坐标变换 1 ： l = ，( 。，z ) ，f ( o ，o ) = z i 。29 p ，2 卜瓦两 满足 ( 。，。) l 名 + 。，0 茁 ( ：) 坶 ( 士，j ) i 一。o 童 + c o ，0 1 由于我们采取的是正交变换，所以需要满足 8 f8 98 | 8 9 、 丽。磊+ 瓦。瓦一u 其中9 ( o ，z ) = 0 ，9 ( ( z ) ，：) = 1 利用这些条件，我们可以得到 r 越。 z ( ) j 蕊2 矗2 开矿 、越。 ( ) h ( 2 ) i 蕊2 b 一丽两_ 硒 7 第三章局部坐标变换 以及一个积分式： 8 昙罴出+ ；( 2 ( z ) ) 20 ( 3 1 ) ，z”、”， “ 对于给定一新坐标( 2 ，2 ) ，可以通过( 3 1 ) 式用牛顿叠代来求解z ，从而z = 女 ( z ) ；如果给定一旧坐标( g ，。) ，则= 赢，同时j 也可以由( 3 1 ) 式获得 我们将这个变换应用于方程( 1 2 ) ，同时，为了使变换之后的方程具有比较简 单的形式，我们再令u ( z ，z ) = w ( x ，z ) ”( z ，z ) ，通过选取合适的w ( x ，：) ，可以使得 变换之后的方程中没有关于2 的一次偏导这样，可以得到关于v ( x ，：) 的方程，再 令y ( ，2 ) = ”( z ，= ) ，就可以得到y ( 女，j ) 关于童， 的方程 到现在为止，我们只是进行了芯层中的局部正交变换，同时，包层和p m l 层 中也需要进行同样的变换，从而使得方程具有连续性 同理，在包层中，令2 = ，( z ，z ) ，= 口( z ，z ) f 2 】，满足 f2 “。，z ) l o 。 z + o c ，h ( 。) d 掣 ( 癣，2 ) l 一。 o + 。，1 聋d ) 如，加揣卅案岩 ( 3 2 ) 弛。) 2 丽。+ 葡帮 ( 3 2 ) fo ，d h ( z )( 矿)i ( j ) d h ( z ) 窿oz鬻d：箩羔嚣隳dd d 、+ 一z ( z + )i 、 ( ) 一z 【m 一一 ( 矿) l + 【( 矿) 1 2 。2 ”p ( 童)一h ( 矿) f 锗出一扣叫l 似z 卜卵j - 0 ( 3 3 ) 同样对于给定一新坐标( 童，三) ，那么z = 一糊) 由( 3 3 ) 式得到；相反地，给出( z ，z ) ，可以由( 32 ) 式得到， 代可得到一2 用牛顿迭代从f 7 器出+ j 1 引】2 = o 解得j 0o 、o ， 一 样，。可以f 万，。”j ” 由( 3 3 ) 式用牛顿迭 第三章局部坐标交换 9 最后还需要完成的是p m l 层中的变换，这一层比较简单，因为p m l 层和包层 之间的界面本来就是平的，只要进行直接的拉伸变换就行了于是此时的变换和z 无关，具体的变换只要利用包层中的局部正交变换，将原先的z 换成d ，也就是 e = ( d ，g ) ，i = z ，对于一给定的新坐标( 女， ) ，那么z = ，。可以由( 3 3 ) 式得 到，其中令2 = d ；相反地，如果给定( z ，z ) ，则= z ，由( 3 3 ) 式用牛顿迭代法可 以得到矿，其中令。= d ，o 再用牛顿迭代法从；糕d t + ；雎( ，) 2 = o 解得 j ；、o ， o 同时，在p m l 层中 h ( r ) 五= 铬 ，i = 0 d 一 如) d 一 ( z ) 经过三层的局部变换，我们完成了( z ，z ) 与( ，j ) 之间的转变如图( 3 1 ) 所示， 就是在( ，o ) 坐标下的( z ，。) 的图像 图3 1 ：坐标变换示意图，其中。= ( z ) = 1 一鲍一5 f t 一 r ，g = 0 2 ，子= t 0 0 ，工= 1 0 格 二一 旦d 仉 = i f 弦一跳弦cl； ，、l 第三章局部坐标变换 另一方面，为了让变换之后的方程具有更加简单的形式 择适当的( 。，z ) 使得u ( z ，= ) = w ( x ，z ) 口( z ，= ) 1 0 我们前面疆到过要选 通过推导，我们选择的函数如下； 芯层c 第一层，中叭c 文；，= 藤 包层c 第二层，中c z ，z ，= 1 l 孑葛_ 互丢要芋嘶 蹦l 层c 第三层，中咻牡端，掣端 通过以上的这些变化，我们就可以得到以下的方程； u + o + p + 1 y = 0 其中的n ，反1 都是关于，j 的函数，具体的函数关系在下面列出 当照“协) 0 时 f 叫文动= p ( 2 ，圣) = l 1 l 1 2 l d d f h 拶d 器h ( 掣z 嬲煮1 ， 祧埒。 一 ( z ) 】2 ) 2 瞰j ) 】2 寸z 一( ) 】? z c 卜训蚪咖警黼黑黼 骐】z 黑】2 柴堂业， 一d 一1 “h ( 2 ) 1 h ( z - ) 1 d h ( z ) p 7“1 驾酴簇急黧驾群， o 。- 毒糕瓣黧黔， 芝。 2 z ( 2 j ( 。) 】2 一 ( 2 ) ( z ) 弘) 】2 【 ( 2 ) 】2 ，；，。 ，户( z ) 【( 1 ) 】2 h 2 ( z ) + 窖 ( z ) 2 ) 。 。( n 1 ) ( z - d ) 警糕器瓣 。i 黧】。 翼1 2 譬堂业， 1 e d “( 三) o 矗0 ) 1f d h ( z ) l a 、u 拶d 淼掣瓣h i 斋1i e r ( x ) 1 ， 。 。h 一h ( z ) 1 2 啤( z ) j 2 ( ( ) 】2 ( + 3 i 、一 第三章局部坐标变换 1 l 1 ( 未，童) 当j 满足h i ( - ) 20 时，我们日j 以足义o ( j ，2 ) 2 魉o ( ，引，口2 ) 2 憋p 刘 7 ( j ，) = ! 婴7 ( ，2 ) 更进一步，我们有下面的结果： 在第一层中，盥铬= e 譬帮 量辩：嚣i 誊 f 墼糕一弩， 1 照铬菇卜忡” 于是，当l i m _ h 协) = 0 且l i r a _ h ”( z ) 0 时 第三章局部坐标变换 吣。，= 聚坼h “景： 卢( 薯，童) = 1 ( 军，壬) 坠鹊蒜塑e 龋妒椰坼”，伙瓣z 也勰e 铬， l 2 z 勰e ”2 错， _ 1 o 塑杀d 等髫塑。龋p 。m 埘_ 2 d f 一 ( i ) 1 2 。 ，1i 。遵上， e 。d 忙矗等枭， d 2 h 。 f 1 + 衍( 。) j 3 “、。、o t 帑，哆碧叫+ 攀群m 。2 铬】 + 譬筹州慨咖i 矿；珏j 。 恤一龋烩：肌掣习2 1篙。杀)(2d-x-h恸)+4 h ( j ) 旧一 ( i ) 】。 1 。 糍拦黟等佃“砷) 】) 铬+ 陪，咖l + i 器1 e d 。 + 硒案 警一；妒c 湍， + ：帮 e 一1 却- 1 j ， l 1 1 d d l 岔i 日 再者，如果j 同时满足h 协) = 0 和( j ) = 0 ，则n ，卢，7 具有更为简单的形式 当! 。i m i h 协) = 0 且! i ，r a j h ”( 。) = 0 时 帕，牡瞻毓： 第三章局部坐标变换 p ( ，劫 一i ( 牙，岔) 竹 一 一i ( 导，童) 他l + 一日一d d 壬一1 1 童1 1 叠d d h 兰鱼塑 ? 护竺：+ 驯；) 4 d 一 ( j ) d h ( 4 ) ( j ) 1 2 l 1 h ( 4 ) ( i ) ，1 d 对于。 0 的部分，我们可以用同样的方法进行变换 通过变换，原先的界面条件也变为以下的形式t 边界条件变成：矿l ：h = y i 一h = o d 圳h 在这里不再重复说明 。) 一掣吣 ( 3 a ) 一而d - 1 【1 + 愀z ) ) 2 】) ( 35 1 厕 盟 兰+ 兰+ 一阻叭仉吼一旺 辩一 曲扣 m 小 m 肿 h汕。一m一舶 拦一 n 第四章特征值问题和数值解法 4 1 离散 通过上一章所述的局部正交变换，我们已经将原始的问题转化为求解以下方程 的特征值问题： u + a 嗨+ p + t v = 0( 4 1 ) 由分离变量法可得，( 4 1 ) 式特征方程为t n # “( ) + 口( 窑) + ，y ( ) = ( 2 )( 4 2 ) 我们采用中心差分法对特征方程进行离散 在女方向进行离散后为： 由差分法， 代入( 4 3 ) 式得 。妒”( 童。) + 口妒( 圣 ) + 1 l p ( 岔) = a 妒( 圣t )( 4 3 ) 胙淞堂止鼍掣m ) “堂之型 ( 鲁+ 袅) 妒( 讯) + n 一豢) 妒( 蚴+ ( 嚣一袅) 妒( 缸t ) = 坤( 纠 ( “) 为，简便起见，我们将妒( 毛) 1 _ 已为忱 在两介质的交界处根据界面条件( 3 4 ) 进行处理可得： i 磐毗，咖堕= 。l i m + w ( 锄半 1 眦l i mw ( 舭咖他) - 2 等 芝堕一掣堕 = i 刖1 1 州i r aw k 州知卅z 警 学一孑南 1 + ) 2 】华) ( 4 5 ) 其中螺，螺。是。，q o n l + ，关于交界处的延拓我们令芯层中的划分间 距为h 1 ，包层中的为b 妒。是在芯层中距交点= 1 为净的离散点，而。+ l 则是在包层中距交点2 = l 为峰的离散点求解( 4 5 ) 式可以得到： 其中 1 4 ( 4 6 ) a 一山 堕帆 一 q m 。 一 睽计 = 怯蝣 第四草特征值问题和数值解法 1 5 川磊拟旷2 筹】+ 样啪1 岍2 蹦，+ 品 h 2 。 b l = z 瓷铲， c 1 - p 舶l t 吲1 + z 嬲卜蹋矬竽k 1 矿一z 等卜 1 + h ( z ) 1 2 1。 、。 元( 习元_ 一 同理对界面条件( 3 5 ) 进行处理，可得。 i 。臻脚，咖堕粤血一l i r a 。晰，珈堕净 筹】华 晰) + 2 嬲 堕+ ! + 堡h 黑( z 监堕也h ) 。 、 j 一 言专马”龇) j 2 j 堕芦) ( 4 7 ) 其中院。，妒：。+ l 是妒n 。，。+ i 关于交界处的延拓在这里妒。，妒。+ 1 和 h i ，圯的定义和上面类似求解( 4 7 ) 式可以得到； z 群】+ 谍宰+ 釉州卅z 嬲】+ 蹋玎j 十1 i 矿十面t i 【n 婶j 十z 面_ 二丽j + 面_ 二丽 b 2 ：2 瓷絮铲， 岛_ _ p l 咿。1 他嬲卜尚半一一。等卜 1 + h ( 州2 石而 我们设= 一h 时为# o ，2 = h 时为蛐则咖= 妒+ 1 = 0 在芯层中， 我们取三1 个间距，在包层中取占2 + 0 5 ( o5 个是由前面提到的延拓引起的) 十间 距，p m l 层中取l s 个间距于是， - = 击，b = 差；志， t = 百h - d ， ( f z z z z m m _ u _ h ， z ，一n一舶 岛一如堕肌 粼而 堕肌 叫岛如 = 蠊端 批， 器芈 第四草特征僵l 目题和数值解法 于是，就产生了下面的离散： 当i = l 时， ( 蠢+ 去柏嚣凇瑚 ( 磊+ 袅胁- + n 一跏+ ( 蠢一老却。 r 2 a 卢 、，2 0 r 、， 2 a 口 【元i - 云雨+ 元i 了i 石j 妒l + 1 + ( 7 一i j ij l p t + 元j ，云碉一赢j l p t 一- 2 1 妒 ( 磊+ 是胁怕一和+ ( 违一是胁咄t ， 象( 磊+ 是m + + 笔( 磊+ 毫) 一可2 0 r + 】忱+ ( 违一是m 一- = 地， - ) ( 蠢羔) 一嚣+ 。m + 而w 2 、( a c 2 ；+ - ) ( 蠢一击m t ( 蠢+ 舞胁拍一静州蠢一嘉胁咄。 器( 蠢+ 而bj t 五c 1 删阱- 帅一筹+ ( 蠢+ 丽f l 。、( 吼w 2 石b , 叫m + ( 辱一砉蛔一， a 忱， 当i = l ，+ l ，q - l ，+ 1 时 c 磊+ 是m + ，十c ，一篱+ 象c 毒一是+ 象c 磊一舞胁- = - 怫， ( 盖+ 是) 螂+ + n 一篱m + ( 违一是m 一- = - 咖， 当i = l 3 - t - 2 l 2 + l ， 2 a b ( 2 + a ) + l + 1 时( 此时= d ) ， t v 8 - g m ，均彘肼【+ 1 + n 瓦瓦) 妊+ 【 2 a h 2 ( h 2 + 3 ) 口k1：慨h2 + h 3 j 妒4 15 妒 ( 磊+ 旦2 h 3 帕一篱时( 螽一毫脏t 嘶t ， ( 7 一筹胁( 遗一