（生物医学工程专业论文）分形理论及其在图象编码应用中的研究.pdf

a b s t r a c t i ns e c t i o no n e i m a g ec o d i n gt h e o r ya n df r a c t a lc o d i n ge s p e c i a l l y a r eg i v e nar e c a l l e d ，w h i c h p r o s p e c ts t u d i e da n dp r o b l e m s o l v e d i ns e c t i o nt w o ，t h eg e n e r a lc o n c l u s i o nt h a tf r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o n t h r o u g h ab a n d p a s sf i l e ri s ag e n e r a l i z e ds t a t i o n a r yp r o c e s sw i t hs t a t i s t i cs e l f - s i m i l a r i t yi sp r o v e n ，t h a tf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n m o d e li sai m a g em o d e lf o rc h a r a c t e r i z a t i o no fr a n d o mp r o c e s sw i t h s t a t i s t i cs e l f - s i m i l a r i t y t h e e x p e r i m e n t ss h o wt h a ti m a g ec o d i n gs t r u c t u r eu s i n gf r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o nm o d e li sp o t e n t i a l s t r o n g l y i ns e c t i o nt h r e e ，t h r e ea s p e c ta r er e s e a r c h e da c c o r d i n gt ob a m s l e y si n t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m j ，i m a g ec a nb er e s t r u c t u r e d ，u s i n gl i n e rf r a c t a li n t e r p o l a t i o nb a r n s l e y si n t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m i n1 9 8 8l i n e rf r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n sa r eg e n e r a l i z e dt o3 - o r d e ri n h o m o g e n e u n sb 。s p l i n e rf o r i m a g e r e s t r u c t u r e d e f f e c t i v e l y w e h a v ee s t a b l i s h e dan e wi n t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m sa n dt h e c o n v e r g e n c eo fi n t e r a t e df u n c t i o ns y s t e mh a sb e e np r o v e d s e c o n d f r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o nz e r o p o i n t sa n ds e l f - s i m i l a r i t ya r es t u d i e d ，a c c u r a t en u m b e r o fa l t i n ec o n s t r i c t i o nm a p si ss t r u c t u r e d i m a g e o f f r a c t a l i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n i sr e s t r u c t u r e d t h r o u g hz e r o - c r o s s i n gp o i n t so f w a v e l e t t r a n s f o r mg i v e n ai m a g eo faf r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o nfw h i c hi st h ea t t r a c t o ro fa nu n k n o w ni n t e r a t e df u n c t i o n s y s t e m w i t h a t t i n ec o n s t r i c t i o n m a p s w 1 ，w 2 ，w ，t h e m a p sw l o = 1 , 2 ，n ) a r e f o u n d b a s e d o n t h es e l f - s i m i l a r i t yo ft h ez e r o - c r o s s i n gp o i n t so fw a v e l e tt r a n s f o r m t h ee f f e c t i v e n e s so fm e t h o di s s h o w ni na ne x a m p l e 1 1 h ”d ，t h ec o n v e r g e n c eo ff r a c t a li m a g ec o m p r e s s i o nc o d i n gi sd i s c u s s e d ，t h e d e f i n i t i o no fb o t hg e n e r a l i z e dc o n v e r g e n c ea n dn o r m a lc o n v e r g e n c ea r eg i v e n w i t hn e wc o d i n g a l g o r i t h m ，f f a c t a li m a g ec o m p r e s s i o nc o d i n gb a s e do ng e n e r a l i z e dc o n v e r g e n c ei sp r o p o s e dh e r e ，i ti s s h o w n ，u n d e rt h es a m ec o m p r e s s i o nr a t i o ，t h eq u a l i t yo ft h er e s t r u c t u r ei m a g ew i t ht h i s m e t h o d i m p r o v e d i m a g ec o d i n gu s i n g f r a c t a lt h e o r ya b o u t c a r r y i n gi n t oe f f e c ti ss u m m a r i z e da tl a s t k e y w o r d s ：f r a c t a l ，i m a g ec o d i n g ，b r o w n i a nm o t i o n ，i f s ，i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n ，w a v e l e t t r a n s f o r m 分形理论及兵在| 茎| 象编码应用中的研冤 l 概述 图象是人类最主要的信息载体，然而数字化的图象数据量是极其巨大的。这导 致在实际应用中存在的两大问题：一是存储，二是传输。因为数字图象的表示需要 大量的数据，所以进行数据压缩是必须的，讨论图象编码压缩，评述图象编码技术 和各种图象编码标准。 图象和视频包含巨大数量的信息，其传输和存储需要很宽的带宽。在宽带图象 通讯传输中，如远程医疗诊断，基于宽带业务的远程医疗诊断，首先能够把病人的 病历从一个地方传送到另一个地方，便于医生即时诊断。其次是通过宽带网络实现 图象传输医疗诊断的准确性涉及许多因素，其中非常关键的是对病人医学图片的分 辨率，高质量的医学图片无疑可提高诊断的准确性。而高分辨率的医学图片含有非 常大量的数据信息，如一幅头颅的图象照片含有约5 0 m b 的数据量。对于这样的图 象，如果在传统的局域网上传送，当发生竞争时，访问速度及响应时间，如上述文 件通过15 m b i t s 接口传送大约需要2 6 0 s ，而在4 5m b i t s 接口传送则不到1 0 s 。 虽然表示图象需要大量的数据，但图象数据是高度相关的。一幅图象内部以及 视频序列中相邻图象之间有大量的冗余信息。静止图象压缩的一个目标是在保持重 建的图象的质量可以被接受的同时，尽量去除空间冗余信息。而对于活动视频压缩， 在去除空间冗余的同时去除时间冗余，可以达到较高的压缩比1 1 1 。 除了空间冗余和时间冗余外，在一般的图象数据中，还存在着其他各种冗余信 息，象知识冗余、视觉冗余、结构冗余及信息熵冗余。各种形式的冗余是编码压缩 图象数据的出发点。图象编码方法就是要尽可能地去除这些冗余信息，以降低表示 图象所需的数据量。 图象编码的目的在于使用尽量少的比特数表示和重建原始图象。利用图象中存 在的各种冗余，特别是利用图象数据中存在的空间冗余、时间冗余以及人类视觉特 性，是可以做到这一点的。例如采用p c m 方法进行图象编码时，输入的连续视频信 号均匀量化，p c m 对像素编码所需的比特数取决被编码图象的类型。通常来说，象 会议电视图象用8 b i t 就足够了，而医学图象可能需要1 0 b i t 或更多，以保证足够的幅 度分辨率。 自1 9 4 8 年o l i v e r 提出p c m 编码理论开始，图象压缩迄今走过了4 0 多年的历 史。图象数据压缩般是基于如下两点：一是原始图象中存在很大的信息冗余度， 博士后研究工作报告 如视频信息在帧内相邻像素之间有较大的空域相关性。而在相邻帧问存在很大的时 域相关性；二是人的视觉系统的特殊性，例如，人眼一般对图象的亮度信息的敏感 些，但对颜色的分辨率较低等。因此，在压缩中即可以有仅仅去除冗余度信息的无 损压缩，又有考虑到丢弃部分视觉非敏感信息的有损压缩等。 传统的图象编码技术【5 】有p c m 、量化法、空间和时间子抽样编码、熵编码、预 测编码、变换编码、矢量量化、子带编码；新型图象编码技术有分形编码，模型编 码，子波编码。 由分形的技术( 如i f s 等) ，只要很少的一些数据就可以产生极其复杂的图象。 这意味着表象上巨大的数据量在某种映射下只要少数数据就可以表达出来了。如果 我们可以从已知的图象中找到这种编码，就正是图象压缩的目的。 分形理论是欧氏几何相关理论的扩展，它描述了自然界中物体的自相似性，这 种可以是确定的，也可以是统计意义上的。mf b a r n s l e y 引入迭代函数系统2 j l f s ( i f s ，i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ) 来刻划这种情况，并将其用于图象编码，有报道i f s 己实现了1 5 0 0 或更大的图象压缩比率，对特定的某些图象取得了高达1 0 0 0 0 ：1 的 压缩比“，显示了分形图象压缩方法的巨大潜力。 i f s 可以把一幅很复杂的图象通过仿射变换简化至只需很少的特征量( 仿射变 换系数) 即可表征整幅图象，这样就可以通过i f s 对一个图象建模。这意味着只通 过拼贴原理就可用i f s 代码来描述复杂图象，通过拼贴原理可再现所处理的图象。 使得i f s 具有很强的图象数据压缩能力，所以i f s 用于图象传输方面意义巨大。另 外i f s 容易实现并行处理，这对实时完成图象生成及图象通讯解码也是很重要的。 分形编码是m a n d e l b r o t 分形几何理论1 4 1 的基础上发展起来的一种编码方法。而 j a c q u i n 提出了基于迭代压缩变换( i c ti n t e r a t e dc o m p r e s s i o nt r a n s f o r m ) 的自动分 形图象编码方法f 5 】，将分形在图象编码上的应用推进一大步。 图象数据的自相似性可以理解为，它的所有部分都可以用在图象中的其他部分 通过缈运算近似求得，而渺运算仅仅是比例、旋转、镜相和移位。数学上的描述即 是一种迭代运算： x = w ( x )( 1 1 ) 即对于给定的信号x ，如能找到迭代运算算子，而能重建j ，那么，只能传 输缈，便可在接收端恢复x ，从而达到压缩的目的。 2 分形理论及其在图象编码应用中的研究 分形图象编码的关键在于寻找图象的i f s 码，也即迭代运算算子w ，目前已有专 利算法，对某些图象可得到3 0 一7 0 倍的压缩比【6 】。然而分形图象编码的理论基础决定 了它只有对具备明显自相似性或统计自相似性的图象才有较高的编码效率，一般图象 并不都具有这一特性，因此编码效率不是很高。而且分形图象编码方法的实质上是通 过消除图象的几何冗余度来压缩数据的，根本没有考虑人眼视觉特性的作用。另一方 面，分形图象编码是一种不对称的编码技术，编码器建立图象i f s 码的算法十分复杂， 文献【6 的专利算法采用专门硬件需2 m i n 才能完成一幄图象的编码，而对应的解码过 程却十分简单，用软件就可实时完成。分形图象编码技术的这一特点，使其难以适合 可视电话这类需实时压缩、解压缩的多媒体业务。分形编码通常用于图象编码一次， 而需译码( 观察) 多次的信息传播应用中。 对于静止图象和帧差数据来说，分形编码更适于前者，这是由于分形编码尚难以 实现与帧间编码方法的良好结合。 现在也有一些国际标准，如j p e g 、m p e g 、p 6 4 等，它们实际上是多种算法的 结合，但是压缩上并没有一个突破。这里一个很重要的原因是图象信号仍缺乏一个很 好的统计模型的椭述。因此，大多数算法仅仅是借助于相邻象素间有灰度渐变等假设 来进行压缩的，这不仅造成了图象压缩比不高，同时对不同性质的图象有不同的效果 等。 本文所研究的正是在现有的编码理论基础上希望对压缩问题有所突破。 博士后研究工作报告 2 基于分形布朗运动( f b m ) 的图象模型 2 1 分形信号的子波分析 2 1 1 最佳正交子波选择 富里哀分析： ：不容易揭示一个信号的分形结构，而二于波分析可提供对时间一频率 方法是模糊的信息处理途径，子波变换是分析多分形结构的理想工具。 分形是对那些没有特征长度的图象和结构以及现象的总称。当图象和结构等被破 坏后的状态，具有特征长度形状的图象和结构是有一定的平滑度，而分形完全否定了 平滑性。从图象上只能定性研究，而从定性发展到定量，定量的表示就是分维，分维 的观点来自h a u s d o r f f 维数，提取分形指数h ，以及有关的h a u s d o r f f 维数d ( f ) ，是 目前正在研究的方向。 实际问题中希望找到这样一个正交子波函数，它能给出信号在某一分辨率下的最 佳逼近，例如利用子波进行压缩时，最佳子波能在较低的分辨率下，给出与原始信号 较小误差的信号表示。在子带编码中，选择正交最佳子波意味着使信号的大部分能量 j集中在低频带，以利于有效的编码，在其后的分形布朗运动模型不平稳的原因分析中， 可知是由于它的低频分量造成的。实验表明，采用不同子波的信号逼近之间的差别是 较大的，这是由于不同子波的伸缩和时移所张成的空间是不同的。 正交子波对应着正交镜面滤波器( q m f ) ，选择最佳子波即选择满足一定条件的 滤波器，而选择时采用的准则各有不同。d e s a r t e 等人12 1 在图象编码中，采用编码增 益最大的准则得到最佳滤波器，其编码效果优于j p e g 标准的d c t 算法。 子波函数匹配设计1 7 - 1 8 就是构造子波函数和尺度函数，在子波分解中，母子波函 数1 1 f ，和尺度函数妒转换成正交多分辨分析子空间的正交基。尤其，第0 一1 ) 次分辨率子 波的信号投影在两个j 次子空间y ，和w f 上，它们各自的正交基分别是， 九，t = 2 - h 2 妒( 2 - j ，t 一女) 及l f ，卅= 2 - i 1 2 v ( 2 - j 2 ，t 一) 。在巧上的投影力一1 ( f ) 是乃( f ) 的低 分辨率近似，在w j 上的投影乃- 1 ( r ) 也是丢失细节的近似。近似值乃一1 ( f ) 可以进一步 分解成子空间+ l 和w j + 1 。为使嵌套子空间 是正交的，l f ，和妒具备的条件是： = 6 女，。 ( 2 1 ) 分形理论及其在图象编码应用中的研究 = 6 k s l ，m = 0 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 子波函数和尺度函数选择用c h a p a - r a g h u v e e r 算法2 1 1 。 一对正交镜面滤波器，在离散子波分解中是带通g t 和低通圾解析滤波器，在以 n 1 为基的线性组合中用来表达母波函数l f r 和尺度函数如下： l f ，( f ) = 2z g t 妒( 2 f 一) ( 2 4 ) t d p ( t ) = 2 h k ( ) ( 2 t 一七) ( 2 5 ) 基于c h a p a r a g h u v e e r 自适应子波算法的高、低通滤波器，它们可用来计算下列采样 数据序列的子波系数，即通过n 个点数据序列x ( n ) 分别与h ( n ) 和g ( ，1 ) 循环卷积后， 形成降采样点的两个2 点序列h x ( n ) 和g x ( n ) ，序列h x ( n ) 进一步分解成第，次分 辨率的hj x ( n ) 和g h7 x ( n ) 。 2 1 2 子波的子带编码 1 9 8 3 年o a l a n d 发表了他的论文，描述了正交镜面滤波器及期望的应用前景， g a l a n d 为了使提出的方法生效把它与其它两种的技术对比，即预测编码和变换编码。 线性预测编码是在一系列采样信号值之间寻求其相关，这些相关的计算可能发生 2 0 3 0 毫秒的时间之内，这就要求把采样信号小工( n ) 分割成多个区间，其中n 定义在 1 n n ，n + 1 n s2 等。 然后，对每一个物件寻找系数q ，1 p ，预测误差的均方值专辜a l e ( n ) 1 2 由下 式定义给出： p ( n ) = 砌) 一芝a k x ( n 一女) ( 2 6 ) 通常，p 比更小。为了传递区间x ( ”) ，1 n n ，只要传递第一个p 值的 5 博士后研究工作报告 i | - _ _ _ _ _ i _ _ _ - _ i - _ - - _ _ _ - _ _ _ _ | _ i i - | _ _ _ _ _ _ l _ _ i i i ；自- _ l l _ _ x ( 1 ) ) ，a ，z ( p ) ，p 的系数q ，a ，口，和预测误差p ( n ) 就足够了，如果预测误差的大多数是 等于零，则方法有效的，就能够得到有意义的压缩效果。 变换编码是由切割已采样的信号成为一系列长度为的区间，然后使用一个单 位变换a 把z 表示的每个区间变换到r 表示的另一个区间内，为了适应线性变换，区 间r 然后被变量化，这样r 区间将是一个比工区间更简单的结构。 对于一个稳定的高斯信号，三种方法能够得到最小偏差的理论极限是相等的， 但是，正如g a l a n d 所提出的那样，在子带编码中，其假设频率通道的宽度趋于零和 它们的数字趋于无穷大并不能被满足。在线性预测编码和变换编码中，在稳态的情况 下，当区间的长度趋于无穷大时，计算了最小偏差的理论极限。 子带编码可能减小不希望有的量化噪声。靠在每个子带内的量化，信号掩盖了量 化噪声并使噪声降低到最小。 子带编码理想滤波器的情况是：从g a l a n d 的例子出发进行讨论，对于一个固定 的m 值，取m 2 ，用，表示【2 石】区间内的长度为勿，的一个区间，砰表示h i l b e r 空 间的序列( c 。) 。：，其中i c 。1 2 一，从而 ，( 日) = c k e 业。 ( 2 7 ) 在，区间之外等于零，子空间砰称为一个频率通道。 如果( c 。) 。f ；，那么子序列( c 。) 。：提供了一个最佳的紧支撑的原始表达式 其中去，( 日) = 去【，( 8 ) + f ( o + 鲁) + f ( o + 等) + a + f ( o + 塾! 型m ! ) - e 舢式m ，lmm一 中，厂( 日) 在，区间之外等于零和0 ，。 从而可得 萋i j 2 2 击萋i c t | 2 ( 2 - 8 ) 以上表达式说明了在原始序列( g ) 中包含有一定的冗余。这也意味着原始序列包含 了在，上重构，( 日) 所需要的m 倍数据。 子带编码理想方案是把输入信号送入m 频道进行滤波，( 频道区间为 分形理论及其在图象编码应用中的研究 【2 耐，m ，2 r r ( 1 + 1 ) m ，0 s f 一1 ) ，然后对相关的输入进行二次抽样，保留m 中的一个点， 把一个定义在z 上的序列限制到”l z 的运算称为抽取法，用m 上1 表示。 2 1 3 分形信号的多尺度分解与重构 针对分形信号的自相似和长时相关的特点，采用离散子波变换( d w t ) 对分形 信号进行多尺度分解，使其成为各尺度上的近似平稳信号，从而可利用通常的w i e n e r 滤波或k a l m a n 滤波方法进行估计，然后再由d w t 进行多尺度重构，估计出被噪声 污染了的原始信号。从而构成对分形信号的子波分解与重构的一种快速算法。 通常接收信号是由输入信号和传输信道的冲击响应的卷积与加性噪声之和构成， 即 y ( t ) = ic ( t ) u ( t f ) d f + w ( t ) ( 2 - 9 ) 其中y ( f ) ，“( f ) 分别为接收信号与输入信号，c ( f ) 为传输信道的冲击响应，w ( r ) 为加性 噪声。信号恢复系统通过消除传输信道的影响和尽可能减小噪声干扰而输出输入信号 估计值。 对于具有自相似性和长时的类信号，直接在时域中用经典的滤波方法进行估 计，效果都不理想。近年来，正交子波被用于分解与重构分形信号在正交子波变换下， 接收信号y ( r ) 的第m 个尺度变换是输入信号的第m 个尺度变换与传输信道冲击响应 的卷积，再加上加性噪声的第m 个尺度变换，这里子波变换充当了一个使分形信号去 除非平稳性质( 如自相似性、长时相关性) 的滤子2 ”，从而可把平稳信号的滤波方法 用到变换后的系数序列上，再利用重构公式得出输入信号的估计值，由于子波变换过 程实质上是一个滤波过程，故可将快速傅立叶变换应用到该过程，加快信号的分解与 重构速度。 对于连续时间信号系统( 2 9 ) ，要从接收信号y ( f ) 估计出输入信号“( f ) ，设y 。( r ) 是y ( f ) 在闭子空间上的投影，则 y 。( f ) = z a ，y 】。妒( f ) ( 2 1 0 ) 艴2 其中逼近系数【a 。y 】。= y ( f ) 妒。( t ) d t ，由于一= 。眠，所以 y m - 1 ( f ) = y m ( f ) + 【d 。y 】。( f ) ( 2 1 1 ) 施2 7 博士后研究工作报告 其中细节系数 对( 2 11 ) 进行正交化处理得 【d 。y = i f - y ( t ) c p ( t ) d t ) ，】。= a 。y 】。h ( k 一2 n ) z 【d m y 】。= a m 一，) ，】。g ( k 一2 n ) 【a 。y l 。= a m 。y l ，h ( n - 2 k ) + 【d 。y 】t g ( n 一2 k ) 记石( ，1 ) = ( 一n ) ，虿) = g ( 一，1 ) ，则( 2 1 2 ) 与( 2 1 3 ) 式成为 【a m y l = 【a 。y 】。h ( 2 n - k ) t e z 哦) ，】。= 【屯一。y 】。f f ( 2 n - k ) k z 因仪器分辨率有限，故可设y ( t ) v o ，即 y ( f ) = y 】( t ) 艟z ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 佗一t 8 ) 由( 2 1 0 ) 和( 2 1 i ) 式， ： m ) ，( f ) = 【儿妒枷( f ) + d ，) ，】。( f ) ( 2 - 1 9 ) 雌zm = l 蜒z 其中 a 。叫。妒枷( f ) = y u ( f ) 是频率低于2 “的部分，只要m 充分大，则可使) ，( f ) 在 上的部分y 。( f ) 的能量足够小，不至于对信号分析产生明显影响，从而 ) ，( f ) z 【d 。y 】。( f ) ( 2 2 0 ) m = l 睫z 序列 【d 。) 。) 是近似平稳序列1 。令【d 。) ，】。= ) ，o + ，1 ) 妒舢( t ) d t ，则 【d 。) ，k 。= d 。儿， 设f y ( n ) 是) ，( f ) 的离散化时间序列，则 ) ，( ，1 ) = c ( k ) u ( n t ) + w ( n ) z ( 2 2 1 ) 前已设y ( r ) k ，故可设【7 儿a 0 y 】。= y ( n ) ，“( n ) = a o “】。，w ( n ) = a o w 】。，( 2 2 1 ) 式为 分形理论及其在图象编码应用中的研究 【a 儿= c ( k ) a o u 。“a w 】。 ( 2 _ 2 2 ) 由( 2 1 6 ) 式知，对m = 1 , 2 ，a ， 【a 。y 】= 万( 2 n - k 。) 2 h ( 2 k 。一k i n - 1 ) a 万( 2 2 一k 1 ) a o y l k 。( 2 - 2 3 ) k m e z k m = z5 类似地有 d 。y 】。= 虿( 2 n - k 。) 2 h ( 2 k 。一。一。) a k t ( 2 k ：一k 1 ) a o y l k ， ( 2 2 4 ) k m e z k - 1 e z1 引入算子t t y ( t ) = y ( t f ) ，则有 【d 。t 。fy 】。= y ( t 一2 ”f ) 妒。，。( t ) d t = 【d y l l ( 2 2 5 ) 由上式及【d 。y l 。的定义有 【d 。y l 。= e g ( - 2 k 。) e h ( 2 k 。一k - t ) ae h ( 2 k 2 一k 1 ) a o y l ”。 ( 2 2 6 ) t 。e zk m _ l e z k l e z 将( 2 2 2 ) 式作一时间平移k 。，有 类似地可得 【a 0 儿h = c ( k ) a o u 呐一。“a 0w 】。 【d 。) ，】。= c ( 七) 【d u l 。+ d 。w 】。 t e z 【a 。y 】。= c ( k ) a m u 。+ 【w 】。 t e z 由u 的子波分解与重构公式及( 2 1 4 ) 式，对t n = 1 , 2 a ，m ，有 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) f 2 2 9 ) 【a “】。= 【a 。“】ih ( n - 2 k ) + d 。“】，g ( n 一2 k ) ( 2 3 0 ) 综上所述，我们得出( 2 2 1 ) 式中信号 “( n ) 的恢复的框架如下： ( 1 ) 【a o y 】= y ( n ) ，n z ( 2 ) 由( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 式递推地算出【五0 y 】。，【e y 】。，n ez ，j = 1 ，2 ，a ，m ( 3 ) 由( 2 - 2 6 ) 式，利用w i e n e r 滤波1 2 5 1 或k a l m a n 滤波方法估计出 o d ，“】。，n z ，j = 1 ，a ，m 及由( 2 2 8 ) 式得出估计【a “】。，n ez ； ( 4 ) 利用【d ，“】，= 【d ，“】：，( j = 1 ，2 ，a ，肘) 与 五。“】，= a m “】：。，f z 得出 博士后研究工作报告 【西，“】， 【互。“】f ，= l ，2 ，a ，m ，f z ； ( 5 ) 由【五，“】。= e t a ，。u l 。h ( n 一2 七) + 【西“1 。g ( n 一2 k ) ，j = l ，a ，m 一1 得出 七乍z挺z 氐“】。，n e z ； ( 6 ) d ( n ) = 【a o “】。，n z 。 2 2 分形布朗运动( f b m ) 模型 分形布朗运动( f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，f b m ) 模型是描述具有统计自相似随 机过程现象的一种模型。本节讨论了分形布朗运动模型在正交子波变换下的性质，指 出了分形布朗运动模型不稳定的原因，从而证明了分形布朗运动通过一个带通的滤波 器后为一具有统计自相似性的平稳过程的一般结论，提出了分形布朗运动的图象模 型。 2 2 1 分形布朗运动的表达 随机过程可用有限维联合概率分布来近似描述其统计特性。对马尔科来过程而 言，其n 维概率分布( 密度) 可表示为 n - 1 p j ( x 1 ，x 2 ，a ，x n ；t l ，t 2 ，a ，t n ) = p j ( x l ，i ) n p x ( x k + 1 ；t k + ll 机；气) ， ( 2 - 3 1 ) k = l t l t 2 a 0 ： 1 0 分形理论及其在图象编码厦用中的研究 称为布朗运动。它是一种特殊的马尔科夫过程。马尔科夫过程适合于大多数物理过程， 具有较好的精确度；并有较简单的数学描述。 分形布朗运动是拓广布朗运动得到的，分形布朗运动是描述具有统计向相似性 随机过程的一个模型。 定义2 2 ：h 满足o h 1 ，b o 为任意实数，若随机函数满足： b n ( 0 ，) = b o ； 耻面也 ( t _ s ) h - 1 2 + j ；6 ( 卜s ，2 d b 叫】 陋s z ， b h ( f ，c o ) 称为分形布朗运动，h 为分形参数，b o 为初始值，c i ) 属于样本空间q 。h = 1 1 2 是普通的布朗运动。b 日( f ，c o ) 简记为b h ( f ) 。 f b m 的性质为： ( 1 ) 满足零均值高斯分布，即e b h ( t + 缸) 一b h ( f ) 】- 0 ( 2 ) 茹差e 【i b 日0 + f ) 一b h ( f ) 1 2 】= d r 2 i a t l 2 日。： ( 3 ) 一阶绝对矩e 口b n ( f + f ) 一b h ( f ) | 】= 肪i a t l 月。 ( 4 ) 协方差e 【b h o + f ) 一b h o ) 】= 1 ，2 仃2 【i t l 2 h + ls 1 2 h i t - s 1 2 j 1 】。 ( 5 ) 相关函数e 【b h o ) 曰h ( j ) = ( 1 7 2 ) 0 t 1 2 h + fj 1 2 h l t - s 1 2 日】， 其中y 0 = e i 口日o + 1 ) b h o ) 1 2 = r ( 1 2 h ) c o s ( r - ) ( r d - ) 。 ( 6 ) 对于1 = y h e c 2 r ，2 日一r 2 h 2 3 3 两边同除以 - v t 拼，则相关系数 r = 2 2 h 一1 1 f 2 3 4 ) 一1 1 文献 2 6 1 0 0 给出了f b m 的平均谱密度的一种表达式 j ( ，) 。c _ 斋= 1 ，4 ( 2 3 5 ) 当h = l 2 ，d = 2 ，即是普通布朗运动的功率谱正比于1 f 。而当o h i ，1 p 0 ) 后，输出为一个具有统计自相似性的广义平稳随机过程。 证明：如果一带通滤波器的系统冲击响应函数为，l ( ) ，则分形布朗运动b h ( t ) 经 过该带通滤波器后的输出y ( f ) 为 分形理论及其在图象编码应用中的研究 此 y ( f ) = 四日( f ) $ ( f ) = j ：b h ( t - s ) h ( s ) d s ( 2 3 8 ) e 【y ( f ) ) o ) 】= e i s e t b h ( t - f 1 ) b i t ( s f 2 ) 】 ( f 1 ) ( f 2 ) d f l d f 2 ( 2 3 9 ) 设h ( ) = 亡矗( f 弦一“出，对带通滤波器，则满足h ( o ) = o ，故有_ j 二：h ( t ) d t 20 ，因 ：胁w 顺7 砦 ( 2 - 4 0 ) = j ：= ： ( f 2 ) d f 2 盥卜f 1 严 ( f 1 ) d f l = o e 胁一f 2 1 2 n h ( t l ( 1 7 2 ) d r l d v 2 ( 2 4 1 ) = e ( f 2 ) d f 2 = | 卜f 2 严矗( f 1 ) d f l = o 所以 研y y 】_ 孚亡e i t - - s - - f 1 - - t 2 2 h ( m 2 ) 奶崛 ( 2 - 4 2 ) 相关函数e 【y ( ) y ( s ) 】只与卜5 有关，所以，分形布朗运动( f ) 通过一个带通滤 波器后的输出为一个平稳过程。若取t = s ，有方差 v a r y ( f ) 】2 = 粤e j = ：i f l 一f 2 1 2 h ( f 1 ) ( f 2 ) d f l d f 2 ( 2 - 4 3 ) 作线性变换，( f ) = a 十b h ( f ) + c ，则 p 半等产竽“陋4 。， 卸 坐铲 牛y ， 即f b m 经线性变换后只改变分布方差，而分布形式与日参数保持不变。这就保证了 经线性系统后分形性质仍然是保持的，可观察的。 由于y ( f ) 为一平稳随机过程，故 博士后研究工作报告 s y 船( ) = j = ：r 明p ) e - i o a d f = 孚e e 凹 r - t 1 + t 2 1 2 hh ( 啪( 蚴e 。“删州n ( 2 4 5 ) = 坼。) 8 - i t t r r l 奶) 亡坼z ) e - l a r r 2 崛( - 孚e 2 h e _ f “ = i n ( t o ) 1 2 i t o l 2 圩+ 1 同时当系统冲击响应取 ( r ) = a l l 2 9 ( 一t a )( 2 4 6 ) 且g ) = 亡g ( t ) e 一“d t ，并满足g ( o ) = o 时，h ( t ) 可视为一带通滤波器。若同时满足 b ”学揪o 。删输出 煳= ( f ) 十= 亡。) g ( s 口- t ) 凼( 2 - 4 7 ) 为分形布朗运动的子波变换。由式( 2 4 7 ) 直接得到 s y ( 曲= ih ( t o ) f it 0 1 2 h “= ig ( a t o ) 1 2 i 1 2 h + 1( 2 4 8 ) 所以，f b m 的子波变换从频域上看，只是系统冲击响应取h ( t ) = a l l 2 9 ( 一t a ) 的 一种特殊带通滤波器情形。 2 2 4 实验结果及讨论 用一个矩阵a 近似表示图象，a 中的元素口与在图象象素( f ，) 中的灰度强度有 关。并假设a 是一方阵，维度为2 “2 “，n 为整数。 图象分解步骤如下： 1 在矩阵a 的行上，使用2 1 1 所匹配设计的h 和g 滤波器进行滤波，可得两个矩 阵，h a 和g a ，维度分别为2 “2 “ 2 在矩阵h a 和g a 的列上，使用滤波器h 和g 再进行滤波，可得到四个矩阵， h 。h ，a 、g 。日，a 、日。g ，a 、g c g ，a ，维度分别为2 ”1 2 ”1 。其中，h 。h ，a 是 含平均值的矩阵，g 。h ，a 、h 。g ，a 、g 。g ，a 是表示细节的矩阵。 3 以上步骤重复对h 。h ，a 进行，直到获得一个单数，即维度为一为止。 分形理论及其在图象编码应用中的研究 我们对p o u t 图象作了子波分解与压缩编码的实验，选取h a a r 子波基和h a r d y 子 波基对时间方向和空间方向进行子波变换。图2 1 采用分形布朗运动模型变换后的图 象系数量化，并采用统一的基于分裂合并的图象编码方法进行压缩的结果，可以 看出这种编码的方法的性能是相当好，说明基于分形布朗运动模型变换的图象编码结 构很有潜力。图中横轴为帧序号，压缩比高达7 0 多倍时，仍能保持很好的性能。 ( a ) ( 压缩比7 0 ) 孤 葛 一葛 旦3 4 受田 硷卫 到 田 _ ! !i； ； l； 叼峰：小“y 龟l z l 白 p 。 ，；巾；甲 ；： ；jj o k o ! i i； 1 23 56t891 口 ( b ) ( 压缩比2 0 ) 图2 1 分形布朗运动模型的p o u t 图象编码 关于峰值信噪晗( p s n r ) 的计算公式为 蝴= 1 0 1 9 ( 而2 5 5 2 ) ( 2 4 9 ) 其中mse的定义为mse=熹【(x，y)一五(z，y)】2，nxm为图象每lmn智鲁鲁、。 。 帧图象的像素点，l 为进行测试的帧数。f a x ，y ) 为原图象中第k 帧的灰度值，五( 工，y ) 为相应的解码图象灰度值。 然而本节对这种新型分形布朗运动图象模型编码结构的探讨只是开了个头，量 化和具体系数的编码利用了传统编码方法的一些技术。如何根据三维图象及经三维子 波变换后系数的特点采用合适的量化、编码方法，还有待更进一步的研究。 博士后研究工作报告 3 基于迭代函数系统( i f s ) 的图象模型 3 1i f s 的图象模型 有了迭代函数系统( i n t e r a t e df r a c t a ls y s t e mi f s ) 的基本概念，就可以知道目前为 止，有两个很重要的结论，一是吸引子定理，它保证了双曲i f s 的唯一存在性以及 这种吸引子的求取方法，也就是确定迭代方法对吸引子的生成；二是拼贴定理，它 保证了对在完备空间中任意给定的有界子集，一定可以找到一个i f s ，其吸引子相 近于它，两者近似的能力在于拼贴的水平，近似的度量是h a u s d o r f f 距离。为了以下 讨论方便，重新表述拼贴定理如下。 拼贴定理：设 r2 ：q ，i = 1 , 2 ，n ) 为一收缩仿射变换集组成的i f s ，令 0 s 0 为任正数，丁为给定 的月2 上有界闭子集，若能选得一组，变换，使得： 则有： h ( t ，u q ( r ) ) 占 ( 3 - 1 ) h 6 r ，4 ) l 一占 其中爿表示i f s 的吸引子。 h a u s d o r f f 距离是对v c ，d s ( 月2 ) 有 ( 3 - 2 ) 向( c ，d ) = 拖x ( 8 u p 1岖d(x，y)，8up赙d(x，y)(3-3)xec y e d x e d，0 该定理的证明很简单：令 ( ，) = u q ( 丁) ，b 1 ，2 ，则在( 3 ( z ) ，协距离空间也是收缩的，即有： i = 1 ( 矿( c ) ，矿( d ) ) s h ( c ，d ) 。( 3 - 4 ) 令第i 次迭代结果为a ，即a ，= w ”( r ) = w ( w ( ( r ) ) ) 。显然，有a 。= r ，a 。= a ， 而对于吸引子a ，有w ( a ) = a 成立。吸引子a 与7 之间的距离为： 分形理论及其在图象编码应用中的研冤 h ( t ，4 ) = 乃( 4 。，a 。) h ( a 。，w ( a 。) ) + 五( 形( 爿。) ，a 。) l i m h ( w 州1 ( a ) ，w “( a 。) ) 1 i m 占。，( 爿。) ) ( 1 + s ：+ + s n ) ( 3 - 5 ) 一士矗( 爿。，w ( a o ) 圭 从这里我们还可以看到迭代疗步后的4 。与吸引子4 之间的关系如下，因为： 等掣 ( 3 6 ) f 口 坝以以“凳s 2 h ( a 兹a1 ) s 2 h ( a a ) ( 3 _ 7 ) 一。) ) 、7 则 矗( 彳。，4 。) 击厅( 4 。，4 ) ( 3 8 ) 也就是说，我们知道迭代收敛到吸引子的速度，或者说我们可以预测数步迭代后的 结果与吸引子之间的近似程度。 3 2i f s 实现图象的压缩 对于一幅任意