（计算数学专业论文）一类半线性抛物问题的rungekutta配置法.pdf

其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律责任由本人 承担 论文作者签名：主墨! 盈 e l 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：呈麴导师签名： 期。 型挚钮 王景明 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 本文首次将r u n g e - k u t t a 方法与配置法结合起来解半线性抛物问题。利用 中点e u l e r 方法即二阶b u n g e - k u t t a 方法离散时间，结合正交配置法得到全离 散格式并证明了全离散解的存在唯性，同时给出胪一模的最优先验误差估 计 半线性抛物方程在化学生物学等许多数学物理问题中有着广泛的应用。 无论从理论上。还是数值分析上，全面深入地进行研究是很有意义的 r u n g e - k u t t s 方法是一种高阶的单步法，它不求微商，而是计算不同点上 的函数值，然后对这些函数值作线性组合，构造近似公式r u n g e - k u t t a 方法 在解常微分方程系统中有广泛的应用。而将r u n g e - k u t t a 方法用于解偏微分方 程并不多见配置法是以满足纯插值约束条件的方式。寻求算子方程近似解 的方法，且具有无需计算数值积分，计算量小，收敛阶高等优点近几年。配 置法得到了快速发展，巳被广泛应用于解各类微分方程问题 d o u g l a s 与d u p o n t 在文献【l 卜【4 】中深入讨论了一维非线性抛物初边值问题 的样条配置法，他们把正交配置法与各类时间离散方法相结合，得到了很好 的结果( r e e n w e h 与f a i t w e a t h e r 在文献【5 j 中研究了二维抛物和双曲问题的样 条配置法 在此基础上，本文主要针对一类半线性的二维抛物问题，提出了将二阶 r u n g e - k u t t s 方法与配置法相结合的全离散配置法文中采用分片双三次h e r - m i t e 插值多项式空间作为求解的逼近函数空间，建立了全离散的配置格式， 不但证明了全离散解的存在唯一性，而且得出了工2 模的最优先验误差估计 本文的结构如下t 第一章讨论常系数抛物问题的r u n g e - k u t t a 配置法第 一节是引言考虑以下常系数半线性抛物方程的初边值问题 恳筹：； ( 王，y ) n ，t ( o ，刀， ( 五”) n ， ( 1 ) 扛，f ) 铀，t ( o ，习 山东大学硕士学位论文 对n 作拟一致正规的，沿毛i 方向以k 为步长等距的矩形网有限元 剖分网格点记为慨，协) ，i ；0 ，1 ，m j = 0 ，1 ，n 且 0 暑a c o z l 1 f 暑1 ；0 = 珈 玑 聊l1 记 = k - i ，划x 协- l 纠，i = 1 ，m ；j 一1 ，m 瑶= b 扣1 ，d ，巧一h n 一“铆1h ；竹m z t k ， 用b 表示次数不超过3 的多项式集合，记 也= 口c 1 i o ，l 】j 口b ( 露) ，l = 1 ，椰霹= 扣以： ( o ) ；t ，( 1 ) = o ) 且； 口c 1 t o ，l l p 3 ( p ) ，l ；l ， h ：= u ，：v ( o ) = v c t ) = o ) 定义分片双三次h e r m i t 汜多项式空间， ht h | 舄h - 1 1 0 一破母h ： 同时给出了配置点、内积和范数的定义 第二节给出全离散配置格式。 u 气+ l _ r u n 一旷m 一，2 ( 矿+ 竽广( 扩) ) ( f 鑫，镑) ；o n ；o ，1 ，一l 俨k ) = l u o ( z ，) 扩( z 口) ；0 和圣，) n ( 善，笋) a q ( 3 ) 证明此格式与离散的g s e r k i n 方法等价，从而证明了解的存在唯性 第三节是收敛性分析首先给出几个常用的引理，利用这些引理得到下述 定理： 定理1 3 设u 是方程( 1 ) 的精确解。u 是全离散格式( 3 ) 的配置解假 定，关于是l i p s c h i t z 连续的，u * ( 0 ，t ；( n ) ) 旭垆( 0 ，正( n ) ) 则对于 充分小的& ，( 3 ) 有唯一解，且存在常数c 满足。 。m s a s x f l u i - u | l p ( n ，sc ( + 舻) ( 4 ) 2 山东大学硕士学位论文 第二章进一步讨论变系数抛物问题的r u n g e - k a t t a 配置法考虑以下变系 数半线性抛物方程的初边值问题 f 象一v ( d v ”) = 巾，u ) ，( 钏) 觚t ( o ，刀， 1t ( z ，口，0 ) = t | o ( $ ，y ) ， ( ，f ) o ， t “扛鼽t ) = 0 ( 毛们硼，t ( 0 ，t 1 ( 5 ) 0 d d 0 ，f ) s d + ( 6 ) 类似地可用r u n g e - k u t t a 配置法建立全离散格式 - ” z l 7 竺一v ( d v 矿+ l 胆) 一j p 班( 扩+ 竽厂( 驴) ) ( 鼠，黝= o n 一0 l ，。一l ，o ( z p ) = = l u o ( z ，)( 卫，掣) n p ( y ) = 0忙，鲈) 铀 ( 7 ) 同样可知( 7 ) 与如下的g a l e r k i n 方法等价，且存在唯一解 ( 6 m 1 + i ：- 广u 一- 一v ( d v u + * 2 ) 一，l + l ，2 ( c ，l + 譬，i ( 扩) ) ，。) = o ；俨 ( 8 ) 最后进行收敛性分析，得到下述定理t 定理2 , 1 设“是方程( 5 ) 的精确解，是全离散格式( 7 ) 的配置解假 定，关于“是l i p s c h i t z 连续的，u p ( o ，r ；俨( n ) ) ，u te 俨( o ，r ；h 4 ( 则对于 充分小的f ( 7 ) 有唯一解，且存在常数c 满足： o m ：。a ：x i i u k - - u i i p ( 0 ) e ( + 胪) ( 9 ) 关键词：半线性抛物同题，r u n g e - k u t t a 方法。配置法，分片双三次h e r m i t e 插 值，收敛性 3 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i st e x tc o m b i n e sr u n g e - k u t t am e t h o d bw i t hc o l l o c a t i o nm e t h o 幽t os o l v es e m i - l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m sf o rt h ef i r s tt i m e u t i l i z i n gm i d p o i n te u l e rm e t h o dn a m e l y s e c o n d - o r d e rr u n g e - k u t t am e t h o dt od i s e r e t i z et i m ea n dc o m b i n e dw i t ho r t h o g o n a lc o l - l o c a t i o n ，w eh a v eg o tt h ef u l l yd i s e r e t i z e dc o l l o c a t i o ns c h e m e f u r t h e r m o r e ，t h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so ft h en u m e r i c a ls o l u t i o na r ep r o v e da n dt h eo p t i m a lo r d e re s t i m a t ei n l 2 一n o r l n si sd e r i v e d s e m l i n e u rp a r a b o l i ce q u a t i o n sa r e 奶d e l yn s e di nm a n ym a t h e m a t i c a lp h y s i c a lf i e l d s ， s u c h c h e m i s t r y , b i o l o g y s oi ti sn e c e s s a r yt oi n v e s g a t ea l l - a r o u n da ta l le v e n t s r u n g e - k u t t am e t h o di s8h i g h - o r d e rs i n g l es t e pm e t h o d y o uw i l ln o t i c et h a tr u n g s - k u t t am e t h o dr e q u i r e sy o un o tt os u p p l yv a l u e so ft h ed e r i v a t i v e sb u tt oc a l c u l a t et h e f u n c t i o nv a l u e sa td i f f e r e n tp o i n t s t h e ni td ot h el i n e a ra s s o c i a t i o nt ot h ef u n c t i o nv a l u et o c o n s t r u c tt h ea p p r o x i m a t ef o r m u l a r u n g e - k u t t am e t h o di s w i d e l yu s e di ns o l v i n go r d i - n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b u ti ti ss e l d o mu s e dt os o l v ep a r a t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e c o l l o c a t i o nm e t h o di san u m e r i c a lm e t h o dw h i c hs e a r c hf o rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no f t h ee q u a t i o nb yw a yo fm e e t i n gp u r ei n t e r p o l a t i o nc o n d i t i o n i th a st h ea d v a n t a g ei ne a s e o fi m p l e m e n t a t i o na n dh i g h - o r d e ra c c u r a c y d o u g l a sa n dd u p o n td e e p l yd i s c u s s e dt h es p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d sf o rn o n l i n e a r p a r a b o l i ci n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si no n es p a c ev a r i a b l e t h e yc o n s i d e r e dt h eu s e o f o r t h o g o n a lc o l l o c a t i o nm e t h o dc o m b i n e dw i t hv a r i o n st i m e - s t e p p i n gp r o c e d u r e sa n dg o t s o m eo p t i m a lr e s u l t s g r e e n w e l la n df a i r w c a t h e rs t u d i e dt h es p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d s f o rp a r a b o l i ca n dh y p e r b o l i cp r o b l e m si nt w os p a c ev a r i a b l e s t h e na c c o r d i n gt ot h ea b o v e ，i nt h i sd i s s e r t a t i o nad i s c f e t e - t i m ec o l i o c a t i o nm e t h o d i n t e g r a t e dr u n g e - k u t t am e t h o da n dc o l l o c a t i o nm e t h o di sg i v e nf o rac l a s so ft w o - d i m e n s i o n a ls e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n i nt h i sp a p e r ，t h es p a c eo fp i e c e w i s eh e r m i t e b i c u b i c si st h ea p p r o x i m a t i o ns p a c e ，i tg i v e st h ef u l l yd i s c r e t ec o l l o c a t i o ns c h e m e ，t h ee x - i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h en u m e r i c a ls o l u t i o na r ep r o v e d ，a n do p t i m a lo r d e rl 2e r r o r e s t i m a t ei sd e r i v e d t h eo u t h n eo ft h i sp a p e ri s f o l l o w s ：i nc h a p t e r1 w ed i s c u s sr u n g e - k u t t ac o k i o c a z i o nl l l e lh j dw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s e c t i o n1 i si n t r o d u c t i o n w ec o n s i d e r et h e f o h o w i n gs e m i l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m ： 4 也一 t ，c 1 【0 ，l i l y 尸3 ( 鬈) ，f 一1 ，m 田一 口也：口( o ) 一v o ) 一o 风一 c 1 【0 ，1 u 岛( 口) ，f 一1 ，肘 田一 e 巩：口( o ) = 口( 1 ) = o l d e f i n et h es p a c eo fp i e c e w i s eh e r m i t eb i c u b i c s ： h = h z 园h l h 一h ! g 哦 a n dg i t h ec o l l o c a t i o np o i n t s ，i n n e rp r o d u c ta n dn o r l n s e c t i o n2g i v e st h ef u l l yd i s c r e t ec o l l o c a t i o ns c h e m e ： f 学一扩“肛一，n + l 以( 扩+ 譬广( m ( 最，) = o n 葺。 l ，一1 i 1 伊( 而f ) 一l u o ( x ，p ) ( 毛) e n l lu ”( z ，) = 0( z ，g ) a n ( 1 2 ) i tp r o v e st h a tt h i ss c h e m ei se q u a lt od i s c r e t eg a l e r k i nm e t h o d f u t h e r m o r e ，i tp r o v e st h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h em e t h o d s e c t i o n3i sc o n v e r g e n c ea n a l y s i sa n de r r o re s t i m a t e f i r s t l yw ew i l lg i v es o m el e m m a s a n dl t h e mt og e tt h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r m1 3 s u p p o s eni st h ea c c u r a t es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n s ( 1 0 ) ，uj 6t h e a d l yd i s c r e t ec o l l o c a t i o ns o l u t i o no f ( 1 2 ) s u p p o s e ，i sl i p a c h i t zc o n t i n u o u sa b o u tu m 5 山东大学硕士学位论文 工( o r ；日4 ( n ) ) ，t t l ( 0 ，r ；h 4 ( n ) ) ，t h e nf o rs u 伍c i e n t l ys m a l la t ，t h es o l u t i o nf o r ( 1 2 ) i su n i q u e ，a n dt h e r ee x i t sa t a n tct os u p p l y ： o m k 双 ni i 一c ，i | p ( n ) c ( a t + h 4 ) ( 1 3 ) i nc h a p t e r2w e 缸r t h e rd i s c u s sc h a n g a b l ec o e f f i c i e n tr u n g e - k u t t a c o l l o c a t i o nm e t h o d w e c o n s i d e r et h ef o l l o w i n gs e m i l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m ： i意ii2毗然x,y)en,0 y “o 孔 ， 1u ( ，掣，) 掌t l o ( z f ) ( ，) n 1 1 4 j l “( ，s ，t ) = 0 ( 玉，f ) 砌，t ( 0 ，卅 0 d 。s d ( z ，) s d + ( 1 5 ) s i m i l a r l yw ec a ng i v et h ef u l l yd i s c r e t ec o l l o c a t i o ns c h e m e ： f 学一v ( d v 旷1 2 ) 一厂+ 1 胆( 矿+ 譬厂( 扩) ) ( 最，碟) = o n = 0 , 1 , - - - , 一l i 1 俨( 互y ) 一l u o ( z ，y ) ( 毛”) n l 【泸( ，y ) = 0 ( 。，”) 鲫 ( 1 6 ) a l s omc a nk n o wt h a tt h i ss c h e m ei se q u a lt od i s c r e t eg a l e r k i nm e t h o d 一v ( d v c ，“，2 ) 一广+ m ( 旷+ 譬厂l ( 矿) ) ：) = o ：俨 ( 1 7 ) i nt h ee n dw eg i v ec o n v e r g e n c ea n a l y s i sa n dg e tt h ef o l l o w i n gt h e o r m ： t h e o r m2 1 s u p p o s eui st h ea c c u r a t es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n s ( 2 4 ) ，ui s t h e f = u l l yd i s c r e t ec o l l o c a t i o ns o l u t i o no fr 2 6 ) s u p p o s ef i sl i p s c h i t zc o n t i n u o u sa b o u tu ( o r ：日6 ( 1 2 ) ) ，u t l ( o ，r ；日4 ( n ) ) t l 眦f o rs u f f i c i e n t l y 咖a i la t ，t h es o l u t i o nf o r ( 1 6 ) i su n i q u e a n dt h e r ee x i t sac o n s t a l l tct os u p p l yl 。m m a x 。l l “k - 扩n ) e ( + ) ( 1 8 ) k e yw o r d ss e m i l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m ；r u n g e - k u t t am e t h o d ；c o l l o c a t i o ns c h e m e ； p i e c e w i s eh e r r n i t eb i c u b i c s ；c o n v e r g e n c e 6 第一章常系数抛物问题的r u n g e - k u t t a 配置法 1 1 引言 现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学、化学和生物学的成就 和进展，而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证学科的精 确化往往是通过数学模蛩来实现的，而大量的数学模型可归纳为所谓的半线 性抛物方程 近年来。r u n g e - k u t t a 方法越来越多地受到广大数学工作者的重视。r u n g e - k u t t a 方法是一种高阶的单步法，它不求微商，而是计算不同点上的函数值。然 后对这些函数值作线性组合。构造近似公式r u n g e - k u t t a 方法在解常微分方 程系统中有广泛的应用。而将r t m g e - k u t t a 方法用于解偏微分方程并不多见 配置法是以满足纯插值约束条件的方式寻求算子方程近似解的方法，且具 有无需计算数值积分计算量小收敛阶高等优点近几年。配置法得到了快 速发展。巳被广泛应用于解各类微分方程问题 d o u g l a s 与d u p o u t 在文献【1 卜【4 l 中深入讨论了一维非线性抛物初边值问题 的样条配置法他们把正交配置法与各类时间离散方法相结合，得到了很好 的结果g r e e n w e u 与f a i r w e a t h e r 在文献f 5 1 中研究了二维抛物和双曲同题的样 条配置法 而本文首次将r u n g e - k u t t a 方法与配置法结合起来解半线性抛物问题。利 用中点e u l e r 方法即二阶r u n g e - k u t t a 方法离散时间，结合正交配置法得到全 离散格式。不但证明了全离散解的存在唯性，而且给出了驴模的最优先验 误差估计 本章首先考虑以下常系数半线性抛物方程的初边值问题 ，a ” i 一a u f ( t ，u ) ， ( z ，f ) n ，t ( 0 。刀， 1 “( 霉，寥0 ) = t 0 ( z ，f ) ， ( ，弘) n ， l i j i ( z ，f t ) 一0( z ，l ，) i 目q ，t ( o ，即 其中n = f u 1 ) o ，1 ) ，伍2 为q 的边界 p 7 山东大学硕士学位论文 对n 作拟一致正规的沿毛”方向以h f f i ，l i l ，为步长等距的矩形网有限元 剖分网格点记为，玑) ，i 一0 1 m ；j = 0 1 且 0 蕾：c o 2 t x m 暑l ；0 ly 0 们 掌1 ( 1 2 ) 记 层；陬一i ，盂- 1 口= 协i ，y l 】h = ”眦 1 n 玎= k i ，】xl 鲫一l ，协1 ， i ；1 ，m ；j = 1 ， 在n u 上选取如下四个g 姗点为配置点， ( 鼹，岛) ， i ，l l ，2 ， 最= 以一i + k & 颤一协一l + 6 其中 f i 一( 3 一v 3 ) 6 ，6 = ( 3q - 瓶) 6 用焉表示次数不超过3 的多项式集合。记 凰t 扣c 1 【0 ，i ”恳( 坛) ，k 一1 ，肘 以一 口c 1 i o ，t l v 尸3 ( p ) ，l = l ) 田= 口矾：v ( o ) ； ( 1 ) = o 田= v 乩：口( o ) = t ，( 1 ) 一0 ， 定义分片双三次h e r m i t e 多项式空间。 规定以下记号 h = h l gh i h oth ：q 蛾 m r m2 “，”) t 似砷玎= ；也) ( 镀，) l - i # i i 膏lj i i k d f f i ! ( v “，v n ) 一( ，如) + ( ，) ， m m 2 ( 剐) l ；u ，”) 。；k ( “”) ( 锰) ， i il i i 。七l i 8 山东大学硕士学位论文 于是易得： 定义 nn 2 州) ，一u ，计f ，一；l i i ，( 一) ( ) ， j i ij l 。上i i mnm n 扣一) l 善；似一) 莳2 i s l ；厶伽如句t i l i i - i 。州 ( 。卅。釜( ) 。兰u v d z ， ( u ，”k 一( u ) n 一。 ， i - l茸lj z 4 - 1 ( u m ，。妻( 。，。k 。妻厂，伽句( u ，”) ，一( “，”k 一伽句 j - ij - l 。辫t ( 。= ( ( ，口) ，1 ) ，一( 缸，口) ，1 ) ， h 峪一0 1 ( ，t k ) ，如+ z 1 ( t | ，) ；句 地鼠 i i “2 。( ，由 v u 日 ( 1 3 ) 川“础一z 1 ( 。，) ，出+ z 1 ( 。，n ，) ：妇v u e 日 下面简要说明一下r u n g e - k u t t a 方法对于初值问题 黏等 m 阶r u n g e - k u t t a 方法形式如下t t k + i = + q 氟， n = o ，l ，- 9 山东大学硕士学位论文 其中 i 一( t ，u ) ， 岛一( t + j l l 嘶，u ( t ) + _ i l i h l k l ) ，6 2 l 。n 2 ， 岛一( t + h a 3 ，u ( t ) + n ( h i t l + 6 艟如) ) ，6 3 i + 6 缸一a s ， m - - i m - - ! k = ( t + h a m ，u ( 0 + h k j k j ) ，- - a m i lj i l 在实际应用中使用较多的是二阶r u n g e - k u t t a 方法和四阶r u n g e - k u t t a 方 法本文将采用二阶r u n g e - k u t t a 方法( 中点e u l e r 方法) 构造全离散配置格 式二阶r u n g e - k u t t a 方法形式如下 t i - i + l t i + h i ( t 。+ ；_ i l ，t k + i 1 螈) 山东大学硕士学位论文 系数抛物问题的r u n g e - k u t t a 配置法 在本节中我们给出方程( 1 1 ) 的全离散格式 对时间【o ，司剖分0 t 一 t 1 t n z 定义以下记号t a t | t f n p | n t 旷一矿( 毛们= c ，似玑吼矿+ - 卢；竿 记沿7 妒方向的分片三次h e r m i t e 插值算子为，l 。，而。上分片双三次 h e r m i t e 插值算子为f ，则对足够光滑的函数仉有 i n ；l t i 一一l 。l 一。 建立如下全离散配置格式t f 学一护1 胆一，1 脂( 扩+ 譬厂( 扩) ) ( 磊镑) = o 忭一o l ，。一l ，扛，f ) ；l u o ( z ，妒) 扩( 而”) ；0 扛，f ) e n 协f ) 鲫 ( 1 4 ) 下面证明当充分小时全离散格式( 1 4 ) 给出的全离散解存在唯一，且与如 下全离散的g a l e r k i n 方法等价t ( u n + 酉l _ 一n a u 。+ t 2 _ 广价( 扩+ 譬厂( ) ，：) = o ：e 日。( 1 5 ) 设 ； 盔是俨的一组基，则对任意的扩( 毛f ) 俨可表示为t 4 m n 扩( 曩| ，) = 叼磊( 训) i i ( 1 6 ) 令 矗：l = 1 2 ，4 m n = ( 磁) ：i 一1 ，m ；j = 1 ，n ；k 1 一l ，2 将( 1 6 ) 代入( 1 4 ) 得t a 【严+ 1 霉b u “+ c ( 1 7 ) 山东大学硕士学位论文 其中 a 一( 叼) m n 。4 m n“t ( 叼，f ) r b ，( b ) w x 4 m ne = ( c 1 ) 埘h 叼一句( 矗) 一譬习( 6 ) b 一临) + 譬勺( 6 ) 龟；t ，件1 胆( 4 m nc j 7 i 句( 6 ) + 下、t 厂【4 l m n w 魂慨) ) )龟= t ，件1 胆( c j 7 i 句( 6 ) + 下厂【lw 魂慨) ) ) l i l 。七i l 再将( 1 6 ) 代入( 1 5 ) 得t 五c p i 一雪扩+ 0( 1 8 ) 其中 五= ( ) 4 ，。m n 巩t ( 叼，孙) r 后一( b ) 村。4 m n 口一( 磊) 4 b = ( 刁一譬瓴) b ；( 句+ 譬鲰五) 磊一t ，+ i 2 ( c j 7 i 句+ 警，i i ( 叼缸) ) ，盈) i i i 。 l i 注意到a r = 0 的解必是五r = 0 的解，这里r 为4 m n 维向量故若五非奇异， 则a 必为非奇异阵由此可知方程( 1 4 ) 与( 1 5 ) 有唯一解因此只需证明五非 奇异。就再r 知( 1 4 ) 的解是存在唯一的下面证明j i 非奇异首先给出两个引 于是。 拦勺习一譬勺螈加。 ，洲 将此4 m n 个方程相加。并令g ( 正，”) ；e 氕蕾( z ，p ) 可得 ( g 扛，口) ，g ( 毛f ) ) + 等( 一g ( z ，f ) ，g 扛y ) ) ；0 ， 利用引理( 1 2 ) 可知( g ( 毛) c ( z ，) ) 一0 ，即 g ( 6 ) 。0 ，i = l ，4 m n 再根据引理( 1 1 ) 得g ( x ，y ) = o 故r 一0 ，矛盾定理得证 综合上述讨论，可得下面的定理。 定理1 2 方程( 1 4 ) 与( 1 5 ) 等价。且存在唯一解 这样讨论全离散配置解的误差估计，我们仅需讨论( 1 5 ) 的误差估计 t ，一，叫l p n ) sc h ( l | 4 l i 各( n d j ) 量 j 地一i v t l 2 s 傩4 ( 吾i | 限) ) 。 引理1 5 若口i l o ，则存在正常效a ，g 成立t a i l 胪( o ) 1 1 1 t ，1 i q m k ( n ) 设“是方程( 1 1 ) 的精确解，为全离散格式f l ，4 ) 的解。假定，关于 t t l i t x s c l f i t z 连续。为l i p s c h i t z 常数选取w = 几伊令 g n 矿+ l 一i n 一矿+ 1 1 2 _ 广+ ，2 ( t 4 + 譬，i ( 矿) ) 暑以 ( 1 1 0 ) 由于 百钆n + i 2 一1 ，2 一广1 肛( 1 胆) t o ( 1 1 1 ) 1 4 山东大学硕士学位论文 利崩黍勒公式 扩+ i = t ，+ i 1 24 - 丁a t 0 1 u 氪+ 一i 2 + t x t 2 0 2 _ 1 u 矿, * + t , 2 + 虿x p o p _ 1 “矿 * + t 2 + o ( a ) 牡f u n + 1 2 - - 虿t t o u + 1 9 + 竽警一百x p 可o p u , , + 2 删o ( a ) 两式相减得 葛= 下0 1 t n + l 口+ 竺2 4 警+ d ( )t挑夙3 、 此外 ，”i 胆( 矿+ 譬厂( 矿) ) 一尸“i ，2 ( 矿+ i 胆 一譬( 矿一矿+ i 2 + 钞( 硼 = a t 0 + 1 = ( 一t 钆，n 广+ l 2 + ，i ( t ，) + d ( t ) ) 出 。”、一。” a o ( z x t ) 因此。( 1 1 0 ) 减( 1 1 1 ) 可得 如一o ( z x t )( 1 - 1 2 ) 考虑误差方程 ( u 。+ 1 - i v n 万+ l - 一u + w = ，：) 一( ( 1 2 一胪+ 1 ，2 ) ：) 霹( 广i + t ，2 ( c ，n + 譬厂i ( 扩) 一，| l + l ，2 ( “+ 竽厂i ( “) ) ，力+ ( u n + l - w 1 n + ! 万u n + w n ，：) 一( ，：) 一( ( u ”+ 1 2 一w “+ 1 2 ) ，：) f 1 1 3 ) 山东大学硕士学位论文 令f = 【，一w 町= u 二彤，上式可化简为 瓦1 p “一p ，：) 一m ，：) - - ( ”l ，2 ( 扩+ 譬，i ( 矿) 一尸i + 1 2 ( 矿+ 譬，f i ) ) ：) + ( 1 7 n + 矿l - - r l n ：) ( l 1 4 ) 一( 如，：) 一( 矿+ 1 2 ：) 令：= p + i 2 = 半分别讨论( 1 “) 的两端 先估计( 1 1 4 ) 的左端两项： 击1 一p ，p + l ，2 ) 一击妒“一p ，p 1 + p ) ( 1 1 5 ) 山东大学硕士学位论文 + b i l l 2 冬2 ( 1 l l a l l l 2 + i i i b l l l 2 ) 及引理1 3 估计( 1 1 4 ) 右端第一项t 俨州。( 矿+ 譬，i ( 矿) ) 一广州舟+ 譬广( u ，f 州卢) _ _ c i i l y 舭( 驴+ 譬，i 妒) ) 一广1 口( u ”+ 譬p ) ) l i t 2 刊o 1 忙l i 【2 s c i i i ( 扩一u n ) + ( 譬，i ( 扩) 一譬，i ( 矿) ) | 旷+ 川l 1 2 1 1 1 2 2 c l 2 1 1 1 u 一矿| 1 1 2 + 笔竽| i i 厂( 妒) 一f ( ， ) l l l 2 + e l l i s 1 铘 4 c z , 2 1 1 1 p 1 1 1 2 + 4 c l 2 1 1 r ”i i l 2 + c l 4 n b i i i p i i l 2 + c l 4 a l 2 | 矿i l | 2 + e l l l p + i ，2 i i l 2 sc ( 1 l l p l l l 2 + 8 | | 矿瞻( n ，) + c z 妒( 1 l l f l l l 2 + h a l l 矿 l l 刍( n 1 ) + e l i t f + 悖1 1 1 2 ( 1 1 8 ) 再利用t a y l o r 展开及柯西不等式 a 6 sc 叠+ 争| 4 结合引理1 3 得到( 1 1 4 ) 右端第二项的估计 ( 如- 纠钏| 2 + 驯2 ( 1 1 9 ) se l l l p + 1 2 1 1 1 2 + c 胪i i “州各( n ) 再利用( 1 1 2 ) 可得( 1 1 4 ) 右端第三项的估计 一以，p + 1 肛) sc ( a t 2 + | | l “+ 1 胆i i l 2 )( 1 2 0 ) 下面估计( 1 1 4 ) 右端的第四项令0 + 1 ，2 = k 1 ( f ”啦，1 ) i ，根据( 1 3 ) 有 1 0 + 1 2 sc h z l 2 1 1 1 f “2 1 1 1 i( 1 2 1 ) 由于l ( ，澎”，p + i ，2 ) t i i 、( 啦n 。+ l 2 ，f ”i 胆一1 2 ) l i + i ( 横，0 + 1 7 2 ) l i = 乃+ 乃 1 7 ( _ 州2 川纠巾胆) 川磋z 1 萎( 号竽胁 ( 1 2 4 ) 沿l ，方向有类似的结论成立 愀1 2f + 1 2 川纠m ( 叱一嵋z 1 薹( 号笋胁 ( t 2 5 ) 依据( 1 2 4 ) f 1 2 5 ) 便得到了对( 1 1 4 ) 右端第四项的估计； i 一( 矿+ 2 ，p + 1 ，2 ) ise l l v p + 1 2 1 1 2 + e l l i e + 2 , e ”+ 1 2 i i l 2 + o h 8 i i 1 卢i f 如( n ，( 1 2 6 ) 山东大学硕士学位论文 综合( 1 1 7 ) ，( 1 1 8 ) ，( 1 1 9 ) ，( 1 2 0 ) ( 1 2 6 ) 得到 志( ( p ”，p + 1 ) 一( p ，p ) 】+ | l l f ”1 肛各 se ( 1 l v f 1 ，2 1 1 2 + i p + 1 ，2 2 、 【1 2 r ) + c a t 2 + h s ( 1 l u l l 备f 庐i l u l l 备+ i l 矿+ t 2 峪+ ? 临t i n ) ) + 川p 川2 + z x p i i i c i i l 2 ) ( 1 2 7 ) 两端同乘2 a t ，并将n 从0 到k 1 求和( p ；o ，e 充分小) 得， 循，f ) + 2 三t 川p + 1 胆i f i ( n n 。 ( 1 2 8 ) k - i 5c a t 2 + 胪+ x t ( 1 l l p l l l 2 + 产l i 妒) n = o 对( 1 2 8 ) 应用g r o n w a u 引理并依据引理1 5 得到 踺i i 矿i 左，l n c t 2 + 8 ( 1 2 9 ) 由( 1 2 9 ) ，引理1 4 及三角不等式。可得下述定理： 定理1 3 设是方程( i i ) 的精确解，u 是全离散格式( 1 4 ) 的配置解 假定，关于q 是l i p s c h i t z 连续的。el * ( o ，t ；h 6 ( n ) ) ，毗工* ( o ，t ；h 4 ( n ) ) 则对 于充分小的z l t ( 1 4 ) 有唯一解且存在常数c 满足， 麟 一扩i i l , ( ”c ( a t + 4 ) ( 1 3 0 ) 第二章变系数抛物问题的r u n g e - k u t t a 配