（水文学及水资源专业论文）非稳定初始面对自由渗流影响规律的研究.pdf

非稳定初始面对自由渗流影响规律的研究 摘要 河渠渗流、土坝渗流、边坡渗流等皆属于有自由面的无压渗流问题。这类 问题的自由面位置是待求的，事先未知，如何简捷、有效地确定自由面的位置 历来都是无压渗流场分析的关键。自由面渗流分析方法很多，归纳起来主要有 解析法、数值法和模拟法等三大类；在自由面渗流规律研究过程中，往往依赖 解析法。关于自由面渗流规律的研究，现有文献给出的模型，其初始自由面都 是稳态的；以河渠一半无限含水层中的潜水渗流模型为例，初始自由面不仅是 稳态的、而且往往是水平的，这既不符合大多数实际情况，也不具有普遍性。 本文以河渠控制下的半无限潜水含水层中的潜水渗流模型为例，构造初始 面非稳定条件下的一维潜水非稳定渗流模型；利用b o u s s i n e s q 第一线性化方法， 通过l a p l a c e 变换，再结合迭加原理，导出模型的解析解；并以其为基础，讨 论模型中参数的计算方法、研究非稳定初始面对自由渗流的影响规律。 研究表明，文中建立的潜水非稳定渗流模型合理，所给出解析解考虑了非 稳定初始面因素，计算的自由面位置比原潜水渗流模型的解更接近观测值；规 律研究显示非稳定初始面对自由渗流的影响与导压系数( 口) 、时间因子( 乃和时间 ( r ) 成反比，与河渠原水位和最初初始面水位之差( 凰) 及距河渠距离o ) 成正比。 关键词：自由面非稳定初始面b o u s s i n e s q 方程第一线性化方法 l a p l a c e 变换迭加原理 r e g u l a t i o nr e s e a r c ho nf r e es e e p a g es u b j e c tt o u n s t e a d yi n i t i a l s u r f a c e a b s t r a c t t h es e e p a g eo fw a t e r w a y ，s o i l d a ma n ds i d e s l o p ea r eb e l o n g st on o tp r e s s g r o u n d w a t e rf l o wp r o b l e m sw i t hf r e es u r f a c e s t h ef r e es u r f a c e s p o s i t i o ni s u n k n o w na n dr e q u e s t e d ，h o wt oc a l c u l a t et h ef r e es u r f a c e s p o s i t i o nb r i e f l ya n d e f f e c t i v e l yi sas t i c k i n gp o i n t t h ea n a l y s i sm e t h o d so f f l o ww i t hf r e es u r f a c ec a n d i v i d ei n t ot h r e em a j o rt y p e ：a n a l y t i c a lm e t h o d ，m a t h e m a t i c a lm e t h o da n ds i m u l a t i o n m e t h o d t h ea n a l y t i c a lm e t h o du s e dc u r r e n t l yi nf r e es e e p a g er e g u l a t i o nr e s e a r c h i n g p r e s e n t l yr e s e a r c ho ff r e es u r f a c ef l o wr e g u l a t i o na l w a y su s es t e a d yb e g i n n i n gf r e e s u r f a c e t a k et h ep o t e n t i a lf l o wm o d e lo fw a t e r w a y - s e m i - i n f i n i t yp o r o u sm e d i u m f o re x a m p l e ，a l ln o ws t u d ya r ea l lu s es t e a d yb e g i n n i n gf r e es u r f a c e ，a n di su s u a l l y h o r i z o n t a l t h i si so b v i o u s l yn o ta g r e e dw i t ha c t u a lc i r c u m s t a n c e s ，a l s on o th a v e t h et h e o r i e sm e a n i n go f c a t h o l i c i t y t a k et h ep o t e n t i a lf l o wm o d e lo fw a t e r w a y - s e m i - i n f i n i t yp o r o u sm e d i u mf o r e x a m p l e ，t h eo n e d i m e n s i o n a ls e e p a g em o d e lo fai n f i n i t ea q u i f e rh a v en o t p e f p e n d i c u l a r i t ys e e p a g ew i t hu n s t e a d yf r e es u r f a c ei sd e s c r i b e d b a s e do nt h ef i r s t l i n e a r i z e db o u s s n e s qe q u a t i o n ，t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no ft h em o d e lm e n t i o n e da b o v e c a nb eo b t a i n e db yl a p l a c et r a n s f o r mc o m b i n e dw i t ht h ep r i n c i p l eo fs u p e r p o s i t i o n b a s eo nt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n , t h ea c c o u n tm e t h o do fp a r a m e t e r si nt h em o d e la n d t h ea f f e c td i s c i p l i n a r yo fu n s t e a d yf r e es u r f a c ea r ea n a l y z e d t h er e s u l ts h o w st h a tt h ep a r a m e t e r - c o m p u t a t i o nm e t h o dp r o p o s e db yt h ep a p e ri s r e a s o n a b l e c o m p a r i n gw i t ht h eo r i g i n a ls o l u t i o n , t h en e wa n a l y t i c a ls o l u t i o ns u b j e c tt o u n s t e a d yb e g i n n i n g s u r f a c ei s m o r ea c c u r a t e l ya p p r o a c h e st ot h eo b s e r v a t i o nv a l u e r e g u l a t i o nr e s e a r c hs h o wt h a tt h ea f f e c t i o no fu n s t e a d yb e g i n n i n g - s u r f a c ei n i n v e r s ep r o p o r t i o nt op r e s st r a n s m i tc o e f f i c i e n t ( 口) 、t i m eg e n e ( 乃a n dt h et i m e ( t ) ，b u t i nd i r e c tp r o p o r t i o nt ot h ew a t e rl e v e ld i f f e r e n e e ( a h l ) b e t w e e nt h ew a t e r w a ya n d p r i m eb e g i n n i n g s u r f a c ea n dt h ed i s t a n c et ow a t e r w a y ( x ) k e y w o r d s ：f r e es u r f a c e ：u n s t e a d yi n i t i a l s u r f a c e ： b o u s s i n e s qe q u a t i o nf i r s tl i n e a r i z em e t h o d ； l a p l a c ec o m m u t a t i o n ；s u p e r p o s i t i o nt h e o r y 插图清单 图2 1 土坝渗流流网8 图2 2d a r c y 实验装置9 图2 3 渗透速度和水力坡度的实验关系曲线1 0 图2 - 4 各向异性平面问题1 l 图2 5 渗流区域中的单元体1 2 图2 6d u i p u i t 假设1 6 图2 7d u i p u t 假设无效区1 6 图2 8 潜水的剖面二维非稳定运动1 7 图3 1 有自由面2 3 图3 2 区域识别函数2 6 图3 3 子域分布，2 6 图3 4k 值分布2 6 图3 5 矩形砂槽示意2 7 图3 6 窄缝槽结构2 9 图4 - 1 初始面水平时河渠附近潜水非稳定运动3 2 图4 2 初始面非水平时河渠附近潜水非稳定运动3 4 图4 3 非稳定初始面对自由渗流的影响3 4 图4 4 水位连续变化近似曲线，3 6 图4 5 标准曲线3 9 图4 - 6 实际资料曲线4 4 图4 7 叠置曲线4 4 插表清单 表4 - 1e r f c ( 五) 数值表 表4 - 2 河流及观测孔水位观测数据表一4 1 表4 - 3 新解计算值及误差分析表4 2 表4 - 4 原解计算值及误差分析表。4 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果也不包含为获得 盒起至些叁堂 或其他教育机构的学位或证苗而使 川过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签字：莒彭该签字日期：如妒年亿月一日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 金壁王些态堂有关保留、便用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权 金胆兰些太坐可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：嗜彭磁 签字日期：加司年i z 月口日 学位论文作者毕业后去向 l ：作单位： 通讯地址： 导硒整： 氏禽鸶 签字日期：办研年f 2 月f o 日 电话：l ；扩跏0 7 7 z 邮编： 致谢 时光冉冉，不经意之间，两年半的硕士学习生涯即将结束。回首往事，有 无尽的感激和深深的眷恋。 感谢导师陶月赞教授对我学习上的悉心指导和生活上的关怀。他严谨的治 学态度，渊博的知识，开阔的视野，宽厚的为人做事风格，让我铭记在心，激 励我不断进步；他敏锐灵活的思维方式给我启迪，精益求精的作风让我受益匪 浅。论文的选题、构思、资料的收集和修改，陶老师给予了我非常细心的指导。 感谢系里所有老师，在我的研究生生涯中，给我默默地帮助。 感谢姚梅、叶栋成，师弟、师妹以及所有关心和帮助我的同学，与我融洽 相处、共同奋进，给予我帮助和鼓励。 感谢我的父母及所有家人，一如既往的支持我的学业。他们对我无私的奉 献和默默的支持无时不刻地催我奋进、成长。 最后，向百忙之中不辞辛苦来参加我的硕士论文答辩的各位评委致以最真 诚的问候! 作者：曹彭强 2 0 0 7 年1 2 月1 0 日 第一章绪论 1 1 渗流力学 渗流力学是流体力学的一个分支，主要研究流体在土壤等多孔介质内的运 动规律，所谓的多孔介质，是指由固体骨架和相互连通的孔隙、裂隙或者各种 类型的毛细管组成的材料【l 】。在中国习惯用“渗流”这一术语，其基本涵义是泛 指流体在多孔介质内的流动。由于渗流的理论和应用在相当长的时期内主要涉 及地下多孔介质内的流动，所以不少人将这一术语理解为地下渗流。随着渗流 理论和应用逐步深入到更广泛的领域，这种狭义理解逐渐减少。在中国和苏联， 当专指地下渗流力学时，也称“地下水水力学【2 】和“地下水动力学【3 】，。地下水动 力学是研究地下水在孔隙岩石、裂隙岩石和裂隙岩溶岩石中运动规律的科学， 它是对地下水从数量上和质量上进行定量评价、合理开发利用以及兴利防害的 基础3 1 。 1 2 渗流力学国内外研究状况 由于地下水运动问题本身的复杂性和生产力发展水平的限制，尽管人类利 用地下水已经有几千年的历史，但对地下水运动规律的认识却经历了很长的历 史过程。在十九世纪以前，还谈不上对地下水进行科学的定量计算。直到十九 世纪中叶，随着地下水开发规模的扩大，人们迫切想了解地下水在含水层中的 运动规律。法国工程师达西( h e r r yd a r e y ) 在1 8 5 6 年公布了水通过均匀砂层渗流 的线性定律一达西定律【4 1 ，奠定了地下水运动理论的基础，渗流理论从此开始 发展。 回顾整个地下水渗流力学发展过程，可以分为经典渗流力学阶段和现代渗 流力学阶段，其中，经典渗流力学阶段又可以细分为基础理论、稳定流理论和 非稳定流理论三个发展阶段【5 1 ： ( 1 ) 经典渗流力学阶段初期，主要由于水的净化、地下水开发、水利和 水力工程的需要，渗流力学开始成长：从2 0 世纪2 0 年代起，在石油、天然气 开发工业中得到应用。在这个阶段，渗流力学考虑的因素比较简单：均质的孔 隙介质、单相的牛顿流体、等温的渗流过程，不考虑流体运动中的复杂的物理 过程和化学反应。 1 ) 基础理论阶段 这一阶段从1 8 世纪中期至1 9 世纪初，以达西定律( 1 8 5 6 年) 的建立为起点。 达西定律是对地下水运动定量认识的开始，直到今天仍然是地下水运动理论的 基础。接着j d u p u i t ( 1 8 6 3 年) 针对缓变流动的潜水，以达西定律为基础，提 出用潜水水位h 代替潜水水流的势函数( 侧压水头) 妒1 6 】，忽略水流的垂r 0 分速 度，研究了一维稳定流动和向水井的二维稳定运动。正是得益于d u p u i t 假设， d a r c y 定律被迅速推广，进而使渗流力学得以迅速发展。1 9 0 4 年，法国数学力 学家j o s e p hb o u s s i n e s q 在认为水是不可压缩的条件下，利用d u p u i t 假设，给出 潜水渗流的微分方程【7 】；他还创造性地将坐标原点取在含水层底板上( 以下坐标 都是这种设置方法) ，使得方程中的水位变量与潜水流厚度相等，极大地方便了 方程在实际中的应用。 2 ) 稳定流理论阶段 1 8 6 3 年，d u p u i t 假定开采井位于圆形区域中心，四周为定水头边界，给出 潜水井流公式【6 】。1 8 7 0 年，德国工程师a d o l p ht h e i m 对上述模型进行了修改l ”， 建立了t h e i m 井流公式。1 8 8 6 年，澳大利亚水利学家p h i l i pf o r c h h e i m e r 根据 d u p u i t 假设，给出了河渠边界附近潜水含水层中的潜水渗流量计算公式州。 3 ) 非稳定流理论阶段 1 9 2 8 年，美国水文地质学家o s c a re d w a r dm e i n z e r 注意到承压含水层的贮 水性质不同于潜水含水层，承压水运动具有非稳定性质0 0 q z l 。在非稳定流理论 的发展过程中，美国水文地质学家c h a r l e s v e r n o n t h e i s 贡献最为突出，其代表 性成果为t h e i s ( 1 9 3 5 ) 公式i “j 。 经典渗流力学阶段下的渗流问题的数学模型主要是拉普拉斯方程“j 、傅 里叶热传导方程【”】和二阶非线性抛物型方程。这个阶段的研究方法主要是数学 物理方法和比较简单的模拟方法。 ( 2 ) 现代渗流力学阶段从2 0 世纪3 0 年代起，由于低于饱和压力开发 油田、天然水力驱动、人工注水开发油田以及农田水利等工程技术的需要，逐 步发展多相渗流理论，开始了渗流力学的新阶段。6 0 年代以后，渗流力学发展 迅速。由于研究内容和考虑因素方面的发展，渗流理论不断深化，大体沿着五 个方向进行：考虑多孔介质的性质和特点，发展非均质介质渗流、多重介质 ( 裂缝孑l 隙- 孑l 洞) 渗流和变形介质渗流；考虑流体的多相性，继续发展多相 渗流；考虑流体的流交性影响，发展非牛顿流体渗流；考虑渗流的复杂物理 过程和化学反应，发展物理化学渗流；考虑渗流过程的温度条件，发展非等 温渗流。此外，还开始出现一些新动向，例如，研究流体在孔隙内运动的细节， 发展微观渗流；渗流力学与生物学交叉渗透，发展生物渗流。 研究、实验手段也逐步现代化。电子计算技术以及数值计算和数值模拟方 法已较普遍使用。多相多维渗流、非等温渗流和物理化学渗流等方面的问题， 一般都靠电子计算机帮助求解。随着渗流问题复杂程度和难度的增大以及大容 量计算机的出现，在渗流力学的较多领域内，电子计算机开始取代以相似理论 为基础的数学模拟设备。由于测微、速测等技术和物理模拟技术的改进，实验 过程自动控制和数据处理自动化的逐步推广，渗流力学研究的重要手段之一的 物理模拟也正在实现现代化。 1 3 渗流力学的研究方法 进行渗流力学的研究可以分为现场观测、实验室模拟、理论分析、数值计 算四个方面j ： ( 1 ) 现场观测是对自然界固有的流动现象或己有工程的全尺寸流动现象， 利用各种仪器进行系统观测，从而总结出流体运动的规律，并借以预测流动现 象的演变。过去对天气的观测和预报，基本上就是这样进行的。 不过现场流动现象的发生往往不能控制，发生条件几乎不可能完全重复出 现，影响到对流动现象和规律的研究；现场观测还要花费大量物力、财力和人 力。因此，人们建立实验室，使这些现象能在可以控制的条件下出现，以便于 观察和研究。 ( 2 ) 实验室模拟同物理学、化学等学科一样，渗流力学离不开实验，尤 其是对新的流体运动现象的研究。实验能显示流体运动特点及其主要趋势，有 助于形成概念，检验理论的正确性。二百年来渗流力学发展史中每项重大进 展都离不开实验。 模型实验在渗流力学中占有重要地位。这里所说的模型是指根据理论指导， 把研究对象的尺度改变( 放大或缩小) 以便能进行实验。有些流动现象难于靠理 论计算解决，有些不可能做原型实验( 成本太高或规模太大) 。这时，根据模型 实验所得的数据可以用如换算单位制那样的简单算法求出原型的数据。 现场观测常常是对已有事物、已有工程的观测，而实验室模拟却可以对还 没有出现的事物、没有发生的现象( 如待设计的工程、机械等) 进行观察，使之 得到改进。因此，实验室模拟是研究渗流力学的重要方法。 ( 3 ) 理论分析是根据流体运动的普遍规律如质量守恒、动量守恒、能量守 恒等，利用数学分析的手段，研究流体的运动，解释已知的现象，预测可能发 生的结果。理论分析的步骤大致如下： 首先是建立“力学模型”，即针对实际流体的力学问题，分析其中的各种矛 盾并抓住主要方面，对问题进行简化而建立反映问题本质的“力学模型”。渗流 力学中最常用的基本模型有：连续介质、牛顿流体、不可压缩流体、理想流体、 平面流动等。 其次是针对流体运动的特点，用数学语言将质量守恒、动量守恒、能量守 恒等定律表达出来，从而得到连续性方程、动量方程和能量方程。此外，还要 加上某些联系流动参量的关系式( 例如状态方程) ，或者其他方程。这些方程合 在一起称为渗流力学基本方程组。 求出方程组的解后，结合具体流动，解释这些解的物理含义和流动机理。 通常还要将这些理论结果同实验结果进行比较，以确定所得解的准确程度和力 学模型的适用范围。 从基本概念到基本方程的一系列定量研究，都涉及到很深的数学问题，所 以渗流力学的发展是以数学的发展为前提。反过来，那些经过了实验和工程实 践考验过的渗流力学理论，又检验和丰富了数学理论，它所提出的一些未解决 的难题，也是进行数学研究、发展数学理论的好课题。按目前数学发展的水平 看，有不少课题将是在今后几十年以内难于从纯数学角度完善解决的。 在渗流力学理论中，用简化流体物理性质的方法建立特定的流体理论模型， 用减少自变量和减少未知函数等方法来简化数学问题，在一定的范围是成功的， 并解决了许多实际问题。 对于一个特定领域，考虑具体的物理性质和运动的具体环境后，抓住主要 因素忽略次要因素进行抽象化同时也是简化，建立特定的力学理论模型，便可 以克服数学上的困难，进一步深入地研究流体的平衡和运动性质。此外，渗流 力学中还经常用各种小扰动的简化，使微分方程和边界条件从非线性的变成线 性的。 每种合理的简化都有其力学成果，但也总有其局限性。掌握合理的简化方 法，正确解释简化后得出的规律或结论，全面并充分认识简化模型的适用范围， 正确估计结果同实际的偏离，正是渗流力学理论工作和实验工作的精华。 渗流力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不借 助于计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程、n s 方程进行计 算。2 0 世纪3 0 4 0 年代，对于复杂而又特别重要的渗流力学问题，曾组织过 人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无 粘流场就从1 9 4 3 年一直算到1 9 4 7 年。 数学的发展，计算机的不断进步，以及渗流力学各种计算方法的发明，使 许多原来无法用理论分析求解的复杂渗流力学问题有了求得数值解的可能性， 这又促进了渗流力学计算方法的发展，并形成了“计算渗流力学”， ( 4 ) 从2 0 世纪6 0 年代起，数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的 研究和工程设计的速度加快，并节省了开支。最近数值计算方法在渗流问题研 究中发展很快，其重要性与曰俱增。 解决渗流力学问题时，现场观测、实验室模拟，理论分析和数值计算几方 面是相辅相成的。实验需要理论指导，才能从分散的、表面上无联系的现象和 实验数据中得出规律性的结论。反之，理论分析和数值计算也要依靠现场观测 和实验室模拟给出物理图案或数据，以建立流动的力学模型和数学模式，最后， 还须依靠实验来检验这些模型和模式的完善程度。此外，实际流动往往异常复 杂( 例如湍流) ，理论分析和数值计算会遇到巨大的数学和计算方面的困难，得 不到具体结果，只能通过现场观测和实验室模拟进行研究。 1 4 有自由面非稳定渗流问题分析的研究现状及存在问题 河流渗漏、土坝渗流、混凝土坝坝体渗流、各种闸坝的绕坝渗流、边坡渗 4 流、地下水运动、地下洞室渗流等皆属于有自由面的无压渗流问题。这类问题 的自由面位置是待求的，事先未知，如何简捷、有效地确定自由面的位置历来 都是无压渗流场分析的关键，也是一个难点【i “。 求解有自由面的无压渗流问题最常用的方法主要有数值法和解析法。目前， 有限单元法是求解渗流闻题最为成熟的数值计算方法，在自由面的确定方面， 主要有变网格法和固定网格法两种有限单元法，近年来也出现了不少其它数值 计算方法。数值方法在6 0 年代就应用到渗流计算中，随着计算机的高速发展， 这种方法研究及应用也越来越广泛。在解析解上的研究相对来说就很匮乏，而 解析解是研究渗流规律的最有效的工具。现在所有研究给出的初始自由面都是 稳态的，而且往往是水平的，这显然既不符合大多数实际情况，也不具有普遍 性。如何描述初始面非水平因素，构造适合于初始自由面非稳定的非稳定渗流 问题的解柝解，是现存的一大问题。 1 5 本文的研究构想 国内外许多研究学者一直以来致力于有自由面渗流问题的研究，从解析法 到数值法，反映出这一问题仍然是个研究热点。本文在分析现有的有自由面非 稳定渗流问题解析解的求解过程的基础上，将初始潜水面非水平因素加入有一 维非稳定自由面渗流模型中，利用b o u s s i n e s q 第一线性化方法，通过l a p l a c e 变换并结合迭加原理，导出模型的解析解，并以其为基础，讨论模型中参数的 计算方法以及研究非稳定初始面对自由渗流的影响规律、分析非稳定初始面对 自由渗流计算的影响。并结合实例，讨论解的应用。 第二章渗流的基本理论 2 1 渗流的基本概念 由于孔隙或裂隙的大小和形状十分不规则，水在土体孔隙或岩体裂隙、溶 洞中的流动是一个非常复杂的现象。天然和人造的多孔介质普遍具有下列特征： 空隙尺寸微小；比表面积数值很大。多孔介质的特征使渗流具有下述特点：表 面分子力作用显著，毛细管作用突出；流动阻力较大，流动速度一般较慢，惯 性力往往可忽略不计 】。事实上，人们不可能求出水流在孔隙或裂隙中的流速 分布规律或者真实的流速大小，而且这样做也没有很大的实用价值。因此，研 究土体、岩体的透水问题只能用平均的概念，即具有平均性质的渗透规律。其 实质是用和真实水流属于同一流体的、充满整个含水层( 包括全部的孔隙或裂隙 空间和土或岩石颗粒所占据的空间) 的假想水流来代替仅仅在孔隙或裂隙中运 动的真实水流，通过对假想水流的研究来达到了解真实水流平均渗透规律的目 的。 称假想水流为渗透水流，简称渗流，渗流所占有的空间区域则称为渗流场。 渗流应该满足下面几个条件： 渗流通过任意断面的流量与真实水流通过同一断面的流量相等； 渗流在某断面上的压力或水头应等于真实水流的压力或水头； 渗流在任意土体或岩体体积内所受到的阻力应等于真实水流所受到的 阻力。 2 1 1 水头函数 渗流场内任意一点的总水头九可以表示为： 2 办：z + p + 善 凡z g ( 2 1 1 ) 式中p 一研究点上的动水压强； 九一流体的容重； z 一自某一基准面算起的研究点的位置高程； ，2 三一渗透流速水头。 2 9 由于土体或岩体中的流速一般很小，通常可以将渗透流速水头忽略不计， 所以渗流场内的水头函数痧可以表示为： 西：z + 卫 凡 水头是表征渗流场的一个基本物理量， 数，为一标量。 6 ( 2 1 2 ) 它是空问坐标氘y 、z 和时间f 的函 2 1 2 渗透速度 渗透速度是指渗流在垂直于过水断面上的平均流速。 隙或裂隙中的真实速度的关系为： v = ，l “ 渗透速度与水流在孔 ( 2 1 3 ) 式中v 渗透速度； “一水流在孔隙或裂隙中的真实速度； 月一土或岩石的孔隙率。 同水头一样，渗透速度也是表征渗流场的基本物理量，它是空间坐标 “y 、z 和时间f 的函数，为一矢量。 2 1 3 渗透流量 通过渗流分析求得渗流区域内各点的渗透速度后，就可以选择适当的渗流 控制断面s ，计算通过相应区域的渗流量q ： 9 = l l 屹击 ( 2 1 4 ) j 2 1 4 水力比降 在渗流分析中，除了确定水头在所研究区域内的分布外，尚需研究其变化 率。我们称水头在研究点的最大变化率为水力比降或渗流梯度，： t ，：一丝 ( 2 1 5 ) 勰 式( 2 ，1 5 ) 中所取负号是因为随着渗流途径的增加水头在逐渐降低，即水头沿水 流方向d s 距离上的增量d 矿永远是负的，而水力比降是正的。 水力比降，在就y 、z 三个方向的分量以、山、正可分别表示为： 五：一掣 o x 以= 一警 以：一掣 院 ( 2 1 6 ) 水力比降即为，= 七十，；+ z 。 2 1 5 流网 流网是研究平面渗流问题的流动图案。流网由流线和等势线两组相互垂直 交织的曲线所组成，图2 1 所示即为一土坝的渗流流网图。流线在稳定渗流情 况下表示水质点的运动路线；等势线表示势能或水头的等值线，即每一根等势 线上的测压管水位都是齐平的，而不同等势线之间的差值则表示从高位势向低 位势流动的趋势。流网有两个主要的特征； 等势线和流线互相垂直； 如果流网各等势线间的差值相等，各流线间的差值也相等，则各个网格 7 的长宽比为常数。 流网的两个性质表明，在流网中，流线越密的部位流速越大，等势线越密 的部位水力比降越大。 图2 - 1 土坝渗流流网 2 2 渗流的基本定律 2 2 1 达西定律 法国工程师达i l i ( h e n r y d a r e y ) 于1 8 5 6 年在垂直圆筒( 见图2 2 d a r c y 实验装 置图) 中装砂进行砂土透水性的试验研究，得到如下关系式： 9 ：k a h l - h 2 ( 2 2 1 ) 式中 q 渗流量； 日l 、飓通过砂样的水头； ，一砂样沿水流方向的长度； 4 试验圆筒的横截面积，包括砂粒和孔隙两部分面积在内； 屉一渗透系数，又称作水力传导系数。 式( 2 2 i ) 中的毕即水力坡度j ，故可以改写为 v ：垒：k j( 2 2 2 ) 4 上述两个关系称为d a r c y 定律或线性渗透定律。它指出渗透速度v 与水力 坡度j 成线性关系，故又称为线性渗透定律。 在d a r c y 的试验中，地下水作一维的均匀运动，即渗透速度和水力坡度的 大小和方向沿流程不变。把它推广到更一般的三维情况，写出d a r c y 定律的微 分形式为 v ：脚：一k 丝( 2 2 3 ) 西 式中一掣为水力坡度。在直角坐标系中，如以v 。、，。、v z 表示沿三个坐标 口s 轴方向的渗透速度分量，则有 叱：一k a h ； 0 鹫 8 b k o 西h ； ( 2 2 - 4 ) v ：一k o h ： 。 忍 只要知道了水头函数h ( x , y ，z ) ，就可以由式( 2 4 ) 算出渗流区中任一点的渗 透速度矢量v v = v x i + r 。+ v , k ( 2 2 5 ) 式中i j , k 为三个坐标轴上的单位矢量。它给出了渗透速度场与水头场之间 的关系。 图2 - 2 d a r e y 实验装置 2 2 ，2 达西定律的适用范围 达西定律是在特定水力条件下的试验结果，具有一定的适用范围，超出这 个范围地下水的运动不再符合达西定律。如果作渗流速度v 和水力坡度厂的关 系曲线，如图2 3 所示，若符合达西定律则为直线，直线的斜率为渗透系数的 倒数。图上曲线表明，一般在低雷诺数( r e = l 1 0 ) ，流体运动的惯性力可以忽 略不计时，达西定律才是适用的【1 8 1 。也可以从多孔介质中的水流状态判断达西 定律的适用范围，当渗透速度由低到高时，可把介质中的水流运动状态分为三 种情况：( 1 ) 当地下水流作低速运动时，即r e = l 1 0 ，为粘滞力占优势的层流 运动，适用达西定律；( 2 ) 随着流速的增大，即r e = 1 0 1 0 0 ，为过渡带。由 粘滞力占优势的层流运动转变为惯性力占优势的层流运动再转变为紊流运动： 9 ( 3 ) 高雷诺数时为紊流运动。显然，达西定律的适用范围为低流速，以粘滞力占 优势的层流运动范围。 当然，在实际的工程中，经常会遇到不符合达西定律的渗流，如堆石体和 砂砾石含水层中抽排疏干中的渗流计算问题等，此时渗透速度与水力比降不再 呈线性关系，而是服从相应的非线性关系，属于非达西渗流问题【2 0 1 。 需要指出的是，天然条件下，多孔介质中的水流速度都很小，绝大多数地 下水运动都服从达西定律【”1 。目前渗流分析的数学模型大都是以达西定律为基 础建立的，本文所指的渗流也是指符合线性渗透定律的达西渗流。 图2 - 3 渗透速度和水力坡度的实验关系曲线 ( 据雅贝尔) 2 2 3 广义达西定律 设介质各向异性，渗流场内某一点的渗透流速不仅与相应的水力比降分量 成正比，还与水力比降的其它分量成正比1 2 。据广义达西定律，在瓢) z 方向 的流速分量分别为： 用矩阵表示为 其中 心：一如娑一k 娑一砭掣 o x删 q b 罢一勤雾一警 v ：= 一砭型o x n 型o y o x 一疋警院 v ) = 一【刚 伊 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) v ) = kv ，叱r 痧，= 慝考斟 kbk 1 k 1 2 l 【k k j 渗透矩阵各系数随着坐标轴的转动而变化， k = 窑弘吒 ( 2 2 - 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 当由玎坐标系转换到坶坐标 式中0 一，轴与i 轴夹角的余弦。 式( 2 2 7 ) 符合张量的坐标变换规则，故【胡又被称为渗透张量。 ( 2 2 7 ) 图2 4 各向异性平面问题 对于平面问题，设坐标系x o y 逆时针旋转口角而得到坐标系x o y 。，见图2 4 ， 则有： k f j k y y k y c o s 。口 s m 。口 一! s i n 2 口 s i n 。口 c o s 。盯 三s i n 2 口 ， 如果旋转坐标系x o y ，使_ ，- = o ，得到 口= 剐去 式中 口一渗透张量的主方向； t _ 、b 一主渗透系数。 s i n 2 a - s i n 2 口 c o s 2 a ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 对于二维问题，渗透张量【k 】的独立系数为3 个，或者为2 个主渗透系数及 1 个主方向；对于三维问题，独立的渗透系数为6 个，或者为3 个主渗透系数 及3 个主方向。 2 3 渗流连续性方程 渗流的连续性方程是质量守恒定律在渗流问题中的具体应用，即流体在渗 透介质中的流动过程中，其质量既不会增加也不会减少。在渗流场中，各点渗 透速度的大小、方向都可能不同。为了反映液体运动中的质量守恒关系，就需 要建立以微分方程形式表达的连续性方程，为了反映一般情况，需要把它放在 三维空间来研究。 h r ) a y a z _ a t 图2 - 5 渗流区域中的单元体 如图2 5 ，在血时间内，流入和流出平行六面体缸缈止的总质量差为： - i 型+ 型+ 型l 缸a y 血 ( 2 玉1 ) l 苏 砂瑟j 在平行六面体内，液体所占体积为n a x a y a z ( 行为土或岩石的孔隙率) ，因 而在血时间内平行六面体内液体的质量变化为： 杀 册血缈& 】出 ( 2 3 - 2 ) 在连续流条件下( 渗流区内充满液体) ，由质量守恒定律，得 一i 掣+ 掣+ 掣 蚴& a t = 暑f 肚酬心，剐f 苏 匆次f 。 a ” 。 。 式( 2 ，3 3 ) 即为渗流的连续性方程。它用数学的形式表达了渗流区内任何一 个“局部”所必须满足的质量守恒定律，所以又称为质量守恒方程。 如果把渗流水体假定为不可压缩的均质液体，其密度p = 常数，同时设流 入和流出平行六面体的液体总质量差为零，则有： 丝+ 堡+ 盟一p ：0( 2 3 4 ) 手膏 一 戮 式( 2 3 4 ) 即为稳定渗流情况的连续性方程，其中q 为内源。 2 4 渗流基本微分方程 根据达西定律，将式( 2 2 2 ) 代入式( 2 3 4 ) 中，得到稳定渗流场中水头在求 解域内必须满足的基本微分方程： 丢( k 豢+ 考+ k 警) + 导( k 警+ b 考+ k 警) + 一o l(k。000z0 x 鸭毁o yk 卦q = o l “ 4 。赴j 当渗透主方向与坐标轴方向一致时，式( 2 4 1 ) 简化为： 昙( k 尝 + 号( 考 + 丢k 署 + q = 。 ( 2 4 2 ) 2 5 渗流基本微分方程的定解条件 微分方程描写地下水的流动规律，但还要加上地下水的实际情况，才能用 来再现一个实际水流系统的基本状态，这些实际情况就是含水层的定解条件。 对于渗流问题，基本微分方程的定解条件包括含水层上的边界条件和初始条件。 2 5 1 边界条件 边界条件是指渗流场周围边界上水力要素( 水头、渗透速度等) 的状态。边 界是指渗流场与非渗流场的交界面；边界上的水力要素是指从开始一直到需要 计算的时刻为止边界上的全部状态。边界条件主要分为三类： ( 1 ) 第一类边界条件 如果所研究渗流区域边界r 上各点在每一时刻的水头是已知的，可表 示为： 矿( x ，y ，z ) = 4 ( x ，y ，z ) b 小n ( 2 5 1 ) 式中“，y ，z ) 一已知水头函数； r l 一已知水头边界段，x ，y ，z 位于边界r 1 上。 这种边界条件通常称为第一类边界条件，又称作定水头边界条件或荻克雷 ( d i r i e h l e ) 条件。可以作为第一类边界条件来处理的情况不少，例如当河流或湖 泊切割含水层，两者有直接水力联系时，此时，河流、湖泊的水位是已知的。 但某些河流、湖泊底部、两侧沉淀有一层粉砂、粘土，使得地下水和地表水的 水力联系受阻，这是就不能作为第一类边界条件来处理。 ( 2 ) 第二类边界条件 如果所研究渗流区域边界r ，上的水头值是未知的，而在计算时间内单位 面积上流入或流出的流量是已知的，则此类边界条件可表示为： k 罢= m ，粥) b 加r ： ( 2 5 翻 式中q ( x , y ，z ) 一已知流量函数； r 2 一具有给定流量的边界段，工，儿z 位于边界r 2 上； n l 的外法线方向。 式( 2 5 2 ) 所表示的边界条件，称为第二类边界条件，又称作定流量边界条 件或诺伊曼( n e u m a n n ) 条件。 最常见的这类边界就是不透水边界上，此时侧向不计量q = 0 ，在介质各向 同性的条件下式( 2 5 ，2 ) 就变为： 塑：0( 2 5 3 ) 咖 ( 3 ) 第三类边界条件 若某段边界l 上和o h d n 的线性组合是已知的，即 掣+ a h ： 觑 式中口，为边界的已知函数，这类边界条件称为第三类边界条件或混合边 界条件。研究区的边界上如果分布有相对较薄的一层弱透水层，边界的另一侧 是地表水或另一个含水层分布区时，可以看作是这类边界。 2 5 2 初始条件 初始条件是指初始时刻( 一般取这个时刻为零) 渗流区内整个渗流场的状 态，即给定限制条件： 矿( z ，y ，互，) = 风( x ，y ，z ，0 ) l ( 2 5 4 ) 式中矿o ，弘z ，f ) 一渗流场内时刻t 的水头分布函数； 风( 而y ，z ，f 0 ) 一已知水头函数。 初始条件说明渗流水体运动是从什么状态出发继续运动的，初始时间可以 任意选择。对于稳定渗流场，初始状态的影响已经不再起作用，所以进行稳定 渗流分析不需要初始条件。 2 6 渗流的能量泛函表达式 其值由一个或几个函数所确定者，即函数的函数，我们称之为泛函，一般 记作j 【y ( x ) 】， 咖( x ) 】：如万融 稳定渗流区域内的渗流能量泛函表达式可以表示为 啦】= 缈三暇( 罢 2 + b ( 考 2 + k ( 老) 2 ( 2 6 1 ) 砣罢考+ z k 考署+ z k 警鬈，一铆，妣纰一驴触( 2 6 - 2 ) 当渗透主方向与坐标轴方向一致时，稳定渗流场的渗流能量泛函表达式为： 啦，= 畦c k ( 势哆卜( 静硎撇一舻s 固 目前在渗流分析中应用最为广泛的有限单元法，就是基于渗流能量泛函表 达式的极值，即， 纠= m i n 同渗流微分方程的解等价而建立的。 2 7 研究潜水运动的基本微分方程 2 7 1d u p u i t 假设 潜水面通常不是水平的，如潜水含水层中存在流速的垂向分量。潜水面本 身是渗流区的边界，随时间而变化，它的位置在有关渗流问题解出来以前是未 知的。 对于潜水面上无垂直补给、排泄的剖面二维稳定流( 图2 - 6 a ) ，潜水面是流 面，d u p t s i t 于1 8 6 3 年根据潜水面的坡度对于大多数地下水而言是很小，大都在 1 1 0 0 0 上下，提出以下假设【6 】：对潜水面( 在垂直的二维平面髓平面内) 上任 意一点p ： j = - 塑：一粤：一s i n o( 2 7 1 ) d s d s 该点的渗透速度方向与潜水面相切，根据d a r e y 定律有 v 一：一k 塑= - k s i n o 。 出 由于坡角口很小，可以用喀曰：皇孕代替s i n o ：掣( 如图2 - 6 b 所示) 。这意味着 在同一铅直剖面上各点的水力坡度和渗流速度都是相等的，此时 匕：一定掣，日：日( x ) ( 2 7 2 ) 甜 相应的，通过宽度为b 的铅直平面的流量为 q ：k h b - d h ，h ：