（概率论与数理统计专业论文）随机波动模型及其在中国股票市场的应用.pdf

摘要 诤多金融射趣廖到都笑毒波裁鞋交戆特 菱。爨翦，针对波动瓣变性熬建模方 法主要袁两大炭：一类怒g a r c h 模甏技其扩展形式；另一类燕s v 模登及其扩 袋形式。 本文韵醴舱在予翔舅l g a r 镬鞠s v 模爨谁麓更好辘攒述金融资产收益净剜的 波动特征，为就，我们选择g a r c h 和s v 模艇中的两类不同形式：标凇形式和不对 称形式。我们先从理论方面比较它们的统计性质，然质运用g a r c h ( 1 ，1 ) 和s v 模 黧，e g a r c h ( 1 ，1 ) 和a s v 模激对上证综合指数、深圳成份指数和褡港恒生指数的 爨收益率进行拟合，并进行诊断梭验，以找出臆准确地接述我国股黎市场波动性 的模型。最终我们得到结论：在大多数情况下s v 模型对样本数据的拟合漂优予 g a r c h 模型，它躯更好地接述我髫般蘩市场斡分毒厚尾性窝平方收鼗彦裂的爨相 关性。 本文述比较t g a r c h ( 1 ，1 ) 和s v 模魁预测波动霉的魅力。我们馒用三个准则 袋谬价预铡的壤确憾。爽涯分辑绫栗表鞠，对于上涯综合攒数鞠深辗成徐指数， s v 模型骢瑗溅熊力要骧爨艄：g r c h ( 1 ，1 ) 模型；两辩謦港瞧囊指数寒来一天波动 的预测，懿糨模型蛇结巢并笼较大瓣麓雾。 关键试：鼹瓿波动 g a r c h m o n t ec a r l o 摄大议然话计 重要赫样 k a l m a n 滤波溪溺 s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d a la n di t sa p p l i c a t i o ni nc h i n e s es t o c km a r k e t s a b s t r a c t t i m ev a r y i n gv o l a t i l i t yi sac h a r a c t e r i s t i co fm a n yf i n a n c i a ls e r i e s n o wt w o p r o m i n e n tc l a s s e so fm o d e l sh a v eb e e nd e v e l o p e dw h i c hc a p t u r et h i sf e a t u r e ：o n ei st h e g a r c hm o d e li n c l u d i n go t h e re x t e n d e dm o d e l s ，t h eo t h e ro n ei st h es t o c h a s t i c v o l a t i l i t y ( s v ) m o d e li n c l u d i n go t h e re x t e n d e dm o d e l s t h ea i mo ft h i s p a p e ri s t oi d e n t i f yw h i c hm o d e l ，b e t w e e n ( a r c ha n ds v , p r o v i d et h eb e s tg o o d n e s so ff i ti no r d e rt od e s c r i b es t y l i z e df a c t so ff i n a n c i a lt i m e s e r i e sr e t u r n s ，o u rs t r a t e g yc o n s i s t si nc h o o s i n gt w od i f f e r e n tf o r m u l a t i o n sf o re a c h c l a s s ，i e ，t h es t a n d a r dm o d e l ，t h ea s y m m e t r i cm o d e l a f t e rc o m p a r i n gt h e s em o d e l so l l at h e o r e t i c a lg r o u n d , w ef i tt h e mt o d a i l yr e t u r n so fs h a n g h a ic o m p o s i t ei n d e x ， s h e n z h e ns u b - c o m p o n e n ti n d e xa n dh a n gs e n gi n d e x ，a n dc a r r yo u td i a g n o s t i ct e s t s 幻 i d e n t i f yt h em o d e lw h i c hp r o v i d et h eb e s ta d e q u a c yt os o m es p e c i f i cq u a l i t a t i v e f e a t u r e so fv o l a t i l i t yi nc h i n e s es t o c km a r k e t s ，s u c ha sh e a v y - t a i l s ，s q u a r e dr e t u r n s a u t o c o r r e l a t i o n s a tl a s t , w ef i n dt h a ti 娃m o s to fc a s e st h es vm o d e l sd o m i n a t et h e g a r c hm o d e l s t h ep a p e ra l s oe v a l u a t e st h ep e r f o r m a n c eo ft h eg a r c h ( 1 ，1 ) a n ds vm o d e lf o r p r e d i c t i n gv o l a t i f i t y t h e ed i f f e r e n tm e a s u r e sa r eu s e dt oe v a l u a t et h ef o r e c a s t i n g a c c u r a c y t h ee m p i r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tg a i n si nf o r e c a s t i n ga c c u r a c ya s s o c i a t e dw i t h s vm o d e lc o m p a r e dt oag a r c h ( 1 ，1 ) m o d e la r es u b s t a n t i a lf o rs h a n g h a ic o m p o s i t e i n d e xa n ds h e n z h e ns u b - c o m p o n e n ti n d e x 。h o w e v e r , t h ed i f f e r e n c e so ff o r e c a s t i n g a c c u r a c yf o rh a n gs e n gi n d e xa r ei n s i g n i f i c a n tb e t w e e nt h et w om o d e l s k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y , g a r c h ，m o n t ec a r l om a x i m u m l i k e l i h o o d ， i m p o r t a n c es a m p l i n g , k a l m a nf i l t e r , f o r e c a s t i n g 一、学位论文独锈睦声明 独创性声明及使丽授权的说婿 本人声明所呈交的学傲论文怒我个人在导师指导下进行的研究工作及浆得的研究戚 祭。尽我所鳃，除了文中特别加以檬明翻致谢的地方乡 ，论文中不包禽其媳入已缎发表竣 撰写过的研究成果，也不包宙为获得东南大学或其它教育机构的学位戏证书而使用过的材 精与簸一瓣工作懿游志辩零班究酝散豹任秘贾漱垮琶在论文牵彳# 了骥确静说骥并表示了 谢意 ：、美午学攮论文使焉授载豹说鞘 签名日期z 东涛大学、中国科学技术信卷研究靳、国家图书锚有权保留本人所送交学位论文的复 印件和瞧予文楼，可以采用影印、缎印或其他复制手段慑存论文本人电子文档的悫容秘 纸质论文的内容相一墩除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公希 ( 髓翻整) 论文豹全部或部分蠹客。论文豹公带( 包器秘登) 授权东蠢大学磷究生貔办理 签名t导师签名e t 期； 东南大学硕士学位论文 弓i言 收益与风险历来都是投资者与研究者所关波的问题，而时未来风险大小的度 量与预测则是每个投资者在投资决策前所必须考虑的基本因索。在现代金融理论 串，广泛缝鼓滚动柬代衰藏陵，荠掰蠹坟益载方蓑迸章亍溅嶷。谴统魏诗薰经济学 模型往拣假定样本的方差恒定不变，但随着金融理论的深入发展，这一假设已逐 渐呈现出其不合理的方藤。大量的肖关金融数搬( 包括债券市场的利率、股票市 场翡掺格茨及努、汇意场豹汇率等) 豹实证簿 究袭甓藤来表示不确定毪巍鼠羧戆方 差是随时间而变化的。m a n d e l b r o t b 对大量资料进行研究后指出：“一个描述金融 价格的随机变量可能舆有趋于无穷的方差”他观察到许多金融随机变量的分布具 有蓐遥熬特经，其方熬逮在不瑟交纯之孛。b e r a t 2 猿美元与茭镑翁每愿滋攀、美 国联邦政府三个月短期债券利率以及纽约股票交易所月综合指数的增长率进一步 验证了m a n d e l b r o t 的结论。由此可以看出，传统的计量经济举模型苯于熬襄厦志 差箜堡塞墨至鋈至撵浚鑫墼童鎏篓螫羲囊熊挚隧。于是谗多众融学家褰诗爨经济 学家开始尝试用不同的模型和方法来解决这一随蹶。目前，针对波动时交性的建模 方法主要柯两类，一类是自回归条件异方差( a r c h ) 模型及其扩展形式：另一类是 随枧波动( s v ) 模型及藏扩展形式。 a r c h 模型楚e n g l e ( 1 9 8 2 ) 磅究英国通货膨胀指数辩绳出的1 3 。1 9 8 6 年 b o l l e r s l e v 4 】在e n g l e 基础上提出了改进的a r c h 模型，即g a r c h 模型，该模型弥 补了在有限样本下a r c h 模型阶数过大所带来的计算效率与糖度上的不足。此后 又有一蛰经济学家对上述模型透毒予扩展帮改善，疆接了g a r c h - m 、i g a r c h 、 e g a r c h 等模型。如今g a r c h 模烈簇己成为度鼹金融市场波动性的主要正具之 一。g a r c h 类模型采用时变的条件方差来捕捉价格波动的时变性和序列相关性， 毽赉予g a r c h 类模黧褥条箨方差定义戈过去躐铡蓬戆平方颁秘蔻期条佟方差豹 确定性溺数，条件方麓的估计与过去观测值直接相关，因此当存在异常观测值时， 估计的波幼性序列不怒很稳定。另外，模型对于长期波动性的预测能力较藏。 隧掇波动v ) 撰黧矮旱是囊c l a r k 翻在接述谖券牧益帮交翳蘩茨袋合分密褥 征时提出的，后来由h a r v e y 、j a c q u i e r l 6 , 7 】等人引入计量经济游领域。s v 模测也有 多种扩展澎式，如厚尾s v 模型、长记忆s v 模型、多元因子s v 模型、连续时间s v 模 型等。s v 挨整缓定时交方差是一秘不可褒溅匏楚猊过程，毽藏葵售诗静波动经序 列比a r c h 模型更加稳定。此外，s v 模型比g a r c h 可更好地描述金融数据自身固有 2 东南大学硕士学位论文 的尖峰性。大量实 正研究【8 埘表n s v 模型比( a r c h 模型能更好她描述金融数据的 特注，特剐是对两个模型蘸预浏鹣均方误差戆魄较发现，s ￥摸麓毙g a r c 鲻登其 有更好的予厦测能力，尤其是对长期波动性的预测。 简明的特点和良好的性质使s v 模型与g a r c h 模型相比表现如很多优势，但在 金融资产波动豹建模审s ￥攘鍪运没露g a 粥蹒黧普及，其圭瑟原霾是s ￥壤麓静售 计非常困难。从计量缀济的角度着，s v 模型在实践上的困难税于不能直接得到模 型的似然函数解析式妁模型的无条件矩的解释形式，因此无i 去进行极大似然估计。 透年来，在s v 蒺型熬镰诗方瑟已经毅褥了援大熬遴爱。售 鼓零霹戬分惫湃大类： 第一类方法是基于传统的参数估计方法，用近似的方法或者模拟的方法构造模型 的似然函数和无条件嫩，前者包括拟屉大似然估计( q m l ) 、广义矩估计( g m m ) 等，器考瞧搀模羧最火纭然继谤( s m 秘、模援蹩继诗( s m m ) 等。第二类方法是基 于贝叶斯原理的参数嚣验分布分析，包括马尔可失链蒙特卡罗( m c 淝) 方法。在以 上估计方法中，q m l 期g m m 方法容易实施，但由于不是建立谯精确的似然函数基 础之上，疑有限样本特性较差；s m l 、m c m c 优- t - q m l 和g m m 方法，缒宅蠢】在 计算上橡为耗对，当参数较多对往往不可行。戮就，寻技一种简单有效的方法是 十分必要的。 近年来s v 模型已经成为国外金融经济学家与计量经济学者们的研究热点，s v 翡建模、循诗鞋及应愆都取褥了丰颈盼成采，翻肉对这一领域瓣研究滏处予起步 阶段。目前，有刘忠( 2 0 0 0 ) 在s v 模型下的期权定价研究；沈根祥( 2 0 0 3 ) 利用g m m 方法对上海股市波动s v 模型的实 芷研究等。本文的目的在于利用不同的s v 模型来 翔蕾中鏊毅票毒场静波动牲，共与传统豹g 矗麓鞋类模型进行对院分梃，筏密缝较好 地描述中阑股票市场波动性的工具，以期对中国股票市场风险的度量与预测以及 投资者在投资决策时有所帮助。 本文凝分霆令部分。孳l 言孛我钠麓单穷绥了辩交渡动搂麓在过去十茂零星豹 发展过程和取得韵主簧研究成果：第一章概括了众融波动的主要特征；在第二章 中我们从理论方面比较t g a r c h 类模型和s v 模型的统计性质，最后给出t m o n t e c a r l o 极大该然筵诗方法熬诿缨捶述；第三章鬟运蠲g a r c l 类模鍪l 饔s ￥模型对上涯 综合指数、深圳成份指数和香港恒搬指数的收益率进行拟合并预测波动率，通过 模型残差拟合程度和预测能力的综比较分析，可以得出结论：随机波动模魁比 g a r c h 类摸挺能更好遂攘述我国股鬃枣场静分毒群鼹瞧和平方收益窍残豹舀镶关 性，并能邂有效地预测上海和深圳股市收益的波渤率。 东南犬学硕士学位论文 第一章金融波动的主要特堑 波动性是金融市场最为重要的特性之一。方面它与市场的不确定性和风险 壹接相关，是体瑷金融枣场震量羁效率戆最筵洁秘最有效的撂撅之一；另一方莲 波动往对众业的投资与财务枉秆决策，淆费者的消费行为和模妓，经济周麓及相 关宏观经济变量等都具肖重要影响。此外波动性也是证券组合联论、资本资产定 价模型( c a p m ) 、套利定价模型( a p t ) 及期权定价公式的核心变量。因此，波动 佳戆话谤謦羹建模一壹蹩众融经滚学磷究戆持续熬煮。e n g l e 毒d p a t t o n 嘲等摇滋，一 个好的波动模型应具备良好的预测能力并能捕捉和复制所描述时间序列的诸多典 型特征。 大量酌实证硬凳n l 液鹾金融砖淘痔列具有以下差要特征： i 分稚浮尾经 金融收益的经验分布显著不同予正态分布，表现为尖峰态( 1 c p t o k u r t o s i s ) 和厚 尾( h e a v y - t a i l e d ) 特征。早在2 0 世纪6 0 年代初，这一点就已被观察列，比较典型的有 m a n d c l b r o t ( 1 9 6 3 ) 、f a m a ( 1 9 6 5 ) 等。魏钠发褒赛产浚薤毒峰态分蠢，楚予意浚益区 域和高亏损区域的概率大于正态分稚决定的概率。 2 波幼聚集性 金融资产收益序剃豹方差随时阉变证，收益舱波动呈现聚袋蛙( c l u s t e r i n g ) ，鼯 大豹波动瓣蕊跟着大静波动，小酌波渤后面跟着小鹣波动。事实上资产收藏缒波 动聚集性姆厚尾性是紧密相关的，餍者是一种静态描述。a r c h 模型刻画了劝态 的( 条件) 波动行为与( 无条件) 厚尾之闻的联系，s v 模型从本质上丽言也是为描述波 动聚集毪瓣建立熬。关予波动聚集效鹣舔嚣，一秘麓释是壶予巍鞠关懿售惑避程 产生的。如果信息集中剡达，那么收蔬就可能显永出聚集。b o l l e r s l e v 等把名义利 率、股票红利分配、货币供给、商业周期、石油价格等作为波动聚集的根源。另 一观点则认为如果市场交易主体偏好不同，舞且嚣瑟花费鞋重闻寐湾证信息狰穗胰 丽消除预麓差异，那么市场豹动态交纯趋向于波动聚集。 3 波动的持续性 大量的研究发现，资产价格的条件波动呈现出大范围的持续蚀。所谓波动的 持续挂是辫警蔫方差静囊纯将霹未来方差产生骜续往懿彰穗。波动持续毪瑗象类 似于时间序列的长记忆性，长记忆性反映了时间序列一阶矩的长期性质，波渤持 续性则反映了时间序列二阶矩的长期憔质。对于波动持续性一般有两种解释，一 是不周持续农平懿基本鞭塞到达过稷之阅的聚会遗成鳆；另一耱艇释则是波旗过 程中存在终构性交纯。波动持续性瑗象表弱当蒋的扰动对今屠豹波动性有一个积 聚的影响。从风险的角度看，持续性的存在增大了来来期权收赫的风险，反之， 4 东南大学硕士学位论文 如果不存在持续性，那么对长期投资卷来说，当兹的扰动裁可忽嚷不诗。显然， 对厌恶风险的投资者来说，波动持续性是一个必需要考虑的因素。由于传统的组 合投资理论不能瀵除这静持续 生，1 9 9 3 年b o l l e r s l e v 鞠e n g l e l 进撬蹬t 捺霹持续 ( c o m m o np e r s i s t e n c e ) 的思想。其目的是对予具有风险持续影响的金融过程，在 一定条件下谶过动态组合酌方式消除风险的持续影响。 4 。波动的不对称性 早在1 9 7 6 年和1 9 8 2 年b l a c k 与c h r i s t i e 就相继发现股票市场的波动存在不对称 性，嚣不同秘类豹镀怠对黢馀波动夔影嚷是不j i 幸豫懿，段票枣场下跌弓l 起靛渡魂要 比相同程度的市场上升引起的波幼要犬。目前对股市波动不对称憾的产生机制有 海秘熬释：稷杼效瘦p 3 l 器波动反馈效应# 4 1 。程释效盛着眼个黢毅益。舔漕惠( 负 冲击) 引起公闭股价下跌，公司的负债权益比( d e p t t o - e q u i t yr a t i o ) 上拜提黼了财务 往秆，豳诧会给公司的筹资带来曼商的成本，债权融资的条件会上升，贷款的利率会 随负债一权益比的上辩面上舞，股权融资的价格会随黢价雨搬应下降，由此公司经 营风险增大。如果财务杠杆过高，一旦现金流发生困难，甚至会面临破产的危险。 鼹此，公司财务桎抒上舞会馒股票持有人承担凳多鑫冬风险，波动经鞠应增加。考实 证研究显示，美国股市中负债一权益比与期望收凝呈正相关关系，负债一权擞比上升 带来更太戆风险，炎有较态豹期颦狡蓝投资者方愿意持有藏稃蔽蘩。滚动反馈效 成基予时变风险溢价理论。此解释有两个前提：其一波动是持续的，大的消息冲 甚亍 无论正负，不仅臻蕊当麓的波韵而且漕加将来的波动，这己被广泛的实证研究 所支持；其= 在期望收益和条件方差之阀存在漕跨期的正棚关关系，当期波动增 加会使波动预期上升，从而提高预期收藏。导数当期股票价格下降。实诋研究发 现了波渤与翳望收益憋关系是正的。在好溃息麴；申毒下，璎嬲载波动带来簿低獭 期股价的效应与好消息引起的股价上涨相抵消，从而使波动减少。襁坏消息的冲击 下，增燕戆波漤豢来降低当期黢徐豹羧旋与嚣溃急弓 逛豹黢徐下降耀叠热，傻波渤 增加。 5 信惠劐这 资产收益的测发与建模总是使用固定频率的抽样观测值( 如墨、周、月观测值) 。 一些学者，包括m a n d e k b r o t 尊t a y l o r 、c l a r k 明确提出应将资产收益与信息流的到达 联系在一起。髂患到达在聪阀上是不一致瓣，虽大多都怒不可囊接蕊察鲶，爨憩，跌概 念上可以将资产价格运动过程看作r = y ( 互) 过程的一个实现，其中z ，是所谓的 “导彝避程”，这耱纛熬饕躐蘧瓿逛程z ，霹被认凳与信怠爨迭裾美。这种霾霉瘸交形 与所附属随机过程的思想被m a n d e k b r o t 与t a y l o r 用来解释厚尾的收擞，被c l a r k 用来 解释渡渤。实藏串，可戳看密市场波动与下列因索密切相关：( 1 ) 交翁量；( 2 ) 报价的 到达；( 3 ) 一些可预测的事件，如红铡分派公告、宏观经济数据的披露等；( 4 ) 闭泰， 东南大学硕士学位论文 以及其他的与信息到达相联系的许多现象。 6 波动的传导性 实证发现不同金融市场的波动具有共同持续成分，存在波动传递和溢出现象。 对这一现象的描述，e n g l e 、i t o 及l i n ”l 通过将市场划分为四个主要的区域：日本 区、太平洋区、纽约区和欧洲区，证实波动存在传导性。类似地，j c o n g ( 1 9 9 9 ) 、b r o o k s 、 h e n r y ( 2 0 0 0 ) 分别对美国、英国、加拿大三国及美国、日本、澳大利亚三国的股市 进行了分析，也通过实证说明了波动的传导性。与e n g l c 、i t o 及l i n 的工作不同之处 是，后两者均考虑了波动的非对称性问题。利用多维a r c h m 模型，h a m a o 、m a s u l i s 与n g ( 1 9 9 0 ) 曾研究了国际股票市场间的波动溢出现象。c h a n 、c h a n 与k a r o l y i ( 1 9 9 0 ) 也使用了多维a r c h 模型，证实了期货市场的交易将会加剧现货市场的波动，同 时也说明现货市场对期货市场存在波动传导。 中国股票市场是新兴的股票市场，是市场经济和改革开放的产物，其发展只有 十年多的时间，存在着很多不完善之处，比如法制建设不健全，市场监管不力等： 同时实证工作的开展更是远远落后于股市的发展。这些都造成了中国股票市场不同 于西方发达国家的一个鲜明特征投机色彩非常浓厚。对我国股票市场的波动性 研究，特别是利用主流方法如g a r c h 模型和s v 模型的研究尚处于起步阶段，初 步研究显示我国股票市场的波动性具有与发达成熟股市类似的基本特征：例如沪深 股市收益率均值的时变性不显著，但方差具有显著的时变特性；沪深股市的波动性 存在不对称效应，正冲击对条件方差的影响要小于负冲击对条件方差的影响；沪深 股市的波动性具有很高的持续性，当证券收益率一旦受到冲击出现异常波动，则在 短期内很难得以消除，因而我国股票市场的波动性十分剧烈，总体风险很大。显然， 认识到我国股市波动性的这些特点，可以为投资者规避风险以及政府对股市实旋监 管提供决策依据。 6 东南大学硕士学位论文 第二章随机波动模型 2 。1g a r c h 模型与e g a r c h 模型 记扣，) 为0 均值处理后的资产收菔率序列，依据b o l l e r s l e v 关于g a r c h 模型 的定义，简单g a r c h ( p ，q ) 模型可以表涿为： y l5 玎 t 卯：缈+ 妻啦) ，三f + 圭岛畦， i - l j = l ( 2 1 1 ) 其中国，敛，绣是未知参数，t 眩刻的条l 牛方差一淹旗予t l 及其戳麓的信息麟徽鲍 一步预测，q 是服从标凇正态分布的独立同分布序列，即日一n m ( 0 ，1 ) 。为了保证 方差的非负和有限以及进程的平稳性，要求：。 o t 癍：o ，1 s l s 譬，续惫0 ， 1 f 蔓p ，意a 。+ 壹鸬 1 。 t - i j - i 本文研究中采用了泓r c 珏( 1 ，1 ) 模溅，它是经济计量建摸中成殿最广泛静模型， 其形式懿下： 二可：。 一n x d ( 0 , 0 ( 2 。1 2 ) 盯? = 国+ t l + 声o 1 - 1 2 怕刨 其中窃0 ，多o ，最冬曩裙互独立。 g a r c h ( 1 ，1 ) 过程具有以下性质： 1 y ，怒自噪声并量条件正态分布，即： 只f 誓一。一n ( o ，仃? ) ，鼍，= ( y 一，y 。) 7 由于e ( y 。) = q 且e ( 只l r 。，) = o ，所以 y 是一个鞅麓序列。 2 熬莱a + 多 1 ，刚， 为诲方蓑平稳过程。j 毙时了，静羌条俘方差为 拶；。南 3 - 如聚参数以满足条件3 盘2 + 2 妒+ 声2 i ( 2 。i 5 ) 从以上性质可以看出，g a r c h ( 1 ，1 ) 模型能较好地描述金融时间序列的摩愿性、 波动聚集性、和波动持续性。由性质3 可知，在参数口，满足定条件时，) ，。四 阶矩存在，峰度大子3 ，从恧过程毙菠态分毒更其浮尾；( 2 。1 。4 ) 式表臻t 时刻懿 条件方差魑过去观测值的平方项的魏权平均，这意昧着当前的离收益更容赫伴随 着高的回报率或亏损率，由此反映出资产收益率具商明显的波动聚集现象；蚀质5 则说明平方收益率序列 y ? 具有显馨的自相关性，蕊且从( 2 1 ：5 ) 式可以看蹬其自 褶关函数怒星缓慢的撩数囊减豹，获褥表骧金融波动具有秘显豹持续特征，持续 程度由系数和口+ 口的假决定。 但g a r c h ( 1 ，1 ) 模型墩存在一定的缺陷，主要表现在： 1 ) g a r c h ( 1 ，i ) 攘黧必了攥涯? 饕受，霰定( 2 + i 。2 ) 式孛掰有系数鹭大鼍：零。 这些约束隐含着) ，? 的任何滞后项增大都会增加砰，因而排除了盯? 的随机波动行 为，这使得在估计g a r c h ( 1 ，1 ) 模型时w 能出现震荡现象。 ( 2 ) g a r c h ( 1 ，i ) 模鬟不麓薅释毅桑菠蔻饔羧麓变德渡魂之瓣密嚣豹受摇荚现 象。g a r c h ( 1 ，1 ) 模型假定条件方差对i e 的价格变化和负的价格变化的反应是对称 东南大学预士学位论文 的，然而程经验研究中发现股票价格的下降比同样幅度的上升对随后的波幼商更 大戆影螭。霞然，g a r 潍( 1 ，1 模型炎法解释这种不j f 雩穆瑷象。 鉴于此，n e l s o n 1 叼提出指数g a r c h 模型一e g a r c h 模型。在e g a r c h 模型中，) ，的条 件方差变化为 l o g ( a ? ) ：国+ 杰辑 。 一瑙岛。 + 璃。 + 杰声，l o g ( j ) ( 2 。1 勘 * l m 1 参数，的不同取值殿映y i e 负冲诲对股价波动有不同的影响。如果y = 0 ，一 个正淬拳 国与一个程度稳等豹受j 串击所产生豹波动效聚是相同的。如果 一1 ， 0 ，那么正冲击对波动的增加将小于负冲谢。如果y 一1 ，那么芷的冲击 垮壤少波动，焉受净_ 鸯掩漤趣波动。 n e l s o n 在条件方麓方程中引入参数y ，使模獭能更准确地搦述股票市场的波 动情况。如果， 0 ，表明股市波动存在不对称性。此外，由予e g a r c h 模型的条 俘方差d ? 墩指数形式裁示，掰戳无论( 2 。1 6 ) 式中豹参数国，藏取侮数值，条件 方差仃? 总怒太干零的，j 袅使得参数估计更为简单并且使方差有照为灵活的一族动 态模型。 本文研究中采用了e g a r c h ( 1 ，1 ) 模型，模型形式如下： m = ，螺 ( 2 ，1 7 ) l o g 方= 搿+ a t 一，| 一捌，| 声。，；+ l o g ， ( 2 1 8 ) 其中。n i o ( o , 1 ) ，与q 相互独立。容易证明： 蛀，i - e i q 一。l + m 一。 是均值为零、 方差荧零数瓣绝对叁噪声，扶露 l o g 砖 是一个a r m a ( 1 ，1 ) 过麟，它在| 多| l 瑗积，螂= 蓐五“+ 娜蠢+ “， f 舞基示鲁辑y l n i 撇v s ( h v 廿e r 世o o m e t r i cf u n c t o n ) 。 2 2s v 模型岛不对称s v 模型 s v 模型怒t a y l o r 1 9 】在艉释金融收益序列波动的自回归行为时掇出的，它是连 续s ￥模型戆e u l e r 离教隧闯近似。设p ( 0 ，t = l ，2 ，t 为焚产俊掺夸燹，在一系 列市场条件下，连续s v 模型假定p ( f ) 满足下列随机微分方程： dlogp：(蜘t)=口crdlogo-黑f l l o 国g o ：( t ) d t 岷 像2 1 ) 2 ( f ) = 口+ 2 + 盯。扭2 0 ) + 其中岛( t ) 和嚣。( t ) 为标准布朗运动，盯2 ( r ) 是资产价格( 收益) 的波动，它服从对数 藏态o r n s t e i n u h l e n b e c k ：j 遣程。 为? 便于参数髅诗，对( 2 。2 1 ) 进行离数像，并取时阕阕疆矗。= l ，熬理爱褥 到如下形式的s v 模型 y 。= 蜗盯， ( 2 2 2 ) l o g 砰= 萨l o g 拶三i + 疗。仇 ， 获两只豹冤条彳孛分布缆压态分布更疑厚尾。 根据对数正态分布的性质可知y ? 的自协方差为 c b v ( y 凡y 三，) = 盯4 e x p ( c r ：) e x p ( 一。) 一1 f 1 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 衷毒支擎磺士学位论文 因此y ? 的自相关函数为 加) = 筹 l ( 2 2 9 ) t a y l o r ( 1 9 8 6 ) 证明当仃：很小或妒接近于1 时，y ? 的自相关函数近似等于i 的自相关 函数乘以一个比例因子，即 p 2 ( 力* j e c x p x p ( 哆o ：i ) j - 一1 l 7 f l ( 2 2 1 0 ) 从上式可以看出，在s v 模型中，y ? 的自相关函数有着与g a r c h ( 1 ，1 ) 模型中y ? 的自 相关函数相似的衰减行为，其中矿为持续性参数，它反映了当前的波动对未来波动 的影响程度。 s v 模型的一个重要性质是模型可以化为线性表示形式。将( 2 2 2 ) 式两边平方 再取对数，得到 l o g y z = l o g c r 2 + l 0 9 0 + l o g o , 2 = u + + 喜 其中 球= l o g c r 2 + e ( 1 0 9 0 ) 茧= l 0 9 6 , 2 一e ( 1 0 9 e ? ) ， 喜。i i d ( o ，仃；) 由于是标准正态分布的，那么l 0 9 0 就取z 2 分布的对数形式。根据a b r a m o v i t z 和s t e g u n 2 1 1 的有关结论，l o g 占, 2 的分布密度函数、期望和方差分别为 k ( z ) = 去e 印( 孚) e 0 0 9 e ) = 一1 2 7 ，吒2 = 石2 2 因此过程( 1 0 9 y 2 ) 可以看作是一个高斯过程加上一个独立同分布的非高斯噪声，它 的自相关函数可表示为 “班赤 刚 和g a r c h ( 1 ，1 ) 模型相比，s v 模型的优点主要体现在： 1 在s v 模型中，参数只要满足例 1 ，就可保证 y t ) 为协方差平稳过程并且 东南天学硕士学位论_ 兜 了，的四阶矩存在，蔼焱g a r c h ( 1 ，i ) 模型中，为了这副同样鲍蘩求，参数群，声必须 同对满避两个条臀：搿+ 1 和觚2 + 2 筇+ 2 i 。由此可藏，g a r c h 棱溅对系 数参数的约束太强，过度地限制了条件方差的动态性，从而降低了模型效举。 2 从题类模型鲍建模基础看，g a r c h ( 1 ，1 ) 模熬将条 孛方蓉定义为过程馕) ，二窝 前期方麓盯三j 的线性稿数，而s v 模黧捌假定条彳牛方差是一种不可观测的随机过程， 包含一个不同的、独立的误差结构。显然s v 模型的假定更趋于合理，也更黼有经 济含义，鞭援s v 模型魄g a r c h 模型更适用于对金融闻题的磷瓷。j a q u i e r ( 1 9 9 4 ) 对纽约交易所股票静不问投资组合分别进行g a r c h 和s v 模墅模攒，计算了收益平 方的自相关函数，结果最示s v 模型熙加接近实际数据。 3 爆罄g a r c h ( i ，1 ) 摸型霹 ；乏定程度避反羧会聚数据斡浮尾毪，毽瓤( 2 。l 。3 ) 式可以看出，y ，峰度的太小依赖于参数口，声的慎。当o e 趋于0 时，y 。的峰艘近似 等于正态分布的峰度3 ，而金融数据的峰度往往簧太很多，g a r c h 模型不能给以充 分邋揭示。然嚣在s v 模整孛，由于零l 入了误差邋疆强，霞毙戆够充分裂建避程提 供的全部倍息，从而产生很大的蜂鹰值。由( 2 2 8 ) 式可见，即使矿= o ，y 。的峰 度依然犬于正态分布的峰度3 。 s v 摸毽鬏定与壤互不稳关，熬在金融实跤审这一缓设不尽会瑾。蓉其它馁 设保持不变，令c o r r ( 譬, ，仇) = p ，这样就得到了不对称s v 模型( t h ea s y m m e t r i cs v m o d e l ，以下简称a s v 模型) ： ：2 量吼。 ( 2 卫l d 赶= 纸q + 叮。玩 叫 其中趣= t o g o ? ，( 象) ”( ( 习， 三：) 。值得波意的是，上遮s v 模型的统计性 质对a - s v 模型依然成立。 为了搦示a - s v 模趔与波动不对称效应之间的联系，令w t = ( 仇一p e t ) 撕一p 2 ， 受l ( 2 2 。1 1 ) w 改写为 y f2 盯f 囊= 妒以一1 + o r 目p e , + 盯口4 1 - ：2 w r 撮据二元菠态分布鲍馁葳可缶蟊玎( ，骥) = o ，羧诧魏国最= 吼p 。出_ | 篷霹尾熟 果p o ) 将傥以( 从而使一) 趋于减小，而负的冲击瞳 记s ：= 志善n ( q 一2 ，用万估计。，s ：估计盯。2 ，这样利用重要抽样技术 我霪臻t 缮蠲了l o g ( 谚豹一令近敲罴攘薅诗： l 。g 毛( 妒) = l o g l , ( 妒) + l o g 石+ 嘉 ( 2 点9 ) 为了滋一步提高嵇计效率，我 】逡埔两类对藕变量对国；避纾修正。霰定矗“是 运用d u r b i n 模拟平滑算法从重要密度譬( 叫y ) 抽取的一个随机样本，那么h 的对偶 变量是矗。瓣一个丞数，磐与矗8 其骞稷溺戆条转分囊。为了褥到第一类怼矮交爨， 令再m = 2 菇一 ( “，其中五= e 。( ) = ( 矗l ，霹) 为j l 的平滑估计，可运用k a l m a n 滤 波和平潺辣子求出( 缨繁冀2 3 。3 节) 。痰予| l ”受麸多元正态分农( 磊，v a r ( h l y ) ) ， 并且i ( ”一五= - 【 ( 。一翻，因此 与石是两个等概率的模拟样本，一般称筇( 为 h 的位鼗平衡向量。 对于第二类对偶炎爨，我们先骰建“是来自n ( o ，) 的一个样本，记c = w k ， 则c z 2 ( r ) 。令窖= e ( z 2 ( 丁) ) 抽取随机燮最 + ，用“+ 、矿和啊+ 分别取代( 2 3 3 ) 中的“、叩和啊，递归地解 蹬y + 和h + ，其中y + = ( y l + ，y r + ) ，h + = 钱+ ，+ ) 。 2 利用2 3 3 节中绘出的k a l m a n 滤波和平滑冀予计算h + = e ( h + b + ) 。 3 令 m = | l + + l 】i + ，则l i l ( 。就是来自重要密度g ( 叫y ) 的个随机样本。 下瑟我髓绘滋迁餮： 由近似高斯模型( 2 3 3 ) 可知 g ( h l y ) = j v ( h ，y ) 其孛 v = 唰h l y )