（应用数学专业论文）超平面中心构形的可约性及因子分解.pdf

摘要超平面中心构形的可约性及因子分解摘要超平面构形和拟阵这两门数学学科近几十年来受到国际上的广泛关注。本文主要利用拟阵论中的结论讨论构形的可约性及相关问题。随着空间维数的增大，超平面个数的增加，超平面构形的结构会变得非常复杂。为了了解构形的各种不同类型，分析它们的性质及其特征，希望通过把构形分解为一些基本的成份，简化对构形的研究。具体地讲，希望知道能否把中心构形分解为若干个不能再分解的子构形( 不可约构形) ，把对中心构形的研究归结为对它的不可约子构形的研究。因为一个中心非本质构形总能分解为一个空构形和一个中心本质构形的乘积，从而一定可约，所以本文着重讨论中心本质构形的可约性。超平面构形可以看成是简单拟阵的一个实现，本文利用拟阵讨论构形的可约性。具体地，本文将对每一个超平面构形爿，构造一个拟阵m 砷，证明中心本质构形彳不可约的充分必要条件是对应的拟阵朋是连通的。在拟阵理论中，已有连通拟阵关于连通分支的存在惟一性，这样由构形和拟阵的对应关系，可以直接利用拟阵论中的结论得到中心构形因子分解的存在惟一性。本文还通过一些具体实例描述构形因子分解的意义，讨论分解后得到的因子构形与原超平面构形的麦比乌斯函数、庞加莱多项式、超摘要可解性等一系列特征与性质的关系，得到了超可解构形的乘积构形也是超可解的。最后对维数较低情况下超平面个数不同的中心本质构形盼可约性进行了讨论。关键词：超平面构形，可约，拟阵，连通，趋可解构形l l摘要r e d u c i b i l i t ya n df a c t o r i z a t i o no fc e n t r a lh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n ta b s t r a c tp e o p l eh a v ep a i dc l o s ea _ t t e n t i o nt oh y p e r p l a n ea r r a r 毽e m e n t sa n dm a t r o i d si nm e s et l l i r t ) ry e a r si nt l l e 、o r l d i nt 1 1 i s 伽e s i s ，m a t m i dt 1 1 e o r yi su s e dt os n j d yt l l er e d u c i b i l i t y 孤do m e rr e l a t e dt o p i c so fc e n t r a lh y p e 印l a n ea r r a n g e m e n t s a 1 0 n gw i mt i l ei n c r e a s i n gd i m e n s i o no fm e 锄b i e ms p a c ea n dt 1 1 en 啪b e ro fh y p e 即l a l l e s ，t l l ea r r a n g e m e m sw i l lb e c o m em o r ea n dm o r ec o m p l i c a t e d i no r d e rt o 衄d e r s t a r l dv a r i o u s 猢g e m e n t s ，a i l a l y z et l l e i rp m p e r t i e sa n dc h a r a c t e r i s t i c s ，、v eh o p et od e c o m p o s et 1 1 e 粕加g e m e n t si n t os e v e r a lb a s i ca t o m s ，s ot b a tt l l e 蚰j d yc a nb ee a s ie r c o n c r e t e l y ，w eh o p et o虹o ww h e m e rac e 腑a lh y p 唧l a n e 猢g e m e n tc a nb ed e c o m p o s e di n t os e v e r a l i 仃e d u c i b l es u b a 玎a n g e m e n t so rn o t t h u s ，w ec a l lt r 趾s 向m es t u d vo f c o m p l i c a t e da 蚴1 9 e m e n t si n t ot l l e i ri r r e d u c i b l es u b a r r a i l g e m e n t s ac e n 妇ln o n 。e s s e n t i a la n 珊g e m e n tc 锄a l w a y sb ed e c o m p o s e di n t op m d u c to fa i le m p t ) ra m m g e m e ma n dac e n 砌e s s 训a la 玎a n g e m e n t i l l摘要h e n c e ，i ti sr e d u c i b l e s ow eo n l yf o c u so nm er e d u c i b i l 时o fc e n _ c m le s s e n t i a la r r a n g e m e n t s am a t r o i dm ( 一4 ) i sc o n s t n l c t e d 丘o mag i v e n猢g e m e n t 4 an e c e s s a r ya n ds u 街c i e n tc o n d i t i o na b o u tt l l er e d u c i b i l i t yo fc e n t r a le s s e m i a lh y p e m l a i l e 舢g e m e m si sg i v e n ac e n t r a le s s e n t i a la r r a j l g e m e n t一4i si r r e d u c i b l ei fa n do n l yi fm em a 缸d i dm ( 爿)i sc o n n e c t e d f u r 吐1 e m o r e ，i ti sp r o v e dt 1 1 a te a c hc e n 仃a lh y p e i p l a n ea r r a i l g e m e n tc a nb ed e c o m p o s e di n t ot 1 1 ep r o d u c to fs e v e r a li r r e d u c i b l ea r m n g e m e n t s a n dt l l i sd e c o m p o s i t i o ni s1 1 n i q u ei fd i s r e g a r d i n gt l l ef 酏t o r so r d e r t h r o u 曲s o m es p e c i f i ce x 锄p l e s ，w ed e s c 曲em es i g n i f i c a n c eo ff a c t o r i z a t i o no fa r r a n g e m e n t s ，a n dd i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nt l l es u b a r 啪g e m e n t sa 1 1 dt l l eo r i g i i la r r a n g e m e n t ，s u c ha st i l em 6 b i u sf u n c t i o n ，t h ep o i n c a r 6p o l y n o m i a l ，s u p e r s o l v a b l i 锁e t c w 色a l s op r o v em a ti ft l l ea m m g e m e n ti sap r o d u c to fs e v e m ls u p e r s o l v a b l es u b a 眦m g e m e n t s ，i ti sa l s os u p e r s o l v a b l e w ec l a s s 坶t l l er e d u c i b l ec e m a le s s e n t i a la 玎a n g e m e n t sw 汕a tm o s t6h y p e 叩l a l l e si na | 1 锄b i e ms p a c eo fd i m e n s i o na tm o s t4 k e yw o r d s ：h y p 叩l a i l ea 玎锄g e m e n t ，r e d u c i b i l i t y ，m a 呐i d ，c o r u l e c t e d n e s s ，s u p e r s o l v a b l ea r r a i l g e m e ml v符号说明符号说明超平面构形一的拟阵实数域或复数域实数域复数域k 上的向量空间向量空间的维数爿中的超平面一的定义多项式超平面构形爿的中心构形一4 中的所有超平面的非空交集合工( “) 中的元盖的余维数( 秩)有限集合e 的子集族独立集拟阵极小圈集合极小圈m ( 爿) 中的连通分支z 】，( 工v 】，)中所有包含z u y ( x n y ) 的元的交与，墨，已肛( 肖)石( 彳，)d三( 一4 ) 中所有元的一个排列构形的一元麦比乌斯函数构形的庞加莱多项式链v i i彳簧爹0啪x哪多乞一c批北京化工大学学位论文原创性声明y 8 8 1 9 2本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名：章兰垒军日期：拉厶：! 里关于论文使用授权的说明学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅：学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在卫年解密后适用本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。作者签名：导师签名：日期：纽墨：苎：王垒日期：2 也q 6151 墨第一章绪论1 1 相关背景第一章绪论1 1 1 超平面构形的研究历史和回顾超平面构形近几十年受到国际上的广泛关注作为一个独立的学科，超平面构形显得相当年轻1 9 4 3 年，w b o d b r i g e 在美国数学月刊上提出了切一刀后的干酪最多有多少块的问题这是个初等问题，可以用归纳猜想的方法解决，得到有趣的结果：n 点可以将一条直线至多分为1 + 行部分；”条直线可以将一个平面至多分为1 + + f11 部分；”个平面可以将一个空间至多分为1 + 聆+ f ：1 + f ：1 部l 2 jz l j 分l s c h l 矾i 进一步得到了n 个超平面分割小维干酪后所得最多块数的公厂。、，”、厂。、式：l + h + ki + ri + | ，1 为了使所分的块数最大，问题中的平面的必须处在l 2 l 3 jl m ，“一般位置”即任何两个平面有一条公共直线，且这些直线是不同的；任何三个平面有一个公共点，且这些点是不同的如果不要求平面处在“一般位置”，将使计数问题变得困难的多1 9 7 5 年，z 勰l a v s k v 在构形的研究中，引入了删除限制法，得到了计数问题的递归运算公式l a s v e r 驴a s 独立地得到相似的结果z 髂l a v s k y 在构形的元的非空交集上上，用反包含定义了偏序关系，用l 的麦比乌茨函数定义了的特征多项式和庞加莱多项式，证明了构形的三元组的庞加莱多项式的关系，得出了构形余集块数的漂亮结果：余集块数等于庞加莱多项式在1 处的值1 9 8 0 年，更多的工具被用于研究构形o r l i k 和s o l o m o n 用组合的方法研究了复构形的余集他们用b r i e s k o n 的结果计算任意复构形余集的庞加莱多项式发现：余集的庞加莱多项式等于构形的庞加莱多项式因此余集的b e 钍i 数仅依赖于超平面交的格关于超平面的详细介绍可参考这方面的标准文献【1 】( 2 1 1 1 2 拟阵的研究历史和回顾拟阵是近几十年蓬勃发展起来的离散数学的一个重要分支，它在组合数学和组合优化中起着重要的作用图论、横贯理论、组合设计和格论等方面的许多问题能够用拟阵理论统一起来并给出新的证明方法拟阵理论同线性代数和几何学有着密切的联系拟阵理论应用于组合优化之后得出了很多新的算法拟阵理论起源于2 0 世纪3 0 年代1 9 3 5 年，w l l i 恤e y 在“关于线性相关的抽象性质”一文中第一次提出了拟阵的概念，将拟阵作为向量线性相关关系的抽象推广，叙述了拟阵的公理系统他的文章成为关于拟阵的第一篇光辉著作，但他提出的问题当时并没有引起人们的重视1 9 4 2 年，r a d o 提出了有关拟阵的一些定理b i r l d l o 瓜m a c l a n e 和d i l w o f t l l 等人研究了拟阵的几何方面的问题以及拟阵与格论的关系等等直到6 0 年代t 吡e 发表了“关于拟阵的讲演”一文，才使拟阵理论第一章绪论得到了进一步的发展之后，r a d o 、f u l k e r s o n 、p e r f e c t 和e d m o n d s 等人也研究了拟阵理论，使拟阵理论有了迅速的发展特别是e d m o n d s 和m i r 时等人把图论的算法推广到拟阵，使拟阵在组合优化、整数规划、网络流及电网络理论中有了广泛的应用w e l s h 研究了拟阵的结构，拟阵与格论的关系以及拟阵的极值问题等，撰写了关于拟阵理论的专著这样，6 0 年代至7 0 年代，关于拟阵理论的发展达到了高潮目前关于拟阵方面的文章有所减少，主要研究定向拟阵、拟阵中的匹配理论以及拟阵的表示方法等拟阵理论主要是研究有限集的子集的抽象相关关系具有这种关系的例子可以在不同的数学分支中找到比如在线性代数中，有线性空间中向量组的部分组之间的线性相关关系：又如在图论中，由图的边集生成的有圈子图所确定的相关关系等等确定e 上的一个拟阵就是指出e 中所有相关的子集，等价地，也可以指出e 中全体不相关的子集不相关的子集也称为独立集一个拟阵可以有许多不同但是等价的定义方法本文采用的拟阵的独立集公理定义，是从线性代数和图论中得到的关于拟阵的独立集的抽象从独立集公理出发，可以进一步得到拟阵的一些其他等价公理关于它们的相互关系和例子，以及拟阵的一些表示方式，可以参考文献 3 】1 2 课题来源在f 维仿射空间中，一l 维仿射子空阃称为超平面，是几何空间中平面的推广有限个超平面构成的集合称为超平面构形这是较为简单的一类代数曲面，但具有非孤立的奇点，且有很好的代数、几何和拓扑性质因此这个课题的研究吸引了大批数学工作者的兴趣中心超平面构形可以看成是简单拟阵的一个实现，因此可以用也是近几十年来发展起来的拟阵的理论来研究构形同时，超平面构形的研究也为拟阵的研究提供了具体实例和背景如文献【1 ，2 所述，随着空间维数的增大，超平面个数的增加，超平面构形的结构会变得非常复杂为了了解构形的各种不同类型，分析它们的性质及其特征，希望通过把构形分解为一些基本的成份，简化对构形的研究具体地讲，希望知道能否把中心构形分解为若干个不能再分解的子构形( 不可约构形) ，把对中心构形的研究归结为对它的不可约予构形的研究这些维数较低的子构形的超平面个数较少，性质比较简单例如文献 4 】中，作者就是通过对子构形研究来得到原构形的半模格性质因为个中心非本质构形总能分解为一个空构形和一个中心本质构形的乘积，从而一定可约，所以本文着重讨论中心本质构形的可约性具体地，本文将对每一个超平面构形一，构造一个拟阵m ( 4 ) ，证明中心本质构形一4 不可约的充分必要条件是对应的拟阵m ( 4 ) 是连通的在拟阵论中，已有连通拟阵关于连通分支的存在惟一性，这样就可以把构形问题转化为拟阵中相应的问题，使用拟阵论中已有的结论得到中心构形因子分解的存在惟一性本文第一章简单介绍本课题的来源，前人的研究成果及本文的主要结果，并介绍要用到的超平面构形和拟阵这两门学科的相关知识；第二章证明对每个超平面中心构形一4 都能构造一个拟阵m ( 一) ，使得中心本质构形一4 可约当且仅当对应2第一章结论的拟阵m ( 爿) 不连通，进一步得到每一个超平面中心构形都可以分解成若干个不可约子构形的乘积，在不计因子次序意义下，这种分解是惟一的，另外通过对所给构形的等价类划分，计算了几个典型构形的可约情况；第三章通过一些具体实例描述构形因子分解的意义，讨论分解后得到的子构形与原超平面构形的麦比乌斯函数、庞加莱多项式、超可解性等一系列特征与性质的关系；第四章讨论维数f 4的情况下超平面个数不同的中心本质构形的可约性1 3 前人的研究成果在文献【2 】中，p _ o d i k 和l s o l o m o n 只给出了超平面构形可约的定义，对于如何判断一个超平面构形是否可约没有给出一个明确的判定定理可约性是构形的一个重要性质，对于可约构形分解因子后，它的因子构形的性质和特征是否跟原构形的性质和特征有关；如果有，又有怎样的关系等等，这些问题都值得进一步研究在构形可约性判定上，文献【5 】已给出了一个用极大线性无关组来判定一个中心构形是否可约的充要条件：设( 4 ，y ) 是一个中心本质构形，一= e ，以 ，r l i 一，n 是超平面q ，q 的法向量，若y l j - ，n 可分解为两个不相交的部分组a l 一，a 。和卢l 一，成一。，不妨设它们的极大线性无关组分别是a 1 ，一，a ，和届，展，若a 1 ，a ，届，卢，构成n ，n 的极大线性无关组，则( 4 ，矿) 可约这种判定方法相当简单，并且作者在计算机上用算法给予了实现但是这个结果只能判定一个构形是否可约，而不能说明可约构形因子分解存在并且惟一另外，文献 3 】提到了拟阵的等价分类，等价类的划分是通过拟阵的极小圈来定义的，这正好与超平面构形中的极小圈互相对应拟阵的等价类决定了拟阵的连通性，连通拟阵的连通分支是存在且惟一的，对应于超平面构形，可给出构形因子分解的存在惟一性按照这个想法，本文以拟阵为工具，给出判断构形可约性的一个充分必要条件，从而得到构形因子分解的存在惟一性1 4 本文的主要结果1 对超平面中心构形一4 构造拟阵m ( 4 ) ，证明了中心本质构形一4 可约当且仅当对应的拟阵m ( 一4 ) 不连通2 超平面中心构形的分解惟一性：每一个超平面中心构形都可以分解成若干个不可约构形的乘积，并在不计因子次序意义下，这种分解是惟一的3 若中心构形4 ，4 ，4 是超可解构形，那么它们的乘积构形第一章绪论一4 = 以4 4 也是超可解的1 5 预备知识1 5 1 超平面构形中的基本概念设y 是域聪( 实数域r 或复数域c ) 上的z 维仿射空间，y 中余维数为1 的仿射子空间称为y 中的一个超平面( h y p e f p l a n e ) ，记为日设一4 = q ，以 是y 中有限个超平面的集合，称爿是y 中的超平面构形( h y p e r p l 眦ea r f a n g e m e n t ) ，记为一= ( 一，y ) 当4 是空集时，称一4 是空构形，记为4 = o ，每一个超平面日对应一个，元一次式：q _ + 口2 屯+ + q 而+ 6 = o ，称q ( 一4 ) = 兀a 为构形一4 的定义h e 一多项式( d e f i n i gp o l y n o m i a l ) 约定烈g ，) = 1 对于每个超平面且一4 ，都存在非零向量口，e 1 ，称a ，是构形爿中超平面e 的法向量一般来说，a 。是不惟一的，可以相差一个非零常数因子若构形爿中所有超平面的交非空，则称4 是中心构形( c e m e r e d ) ，且称r = n 日为4 的中心；否则，构形一4 中所有超平面的交为空集，称一4 是非中心卉t j构形若4 是中心构形，r ( 爿) = o ，则称爿是本质构形( e s s e n t i a l ) ；否则称爿是非本质构形非中心构形与中心构形具有密切的联系，每一个非中心的超平面构形都可以通过锥化得到一个中心构形1 2 j 本文只讨论中心构形的可约性，以下出现的构形均指中心构形，并且约定矿为相应的向量空间，超平面为相应的线性子空间设彳是矿中的构形，4 = ，鼠) ，三( “) 为构形一4 中的元素的所有非空交集台，则三( 一) 5 e n n n & i q n e ：n n 以o ，l ” ，这里约定矿三( 一4 ) ，理解为i = o 个超平面的交对j 上( 一4 ) ，称x 的余维数，即，一d i m x 为x 的秩，记为，( z ) ，( x ) 是使得x = 骂，n q 2 n n e 。成立的最少超平面个数，显然，( 矿) = 0 ，( 圩) = 1 若卫= 日l n 日2 ，q 坞，则r ( 舅) = 2中心的秩称为构形的秩，记为，( r ( 一) ) = r ( 4 ) 由本质构形的定义，维空间的构形彳是本质构形当且仅当构形4 中含有，个线性无关的超平面等价地，一4 是本4第一章绪论质构形当且仅当r ( 4 ) = ，设日，h ，为p 个超平面，e 一4 ，称j = q ，日，) 为超平面p 元组若r ( n j ) p ，称s 是相关的；否则r ( n s ) = p ，称s 是无关的若 q ，日。) 是相关的，且对任意1 p ，超平面p 一1 元组f 日，白 ，日， 是无关的( 符号台t 表示去掉也) ，则称5 是极小相关的若p 元组s = ，h 。) 是极小相关的，则称s 是一个极小圈( c i r c u i t s ) 构形中的偏序( p a n i c a lo r d e r ) 关系：设一是矿中的构形，并，ye 三( 一4 ) ，定义x y x j y 设( 4 ，矿) 是一个构形，若尽量爿，则称( 侈，y ) 为( 彳，y ) 的一个子构形设爿= ( 一，矿) ，召= ( 居，矿) ，若存在双向保序双射丌：三( 彳) 斗工( 厅) ，则称“，口是格等价的( 1a _ t t i c ee q u i v a l e n t ) 或上等价的，此时称丌是这两个格之间的同构设( 4 ，巧) ，( 4 ，) 是两个构形，令矿= k o 吒，4 4 = o 呸i 4 u k o 也i 巩4 ) ，则称( 以以，矿) 为，k ) 与( 4 ，k ) 的乘积构形设墨( 4 ) ，五上( 4 ) ，在( 4 ) x 上( 4 ) 中的元之间定义如下偏序关系：( 墨，五) ( k ，墨) 互s k 且置e ，则映射硝：三( 以) 上( 4 ) 斗三( 4 x 4 ) ，厅( 五，墨) = 墨。五是双向保序双射，即格同构( 4 4 ) = 置。五阻( 以) ，f = 1 ，2 j ，( 五。五) = r ( 墨) + r ( 鼍) 设( 一4 ，矿) 是构形，若存在构形( 一4 ，k ) ，( 4 ，k ) 满足y = k o 蛭，d i m 巧1 ，f = 1 ，2 ，且爿= 4 4 = 日o i 以) u k o 上陋4 ，则称一4 可约( r e d u c i b l e ) ；否则称4 是不可约的超平面构形的理论在代数、组合、拓扑、分析( 超几何函数) 、物理上还有很广泛的应用，关于超平面的应用可参看文献 6 】【7 】【8 】1 5 2 拟阵中的基本概念拟阵是个有限集上的数学结构除特别指明，本文中所讨论的集合均为有限第一章绪论集当e 是1 个集合时，2 5 和吲分别表示e 中全体子集的集合族和e 的基数对集合x 和】，约定记z 一】，= x x ：x 仨n ：当y = p 时，用z p 来代替z 一 p x n y 和x u y 分别表示z 和r 的交与工和y 的并；当五，五以是两两不相交h的集合时，u 一称为一个不相交并拉l设e 是一个有限集合，z 2 5 是e 的子集族，若有序对( e ，z ) 满足以下公理：( 1 1 ) a 仨z ：( 1 2 ) 若，z 及，则j z ；( 1 3 ) 若，le z 且 ，一i ( 2 5 )( 2 6 )将( 2 6 ) 式代入( 2 4 ) 式得d i m n q ，一m ，与( 2 1 ) 式矛盾所以( 2 2 ) 式成立f = li z t( 3 ) 设s = h 。也) ，d i m n s = d i m ( n e ) ，则由( 2 5 ) 式，有r ( m )当且仅当等号成立时s 独立，即5 z 要证明( 1 3 ) 成立，即若，5 ：z ，且h m ，则j h s 2 一s l ，使得函u h ) z反设( 1 3 ) 不成立，则v 5 ：一 ，函u 日) 诺z ，即置u h ) 相关，于是有r ( n ( _ u 日 ) ) l 墨u h i ，( n ( u 日 ) ) 兰i | _ r ( n )归纳地，蚓= r ( n s z ) ，( n 墨) = 川，与题设b l l 是i 矛盾于是( e ，z ) 满足三条独立集公理，是一个拟阵这个拟阵是由中心构形4 决定的，可记为m ( 彳) ，集合z 中的元称为拟阵m ( 一4 ) 的独立集证毕口2 2 可约性若爿是中心非本质构形，则丁( 爿) o ) 引理中心非本质构形能分解为一个空构形和一个中心本质构形的乘积，因而可约证明设( 4 ，矿) 是中心非本质构形，丁= r ( 4 ) 0 是，矿) 的中心设彳= 日l 一，峨) ，a ，为哆的法向量，f = 1 h ，显然三( a a 。) 是矿的子空间第二章构形决定的拟阵v 卢r n 三( a 。a 。) ，由于丁是( 爿，矿) 的中心，卢属于构形中的每一个超平面另一方面，口，为珥的法向量，所以有( 卢，a ，) = o ，f = 1 疗，所以卢三( a 。) 1又由题设卢( a 。a 。) ，则卢三( 口l 口。) n 1 a 。) 1 = o ，从而得卢= o ，所以r n 工( a 1 - a 。) = ，( n 如) ，( ( n 垦) n h ) ，( n 易) + 1 ( 2 8 )由( 2 7 ) 和( 2 8 ) 得，( ( n 易) n e ) = ，( n 岛) + 1 这样证得( n 易) n e 是k 中的超平面同理可证( n 巨) n 是巧中的超平面令露，= ( n e ：) n h ，= ( ne 1 ) n 0 ，即有构形( 4 ，k ) ，( ，巧) 满足矿= k o ，且彳= 4 x 4 = 豆。k l 羁“) u k o 弓i 亏以 ，所以一4 可约证毕口由定理2 和定理3 ，给出中心本质构形可约的充要条件定理4 设，4 是中心本质构形，则彳是可约构形当且仅当肘) 不连通；等价地，一4 是不可约构形当且仅当m ( 一4 ) 是连通拟阵口这样，我们得到了判定构形可约的方法，要证明4 可约，由定理4 ，只需证对第二章构形决定韵拟阵应的拟阵m ( 一) 是不连通的，即m ( 爿) 中的连通分支至少有2 个拟降的连通分支是由掇小潮来定义豹，对擞到狗形，对转化为拽构形爿中豹辍，j 、圈若构形在极小圈定义的等价关系下分类，等价类至少有2 个，则一4 可约下面给出一个构形中超平面等价类划分的方法对给定构形，若有鼹个超平恧e ，玛丽属于个极小圈，爆矗q s ，则h 等侩彳h i ，记为h l h i ，约定h h ?即e 一营或皿2 q ；或了j ，s 为极小圈，肖绣文tes 定理s 是上的个等价关系证明自反性由定义，h e ，康接有结论对称性若有红巧，则王s ，s 为极小圈，使褥缉匹s ，一s ，从两只毯。传递性s = ( q ，致，吃) 作为构形的p 元组无关，当且仅当，( n s ) = p ；当麒仅当d i l i n s ) = ，一p ；当且仅当 目，日。 在拟阵中独立于是，榴形中的捆关缎对应于拟阵中的相关缀，构形中的极小圈对应予毅阵中的极小圈根据拟阵中的极小圈传递性【l “，可得的传递性，即若有h ，日巩，则h 肮在用极小圈定义的等价关系下，构形一4 中的超平面可以进行等价分类，簿一个等价类对应一个掇疼的连透分支由拟瘁的嗣构及连通攒阵的连通分支分解的存在惟一性，可得构形的因子分解也是存在并且惟一的2 3 可约构形因子分麓的存在惟一性2 3 1 存在性由前所述，若中心构形一是非本质的，则一4 可分解为一个空构形和一个中心本质构形的乘积当中心本质构形可约时，由维数的有限性，经过有限步，总可以分鼹为若干个不爵约构形豹乘积所以 壬纣一令中心构形都可以分解为有限个不可约子构形的乘积2 3 2 惟一性根据拟箨中豹相关逛理，由连通掇箨豹性璇f 1 7 】：若掰叫) 豹连透分支为m k ，m l 五，m 1 五p 1 ) ，则m ( 爿) 可分解为连通分支的直和，即材( _ ) = c 膨瞄) o ( 掰l 置) o 毋( 掰| 置) ，且在不计因子次序意义下，分解形式憔一可以证明，与此拟阵村( 彳) 对应的可约中心构形彳在不计因子次序意义下，分第二：二章构形决定的拟阵解形式也是惟一的，即有定理6 设爿是中心本质构形，若4 可约，则一4 = 4 4 40 1 ) ，以( 1 f c ) 为不可约子构形；若有不可约子构形届，缓，鼠使得4 = 目县鼠，则有n = c ，且存在 1 ，2 ，”) 上的置换d ，对任意i l ，2 ，n )，4 兰皖。2 4 例子下面应用定理5 中的等价类分类方式，判定构形的可约性例2 1q ( 爿) = 五如屯解：r ( 爿) = 0 ) ，r ( 一) = j = 5 ，构形4 是5 维中心本质构形，有5 个超平面设q = k e r 一，哎= k e r 屯，只= k e r 恐，也= k e 。_ ，只= k e r t 显然这5因此构形一4 中有5 个等价类： q ) ， ) ， 峨) ， 巩) ， 亿) 所以构形一4 可约，且能一般地，定义多项式为q ( 彳) = 五岛耳的超平面构形称为布尔构形( b 0 0 l e a i la 玎a n g e m e n t ) 【懈， 1 时，布尔构形总是可约的，可以分解为，个过原点的一维直例2 2q ( 一4 ) = ( 2 x + 5 y ) ( 3 x + 7 y ) ( 5 x + 1 2 j ，)解：丁) = 0 ) ，r ( 4 ) = z = 2 ，构形4 是2 维中心本质构形，有3 个超平面设q = k e “2 x + 5 y ) ，马= k e “3 x + 7 _ y ) ，也= k e “5 x + 1 2 y ) 下面判断这3 个超平面组 q ，哎，马) 的相关无关性这个超平面组对应的系数矩阵爿为( i 三 ，r c 锄= z ，是一个相关组，且去1 4第二章构形决定的拟阵掉其中的任意一个超平面则无关所以此三元组是极小相关的，从而 q ，也) 同曰= ( ；三使得彳曰= ( ； ，即构形一在所在空间矿中通过坐标变换”9 1 ，在新基下可表示为：f 咒= o从而定义多项式简化为q ( 爿) = m _ y ：( m + 儿) 显而易见，这3 个超平面同属于一个例2 3q ( 一4 ) = ( t + _ ) ( 2 五+ 屯+ x 3 3 _ )( 3 + 2 恐+ 而+ 2 h ) ( 2 + 屯+ 2 b 一矗)解：丁( 4 ) = o ，r ( 一4 ) = ，= 4 ，构形彳是4 维中心本质构形，有5 个超平面设q = k c r ( b + 2 矗) ，岛= k c r _ ，坞= k c “2 葺+ 屯+ 屯一3 _ ) ，爿i = k e 3 一+ 2 t + 而+ 2 _ ) ，皿= k e “2 t + 心+ 2 而一_ )先通过坐标变换化简构形一4 的定义多项式这5 个超平面组 q ，马，乜，以，皿 对应的系数矩阵一为在可逆矩阵b =一l91一1 4l一10l2132ooo0，使得爿b =空间矿中通过坐标变换，在新基下可表示为：1oo1o oo 011o 0o 0loo11oo o11o 0 o121133 2122121存这样构形彳在所在第二章构形决定的拟阵m = 0咒= 0儿= o儿= on + y 2 + y 3 = o得到简单的定义多项式q 叫) = 儿_ y ：y ，虬( m + y ：+ _ y ，) 而根据定理5 中等价类划分方法，很容易得到 日，日：，也，月；) 是一个极小圈，构成一个等价类，从而构形一有2 个等价类： 日。，吼，马，也 和 峨) ，因此构形爿可约例2 4 马构形q ( 一4 ) = 习盟( x y ) ( x + y ) ( x 一三) ( x + z ) ( y z ) ( y + ：)解：r ( 一4 ) = o ，r ( 一4 ) = ，= 3 ，构形彳是3 维中心本质构形，有9 个超平面设q = k e r x ，= k e r y ，马= k e r = ，凰= k e “z y ) ，皿= k e r 0 + 力珑= k e r 一= ) ，马= k 叫x + z ) ，= k e “y z ) ，风= k 呱_ y + z ) 下面判断这9个超平面的等价分类情况跟上两题类似，我们可以很容易的找到一个极小圈 q ，皿，峨) ，再来寻找包括这个极小圈中三个元的其他极小圈，分别有 q ，皿) ， q ，玛，也 ， 日1 ，玛，h ，) ， h ：，玛，4 ) ， 日：，坞，峨 这样，根据定理5 ，q ，h ：，风同属于一个等价类，因而构形4 中只有一个等价类，所以构形一4 不可约第三章可约构形因子分解的应用第三章可约构形因子分解的应用下面在可约中心构形因子分解的存在惟一性的基础上，讨论超平面构形与它的因子构形的关系若可约构形4 = “4 4 p 1 ) ，则原构形与子构形的定义多项式有如下关系：q ( 4 ) = q ( 4 ) q ( 4 ) - q ( 4 ) 可约构形一4 = 以4 4 ( c 1 ) 与因子构形的秩有如下关系：r ( 4 ) = r ( 4 ) + r ( 4 ) + + r ( 以) +下面进一步研究构形与因子构形的关系3 1 麦比乌斯函数( t h em 6 b i u sf u c t i o n )3 1 1 构形与其因子构形的麦比鸟斯函数之间的关系先简单介绍一些与构形有关的概念下面把三) 简记为三设z ，y 三，x y 表示中所有包含彳u y 的元的交称为x ，y 的交( m e e t ) ：z v y 表示上中所有包含x n y 的元的交，称为上，的并( j o i m ) 哈斯图( h 船s e 图) ：按秩递增的次序自下而上排列上) 中的元素，用连线表示偏序关系设置，昱，只为工( 彳) 中所有元的一个排列，如果满足对任意只，只( f ，) ，只要它们有偏序关系，必有鼻茎只，则称该排列为三( 一4 ) 的全序化排列三( 一4 ) 的元素构成有限偏序集，因而必可全序化【2 0 1 设x ，r e 三，若对于满足z 】，的所有z ，都有z v ( x ，) = ( z v 并) r ，则称( z ，j r ) 是三中的模对( j ，y ) 是模对与下面三条定理等价f 2 l 】：( 1 ) ，( x ) + r ( 】，) = r ( x v y ) + r ( 工 y ) ；( 2 ) 并 y = j + y ：( 3 ) x + y 上若v l ，e ，( ，y ) 都是模对，则称x 是模元显然，x 是模元v y 上，1 7第三章可约构形因子分解的应用爿+ y l 下面引出麦比乌斯函数的定义：设“是一个构形，( 4 ) = 定义麦比乌斯函数纵= p ：l x 己_ o ，1 ) 为满足( m 1 ) v l ( x ，x ) = 1 ；( m 2 ) w ，y ，z 三且j y 或x ，y 不可比较时，肛( x ，y ) = o的函数特别地，定义一元麦比乌斯函数为：v r ，_ “( 。r ) = 肛( 矿，r ) 对于给定的z ，卢( x ) 的值可以递归地算出不难得到p ( 矿) = l ，p ( h ) = 一1 ，这里日4 【2 甜可约构形的麦比乌斯函数与它的因子构形的麦比乌斯函数满足下面关系【2 3 】：设构形爿可约，( 一4 ，y ) = ，k ) ( 4 ，k ) 令_ “= 心，“= 纵，f = 1 ，2 ，设爿，r 上( 4 ) ，这里x = ( 墨，置) ，y = ( i ，艺) ，则_ “( x ，y ) = 。( 置，i ) 心( 置，e ) 归纳地，可得定理6 若可约构形4 = 4 4 4 和 1 ) ，则它与因子构形的麦比乌斯函数有如下关系：设，y 上( 爿) ，这里爿= ( 五，五，置) ，】，= ( 五，e ，e ) ，令p = 。，“= 纵，f _ 1 ，2 ，c ，则( 互，y ) = “( 置，x ) ：( k ，e ) 心( 墨，【) 3 1 2 例予例3 1q ( 彳) = 毛( 五+ 屯) ( 五一鼍)解：丁( 一4 ) = 0 ，( 爿) = ，= 3 ，构形爿是3 维中心本质构形，超平面的个数为4 先证明它是可约的由于一个或两个超平面一定是无关的，长为3 的相关组肯定是极小圈设q = k 盯 ，马= k e 。，只= k 呱葺+ 屯) ，风= k c “ 一墨) ，则q ，1 8第三章可约构形因子分解的应用2 和风构成一个仅有的极小圈，是一个等价类由定理5 中的等价分类，构形爿有两个等价类：巨= q ，h ：，皿) 和乞= 以) ，所以一4 可约则设墨= ( = o ，屯= 0 ) ，如= “= 而，坞= o ，五= 葺= 0 ，而= o ) ，以= 而= 一x ：，= 墨) ，置= o 工( 一4 ) = y ，q ，皿，乜，凰，置，五，五，托，也 ，丁( 4 ) = 五= o ) 由定理3 ，设k = n 易= 峨，4 = ( n 如) n q = 峨n e l e 乓，f _ l ，2 ，3 )心= n 巨= 置，4 = ( n 巨) n i e 最) = ( n 巨) n 峨) 令e = ( n 易) n e = 峨n 一，f _ 1 ，2 ，3 ，只= ( n 乓) n 日，则有及1 = h 4 n h i = x 3 ，西2 ：h 4 n h 2 = x 1 ，霸3 = h | n h 3 = x 4 ，嚣i = x s ，构形( 以，k ) ，( 4 ，砭) 满足矿= k 。k ，且爿= 以4 = e 。k i 豆“ u k 。只1 只4 )从而由一元麦比乌斯函数的定义，得肛( 矿) = h ( k ) = z ( 圪) = l ，肛( q ) = _ “( 4 ) = _ “( 皿) = ( 见) = 一1 ，_ “( 墨) = 2 ，( 五) = 肛( 置) = ( 五) = 1 ，( 置) = ( 丁( 4 ) ) = _ 2 ，“( 豆) = 地( 豆) = p 、( 豆) = “：( 厅。) = 一1下面分别做出工( 彳) 、( 4 ) 和三( 4 ) 的哈斯图3 1 ，图3 2 和图3 3 ( 括号中的数字表示一元麦比乌斯函数的值)三( 4 ) 中，三( 4 ) 中，置= 豆l n 霸2 n 羁= 互n 五n x 。= 墨，“( 牙。) = 2_ “2 ( 凰) = 一l1 9第三兰墨垫塑型塑王竺坚箜璧望一一一一一图3 1图3 _ 2强3 3由图可得：矿= k o 以，p ( 矿) = _ u i ( 巧) x 如( k ) 。l ；置= 置o k ，芦( 五) = 舟( j ，) 芦：( k ) = 2 l = 2 ；置= 凰。玩，l u ) = _ “l ( 思) p ：( 成) = ( 一1 ) ( 一1 ) = l ；五= 羁。羁，p ( 蜀) = 硒( 鼋) x 如( 羁) = ( _ 1 ) x ( _ 1 ) 。 ；蜀= 厦。羁，p ( 以) = “( 见) 。心( 鼠) = ( 一1 ) ( 一1 ) = 1 ；墨= 置彤羁，| 【f ( 墨) = 弛浅) 拖( 豆) = 2 ( - 1 ) = 与定理6 的绪论一致2 0第三章可约构形因子分解的应用例3 2q ( 一4 ) = x 2 ( 一屯) 而解：r ( 爿) = 0 ，( 一) = z = 4 ，构形爿是4 维中心本质构形，超平面的个数为5 设q = k e 。，= k e r 屯，乜= k 呱而一心) ，峨= k e r 而，地= k e r _ ，与上题类似可证，构形4 中等价类为 h ，也，也) ， 乩) 和 皿 ，从而可约设墨= “= o ，恐= o ) ，z ：= “= o ，墨= o ) ，墨= 而= 也，毛= o ) ，丘= = o ，恐= o ) ，五= = 恐，= o ) ，瓦= 砖= o ，= 0 ，骂= = o ，两= o )= x 2 = o ，k = 0 ) ，墨= = t = 一= o ) ，五o = 而= 而= = 0 ) ，置l = 葺= 屯，屯= = o ，墨2 = = 屯= = o ) ，一，= 一= x 2 = = o )置。= o ) ，则工( 一) = 矿，q ，也，风，也，z ，置，扎，置。) ，r ( 爿) = 五。= 0 )由定理3 ，设k = n 易= 五，4 = kn q l e 巨，f = 1 ，2 ，3 ；k = ne l = x以= ( n l 最，= 4 ，5 )令则有e2 k n q ，f = l ，2 ，3 ，q = k n q ，= 4 ，5 ，e = 瓦n q = ，豆= 正n 4 = ：，昆= 瓦n 皿= 五，霸= xk n h 4 = x 。r s = x l n h ，= x l 。构形( 以，巧) ，( 4 ，k ) 满足矿2 k 。吒，且4 2 4 4 = e 。吒l e 4 ，i - 1 ，2 ，3 ) u k 。e i 秀4 ，= 4 ，5 )由一元麦比乌斯函数的定义，得( 矿) 2 “( k ) = p ：( ) = 1 ，肛( q ) = _ ( h ：) = p ( 皿) = p ( 峨) = p ( 皿) = 一l ，p ( 置) = 2 ，p ( 五) = 卢( 置) = ( 五) = p ( 墨) = p ( 甄) = _ “( 五) = p ( 五) = l ，p ( 五) 2 p ( 五3