（概率论与数理统计专业论文）多响应模型判别.pdf

审史摘饕 摘甏 a t k i n s o n d f e d o r o v 在t 9 7 5 年妁文章中讨论了单响应模型判嬲的最饯设计翘题， 并提出r 设计准则。由此，让我们看到了摸型判别的理论和现实意义，媳由此展 现了模型判别问题的冰山角。在那之后，很多人讨论了各种模型的判别问题。 如b u r k ee t 毹( 1 9 9 4 ) ，p c ed el e o n 和a t k i n s o n ( 1 9 9 1 ) ，m 屯l l e r 和p o n c ed ec e 叭( 1 9 0 6 ) 等。然 而，他们对于不问的模型判别问题提出的不同准则也仅仅限于单响应模型的情形。本文 就单响应模型判剐的处理方法为基础，迸一步讨论了多响应模型的判别问题。 第二章，主要处理了单响应模型的判别问题，我们假设模型之问无 嵌套关系( 若是宵嵌套关系可通过对变萤增加适当的条件加以区剐) ，我稍 由a t k i n s o n & f e d o r o v ( 1 9 7 5 a ，6 ) 所提灞的最优准刚，主瑟考虑了基于模型乏阗静偏 差平方翻，致力予找铡一个设计镬得这个编差平方帮达到最大。对子多个模型静祷澎， 圭l 予我织的嚣靛在予寻找设计接褥模型之耀尽暂裁豹送分开来，联数我粕只要援到设诗 经褥最接近款摸趟之闽区别尽可熊大就可以了。因此，我们首先诗冀套个摸型之间的臻 差平方和，对于只有一个模型和真实模型最接近的情况，只要寻找设计使擤最接近的两 个模型之间的区别达到最大就可以了；对于有多个模型与真实模型同等接近时，考虑对 这些模型进行加权处理，得到新的准则，在此基础上寻找设计使其达到最大。 第三章，主要在前一蕈的基础上讨论两个多响应模型的判另l j 问题。由于多响应模型的 判别区别于单响应的形式+ 并考虑到其响应变量不再是简单的一个数，而是一组数，聪 此在处理过程中，首先建立了由响应蹙量组成的响应向量。又由予多响应模型妥牵扯到 模鹜肉各响藏之间存在着褶关性，所以在进行准剃建疵和参数估计时要把模登内备晌赢 酾方差阵考虑进去。为了处囊好出予方差阵带采静影嗡，故； 进欧几堡德范数来定义我 们斡准剐，在本牵第一小苇，主要阐述了在器模受标准歪态楣荚静 毒彩下，魏鹰建立了 多嚷应摸型数最拨准则麴趣题，势在这个基础土褥到了剡剔嚣最傻设计熬宠要条传。在 第二小节，考虑了两摸型如果是一般正态摆关的情形，利用方差黪的慰舔难定性，对建 立的判别准则进行重精定义，弗将其化为标准正态相关的形式，使得第一小节得到的结 论同样适用于一般正态相关的模型。 第四章，本章主要处理了多个多响应模型的判别问题以及构造b 最优设计的算法。由 于我们在运用t _ 最优准则进行模型判别的时候，主要考虑的是两个璇接近的模型的偏差平 方和，所以当模型个数较多时，就会如现有多个模型嗣等接近的情况。对于这种情况， 我们主要是刹用个由试验者自符确定的自由变量6 来对最接近的模型进行归类，然后对 类中的模型进行加权，蒋上一章中的准则进行修改，得到加权模型的判剐准则。在算法 方面，我们给出了两模鹜最儒设计的簿法。并在这个基础上，对算法进行菠进，褥翻了 多令多穗应模型抟羲忧设计鹣算法，在本文的最君，磺究7 凡个镶予，数筐结累稀醋像袭 第1 爵 中文摘要 明最优设计的可行性和明确性。 荔五章，舒对于多承痊攘穗诗葵复杂鲍疑点，夔窭了一辨蔟麓较尧簿馁鲸冀法。 关键蠲：模型判烈；欧几里德蕊数；多响应摸趔；欧几里旃范数；t - 最伏设计；正定对称 矩阵；紧集；凸涵敬 第1 i 菱 荚支攘要 a b s t r a c t a t k i n s o n a n df e d o r o vp r o p o s e dt - o p t i m a lc r i t e r i o ni no r d e rt od e a lw i t ht h eo p t i m a l d e s i g no fd i s c r i m i n a t i n gb e t w e e ns e v e r a l r i v a lm o d e l s a f t e rt h a t ，w er e a l i z et h et h e o r e t i c a l a n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dt h e ya l s os h o w e du ss o m e w h a ta b o u tt h ed i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nr i v a lm o d e l s m a n yp e o p l es t u d i e dt h ei s s u ea b o u td i f f e r e n tk i n d so fm o d e l s ，s u c ha s b u r k ee ta 1 ( 1 9 9 4 ) ，p o n c ed el e o n a n da t k i n s o n ( 1 9 9 1 ) ，a , i i i l l e r d p o n c ed el e o n ( 1 9 9 6 ) ，a n ds o o n b u t ，t h ec r i t e r i o n st h a tt h e yp r o p o s e da l lc o n c e r n e do n l yo ns i n g l er e s p o n s em o d e l s b a s e do n t h et h e o r ya b o u ts i n g l er e s p o n s em o d e l s , w h a tw em a i n l yd i s c u s sh e r ei sh o wt of i n dt h eo p t i m a l d e s i g no f d i s c r i m i n a t i n gb e t w e e nm u l t i r e s p o n s em o d e l s 。 i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c e ds o m et h e o r ya b o u tt h ed i s c r i m i n a t i o nb e t w e e ns i n g l er e s p o n s e m o d e l s w ec o n s i d e ri n s t e a dd e s i g nw h e nac h o i c ei st ob em a d eb e t w e e nt w oo rm o r ec o m p e t 一 i n gm o d e l sn e i t h e ro fw h i c hi s ，i ng e n e r a l ，as p e c i a lc a s eo ft h eo t h e n ( i fn o t ，w ec o u l ds e ta c o n s t r a i n to nt h ep a r a m e t e rv a l u e si no r d e rt om a k et w om o d e ks e p a r a t e d ) a c c o r d i n gt ow h a t a t k i n s o n & f e d o r o v ( 1 9 7 5 a ，b ) h a v ep r o p o s e d ，w em a i n l yc o n s i d e rt h er e s i d u a ls u mo fs q u a r e s b e t w e e nt h em o d e l s ，a n dw h a t - w et f yt od oi st of i n dad e s i g nt om a k et h er e s i d u a ls u mo f s q u a r e s a r r i v e sm a x i m u m i ft h e r ea r et w oo rm o r em o d e l s ，a so u r p u r p o s ei st r yt od i s c r i m i n a t et h eg i v e n m o d e l s ，w h a tw es h o u l dd oi so n l yt of i n dad e s i g nw h i c he n s u r e st h a ti tc o u l dm a k et h er e s i d u a l s u mo fs q u a r e sb e t w e e nt h ec l o s e s tm o d e l sa r r i v e sm a x i m u m s o ，w h a tw es h o u l df i r s td oi st o c o m p u t et h er e s i d u a ls t l mo f s q u a r e sa m o n gt h em o d e l s 。i f t h e r ei so n l yo n em o d e lt h a ti sc l o s e s t t ot h et r u em o d e l , w ec o u l df i n dad e s i g nt h a tm a k e st h er e s i d u a ls u m - o f s q u a r e sb e t w e e nt h et w o m o d e l sa r r i v em a x i m u m ；i f t h e r ea r et w oo rm o r ec l o s e s tm o d e l s , t h e y r e q u i r ed i f f e r e n tw e i g h t si n t h ed e s i g nc r i t e r i o n t h u sw ec o u l df i n dad e s i g nt h a tm a k e st h en e wc r i t e r i o na r r i v em a x i m u m i nc h a p t e r3 , w et r yt of i n dt h eo p t i m a ld e s i g nf o rf o rd i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nt w om u l t i r e - s p o n s em o d e l s 。d u et ot h ef a c tt h a ts i n g l er e s p o n s em o d e li sd i f f e r e n tf r o mm u l t i r e s p o n s em o d e l a n dt h er e s p o n s ei sn o tan u m b e r ，b u tav e c t o r , w es h o u l df i r s ts e tt h er e s p o n s ev e c t o rw h i c hi s f o r m e db yr e s p o n s ep a r a m e t e r sb e f o r ew ec o n s i d e rt h ec r i t e r i o n a n o t h e rp r o b l e mt h a tw es h o u l d n o ti g n o r ei sc o r r e l a t i o no f t h er e s p o n s ep a r a m e t e r si no n e m u l t i r e s p o n s em o d e l ，s ow es h o u l da d d j tt oo u r 嘶t e f l o nw h i l ew es e tt h ec r i t e r i o na n de s t i m a t et h ep a r a m e t e r s t h u s w ei n t r o d u c e dt h e e u c l i d e a nn o i t l lt od u e lw i t ht h ep r o b l e m i ns u b s e c t i o n1 , w ed u e lw i t ht h ep r o b l e mt h a th o wt o s e tt h et - o p td e s i g nw h e nt h et w om u l f i r e s p o n s em o d e l sa r es t a n d a r dn o r m a lc o r r e l a t i o n a f t e r t h a t ，w ea l s og i v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h et - o p td e s i g n i ns u b s e c t i o n2 , w e d i s c u s s e dt h ep r o b l e mt h a th o wt os e tt h et - o p td e s i g nw h e nt h et w om u l t i r e s p o n s em o d e l sa f e g e n e r a l l yn o r m a lc o r r e l a t i o n a sw ea l lk n o w , t h ec o v a r i a n c em a t r i xi ss y m m e t r i ca n dp o s i t i v ed e f t 第1 i i 页 荚文摘要 n i t es ow ec o u l dr e d e f i n et h ec r i t e r i o na n dm a k ei tb e c o m es t a n d a r dn o r m a lc o r r e l a t i o ns ot h a tt h e r e s u l tg i v e ni ns u b s e c t i o n1i sa l s ot r u ei ns u b s e c t i o n2 i nc h a p t e r4 ，w em a i n l yd i s c u s s e dt h ep r o b l e mt h a th o wt of i n dt h eo p t i m a ld e s i g nw h i l e t h e r ea r et w oo rm o r em u l t i r e s p o n s em o d e l sa n dg i v e nt h ea l g o r i t h mo fc o n s t r u c t i n gt - o p td e s i g n w h i l ew eu s et h et - o p tc r i t e r i o nt od i s c r i m i n a t em o d e l s ，w em a i n l yc o n s i d e r e dt h er e s i d u a l s n l no fs q u a r e sb e t w e e nt w oc l o s e s tm o d e l s h o wd i dw ed ow h e nt h e r ea r em o r et h a nt w oc l o s e d m o d e l s ? i fs o ，w eu s ea n6w h i c hi sd e t e r m i n e db yp a r t i c i p a n t st oc l a s s i f yt h em o d e l s t h e nw es e t t h ew e i g l l t st ot h em o d e l si nt h ec l a s so ft h ec l o s e s tm o d e l s w ep o p u l a r i z e dt h ec r i t e r i o no ft h e l a s tc h a p t e ra n dw eg e tt h ew e i g h t e dc r i t e r i o n a st ot h ea l g o r i t h m ，w ef i r s tg i v e nt h ea l g o r i t h mo f c o n s t r u c t i n gt - o p td e s i g nb e t w e e nt w om o d e l s b a s e do ni t , w ea l s oi m p r o v ei ts ot h a tw eg o tt h e a l g o r i t h mo fc o n s t r u c t i n gt - o p td e s i g nw h i l et h e r ea r em o r et h a nt w om o d e l s a tl a s t ，w es t u d i e d s o m ee x a m p l e s t h en u m b e rr e s u l t sa n dt h ef i g u r e sa l ls h o wt h ep r a c t i c a l i t ya n dt h ec l a r i t yo f t - o p t d e s i g n i nc h a p t e r5 ，s i n c et h ec a l c u l a t i o no ff i n d i n gt h eo p t i m a ld e s i g nf o rt h ed i s c r i m i n a t i o no f m u l t i r e s p o n s em o d e l si sv e r yc o m l i c a t e d ，w ec o m eu p an e wa l g o r i t h mf o ri t k e yw o r d s ：d i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nm o d e l s ：e u c l i d e a nn o r m ；m u l t i r e s p o n s em o d e l s ；t - o p t i m a l d e s i g n ；s y n u n e t r i ca n dp o s i t i v em a t r i x ；c o m p a c ts e t ；c o n v e xf u n c t i o n 第页 t o f f l g u“s 薹l e s 2 - 1 囊实橙犁黼缘。 2 - 2 倒2 初躲设申f 镝萋瞒数胬 2 - 3 剃2 ；i i 设计下编茇舔数黼， 2 - 4 铡2 簸统设计下镝蓑蕊数阁 l i s to f f i g u r e s 3 - 1 例2 柳始设计卜m 偏差瞄数燃+ 3 2 j | 1 5 最优竣讨f 偏惹黼数矧 4 - 1 多溺庭棱黧鹩镶差豳数黼 第磷i 页 2 4 2 9 关于学位论文使用授投的说明 本人爨垒了瓣上海灏蕊大攀簿美豫整、 交论文瓣鬟露佟，允许论文被套潮秘镫褥； 聚粥影印、箍印或其他复制手段保存论文。 y9 3 1 9 1 4 筵臻攀挺渣文鲍翅定，静：学校：蠢毂爨饔遴 学校霹戳公布论文静全帮蠛部分内容，可毁 ( 秣密的论文在筋密蜃藏遴守l ：规定) 绍卷签名：疆受隧超 嗣期：丢嫂：。竣 导幂签名： 日期； 名聋尧 戳巴龟：! i 竺。 致谢及声明 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名：熬勉起日期：立! 堑：。妥 第3 5 页 c h a p t e r 引毫 c h a p t e r1 引言 假设有n 个模型如下： y i j = 讯( 墨) + 址( i = 1 ，2 ，一，l ；k = 1 ，2 ，n ) ( 1 - 1 ) 其中：设计点孔是已知的，独立随机变量s 是服从正态分布的，其均值是0 ，方差是常 数0 2 。函数吼( z ) 是v 个已知函数町1 ( z o - ) ，啦( z ，0 2 ) ，吼( z ，巩) 中的一个，其中巩是m 潍的未 知变量集0 = 1 ，2 ，”) 。试验的目的在于决定哪个模型是真实的模型。 模型判别的最优实验设计已经有很多学者进行了讨论；两模型判别 问题的最优实验设计理论由f e d o r o v & m a l y u t o v ( 1 9 7 2 ) 和f e d o r o v & u s p e n s k y ( 1 9 7 4 ) 进 行了讨论：a t k i n s o n & f e d o r o v ( 1 9 7 5 a ) 对两模型判别的问题进行了进一步的阐 述，并提出了t - 最优的设计准则；在a t k i n s o n & f e d o r o v ( 1 9 7 5 b ) 中，他们对所得 到的两模型判别的理论进行推广，得到了多个模型判别的最优设计问题的 相关理论；随后又有一些学者在他们的基础上对一些特殊的模型进行讨 论，得到了相关假定下的模型判别的最优设计，如o 幻e r d e t 把( 1 9 9 4 ) ，k w a n g j a e k i m ：d e n n i s k j l i n ( 2 0 0 0 ) ，a t k i n s o n ，a c 曰b o g a c k a ( 2 0 0 2 ) 等。由于他们的工 作，使得模型判别的试验设计问题形成了一套系统的理论，在此对于他们的工 作表示敬意。但是，这些文献的讨论也仅仅限于单响应模型的情形，对于不 同的模型判别问题他们提出了不同的准则，p n d 最优准则等等。而在这些准则 中，a t k i n s o n & f e d o r o v ( 1 9 7 5 a ，6 ) 针对单响应模型判别提出的t - 最优准则，意义明确且 理论成熟，引起了我们的兴趣它也是我们在本文中处理多响应模型判别的主要理论依 据。 在两模型情形下，变量的最小二乘估计( 模型中的变量不一定是线性的) 是满足下式得 得解： nn p i y t 一仍( 每) ) 2 。i 酷p i y l 一( 如) ) 2 其中 玑2 三r i 囊k = l 姒，r = 斋 且设n j 尼是一个紧集，0 = 1 ，2 ) 不失一般性，我们假设第一个模型为真实的，即：吼( g ) = v i ( x ，口1 ) 贝0 实验所找的设计 必须使得第二个模型失拟数据的平方和尽可能大。即使得下式的值达到最大： 2 ( 臼) = a 研( 日) 一啦( 甄，反2 ) r ( 1 - 2 ) t = 1 第1 页 n 。：l i l 其中 设计h 为 p h h 鳓2 = 雠h l n f ：p ) f 7 2 ( 岛，日2 ) ) 2 对于线性模型，不妨设f 1 和f 2 为两个模型的设计矩阵，因为假设第一个模型为真t 所 以该模型的变量0 。已知，则目z 的估计值为： 所以对于某一个设计，有 如= ( 爿f 2 ) 。足= ( f 。f 2 ) _ 1 爿f 1 口- n a 2 口2 兰【f l 口1 一f 2 0 2 【f 1 日1 一f 2 0 2 】 = 残碍乃p l 融e f 2 如一呓gf l 口+ e f 2 口z 必f 局日z = 9 i 目f ( r ) - 1 最f 2 如= 口i 目只0 2 - n a 2 口2 = 以目f 1 p 1 一日i q f 2 ( 月f 2 ) - 1 足r 口1 = e l 最一一日f 2 ( 蜀f 2 ) - 1 9 r ) 口， 可见。口2 是第二个模型的残差平方和的卡方分布的非中心变量，且显然该值与日1 ，即真 实模型的变量有关。 定义：若存在一个设计使得2 ( 知) 达到最大，即： = a r g 玛“2 ( 妇) e 则该设计就称为t - 最优设计。 当第一个模型为真时，t - 最优设计给出了第二个模型失拟的f 检验统计量。当模型 是非线性时，则只需将精确的f 检验改成近似的结果。同样使得z ( f ) 达到最大即可。因 此，我们所求的设计只要满足下式： z ( ) = s u pa 2 ( h ) ( 1 - 3 ) f ” 我们的目的是要找一个n 个点的设计使满足( 3 ) 式，为方便计，我们可以用一个连续或 近似的设计来代替( 3 ) 式中的设计。于是，( 3 ) 式就变为： 2 ( f ) = s u p 2 ( ) ( 1 - 4 ) e 以下的结论都是基于( 4 ) 式来处理所得到的。假设在真实模型是已知( 则其变量也就已 知) 的情况下，我们来考虑( 4 ) 式的极值问题。尽管这样显得有些主观，但是在这样的假设 下得出的结论对于现实情况( 即真实模型及其变量是不知道的) 还是非常有意义的，因为它 为后面的序贯设计奠定了基础。 第2 页 、l，j m l l z p ，j、l | l c h a p t e r 单响应模型判别 2 1 两模型判别 假设模型如下 c h a p t e r2 单响应模型判别 仇0 ) = n j ( x ，岛) ，o j q jc r ” 0 = l ，2 ) 其中：如是未知变量，而函数珊( z ，毋) 是形式已知的，且变量不一定要求是线性的。且设 实验设计区域和函数( z ，如) 都是连续的。假设在进行模型判别之前各模型都是已知的， 但是真实的模型是哪个未知。为此，我们可以假定真实模型是第一个模型，则确定真实 模型的初衷就变成了两个模型之间的判别问题。 满足( 4 ) 式的t 最优设计必须依赖于真实的模型及其变量，因此必须要估计响应模型的 变量值，在本文中，我们主要针对于线性模型，因此采用了最小二乘估计。当然对于非 线性的模型，也可借助s a s 等软件的强大功能直接进行估计。为此，同上可设第一个模 型为真实。t - 晟优设计的等价性理论可以类似由k i e f e r & w o l f o w i t z 基于d 一最优设计提出 的等价性定理得到。在给出正式定理之前，先引入以下的理论。 显然，函数2 ( ) 是个凸函数( 可以看作是的二次函数且开口向上) ，即： 2 ( ) ( 1 一d ) 2 ( 1 ) + a a 2 ( 已) 为得到参数的估计，必须要求初始设计的设计点的个数要大于等于模型中的变量数，利 用线性模型的有关知识可以得到参数的最小二乘估计。这样的得到的参数必然满足下 式： ， 仇( 。) 一目z ( 。，呓) ) 2 f ( 如) 3 峨i n n 2 f 厶 吼( 。) 一啦( 。，0 z ) ) 2 ( 出) ( 2 - 1 ) j 搿 9 2 t3 f 2j 甜 我们假设满足( 4 ) 式的最优设计p 是正则的，亦即上式当= + 时有唯一解呓，即：o ；= 口。( + ) 测； z ( 4 ) = 啦( 。) 一7 7 2 扛，) ) 2 ( d z )( 2 - 2 ) 在这个设计下，我们定义两个模型在设计点x 的偏差如下： 妒z 扛，f ) = 仉( z ) 一卵2 扛，呓) ) 2( 2 3 ) 显然咖( z ，) 是任意设计下两个模型的偏差，于是有了下面的定理： 定理1 。l ： 一个设计p 是t - 最优设计的充要条件是满足下面的不等式： 如( z ，f ) s 2 ( f ) ； 第3 页 2 1 酉模型判别 在最忧设计的各个支撑点上如( z ，+ ) 取得其上界： 对于任何非最优设计，有 2 ( ) a 2 ( + ) x e 巧 这个定理有助于研究t - 最优设计的一般结构及其数值构造，可以发现在最优设 计+ 下，2 ( + ) = ? f 2 ( ) ，又由定理1 l 可以发现，只要使得两模型的偏差函数达到最 大的点就是我要寻找的最优设计的支撑点，这对于构造t 最优设计是有很大帮助的。一般 通过对于不同的参数岛q j ( j = 1 ，2 ) 构造设计可以比较清楚地来理解t - 最优设计的结 构，具体可用如下方法： 首先给定一个设计6 ，可以通过对该设计不断添加设计点，使得最终得到设计满足 要求即可，( 对于不同的模型，要看变量的个数来决定设计点需要多少个j ，对于设 计已，其后继设计点z 。+ ，满足： 妒2 ( z 。+ 1 ，。) = s u p 妒2 ( 。，。) o 尊。 将设计点z 。+ ，添加到原设计巾，得到新设计如下 其中：( z ，) 是关于点。- 的单点设计。的选择可以根据一f 式( 见f e d o r o v & u s p e n s k y ( 1 9 7 5 ，p 5 9 ) ) 来解决： o 。= a r g z 警2 ( 1 一o s ) 已+ s ( z 卧1 ) 为证明前面的定理，我们看以下的两个例子： 表达，而第二个例子就只能得到数值表达了。 到第二个例子。 其中第一个例子可以得到最优设计的显式 在随后介绍的最优设计的序贯算法时亦用 例一：t - 最优设计的最简单的一个例子就是如下的模型： 叩1 ( z ) = 7 ，啦扛) = 0 0 + 0 1 。+ 如z 2 ， 一1 曼z s l 假设第一个模型为真实的，在没有对变量进行约束时，模型l 就是模型2 的特殊 情况( 即当口l = 如= 0 时) ，于是这两个模型就是嵌套模型，那样的话，研究两个模 型的偏差就没有意义了。因此必须对模型的变量进行约束，假设模型2 中的参数满 第4 页 c h a p t e r 单响应模型判别 足：0 + 镌1 ，由此可以对两个模型进行t - 最优设计的构造。如上定义，非中心变量为： z ( ) 2 。；黯，厶 7 一( o o + 吼z 十如z 2 ) 阳出) ， 显然上式的最小值恰好在限制集：钾+ 0 ；= 1 取得。在模型2 中有三个未知变量，所以在 选择设计时考虑三点设计，又因为模型1 是常数函数，所以不妨选择对称的三点设计，因 此考虑选择设计如下： e = - 1 。一0p 刍) 将该设计代入准则( 3 ) 则： z ( ) = 日；略m + i 畦n ：， ；p ( 7 一如+ 0 1 - 0 。) 2 + ( 1 一p ) ( ，y 一氏) 2 + 互1 p ( 7 一岛- - 0 1 - 如) 2 ) = 。；穗：，专( 3 - - o o ) 2 + p ( q - o o ) ( ”口z ) + 矽1 ，m ) 2 + ( 1 一p ) ( 1 “) 2 + ；加一) 2 - - p ( 7 一蹦( 口，+ 蚴+ j l p ( 口，+ 如) 2 ) 2 卵嘲：，撕一) 2 + p n - o o ) ( 一2 如) + p ( 钾+ 畦) + ( 卜p ) ( ，y o o ) 2 = ( ，y 一0 0 ) 2 2 如p ( 7 0 0 ) + p 由上式可以看出在参数如有限制的情况下， 取；晶= 1 一p ，如= 1 或氏= 7 十p 如= 根据参数选择标准( 2 2 ) ，o o $ 1 1 0 2 的估计值分别 1 ，此时： a 2 ( ) = p p 2 所以最优设计的权重为：p + = ；1 ，所以在我们假定约束条件下的最优设计为： 弘 ? l ；) 为了证明该设计是最优的，我们可以计算咖( z ，p ) 和2 ( f + ) ，可以发现： 妒：( 茹，f ) s 。( + ) = ； 由定理1 1 可以知道该设计是t - 最优的。通过这个例子，可以发现定理1 1 可以用来判定一 个设计是否是t - 最优的，同样，该定理还能用来构造t - 最优设计。 例= ：假定两个模型如下： 町1 ( z ) = 0 1 0 + 0 1 1 矿+ 日1 2 e 一。，啦( z ) = 如o + 0 2 l z + 0 2 2 $ 2 ，一1 sz s l 。 第5 页 2 1 两模型判别 如前所设，假定第一个模型是正确的，由于t _ 最优设计要依赖于真实模型及其变量 因此真实模型的变量可以通过对数据的拟合得到，在此不妨设真实模型为： 仇扛) = 4 5 一l5 e 。一2 e 一。 该真实模型的图像如下： f i g u r e2 - 1 真实模型图像 由上图可以发现，该函数在x = 一1 时值为1 4 8 8 ；在x = o 1 4 4 时达到最大值1 0 3 6 ；在x = l 时 又降到0 1 3 1 有了这三个点的僮j 模型2 的参数可以通过对他们进行完全拟合得到： 如o = 1 1 6 2 6 ；如1 = 一08 0 9 5 ；0 2 2 = - 0 4 8 4 1 此时得到的参数是完全拟合的，因此要使得模型有差别，我们的设计至少需要4 个设 计点。为估计参数，我们首先要选定初始设计，并根据初始设计循环递归来产生后继设 计点。我们选的初始设计如下( 也可根据个人自己决定初始设计) ： 岛= h ；) 由初始设计，我们根据设计点可以计算出相应的响应值，即：女= ( 一1 , 4 8 8 4 ，1 0 0 0 0 ，一0 3 1 3 2 ) ，由线性模型中参数的最小二乘估计： 6 = ( x 7 x ) _ 1 x 7 9 将y 的估计值代入上式中，得到参数的估计：d = ( 1 0 0 0 0 ，0 5 8 7 6 ，一1 9 0 0 8 ) ，将参数的估计 值代入模型2 ，于是构造偏差函数如下： 也= ( 4 5 1 5 e 。一2 e 一。) 一( e o + o , x + 0 2 2 2 ) ) 2 ( 2 - 4 ) 将上述偏差函数的最大值点添加入设计，使得到新的设计，为此，偏差函数鼬i ( f i g u r e l - 2 ) ，将最大值点x 一0 6 6 9 添加到设计里，得到： 第6 页 c h a p t e r 单响应模型判别 g 2e x p ( s ) 一2r 。f 6 p 连) 一4 1 3 4 8 7 1 6 0 7 6 4 0 3 7 0 3 6 8 7 4 4 ，7 7 6 6 4s + 8 5 6 0 3 6 2 1 0 6 0 5 1 2 2 7 4 5 0 3 5 9 9 6 2 7 3 。i 、 | ； 。| 1 | 。、一一一一一j f i g u r e2 - 2 例2 初始设计下偏差函数图 汴 1 1 0 6 6 90 主三 44 将该设计作为新的初始设计，重新进行参数估计运算，9 = ( 一1 4 8 8 4 ，一o 1 7 2 9 ，1 0 0 0 0 ，一0 3 1 3 2 ) ，相应的参数的估计：自= ( 1 0 2 4 0 ，0 5 7 3 0 ，一1 9 1 5 1 ) ， 将参数的估计值代z ( 1 4 ) 式，得到偏差函数图如( f i g i l r e l 3 ) ，显然，该偏差函数的最大值 f i g u r e2 - 3 例2 新设计下偏差函数图 点依然是x _ - 0 6 6 9 ，( 若出现新加设计点与现有设计点相同，则只需修改原设计的权重即 可，对于偏差函数中的添加点如果很接近原设计中的点，如该例题中，在递归运算时发现 有两个新加点x = o 1 4 4 和x = 0 9 5 7 很接近我们的设计点，这是由于初始设计是任意选取的缘 第7 页 5 4 3 2 1 o 2 2 多个模型判别 故，所以将新的点替换掉原来的设计点再进行递归) 于悬添加到设计里，得到： 岛= 1 一。孑；：) 如此重复( 本例循环3 0 次，越高越好) ，可褥袋优浚计如下： 弘 ：3 0 譬3 0 6 3 ：0 4 n 3 量07 )l， 蹙最优设计下，确疫萤季一一1 4 8 8 4 ，一1 4 8 8 4 ，一1 4 8 8 4 ，一1 4 8 8 4 一1 4 8 8 4 ，一1 4 8 8 4 ， - 1 4 8 8 4 ，- 0 1 7 2 9 ，- 0 1 7 2 9 ，- 0 1 7 2 9 ，- 0 1 7 2 9 ，- 01 7 2 9 ，- 0 1 7 2 9 ，- 0 1 7 2 9 ，- 0 1 7 2 9 ，- 0 1 7 2 9 ，一o 1 7 2 9 ，- - 0 1 7 2 9 ，一0 。1 7 2 9 ，1 0 3 5 9 ，1 0 3 5 9 ，1 。0 3 5 9 ，1 0 3 5 9 ，1 0 3 5 9 ，1 0 3 5 9 ，1 0 3 5 9 ，- 0 1 7 3 9 ，一0 1 7 3 9 ) ，相应的参数的话计：一( 1 0 2 8 7 ，0 5 5 4 7 ，一t 9 2 9 1 ) ，将参数的镳计值代 入( 1 4 ) 式，得到最优设计下的偏差函数图如( f i g u r e i 一3 )由上述的图像我们可以发现， f i g u 2 - 4铡2 最谯设 卡下缡差垂数蹋 在该设计下有：m “如( + ) = 籼( + ) = 1 0 8 7 + 1 0 _ ，即偏差函数的最大使点就是我们要寻 我懿簸优设诗的设计点， 亟囱忿证嘲了定理1 1 。 2 2 多个搂激判别 上一节主要讨论了两个单响应模型的判别问题，在本节主要解决多个模型的判别问 题。瑕设模型如下： 仍 ) = 仍如，如) ，如吩c 冗删o = 1 ，2 ， ) 其中：岛是米知变量，函数叩j ( ，如) 的形式已知( 我们主要讨论线性情况，非线性可以通过 泰勒煨开德到线性形式) ，设响应擅长真实摸爨的偏蓑服扶方麓魏霉数的正态分露。设诗 第8 页 c h a p t e r 单响应模型判别 区域0 旷和函数r h ( 嚣，目，) 为谶续的。 楚理多个模型豹魏爰阂题，一个藏褒豹想法是鲡上琢设，可鞋缓定第一个模型为粪实 的，然后求使剩余的v 一1 个模型与真实模型的非中心变量达到最大的设计即可。也就魁要 求v 1 个嚣中心变爨。显然这样敛的话，工作莹相当大，丽虽当真实模型未知时，更要进 行两两比较，这样的话要谶行! 等奠次的计算。而事实上，也不会存在一个设计使得所有 的非中心变量都达到最大，可能使得其中一些模型偏差达到最大的设计在其他模型上则 不一定佼褥偏差最大。因诧，我稍考虑加裰处理。 由于我们的目的在于确定真实模型，因此可以如上所设第一个模裂为真实的，则问题 藏燮残了粪宾模型与其最接透酶壤墅之蠲麓翔鬟疑遂。繇叛，多摸蘩判鬟溺堪裁在予寻 找设计使褥最接近的模型之间的区别达到最大即可。当只有一个模烈与真实模型最接近 对，该阏趱裁是弱模型判捌鞫题，零苇主要处理当菇多个攮型与奏实模型鞠接近时豹闫 题。令，( ) 表示与真实模型最近的模型集，即： ，( ) m 艄i n a ( ) ，j 了( 静 联阻，当j ( f ) 瓣，我翻只嚣寻鼓设诗f 搜褥岛( 国这到最大赘可。 显然多个模型削别的最优设计依然要和真实模型及其变量有荚，所以可以如上所 设，篱一个模型为真，则其变量8 1 为已知，骘( ) 表示在设计下第j 个模型的变量豹袋小 二染估计的集合，亦即骘是下式所产生的再的集合： 厶锄沁吼) 一嘞( # ，蟊) j 2 ( 如) 2 眯m i 。n ，厶 t ( 。，岛) 一珞( 文咚) 2 ( 敷) j 巍o ，t “j 缴 嗣样，令嚣( 9 为+ f 式孛j 豹聪集： 5 1 毽) = r a 鞲i n ) 予是，( ) 就是在设计下，所有模型中与假定真实模型最为接近的模型的集合，显然该 集合中鸯嚣个鼓上的元素，为7 褥定理1 1 遽行雄广，我稻考虑对该集合孛的元素进程热 权( 非零非负) 处理，于是可以得到个非中心变量的线性组合，于熄定理1 1 中的准则就 变成了瑷凌夔线谯缝台，哭鬟寻找没量 使褥该线毽缀合达到最丈鄹搿。于是毒了下瓣约 定理： 定理1 2 ：一个设计p 是t 爨娩设计的宠要条髅是满鬣下面的不等式： p j 呓1 ( e f ) 蔓珊；”聪+ ) 珊= 1 ；妨1 ，e + ) = 叶1 ，0 - ) 一协扣，略) ) 2 j 矗妒) 第9 贞 2 ，2 多个模型判别 对非中心变量的线性组合构成最优设计的设计准则是借鉴 t - a t k i n s o n & c o x ( 1 9 7 4 ) 吐d 对于胁最优设计的处理方法。若对上述集合曰( + ) 中的模型 取相同的投重，则定理1 1 可露拔接广巍： 定理1 3 ： 一个设计+ 是t - 最优设计的充要条件是存在j # 负的权重p ，满足： 巧一1 ； j 以( ) 对于设计区域上任l 嚣设计轰鸯： 其中 妒( 1 牡，+ ) 1 ( ) 妒1 1 扛，+ ) = p ； q 1 扛，e i ) 一仍( g ) ) 2 j