（理论物理专业论文）l1模与量子力学及杨巴克斯特方程之间的联系.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文 ( 包括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究钲学位论 文，并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将 公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检 索、文摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向 教育部指定单位提交公开的学位论文：( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和 中国学术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文 数据库，通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答 辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字：! 塑1 2 01 0 年 6 月3 日 开大学研究生学位论文作者信息 论文题目z l 模与量子力学及杨- 巴克斯特方程之间的联系 姓名牛凯 i 学号i 2 1 2 0 0 7 0 0 1 1 l 答辩日期i2 0 1 0 年5 月2 0 日 论文类别博士口学历硕士一硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院系所 陈省身数学研究所i 专业i 理论物理 联系电话1 3 9 2 0 4 1 0 3 31 l e m a i i i n k n i u k a i g m a i l c o l l l 通讯地址( 邮编) ：天津市南开大学陈省身数学研究所8 11 室 备注： 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 军i1 8 鳕肇擅杀磉孑昆捌秦￥拦雏单韶￥：( 蟛卿) 弭研h 甄 w o o i ! e 嫡 ! e ) i n ! u - 4 ul b 叫l ie e ol 耖o z 6 ei 些审乡靴 哥翰观配i 环每i蚓斯尥丢砾肾昆别抬当矧 阮巢万礤口千 衄华杀岛到口蛳辚辫掣口珂杀；环每丁避一t 、皿幽蒜，口t 斟 目o z 目s 匆o i o el 麟目挺嚣l 1 1 0 0 0 0 乙i z i 鲁赤l唏南男辅 显独朝刨z 乱肇翁蟛覃口。辫召龚华壬兽与斡。孑目睹百砚 冒鲁晕勘萃拱珥毒甭箪姓毒￥岳掣 目矽日9 由口，0 z 1 醒荭矿：右焉y 砰群磊罢劫 。型曷勘锋囤瞠翻雨距地甲劬盟￥一苦焉锋砰群串。犁群驰丁；c ：承娶刨y 中 。兽耳y 卓甲酱g 碍业科娶创业圉蹲磋一荤掣明茸张宰留狮乌猕士印茸砚珥柔阴万瞢：挺 嚣茸歌裂娶日冀智勤明搿华勤晤创睁匿杀杀￥甚阜霉吾茸砚珥杀明y 章：密鎏y 章 。硼q x o p m 1 0 0 5 ：1 9 i 0 乙l i z o z ：d 聃q ：宾豳勘肆国硌豆砸鬻列壬印茸醐 。茸观妊孑回苗鄱瞠萃群詈噩掷暂邵艳篱哇莓斟哲刨业早刮隆罨哿茸砚珥杀拦移非 。唑砰朝茸砚擎髯勒新砚并翠禺 ! ； y 章和刨。暂酣冒署缈取蟛鞑辆圈￥戡江释驰窜辨璩 茸识码毒珂群y 劲冀到士印嚣理茸观再杀朝囡娶犁群再鬻璁狲审砷( 霉耵) 眦麟半柔圉七b 瞠抬延抱冒署辑性国七b 掣弭杀砰瓣岩勘茸砚再杀( 们：茸锐再奈明搓妤莓鬻珥曲罩群勰曼磁 劁嘉￥妊单羊群￥阜螈旦醵群磷( e ) ：暂酗冒身甏嘭舞碡土、骠孵珂丐再砚w 询辫百举 觋咨目茸嵌语篱丁斟囤辫翠黧豳雨蛳掣辫希篱蝈瞬盎慰斗固翠憾疆￥勤茸砚珥毒明妊抒 徘相且辫嘉鲷目扭性哇杀璩椠( z ) 2 封辫磉茸弓茸歌珥柔千逊斟毒￥拦掣y 嘴冀茸 砚再杀雨延抱型 ! ； 靖士畔暂砚暂疆由黪、由缮甘卷相巫辫嘉( 列士印疆章f i e d j 留撕戥见) 茸识再柔莓群犁群髫彭厕霉勘滩再嘉( i ) ：d 日砰目静石刁拿纵杀鲫掣h l 娶犁群歌科j 甏 翠单啡杀￥妊阜。晕酶蕊葛明茸瞠咄髯劲茸砚珥杀雨延搬* 革杀￥妊纠蒯上弓罩y 半 。到士印翠群疆章雪殇茸砚再秦朝y 牢革瞢杂￥拄罐掣彰缸罢镑 雏再嘉千避、千辩明雄禧臻哗蟊舄出唑哇罄劲茸观珥秦甭延抱壬￥杀￥妊堕繇斟 肆碑群出哥萃歌斟杀毒￥妊掣 - 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：! 翌12 0 1 0 ：年6 月3 日 非公开学位论文标注说明 根据南鼻大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级 口限制( 2 年)口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限2 0 年月 日至2 0年月日 审批表编号 批准日期 2 0年月日 南开大学学位办公室盖章( 有效) 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密1 0 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长l o 年，可少于1 0 年) 中文摘要 中文摘要 在这篇文章里，我们试图找到白模与量子力学及杨- 巴克斯特方程之间的 关系。在量子力学中我们都熟悉如模，它可以使波函数归一化，但是我们对量1 模并不熟悉。考虑到z 1 模在信息理论中的重要应用，我们尝试通过自旋系统的 三维转动变换把它l 模引入到量子力学中。我们发现，对威格纳d 函数取量l 模 极值可以得到两种有重要物理对应的杨巴克斯特方程。一种与任意子与纠缠态 有关，另一种与费米子和波色子有关。该结果可能表明在粤l 模与量子力学，d 函数与杨巴克斯特方程之间有某种深刻的联系。 关键词：z l 模，量子力学，杨巴克斯特方程，d 函数 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w et r yt of i n dar e l a t i o nb e t w e e n 白- n o r l na n d q u a n t u mm e c h a n i c s ( q m ) a sw e l la sy a n g - b a x t e re q u a t i o nf y b e ) i nq u a n t u mm e c h a n i c sw ea r ef a m i l i a rw i t i l 如- n o r mw h i c hm a k e saw a v ef u n c t i o nn o r m a l i z e d ，b u tw ea r eu n f a m i l i a rw i t l l 兽l - n o r m c o n s i d e r i n gt h ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o n so f t h eg l - n o r mi ni n f o r m a t i o nt h e o r y ， w et r yt oi n t r o d u c et h eg l n o r mt oq m t h r o u g ht h et h r e e - d i m e n s i o n a lr o t a t i o nt r a n s f o r m a t i o no fs p i ns y s t e m i tt u r n so u tt h a tt h eb yt a k i n gt h ee x t r e m u mo f z l n o r r no f w i g n e r sd f u n c t i o n sw ec a nd e r i v et h et w ot y p e so f y b ew h i c hh a v ei m p o r t a n tp h y s i c a li n t e r p r e t a t i o n o n eo f t h e mi sc o n n e c t e dw i t ha n y o n sa n d e n t a n g l e ds t a t e s ，t h eo t h e r i sr e l a t e dt of e r m i o n sa n db o s o n s t h i sr e s u l ts h o w st h e r em a yb ea d e e pc o n n e c t i o n b e t w e e n 粤l - n o r ma n dq m ，d - f u n c t i o n sa sw e l la sy b e k e yw o r d s ：e l - n o r m ，q u a n t u mm e c h a n i c s ，y a n g - b a x t e re q u a t i o n ，d - f u n c t i o n c o n t e n t s 中文摘要 i a b s t r a c t c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 0 00g l c h a p t e r2 u s ez 1 - n o r mt oo b t a i nt h et w o 咖毒so f b i 蝴7 2 1o b t a i nt y p eib r m 9 2 2o b t a i nt y p ei ib r m 1 0 c h a p t e r 3m o t i v a t i o no f u s i n g 粤1 一n o r m 1 2 c h a p t e r4p h y s i c a lm o d e l s r e l a t e dt oy b e 1 3 4 1b c st h e o r y 1 3 4 2c o n f o r m a lf i e l dt h e o r y 1 1 5 c h a p t e r5e x a m p l e so f j = 1 a n dj = 3 2 1 6 5 1j = 1 1 6 5 2 j = 3 2 1 8 c h a p t e r6 c o n c l u s i o n 2 3 r e f e r e n c e s 2 z l 致谢 2 7 a p p e n d i xac a l c u l a t i o no ft e m p e r l e y l i e ba l g e b r a 2 8 a p p e n d i xb m a t r i xf o r mo f d - f u n c t i o n s 3 l b ii n t r o d u c t i o n 3 1 b 2 e x a m p l ej = 1 2 3 2 b 3 e x a m p l ej = 1 l 3 3 b 4 e x a m p l ej = 3 2 3 4 a p p e n d i xc e x t r e m u mp o i n t so ft h e 粤1 一n o r mo fd f u n c t i o n 35 c 1g e n e r a lr e s u l t s 3 5 c 20 = 万23 6 i i i c o n t e n t s c 2 1 s t e p1 3 6 c 2 2 s t e p2 3 7 c 2 3 s t e p3 3 8 c 2 4 s t e p4 3 9 c 30 = 一万2 4 0 c 3 1 s t e p1 4 0 c 3 2 s t e p2 4 0 c 3 3 s t e p3 4 1 c 3 4 s t e p4 4 2 c 40 = 7 r 4 3 c 5 0 = 一万4 3 c 60 = 0 4 4 r e s u m e 4 5 i v c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h ey a n g - b a x t e re q u a t i o nf c a e ) a tb e g i n n i n gw a si n t r o d u c e dt os o l v et h eo n e d i m e n s i o n a l6 - i n t e r a c t i o nm o d e l s 1 ，2 】a n dt h es t a t i s t i c a lm o d e l so nl a t t i c e s 【3 5 】t h e i m p o r t a n c eo f t h ey b e w a sf u r t h e rr e v e a l e da sa s t a r t i n gp o i n tf o rt h eq u a n t u mi n v e r s e s c a t t e r i n gm e t h o d 6 ，7 】y b ea l s op l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei ns o l v i n gt h ei n t e g r a b l e m o d e l si nq u a n t u mf i e l dt h e o r ya n de x a c t l ys o l v a b l em o d e l si ns t a t i s t i c a lm e c h a n i c s i n q u a n t u mf i e l dt h e o r y ，t h ey b e i su s e dt od e s c r i b et h es c a t t e r i n go fp a r t i c l e si n ( 1 + 1 ) d i m e n s i o n s t h eb a s i cc o n c e p to ft h ey b ei st of a c t o r i z et h et h r e e - b o d ys c a t t e r i n gi n t o t w o - b o d ys c a t t e r i n gp r o c e s s e s t h ey b e i sa l s ov e r yu s e f u li nc o m p l e t e l yi n t e g r a b l e s t a t i s t i c a lm o d e l s ，w h o s es o l u t i o n sc a nb ef o u n db ym e a n so ft h en e s t e db e t h ea n s a t z 8 】 i no r d e rt ok e e pt h ep a p e r s e l f - c o n d i n e d ，w ef i r s te x p l a i n t h eb a s i cc o n c e p t sr e l a t e d t oy b e t h ey a n g b a x t e rm a t r i xri an 2 n 2m a t r i xa c t i n go nt h et e n s o rp r o d u c t s p a c evoy ，w h e r en i st h ed i m e n s i o no fv s u c ham a t r i xr s a t i s f yt h ey b e ： 月1 2 ( “1 ) r 2 3 ( u 2 ) r 1 2 ( u 3 ) = r 2 3 ( u 3 ) r 1 2 ( u 2 ) r 2 3 ( u 1 ) ( 1 1 ) w h e r e r l 2 2 尺0 1 ，r 2 3 = 1 0 r ，u l ，u 2 ，u 3a r es p e c t r a l p a r a m e t e r s i ts h o u l d b e n o t e d t h a t i nt h ey b ea se q ( 1 1 ) t h es p e c t r a lp a r a m e t e r sa r ea l w a y sc o n s i d e r e da st h em o m e n t a a n dt h e ym u s ts a t i s f yt h ec o n s e r v a t i o nl a wo fm o m e n t u m ，i e ，u 2i st h ea d d i t i o no fu l a n du 3e i t h e ri nl o r e n t zf o r mo ri ng a l i l e of o r m w h e nt h ep a r a m e t e r si nt h ey b et a k e s o m es p e c i a lv a l u et h e nt h ee q ( 1 1 ) w i l lb er e d u c e dt ot h eb r a i dr e l a t i o n ： b 1 2 b 2 3 b 1 2 = b 2 3 b 1 2 b 2 3 ，( 1 2 ) w h e r eb 1 2 。b0 1 ，b 2 3 = 10 易a c t ss i m i l a rt ot h qm a t r i c e sr 1 2a n dr 2 3 ，b u tt h e r ei sn o p a r a m e t e r si nt h i se q u a t i o n i nf a c tt h eb r a i dr e l a t i o n ( 1 2 ) i st h ea s y m p t o t i cf o r mo f t h e y b e ( 1 1 ) i ti sa l s ow e l lk n o w nt h a ts u c ha nb r a i dr e l a t i o nc a l lb er e d u c e dt oan n d i m e n s i o n a lb r a i dr e l a t i o n a b a = b a b ， c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i fw ec h o o s es o m es p e c i a lt o p o l o g i c a lb a s i sa c c o r d i n gt ot h ek n o t st h e o r y ，w h i c hw e w i l ld i s c u s si nd e t a i ll a t e r t h i si st h eb a s i ck n o w l e d g er e g a r d i n gy b et h a tw o u l db eu s e di nt h ep a p e r f o r m o r ed e t a i li n t r o d u c t i o n sa b o u tt h ec o n c e p t so fy b e p l e a s er e f e rt o 9 】 i nt h er e c e n ty e a r st h e r ei san e wd e v e l o p m e n tt oc o n n e c tt h eb r a i dm a t r i x ，a s w e l la st h ey b e ，w i t ht h ee n t a n g l e ds t a t e s 10 - 12 ，9 w es t a r tt h ed i s c u s s i o nw i t h t h em a x i m a le n t a n g l e ds t a t e s ：t h eb e l ls t a t e s f o rat w o - q u b i ts y s t e m ，b e l ls t a t e sa r e d e f m e d b y ： 矿) = 砺1 ( i 竹) 士， 甲士) = 去( 眦) 士) t h eb e l ls t a t e sa r ec o n n e c t e dt ot h en a t u r a lb a s i sj q j 0 ) = ( i n ) ，f 个j ，) ，l ) ，l 儿) ) b ya u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o nm a t r i xw w h i c hs a t i s f y ( 中一，王，一，掣+ ，+ ) = ( 1 竹) ，i 中上) ，l ) ，i u ) ) ， ( 1 3 ) w = 壶1 00 1 6 c q ，= 去( 一至。善三手 = 去c + m ， c 4 ， 2 w h e r er e a lp a r a m e t e r9i st i m e d e p e n d e n tf l u x f u r t h e rm o r e ，b ( q ) c a l lb eg e n e r a l i z e d t o 索( 8 ，妒) - m a t r i xt h a tt r a n s f o r m st h en a t u r a lb a s i st oe n t a n g l e ds t a t e s ： v ( o ，妒) ) = 袁( 9 ，9 ) l 、y o ) ， ( 1 6 ) 震c9，_，=(一e羹二8一=毒。二三 ( 1 7 ) w h i c hs a t i s f yy b e t h el v ( o ，妒) i sw i t h0 - d e p e n d e n te n t a n g l i n gd e g r e ef o rt w o s p i n s y s t e m v g h e n0 = g 4 ，9 = 0t h e v ( o ，9 ) ) r e d u c e st ot h eb e l ls t a t e s w ec a no b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n g2 2d i m e n s i o n a lb r a i dr e l a t i o nm a t r i c e s0 3 r m ) t h r o u g ht h eg r a p ht e c h n i q u ea n dt h es oc a l l e dt e m p e r l e y l i e b ( t - l ) a l g e b r a 14 】： 爿，d = c ) ( 1 0 0 p ) ， ( 1 8 ) n ui ：砩 il + l e q ( 1 4 ) i sr e l a t e dt o4d i m e n s i o n a l ( 4 d ) r e p r e s e n t a t i o no f t - l a l g e b r aa n d t h e2x2 m a t r i c e sa r er e l a t e dt o2 - dr e p r e s e n t a t i o no ft la l g e b r a ，i nt h el a t t e rc a s ew en e e dt h e t o p o l o g i c a lb a s i s p ，) _ “：，u 。u 4 ， 功= 击( 渊一圳h ) ， ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) w h e r es = 士1 ，i e l ) a n di e 2 ) a r eo r t h o n o r m a l i z e db a s i s i n t r o d u c i n gt h eb r a i d i n go p e r - a t i o n saa n d 雪s u c ht h a t 3 、llll 日n e 西o o 塔 吣o o 啷 p n 印划盯u：几划钔 0 = = 尹 乃 鼻 姗 椰 f兰 i | 酢 研 砰 阢 c h a p t e r1 i n a o d u c t i o n a ： 雪： b r a i d i n gt h ep a r t i c l e s1a n d2 ， b r a i d i n gt h ep a r t i c l e s2a n d3 ， t h eb r a j d i n gc r o s s j j l 鼻a n d 雪c a nb ed e c 嘲p 。s e da s 袁= = a ”a 1 爿， ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) d = 一( a 2 + q 一2 ) ”1 3 ) t h e o p e r a t o ru oe m b e d d e di nt h eo p e r a t o r i np a r a l l e lt ot h ec a l c u l a t i o ni nr e f 【9 】，i t c a nb ec h e c k e dt h a tb ya c t i n gaa n dbo nf e l ) a n d | e 2 ) a n d u s i n gt - la l g e b r a ，w eo b t a i n w h e r e f o rd = 以 仰( 1 + 。f d0 1 ) , b = p ( 掣厂臀) ，4 ， 锄= e 胆mb i u = ( e i l b e j ) ( 歹= l ，2 ) ( 1 1 5 ) 2 1 = e - i # 4f ，1 0 0 i t 反：老( ： 、 ( 1 1 6 ) i ti se a s yt oc h e c kt h a ta i b i a i = b i a i b i e q ( 1 16 ) w a so b t a i n e di nr e e 【9 】f o r y = 5 2s t a t ei nf r a c t i o n a lq u a n t u mh a l le f f e c t0 c q h e ) 【15 t h et w om a t r i c e sa r a n d b id e s c r i b ea n y o nw i t ht h et w oc o m p o n e n t si nq u a n t u mc o m p u t a t i o nt h e o r y 1 6 1 8 】 m e a n w h i l e ，t h e r ea r ea n o t h e rt y p eo f 2 2b r a i dr e l a t i o nm a t r i c e sw h i c ha l s oh a v e i m p o r t a n tp h y s i c a li n t e r p r e t a t i o n t h e i re x p r e s s i o n sa r e 墨一= ( 1 1 ：) ，瓦，= 三( 与v - 5 1 ) ， c t t7 ， 4 uio削一n c h a p t e ri i n t r o d u c t i o n t h et w om a t r i c e sc a nb eo b t a i n e db ys e t t i n gd = 2i ne q ( 1 1 4 ) a i ia n d b i ia r ec o n - n e t t e dw i t hf e r m i o n sa n db o s o n s ，s i n c et h ed i a g o n a lm a t r i xa i ii sr e l a t e dt ot h ee x o c h a n g eb e t w e e np a r t i c l e1a n dp a r t i c l e2 ( i ti st h ep h y s i c a lm e a n i n g o f t h eo p e r a t o ra ) ， t h ee i g e n v a l u e sh a v e4 - s i g n a t u r e sm e a nb o s o no rf e r m i o n f o rm o r ed e t a i lc a l c u l a t i o n s a b o u to b t a i n i n ge q s ( 1 16 ) a n d ( 1 17 ) p l e a s er e f e rt oa p p e n d i xa t os h o wt h e4 - db r a i d i n gm a t r i xc o r r e s p o n d i n gt ob r a i dm a t r i c e s ( 1 17 ) w es t i l l u s et - la l g e b r a ：t os a t i s f ye q ( 1 8 ) i ta l l o w st w ot y p e so f 4 4m a t r i xu i fo n l ya t m o s t8 - v e r t e xm o d e li sc o n s i d e r e d o n ei so ft h ef o r m ( 1 4 ) w h i c hi sr e l a t e dt ob e l l f s t a t e sa n df i n eo t h e rh a st h ef o n n u=(曼，9要要至妒)。r(至丢，妒0：要)c，-8， t h e4 - d r e p r e s e n t a t i o no fug i v e st h ev a l u eo f d t h r o u g ht h ec a l c u l a t i o no f al o o p f o r e q ( 1 4 ) 一e f i n d d ：以，w h e r e a s f o r e q ( 1 1 8 ) w e f m d t h a t d = q + q 一1w h i c h g i v e s d = 2a sq = 1 f o rb o t ho f ( 1 4 ) a n d ( 1 18 ) t h e4 4b r a i d i n gm a t r i xi sg i v e nb y 9 】 w h e r e s = p ( 1 + ，u ) ， ，= 互1 ( 一d 土痧j ) ( 1 1 9 ) s u b s t i t u t i n ge q ( 1 18 ) i n t oe q ( 1 19 ) w eo b t a i nt h e4 - dr e p r e s e n t a t i o nc o r r e s p o n d i n gt oz q ( 1 1 7 ) ( w ec h o o s ep = q ，厂= - q 一1a n d l e tt 7 = e e 却) ： s = ( 至一主一。鼋，至) 留：。 2 ( 妻至三；j 2 p c 2 。， 5 6 c h a p t e r2u s ez 1 一n o r mt oo b t a i nt h et w o t y p e so fb r m i ns e c 1w eh a v es h o w nt h e r ea r et w o t y p e so fy b e a n dt h e i rc o r r e s p o n d i n g4 4 a n d2 2b r m i nt h i sc h a p t e rw es h a l ls h o wt h a tt h et w o t y p e so f2 2b r ma r e n o t h i n gb u tw i g n e r sd f u n c t i o n sw i t hj = 1 2 w h yt h e yh a v et w o t y p e si si u s td u et o ；d i f f e r e n tp a r a m e t e rv a l u e ss e l e c t i o n f u r t h e rw ew i l lp r o v et h a t1 1 - n o r mc a nh e l di l st o ! c h o o s et h ev a l u e st h a tc o n s i s t e n tw i t l l 廿1 eb r m i nq u a n t u mm e c h a n i c s ( q m ) aw a v ef u n c t i o nl t ) c a nb ed e c o m p o s e dt o i 壬，) ： dc fi 坼) w h e r ej ) i st m i b a s i sa n dt h en o r m a l i z a b i l i to fl 甲) r e a d s ( v l v ) = c ：f 1 2 1 i ( 2 1 ) w e c a l lf 。ii c i z = 蚓i 如a s9 2 - n o r mt h a ti n d i c a t e st h es q u a r e i n t e g r a b i l i t yo f w a v ef u n c t i o n m e a n w h i l et h en o t a t i o ne i c i i = f i c l l 厶i sc a l l e d 兽l - n o r m n o ww ec o n s i d e ra s i m p l et h r e ed i m e n s i o n a lr o t a t i o nt r a n s f o r m a t i o nf o rl 2 - s p 谊 s y s t e m a sm e n t i o n e de a r l i e r , e n t a n g l e ds t a t e sm a yb ec o n n e c t e dw i t hn a t u r a lb a s i s b yb r m ，s ow ec h o o s et h eo r i g i n a lb a s i sa sn a t u r a lb a s i s1 1 ) a n di 上) ，t h e na f t e rt h e t r a n s f o r m a t i o nt h eb a s i s | e 1 ) a n df e 2 ) w o u l dc h a n g et o ( i i e l ) ) = 。1 店c 8 ，妒，( ；2 ) = ( 。；c n o 呈s p ，9 一s c i n 。墨导e f 9 ) ( f j ；) d 1 2 ( o ，参) i s t h e m a t r i x f o r m o f w i g n e r s d f u n c t i o n 2 0 w i t h j = 1 2 t h e d c t i o n n ( o ，妒) m e a n sar o t a t i o no fa n g l e0a r o u n dt h ea x i smw h i c hi sd e t e r m i n e db y 妒( m ： ( 一s i nt p ，c o st p ，o ) ) h o wt oa c h i e v et h em a t r i xf o r mo f d l 2 ( 0 ，妒) w i l lb ed i s c u s s e di n d e t a i li na p p e n d i xb i f w et a k et h eg l n o r mo f t h ec o e f f i c i e n t so f t h eb a s i s e 1 ) a n dl e 2 ) s e p a r a t e l y ，w e 7 c h a p t e r2u s e1 - n o r n lt oo b t a i nt h et w ot y p e so f b r m 一万一三0 2 三 丌 2 f i g u r e2 1 t h eb l u ea n dr e dl i n e sa r er e p r e s e n t i n gl c o s a n d | s i n 导ls e p a r a t e l y ，a n dt h ed a s h e d o d ei n d i c a t e si c o s i + l s i l l 卦f r o mt h ep i c t u r ew e c a l le a s i l ys e et h ee x t r e m u mv a l u eo f f ( 0 ) a n d t h ec o r r e s p o n d i n g0 h a v e + 卜| + j s i n 兰已却l = l c 。s 罢j + l s i n 兰l ， t h et w ob a s i ss a t i s f yt h es a m er e l a t i o n i f0i sr e s t r i c ti nt h ef i e l d 【一万，刀1 ，t h e nc o s 兰i s a l w a y sp o s i t i v e a l s os i n 8 0i f 0 0 7 ；a n ds i n o 0i f 一，r 0 0 b yu s i n g t h o s er e s u l t sw ec a ne a s i l yc a l c u l a t et h em a x i m u ma n dm i n i m u mv a l u eo f f ( 0 ) a n dt h e c o r r e s p o n d i n g0 w h e n0 0 ，叫，f ( o ) = c o s 呈+ s i no ，f ( o ) t a k e sm a x i m u m v a l u e w h e n0 ：兀2 ，a n dt a k e sm i n i m u mv a l u ew h e n0 = 0 ，兀w h e n0 一万，o ) ，f (