（计算数学专业论文）基于双曲函数的hbézier和ferguson曲线.pdf

基于双曲函数的h b 6 z i e r 和f e r g u s o n 曲线 摘要 本文一共包含五章内容。 第一章简单的介绍了研究背景以及主要研究内容。 第二章在空间= s p a n 1 ，2 ，t n - 4 , s i n h t ，e o s h t , t s i n h t , t e o s h t 中提出一组名 为h b 6 z i e r 的基，讨论了该基的性质。并用该组基定义了h b 6 z i e r 曲线，同时 证明有许多实际应用价值的曲线( 如代数曲线和超越曲线) 可以用h b d z i e r 曲线 的形式精确表示。 第 三 章在第 二 章 的基础 上 在空 间 = s p a n 1 ，f ，f 2 ，r ”4 ，s h a h t ，e o s h t ，s i n h 2 t ，c o s h 2 t 中也提出一组名为h - b 6 z i e r 的 基，讨论了该基的性质。并用该组基定义了h b 6 z i e r 曲线，同时证明有许多实 际应用价值的曲线( 如代数曲线和超越曲线) ，可以用h b z i e r 曲线的形式精确 表示。 第四章介绍三次样条函数的定义，给出用型值点处的一阶导数、二阶导数 表示插值三次样条曲线的关系式，最后给出求解插值三次样条曲线的步骤。 第五章从双曲函数出发，构造了一类插值于首、末端点及其切矢的参数样 条曲线，称为h f e r g u s o n 曲线，并研究了合成h f e r g u s o n 曲线的算法。引入 了参数a 可调整整条曲线。h f e r g u s o n 曲线丰富了参数样条曲线，是一种可行 的算法。 关键词：b e z i e r 曲线：h b 6 z i e r 曲线；三次样条曲线；h - f e r g u s o n 曲线；代数 双曲函数：f e r g u s o n 曲线；插值 h b 6 z i e ra n df e r g u s o nc u r v e sb a s e do nh y p e r b o l af u n c t i o n a b s t r a e t t h i st h e s i si sc o m p o s e do ff i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ea u t h o rb r i e f l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n da n dt h em a i n c o n t e n to ft h i st h e s i s t h es e c o n dc h a p t e r ，ab a s i sc a l l e dh - b d z i e rb a s i s ，i sc o n s t r u c t e df o r t h e s p a c e t = s p a n 1 ，t ，t 2 , - - , f n - 4 ) s i n h t ，c o s h t ，t s i n h t ，t c o s h t p r o p e r t i e s o ft h i sb a s i sa r e a n a l y z e da n dh b d z i e rc u r v e sa r ed e f i n e db a s e do ni t t h e ni ti sd e m o n s t r a t e dt h a t m a n yv a l u a b l ec u r v e s ，s u c ha sa l g e b r a i cc u r v e sa n dt r a n s c e n d e n t a lc u r v e s ，c a nb e e x p r e s s e db yh b d z i e rc u r v e s b a s i so nt h es e c o n dc h a p t e r ，i nt h et h i r dc h a p t e rab a s i sc a l l e dh - b d z i e rb a s i s ，i s c o n s t r u c t e d f o rt h e s p a c e 瓦= s p a h1 ，t ，f 2 ，r “，s i n h t ，c o s h t ，s i n h 2 t ，c o s h 2 t p r o p e r t i e so ft h i sb a s i sa r ea n a l y z e da n dh b d z i e rc u r v e sa r ed e f i n e db a s e do ni t t h e ni ti sd e m o n s t r a t e dt h a tm a n yv a l u a b l ec u r v e s ，s u c ha sa l g e b r a i cc u r v e sa n d t r a n s c e n d e n t a lc u r v e s ，c a nb ee x p r e s s e db yh - b d z i e rc u r v e s t h ef o u r t hc h a p t e r ，t h ed e f i n i t i o no fc u b i cs p l i n ef u n c t i o ni si n t r o d u c e d b yf i r s t d e r i v a t i v eo fg i v e nd a t ap o i n t s 、 s e c o n dd e r i v a t i v eo fg i v e nd a t ap o i n t s ，t h e r e l a t i o n a le x p r e s s i o no fi n t e r p o l a t i o nc u b i cs p l i n ec u r v ei sg i v e n f i n a l l y , t h es t e p s o fs o l v i n gt h ei n t e r p o l a t i o nc u b i cs p l i n ec u r v ei sg i v e n t h ef i f t hc h a p t e r , ak i n do fp a r a m e t e rs p l i n ec u r v ei sc o n s t r u c t e db a s e do u a l g e b r aa n dh y p e r b o l af u n c t i o n ，w h i c hi sn a m e dh f e r g u s o nc u r v e t h e h f e r g u s o nc u r v ei n t e r p o l a t e ss t a r tp o i n ta n d e n dp o i n t ，a n da l s oi n t e r p o l a t e s t a n g e n tv e c t o r so fs t a r tp o i n ta n de n dp o i n t t h e nt h ea r i t h m e t i co fc o m p o s e d h f e r g u s o nc u r v ei ss t u d i e d h - f e r g u s o nc u r v ee n r i c h e st h et h e o r yo fp a r a m e t e r s p l i n ec u r v e s ，w h i c hi saf e a s i b l em e t h o do fc o n s t r u c t i n gi n t e r p o l a t i o nc u r v e k e yw o r d s ：b 6 z i e rc u r v e ；h b d z i e rc u r v e ； c u b i cs p l i n ec u r v e ：h f e r g u s o n c u r v e ； a l g e b r aa n dh y p e r b o l af u n c t i o n ； f e r g u s o nc u r v e ： i n t e r p o l a t i o n 插图清单 图2 - 1阼= 3 ，疗= 4 ，疗= 5 的h b 6 z i e r 基函数图像1 0 图2 2h b 6 z i e r 曲线族1 1 图2 - 3 精确表示双曲线1 1 图2 - 4 精确表示悬链线1 1 图3 - 1玎= 3 ，一= 4 ，行= 5 h b 6 z i e r 的基函数图像1 9 图3 - 2h - b 6 z i e r 曲线族2 0 图3 - 3 精确表示双曲线2 0 图3 - 4 精确表示双曲螺旋线2 0 图5 - 1h - f e r g u s o n 曲线3 3 独创性声明 本人声明所甲交的学付论文是本人在导师指导r 进行的研究i 作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特, f i l j j j o 以标志羊敛谢的地方外，论文中不包含其他人已经友表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得盒月b 王些厶堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同j 作的同忠对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 精论文作者繇糊氏签字目期岬年伊月吵日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒蟹羔些盘堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论柬的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权 盒坚王些友堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 黧嚣尹端务签字日期伽7 刊纠d 7 导师签名： 签字日期： 爱磊雄 日目 乙 ( 蜥懈 沙 致谢 三年的时间稍纵即逝，在合肥工业大学三年的研究生学习生活虽然短暂， 但是却会影响着我的一生。 首先，我要衷心地感谢我的导师尊敬的黄有度教授。在研究生学习期间， 无论在学习、思想，还是生活上，导师都给予了我耐心细致的教导和无微不至 的关怀。在论文的选题、研究及撰写过程中，导师都倾注了大量的心血。导师 诲人不倦的高尚师德、认真严谨的治学态度和谦虚的为人将一直激励着我，鞭 策我在今后的学习、工作和生活道路上不畏艰难、不断奋斗。在此论文完成之 际，谨向我的导师黄有度教授致以最诚挚的谢意! 同时感谢在我研究生学习期间给予我悉心关怀和热心帮助的所有老师、同 学和朋友! 我还要感谢我的父母，在他们的默默付出和全力支持，才使我能够顺利完 成学业，在此我由衷的感谢! 最后，要感谢审阅硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢 你们在百忙中给予批评指正! 作者：朱安风 2 0 0 7 年1 1 月 1 1 研究背景 第一章绪论 1 1 1 b 6 z i e r 、b 样条、n u r b s 模型与曲线曲面造型 c a d c a m 系统中最基本的问题是曲线曲面的设计和表示。b 6 z i e r 模型是 最基本的造型工具，设计者可以通过调整控制多边形来调整曲线形状，非常直 观和方便。而且d ec a s t e l j a u 算法对控制多边形递归割角几何意义明确，算法快 速，再加上其很好的凸包性和保形性使得它在曲线曲面的造型设计和表示中得 到广泛的应用。不过随着控制多边形顶点增加，相应的基函数( b e r n s t e i n 多项式) 次数增加；而且b 6 z i e r 模型没有局部可调性。b 样条模型可以弥补这一缺点， 而且保留了b 6 z i e r 模型其他优秀的几何性质，在形状设计上更加方便。不过由 于b 6 z i e r 曲线和b 样条曲线都是多项式形式的曲线，不能精确表示抛物线以外 的圆锥曲线；而圆弧段等在机械设计和加工等方面都是极其基本和常用的，为 此v e r s p r i l l e ，p i e g l 等人【1 。2 1 发展了有理形式的b 样条曲线。 现在n u r b s ( n o n u n i f o i mr a t i o n a lb s p l i n e ) 模型卜4 1 已经是c a d 系统中曲 线曲面表示的基础，而早在1 9 9 1 年就在工业产品数据交换的s t e p 标准中成为 了自由曲线曲面的唯一定义1 5 1 。它兼有b 样条的形状局部可调和其他优秀的几 何性质之外，还可以精确表示某些圆锥曲线段，基本满足当前工业上的需求。 但是n u r b s 模型仍然有一些不可避免的缺陷1 6 - ”1 ，譬如： ( 1 ) n u r b s 曲线曲面求导非常麻烦，次数太高。对n 阶n u r b s 曲线求导， 其导矢曲线的阶数几乎增加一倍，如果反复求导则其高阶导矢曲线的阶数快速 上升。而非有理的b 样条曲线的导矢曲线的阶数则会下降。 ( 2 ) 权因子几何意义不清晰，以致人机交互不方便。权因子给了设计者更大 的自由度，譬如在表示部分圆弧段的时候就需要对权因子进行调整，这就要求 设计者需要对n u r b s 模型要有很强的数学基础和了解，而权因子并没有明显 的几何意义，很难在交互设计中对权因子进行调整。 ( 3 ) 不能完全精确表示整段圆弧，摆线，螺旋线等曲线，n u r b s 基函数是有 理多项式形式，不能用它精确表示一些参数化的超越曲线( 非代数曲线) 。 于是，我们希望能够找到既保留这些多项式或有理多项式形式的曲线的优 秀的几何性质，而又能够克服上述缺点的新的曲线。 1 1 2b 基与形状设计 既然n u r b s 模型有其自身不能克服的缺点，那么我们需要找到其他合适 的模型来弥补；同时必须保留n u r b s 模型的优点，譬如保形性，端点插值， 凸包性，变差缩减性，保凸性等，这些性质是曲线曲面建模和形状设计所必需 的，构造这样的曲线的关键在于基函数的设计，就如b e r n s t e i n 基函数决定b 6 z i e r 曲线的各种性质一样。 c a n i c e r ，p e f i a 和m a i r m a 等 1 1 - 1 6 1 研究了在一般有限维函数向量空间中的基 函数，以及由此定义的曲线。设j r ， ( u o ( o ，u ，( f ) ，“。( r ) ) ( ，) 为函数空间 【，( ，) 的一组基，于是我们定义曲线p ( ，) = q ( ，) 只，( f j ，只r k ) 其中昂，丑，己称 为控制顶点。习惯上，我们称曲线p o ) 为空间u ( 1 ) 中的曲线。p e f i a 等人研究 了u ( j ) 中的曲线，找出了曲线具有适合形状设计的保形性，端点插值，凸包性， 变差缩减性等性质的本质，这是对b 6 z i e r ，b 样条，以及相应的有理模型的抽 象。如果函数u o ( t ) ，z f t ( f ) ，( r ) 是非负的，而且其和恒为l ( i e 规性n o r m a l i z e d ) ， 我们称( o ) ，u l ( t ) ，( f ) ) 为混合系统( b l e n d i n gs y s t e m ) 。由混合系统定义的曲 线恰好具有凸包性，取岛 0 ，则矩阵 m 【：i ：z ”j ：( _ “) ) 。嘶，。嘶， 称为( ( f ) ，u 。( f ) ，( f ) ) 的置换矩阵。如果( ( f ) ，( f ) ，( f ) ) 的所有置换矩阵是全 正的( 即矩阵的所有子式是非负的) ，则称( u o o ) ，“。( f ) ，( f ) ) 是全正( t o t a l l y p o s i t i v e tt p ) 的。若( “o ( r ) ，“l o ) ，“。o ) ) 是全正的混合系统t 则称它是标准全正 的( n o r m a l i z e dt o t a l l yp o s i t i v e ，n t p ) 。由标准全正基定义的曲线p ( f ) 保持了控 制多边形的许多性质，例如变差缩减性质，即是穿过平面控制多边形的直线与 p ( f ) 的相交次数不多于与控制多边形的相交次数。s c h m e l t z ”1 进一步指出满足 端点插值和变差缩减的混合系统必然是标准全正的。 一般而言，标准全正基在空间u ( - o 中并不唯一，更精细的，我们可以找出 空间u f f ) 中的一组标准全正基，使得由它定义的曲线p ( f ) 保形性更好，即要求 它比其他标准全正基定义的曲线与控制多边形逼近程度更高，为此，c a m i e e r 和p e f i a 找到了这样的基，称b 一基。设( ( ，) ，m ( f ) ，u 。( r ) ) 为空间u f f ) 的全正基， 并且当i ，时， m 斟“叫= 。 则称( ( f ) ，u ，( r ) ，“( f ) ) 为空间u ( i ) 的b 一基。我们用b - 基定义的曲线就具有更好 的保形性，适合用于c a d 系统中的曲线曲面设计。 1 1 3 c 曲线 前面说到b 6 z i e r ，b 样条，以及有理形式的模型，这些模型不能精确表示 超越曲线( 非代数曲线) ，譬如工业设计中非常重要的整段圆弧，螺旋线等。 s a n c h e z r e y e s 【i s l 提出了三角多项式形式的曲线，即是找到空间 l = s p a n s i n ( i t ) ，c o s ( f ) ) ：。中的b 基并由此定义曲线。虽然三角多项式形式的曲 线能够表示圆，但是却不能表示多项式形式的代数曲线，就连简单的直线表示 也不行。张纪文1 1 9 - 2 0 l 考虑了三角混合多项式形式的曲线，在空间 正= s p a n 1 ，t ，c o s t ，s i n t 中定义c - b 6 z i e r 曲线以及c - b 一样条曲线，他们分别具有类 似于多项式形式的b 6 z i e r 曲线和b 样条曲线的性质。而c b 6 z i e r 基恰好是空 间r ，的标准b 基。c b 6 z i e r 曲线具有端点插值，凸包，仿射不变和保形性质， 所以非常适合c a d 系统中曲线的表示和设计。这一类曲线在一个称为形状因 子的参数趋于0 时收敛到三次曲线，所以称为c 曲线。而且c 曲线解决了我们 上面提出的问题，既可以表示代数曲线，也可以表示圆弧等其他曲线。但是， c 曲线也不能精确表示三次曲线，只有在形状因子趋于0 时逼近三次曲线。为 此，我们可以把这类曲线拓广到更高次的情形。陈秦玉【2 1 1 等研究了空间 l = s p a n 1 t 一，r n - 2c o s t ，s i n t ) 中的c b 6 z i e r 曲线，同样它具有类似于b 6 z i e r 曲线 的性质，也适合用于c a d 系统中的曲线表示和形状设计。 1 2 本文研究工作及其意义 本文在瓦= s p a n 1 ，f ，r 2 ，t n - 4s i n h t ，e o s h t ，t s i n h t ，t e o s h t ) 上提取一组名为 h b 6 z i e r 基函数，在此基础上在瓦= s p a n 1 ，t ， 2 ，f , - 4 , s i r t h t ，e o s h t ，s i n h 2 t ，e o s h 2 t ) 同 样提取出h b 6 z i e r 基，它们恰好都是空间中的标准b 基。h b 6 z i e r 基函数具 有类似于b e r n s t e i n 基的性质，如端点插值，正性，正规性，归一性凸包性和 对称性等。而且我们还将看到这种构造基函数的方法具有一般性，我们也可以 在其他空间中比较容易的构造出具有类似性质的基函数。进一步，我们通过控 制多边形的方式定义h b 6 z i e r 曲线，它具有与b 6 z i e r 曲线类似的端点插值，凸 包性，几何不变性和仿射不变性等很好的几何性质。这些性质由标准b 基的性 质所决定，所以很适合用于c a d 系统中的曲线表示和形状设计。我们还将看 3 到h b 6 z i e r 曲线不仅可以像b 6 z i e r 曲线一样通过调节控制顶点来控制曲线形 状，而且还可以调节一个称为形状因子的参数来调整曲线对控制多边形的逼近 程度，实验表明，对相同的控制多边形，它能够比b 6 z i e r 曲线更好的保持曲线 形状，从而也就能够更方便，更准确的控制和调整曲线形状。因此，h b 6 z i e r 曲线可以在c a d c a m 系统中的曲线建模和表示中得到很好的应用。 本文的第二项工作是在空间巧= s p a n 1 ，t ，s i n h t ，e o s h t 中构造h f e r g u s o n 曲 线，它满足端点的插值性质和导数性质，丰富了样条参数曲线。 4 第二章二重混合双曲多项式b 6 z i e r 曲线 随着几何造型工业的发展，人们更多的应用到了超越曲线，为了利用控制 顶点这个有力的工具来表示超越曲线，以b e r n s t e i n 基为基础，人们进行了一系 列的研究，如张纪文研究了由空间五= s p a n 1 ，t ，s i n t ，c o s t ) 中提取出的c b 6 z i e r 基 咿川，m a i n a r 找出t 4 = s p a n 1 ，r ，c o s t ，s i n t ，c o s 2 t ，s i n 2 t ) ，丁敏，汪国昭将c 曲线继 续扩展，使其能表示任意阶的代数曲线，在 己= s p a n 1 ，t ，t 2 ，t n - 4 , s i n t ，c o s t ，s i n 2 t ，c o s 2 t ) 中提取出一组基1 2 2 1 ，能表示一些超越 曲线。 本文从乙= s p a n l ，t ，f 2 ，t n - 4s i n h t ，e o s h t ，t s i n h t ，t e o s h t 中提取出一组基， 以它为基底定义的曲线能够以控制点的形式精确表示任意阶代数曲线以及超越 曲线。 2 1 h b 6 z i e r 基的定义和性质 1 h - b 6 z i e r 初始基的构遣 在正= s p a n s i n h t ，c o s h t ，t s i n h t ，t e o s h t ，t 【0 ，口】，口( 0 ，) ，具有类似的端点 性质的一组基： u 归一；s 函i n h ( a 丽- t ) 五+ 笺裟 o)：生!坐l一百coshasinha-afsinhul，+ 塑坠f c o s h f 3_口2+sinh2a-二万忑五丁5+_口2+sinh20tc08h “23 ( f ) ：as i r n h a _ 下s i n h t + - s i n h a + a c o s h a 础1 1 1 r 一型坐竺一f c o s h r “2 j u ) = 二云丁；i 云j 萨i + 口一十s m n 一口s l n h 一- g 2 + s i n h 2 g c 0 3 h s j n h ff c o s h f 蚝- 3 【，) 2 一- s i n h a + a c o s h a + - s i n h o t + o t e o s h a 然而这组基不具有归一性，不然1 s p a n s i n h t ，e o s h t ，t s i n h t ，t c o s h t ，即1 可 以由s i n h t ，e o s h t ，t s i n h t ，t c o s h t 线性表示。这显然是不可能的。 2h b 6 z i e r 定义及性质 在= s p a n l ，t ，t 2 , - - - , ，n - 4 ，s i n h t ，c o s h t ，t s i n h t ，t c o s h t 中的h b 6 z i e r 基的定义如 下 m o ) 5j 4 - l ，- i i l ，一l o ) 一点一l “”一l ( s ) d s ，( ”4 ) 其中，耻【m 剧一0 ，1 ，2 ，mpt0 0 帕( d 凼= 任t j 三：l + 。 i ”，一“t 图( 2 - 1 ) 给出行为3 ，4 ，5 时的基函数图像。 在讨论h b 6 z i e r 基函数性质之前，现看下列引理： 引理1 设厂( f ) = a s i n h t + b c o s h t + c t s i n h t + d t e o s h t ，r 【0 ，口】，口( 0 ，o o ) ，则 厂( f ) 在【0 ，口】至多有三个不同的零点，其中a ，b ，c ，d 皆不为0 。 证明：用反证法 e 一p 一e ，一e i $ 1 n l l t = 一 e o s h t = ：，( ，) = 彳竿 竿+ 。丁e t - - e - t + d t e s + ：e - 。 = ；【( 一+ 曰) e + ( 口一一) p 叫+ ( c + 。) 胞+ ( 。一c ) 据叫】 令4 = t a + b 即等印t c + d 肛等 ：厂o ) = 4 e 。+ b t e 。+ c l 把+ d l 阳“ 假设厂( r ) 有四个不同的零点，设为 ，2 l ， 其中乱= 【p ，( r ) 出】- l ，4 ，蟛( r ) = o ，= 一l 或h + 1 0 ( 5 ) h - b 6 z i e r 基的正性 坼。( r ) 0 ，0 0 ，所以“，m ( f ) o ， l f n 。 综上所述， t f ，( f ) 0 ，l i sr ，f ( o ，口) 。 ( 6 ) 线性无关性 “。，( f ) ，。( f ) ，“2 , n ( r ) ，“，( f ) 线性无关 ( 7 ) 对称性u l ，o ) = u n 。( a - t ) ，t o ，口】，f = o ，1 ，2 ，n 2 2h - b 6 z i e r 曲线的定义及性质 l h b 6 z i e r 曲线的定义 设有疗+ 1 个点向量 p i ) 二婀3 ，则与其对应的曲线 p ( r ) = p l u 。月( f ) ， f 【o ，口】，口( o ，o o ) 称为厅次h - b z i e r 曲线， p o ，a ，p 2 ，见称为控制多边形，只o = 0 ，1 ，2 ，n ) 称 为控制顶点。 2h b 6 z i e r 曲线的性质 ( 1 ) 端点性 p ( 0 ) = p o ，p ( a ) = 见 ( 2 ) h b 6 z i e r 曲线的导曲线 ( ，) = q ，“。，一。o ) ，其中吼= 磊，一。( b + 。一只) ，i = 0 ，1 ，玎一1 证明： p 7 ( f ) = nb 以：主( 昆。，。札功一。( ，) 一巧川坼川( ，) 墉：芝4 ，。坼，。( t x 见+ 。一另) 令q = 点h ( p f + - p , ) 即得证。 可见，h - b e z i e r 曲线的一阶导曲线仍然是h b 6 z i e r 曲线，类似可以证明 h b 6 z i e r 曲线的任意阶导曲线也是h b 6 z i e r 曲线。 ( 3 ) 端点导数性 ，( o ) = 磊，- 1 ( 扁- p o ) ， p ) = 皖- i , n - i ( 以一p - ) t p o ) ( o ) = 只咄( o ) ， i - - 0 i p 耻( 口) = e “譬( a ) i = n - k 证明：由导数性质知， ( f ) = p “0 ( f ) = ( 磊山。“。川( ，) 一点川坼，。( ，) ) 只 - 0 1 = 0 取f = 0 ，( o ) = 磊川( p l 一岛) ，同理取t = 盯，得p 7 ) = 皖- l j l - i ( 见- p 一1 ) 。 p ”( o ) = 只“辔( o ) ，当f 七时，螂( o ) = o 1 0 所以p ( ”( o ) ：圭只“t ( , t n ( o ) ：f ：口时同理可得p ( 旬( 口) ：圭a 。害 ) 。 ( 4 ) 对称性曲线关于参数f 和幢一f ) 对称 证明：? “，。( ，) = i d n - t e n ( a - t ) ，令v = a t - t p ( v ) = n 一u i ，( v ) = 岛一n 枷( f ) = 日“。( f ) = ，( f o ui = 0 j - 0 即以岛，a ，p 2 ，a 为控制多边形的h - b 6 z i e r 曲线就是以风，a ，p 2 ，以为控制 多边形的h b 6 z i e r 曲线，只是方向相反。 ( 5 ) 凸包性 曲线位于控制顶点风，a ，见，p n 的凸包内，即位于包含这n + 1 个点的最小凸包集内，这是因为h b 6 z i e r 基具有非负性和权性。 ( 6 ) 几何不变性和仿射不变性 曲线仅依赖于顶点而与坐标的位置和方向无关，同时对控制多边形进行缩 放或剪切等仿射变换后所对应的新曲线就是相同仿射后的曲线。 2 3 实例 3 1 取控制顶点为p o = oo 】，a - 【11 1 ，p 2 = 【21 5 】，p 3 【31 】，p 4 = 【40 】， 分别取口= - 石4 - ，口：万，口：3 ，r 则得4 阶的h b 6 z i e r 曲线族得m ( 2 2 、。 当a 越大时，曲线越靠近控制多边形。 3 2 取口= 要控制点为p o = o 】，p j = 陋0 3 6 3 b ，见= 1 1 8 8 7 a0 7 7 9 5 b ， p 3 = 【1 6 7 2 2 a1 3 8 8 7 b 】，a = 2 5 0 9 2 a2 3 0 1 3 b 】， 得到4 阶的h b 6 z i e r 曲线为： y x ( ( t ，) ) = ：a 6 s c o i i l l l s h f t ( 其中旭 。口】，口，6 为常数) 精确表示双曲线，i 玟a = b = l 得 图( 2 - 3 ) 。 3 3 取口= 要控制点p o = 【o 口】，a = 【o 3 0 0 3 a 口】，p 2 = 【o 6 2 0 1 a1 1 1 6 3 a ， p 3 = 【o 9 5 0 7 a1 3 7 4 0 a 】，p 4 = 【1 2 7 0 5 a1 8 1 8 2 a 】，岛= 1 5 7 0 8 a2 5 0 9 2 a 】，得到5 阶的h b 6 z e r 曲线为： y x ( ( t f ) ) = ：a 口t c o s h f ( 其中f 【。口】，口为常数) ，精确表示悬链线y = 口c o s h ：x ，取 口= 1 得图为( 2 4 ) 。 9 f q 岍r n = 3 a 目基函觳田量 f i g u m2r 训函政圉量 f 帅，榭叠盟田量 图2 - 1”= 3 ，行= 4 ，”= 5 的h b 6 z i e r 基函数图像 l o 图2 - 2h b 6 z i e r 曲线族 图2 - 3精确表示双曲线 图2 - 4 精确表示悬链线 2 4 h b 4 ；z i e r 曲面的定义 设有+ 1 ) 0 + 1 ) 个点向量 b ) 墨- o 婀3 ，虬，( s ) ， ，( ，) 为h - b 6 z i e r 基，则与 其相应的张量积曲面 p ( s ，) = 1 0 , 产一( j ) _ 一( r ) ， s ，t e o ，口】，口( o ，o o ) t - - 0 j = o 称为 0 ，口】o 0 ，口 上的m x n 次h b 6 z i e r 曲面，肼，称为控制顶点。利用h b z i e r 基的性质，可证明h b 6 z i e r 曲面具有与b 6 z i e r 曲面极相似的几何性质。 第三章基于双曲和代数多项式的h b 6 z i e r 曲线 随着几何造型工业的发展，曲线的使用具有重要的地位和广泛的使用，在 b 6 z i e r 曲线的构造方面，首先利用的是b e r n s t e i n 基函数来构造，在此基础上， 有文献1 2 4 - 2 5 1 苏本跃，黄有度利用三角函数定义了t - b 6 z i e r 基函数，并定义了 t - b z i e r 曲线；有利用三角多项式来构造的，文献 1 9 - 2 0 1 中张纪文在空间 = s p a n 1 ，t ，s i n t ，c o s t ) 中提出一组基称为c b 6 z i e r 基函数，并定义c b 6 z i e r 曲线， 并在文献1 2 6 1 中苏本跃，盛敏定义了t c b 6 z i e r 基函数，文献 2 2 1 中丁敏，汪国 昭在空间r o = s p a n 1 ，t ，f 2 ，t - 4 , s i n t ，c o s t ，s i n 2 t ，c o s 2 t 中提取出名为h b 6 z i e r 基； 有基于双曲函数来构造的，文献 2 3 1 苏本跃，盛敏利用双曲函数构造了一组基函 数；也有用双曲多项式来构造的，文献 2 7 1 中王嫒，康宝生在空间 瓦= s p a n 1 ，f ，f 2 t n - 2s i n h t ，c o s h t 构造了一组h b 6 z i e r 基。 本章在五= s p a n s i n h t ，c o s h t ，s i n h 2 t ，c o s h 2 t l 上构造一组初始基，在此基础上， 在空间瓦= s p a n 1 ，t ，f 2 ，f ”4 ，s i r t h t ，c o s h t ，s i n h 2 t ，c o s h 2 t 中提取出一组基，以它为 基底定义的曲线能够以控制点的形式精确表示任意阶代数曲线以及超越曲线。 3 1h b 6 z i e r 基的定义和性质 1 h b 6 z i e r 初始基的构造 在互= s p a n s i n h t ，c o s h t ，s i n h 2 t ，c o s h 2 t l ，t e 0 ，口】，口( o ，) ，构造具有类似 的端点性质的一组初始基： ，( f ) ：一旦些竺f l + _ 二堂塾二尘 叫 2 s i n h 口一s i n h 2 a 2 s i n h 口s i n h 2 a ；( c o s h l z - - c , o s h 2 l一；( c o s h o r - c o s h 2 口) u u ( ) 2 i 五j i i 二：吾i i j i 一$ i n h ( a - t ) 一；。曲( 。一) + j 五i i ：= j i j i j 苫一3 i n h 2 ( 。一) + 3 c o s h 2 ( 。一) 2 4 j ；0 ( 2 ) 端点处的函数值 ，( 0 ) = 1 1 n ， ) = 1 ( 3 ) 端点处的导数值础( o ) = o ，= 0 , 1 ，2 ，i l 础位) = 0 ，= o ，1 ，2 ，k - i - i ；“譬( o ) 0 ( 4 ) 求导公式 螂( f ) = 点- l , n - 1 “i 1 ( t - 川i ) ( r ) 一最川啦= ；) ( r ) ，f = o ，1 ，2 ，3 ，疗k l 其中4 ，= 【p ，( f ) 疵】- l ，巧，蟛( r ) = o ，j = - 1 或h + 1 0 ( 5 ) h b 6 z i e r 基的正性m 。( f ) o ，0 o ，所以u 1 n ( f ) o ，1 墨f 。 综上所述， 嘶( f ) 0 ，l i ”，t e ( o ，口) 。 ( 6 ) 线性无关性 u o , a ( f ) ，h 。( f ) ，4 2 , n ( f ) ，“。( f ) 线性无关 ( 7 ) 对称性d t , n ( r ) = u n - l , n 一f ) ，t 【o ，口】，f = 0 ，l ，2 ，珂 3 2 h b 6 z i e r 曲线的定义及性质 1h b 6 z i e r 曲线的定义 设有打+ 1 个点向量 只) 孵，则与其对应的曲线 p o ) = 只m ，( f ) ， r 【o ，口】 j - - 0 称为疗次h b 6 z i e r 曲线， 岛，a ，p 2 ，n 称为控制多边形，p j ( i = o ，l ，2 ，n ) 称 为控制顶点，口称为形状参数。 2h b 6 z i e r 曲线的性质 ( 1 ) 端点性 p ( o ) = p o ，p ) = 见 n - i ( 2 ) h b 6 z i e r 曲线的导曲线 p ( r ) - - e q ，“。( f ) f - 0 其中q ，= 4 ( p j “一只) ，i = o ，1 ，n - 1 证明： p o ) = p j 叫，( f ) = ( 4 一。，一。坼一。，一，( f ) 一4 ，一。( f ) ) p t - os - o n - - l = 4 ，- 1 q 川u ) ( 只+ l - 只) ，- 0 令q s = 4 “( n + l - p j ) 即得证。 可见，h b 6 z i e r 曲线的一阶导曲线仍然是h b 6 z i e r 曲线，类似可以证明 h b 6 z i e r 曲线的任意阶导曲线也是h b d z i e r 曲线。 ( 3 ) 端点导数性 p ( o ) = 磊，- 1 ( p 1 - - p o ) ，p ) = 磊山一。( n p ) i ( o ) = 只“：| ：) ( o ) ， ，= o k p ” ) = b 螂( 口) f - n k n 证明：由导数性质知， p ( r ) = 只“0 ( f ) = ( 4 山一。“。川( f ) 一4 川川( f ) ) p ，- 0t = 0 取t = 0 ，p ( 0 ) = 磊川( a 一岛) ，同理取t = 口，得p ) = 皖- l , n - i ( 岛- p 一。) p ”( o ) = b “器( o ) ，当i _ j 时， 甜枷( k ) u ，一- - o 。 i = 0 t k 所以p 。( o ) = 只“嚣( o ) ：t = 仃时同理可得，”位) = 只蟛 ) 。 ，= o l z n t ( 4 ) 对称性曲线关于参数f 和( a - t ) 对称 证明：u l , n ( f ) = i i n - t ) ，令v = c t - t 1 6 ? p ( v ) = 以。q ，( v ) = 见u n ，( ，) = p ，“，o ) = p ( r ) t = of - 0 j = 0 即以，a ，p 2 ，以为控制多边形的h - b 6 z i e r 曲线就是以风，岛，见，见为控 制多边形的h b 6 z i e r 曲线，只是方向相反。 ( 5 ) 凸包性 曲线位于控制顶点岛，b ，p 2 ，n 的凸包内，即位于包含这”+ 1 个点的最小凸包集内，这是因为h b 6 z i e r 基具有非负性和权性。 ( 6 ) 几何不变性和仿射不变性 曲线仅依赖于顶点而与坐标的位置和方向无关，同时对控制多边形进行缩 放或剪切等仿射交换后所对应的新曲线就是相同仿射后的曲线。 3 3 实例 3 1 取控制顶点为p o = 00 】，局= 1l 】，见= 21 5 1 ，p 3 = 【3l 】，n = 【4o 】， 分别取口= 妥，口= 石，口= 3 t t 则得4 阶的h - b 6 z i e r 曲线族得图( 3 - 1 ) 。 当“越大时，曲线越靠近控制多边形。 3 2 取口= 兰控制点为p o = 陋o 】，p l =