（应用数学专业论文）两类多元小波的构造及其光滑性分析.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 小波分析理论是近年来迅速发展起来的新兴学科，它是蕴含丰富数学理论知识和巨 大应用前景的有用工具，已经广泛应用于信号处理，图像分析，模式识别，生物医学图 像，雷达，分形，理论数学等领域众所周知，较小的支撑，高阶消失矩，理想的光滑性 是正交或双正交小波中的三个重要的因素基于两种伸缩矩阵的多元小波的构造及其 光滑性的分析是本文的主要研究内容，创新结果主要有： 第一，主要研究了基于伸缩矩阵? ：i 的二元正交和双正交小波的构造及其光滑性 l 1 ”j 由于尺度函数与小波都来自与其掩膜，因此，我们主要构造了满足一定消失矩的掩膜并 且给出了例子说明构造方法的应用 第二，主要研究了基于c h e c k e r b o a r d 格点的双正交小波的构造及其光滑性，并且构 造了三元双正交小波由于c h e c k e r b o a r d 格点在二维时即是五点格点，我们的结果将五 点小波推广到了高维 第三，本文也证明了通过我们构造的基于伸缩矩阵f ? ：i 的双正交小波可以得到不 l 1 ”j 同伸缩矩阵的小波，如基于五点伸缩矩阵t = f ：1 ，的小波类似的结论对于基于 l 1 j c h e c k e r b o a r d 格点的双正交小波也成立 关键词：多元小波；掩膜；岛光滑性；消失矩；c b c 算法 第1 页 垦堕登兰垫垄奎兰堡窒生堕兰垡鲨奎 w a v e l e tt h e o r yi san e wa n a l y s i st h e o r yd e v e l o p e dr a p i d l yi nl a s tt w od e c a d e s i ti sa v e r s a t i l et o o lw i t hv e r yr i c hm a t h e m a t i c a lc o n t e n t sa n dg r e a ta p p l i c a t i o n s i th a sb e e n e m p l o y e di nm a n yf i e l d sa n da p p l i c a t i o n s ，s u c ha ss i g n a lp r o c e s s i n g ，i m a g ea n a l y s i s ，p a t t e r n r e c o g n i t i o n ，b i o m e d i c a li m a g i n g ，r a d a r , f r a c t a l ，t h e o r e t i c a lm a t h e m a t i c s ，a n ds oo n i n a p p l i c a t i o n s ，i ti sw e l lk n o w nt h a th i g hs m o o t h n e s s ，s m a l ls u p p o r ta n dh i g hv a n i s h i n g m o m e n t sa l et h et h r c em o s ti m p o r t a n tp r o p e a i e so fo r t h o g o n a lw a v e l e to rb i o r t h o g o n a l w a v e l e t t h ec o n s t r u c t i o na n ds m o o t h n e s so f w a v e l e tw i t ht w oc l a s s e so f d i l a t i o nm a t n c e sj s t h em a i nt o p i co ft h i st h e s i s n l em a i nc o n t r i b u t i o n si n t h i sp a p e rc a r l b es u m m a r i z e da s f o l l o w s ： f i r s t l y , t h e c o n s t r u c t i o na n ds m o o t h n e s s b i o r t h o g 。n a lw a v e l e tw i t ht h ed i l a t i o nm a t h x 嘲2 o fb i v a r i a t e o r t h o g o n a l w a v e l e ta n d w i l lb es t u d i e di nt h ep a p e af o ras c a l i n g f u n c t i o no rw a v e l e tc o m e sf r o mam a s k ，w ew i l lm a i n l yc o n s t r u c tt h em a s k sw h i c hh a v e a r b i t r a r yv a n i s h i n gm o m e n t e x a m p l e sw i l lb eg i v e nt oi l l u s t r a t et h eg e n e r a lt h e o r y s e c o n d l y , t h e c o n s t r u c t i o na n ds m o o t h n e s so f b i o r t h o g o n a l w a v e l e tw i t ht h e c h e c k e r b o a r dl a t t i c ew i l lb es t u d i e da n daf a m i l yo ft e r n a r yb i o r t h o g o n a lw a v e l e t sw i l lb e c o n s t r u c t e d s i n c et h ec h e c k e r b o a r dl a t t i c ei sn o t e da st h eq u i n c u n xl a t t i c e ，t h eq u i n e u n x w a v e l e tw mb eg e n e r a l i z e dt ot h em u l t i d i m e n s i o n a ls p a c e t h i r d l y , w ew i l la l s op r o v et h a taf a m i l yo fb i o r t h o g o n a lw a v e l e t s 、i mo t h e rd i l a t i o n m a t r i x ，s u c ha s t = i i ，c a l lb eo b t a i n e d t h r o u g h t h eb i o r t h o g o n a l w a v e l e t s w i t h t h ed i l a t i o n m a t r i x 阳f o rb i o r t h o g o n a l w a v e l e t sb a s e do nt h ec h e c k e r b o a r dl a t t i c e ，t h ea n a l o g o u s r e s u l th o l d st r u e k e yw o r d s ：m u l t i v a r i a t ew a v e l e t ；m a s k ；厶s m o o t h n e s s ；v a u i s h i n gm o m e n t ；c b c a l g o r i t h m 第1 i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 图表目录 f i g 3 1 尺度函数疙的图像 f i g 3 2 尺度函数丸的图像的切片2 7 f i g 3 3 尺度函数嚷一) ，的图像2 7 f i g ，3 4 尺度函数破一) ，的图像的切片 f i g 3 5 尺度函数九的图像 f i g 3 6 尺度函数丸的图像的切片 f i g 3 7 尺度函数吐一) ，的图像 f i g 3 8 尺度函数破一b 的图像的切片 t a b l e 3 1 关于掩膜m a s k o 的s o b o l e v 指数和h 6 1 d e r 指数表 t a b l e 3 2 关于掩膜m a s k l 的s o b o l e v 指数和h n d e r 指数表 2 8 2 8 2 9 2 9 3 0 3 0 3 1 第i i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：匾娄垄五尘选鲍拉造丞基趟遗性佥盘 学位论文作者签名 越洚 日期：加年，上月7 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：匾娄垒壶d ! 这煎控鲎丞甚光塑性金盘 学位论文作者签名：旌竺l ! 章 作者指导教师签名：翌垫生： 日期：炒手年，胡7 日 日期：似肿v 年i 月一7 日 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1 小波理论的发展现状 小波分析是近十多年来迅速发展起来的新兴学科，它同时具有理论深刻和应用十分 广泛双重意义小波分析是传统傅立叶分析发展史上里程碑式的进展，它是泛函分析、 f o u r i e r 分析、样条分析、调和分析、数值分析等的完美结合，近年来成为众多学科共同 关注的热点小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶，小波分 析优于f o u r i e r 分析之处在于前者在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且，由于 对高频成份采用逐近精细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦至对象的任意细节，小 波分析的这一特点，使得它特别适合于对信号奇异性的分析，被誉为“数学显微镜” 法国数学家y m e y e r 、地质物理学家j m o r l e t 和理论物理学家a g r o s s m a n 在理论上 为小波分析构成较系统的构架而将这一理论引入工程应用特别是信号处理领域的则是 法国学者i d a u b e c h i e s 和s m a l l a t 在小波发展史的早期，构造厶僻) 的小波基是非常困 难的，很长一段时间，人们甚至怀疑是否存在这样的函数缈( x ) ，它具有良好的正则性和 局部性以保证 y 难( x ) = 2 j n i f ，( 2 。x - k ) 一是厶( r ) 的一组正交基8 0 年代，人们找到 了这样的函数，同时也找到了构造小波基的标准方法 8 0 年代束期与9 0 年代初期，g - r o s s m a n 、m e y e r 、c o i f m a n 以及d a u b e c h i e s 等人建立 起小波分析的理论框架1 9 8 8 年，年轻的女数学家1 d a u b e c h i e s i l 。j 构造出一系列可任意 选定正则性的、更利于信号分解和实际计算的紧支撑正交小波基一d a u b e c h i e s 基 i d a u b e c h i e s 的研究工作将信号处理与泛函分析有机结合，对小波的构造作出在小波发 展史上具有里程碑意义的贡献1 9 8 9 年，s m a l l a t 和y m e y e r 提出了多分辨分析( m r a ) 的 概念【4 5 ，6 1 ，在理论上证明了差不多所有有用的小波基都能用m r a 来构造利用多分辨 率分析思想，小波的许多性质( 如完备性、线性无关性、近似性、正则性、对称性、正交 性、和小波滤波器构造等问题得到很好的研究和应用 在理论成果基础上，相关的适用算法相继出现，其中在1 9 8 9 年，m a l i a t 提出多分辨 分析的思想，将小波理论与信号分解、重构紧密结合，提出了著名的m a l l a t 算法，该算 法在小波分析中的地位与f o u r i e r 分析中f f t 的地位相同，从而使得小波变换广泛应用 于信息处理领域 自从d a u b e c h i e s 在1 9 8 8 年一元紧支撑正交小波构造方法以来，小波的构造一直是 个热点问题，在多元紧支撑正交小波的构造方面产生了很大的影响，j , k o v a c e v i c 和m v e t t e r l i 7 1 研究了基于多维完全重构滤波器的不可分小波的构造方法，c h u i i s , g 给出了一些 基于样条的正交小波和双正交小波构造方法，c o h e n 和d a u b e c h i e s 通过对一元正交小波 构造方法的推广研究了二维小波的相关性质及构造方法，j i a 和s h e n t l 0 1 研究了一般n 元的 多分辨分析并给出了一种多元正交小波的构造方法h e 和l 甜“1 构造了4 x 4 滤波的二元 紧支撑小波，e b e l o g a y 和y w a n g l l 2 1 给出了一种满足预设的任意正则性的不可分正交小 波的构造方法a y a c h e 构造了具有任意阶正则性的紧支撑正则不可分正交小波，h j i ， d r i e m e n s c h n e i d e r 和z w s h e n l b 】给出的通过基本可加细函数构造正交和双正交小波的 第l 页 国肪科学技术大学研究生院学位论文 方法，另外还有d w r o a c h 和m j l a i 1 4 , 1 5 ，m a a s s ，s t a n h i l l 和z e e v i 的构造方法等 最近，b h a n f l 6 。- 25 1 ，r q j i a 【2 扣2 8 1 ，s d r i e m e n s c h n e i d e r , z w s h e n 2 9 ，3 0 】等在多元小波 的理论研究方面作了大量的工作b h a n l l 6 , 1 7 , 2 2 给出了一种满足很多较好性质的掩膜的 c b c ( c o s e tb yc o s e t ) 构造算法，d ，r c h e n ，b h a n 和s d r i e m c n s c h n e i d e r 3 l j 构造具有任意 消失矩的小波b h a n 和1 d a u b e c h i e s h i 等也研究了通过可加细函数构造小波框架的理 论 众所周知，较小的支撑，高阶消失矩，理想的光滑性在小波中具有重要的地位，在 多元情况下，如何构造具有这些较好性质的小波仍然是一个开问题对于目前的构造方 法，大都是二元情形，也大多是二进小波关于一般伸缩矩阵，b h a n 等给出了一些部分 的解决，但是目前只对五点伸缩矩阵研究的较透彻对于更高维的，特别是带有一般伸 缩矩阵的尺度函数与小波的构造方法仍然没有得到较为完美的结果另外，关于多元小 波的对称性问题仍然有很多没有解决的问题，特别是伸缩矩阵是一般伸缩矩阵的时候， 这些所有的方面要求有必要对多元小波的构造与应用方法进行研究 1 2 本论文的主要工作 本论文首先介绍了小波的理论发展现状及多分辨分析和小波，深入研究了两类多元 小波的构造理论 本论文的创新成果集中第三章，第四章和第五章，主要内容有： ( 1 ) 主要研究了基于伸缩矩阵i ? ：i 的二元正交和双正交小波的构造及其光滑性由 l 1o j 于尺度函数与小波都来自与其掩膜，因此，我们主要构造了满足一定消失矩的掩膜并且 给出了例子说明构造方法的应用论文中证明了在给定的支撑下，掩膜的最大求和定则 的上界和尺度函数的光滑性的上界 ( 2 ) 主要研究了基于c h e c k e r b o a r d 格点的双正交小波的构造及其光滑性，并且构造 了三元双正交小波由于c h e c k e r b o a r d 格点在二维时即是五点格点，我们的结果将五点 小波推广到了高维论文中证明了在给定的支撑下，掩膜的最大求和定则的上界和尺度 函数的光滑性的上界 ( 3 】本文也证明了通过一个变换可以由已知的尺度函数构造不同伸缩矩阵的尺度函 数和小波作为特殊情况，通过构造的基于伸缩矩阵i ? ：l 的双正交小波可以得到基于五 l 1 ”j 点伸缩短阵r = ：1 l 的小波类似韵结论对于基于c h e c k e r b o a r d 格点的小波也成立 l 一1 j 本论文的主要结构如下： 第一章，简要介绍了小波理论的发展现状， 第二章，简要介绍- j , b 波分析的主要理论，主要介绍了多分辨分析和s m a l l a t 算法 第三章，主要研究了基于伸缩矩阵i ? 三 的= 元正交和双正交小波的构造及其光滑性 l 1 ”j 由于尺度函数与小波都来自与其掩膜，因此，我们主要构造了满足一定消失矩的掩膜并 且给出了例子说明构造方法的应用 第四章，主要研究了基于c h e c k e r b o a r d 格点的双正交小波的构造及其光滑性，并且 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 构造了三元双正交小波由于c h e c k e r b o a r d 格点在二维时即是五点格点，我们的结果将 五点小波推广到了高维 第五章，主要主要证明了通过一个变换可以由已知的尺度函数构造不同伸缩矩阵的 尺度函数和小波 最后是本文的结论 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章小波分析基础理论 最近2 0 多年，小波分析理论与方法逐渐建立并且日趋完善，其中，法国地质工程师 j m o r l e t 、数学家y m e y e r 、物理学家a g r o s s m a n 、信号处理专家s m a l l a t 以及比利时数 学家i d a u b e c h i e s 等在小波理论的形成、发展及其在工程中的应用等方面做出了重要贡献 特别是i d a u b e c h i e s 在1 9 8 8 年与1 9 9 2 年关于正交与双正交紧支撑小波的构造这一杰出性 的工作使得小波得到更加广泛的应用 2 1多分辨分析和m a l l a t 算法 多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 是1 9 8 8 年由s m a l l a t 引入的，他从空间的概念 上形象地说明了小波的多分辨特性，将在此之前所有小波变换理论统一起来，并由此给 出了小波的构造方法与小波变换快速算法，即著名的m a l l a t 算法多分辨分析的一个最 大特点是只对低频空间进行进步分解，从而使频率的分辨率变得越来越高一般说来， 用来构造正交小波变换的多分辨分析具有下面的理论框架 2 1 1 多分辨分析与m a l l a t 定理1 9 , 3 3 定义2 1 空间岛( r ) 中一列闭子空间 一) m 称为厶( 酲) 的一个多分辨分析( m r s ) ， 如果该序列满足下列条件 ( 1 ) 单调性：e 巧一l e l “w z ； ( 2 ) 逼近性：n 吩= o ) ，u 巧= 厶( r ) ； j e ze z ( 3 ) 伸缩性：厂( x ) e 巧营f ( 2 x ) 巧。w z ； ( 4 ) 平移不变性：f ( x ) j f i x - k ) 仨圪，v k z ； ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在g 圪，使 9 0 一t ) k z ) 构成k 的r i e s z 基 可以证明，存在函数( ，) e 使它的整数平移系 2 m 矿( 2 7 t k ) l k e z ) 构成一的规范 正交基，称痧( ，) 为尺度函数，于是函数矿“( ，) = 2 肌( 2 t - k ) ，- ，k z 构成厶( r ) 的标准正 交基 定理2 3 ( s m a l l a t ) 设 ；m z ) ；( f ) ) 是一个正交多分辨分析，则存在 嚏) 厶 使得下面的双尺度方程 矿= 拒珠( 2 x p ( 2 1 ) 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 成立并且，令= ( - 1 ) k 石，利用( 2 1 ) 得到的尺度函数( 砷构造函数 妒= 压g , c 6 ( 2 x 一七) 的伸缩、平移构成岛( r ) 的正交基进一步地，当= s p a n u 7 2 妒( 2 ，x 二氟瓦面时， 上形一，j j ，l , v o 巧= l 。 m a l l a t 定理主要包含3 个方面的内容： ( 1 ) 集合甲。= 缈0 一d ；七z ) 构成的标准正交基，并由此推出 。( 力= 2 m ( 2 石一七) ；七z ) 构成的标准正交基； ( 2 ) k2 圪。可以保证：厶( r ) 2 皂，因而保证哆的基向量的并可以表示 上2 ( r ) 中的任意函数； ( 3 ) 上一，可以保证在彼此正交的前提下当且仅当地表示信息 2 1 2 一元m a l l a t 算法 由定理2 1 有，。= o 可得，对任意整数与吖( o ) ，有 k = 。- o 一- = 一。0 一：o o 。o 一。 从而，w ；e ，有唯一的分解： 厶= e 1 + 厶一1 = e _ i + e - 2 + + p 一m + 厂埘 其中，je ，e ，矿f w j 矿，e ，氍，它们有唯一的级数表示： ( 曲= 力，。( 曲，勺( x ) = ，。( x ) 锻 。：， 酬) 。厶( z ) 由z + 。= p ，+ 得 。( x ) - - z c ：“力扎。( 砷= 力，。( x ) + ，。( x ) 经计算可得到著名的m a l l a t 算法： f = 瓦 分解公式： 雕：差瓦i 雕= c f “舒。 重构公式：“= 彤反。+ 彰。 其中，阪 、k 。) 分别由s m a l l a t 定理中给出 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 2 2 多元多分辨分析和m a l l a t 算法 2 2 1 多元多分辨分析及其性质 1 0 , 3 4 , 3 5 1 定义2 2 空间厶( 拟) 中的列闭子空间 巧) 称为岛( 科) 的以虬；为伸缩矩阵的一 个多分辨分析，若下列条件成立： ( 1 ) 嵌套性( n e s t e d ) ：巧c 巧+ i ，z ； ( 2 ) 逼近性：n 巧= o ) ，u 巧= 三2 ( 科) ； ( 3 ) 伸缩性：，( x ) 巧营厂( 脓) 。； ( 4 ) 平移不变性：f ( x ) e ， 一) ，p 刀； ( 5 ) r i e s z 基：3 9 e v o ， g ( x 一) ：z 5 ) 构成的r i e s z 基，即存在常数彳，b 0 - 使 得 彳雌口( 卢) ) s a z , a ( f 1 ) g ( - f 1 ) i ：b 肌口( ) ) ，v 日( 声) s ，2 ( z 5 ) 上面定义中的( 3 ) 表明闭子空间 巧) 由其中的任意一个空间完全决定，例如 巧= f ( m x ) ：，( z ) v o ，w z 因此条件( 4 ) ，( 5 ) 分别等价于： ( 4 ) ，( x ) e 巧f ( x m 1 f 1 ) 一，z 5 ； ( 5 ) g ( m x f 1 ) ：卢z 5 构成巧的r i e s z 基 定理2 2 设 ) 是个多分辨分析，已知3 9 k ， g o ) ：p z 5 构成的 r j e s z ，n a 妒e v o ， 妒。一历：e z 0 构成的标准正交基 注如果庐e ， 一卢) ：卢z 0 构成k 的标准正交基，则 力，口：z 0 构成巧的 标准正交基，其中以，口= l d o t m r 加矿( 膨，一f 1 ) ，e z ，z 。 设 巧) 是一个给定的多分辨分析，称为对应的多分辨分析的尺度函数，它满足下 列加细方程庐= i d e t 吖i 4 ( ) ( m f 1 ) ， a ( f 1 ) ，2 口( ) ) 称为可加细函数庐的掩膜 由f o u r i e r 变换知；( 宇) = a ( ( m + ) 一1 善) ( ( m + ) 一1 善) ，其中a ( 善) = a ( 卢) e - i 肼，m 是m 的 第6 页 里堕型登茎查盔兰量耋兰堕兰笙笙苎 共轭转置我们只考虑实值情形，记q = 岛，靠一1 ) 是商群z 5 m 7 z 。的所有不同陪集 的代表元的全体，m 7 是m 的转置，记q = ，巩一， 是商群z 。耐z 。的所有不同陪集 的代表元的全体，不妨设岛= = 0 ，记m = i d e t m i 定理2 3 设岛( 酞4 ) ，妒厶( 科) 分别满足加细方程 = i d e t m i 口( 户) ( m 一所，矿= d e t m i 矿( 历声( m 一) ， 艇z l肛z | 且 痧 一卢) ：e 刃 为标准正交系，如果矩阵 4 ( f ) = 三( 善)三( 亭+ 2 万( m 7 ) 一1 e 1 ) 荔( 善) 茅( 掌+ 2 r t ( m 7 ) 毛) ； ； i ( 善) 再( 善+ 2 x ( m 7 ) 一。) 二( f + 2 万( m 7 ) 一岛一，) 未( f + 2 r r ( m 7 ) 一1 一，) ； 再( f + 2 石( 膨7 ) 一1 一。) 为酉矩阵，则那么 y o 一声) ：z 5 构成聆的标准正交基，并且k = k 。，其中 呀= s p a n ( z 一) ：卢z 。 ，k = 印删 庐( z 一卢) ：芦z 5 ) ，= 呀。件1 一= 印a n ( 腼c 一卢) ：卢万 ，且= s p a ” 妒( x 声) ：声芒z 。，i = 1 ，m 1 设f 一 是厶( r ) 的一个多分辨分析，则对每个，z ，则是巧在+ ，中的正交补 空间，则有如下直和分解 巧“2 巧o 。曼彬，如( 豫。) 。是形 如果存在有限多个函数 旷，f = 1 ，2 ，删一1 使得 p 一) ：z 5 ；f = l ，m 一1 构成 的标准正交基，由定理2 3 显然有下面结果： 定理2 4 设 l 是一个多分辨分析，p 。扛一所：z ；f = l ，删一1 构成哌的标 准i e 交基，则 雌，：z 。，j c z ，i = 1 ，研一1 ) 构成的标准正交基，其中 v j 。b = l d e t u l 。i 嗲s 1 嗽j 一 定理2 5 设妒厶( 科) 满足加细方程尹= | d e t m l 口( ) 矽( m - 一卢) ，如果 日e f 声。一娜：z 5 为标准正交系，那么丢m - i p ( f + 2 万( m ) 一1 。) 1 2 = 1 ，口一 第7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 2 2 2 多元m a l l a t 算法 如果 巧：，z ) 为厶( r 1 ) 的以蚝，为伸缩矩阵的一个正交多分辨分析，设 + 。= 巧o ，z ，巧，的标准正交基分别为 其中 力。：| i z ) ， 垤女：j = 1 ，2 ，m 一1 ；k z 5 ， 办。= 研垆庐( j ：l - k ) ，矿= m 口( 卢) ( ，一) ， 口e f 孵。= 聊2 ( 肘。一七) ，y = 历d 。( 卢) 矿( ，一声) ， 口e 掣 加= i d e t m | ，i = 1 ，2 ，m 一1 那么，对于函数，厶( r 5 ) ，不妨设- 厂l 。则有下列分解 m 一1 ，( z ) = ( ，办扎。) 力扎。( x ) = ( 厂，力，。) 力，。( x ) + ( 厂，嵋。) 螈t ( x ) ( 2 2 ) e z si e fj “l e 上式分别对力，。和蛾。作内积，得 f ( ，办“。) 力+ 。，哆，。) = ，哆。) ， 芝( 厂靠 = 舻驴0 一m k ) 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 令屯( i ) = m 7 2 ( ，力，i ，彬( j ) = m 胙( ，垤。) ，代入( 2 3 ) ，则得分解公式 屯( 七) = a ( n - i k ) b j + 。( 丹) ， n 彭( t ) = 矿( n - m k ) b j i ( 月) ，f - 1 ，朋一1 月积 对( 2 2 ) 式用谚m 作内积，有 m - i ( ，以+ ，。 = ( 厂，办。) ( 以，。( 曲，力+ 。( x ) ) + ( ，崂。) ( 蛇。( 力，办“。( x ) e z 。 拉l i 掣 m - 1 从而得重构公式0 + 。( ”) = 珊a ( n m k ) b , ( k ) + m z 口伽一脚) 彬( 后) t e z j _ 1k e z 。 因此，多元正交小波的分解、重构公式为 如果令 分解公式 玩( ) = _ , a ( n - m k ) b j + 。( n ) ， 日e z j 露( 七) = a ( n - m k ) b , + 。( 功，i = 1 ，坍一1 ”e z 熏构公式：q + 。( ”) = 埘f 口伽一胁) q ( i ) + 矿仰一腑) 彬( ) f im ii l k e z * j ；1 e j 办。= m j 2 声( m - k ) ，= m 口( 卢) 声( m 一卢) ， 口e z 嫒。= 胁舻( m 一七) ， 雌= m 。7 2 旷( m 一) 审：；1 = m 小中郎j 蝴i - 一b ， = 聊a d ( ) ( m - 一) ， 口e z 。 矿= m 口( p ) 痧( m - 一声) ， 口e z 。 m = i d e t m i ，i = 1 ，2 ，m 一1 与正交情形类似可得双正交情况下的分解重构公式为 ft ( 七) = a ( n - m k ) b j + 。( 功， 黼馘： 哪) ：兰而面，卧一一 重构公式：q + 。( ”) = 坍l 印一 犯) i ( 七) + 口d 仰一 疵) 彬( 七) i 第9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 g g - i 基于伸缩矩阵 0j 的紧支撑小波的构造与光滑性分析 目前，多元小波的构造理论在张量积形式( 可分) 的小波方面发展比较成熟，但是可 分小波律往带来一些不利因素，比如在图像处理方面，它在平面结构上增加了乘积结构， 对图像数据产生了失真，这主要是由于可分小波的零点分布在垂直和水平两个方向，明 显的方向效应直接影响到图像的质量在偏微分方程数值解等其他一些应用领域都有必 要对不可分小波进行研究对于不可分小波，d w r o a c h 和m j l a i l l 4 l “，w j h e i l ”， b h a n 1 5 1 ，r q j i a 【2 6 句8 】j k o v c e v i c 年l lm v e t t e r l i t t l ，s d r i e m e n s c h n e i d e r 和z w s h e n l 2 9 , 3 0 】 等做了大量开创性的工作然而目前对于一般的伸缩矩阵还不存在通用的构造方法在 这一章里，我们主要探讨了以 厶= 17 ：l 为伸缩矩阵的紧支撑小波的构造，得到了满足 l 1 ”j 任意阶求和定则的掩膜，从而小波满足任意阶的消失矩通过我们构造的双正交尺度函 数，可以得到一类双正交小波( 例如以t = j ：1 ，f 为伸缩矩阵的五角双正交小波) 3 1 预备知识 作为预备知识，先介绍一些基本概念与记号，下面的定义与记号主要引自文献 1 6 ，2 1 ，2 6 】 定义3 1 称可逆整数矩阵 i 。，为伸缩矩阵，若m _ 1 的谱半径小于1 若满足加细方 程 = a ( f 1 ) f k ( m - p ) ( 3 1 ) 则称为可加细函数，其中a 是z 。上一个具有紧支撑的序列，被称为加细掩膜这里z 为整数集+ 如果n 满足d ( ) = i d e t m l ，则存在唯一的具有紧支撑的分布满足( 3 1 ) ，且 ；( o ) = 1 ，这个分布被称为加细方程的标准化解，记为 定义3 2 称声与是双正交的，如果满足双芷交性条件 胁) 一庐 ( x - f 1 ) a x 叫历= 倍等u ， 此时，对应的掩膜口，a 。满足离散双正交条件a ( f 1 ) a a ( f l m a ) = i d e t m i 占 ) ，称为一 矗e z 对对偶双正交掩膜 定义3 3 称函数为基本的，如果它是连续的且满足 第1 0 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 妒( 0 ) = l ，妒( 甜) = 0 ，v 甜z 8 0 ) 如果是基本的可加细函数，则a ( m f l ) = 占( 声) ，即 a ( o ) = l ，a ( m f l ) = 0 ，y p z 5 o ) n y = ( 3 3 ) 和“( d = | d e t 吖l 的有限支撑掩膜口被称为关于伸缩矩阵m 的插值掩膜 占e z 。 定义3 4 对于正整数k ，称z 5 上的序列口有七阶求和定则，如果 ( 3 2 ) ( 3 3 ) a ( m f l + c ) p ( m , 8 + c ) = a ( m f l ) p ( m f l ) v ge z s , p el i ( 3 ，4 ) 口ez8ez 其中n 。是全次数小于七的多项式全体 对卢z ：= ( ，哎) z 5 ：0 ，j = 1 ，s ，令i | - - h + + 从，! = “雎 v 当且仅当一，= 1 ，j v o 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 称紧支撑函数( ) 的平移是稳定的，若存在正常数c l ，c 2 使得 c , l l a l l ，峰啦磁口，l 。蚓叱妇f 0 ( z 。， 定义3 6 令丸 19 - - - ，) = i - i h ( x 。) ，x l , - - - , t ) e 酞，其中h ( x ) = m a x 1 一l x l ，0 ) ，x e r ， 定义( ) 上的有界线性算子包为q 厂= a ( f 1 ) f ( m 垌，称以饼九迭代的方法为 “z j 细分方法或迭代算法 如果可( r 。) ，使得! 鲤8 饼唬一1 1 ，= 0 ，则称细分方法依三，范数收敛若细分方 法依k 范数收敛，则，是( 3 1 ) 的标准化解 b h a r t 和r q j i a t l 4 1 已经证明，细分方法依l 范数收敛当且仅当 ! i t a l y ，甜 卅即，w - l ，s 设与是加细方程的标准化解，那么以厶( 科) 且满足双正交条件的充分必 要条件是细分方法依如范数收敛由此，为了构造小波只需要构造满足条件的掩膜更 详细的论述参看文献 1 4 b h a r t ，r q j i a 得到了下述结果： 引理( 2 4 】，t h e o r e m 2 1 ，t h e o r e m 2 2 ) 设是以z 。n 兀；。 一t ，】为支撑的插值掩膜， 如果口满足k 阶求和定则，那么 七魄( 1 竽h 竿j 其中，q 是非负整数，u 是取整函数特别，当s = 1 时，存在唯一的以【一上l ，q 为支 撑且满足l 剁+ 【刮阶求和定则的插值加细掩膜 m j l a i 和d w r o a c h 1 4 , 15 】，w j h e 和m j l a i 1 1 1 构造了以2 厶为伸缩矩阵的不可分正 交小波，j k o v c e v i c ，m v e t t e r l i 【7 l 和b h a r t ，r q j i a l l 。】对五角小波( q l l i n c u n xw a v e l e t s ) 作t 研究e b e l o g a y 和y w 抽g n 2 1 研究了任意光滑的关于伸缩矩阵m 0 = o2 的正交小波，他 们的结论主要是支撑为 o ，1 】 三，h i ，厶z ，并且掩膜不具有对称性质在下面的几 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 节中我们主要讨论有较好性质的关于伸缩矩阵 厶= 0i 的构造 3 2 逼近阶与光滑性 如果是加细方程( 3 1 ) 的标准化解，r q j i a 2 6 已证明，如果的平移是稳定的， 则s ( ) 有k 阶逼近阶当且仅当口满足k 阶求和定则特别，如果声是基本可加细函数， 则s ( 九) 有七阶逼近阶当且仅当a 满足k 阶求和定则我们也知道，如果有k 阶精确阶， 则小波函数有k 阶消失矩当( 3 1 ) 的标准化解的平移是线性独立时，那么矿有k 阶精确 阶当且仅当a 满足女阶求和定则因此，为得到满足一定消失矩的小波只需要得到满足 一定求和定则的掩膜 定理3 1 设a 是关于伸缩矩阵捣= i ：l 的插值掩膜，支撑为卜l h l 2 ，其中厶h 为 非负整数如果a 满足女阶求和定则，那么女兰悼j + l 警j 证明记6 ( f ) = a ( i ，n f z ，则6 是定义在z 上的序列，因d 是插值掩膜，故 j e z 6 ( 2 f ) = a ( 2 i ，) = 万( i ) j e z 则b 是z 上以2 为伸缩因子的插值掩膜又因日满足七阶求和定则，所以 6 ( 2 f + 1 ) ( 2 f + 1 ) ”= z z a ( 2 i + i ，烈2 f + 1 ) ”= j ( 川) ，o m k j e z l e zj e z 因此b 满足至少k 阶求和定则因为b 是支撑为卜l 】的插值掩膜，由3 1 节的引理知， 七l 竿j + 【剁证毕 由定理可直接推得 推论设a 是关于伸缩矩阵 如= j ? l 的插值掩膜，支撑为 ( 届，屈) e z 2 ：圳+ 川 o ) 为支撑，以= i ：i 为伸缩矩阵的插值 掩膜，定义 6 ( ) = 口( ，吒) ，z 屯e z 如果口满足至少2 r 一1 阶求和定则，那么6 是一个满足2 r 一1 阶求和定则的一元插值加细 掩膜 第1 3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 进一步，如果a 满足2 r 阶求和定则，则b 一定是b ，即支撑为【1 2 r ，2 r 一1 】且满足2 r 阶求和定则的唯一的一元插值掩膜 证明因口是插值掩膜，贝i j b ( 2 i ) = a ( 2 1 ，) = 占( f ) ，从而6 是z 上以2 为伸缩因子的 插值掩膜而a 满足2 r 一1 阶求和定则，故 b ( 2 i + 1 ) ( 2 i + 1 ) 4 = a ( 2 i + 1 ，) ( 2 f + 1 ) ”= 艿( 砷，0 m 2 r 一1 b 满足至少2 r 一1 阶求和定则进而，如果a 满足2 r 求和定则，则b 满足2 r 阶求和定则， 又因6 的支撑为【1 - 2 r ，2 r - 1 ，由3 1 节的引理知，b = i 证毕 定义口e ，0 ( z 5 ) 的符号为石( 力= a ( , a ) z c z e t 5 ，其中 t 5 = ( 刁，t ) c 5 ：l 毛i = - - - i z , 1 = 1 ) 对于0 口蔓1 ，定义l i p s c h i t z 空间 驴( 7 7 ，l p ( i r ) ) = 厂l p (