（运筹学与控制论专业论文）几类滞后系统的稳定性分析与综合.pdf

几类滞后系统的稳定胜分析与综合 摘要 本文的第二章利用比较原理结合向量l y a p o n u v 函数，讨论了多滞后时变系 统的不稳定性。在2 1 中，首先研究了一类多滞后线性时变连续系统的不稳定 性；通过建立多滞后线性定常辅助系统，利用相关的比较原理结合向量l y a p o n u v 函数，得到了多滞后线性时变连续系统的不稳定性的充分性定理。其次，研究了 一类多滞后非线性及区间系数时变连续系统的不稳定性，得到了系统为不稳定的 充分条件。在2 2 中，研究了一类多组非整数滞后线性时变离散系统的不稳定 性以及一类多组非整数滞后非线性及区间系数离散系统的不稳定性，利用时滞离 散系统的比较原理与向量l y a p o n u v 函数，得到了上述系统不稳定性的几个充分 性定理。最后，举例说明了所得结果的可行性。 本文的第三章，利用广义l y a p u n o v 泛函研究了具有滞后的广义系统的渐近 稳定性与镇定问题。首先，提出一种期形式的广义l y a p u n o v 方程，用来研究滞 后广义系统的渐近稳定性，给出了渐近稳定判定定理；其次，研究了控制带有时 滞与不带时滞的滞后广义控制系统，利用相应的r i c c a t i 方程，设计了滞后广义 控制系统的状态反馈控制器，给出了上述控制系统为渐近稳定的充分性判据。最 后，用例子说明了本文定理的可行性。 关键词：多滞后时变系统：比较原理：向量l y a p u n o v 函数；滞后广义系统 广义l y a p u n o v 泛函 t h ea n a l y s isa n ds y n t h e s iso fs t a b ili t y ns e v er a fd e ia ys y s t e m s a b s t r a c t i nt h es e c o n dc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，t h ei n s t a b i l i t yo ft i m e v a r y i n g s y s t e m sw i t hm u l t i - d e l a yi sd i s c u s s e db yu s i n gt h ec o m p a r i s o np r i n c i p e a n dv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n i n 2 1 ，ac l a s so fl i n e a rt i m e v a r y i f i g c o n t i n u a ls y s t e m sw i t hm u l t i d e l a yi ss t u d i e df i r s tf o ri t si n s t a b i l i t y 、 b yc o n s t r u c t i n gt h ei i n e a rc o n s t a n ta s s i s t e ds y s t e mw i t hm u l t i d e l a y ， a p p l y i n gc o r r e s p o n d i n gc o m p a r i s o np r i n c i p l ea n dv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n t h es u f f i c i e n c yt h e o r e mo fi n s t a b i l i t yf o rl i n e a rt i m e v a r y i n gc o n t i n u a l s y s t e mw i t hm u l t i - d e l a ya r eo b t a i n e d a n dt h e n ，t h ei n s t a b i l i t yo fb o t h ac l a s so fn o n l i n e a ra n di n t e r v a lc o e f f i c i e n tt i m e v a r y i n gc o n t i n u a l s y s t e m sw i t hm u l t i d e l a yi ss t u d i e d ，a n dt h e t h 爸6 r e m so fi n s t n b i l i t yi n a b o v es y s t e m sa r eo b t a i n e d i n 2 2 ，t h ei n s c a n i l i t yo fac l a s so fl i n e a r t i m e v a r y i n gd i s c r e t es y s t e m s w i t hm u l t f p 瞻f f o n i n t e g r a ld e l a y s i s d i s c u s s e d ，a n dt h e nt h ei n s t a b i l i t yo fb o t hac l a s so f n o n l i n e a ra n d i n t e r v a lc o e f f i c i e n tl i n e a rt i m e v a r y i n gd i , s c r e g es y s t e m sw i t hm u l t i p l e n o n - i n t e g r a ld e l a y s b yu s i n gt h ec o m p a r i s o np r i n c i p l eo fd i s c r e t es y s t e m w i t ht i m e d e l a ya n dv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n ，s o m es u f f i c i e n c yt h e o r e m s o fi n s t a b i l i t yf o rt h e s es y s t e m sa r eo b t a i n e d f i n a l ，a ne x a m p l ei sg i v e n t od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t yo f t h eo b t a i n e dr e s u l t s i nt h et h i x 、dc h a p t e r ，t h el y a p u n o v sm e t h o di se m p l o y e dt os t u d y t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n dt h ep r o b l e mo fs t a b i l i z a t i o no nt h es i n g u l a r s y s t e m sw i t ht i m e d e l a y f i r s t l y ，an e wt y p e o fl y a p u n o ve q u a t i o ni s p r e s e n t e dt os o l v et h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t y o fs i n g u l a rs y s t e m sw i t h t i m e - d e l a y ：t h e t h e o r e mo fa s y m p t o t i cs t a b i l i t yi so b t a i n e d t h e n ， c o n t r o l l e rw i t ht i m e d e l a ya n dc o n t r o l l e rw i t h o u tt i m e d e l a yo fs i n g u l a r c o n t r o ls y s t e m sw i t ht i m e d e l a ya r es t u d i e d b yu s i n gt h ec o r r e s p o n d i n g r i c c a t ie q u a t i o n ，t h es t a t ef e e d b a c ki a wi sd e s i g n e d ，a n dt h es u f f i c i e n c y t h e o r e m so fa b o v ec o n t r o ls y s t e m sa r eo b t a i n e d f i n a l ，3 1 1e x a m p l es h o w s t h a tt h et h e o r e m so ft h i sc h a p t e ra r ef e a s i b l e k e y w o r d s ：t i m e v ar y in gs y s t e mw i t hm u i t i d e ia y ：c o m p ar is o t pr i n c ip ie ：v e c t o rl y a p u n o vf u n c t io n ：s in g u ia rs y s t e m sw i t ht i m e d e ia y l y a p u n o vm e t h o d 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰军过的研究成果，也不包含未获得其他教育机构的学位或证书 使用过的材料。导我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：叩袜签字日期：伽叩年4 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后 适用本授权书) 学位论文作者签名 吖壤 导师签字弓僻 签字日期：么件b af 日签字日期：知夕年6 月 日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 几类滞后系统的稳定性分析与综台 0 前言 一般来说，在任何实际系统( 包括大系统) 中，其状态变量不可避免地都存 在着时间滞后( 简称滞后) 。实际系统中的滞后主要是由以下原因产生的： 1 实际系统变量测量的时间选择； 2 用于实际系统中设备的物理性质； 3 物质的选择与信号传递的不灵敏性。 例如在多层次、多递阶、多回路、多反馈、多输入控制与大系统的多输出响应之 间，其数学模型通常是具有多组滞后的控制大系统。其中滞后的出现是由于大系 统中元器件本身有滞后、控制作用将滞后引入，及多层、递阶、多回路、反馈、 多输入、多输出的信号的传递等。滞后经常产生于电子、机械、金属、化工、生 命科学、海洋信息探测及经济系统与管理系统中；也产生于地球的地震波、血液 中的内分泌、空间中的电磁雷达，或计算机的视象表层处理、用遥控设备分析电 视图象、数字控制计算机的输出及对化学组分反应进行分析等等。如遥控机床的 运行中，滚珠传到丝杆具有时间滞后；人口动力系统中的人口数与过去的历史与 过去的发展速度有关，具有时间滞后。有时为了便于系统的正常运行，故意将滞 后引入系统，房间温度控制系统就是这方面的一个典型例子。如果不将滞后引入 控制系统，恒温控制继电器将会连续不断地产生抖动，从而不可能实现房间温度 控制的目的。可有时也因滞后对系统的影响不大，在系统的设计与模型中往往将 滞后略区，以无滞后的动力( 大) 系统来代替实际系统中有滞后的系统。但小滞 后有时对系统也会产生重大的影响，这时的实际系统一定要研究具有滞后的大系 统的特性。例如，从地球发出的一个信号去控制宇宙中的航天飞机或空间飞行器 ( 宇宙飞船) ，需要1 秒钟时间，这1 秒钟的时间滞后，将对宇宙飞船或航天飞 机的飞行产生巨大影响。可是，对化工过程中的锅炉温度控制，输入一个控制信 号，有时经过3 - 4 小时也不见有响应信号输出。这就需要考虑实际系统中的大 滞后对工程系统的影响。有时在过程控制中，滞后是一个时间t 的函数，如输油 管道中的滞后，就是因季节不同出现滞后是时间t 的陡升曲线的情形，这就要考 虑无穷滞后、相关滞后对控制大系统镇定的影响。另外，一个连续的最小相位( 稳 几类滞后系统的稳定性分析与综合 定的) 被控对象，经过采样和离散化后，其脉冲传递函数有可能成为非最小相位 ( 不稳定的) 。这是因为被控对象的传输滞后如果不是计算机采样周期的整数倍 时，其中分数部分经过z 变换后可能产生一个绝对值大于1 的零点，控制系统就 变为非最小相位了。对于一部分慢过程控制的化工、热工对象，分数滞后对离散 控制( 大) 系统的影响可以忽略不计；但对于快过程控制的机电对象，分数滞后 对离散控制( 大) 系统的影响就不可能忽略，解决的方法之一，是在工程上采取 极点配置与自校正器。在经济大系统的预测及政府部门采用政策控制经济发展的 经济控制大系统中出现的分数滞后，都需要研究不能进行迭代运算的分数滞后离 散( 迭代) 控制( 大) 系统的镇定。 含有滞后的( 大) 系统，与含有滞后的控制( 大) 系统在数学理论上与工 程实际中都有其特殊的困难。甚至于有滞后的一阶线性定常系统，也因其特征超 越方程有无穷多个特征根，其解空间是无穷维的。有滞后的一阶非线性控制系统， 那就有更加复杂的动态响应行为。这就是1 8 世纪在弦振动中产生了滞后系统以 来到今天，虽然在滞后系统的研究中发表了大量的论文，出版了多本著作，但滞 后系统的基本理论、稳定、镇定、振动、渐近性等研究一直处于方兴未艾的美好 前景，形成国际前沿“热门”的科研学科、领域。特别是在工程实际中不断提 出滞后( 大) 系统研究的新领域，如一个特别重要的情形是用于波动方程的边界 稳定化( 镇定) 反馈回路中含有滞后。某些严重的病态联系已经被发现，如一些 其它类型的边界稳定化反馈方案中，“几乎”对任意的滞后都会产生失稳现象。 这些事实表明：些己知的边界稳定化方法，可能没有足够的鲁棒性以适应回路 中控制用微处理机所产生的滞后。含有滞后与观测的分布参数控制( 大) 系统， 也是具有诸多困难的理论问题。 在国内，1 9 6 3 年出版了秦元勋、刘永清、王联的著作带有时滞的动力系 统的运动稳定性【1 】；该书于1 9 8 9 年三位作者与郑祖庥一起修订再版【z l 。1 9 8 7 年，李森林、温立志出版了泛函微分方程1 3 1 。1 9 9 2 年，刘永清、唐功友出版 了大型动力系统的理论与应用( 卷3 ) 滞后、稳定与控制【4 】，该书是国内 外第一本系统地论述滞后大系统的著作，突出了滞后大系统的工程应用特点，同 时也兼顾了数学理论方法上的严密性。1 9 9 4 年，高为橱、霍伟出版了大系统 的稳定性、分散控制及递阶控制基础魄，涂序彦出版了大系统控制论旧。 2 几娄滞后系统的稳定性分析r j 练台 在国际上出版了如下作者的专著：1 9 5 8 年p i n n c y 【7 】：t 9 6 3 年b e l l m a n 和 c o o k e 8 ：1 9 6 6 年h a l a n a y 9 ：o g u z t o r e l i 1 0 ：1 9 7 1 年d h r y m e s 1 l 】；1 9 7 7 年 d r i v e r 1 2 】：h a l e 1 3 ：1 9 8 5 年b u r t o n 1 4 等。主要文献有：1 9 8 1 年m o r i 1 5 1 ； 1 9 8 2 年s u h 和b i e n 1 6 ；1 9 8 5 年c h a n g ， 1 7 】：1 9 8 6 年h a m a m e 1 8 ；1 9 9 6 年n i 和c h e n 1 9 1 ；1 9 9 8 年y a n 、t s a i 和k u n g ； 2 0 ；2 0 0 0 年s h o u l i e 和l i h u a 2 1 ；2 0 0 2 年和2 0 0 3 年z h a n g 2 2 2 3 1 等。 早在1 9 7 4 年，r o s e n b r o c k l 2 4 1 发现复杂电网络模型是一个非传统数学模型所 描述的系统广义系统：1 9 7 7 年，l u e n b e r g e r l 2 5 1 又发现经济动态投入产出模 型是由微分一差分方程所描述的慢变动态层子系统及代数方程所描述的快变静态 层子系统组成的广义复合系统。之后，人们在受限机器人、石油化工中的催化裂 化过程、人口、计量经济学以及气象预测等领域，也提出了若干不同类型的广义 系统陋2 。因此，自2 0 世纪7 0 年代以来，广义系统p 8 - 3 4 1 和滞后广义系统3 5 - 4 5 1 以其更广泛的形式和应用背景引起了国内外学者的极大关注，并且取得了许多突 破性的成果。 由于滞后是客观世界及工程实际中普遍存在的现象，广义系统中也包含了大 量带有滞后的广义系统。特别是有代数约束条件的滞后( 太) 系统及滞后控制( 大) 系统都是带有滞后的广义系统。因此，研究滞后广义系统，将为科学技术、工程 实际提出新的理论方法与解决问题的新途径。 1 9 8 0 年，s l c a m p b e l l 在其著作【2 8 1 中第三章中，对带滞后的线性定常广义 系统 a 2 + a x ( t ) = c x ( t r ) + f ( t )( o 1 ) ( 其中x ( t ) 四”，a ，b ，c 均为月门常数矩阵，一为奇异矩阵。) 在初始值，= “， 初始函数。= 妒( ，) ，矿( f ) c ( 卜f ，0 ，尺”) ，假设矿( ，) 厂( f ) 无穷次可微，且各阶导数 满足一个复杂的关系式时，给出了解的存在唯一性，以及通解的表达式。直到 1 9 9 3 年，在国内外，没有再见到关于滞后广义系统研究的其它报导。自1 9 9 3 年 以来。谢湘生、刘永清系统地开展了滞后广义系统的稳定镇定与控制的研究【2 7 1 。 而李远清、刘永清系统地研究了滞后广义系统的基本理论，即解的存在性、唯一 性、整体性等，包括将s lc a m p b e l l 关于解的存在唯一性条件中，初始函数及 几类滞后系统的稳定陆分析与综合 强迫函数的无穷次可微条件降至只要求连续，以及广义泛函微分方程的研究等， 并以著作形式给出总结【2 酬。温香彩、关治洪、王伟、李远清分别与刘永清开展 了滞后广义系统的变结构控制 捌、测度型带有脉冲的滞后广义系统的稳定性 1 4 6 - 4 8 1 、测度型带有脉冲的滞后广义系统的边值问题【4 引、滞后广义系统的变结构 控制解的存在唯一性等课题研究 2 6 3 7 1 。此外，蒋威、郑祖庥 4 2 - 4 5 ，张庆灵【2 9 】， 梁家荣【3 3 】，陈潮m t h l 等，也对这一领域进行了深入的研究，取得了丰硕成果。 本文在此基础卜做了更进一步的的研究。 4 几娄滞后系统的稳定性分析哼综台 1 预备知识 1 1 l y a p u n o v 稳定性定理 考虑一股的月维非自治微分方程组 - - d x ：( f ，x ) ( 1 1 ) i 2 m 五jj x = c o l ( x ，屯，) = c o l ( f ，五，z ) c ，r 。】，g 保证( 1 1 ) 式解的唯一 性，j l f ( 1 ，0 ) ；0 定理1 1 钏若在某区域g 。上存在正定函数v ( t ，x ) ，使 警| 【，= 百o v + 善 i o v 肌。) ( 1 2 ) 则( 1 1 ) 式的平儿解x = 0 是稳定的 1 2 切塔耶夫不稳定性定理 定理1 2 5 町若存在v ( t ，x ) c g ，矗。j ，v ( t ，o ) = 0 ，使得 ( 1 ) 对t t 。，在原点任意邻域内，有v 0 的区域； ( 2 ) 在区域v 0 中，矿( ，) 有界： ( 3 ) 在y 。中，警h ，f 定，即v 占 o ，3 ， o ，使得在域矿 o ， 切f t o ，有 譬| ( 1 f o i ) “ 则( 1 1 ) 式的平儿解不稳定( 图1 ，1 ) 对一 ( 1 3 ) 几类前后系统的稳定忡分析j 综合 1 3 比较原理 0 r 2 f 0 坐) 0 杉 心乡1 图1 1 肛+ 8 s i n ，旭+ c s i n ，k 。， 悟- ( c 州k + ( - 3 + 8 s i n t k i d v = ( 一3 十8 s i f l f ) z ? 十( s i n ，) x i x 2 + ( c 。s f ) x i x 2 + ( 一3 + 8 s i n 恻2 i d v ( 一3 + 8 s 叫奸+ 工h 巧2 + ( 。+ ，) 叠2 6 几类滞后系统的稳定性分析t j 综合 v ( t ) v ( t o ) e 。一0 ( 当r 斗0 0 ) ( 1 5 ) 出式( 1 5 ) 便可断言( 1 4 ) 式的平凡解是浙近稳定的而 2f - 2 + 8 s i n t ) d t v ( t o 归 恰恰是微分方程 i d u = 2 ( - 2 + 8 s i n t ) u 【u ( t o ) = g ( t o ) 的解这个例子启发我们，用李雅普诺夫函数，结合微分不等式可得到关于稳定 性的许多更一般的结果下面我们介绍一般的比较方法 考虑一般的n 维非自治微分方程组 筹砒彳) ( 1 6 ) x = c o l ( x i ，工2 ，茗。) f = c o q a ，五，) c g h ，r “】，g 保证( 1 6 ) 式解的唯 一性，且f ( t ，0 ) ；0 同时考虑纯量比较方程 掣：g ( ，c ，) ( 1 7 ) 劣7 、7 其中g c i x r + ，月】，g ( ，u ) z 0 ，当且仅当u = 0 由于( 1 7 ) 式中的u 0 ，因 此，9 - ( 1 7 ) 式的平j 、l 解稳定性定义中的仞始扰动u 。 0 ，为不致于引用过多的 定义和记号，不妨仍用一般方程平凡解的各种稳定性的定义 定理1 3 ( 比较原理) 若存在正定连续函数矿( f ，x ) c j 尺”，r + 】，且关于x 满足局部l i p s c h i t z 条件，y ( ，o ) ；0 ，v 沿( i 6 ) 式的解的右上导数满足 d + v l ( 13 ) sg ( t ，v ) 则有以下结论： ( 1 ) ( 1 7 ) 式的平儿解稳定，蕴涵( 1 6 ) 式的平儿解稳定： ( 2 ) 若v 还具有无穷小上界，那么( 1 7 ) 式的平凡解一致稳定，蕴涵( 1 6 ) 式的平 凡解一致稳定： ( 3 ) ( 1 7 ) 式的平凡解渐近稳定，蕴涵( 1 6 ) 式的平凡解渐近稳定： 7 几类滞后系统的稳定性分析口练台 ( 4 ) 矿还有无穷小上界，则( 1 7 ) 式的平凡解一致渐近稳定，蕴涵( 1 ，6 ) 式的平 j 、l 解一致渐近稳定； ( 5 ) 若存在 o ，b 0 ，使日 | 旷v ( t ，x ) ，且矿有无穷小上界，则( 1 7 ) 式的 平儿解指数稳定，蕴涵( 1 6 ) 式的乎凡解指数稳定； ( 6 ) 若还存在绍k r ，使伊( 1 防5 ) v ( t ，x ) o ，使得x ( ，) = w 称为可达集 定义1 4 3 系统f 1 4 3 ) 称为脉冲可控的，如果系统的所以脉冲模都是可控 的 ， 定义1 4 4 系统( 1 4 3 ) 称为强可控的，如果它既是只一可控的又是脉冲可控 的 定义1 4 5 系统( 1 4 3 ) 称为完全可控的，如果对任意的，。 o ，z ( 0 ) r ”和 1 4 j r ”，都存在一控制输入“( ，) c ? i ，使得工( f ) = w 0 几娄滞后系统的话定性分析与综合 2 多滞后时变系统的不稳定性 2 1 引言 众所周知，任何实际系统或多或少地都存在时间滞后，如生物系统、经济体 统、化学系统等；并且随着近代科学技术的迅猛发展及大规模工程的开发与“攻 关”，开展滞后大系统的研究就显得非常迫切；因此，研究含有滞后的大系统就 有非常重要的理论意义和实际意义。目前，这一领域已有许多研究，取的了一些 成果，如国内秦元勋等1 ，国际上p i n n c y e 等口1 嘲以及m o d t 等1 孓捌：其中， 文献【4 】是国内外第一本系统地论述滞后大系统的著作。但是，这些已有的结果 研究的主要是系统的稳定性，它们对不稳定性的研究甚少；而有时研究某个实际 系统的稳定性是很困难的，这就需要先从反面确定一下它是否是不稳定的，再做 出相关的处理。本章研究的即是滞后大系统的不稳定性。 本章所运用的方法是比较原理【5 l 】结合向量l y a p o n u v 函数法。l y a p o n u v 函数 法是整个稳定性理论的核心方法：它的许多基本定理及其各种推广解决了许多实 际问题：但是有些问题却很棘手，必须结合其它方法；其中理论上最完善、应用 上最广泛的便是比较原理。文献 4 】在研究滞后大系统的稳定性中所用的主要方 法之一就是比较原理。本文在此基础上再结合向量l y a p o n u v 函数讨论了多滞后 系统的不稳定性。 几类滞后系统的稳定性分析与综合 2 2 多滞后时变连续系统的不稳定性 对多滞后时变系统，有时可以利用多滞后比较原理将一类多滞后时变系统化 为多滞后定常系统，这样，时变系统的稳定性与否就转化为判定定常系统的稳 定性与否( 对多滞后定常系统的( 不) 稳定性可以利用频域法 4 1 研究) 。为此， 先做以下准备工作： 2 2 1 准备工作 在给出本文的主要结果之前，首先引入以下定义和引理。 有关定义 定义2 2 1 5 封向量函数w ( f ，r ) 是拟单调增加的，如果对任何给定的f 2 乇和所 有的r ，r ”r 。，使得当r ，”，j = r ”( j = l ，2 ，础_ ，f ) 时，满足不等式 w i ( f ，r ) w f ( f ，r ”) i = 1 ，2 ，m 定义2 2 2 5 3 1 泛函妒( 玉，毫) 由下式确定 仍= 妒( ，毫) = 0 1 ，当玉= 毫= o 0 f ，当玉 o ；屯= o 嬲 【一1 ，当 o ；或毫= o 及毫 o 。记 _ i l = m a x r 5 r ；f ，- ，= l ，2 ，仃；r = l ，2 ，n 1 ( 2 2 2 ) 在岛一h f 岛上，给定连续的初始函数工。( f ) 1 2 几娄滞后系统的稳定眭分忻与综台 ( t ) - - x o j ( t ) t o - h f f 0 ；j = 1 2 ，n ( 2 2 3 ) 记( 2 2 1 ) 的多滞后线性比较系统为 只( ，) = 喜a ( 蛐，( r ) + 兰r = l 否na 护( t ) y j ( ，1j 。lj i l i = 1 ，2 ，n 在f 0 一h f 岛上，给定连续的初始函数) ，o ，( f ) 桫) ( 2 2 4 ) y j o ) = y o e ) t o - f 墨岛； j = 1 ，2 ， ( 2 2 5 ) 若( 2 2 1 ) 及( 2 2 4 ) 的系数满足条件 口护( ，) - 0 ，f 4 扩( f ) o t o h t i ，j = l ，2 ，m ，= l ，2 ，n ( 2 2 6 ) 设石，( f ) 和y ) ( _ ，= 1 , 2 ，n ) 分别是多滞后微分不等式( 2 2 1 ) 和比较系统 ( 2 2 4 ) 的解。文中引入多滞后线性时变连续系统的比较原理： 引理2 2 1 t 4 设多滞后微分不等式( 2 2 1 ) 及其比较系统( 2 2 4 ) 的系数满 足条件( 2 2 6 ) 。则由( 2 2 1 ) 与( 2 2 4 ) 的初始函数满足 ：c o j ( t ) y o ( f ) 一 t t o ；= 1 , 2 ，- ，z ( 2 2 7 ) 时，蕴涵了 ( f ) y j ( f ) ，= 1 , 2 ，n ( 2 2 8 ) 在区间毛一h f o o 上成立。 多滞后非线性时变连续系统的比较原理 i 毫( ，) 正( 墨( f ) ，毛( f ) ，五。一罐) ，x o ( t 一碟) ， 五( 卜掣) ，矗( 卜) ) ( 2 2 9 ) i i = l 2 ，n 几类滞后系统的稳定性分析与综合 相应的多滞后非线性比较系统为： f 虫( f ) = z ( f ，m ( f ) ，靠( f ) ，y i ( f 一甜) ，y 。( f 一碟) ， y l ( t - ) ，) ，。( f 一彤) )( 2 2 1 0 ) i f = 1 川2 一，n 其中z 对所有变元咒( f ) ，咒。一学) ，( f ，j = 1 , 2 ，n ；r = l ，2 ，n ) 是拟单调增 加雕i 。 引入多滞后非线性时变连续系统的比较原理 引理2 2 2 娜设多滞后非线性比较系统( 2 2 1 0 ) 中，满足上述条件。如 果( 2 2 9 ) 及( 2 2 1 0 ) 的初始函数而，( t ) 和( f ) 满足 ? 7 7 y o j o x 铲挺压岛 ( 2 2 1 1 ) 【，= 1 ，2 ，n 、。 则有 l x j ( t ) y j ( f ) ，t o h f 0 0 【_ ，= 1 ，2 ，撑 其中一( f ) 和乃( f ) ( ，= 1 , 2 ，n ) 分别是( 2 2 9 ) 和( 2 2 1 0 ) 的解。 2 2 2 主要结果及证明 多滞后线性时变连续系统的不稳定性 现考虑多滞后线性时变系统 ( 2 2 1 2 ) 毫( r ) = 窆膂( r ) - ( r ) + 艺荟n 西1 ( 咖，一桫)(2213)j=tr = l j 毫( f ) = 膂( r ) - ( f ) + 西1 ( f ) z ，一桫)，。， 1；i 。7 i i = 1 ，2 ，一，n 其中系统( 2 2 1 3 ) 的所有系数对f t o 都是一致有界的，且满足关系 1 4 些鲞堂亘墨竺竺堡壅丝坌堑皇笪鱼 ? 4 7 口， ( f ) 0 ( f ) 0 ，_ ，i ( f ) 0 t o h f o o i 。j = 1 ，2 ，mr = l ，2 ，n 其中 = m a x ：r 1 ；f ，= 1 ，2 ，鹏r = 1 ，2 ， 显然有 记 口? k 缓矽( f ) ) = 垛 哿( r ) ) ，f 桫。磷( ，) ) i ，= l ，2 ，啊r = 1 ，2 ，n f 毋 o j 孤j ；e i l 砖o 【i ，j = 1 7 2 ，- , - 班r = 1 ，2 ，n 由( 2 2 1 5 ) 建立( 2 2 1 3 ) 的多滞后线性定常辅助系统 ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ，。( r ) = 喜。y ，( r ) + 羔荟n 扩y ，( f 一掺1 ) ( 2 2 r ) = 。y 儿) + n 【f - 掺)， 1，；lr = l ，n - l 。1 7 ) 【i = l ，2 ，n 于是，可以得到如下定理 定理2 2 1 对于多滞后线性时变系统( 2 2 1 3 ) ，假如其所有的系数对f t o 都 是一致有界的，且满足条件( 2 2 1 4 ) ，则多滞后线性定常辅助系统( 2 2 1 7 ) 之 不稳定性蕴涵( 2 2 1 3 ) 的不稳定性。 证明取y ( y ( r ) ) = v i ( y 。( r ) ) ，屹( y ：( ，) ) ，( 咒( r ) ) 丁 为多滞后线性定常辅助系统( 2 2 1 7 ) 的向量l y a p u n o v 函数，其中 咋( ) ，。( f ) ) = 协( f ) l i = 1 ，2 , - - - , n ( 2 2 1 8 ) 结合定义2 2 1 中引进的泛函概念，由v i ( y 。( ) ) ( i = l ，2 ，咒) 沿着( 2 2 1 7 ) 的 1 5 几娄滞后系统的稳定性分析与综台 轨线对t 求右上导数，得到 d + 咋( y ，( f ) ) f ( ：1 7 ) = p ( y f ，兜) 只( f ) l ( 。j 7 ) = 仍n ? 咒c ，+ 识 羞n 铲，。c r ，+ 善喜。f ，。( f f 5 ，) 簖) | y i ( r ) 卜谬) | 只( r ) 卜西i y ，( r 一谬) l ，= i r = lj = l 喜4 p ( j ) v ，( t ) + 喜喜西( ，) _ ( f f 5 r ) ( z 2 t ， i = 1 ，2 ，咒 考虑多滞后线性时变系统( 2 2 1 3 ) 。令( 2 2 1 3 ) 与( 2 2 1 9 ) 的初始函数而( f ) 与；o ) 具有下列关系 ( f ) ：c o j ( f )毛一矗f f 0 ( 2 2 2 0 ) 则由引理2 2 1 知，( 2 2 1 3 ) 的解五( f ) 和( 2 2 1 9 ) 的解u ( f ) 满足 m ( f ) 丐( f ) ，f o 一 s - t o 都是 一致有界的，且满足关系 令 硝( f ) o ，a 。( o ( f ) - 0 ( 2 2 2 4 ) t o h t o ( f ，= l ，2 ，n ；r = l ，2 ，) 为有理数且不全为整数，即至少有一个 为分数。我们称这样的系统为多有理数滞后离散系统。 记 蝗= x 渺，= 1 2 峨r = l 2 n ) 在区间- h 七o 上，给定初始函数而( k ) 。( 七) = x o j - ( 后) 一h t 0 ； ，= 1 , 2 ，一，n ( 2 3 2 ) 记( 2 3 1 ) 的多非整数滞后线性时变离散比较系统为 j 咒 + 1 ) 2 荟n ? ( k ) y j ( 。) + 蔷4 5 ，) ( 。) y ，k - r = l 彬) ( 2 3 3 ) 、= i，= i 、 h = 1 ，2 ，嗽k = o ，1 2 在区间h - k o 上，给定初始函数 ) y j ( 七) = y o ，( 七) 一h 七s o ： y = l ，2 ，疗( 2 3 。4 ) 并令 ，( 七) y 。，( 足) 一h 七o ； - = 1 ，2 ，肛 假设( 2 3 1 ) 及( 2 3 3 ) 的系数满足 口，( 七) o ，f ，y = l ，2 ，n ；r = 0 , 1 ，2 ，n ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 几类滞后系统的稳定性分析与综台 文中引入多组非整数滞后线性时变离散系统的比较原理： 引理2 3 i 棚设多有理数滞后线性时变离散不等式系统( 2 3 1 ) 及其相应的比 较系统( 2 3 1 3 ) 的系数满足条件( 2 3 6 ) ，则由( 2 3 1 ) - - 与( 2 3 3 ) 的初始函数工。( t ) 与 y 。，( 七) 满足( 2 3 5 ) 时，有 ( 七) y ，( k ) t = o ，i “2 ； ，= l “2 ，n( 2 3 7 ) 这里石，( 七) 和y ，( k ) ( ，= 1 , 2 ，n ) 分别是( 2 3 1 ) 与( 2 3 3 ) 的解 多非整数滞后非线性时变离散系统的比较原理 考虑多有理数滞后非线性时变离散不等式系统 一( + 1 ) 窆口妒( t ) _ ( 七) + 兰窆n ( ) _ 卜一彬) = lr ；l i = t + z ( x d k ) ，( 七) ，屯( 七一硝) ，( 七一蟛) ) ( 2 3 8 ) i = 1 ，2 ，挖：k = 0 ，1 ，2 ， 其中非线性函数z 对所有变元是拟单调增加的的非负函数。对不等式系统 ( 2 3 8 ) ，在区间一h l k o 上给定初始函数而，( k ) ( k ) = x o ( k ) 一h - 1 七o ； ，= l ，2 ，。n 不等式系统( 2 3 8 ) 的非线性离散比较系统为 y l ( k + 1 ) = a ，( t ) y 小) + n 5 r 1 ( 尼) y ，k ，；i，= i，= i + 工( y 。( t ) ，y 。( 七) ，) 、( 七一硝) ，y 。( t 一矗) ) ( 2 3 9 ) f = 1 ，2 ，l ：女= 0 ，1 ，2 ， 对比较系统( 2 3 9 ) ，在区间一h - 1 k o 上给定初始函数( 七) y j ( t ) = y o ( 七) 一h - 1 - k - o ，( f ，j = l ，2 ，朋r = l ，2 ，) 是有理数。设系统( 2 3 1 0 ) 的所有系数对 k = o ，l ，2 ，都是一致有界的，且满足条件( 2 3 6 ) 。 记 = m a x 彬“，= 1 力；r = 1 2 并且， j = 时( p ；七= o 协j b ，= 1 ，2 ，r ；r = o ，1 2 ， 由( 2 3 1 1 ) 建立( 2 3 1 0 ) 的线性定常离散辅助系统( 2 3 1 2 ) 1 只忙+ 1 ) ：主a 3 ，y i ( k ) 0+ 艺窆n f ，k 一砖，)1 只( 后+ 1 ) = a 3 + n f y ，一磅) 1，= l r = l j - i i i = 1 ，2 ，m k = o ，1 ，2 ， 由此。可得如下定理： ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) 几类滞后系统的稳定性分析与综合 定理2 , 3 1 对于多有理数滞后线性时变离散系统( 2 3 1 0 ) ，假如其所有的系数 对k = o ，1 ，2 ，都是一致有界的，且满足条件( 2 3 6 ) ，则线性定常离散辅助系统 ( 2 3 1 2 ) 之不稳定性蕴涵( 2 3 1 0 ) 的不稳定性。 证明取y ( y ) ) = v i ( m 似) ) ，v ：y ：( e ) ) ，( 靠 ) ) 7 为辅助系统( 2 3 1 2 ) 的