初二上学期数学经典例题.doc

等腰三角形经典例题透析类型一：与度数有关的计算1如图，在ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，1=30，求2的度数。 思路点拨：解该题的关键是要找到2和1之间的关系，显然2=1+C，只要再找出C与2的关系问题就好解决了，而C=B，所以把问题转化为欲找出2与B之间有什么关系，变成ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。解析：AB=ACB =CAB=BD2=32=1+C 2=1+B2+3+B=180 B=180222=1+1802232=1+180 1=30 2=70总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。举一反三：【变式1】如图，D、E在ABC的边BC上，且BE=BA，CD=CA，若BAC=122，求DAE的度数。【答案】 BE=BA2=BAECD=CA1=CAD1+CAD+C=180 1=2+BAE+B=180 2=1+2=B+C=180BAC1+2=DAE=180（1+2） DAE=90=9061=29。【变式2】在ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，BAD=30，求EDC的度数。【答案】 AB=AC，AD=AEB=C，ADE=AEDADE+EDC=ADC=B+BADAED+EDC=C+BADAED=C+EDCC+2EDC=C+BADEDC=BAD=15。类型二：等腰三角形中的分类讨论2当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。思路点拨：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。解析：（1）因为8+810，10+108，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为 8时，周长为8+8+10=26； 当腰长为 10时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为 26cm或28cm。（2）当腰长为3时，因为3+37，所以此时不能构成三角形； 当腰长为 7时，因为7+73，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。总结升华：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形举一反三：【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论等腰三角形的一个角是另一个角的 4倍，求它的各个内角的度数【答案】（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x， 4x+4x+x=180， x=20， 4x=80，于是三角形的各个内角的度数为： 20，80，80。 （2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为4x， x+x+4x=180， x=30， 4x=120，于是三角形的各个内角的度数为： 30，30，120。故三角形各个内角的度数为 20，80，80或30，30，120。【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25，求这个三角形的各个内角的度数。【答案】设AB=AC，BDAC；（1）高与底边的夹角为25时，高一定在ABC的内部， 如右图， DBC=25，C=90-DBC=90-25=65， ABC=C=65，A=180-265=50。 （2）当高与另一腰的夹角为250时， 如右图，高在 ABC内部时， 当 ABD=25时，A=90-ABD=65， C=ABC=（180-A）2=57.5； 如下图，高在ABC外部时，ABD=25， BAD=90-ABD=90-25=65， BAC=180-65=115， ABC=C=（180-115）2=32.5 故三角形各内角为： 65，65，50或 65，57.5，57.5或115，32.5，32.5。 【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论在 ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40，求底角B的度数。分析：题目中AB边上的垂直平分线与直线AC相交有两种情形； 解：（1）如图，AB边的垂直平分线与AC边交于点D， ADE=40， 则 A=900-ADE=50， AB=AC， B=（180-50）2=65。 （2）如图，AB边的垂直平分线与直线AC的反向 延长线交于点 D，ADE=40，则DAE=50 BAC=130，AB=AC，B=（180-130）2=25 故 B的大小为65或25。【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论等腰三角形底边长为 5cm，一腰上的中线把其周长分成差为3cm的两部分，求腰长。【答案】如图， BD为AC边上的中线，AD=CD，（1）当（AB+AD）-（BC+CD）=3时，则AB-BC=3， BC=5 AB=BC+3=8；（2）当（BC+CD）-（AB+AD）=3时，则BC-AB=3， BC=5 AB=BC-3=2； 但是当 AB=2时，三边长为2，2，5； 而 2+25，不合题意，舍去； 故腰长为 8。类型三：证明题3（2011山东德州）如图 AB=AC，CDAB于D，BEAC于E，BE与CD相交于点O（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由思路点拨：（1）根据全等三角形的判定方法，证明ACDABE，即可得出AD=AE，（2）根据已知条件得出ADOAEO，得出DAO=EAO，即可判断出OA是BAC的平分线，根据等腰 三角形三线合一可得OABC解析：（1）证明：在ACD与ABE中， A=A，ADC=AEB=90，AB=AC， ACDABE， AD=AE（2）互相垂直， 在RtADO与AEO中， OA=OA，AD=AE， ADOAEO， DAO=EAO， 即OA是BAC的平分线， 又AB=AC， OABC总结升华：在等腰三角形中，应用三线合一的性质是解决垂直问题的一种方法。举一反三：【变式1】已知：如图，ABC，ACB的平分线交于F，过F作DEBC，交AB于D，交AC于E。 求证：BDECDE。分析: 因为DEDFFE，即结论为BDECDFFE，分别证明BDDF，CEFE即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。解析：DEBC， 32（两直线平行，内错角相等） 又 BF平分ABC 12 13 DBDF（等角对等边） 同理： EFCE， BDECDFEF 即BDECDE。【变式2】已知，在ABC中，ACB90，CD，CE三等分ACB，CDAB（如图所示）。 求证：（1）AB2BC； （2）CEAEEB。【答案】（1）CE、CD三等分ACB 12330 又 CDAB，B60，A30 在 RtABC中，A30，AB2BC（2）A130 CEEA 又BBCE60 BCE是等边三角形，ECEB CEEAEB【变式3】已知：如图，中，ABAC，ADCE，求的度数。分析：这道题综合考查了等边三角形的性质与判定，并借助全等三角形，使问题加以解决。解：在中，ABAC，为等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形）ACBC，在和中（SAS）（全等三角形对应角相等）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）【变式4】已知：如图，B、C、E三点共线，都是等边三角形，连结AE、BD分别较CD、AC于N、M，连结MN。求证：AEBD，MN/BE 分析：本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE=BD；为证明MN/BE，可先证明三角形MNC为等边三角形，再利用角去转化证明。证明：，都是等边三角形BCAC，CECD，在和中（已证）（SAS）BDAE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应角相等）在和中（已证）（ASA）MCNC（全等三角形对应边相等）是等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形） （内错角相等，两直线平行）类型四：探究型题目4如图1，在直角ABC中，ACB=90，CAB=30，请你设计三种不同的分法，把ABC分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数） 思路点拨: 在三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑。下面提供四种分割方法供大家参考。解析： 总结升华：对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一。举一反三：【变式1】如图1，给你一张三角形纸片，其中AB=AC，A=36，将此纸片按图2中的线剪开，可以将原三角形分成三个等腰三角形，那么(1)能否仿照图2，再设计几种不同的分割方法，将原三角形纸片分为3个三角形，使得每个三角形都为等腰三角形(要求：在图中标出分得的每个等腰三角形的三个内角的度数，至少画出两种)(2)你能用此三角形纸片剪出4个等腰三角形吗?解析：此题看似简单，但检验一个人思维的发散程度和一定的创造性，做全了不易，要注意多体会积累，提供一些参考答案，看看能否启迪你的创造力轴对称经典例题透析类型一：对称轴问题1、观察下图中的图案，问这些轴对称图形，各有几条对称轴?思路点拨：对于一个图形的对称轴一定要按定义全方位地去找或按照定义实际操作一下，否则就容易造成漏解或找不到对称轴。解：有 4条对称轴 有1条对称轴 有2条对称轴总结升华：这类图形必须得认真观察、分析每个图形的特征，最好能动手操作一下举一反三【变式 1】试说出下列图形的对称轴的条数。（1）线段； （2）角； （3）平行线（两条）。解析： （1）线段沿着本身所在直线或沿着它的中垂线折叠，两旁的部分能够完全重合。故线段有两条对称 轴；（2）角沿着它的平分线所在直线对折，两旁的部分能够完全重合，故只有一条对称轴，即角平分线所 在直线；（3）两条平行线，沿着和它们都平行且到它们距离相等的一条直线或沿着和它们都垂直的直线对折， 两旁的部分能够重合而和它们都垂直的直线有无数条故它的对称轴有无数条综上，线段、角、两条平行线的对称轴分别是 2条、l条、无数条类型二：轴对称图形的作法2、已知ABC，直线l求作，使和ABC关于l对称思路点拨：作一个图形关于已知直线的对称图形关键是作出一些特殊点关于已知直线的对称点，所谓的特殊点，即可以决定图形的大小和形状的点，一般来说一个多边形的特殊点就是它的各个顶点 作法：如下图所示：作AOl于O，并延长AO至使，则 就是A点关于的对称点同样可以作出 B点关于的对称点的由于 C在对称轴上，故C关于的对称点就是它本身连接 、 就是所求的三角形，如图所示 总结升华：由作对称图形的步骤和方法可知，关键是找出每个图形的特殊点，再作出这个特殊点关于直线l的对称点最后把对称点按原图那样连接起来举一反三【变式 1】如图，ABC和DEF是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴作法：连结CF作CF的垂直平分线，即为所求【变式2】如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角，则展开后所得的图形是( ) 解析：逆回去思考类型三：中垂线问题3、如图所示，在ABC中，AC=10cm，AB的中垂线交AB于E,交AC于D，DBC的周长为16 cm，求BC的长思路点拨：欲求BC长，只需求出DB+DC。而DE垂直平分AB，故DA=DB，此题可解解析： DE垂直平分AB， DA=DB DB+DC=DA+DC=AC=10 cm又 DB+DC+BC=16 cm BC=16-（DB+DC） =16-10 =6（cm）总结升华：借助三角形周长，求其一边，只需求出另两边之和，不一定非得把另两边都求出来。举一反三【变式1】如图所示，AD垂直平分BC，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F。求证DE=DF。 思路点拨：欲证DE=DF，只需证AD是BAC的平分线而AD是BC中垂线可得B、C两点关于AD对称，故ABD和ACD关于AD对称，则可得BAD=CAD证明： AD是BC的中垂线， B、C关于AD对称又 A、D在直线AD上， A和它本身对称，D也和它本身对称 ABD和ACD关于AD对称故BAD和CAD能够重合 BAD=CAD又 DEAB，DFAC， DE=DF总结升华：注意不要一看见中垂线就想得出到线段两端距离相等要认真分析题意，看清该题到底需要什么结论【变式2】（2011重庆綦江）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹分析：根据垂直平分线的性质得出，两垂直平分线的交点即是所求答案解答：已知A村、B村、C村，求作新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等；类型四：最短路问题4、在锐角AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使PCD的周长最短思路点拨: PCD的周长等于PC+CD+PD，要使PCD的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA和OB的对称点E、F，则PCD的周长等于线段EF的长解析：作法：如图作点P关于直线OA的对称点E；作点P关于直线OB的对称点F；连接EF分别交OA、OB于点C、D则C、D就是所要求作的点证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD在OA上任取异于点C的一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HPPHD的周长=HP+HD+PD=HE+HD+DFED+DF=EF而PCD的周长=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EFPCD的周长最短总结升华：本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题。举一反三：【变式】草原上两个居民点A、B在河流a的同旁，一汽车从A出发到B，途中需要到河边加水。汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图上画出该点。思路点拨：若P为直线a上的点，则要使PA+PB最小与线段有关的结论是两点之间线段最短，当把PA+PB转化成为一条线段时，点P就是符合条件的点解析：作点A关于直线a 的对称点A，连接AB交直线a于点P，点P就是所求的点。说明：此时PA+PB=AB，设点C是直线a上另一点，则CA+CB=CA+CBAB（三角形两边之和大于第三边）所以，PA+PB是最短的类型五：坐标系中的对称问题5、如图，（1）请写出ABC中各顶点的坐标（2）在同一坐标系中画出直线m：x=-1，并作出ABC关于直线m对称的ABC（3）若P（a，b）是ABC中AC边上一点，请表示其在ABC中对应点的坐标思路点拨：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）作y轴的平行线即直线m画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A、C，而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B就是点B本身解析：（1）ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）（2）过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1（3）分别作点A、B、C关于直线m对称的点A（-3，4）、B（-1，1）、C（-4，-1），并对顺次连 接A、B、C三点，则ABC即为所求（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化而横坐标都可以表示为2（-1）减去对应点的横坐 标所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。总结升华：2（-1）中的-1即对称轴x=-1若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律举一反三：【变式】（2011四川眉山）如图图中的小方格都是边长为1的正方形ADC的顶点坐标为A (0，)、B (3，)、C(2，1)（1）请在图中画出ABC关于y轴对称的图形ABC；（2）写出点B和C的坐标。解答：（1）如图所示：（2）B（-3，-1），C（-2，1）全等三角形单元复习与巩固经典例题透析类型一：全等三角形的性质1如图，ABCDEF，DF和AC，FE和CB是对应边。若A=100，F=47，则DEF等于（ ）A. 100 B. 53 C.47 D. 33思路点拨：抓住全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，找准对应边和对应角。解析：由ABCDEF，A与D对应，DEF和B对应，所以在DEF中，DEF=180-100-47=33，选D。举一反三：【变式】如图，RtABC中，ACB=90，A=20，ABC，若恰好经过点B，交AB于D，则BDC的度数为（ ）A. 50 B. 60 C62 D. 64分析：由全等三角形性质得B和B=70，因为恰好经过点B，所以为等腰三角形，=70，BDC=C+=20+40=60。【答案】B 类型二：三角形全等的证明2（2011重庆）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，A=D，AF=DC求证：BCEF思路点拨：通过证明ACBDEF，得到内错角相等，从而达到证明线段平行的目的。证明：AF=DC，AC=DF，在ACB和DEF中，ACBDEF，ACB=DFE，BCEF总结升华：证明三角形全等是证明线段相等，角相等的手段之一。举一反三： 【变式1】如图：BE、CF相交于点D，DEAC，DFAB，垂足分别为E、F，且DE=DF。求证：AB=AC。解析：DEAC，DFABDFB= DEC=90 （垂直的定义）在 BDF和CDE中BDFCDE（ASA） BD=CD（全等三角形对应边相等）又 DE=DF BE=CF在ABE和ACF中ABEACF（AAS） AB=AC（全等三角形对应边相等）【变式 2】如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。 解析：BEAC，CFABAEB= AFC=90 （垂直的定义） 1+BAC=2+BAC=90（直角三角形的两个锐角互余） 1=2在ABM和NCA中ABMNCA（SAS） AM=AN，3=N（全等三角形对应边、对应角相等）在 RtAFN中： 4+ N=90 （直角三角形两个锐角互余） 3+ 4=90 AMAN（垂直的定义）【变式3】如图，C是线段BD上一点，以BC，CD为边在BD同侧做等边ABC和等边CDE，BE与AD相交于M。（1）求证：BE=AD；（2）求AMB的大小。分析：（1）要证BE=AD，只需证BCEACD。由已知可知AC=BC，CE=CD，因此只需证BCE=ACD。（2）由BCEACD可知4=5，而6=5+AMB=4+1，因此AMB=1=60。解：（1）ABC，CDE都是等边三角形 BC=AC，CD=CE。1=2=60。 BCE=1+3，ACD=2+3， BCE=ACD 在BCE和ACD中， BCEACD（SAS） BE=AD。（2）BCEACD，4=5。 6=5+AMB=4+1，AMB=1=60。【变式4】两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC。试判断EMC的形状，并说明理由。解析：EMC是等腰直角三角形。由已知条件可以得到： DE=AC，DAE+BAC=90 DAB=90。连接AM。由DM=MB可知MA=DM，MDA=MAB=45从而 MDE=MAC=105即EDMCAM。因此 EM=MC，DME=AMC又易得EMC=90所以 EMC是等腰直角三角形。【变式5】在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线经过顶点C，过A，B两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为E，F。（1）如图1当直线不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF。（2）将直线绕点C顺时针旋转，使与底边AB相交于点D，请你探究直线在如下位置时，EF、AE、BF 之间的关系， ADBD；AD=BD；ADBD。分析：要证EF=AE+BF，只需证ACECBF。证明：（1）AE，BF，AEC=CFB=90，1+2=90 ACB=90，2+3=90 1=3。 在ACE和CBF中， ACECBF（AAS） AE=CF，CE=BF EF=CE+CF，EF=AE+BF。（2）EF=AEBF，理由如下： AE，BF， AEC=CFB=90，1+2=90 ACB=90，2+3=90，1=3。 在ACE和CBF中 ACECBF（AAS） AE=CF，CE=BF EF=CFCE，EF=AEBF。 EF=AEBF EF=BFAE 证明同。【变式6】.如图所示，在ABC中，AC=BC，ACB=90，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E， AE=BD，求证：BD是ABC的平分线 思路点拨：如果BD是ABC的角平分线，则应有ABD=CBD，根据已知条件，很难找到这两个角相等的直接条件，但可以延长AE和BC，令其交于一点，先证出全等三角形，再利用全等三角形对应角相等解题证明：延长AE和BC，交于点F，因为 ACBC，BEAE，ADE=BDC（对顶角相等），所以EAD+ADE=CBD+BDC即EAD=CBD在 RtACF和RtBCD中所以RtACFRtBCD（ASA）则 AF=BD（全等三角形对应边相等）因为 AE=BD，所以AE=AF，即 AE=EF在 RtBEA和RtBEF中，则RtBEARtBEF（SAS）所以 ABE=FBE（全等三角形对应角相等），即 BD是ABC的平分线总结升华：如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法。类型三：角平分线的性质与判定3已知：如图所示，CDAB于点D，BEAC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分BAC，求证：OB=OC 思路点拨：由CDAB，BEAC，可知ADC=AEB=90，又由OA平分BAC可知，OE=OD，再利用“角边角”证明出OBDOCE，从而得到OB=OC证明：因为CDAB，BEAC，则ADC=AEB=90又因为 AO平分BAC，所以 OD=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）在 BOD和COE中，所以RtBODRtCOE（ASA）所以 OB=OC（全等三角形对应边相等）总结升华：注意运用角平分线的性质的数学几何语言表达举一反三：【变式 1】如图，在中，平分，那么点到直线的距离是_cm 答案：3 cm【变式2】如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于，。求证解析：CDAB，BEAC BDO=CEO=90 在BDO与CEO中 BDOCEO（AAS） OD=OE 又ODAB，OEAC AO为BAC平分线 1=2 （角平分线的判定）【变式3】如图，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？分析：要求到三条公路的距离相等，那需要画出各个角的平分线，（包括外角），这样的点有4个。【答案】可以选择的地点有4处，P1，P2，P3，P4，如图所示。【变式4】如图，已知1=2，P为BN上的一点，PFBC于F，PA=PC， 求证：PCB+BAP=180证明：过点P作PEBA于E1=2,PFBC于FPE=PF, PEA=PFB=90在RtPEA与RtPFC中PEAPFCPAE=PCBBAP+PAE=180PCB+BAP=180类型四：利用三角形全等知识解决实际问题4要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明EDCABC，得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定EDCABC的理由是（ ） A边角边公理B角边角公理； C边边边公理 D斜边直角边公理思路点拨：把实际问题转化成数学语言或数学符号，然后用学过的数学知识进行解答【答案】：B总结升华：解决本类题的关键是相关知识的熟练掌握和转化。举一反三：【变式1】如图，将两根钢条AA、BB的中点O连在一起，使AA、BB可以绕着点O自由转动，做成一个测量工具，则AB的长等于内槽宽AB，那么判定OABOAB的理由是_ 【答案】SAS； 由题意可知OA= OA，AOB=AOB，OB=O B，所以判定全等的理由是SAS。【变式2】如图,工人师傅要检查模型中的A和B是否相等,但他手边没有量角器,只有一把刻度尺,请你设计一个方案来说明A和B是否相等。解析：方案如下:(1) 分别在AB上取两点E、G,使AE=BG；(2) 分别在AC和BD上取两点F、H,使AF=BH(3) 量出EF和GH的长度.若EF=GH,则根据“SSS”证明AEFBGH,从而得到A=B；若EFGH,则AB.角平分线的性质经典例题透析类型一：角平分线性质的应用1（2011湖北恩施）如图，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为50和39，则EDF的面积为：（ ）A、11 B、5.5 C、7 D、3.5思路点拨：过D点作DHAC于H，由角平分线的性质，DF=DH，易证EDFGDH，根据，可以算出EDF的面积解析：过D点作DHAC于H，AD是ABC的角平分线，DFAB，DHACDF=DH在RtEDF和RtGDH中DE=DG，DF=DHRtEDFRtGDH同理可证RtADF和RtADH=50-39=11，EDF的面积为5.5，选B总结升华：角平分线上的点到角两边的距离相等。举一反三：【变式1】如图，ABC中，C=90，AD平分BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:DB=3:5 求：D到AB的距离。分析：点到直线的距离是经过该点作直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。【答案】：过D作DEAB于E。 AD平分BAC，DEAB，DCAC DE=CD BC=24，CD:DB=3:5 CD=24=9DE 即点D到AB的距离是9。【变式2】如图，ACB=90,BD平分ABC交AC于D，DEAB于E，ED的延长线交BC的延长线于F. 求证：AE=CF【答案】BD平分ABC，DEAB,DCBFDE=DC在ADE和FDC中ADEFDC(ASA)AE=CF类型二：角平分线的判定2、已知，如图，CEAB,BDAC,B=C，BF=CF。求证：AF为BAC的平分线。思路点拨：由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。解析：CEAB,BDAC（已知） CDF=BEF=90 DFC=BFE(对顶角相等) BF=CF(已知) DFCEFB(AAS) DF=EF(全等三角形对应边相等) FEAB,FDAC（已知） 点F在BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF为BAC的平分线总结升华：应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。举一反三：【变式1】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O(1) 若DBAC,CEAB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。(2) 若D，E不是垂足，是否有同样的结论？并证明你的结论。【答案】（1）AB=AC,AD=AE BE=CD DBAC,CEAB, BEO=CDO=90 在BEO和CDO中 BEOCDO EO=DO EOAB,DOAC 点O在A的平分线上（2）点D,E不是垂足时，（1）的结论仍然成立，连接AO 在ABD和ACE中 ABDACE B=C AB=AC,AD=AE EB=CD 在BEO和CDO中 BEOCDO EO=DO 连接AO，则： 在AEO和ADO中 AEOADO EAO=DAO O点在A的角平分线上【变式2】如图，与的面积相等求证：OP平分分析：观察已知条件中提到的三角形与，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得。【答案】：作于M，于N ，且 又 又 平分类型三、角平分线的综合应用3、已知：如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D求证：BAD=DAE+C 思路点拨：题目中没有角平分线上的点到任何一边的垂线段，观察要证的结论发现，可以通过将ABD翻折下来从而将DAE和C放在同一个三角形中，利用外角可求和。另外也可以单纯导角得到结果。证明：（法1）延长AD交BC于F平分 =在与中又，即有：BAD=DAE+C （法2）(仔细观察发现没必要证明两三角形全等)又，即有：BAD=DAE+C （法3）(进一步观察发现本题也无需添加辅助线)即而又，即有：BAD=DAE+C总结升华：添加辅助线时，要能充分利用已知条件。举一反三：【变式1】如图，BD平分，且探究与的数量关系，并证明你的结论 分析：利用角平分线进行翻折，构造全等三角形，使得与产生关系。【答案】：在BC