（应用数学专业论文）两类动力系统的混沌性和振动性.pdf

摘要 本文分为两部分，第一部分中，本文对周建莹在文e 3 中给山的马蹄条件m 。改进如。p 考虑可微同胚t ：q r2 ，并记t = ( t 1 ，t2 ) ，( z ，y ) q m 。t 的偏导数满足：i 巧陲mi 碍喀k ，i 巧降k i l ，i f 阵三| 砰 具甲m ，k ，l 郡是帚数，a 是职射y 明j a c o b i a n ，且 m 一地叫m a x ( k l + 万k ，1 ) m 一瞪 姒x 阻+ 碉k ，冲 其中地，分别为水平条，竖直条定义中的常数 用类似丁- 文【3 】中的方法，本文第一部分对命题“条件j 】l f l 和m 4 隐含着条件m 2 ”给证 明，并且应用改进的周建莹条件m 。和m ，简化了文【5 】的定理3 1 的证明 在第二部分中，本文阐述了以下二阶时滞拟线性微分方程的解的一些新结果 ( p o f ) ( y o f ) ) 。) = q ( t ) y 卢( f ) + r ( ，) f “ 其中f o 和f 都是1 i 负实数；当f t o 时，p ( t ) 是连续的正实函数，r ( t ) 是连续的实函数，q ( t ) 是非负的连续的实函数且q ( t ) 不恒等于0 ；口和芦都是正奇整数的商数 该部分的主要结果有以f 儿方面内容： 1 解的振荡性有界性和单调性。如文中定理2 1 ； 2a 类和b 类解的存在性和有界性。如文中定理当3 2 3非线性极限点解的确定方法 文中最后给出了一些例题来验证这些新结果的好处 关键词：s m a l e 马蹄；双曲不变集；时滞拟线性微分方程解；振荡性；有界性；单调性 a b s t r a c t t h e r ea r et w os e c t i o n si nt h i sp a p e r i nt h ef i r s ts e c t i o n ，t h eh o r s e s h o ec o n d i t i o ng i v e nb yj i a n y i n z h o ui si m p r o v e da sf o l l o w s c o n s i d e r t h e d i f f e r e n t i a lh o m e o m o r p h i s mt ：q r 2 a n d l e tt = ( 丁1 ，t 2 ) ，( x ，y ) q m 4 s u p p o s et h a tt h ep a r t i a ld e r i v a t i v e so f t s a t i s f y ： i 巧障mi 巧降芷，l 巧i - k ie , f ，i fi m a x ( k l + 瓦k ，1 ) m 叫。m a x ( k l + 碉k ，帅 w h e r e ， a n dp 。a r ec o n s t a n t sg i v e ni nt h ed e f i n i t i o n sc o r r e s p o n d i n gt ot h eh o r i z o n t a la n d v e r t i c a ls t r i p s ，r e s p e c t i v e l y s i m i l a rt ot h ep a p e r 【3 ，p r o p o s i t i o n2 2 】，t h es t a t e m e n th a sb e e np r o v e dt h a t i fc o n d i t i o n sm l a n dm 4a r et r u e ，t h ec o n d i t i o n m 2 a tl a s t ，e o n d i t i o n sm la n dm 4h a v eb e e nu t i l i z e dt o s i m p l i f yt h ep r o o f f o rt h a tt h em a pd e f i n e db y ( 3 ) h a sa ni n v a r i a n ts h i f ts e t i nt h es e c o n ds e c t i o n ，s o m en e wr e s u r sa r eo b t a i n e df o rs o l u t i o n so fs e c o n d o r d e rq u a s i l i n e a r d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ： ( p o f ) ( ，( ，一r ) ) “) = q ( t ) y 9 ( f ) + r ( f ) ，r b w h e r e ，t o a n dra r ean o n n e g a t i v er e a ln u m b e r s ，p ( t ) i sap o s t i v er e a lc o n t i n u o u sf u n c t i o nf o r t ，o ，r ( t ) i s ar e a lc o n t i n u o u sf u n c t i o nf o r t t o ，q ( t ) i san o n n e g a t i v e r e a lc o n t i n u o u s f u n c t i o nf o rt ，ow i t hq ( t ) o a n d 口a n d a r e q u o t i e n mo f o d dp o s i t i v ei n t e g e r s s o m en e wr e s u l t sa r eg i v e ni nt h ef o l l o w i n gp a r t s ： i o s c i l l a t o r y , b o u n d e da n dm o n o t o n ep r o p e r t i e so f s o l u t i o n s s u c ha st h e r o r m2 1 ； 2 e x i s t e n c ea n db o u n d e d n c s so f c l a s saa n dbs o l u t i o n s s u c ha st h e r o r m3 2 ： 3 d e c i s i o nm e t h o do f n o n l i n e a rl i m i t - p o i n ts o l u t i o n s k e y w o r d s ：s m a l eh o r s e s h o e ；h y p e r b o l i ci n v a r i a n ts e t s ；q u a s l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；m o n o t o n e ； b o u n d e d ；o s c i l l a t o r y 4 一周建莹马蹄条件的改进及其应用 1 1 引言 由无穷多个元素( 称为细胞) 且每个元素仅与相邻细胞连接的一维细胞神经 网络方程( c n n 模型) f 1 1 为： 百d x l = 一z ，+ z + 万( x 。) + 矿( x ，) + f l y ( x 。) ( 1 ) 其中z 为第i 个细胞的电压，z 为阀值，盘，n ，为连接系数，f ( x ) 为输出函数， 定义为： lr x + 1 一， ，( x ) = ，( x ) = x i 缸+ 2 1 ( ，为参数) ，f ( x ) 的逆函数为 ，( v ) = f ，( v ) = 作如下变换： v = f ( x a 则( 1 ) 的定态解可写成两维映射： 当x l 当m 1( 2 ) 当z 一1 当v 1 当川1 当t l - 1 ( 3 ) ( 4 ) t ( u ，v ) = ( v ，( ，( v ) 一z - - o t z l a v ) f 1 ) ，当口o ，p 0 ( 5 ) 陈芳跃等利用m o s e r c o n l e y 条件m 。一m 讨论了由( 5 ) 产生马蹄的条件本文首 先改进周建莹的条件1 3 】，并记作m 。再利用m o s e r c o n l e y 的条件m 。及改进的周建 莹条件m 。讨论由( 5 ) 产生马蹄的条件，其证明将更为简捷 1 2m o s e r c o n l e y 条件和周建莹条件的改进 考虑同胚映射r ：q 斗r 2 这里q 为胄2 中的一个正方形区域，记 1 ，2 ，) 为 一指标集合，设： h ，i = 1 , 2 ，n 为n 个分离的“一水平条， 5 ，吖 一 一 ，叫，叫， k ，i = 1 , 2 ，为个分离的。竖直条 m o s e r c o n l e y 关于，在u h n r 内存在移位不变集的条件为： m ：0 以“ 1 ，r ( h ) = ， i = 1 , 2 ，n 同时，r 将h 。的竖直边界( 水平边界) 映为k 的竖直边界( 水平边界) m ：如果h 是包含在u h ，内的一条以一水平条，则 = 1 一( h ) n 哆；西也是一条以一水平条，f = 1 ，2 ，n y l a ( b ，) v f l ( h ) ，0 v 1 类似地，如果v 是包含在u 内的一条一竖直条，则r ( 矿) n s 矿也是一条，一 f _ l 竖直条，i = l ，2 ，n ，且d ( 矿) v 。d ( 矿) ，0 m a x ( k z + 碉k | | ) ( 7 ) ，川 其中“，分别为水平条、竖直条定义中的常数 类似于文f 3 1 可证： 6 命题1 2 2 条件m 和吖。隐含着条件m ： 命题1 2 2 的证明需要下面的事实 引理1 2 3 4 】：设缈是q 在r2 中的开集，f ：w 呻r 1 是到象集，( 缈) 的c 。同胍，记 f = ( 厂1 ，f2 ) ，则其切映射为：坝：r2 斗r 2 ， ( 。y 。o ) 一f t x y 。, ) = l ，f ：x x o 。+ + f ，? 。y y o 。 证明命题1 2 2 ：首先证明，对任一。一水平曲线y ，若，u h ，则 ，= 7 1 。( ，) n e1 蔓i n 仍是以一水平曲线， 显然，t 。( r ) n h ，= t 。仃n ) 令7 = r n k ，则由m 。可知 y ，= t 1 ( 尹) 是连接h 的两条竖 直边界的一条皓线( 见图( 一) ) 削( 一) 下面只要证明y 。上任一点p ( x ，y ) 处的切向量( 工。，y 。) 满足 i y 。l 以i x 。l 一 事实上，在t ( p ) = t ( x y ) 歹处的切向量( x ，y 。) 满足 川胁川 由引理1 , 2 3 知存在关系式： 暖 = 晒1 k ，( i ) = 去( 笔z 憋) = l 卟( r , 卅d - y + 磊 于脯削苇器卜 由m 有：b 一导t ，l 刚一b 1 i f i m 一以k i i ， 卜+ 纠艰”卧刮k 鸲地 故阱嵩：瓦1 2 , ( k l 南+ 1 0 ， 由c s ，式可知胖即叫川钒k 这就证明了y ，是一条从一水平曲线。 由此可推知，对任意“一水平条hcu h t - ( h ) n h ，= r ( h n v 2 = 膏，( 1 i ) 是只中的“一水平条 类似地可证，对任意。一竖直条vcu v , ，一l 矿= 丁( 矿) n f = t ( v n h 。) ( 1 i v ) 是中的m 一竖直条 其次证明 d ( 膏，) v 。毋( 日) 在声的两条横边界上分别取两点( x ，y ，) 和 ( 墨y ：) ( 见图二) 4 吏d ( e r ) = i y ：一y 记只( “。，v 。) = t ( x ，y ) ，p a u ：，v ：) = t ( x ，y 。) 则由阿1 k i , , l ，l 巧i m 有 i “：一“。i 蔓k 蚪i y ：- y i ， i v ：一v 1 | m l y ：- y 微( 图二) f兑 “，缸) ( 图三) 如图三，过点p l ( u 。，v ，) 作铅垂线交h 的另一横边界于点只( “，v i ) 。由于# 与 p a u ：，v ：) 同在h 的一条横边界上，故有 i v i v ：l s 。l ，一t ：i 。k i i - l y ：一y 因此可推出 i v 一v 1 l v ，一v2 | 一i v ：一v m l y ，- y i - l , 。叫| i 陟：一y 于是，d ( 疗) = i y ：一y t i 五7 二诵1 卜一v i l 南d ( h ) 令v = ( m 一以k i i ) ，则有d ( 厅) v d ( 口) ，且由( 6 ) 式可知0 k 1 类似地可证， d 0 7 ) v ，d ( 矿) ，其中v ，= 面占芝i ，且由( 7 ) 式可知。 v 。 0 ( 8 ) 贝0 当l ：l 0 ，如果r r + ， ，一和， 2 ( 口+ f 1 ) ( 1 1 ) g i 理1 3 3 吲i ) 女果r r + ，? ，+ 贝0 当0 z 2 a 一1 一s 时， 9 、jf、j + 一 ， ， f ， + 一 r r 一 一 z z z 2 足 r ) ) d 口 = 二 ，k，长 = = + 一p 。n a x j 旦坠21 兰坠姒 ! 二! 竺 【 1 一r s1 一l ss a ( 1 2 ) 1 1 ) 女果r r ， ，一 j f 【0 当1 + s 一2 a z 0 时， m x 导害，导掣 i ，使得 m a x 半导，竿 p ，：( 蚕：( 一p 和 f2 i2 p ，百2 2 + ) ，；一口 2 + ) ，取 弦= i 缶，则r 是h 一竖直条( i = 1 , 2 , 3 ) 同理，由的定义，可得q 内的 日撕= 1 ，2 ，3 ) 也是三个平行四边形，且是m 一水平条，其中胁2 i 为， 显然，0 ，乜 半 y 。= 一虽一户1 。= o ，且，悱 | 必：l a ( ”) l l 一万 取m ：三丝盟，| 】 ：岳，叫：1 ，l ：o ，则m 。成立 卢口 “i4 同理可证：当l v l 1 ，v - i 时，m 。也成立。 1 1 ，1、l ：兰 万【_ 卅) | 于是由命题1 2 1 与1 2 2 知存在t 的不变集 。，使得，h ，与3 上的移位映射盯拓 扑共轭。 至于双曲性，由t 的定义，可得其特征多项式为： p ( a ) = l d t 一舡i = 牙一吉c 一口，五+ 芳 p e h ， 牙一古c ，一口，z + 芳 p 日： c ， 五一砉c ；一，兄+ 芳 尸e 日， 易知，在所给的条件2 a 一1 一s 0 及r r ，f 0 ，t t 1 ， b = y ( ，) l 存在一个实数 f o ，使得y ( t ) y ( f ) 0 ，f f l ， c = y ( f ) l _ y u ) 是弱振荡的) 2 2 解的振荡性、有界性和单调性 定理221 如果当t 充分大时，恒有r o ) 0 或r ( f ) t 。，使得 y ( f 。) 0 ，y ( f 川) 0 ，当f 。 0 冈此， p ( f ) ( y7 ( r ) ) 。口1 = r “ g ( r ) y 4 ( r ) + r ( 明础= o 又由( 2 0 ) 及方程( 】9 ) ，知 p ( ，) ( y ( f ) ) 8 = c ( 常数) ，当f 。 f f 川时 由此可知： y ( f ) 0 当c 0 ， f f 对， y ( f ) 0 当c 0，r 。 r t 时 这就意味着，当t 。 o ，p ( f ) y ( ，“) “一p ( f 。) ( y ( f 一) ) “ o t t 矛盾! 定理2 22 如果当t 充分大时，r ( t ) 0 或r ( t ) 0 当f t 1 时 ( 2 1 ) 或者 y ( t ) 0 当r f 2 时， ( 2 3 ) 1 4 或者 y ( ，) 0 ，使得 ，当t “时，| y ( f ) l m 从“+ f 到，+ f ，对方程( 1 8 ) 的两边同时积分得 p ( ，) ( y “= p ( t 。) ( y ( ) ) “+ c ( g ( j ) y 9 ( s ) + ，( s ) ) 出 - p ( t 。) ( y ，( f 0 ) ) 。+ ( ，( s ) 一m 4 q ( s ) ) 幽， y ( f ) 岛【p ( f o 腆o ) ) 。+ 茹卜矾蚓圪， 千县右 1 5 y ( f ) 龇) + 去懒炒v 0 ) ) 。+ 胁圳咖煳龙出 寸o 。，当r 寸o o 时。 这与假设y ( t ) 是方程( 1 8 ) 的有界解矛盾。 定理2 25 如果当t 充分大时r ( f ) 不变号，则方程( 1 8 ) 的任意一个与r ( f ) 同号的解y ( ，) 要 么属丁a ，要么属丁b 。 证明：首先我们将方程( 1 8 ) 变形为以下形式： ( p ( f ) ( y ( f ) ) 。) = q ( t + r ) y 9 0 + f ) + ，( ，+ f ) ，f ，o f ( 2 5 ) 下面仅就r ( f ) 恒负的情形加以证明，至于，( f ) 恒非负的情形的让明完全类似，在此省略 由已知条什可知存在一个实数f l r o ，使得当r 时，r ( t ) t 1 ，使得当t ，2 时，y7 ( f ) _ 1 + ( - 2 ) i ：蝣志觚卅巾小训跏比出 一1 + ( 一2 ) 万1 2 7 8 = - 2 由此可知：t s c s 又由t 的定义可知，t 是一个单调递增的映射，所以由k n a t e r - t a r s k i 不动点原理 8 ，9 】可知，存 在一个函数y ( f ) s 使得( 7 v ) ( f ) = y “) 即 加) - - 1 + f 去州蚋卅忡) ) 】埘出，f f 显然，此函数y ( f ) 始终都是方程( 1 8 ) 的一个解。又冈为一2 y ( t ) - i 以及 y v ) - 南( 咖矿+ ，( 呦比 f 所以y ( ，) a 至y r ( t ) 恒保持正号的情形的证明，只要分别h js ：= y ( t ) ：1 y ( t ) 2 ，t ) 和 ( 咧归l + 叱” e l 删( 删几) 忡) ) 】埘比出，嘲 代替s 和t 即可 趣2 _ 3 锄翔期划川) 酴敝蛐i ：赢拈毗则捌( 1 8 埔铲鸺 r ( t ) 的符号恒相同的b 类中的解y ( t ) 满足l i m p ( t ) ( y ( f ) ) 。= 0 ， 证明：我们仅证明r ( t ) 恒保持负号的情形，至于r ( f ) 恒保持止号的情形的证明完全类似。 设y ( t ) 是方程( 1 8 ) 的与r ( t ) 符号恒相同的b 类中的解，则有一实数tj t o 使得当 1 7 t f l 时，( f ) 0 是严格单调递减的 因此，l i mp ( f ) ( y ( f ) ) 。= l 0 如果三 0 ，那么当，t 1 时p ( f ) ( y ( f ) ) 。 三在此不等式的两边从t 1 到r 同时积分 y ( t ) - y ( t ) + ( 三) kf 七出 ， ，当f 。时 “1 ( p ( 5 ) ) 儿 矛盾f 所以，l = o ，即：l i r a p ( f ) ( y 0 ) ) 。= o 定理23 3 设当f 充分大时r ( f ) 恒保持定号如果对于任给的正实数k 和， 0 及某一实 数d “，满足： r ” 去m + 胁咿帅坛击， ( 2 7 ) 则方程( 1 8 ) 的每一个与r ( f ) 恒保持同号的b 类中的解满足l ，_ + i r a 。y ( f ) = 0 征明：类似地，我们仅证明r ( t ) 恒保持负号的情形 设，( ，) 是方程( 1 8 ) 的与，( ，) 恒保持同号的b 类中的一个解，则由单调有界性知极限 j + i m 。y ( f ) 2 存在且是有限的下面只要证明= 0 由上可知当 r o ，y ( t ) 0 显然l 0 且y ( f ) l ，当t f ，时 如果l - p ( t 。) ( y ( f ：) ) “+ 【r ( 5 ) - e 4 q ( s ) l d s 又由( 2 8 ) 可得， 巾胁( f 2 ) + 志炒 2 ) ) “+ 胁川 尼出 斗0 0 ，斗0 0 , 这与；。i m 。y ( f ) = o 矛盾2 2 5 例题 下面通过一些例题说明以上新结果的优点 例1 考虑微分方程： 1 y ”( ，一2 ) = 2 y ”( t ) + 4 ( f 一3 ) t 0 ( e ) l 显然口= 1 ，= ，p ( f ) = 1 ，g ( f ) = 2 ，( ，) = 4 ( f 一3 ) ，f = 2 容易验证对任意给定 j 的r ， 0 及某实数日 0 。有 f 去卧胁喇啪】) 形出= 。 从而由定理2 2 4 可知，方程( e 。) 的解都是无界的事实上y ( f ) = ，3 ， 0 ，就是这样的 解 1 9 例2 考虑微分方稃： ( 3 t ( t 一1 ) 2 y o 1 ) ) 然有：a = ；1 ，p ( t 一1 ) = 3 t ( t ( e ：) 显 f ；l 。易验证： n c 等铲矧 l ，就是这 f 类解。 例3 考虑微分方程： ( ) y ，( f 柚) = 击删+ 赤，f i ( 印 显然，一l ，) 刮，坪) 2 杀可如，泠l ，忙l 由于e ( p o ) ) - - 坊= e 2 。，于是由定理2 - 3 2 可得：方程( 毛) 每一个与r 。) 保持相同 2 符号的b 类中的解都满足l i m p ( ) ( ，( ”。= o 事实上，y o ) = 二t ， 1 裁是这样的解 倒4 考虑微分方程： 似+ 1 ) ( m ) 八) ) ，= 加) + t + 击一高，b 1 ，f 1 。( e 4 ) 显然， 口= = 1 ，p ( t 一1 ) = ( ，+ 1 ) ( f + 2 ) ，q ( t ) s 1 ， 啪讲击一斋地川一， 易验证，对于任一个a ( 0 ，1 ) ，以及任一实数b ，有 e 斋卧弘吲s ) ) 蝴) ”廨一 可知方程( e 。) 的所有解都是非线性极限点犁的事实上 f 1 就是这样的解 1一， 十2 = 0 “ ， 1 ，一， ； - ) 2 o 鼋 )巾 只 一2 1 一h 4 一 王 一 理 一 定 d 由 畎 参考文献 【1 h s u ，c - h s m a l eh o r s e s h o eo f c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ，i n t j b i f u ra n dc h a o s 1 0 ( 2 0 0 0 ) ，1 1 9 - 2 1 2 9 2 w i g g i n s ，s ，i n t r o d u c t i o n t o a p p l i d e n o n l i n e a r d y n a m i l a is y s t e m sa n d c h a o s ， s p r i n g v e r l a yn e w y o r k 1 9 9 0 【3 周建莹，( t a y l o r 映象中的紊动现象，中国科学a 辑，8 ( 1 9 8 4 ) ，6 8 5 6 9 7 4 朱德明，光滑动力系统，华东师范大学出版社，1 9 9 3 3 5 陈芳跃，细胞神经网络的s m a l e 马蹄研究，将发表在浙江师范大学学报 6 1w a n gg e n q i a n g o s c i l l a t i o n so fs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s j a n n o f d i f f e q s ，1 9 9 8 ，1 4 ( 2 ) ：2 9 5 - 3 0 6 7 1k o n gq i n g k a i a s y m l o t o t i cb e h a v i o ro fac l a s so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fnt h o r d e r j p r o c a m e r m a t h s o c 1 9 8 8 ，( 1 0 3 ) ：8 3 1 - 8 3 8 f 8 】 j , r g r a e