（理论物理专业论文）链式与树状网络的时空混沌同步研究.pdf

学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：丝主乙 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 f i t 学位论文作者签名：笠垂指导教师签名：塑 签名日期：副d 年歹月罗日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 复杂网络的同步研究是目前复杂网络研究最活跃的领域之一。由于复杂网络的同步 能够解释自然界的许多复杂现象，并紧密联系现实社会，所以，对复杂网络的同步研究 具有一定的实际意义和广泛的应用前景。本文对复杂网络的研究进展做了概括性的介 绍，包括复杂网络模型的建立、网络的性质、网络同步的意义以及国内外研究现状。同 时，还介绍了复杂网络同步的两个重要判定方法：主稳定函数判据和l y a p u n o v 函数判定 法以及目前已报道的几个典型的复杂网络同步实例。在此基础上，采用单变量耦合连接 方式，通l 立b a c k s t e p p i n g 方法构造l y a p u n o v 函数，研究了同结构链式网络的时空混沌同步 问题。以g r a y - s c o t t 系统为例，仿真模拟验证了该网络同步原理的可行性。此方法只需 在复杂网络节点终端加入一个控制器，便可以实现整个网络的同步，因此同步代价小， 便以实际应用。另外，本文还依据主稳定函数判据，研究了异结构树状网络的时空混沌 同步问题。通过确定网络的最大l y a p u n o v 指数，得到了实现网络同步的条件。采用具有 时空混沌行为的p a n f i l o v 系统、f i t z h u g h n a g u m o 系统以及p l a n k t o n 系统作为网络节点， 仿真模拟验证了该方法的有效性。 关键词：时空混沌同步；链式网络；树状网络；l y a p u n o v 稳定性定理；数值模拟 链式与树状网络的时空混沌同步研究 s t u d yo ns p a t i o t e m p o r a lc h a o ss y n c h r o n i z a t i o no f c h a i na n dt r e en e t w o r k a b s t r a c t s y n c h r o n i z a t i o ns t u d yo fc o m p l e xn e t w o r ki st h eo n eo ft h em o s ta c t i v ea r e a so f c o m p l e xn e t w o r ks t u d ya tp r e s e n t - 玎”s y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r k c a ne x p l a i nm a n y c o m p l e xp h e n o m e n a i n n a t u r e ， a n dd o s ec o n t a c tw i t ht h er e a l w o r l d t h e r e f o r e ， s y n c h r o n i z a t i o ns t u d yo fc o m p l e xn e t w o r kh a ss o m ep r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dw i d e a p p l i c a t i o n s 田地r e s e a r c hp r o g r e s so fc o m p l e xn e t w o r ki sr e c a p i t u l a t i v ei n t r o d u c e di nt h i s t h e s i s ，i n c l u d i n g e s t a b l i s h e dc o m p l e xn e t w o r km o d e l s ，t h ef e a t u r e so fn e t w o r k , t h e s i g n i f i c a n c eo fn e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o na n dr e s e a r c hs t a t u sa th o m ea n da b r o a d a tt h es a m e t i m e ，t w oc r i t e r i o n so ft h es y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r k ：m a s t e rs t a b i l i t yf u n c t i o n c r i t e r i o na n dl y a p u n o vf u n c t i o nc r i t e r i o na r ed e s c r i b e d , a sw e l la ss e v e r a lt y p i c a lr e p o r t e d e x a m p l e so ft h ec o m p l e xn e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o na r ei n t r o d u c e d o nt h i sb a s i s ，l y a p u n o v f u n c t i o ni sc o n s t r u c t e db yb a c k s t e p p i n gd e s i g nf o rs i n g l ev a r i a b l ec o u p l i n gc o n n e c t i o n s ，a n d t h es p a t i o t e m p o r a lc h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni nc h a i nn e t w o r k 诵t 1 1t o p o l o g ye q u i p o l l e n c ei s i n v e s t i g a t e d t a k i n g t h e g r a y - s c o t ts p a t i o t e m p o r a l c h a o ss y s t e ma sa n e x a m p l e ，t h e s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h es y n c h r o n i z a t i o np r i n c i p l ei sf e a s i b i l i t y i nt h i sm e t h o d ，o n l y o n ec o n t r o l l e ri sa d d e da tt h et e n n m a ln o d eo fc o m p l e xn e t w o r ka n ds y n c h r o n i z a t i o no ft h e e n t i r en e t w o r kc a nb ea c h i e v e d , m e a n i n gt h e l o w c o s ts y n c h r o n i z a t i o na n dc o n v e n i e n t p r a c t i c a la p p l i c a t i o n s i na d d i t i o n ，t h es p a t i o t e m p o r a lc h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni nt r e en e t w o r k w i t hd i f f e r e n ts t r u c t u r ei ss t u d i e di no u rw o r kb a s e do nt h em a s t e rs t a b i l i t yf u n c t i o nc r i t e r i o n t h ec o n d i t i o nf o rc o m p l e xn e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o ni so b t a i n e db yd e t e r m i n i n gt h el a r g e s t l y a p u n o vi n d e xo ft h en e t w o r k 1 1 1 ep a n f i l o v , f i t z h u g h - n a g u m oa n dp l a n k t o ns p a t i o t e m p o r a l c h a o ss y s t e m sa r et a k e na sn e t w o r kn o d e s ，r e s p e c t i v e l y , n u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h e e f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d k e yw o r d s ：s p a t i o t e m p o r a lc h a o ss y n c h r o n i z a t i o mt r e en e t w o r k ： t h e o r y ：n u m e r i c a ls i m u l a t i o m 一一 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t m 1 绪论，1 1 1 复杂网络概述1 1 2 复杂网络基本概念1 1 2 1 度分布2 1 2 2 平均路径长度3 1 2 3 集聚系数3 1 3 网络的基本模型。4 1 3 1 随机网络4 1 3 2 小世界网络5 1 3 3 无标度网络。6 1 3 4 规则网络。7 1 4 复杂网络同步的意义8 1 5 复杂网络同步的国内外现状8 1 6 本文的结构安排9 2 复杂网络混沌同步方法。1 0 2 1 复杂网络同步1 0 2 2 复杂网络同步的判定方法1 0 2 3 实现复杂动态网络同步流形的技巧1 3 2 3 1 星形网络同步研究1 4 2 3 2 小世界网络的完全同步1 4 2 3 3 无标度网络的完全同步1 6 2 3 4 随机网络的完全同步1 7 3 链式网络的时空混沌同步研究一1 9 3 1 引言1 9 3 2 链式网络同步原理。1 9 3 3 数值仿真模拟2 2 3 4 结论2 6 4 拓扑不等价树状网络的时空混沌同步研究2 8 4 1 引言2 8 4 2 网络同步原理2 8 4 3 数值实例分析3 0 4 4 结论3 8 5 总结和展望3 9 5 1 全文的总结3 9 5 2 展望一3 9 参考文献4 1 攻读硕士学位期间发表学术论文情况4 5 致谢4 6 辽宁师范大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 复杂网络概述 对网络的研究最早起源于著名的欧拉七桥问题，直到2 0 世纪6 0 年代两位匈牙利数 学家e r d 6 s 和r 6 n y i ( 1 】创建的随机图理论，在很长的一段时间内一直成为研究复杂网络 结构的基本理论。随着科技的进步和计算机存储与运算能力的提高，复杂网络的研究有 了实质性的进展。科研人员对涉及各个领域的复杂网络进行了系统的分析，寻找呈现复 杂现象系统的内在相互关系，试图发现和控制这些复杂系统的动力学的演化规律。在2 0 世纪末，人们对复杂网络的科学探索开始向节点数量众多、连接结构复杂的实际网络整 体特性研究方向转变，掀起了研究复杂网络的热潮【2 】。其中两篇开创性的文章可以看作 是复杂网络研究的标志：一篇是美国c o m e l l 大学理论和应用力学系的博士生w a t t s 及其 导师非线性动力学专家s t r o g a t z 教授于19 9 8 年6 月在n a t u r e 杂志上发表的题为“小世 界”网络的集体动力学的论文【3 1 ；另一篇是美国n o t r e d a m e 大学物理系的b a r a b a s i 教授 及其博士生a l b e r t 于1 9 9 9 年1 0 月在s c i e n c e 杂志上发表的题为随机网络中标度的涌 现的论文【4 】。这两篇文章分别揭示了复杂网络的小世界特征和无标度性质，并建立了 相应的模型以阐述这些特征的产生机理。 自然界中存在的大量复杂系统可以通过各种各样的网络加以描述，网络的复杂性主 要体现在构成网络结构的复杂性、耦合的复杂性、时空演化复杂性等方面。复杂网络可 以看做为具有动力学特性单元通过单元之间的相互作用所组成的集合，常把单元视为复 杂网络的节点，把单元间的相互作用定义为连接网络的节点与节点之间的边。一般而言， 现实世界中许多系统都可以用复杂网络模型来表示。比如，互联网络可以看作是光纤和 计算机相互连接形成的网络【5 】，神经系统可以看作是由大量神经细胞通过神经纤维相互 连接形成的网络睁8 】；食物链网是由物种和各物种之间的捕食关系所构成的网络；科研 交流网中各学科和各学科的交叉所组成；社会是由人组成的复杂网络；类似的还有交通 网、航空网、经济网络、电力网等【9 。1 1 1 。 迄今，人们对网络模型、网络特征、网络上的动力学行为等均做了大量的研究。为 更好地研究复杂动力学网络，不仅考虑网络中每个节点的动力学行为，还要考虑网络拓 扑结构、耦合方式、同步技巧等因素的影响。上述这些重要的概念将在下面章节中进行 详细的描述。 1 2 复杂网络基本概念 一个复杂网络数学上可以抽象为由节点集d 和边集召组成的结构图z = ( d ，b ) 。其 中节点数记为m = i d i ，e 是复杂网络中连接所有节点的边的集合，记为n = l e i 。在网 链式与树状网络的时空混沌同步研究 络的图表示中，如果任意的两个节点( f ，j ) - - 与( ，f ) 所连接的边只对应为一条边，这种网络 称为无向网络，反之，则称为有向网络。根据网络中每条边所相对应的权值，网络又可 分为无权网络和加权网络。权值相等的网络称为无权网络，不等的则为加权网络。 近年来复杂网络的研究受到了广泛关注 1 2 - 1 8 】，在描述网络结构特征上又提出了一 些基本概念，其中三个重要的基本概念为：节点度分布、平均路径长度、集聚系数。事 实上，w a t t s 和s t r o g t z 所构造的小世界网络模型的设想，就是在构造一个综合特性的网 络模型，这种网络模型既要具有小的平均路径长度( 相似于随机图) 和较大的集聚系数 ( 相似于规则网络) 。由于实际网络的度分布呈现出幂律分布的形式，所以b a r a b 矗s i 和 a l b e r t 提出了无标度网络模型。下面对这三个重要的网络基本概念进行简单的介绍。 1 2 1 度分布 节点度分布是描述复杂网络的一个重要统计特性。网络中节点的度也称为连通度， 它指的是与该节点连接的边数。度在网络中所代表的意义是连通度也可称为广度，也就 是节点度越大连通的范围越广，此节点在网络中的地位越重要。例如，在图1 1 所示的 网络示意图中，根据上述节点连通度的定义，节点a 的连通度k o = 2 。依次可知，节点 6 ，c ，d 的连通度分别为= 2 ，k c = 3 ，k = l 。 一 ad bc 图1 1 网络示意图 以经济网络为例，上海作为此网络的节点，由于与中国各个城市有广泛的贸易往来， 所以连通范围之大也就是度值大，经济的影响力就越大地位越重要。一个网络中节点度 的分布可以用分布函数p ) 来刻画，p ) 定义为网络中任意一个节点具有后条边的概 率。在目前的研究中，有两种度分布：一种是指数分布，随着k 的增大p ) 以指数形式 衰减。另一种分布是幂率分布【1 9 1 ，服从这种分布的网络称之为无标度网络，如图1 2 所 示。 一2 一 辽宁师范大学硕士学位论文 图1 2 左图为p o i s s o n 分布右图为幂律分布 1 2 2 平均路径长度 平均路径长度是网络中一个重要的特征度量。在网络研究中，两个节点f 与，之间 的最短距离d ，为连接这个节点对之间的最短路径上边的数目。任意节点对之间的距离 的最大值称为网络的直径，记为d ，即 d = m a x a 打( 1 1 ) 网络中的任意两点间有一条最短的路径，它等于沿这条路径从一个节点到另一个节点所 经过的最少边数，平均路径长度表示网络中所有节点对之间的最短路径的平均值。( 这 里我们不考虑节点到本身的距离) 平均路径长度可以表达为： 扛东高酗 o 2 2 、 由图1 1 网络示意图，我们计算四个节点最短路径，从节点a 到节点b 个所经过的最少 边数为一条边，所以d ( 动) = 1 。从节点a 到节点c ，d 个所经过的最少边数分别为一条边 和两条边，所以d ( 口c ) = 1 ，d g d ) = 2 。依次得出o ( b c ) = l ，d ( 6 d ) = 2 ，d ( c d ) = l 。最后跟据 上面得出的结果来计算平均路径长度：则三= ( 1 + 1 + 2 + l + 2 + 1 ) 6 = 8 6 。通过上例计算 我们发现大多数网络都具备“小世界效应”。 1 2 。3 集聚系数 假设某一节点f 有k ；个最邻近，那么在这些最邻近的点之间最多可能存在 k i ( k i 一1 ) 2 条边。用q 表示这些可能存在的边中实际上存在的百分比。对网络中所有的 c 取平均值，就得到集聚系数c ，它描述了网络中节点与节点集合成团的趋势。 集聚系数义是由w a t t s 和s t r o g a t z 提出的，这种定义被人们所广泛使用，定义局部 值： ， 一3 一 链式与树状网络的时空混沌同步研究 c t - - 矗雾i 器淼 m 3 ， 以顶点为中心的三元组的个数 u 。7 我们计算图1 1 所示的网络的集聚系数。与节点a 最邻近的节点6 ，c 最多可能存在一条 边，而实际上存在一条边，所以集聚系数c o = 1 。节点c 最邻近的节点口，b ，d 最多存在三 条边，而实际上存在一条边，即c c = 1 3 。同理，c b = 1 。 对于度为0 或1 的顶点，由于与顶点关联的三角形和三元组的个数都为0 。定义这 些顶点g = 0 ，所以q = 0 。那么，整个网络的集聚系数为g 的平均值： c - 兰x c ,(14z-a ) 一 、， c = ( 1 + l + 1 3 + 0 ) 4 = 7 1 2 利用( 1 4 ) 得出整个网络的集聚系数平均值。 由计算可知0 c 1 。且仅当网络中所有节点为孤立点时，c = 0 。在全局耦合网 络中时，c = 1 。许多大规模的实际网络中c 尽管比1 小，但通常远大于l 【刎。最终 集聚系数最终将趋于一个常数。 1 3 网络的基本模型 下面介绍几种典型的网络模型，包括随机网络、小世界网络和无标度网络以及全局 耦合网络、最近邻耦合网络、星型网络、树状网络、链式网络等规则网络模型【2 1 1 。 1 3 1 随机网络 2 0 世纪6 0 年代，匈牙利数学家e r d 6 s 和r 6 n y i 首次提出了著名的随机网络模型 2 2 - 2 5 】 ( 简称e r 模型) 。 图1 3 随机网络 4 - 辽宁师范大学硕士学位论文 随机网络职模型是指：给定n ( n 1 ) 个节点。任意节点之间连接的概率都为p ， 生成的网络全体记为g 。由于网络中连线数目是一个随机变量，其值可以从0 到 ( 一1 ) 2 ，产生一个具有个节点膨条边的随机网络的概率为 尸( g ) = p u ( 1 一p p ( - 1 ) 2 m ，可形成的不同网络的总数为2 n ( n - i y 2 。 歙随机网络的基本特性：平均度是伍) - p ( n 一1 ) 斛( 当随机网络的节点一 时，度分布遵循p o i s s o n 分布。随机网络中两节点之间无论是否有共同的邻居节点，两 个节点之间的连接都是等概率的。对于某个节点f ，与其它节点之间连接的概率为p ， 所以随机网络的集聚系数可以表示为：c = p = ( k ) n 1 ，说明e r 模型比较稀疏不具 备集聚性。平均路径长度为三i n n i n ( k ) ，因为随着的增加1 n 增长的很慢，所以 即使规模很大的网络也可以具有很小的平均路径长度。 1 3 2 小世界网络 w a t t s 和s t r o g a t z 在1 9 9 8 年提出yd , 世界网络模型【2 1 】( 简称w s ) 。该网络模型具 有较小的平均路径长度和较大的聚类系数。 实现w s 模型构造算法如下：假定有一个含有个节点的规则网络，每个节点与它。 最邻近的剐2 个节点相连，k 为偶数构成一个规则的环。然后，以概率p 对网络中的每 一条边重新连接，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点随机地放到一个新位置上， 过程中要求不能自身连接和重复连接。 上述w s 模型中，通过调节概率p ，实现了规则网络向完全随机网络的过渡，如图 1 4 所示。 r e g u l a r s m a l l - w o r l dr a n d o m 一 p 蒜o _ _ 1 鬲甚磊荔苫存运鬲i 鬲话磊吾磊磊苫一p 篇1 图1 4 小世界网络模型的构造 w s 小世界网络的基本特征：w s 界网络集聚系数表示为： c ”秽h ) 3 ( 1 5 ) 一5 一 链式与树状网络的时空混沌同步研究 w s 小世界网络平均路径长度。随机化重连后的路径称为捷径，它对整个网络的平均路 径有着很大的影响。利用重正化群( n e w m a n 与w a t t s ) 的方法得到如下公式： 三o ) = 竿厂( 脚2 ) 其中厂0 ) 为一普适标度函数，满足 厂0 ) = c o n s t a n t “1厂0 ) = c h l u ) u 1 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 辽宁师范大学硕士学位论文 c = 斟 h ( 刳一划半 埘 b a 无标度网络的平均路径长度为 a c 丝型 n 1 1 ) l o g l o g n 度分布砸) = 瓦2 瓦m 习( m f + 面1 ) 2 m 2 j 弓 1 3 ，4 规则网络 规则网络：全局耦合网络( 网络中任意两个节点之间都有边的连接，如图1 6 ) 、最 近邻耦合网络( 网络中每一个节点和它周围邻居节点相连接，如图1 7 ) 、星型网络( 网 络中所有n 一1 节点都与中心那个节点连接，如图1 8 ) 、树状网络( 由n 条链式网络所 组成，如图1 9 ) 、链式网络( 网络中任意节点依次连接，如图1 1 0 ) 图1 6 全局耦合网络图1 7 最近邻耦合网络 囔1 | i 心少k 、“。卜7 i i i | i 图1 8 星型网络 一7 一 图1 9 树状网络 链式与树状网络的时空混沌同步研究 图1 1 0 链式网络 1 4 复杂网络同步的意义 目前，关于复杂网络的研究主要集中在三个方面。其一是复杂网络的建模。其二是 复杂网络的性质研究。之三是网络动力学研究。而复杂网络的混沌同步是网络动力学研 究的主要内容。 近年来，复杂网络的同步研究受到社会科学、工程技术和生物医学等领域科研人员 的广泛关注，己经成为复杂网络的一个研究热点。同时，它的研究具有广泛的应用性。 例如，i n t e r n e t 网络【3 6 】给我们生活带来了很多便利，利用网络同步我们可以在同一时间 了解世界的最新消息，但黑客散播的病毒也可以使我们的网络在同一时间瘫痪。现在通 讯网络的视屏通话把我们带入了3 g 生活，这还得归功于科研人员实现了音频和视频网 络的延迟同步。在国防方面，复杂网络混沌同步加密技术是军事进步的需要更是国家安 全的保障。在医疗方面，糖尿病，心脏病已成为人类健康的杀手，不仅难以治愈，更组 成了一个并发症的复杂网络，对其进行同步研究已成为医学研究的重点【3 7 】。在光学方面， 光学组件的同步控制不仅能产生预定的光学效果，更能有效利用电力资源。在交通方面， 实现公路、铁路、航空构成的交通网络信息同步，能使人们更有效地择乘和转乘。可以 发现，复杂网络的研究涉及学科非常广泛，涵盖了非线性科学、理论物理、数学、计算 机科学、控制理论、光学、生物和医学等诸多领域，因此对复杂网络的同步研究无论在 理论上还是在实际应用中都具有重要的意义。 1 5 复杂网络同步的国内外现状 随着复杂网络模型的建立、性质的完善，人们对网络动力学的研究也在不断地深入， 其研究重点复杂网络混沌同步的研究也迅速发展起来。国内外许多学者在这方面进 行了有益的工作。如w a n g e 3 8 】等实现了无标度网络的同步。a t a y 3 9 】等研究了耦合混沌网 络存在延迟时的同步；i c h i n o m i y a 4 0 等研究了在任意振荡器网络频率同步；b e l y k h 【4 1 】 等研究的神经脉冲的网络同步。但由于网络的复杂性，迄今为止，这方面的工作报道的 还比较少。 在同步方法方面，两个系统之间的同步方法有很多种，但绝大多数的同步方法很难 或不能套用于复杂网络同步的研究中去。 在系统选取方面，复杂网络同步的复杂性来自于网络结构的复杂、连接方式的复杂、 一r 一 辽宁师范大学硕士学位论文 节点本身演化的复杂。在这些因素影响下，人们尽量会选取连续或离散时间混沌系统实 现复杂网络同步。但是，时空混沌系统构成的复杂网络，更能代表现实网络随时间和空 间演化的特性，若选取时空系统做网络的节点，无疑会增加节点本身演化的复杂性，增 加复杂网络同步的难度。所以，时空混沌系统构成复杂网络的同步研究成果还比较少见。 在系统拓扑结构方面，以上我们介绍的同步方法虽得到了广泛的应用，但大都是拓 扑等价时间混沌系统的网络同步，在少量拓扑不等价时间混沌系统的网络同步研究中， l 豇等实现了一类节点结构互异的复杂网络的混沌同步研究。但拓扑不等价时空系统复 杂网络的同步研究在国内外还比较少见。虽然实现拓扑不等价复杂时空系统网络的同步 难以成功，但是与现实网络模型有着紧密的联系。因此，拓扑不等价复杂网络时空系统 同步研究更具有实际意义和发展前景。 本文研究的主要内容就是依据稳定性定理实现了拓扑等价链式网络的时空混沌同 步和拓扑不等价树状网络的时空混沌同步。 1 6 本文的结构安排 “ 本文第一章对复杂网络的研究进展做了概括性的介绍，包括复杂网络模型的建立、 网络的性质、网络同步的意义以及国内外研究现状。 第二章介绍了复杂网络同步的两个重要判定方法：主稳定函数判据和l y a p u n o v 函 数判定法以及目前已报道的几个典型的复杂网络同步实例。 第三章，采用单变量耦合连接方式，通过b a c k s t e p p i n g 方法构造l y a p u n o v 函数，研 究了同结构链式网络的时空混沌同步问题。以g r a y - s c o t t 系统为例，仿真模拟验证了该 网络同步原理的可行性。此方法只需在复杂网络节点终端加入一个控制器，便可以实现 整个网络的同步，因此同步代价小，便以实际应用。 第四章依据主稳定函数判据，研究了异结构树状网络的时空混沌同步问题。通过确 定网络的最大l y a p u n o v 指数，得到了实现网络同步的条件。采用具有时空混沌行为的 p a n f i l o v 系统、f i t z h u g h n a g u m o 系统以及p l a n k t o n 系统作为网络节点，仿真模拟验证了 该方法的有效性。 第五章对全文进行了总结，并对今后的工作进行了展望。 链式与树状网络的时空混沌同步研究 2 复杂网络混沌同步方法 2 1 复杂网络同步 1 6 6 5 年物理学家惠更斯发现悬挂的两个钟的钟摆经过一段时间就会出现由最初的 不同步到同步摆动的现象。控制论的创始人w i e n e r t 4 1 】研究了这种同步化现象。随后生物 学家w i n f r e e f l 2 l 又对多个系统构成的网络同步进行了详细的分析。他假设每个节点只与 它周围有限个节点之间存在力的作用，因此，忽略了振子幅值变化，强调相位变化在同 步过程中的作用。k u r a m o t o 4 3 在此基础上研究了动力学系统内部节点之间的耦合强度在 极其微弱的情况下的同步问题。 在现实生活中同步现象也非常的普遍，例如，森林里鸟儿呜叫一段时间后会齐鸣， 演出结束后观众用共同节奏鼓掌，军人步伐一致的前行。如今复杂网络同步现象发生在 社会的每一层面。在医学方面，外部医学检测仪与神经系统和心脏搏动的同步，在通讯 方面，视频和音频同步传输。在娱乐方面，游戏声光效果和操作同步，在学习方面，四 六级同步考试评分系统、课堂教学和远程教育的同步。在材料方面，纳米耦合振子之间 同步。在光学方面，亿万个发光原子产生的激光同步等。当然，同步也有有害的一面， 例如大部队同时过桥引起桥体的振动，各种传染病在人类和动物中的同时流行等。 综上所述，同步与日常生活有着紧密的联系，复杂网络同步化的研究己经成为一个 极有现实意义和实用价值的课题。为了实现各种复杂网络的同步，人们在耦合方式和同 步机理研究上经历了漫长的探索道路，为我们奠定了坚实的理论基础和原理方法，给我 们解释了很多的自然现象，同时，利用同步也为我们的生活带来了便利。 所谓复杂网络同步是指多个系统，在相互耦合或在外部驱动的作用下，从不同的初 值运动，最终达到误差变量随时间演化趋于零。下面我们介绍判定同步的方法以及几个 典型的已报道的网络同步实例。 2 2 复杂网络同步的判定方法 复杂网络时空混沌同步的判定方法有两种：一种是主稳定函数判据法【4 5 郴】。另一种 是l y a p u n o v 函数法【4 9 】。 2 2 1 主稳定函数判据 考虑以个相同的动力学系统毫，f ) = f ( - t y i p ，f ) ) 作为节点，单变量耦合作为边所 构成的连续时空耗散耦合动态复杂网络，其状态方程描述如下： ， 毫，f ) = f ( z ，t ) ) + a 2 a f h q 0 ，f ” ( 2 1 ) j = l 式中置( t ) r “为刀维状态矢量，f ：欠“_ r “。，- ，t 为系统空间和时间的变量。 辽宁师范大学硕士学位论文 其中口为网络连接的耦合强度因子，日伍，f ”为各节点之间的内部耦合函数；矩阵 a r 删表示网络的拓扑结构，满足耗散耦合条件a 抒= 0 ，称为外耦合矩阵。当节点 7 。 状态相同时，右端的耦合项消失。如果外耦合矩阵a 用来描述一个无权无向简单图的拓 扑结构时，节点i 与歹是否连接决定a 封，具体可以定义如下： 当口掌= a 一= l 表示节点i 和歹有连接 当a 拶= a = 0 则表示节点间无连接 ( 2 2 ) 矩阵a 的对角元表示为 口封= 一口箩= 一口= - k f i = 1 ，2 ，n ( 2 3 ) ，= l，= 1 j 事tj 簪t 这里k ，为节点i 的度数。如果a 是一个不可约矩阵。根据矩阵理论得到，耦合矩阵 口有且仅有一个重数为1 的零特征根，且对应的特征向量为( 1 ，1 ，1y ，网络的不变同 步流形与其相对应。而矩阵a 的其余特征值均为负实数。 如果在动态网络( 2 1 ) 中，当t o o 时有 x ，f ) jx 2 p ，f ) 一x ，( r ，f ) 一x ，f ) = s p ，t ) 。( 2 4 ) 则称为动态网络达到完全同步。其中，j ( 厂，f ) 贸“为单个孤立节点的解， 五( 厂，f ) 寸z ：p ，f ) j z 。o ，f ) 一h p ，f ) = s ( r ，f ) 称为网络状态空间中的不变同步流形。 将对网络( 2 1 ) 式关于同步流形s ( f ) 进行线性稳定性分析，令z ( ，f ) 为第i 个节点状 态的变分，可以得到下面的变分方程 幺，f ) = d f ( s ( r ，f 姚p ，f ) + 伽扩d 日g ( ，f a 扔p ，t ) ( 2 5 ) 篁l 这里砑g ( 厂，f ”和凹g o ，f ”分别是胛g ( ，f ) ) 和册g ( ，f ) ) 关于同步流形s ，t ) 的 j a e o b i 矩阵，通常要求为有界。z ( r ，f ) = k 。，f l 筋，f x z ( ，f ) 】，则上式写为矩阵 形式为 名p ，f ) = 巧g p ，f ) ) 名，t ) + a d h ( s ( r ，f ) 归r ( 2 6 ) 记彳r = s a s q 为矩阵彳的j o r d a n 分解，其中人= 幽曙阮，如，九) ，矩阵a 的特征 根为 以如且丑= o 。再令z p ，f ( ，f ) = e p ，f ) ，疋p ，f ) l ，氏p ，f ) ，得到 彦o ，f ) = 矿g p ，f 龇( 厂，f ) + 伪d ! 日0 ( 厂，f 炒p ，f ) a ( 2 7 ) 窃( ，f ) = 防g ( ，f ) ) + 眈p ，f e ) 凹0 ，f ) ) 慨( ，t ) z = 2 ，3 ， ( 2 8 ) 根据l y a p u n o v 指数法来判断同步流形的稳定性。考虑到方程( 2 。8 ) 式中，只有毛，t ) 链式与树状网络的时空混沌同步研究 与4r ，f ) 与，有关系。当外耦合矩阵么为非对称时，其特征值可能为复数，故定义主稳 定性方程为 j c ，( ，f ) = d r ( s ( r ，t ) ) + ( 7 + i r l ) d l f ( s ( r ，f 渺，t ) ( 2 9 ) 其最大l y a p u n o v 指数三一是实变量y 和r 的函数，方程( 2 9 ) 称为动力学网络的主稳 定性函数。已知一个给定的耦合强度口，在，7 ) 所在的复平面上对应一个点以。如果 该点对应的最大l y a p u n o v 指数三一为正数时，则该特征态为不稳定态；反之，则该特 征态为稳定态。如果对应所有的特征态时五。 = 2 ，) ，其所有点对应的最大 l y a p u n o v 指数三一均为负数时，那么认为在该耦合强度口下，整个网络的同步流形是 渐近稳定的。 2 2 2l y a p u n o v 函数判定法 线性定常系统的稳定性分析方法很多且简单一些，然而，对于非线性系统稳定性分 析却非常复杂，甚至不可能。l y a p u n o v 函数法是解决非线性系统稳定性问题的另一种方 法。 1 8 9 2 年，伟大的俄国数学力学家l y a p u n o v ( 1 8 5 7 1 9 1 8 ) 经过不懈的努力创造性地发 表了其博士论文“运动稳定性的一般问题 给出定性概念的严格数学定义并提出了解决 稳定性问题的方法。为今后稳定性的分析提供了理论方法，适用于研究平衡状态及其稳 定性，运动及其稳定性，扰动方程的稳定性，等价于动力学方程平衡状态的扰动方程零 解的稳定性。 通常，我们不必求解复杂的非线性微分方程，而是构造一个l y a p u n o v 函数。要求 构造的函数正定且对时间的全导数为负定，来实现稳定性的结论。这一方法在复杂网络 混沌同步中被广泛应用。虽然在复杂网络混沌同步的稳定性分析中，构造l y a p u n o v 函 数是复杂问题简单化，却并不是轻而易举的，技巧、方法和经验在解决非线性问题时显 得非常重要。 对于一个振动系统，当系统总能量( 正定函数) 连续减小( 这意味着总能量对时间的导 数为负定) ，直到平衡状态时为止，则此振动系统是稳定的。 设y r ，f ) ，x ：，f ) ，k ( ，f ) ) 为在相空间原点( 厂，f ) = x ：r ，t ) - - = x o ，f ) ) 某 个邻域中的单值连续函数，若v 在e 中不变号，仅保持在原点为零，则称v 是定号的； 若v 在e 中取相同的号或零值，则称v 是半定号的。 1 ：参考态( 厂，f ) = x 2r ，t ) - - = x v p ，t ) - o ) 在区域e 中，如果可以在e 中确定 一个定号函数v ，它的全导数矿在e 中是符号与v 相反的半定号函数，或者为零，则 参考态是稳定的。 2 ：如果可以确定一个定号函数v ，它的全导数矿是定号的，而且有和v 相反的符 辽宁师范大学硕士学位论文 号，则参考态是渐近稳定的。 3 ：如果可以确定一个定号函数v ，它的全导数矿是定号的，而且v 在矿中取值能 使砂 0 ，则参考态是不稳定的。 2 3 实现复杂动态网络同步流形的技巧 两个系统的混沌同步研究方法逐渐由简单趋于成熟，最早的混沌同步方法是由美国 海军实验室的p e e o r a 和c a r r o l l 提出的驱动一响应同步方法，即p c 方法【蛐】，随后k o c m e v 和p a r l i t z 又提出了主动一被动分解法【5 1 1 ，r a h m a ni s 2 通过耦合研究了半导体激光阵列系 统同步问题。除此之外，还有很多种同步方法，如自适应同步法【5 3 1 、脉冲控制同步法嗍、 b a c k e s t e p p i n g 5 “1 】设计方法等。上述大量的同步方法，只有少数能被推广到复杂网络的 同步研究中去，所以如今关于复杂网络混沌同步的方法仍少有报道。下面介绍几种典型 的复杂网络的同步研究。 2 3 1 星形网络同步研究 若考虑如下的拓扑等价连续时间混沌系统： 毫o)=，o”(210) 式中五o ) r ”为甩维状态矢量，f ：r “一r “。将，( z ( f ”做恰当的分离， 毫o ) = m o ) ) 一o ) ) ( 2 1 1 ) 式中m ( f ) ) 为f 佤o ) ) 的线性部分，令 m 伍i o ”= a x , ( t ) ( 2 1 2 ) 式中a 为满秩的系数矩阵，通过适当的构建可以使a 的所有特征值均具有负实部。 一0 0 0 ) ) = ，o l o ) 一m o l o ) ) ) ( 2 1 3 ) 此项( 墨( f ) ) 为非线性部分。 下面研究z 个时间混沌系统( 2 1 0 ) 作为节点，按照图2 1 所示的星形连接方式构成 复杂网络的同步问题。 图2 1 星形网络模型 链式与树状网络的时空混沌同步研究 以( z o ”作为耦合函数构成星形复杂网络，耦合后的复杂网络可以表述为： 毫o ) ：减( ，f ) 一o ) ) + 4 1 k o ) ) ( 2 1 4 ) j - - l 其中4 是耦合强度因子，表示耦合矩阵的矽矩阵元，定义如下： w = 一1o 01 定义网络误差： 吩o ) = 墨o ) 一