（计算机应用技术专业论文）多小波图像去噪方法研究.pdf

摘要 随着图像信息的日益普及，图像在很多领域都有非常重要的作用。然而在对 图像信息进行处理的过程中，由于种种原因，其质量有可能受到损害，噪声就是 其中之一。因此为了后续更高层次的处理，很有必要对图像进行去噪。近年来， 在小波基础上发展起来的多小波得到了很大发展，已经渗透到各个领域，并在图 像去噪中取得了一定成效。虽然图像去噪方法已有很多，但利用多小波的图像去 噪仍是一个值得关注的问题，不论在理论还是实践上都具有很大的研究意义。 本文对基于多小波变换的图像去噪进行了深入研究。主要研究工作包括以下 几方面：一、对多小波理论进行了详细介绍；二、对传统多小波去噪法进行研究 并通过实验证聪了其在图像去噪上的发展潜力；三、对多小波系数间的相关性进 行研究，并在此基础上提出了基于多小波系数层间相关性的图像去噪法；四、在 d o n o h o 提出的经典收缩阈值的基础上提出了一种新的多层阈值，并就图像噪声方 差已知和未知的情况进行了研究；五、将遗传算法与图像特性相结合，提出了基 于遗传算法的多小波自适应阈值去噪法。 多小波理论已经得到迅速发展，本文主要介绍了多小波变换的主要理论及关 键技术，从理论上说明了其优势，并对实验中使用的s a 4 多小波做了详细介绍， 为以后的工作奠定了基础。 通过对传统多小波去噪法的研究，在实践中很好地证明了多小波理论在图像 去噪上的可行性及优越性。 众所周知，图像的多小波系数之间存在着很强的相关性，本文根据系数层问 相关性的特点提出了基于多小波系数相关性的图像去噪法。该算法主要的根据是： 信号经过多小波变换后，其多小波系数在各尺度上有较强的相关性，而噪声却没 有这种明显的相关性。实验表明，该算法比传统算法具有更好的去噪效果。 传统多小波去噪没有考虑到图像分解后噪声的分布特性，本文通过对经典阈 值的研究，并根据含噪图像的噪声分布特性提出了基于噪声方差已知的多层阈值 去噪法，实验证明该算法取得了更好的去噪效果。同时特别针对d o n o h o 阈值必须 知道图像噪声方差仃的这个缺点，研究了基于噪声方差的多小波多层阈值去噪法， 该算法在不知道原始图像以及噪声方差的情况下，仍可对含噪图像进行去噪处理， 提高了图像去噪法的性能。 遗传算法是一种全新的随机搜索与优化算法，将其与图像特性结合，可以在 充分考虑图像本身特性的情况下帮助我们寻求到具有最优r m s e 的阈值，为此本 文提出了一种基于遗传算法的多小波自适应阈值去噪算法。实验结果证明，该算 法与前面提出的算法相比具有更好的去噪效果，不仅能有效地滤除图像中的噪声， 而且能较好地保留图像的边缘信息。 关键词：多小波变换图像去噪 多层阈值系数相关性图像特性 2 a b s t r a c t w i t ht h ew i d e s p r e a dp o p u l a r i z a t i o no f t h ei m a g ei n f o r m a t i o n ，i m a g eh a sp l a y e da l l i m p o r t a n tr o l ei nm a n yf i e l d s h o w e v e r , i nt h ec o u r s eo fp r o c e s s i n gi m a g ed a t a , t h e q u a l i t yo f t h ei m a g em a y b ed a m a g e db e c a u s eo f m a n yr e a s o n s ，t a k en o i s ef o re x a m p l e ， a st ot h ef u r t h e rm a n a g e m e n t ，i t sn e c e s s a r yt od e n o i s et h ei m a g e i nr e c e n ty e a r s ，t h e m u l t i w a v e l e tw h i c hi sf r o mt h ew a v e l e tg a i n sg r e a td e v e l o p m e n t ，h a sb e e np e n e t r a t i n g i n t oe a c hf i e l da n da c h i e v e ds o m es u c c e s si ni m a g ed e n o i s i n g 。a l t h o u g ht h e r ea r em a n y i m a g ed e n o i s i n gm e t h o d s ，u s i n gm u l t i w a v e l e tt od e n o i s ei m a g es t i l l i sar e m a r k a b l e p r o b l e m ，a n di t sv e r ys i g n i f i c a n tt or e s e a r c hi nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n i nt h i st h e s i s ，ih a v ed o n ec o m p r e h e n s i v er e s e a r c hf o rt h ei m a g ed e n o i s i n gb a s e d o nt h em u l t i w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n t h er e s e a r c hc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ：f i r s t l y , t h e m u l t i w a v e l e tt h e o r yi si n t r o d u c e di nd e t a i l ；s e c o n d l y , t r a d i t i o n a lm u l t i w a v e l e td e n o i s i n g m e t h o di sr e s e a r c h e da n di t sd e v e l o pp o t e n t i a li sp r o v e da c c o r d i n gt ot h ee x p e r i m e n t r e s u l t ；t h i r d l y ，o nt h e b a s i so fr e s e a r c hi nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nm u l t i w a v e l e t c o e f f i c i e n t s ，t h ei m a g ed e n o i s i n gm e t h o db a s e do nt h ei n t r a s c a l ed e p e n d e n c yo f n m l t i w a v e l e tc o e f f i c i e n t si s p r o p o s e d ；f o u r t h l y , o n e n e wm u l t i l e v e lt h r e s h o l di s p r o p o s e db a s e do nc l a s s i c a ls h r i n k a g et h r e s h o l dp r o p o s e db yd o n o h o ，a n dw er e s e a r c h t h es i t u a t i o nt h a ti m a g en o i s ed e v i a t i o ni sk n o w na n du n k n o w n ；f i f t h l y , t h em u l t i w a v e l e t a d a p t i v et h r e s h o l dd e n o i s i n gb a s e do ng e n e r a t i o na l g o r i t h mi sp r o p o s e dv i ac o m b i n i n g g e n e r a t i o na l g o r i t h ma n dc h a r a c t e r i s t i co f i m a g e a sy o uk n o w , m u l t i w a v e l e tt h e o r yh a sg o tr a p i dd e v e l o p m e n t s o , t h i st h e s i sh a s d o n em a i ni n t r o d u c t i o ni nm u l t i w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o nt h e o r ya n di t sk e yt e c h n i q u e w h i c hi l l u s t r a t e di t ss u p e r i o r i t yi nt h e o r y , a n ds a 4m u l t i w a v e l e ts y s t e mu s e di no u r e x p e r i m e n ti nd e t a i l ，w h i c hm a k eab a s i cf o rt h ef o l l o w i n gw o r k a c c o r d i n gt ot h er e s e a r c ho ft r a d i t i o n a l m u l t i w a v e l e td e n o i s i n gm e t h o d ，t h e f e a s i b i l i t ya n ds u p e r i o r i t yo f m u l t i w a v e l e tt h e o r yi ni m a g ed e n o i s i n gh a sb e e np r o v e di n p r a c t i c e i t i sw e l lk n o w nt h a tt h e r ea r eg r e a tr e l a t i o n s h i p sb e t w e e nm u l t i w a v e l e t c o e f f i c i e n t s s ow ep r o p o s e dm u l t i w a v e l e tc o e f f i c i e n t sd e p e n d e n c y - b a s e di m a g e d e n o i s i n gm e t h o da c c o r d i n gt ot h ef e a t u r eo fi n t r a - s c a l ed e p e n d e n c yo f c o e f f i c i e n t s t h e k e yp o i n to ft h i sm e t h o di s ：a f t e rs i g n a lm a k e sm u l t i w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ，i t s c o e f f i c i e n t sw i l lh a v es t r o n gr e l a t i o n s h i pb e t w e e ne a c hs c a l e ，b u tn o i s ed o e sn o t p r o d u c et h eo b v i o u sr e l a t i o n s h i p t h er e s u l t ss h o wt h a tt h i sa l g o r i t h mi sm o r ee f f e c t i v e 3 t h a nc l a s s i c a la l g o r i t h m t r a d i t i o n a lm u l t i w a v e l e td e n o i s i n gd i d n tc o n s i d e rn o i s ed i s t r i b u t i o nf e a t u r ea f t e r i m a g ed e c o m p o s e ，s oi nt h i st h e s i sw ep r o p o s e dk n o w n n o i s ed e v i a t i o n - b a s e dm u l t i l e v e l t h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o da c c o r d i n gt ot h er e s e a r c ho fc l a s s i c a lt h r e s h o l da n dn o i s e d i s t r i b u t i o nc h a r a c t e r i s t i co fn o i s e di m a g e t 1 1 er e s u l t ss h o wt 1 1 a tt h i sa l g o r i t h mh a s b e t t e re f f e c t a n df i l r t h e m l o r e ，w er e s e a r c h e dn o i s ed e v i a t i o n - h a s e dm u l t i w a v e l e t m u l t i l e v e lt h r e s h o l dd e n o i s i n ga l g o r i t h mm m i n ga tt h ed e f e c tt h a td o n o h ot h r e s h o l dh a s t ok n o wt h ei m a g en o i s ed e v i a t i o n c r ，t h i sa l g o r i t h mc a np r o c e s sn o i s e di m a g ee v 廿 li f w ed o n tk n o wt h eo r i g i n a li m a g ea n dn o i s ed e v i a t i o n ，a n di m p r o v e st h ep e r f o r m a n c eo f i m a g ed e n o i s i n g g e n e r a t i o na l g o r i t h mi san e wr a n d o ms e a r c h i n ga n do p t i m i z i n ga l g o r i t h mw h i c h c a r lh e l pu st og e tt h r e s h o l dw h i c hh a st h eb e s tr m s ei f w ec o m b i n ew i t hc h a r a c t e r i s t i c o fi m a g ea n dt h e na sar e s u l t ，c a nc o n s i d e ri m a g ec h a r a c t e rf u l l y s ow ep r o p o s e da g e n e r a t i o na l g o r i t h m b a s e dm u l t i w a v e l e ta d a p t i v et h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o d 1 1 1 e e x p e r i m e n t a l r e s u l t ss h o wt h a tt h i sa l g o r i t h mi s s u p e r i o r t ot h ea b o v ep r o p o s e d d e n o i s i n gm e t h o d s ，w h i c hn o to n l yc a nr e m o v et h en o i s eo fi m a g e ，b u tc a nr e m a i nt h e b e t t e re d g eo f i m a g e k e yw o r d s ：m u l t i w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o ni m a g ed e n o i s i n g m u l t i l e v e lt h r e s h o l d r e l a t i o n s h i p sb e t w e e nc o e f f i c i e n t s c h a r a c t e r i s t i co f i m a g e 4 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含 为获得江西财经大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 签名： ：堕缢日期：坦查。! 之 关于论文使用授权的说明 本人完全了解江西财经大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 签名： 重盥导师签名： 1 绪论 1 绪论 1 1 本文的理论意义和应用价值 随着数字技术、计算技术、存储技术的快速发展，图像信息日益普及。很多 领域中，图像都占有很重要的地位。在处理图像信息的过程中，由于种种原因， 图像质量有可能受到损害，噪声就是其中一种，因此为了后续更高层次的处理， 很有必要对图像进行去噪。图像去噪，是一个古老的课题，人们根据实际图像的 特点、噪声的统计特征和频谱分布规律，发展了各式各样的去噪方法，其中最为 直观的方法是根据噪声能量一般集中于高频，而图像频谱分布于一个有限区间的 特点，采用低通滤波方式进行去噪，例如滑动平均窗滤波器，w i e n e r 线性滤噪器等。 但是这种方法由于自身缺点使得在去除图像噪声的同时，也会将图像的边缘平滑， 失去图像的一些细节信剧“。另一方面，在数字图像处理过程中，图像去噪也是必 不可少的一个预处理步骤。比如在医学领域，由于人体自身的信号十分弱，加之 人体又是一个复杂的整体，人体信号很容易受到噪声干扰，使医学图像质量受到 很大污染，若不对受污染图像进行处理，很可能出现诊断错误，造成十分严重的 后果。在探测雷达图像处理中，噪声去除也是一个主要问题，直接影响到探测结 果的可靠性和准确度。目前，雷达信号处理方面基本上都是移植地震勘探的处理 技术，由于地下介质物的复杂性、不确定性，以及探地雷达信号所具有的瞬态非 平稳性特点，传统的地震数据处理方法诸如噪声压制、反褶积、频域滤波和偏移 处理方法等用于探地雷达信号处理不是十分有效，所以图像去噪在这些领域中的 应用对于人们的研究以及生活都非常有帮助，具有研究的实践意义【2 , 3 a , 5 , 6 7 ，8 ，9 】。 1 2 多小波的研究和应用现状 小波作为2 0 世纪8 0 年代末期出现的一种时频分析工具，不论是对数学还是 工程应用都产生了深远影响。短短十几年间，它在很多领域都得到广泛应用和发 展，如：信号处理、图像处理、理论数学、模式识别、分形等。尤其值得一提的 是小波理论在图像处理领域的发展，如图像去噪、图像压缩等，其中所取得的成 就数不胜数。而f o u r i e r 分析作为早期的时频分析工具，对小波分析的发展提供了 巨大帮助。理论上讲，凡是使用f o u r i e r 分析的地方，都可能用小波分析来代替， 它被认为是近年来工具及方法上的重大突破，被誉为“数学显微镜”。 多小波是在小波的基础上发展起来的一个全新领域，是由一个以上的函数作 为尺度函数生成的小波，它将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间扩 展为由多小波的多个尺度函数生成；采用单小波对信号进行处理时，可以直接对 采样数据进行分解和重构，而多小波在处理前要先对数据进行预处理，再对处理 多小波图像去噪方法研究 后的数据进行分解，最后还要对重构后的数据进行后处理才能得到恢复数据，其 过程相对复杂得多。 我们知道，小波理论能在很多应用领域取得很好的成就，是由于其自身具有 多分辨率、低熵性、去相关性以及选基灵活性的特剧“，但是小波本身无法同时满 足正交性、对称性的缺点也使其发展受到一定制约。在小波基础上发展起来的多 小波克服了这一缺点，它能在保有小波优势的情况下同时拥有正交性、光滑性、 紧支性、对称性的特性，这些性质对于信号和图像处理都非常重要【l 讥，因此多小 波在图像应用方面具有更大的潜力。 多小波的构造最早可追溯到1 9 9 1 年，由a l p e a 和r o k h l i n 构造的用来作为某些多 项式表达式基底的多项式小波【l 。1 9 9 3 年，g o o d m a n 、l e e 和t a n g 开始对多小波进 行研究，他们基于r 重多分辨分析建立了多小波的理论框架，同时构造了满足一定 插值条件的多小波【1 2 1 。1 9 9 4 年，g e r o n i m o 等人应用分形插值的方法构造了具有短 支撑、正交型、对称性和二阶消失矩的多小波中的两尺度函数，1 9 9 6 年，g c r o n i m o 等人再次应用分形插值的方法构造了多小波中的两多小波函数 1 3 1 ；这就是著名的 g h m 多小波。该多小波真正拥有了多小波性质，在实际应用中能够完美地结合光 滑性、紧支撑性、对称性以及正交性，是多小波真正应用的始祖：在图像处理中， 这些特性具有非常重要的作用，如正交性可保持能量；对称性既适合人眼的视觉 系统，又使信号在边界易于处理；与紧支性小波对应的滤波器是有限脉冲响应滤 波器，它能使相应的快速小波交换之和是有限的；光滑性在数据压缩中也起着重 要作用，如果用于小波变换的小波不光滑，小波变换所带来的误差很容易被视觉 检测出来。 继o h m 多小波获得成功，研究者们对多小波的兴趣倍增，1 9 9 6 年，c h u i 和 l i a n 利用对称性构造出了支撑在【0 ，2 】和【o ，3 】上的二重多尺度函数和多小波函数， 即c l 多小波。 与小波一样，多小波同样也存在双正交多小波的概念，h a r d i n 【h 1 等人利用分形 插值的方法构造出了在区间【- l ，1 】上的双正交多小波，1 觚l 】5 】等人利用两种方法构 造了一类对称反对称双正交多小波，s t r e l a 1 6 1 在他的博士论文中首次提出了两尺度 相似变换( t w o s c a l es i m i l a r yt r a n s f o r m ) 的概念，这种方法为多小波的构造提供了一 种新的思路，使人们可以利用已知的多小波来构造任意阶的新的多尺度函数和多 小波函数，同时还构造了具有逼近阶为3 的双正交g h m 多小波，以及双正交 h e r m i t e 多小波系列，并计算了相应双正交多小波的s o b o l e v 空间指数l i “。 m ，c o t r o n e i 等人引入了h u r w i t z 块矩阵和g r a m 矩阵，不仅给出了一种求尺度函数 与小波的快速算法，而且根据已知的半正交两尺度系数矩阵求得其对偶，从而构 造出半正交多小波( s e m i o r t h o g o n a lm u l t i w a v e l e t s ) 。另外，j i a n g 利用时频分析中 2 1 绪论 窗函数的性质，构造出了具有最优时频分辨率的二重多小波【1 9 ，2 0 1 。 1 9 9 6 至1 9 9 8 年是多小波理论快速发展的时期，不仅在多小波构造方面取得了 很多成果，对多小波性质的理论研究也获得了不少突破。其中：p l o n k a 用两尺度 相似变换对多小波的相消失矩性质进行了分析，给出了有关矩阵两尺度符号分解 形式的重要结论【2 1 1 ；h e i l 和c l o l l a 研究了向量为尺度函数解的存在性及唯一性问 题，分析了矩阵两尺度方程解的无条件收敛、条件收敛和超条件收敛 2 2 1 ；同年， m i c c h e l i 和x u 从向量细分法的角度出发，讨论了矩阵两尺度收敛的充分必要条件， 研究了多小波的正则性1 2 3 1 ；另外j i a 和w a n g 根据矩阵尺度符号的谱分解讨论了矩 阵两尺度方程的稳定性，给出了稳定的充要条件；l i a n 给出了多尺度函数是否正 交的各种判断标准；r u c h ，s o 和w a n g 讨论了多尺度函数的支撑特性等等。同时 为了解决多小波处理中的预滤波问题，l e b r u n 和v e r e d i 提出了平衡多小波 ( b a l a n c e dm u l t i w a v e l e t ) 这一全新概念，还提出了高阶平衡多小波理论、因式分解 和设计方案1 2 4 j 。 多小波的出现给各个领域的研究都注入了新鲜血液，其理论上的优势使它在 很多领域都得到广泛的应用和发展。目前，多小波在信号处理方面的研究已经取 得一定成果，特别是图像的去噪以及压缩口，6 ，7 ，1 3 2 5 1 。 1 3 图像去噪国内外研究现状及存在问题 图像去噪是一个古老的话题，对它的研究已经持续了很多年，至今仍受到国 内外广泛学者的重视。早期，传统去噪方法有低通滤波器法，主要包括线性滤波、 中值滤波以及自适应滤波三种，它们主要是基于对模板的考虑；其他方法还有基 于秩阶滤波( 排序量) 的方法，基于马尔可夫场模型和基于偏微分方程( p d e ，p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) 的方法以及l p 正则化方法等【l 】。 自小波理论出现，它就被广泛应用于图像去噪领域，而且也取得了很好的成 就 2 6 , 2 7 , 2 8 , 2 9 , 3 0 , 3 ”。1 9 9 2 年，d o n o h o 和j s t o n e 提出了小波阈值收缩方法 ( w a v e s h r i n k ) 3 2 1 ，还给出了阂值公式占= 盯2 l o g ( n ) ，并从渐进意义上证明了 w a v e s h r i n k 的最优性；与此同时，k r i m 等人运用r i s s a n e n 的m d l ( m i n i m u m d e s c r i p t i o nl e n g t h ) 准则，也得到了相同的阈值公式 3 3 1 ；此后小波阈值收缩法就运 用到各种去噪应用中并取得很大成功。但是d o n o h o 和j s t o n e 给出的阈值，由于有 很严重的“过扼杀”小波系数倾向，人们纷纷对阈值的选择重新进行研究，并提出了 多种不同阈值，比如s u r es h r i n k 阂值，它是在s u r e 准则下得到的闽值，该 s u r e ( s t e i n su n b i a s e d r i s ke s t i m a t i o n ) 准则是均方差准则的无偏估计，且该阈值趋 近于理想阈值；另一个是g c v ( g e n e r a l i z e dc r o s sv a l i d a t i o n ) 准则【5 2 】，g c v 虽然 是有偏的，但由于用这种准则得到的最优阈值也趋近于理想阈值，而且不需要对 多小波图像去噪方法研究 噪声方差进行估计，所以许多文献都使用这种准则来确定合适的小波收缩阈值。 除了阈值收缩方法外，硒v a i l c ，j o h n 和x u 等人还提出了投影方法和相关方法1 5 2 1 ， 例如由m a l l a t 等人首次提出- f m a t c h i n gp u r s u i t s 法，他们用g a b o r 函数库张成投影空 间，并用以去噪；x u 等人提出了一种s s n f ( s p a t i a l l ys e l e c t i v e n o i s ef i l t r a t i o n ) 方法， 该方法利用相邻尺度小波系数的相关程度来进行去噪【1 l 。 除此之外，z s t l i 和v c h e r k a s s k y 提出了一种v c t h e o r y 的方法【2 6 1 ；d o w n i e 和 s i l v e r m a n 介绍了一种向量阈值的方法，并将其成功应用于一维信号；l s e n d u r l v a n 和w s e l e s n i c k 提出了一个基于小波的双变量收缩函数【3 l 】；z x i a op i n g 和m i t ad d e s a i 在s u r e 的基础上提出了一种新的自适应去噪法【2 9 】；虽然这些方法在一定程 度上都有不错的去噪效果，但都具有一定局限性。 正是由于小波无法同时满足正交性、光滑性、紧支性以及对称性的特点，而 多小波能很好地克服这个缺陷，所以它在图像去噪上的效果必定要优于小波，这 在【1 0 】中已经由v s t r e l a 通过实验得到很好的证实；目前，图像去噪法主要研究的 问题都集中在图像去噪时阂值的选取以及收缩函数的使用两个问题上【6 ，7 ，s , 3 5 , 3 6 1 。 虽然图像去噪方法已经比较多，但利用多小波研究的图像去噪仍是一个值得 关注的新兴研究方向，所以多小波在图像去噪领域中的应用非常具有研究价值。 1 4 本文的主要工作 本文主要研究的是基于多小波的图像去噪问题，其中比较深入地研究了多小 波的收缩阈值，多小波系数的相关性，图像特性等问题。全文安排如下： 第一章为绪论，由小波入手主要介绍多小波的研究、应用现状以及目前图像 去噪的国内外研究现状和存在问题。 第二章主要介绍多小波变换的理论基础知识，包括多分辨分析、多小波的性 质、多小波的预处理、离散多小波变换以及实验中使用的s a 4 多小波。 第三章主要介绍图像去噪的一些基础知识以及现有的图像去噪法，其中包括 平滑滤波以及小波去嗓法，并对小波去嗓法进行详细阐述，包括小波去噪问题在 数学上的描述、小波去噪的原理以及现有的各种小波去噪法，同时通过对现有小 波去噪法的对比为以后提出的新阈值奠定理论基础。 第四章首先讨论闷值收缩算法中的两个关键问题：阈值和收缩函数的选取； 其次研究了传统多小波去噪法以及由d o n o h 0 提出的经典阈值，并通过实验说明了 频域滤波效果优于空间滤波，且多小波优予小波，为后续研究打下坚实基础；然 后定量分析了图像多小波系数的相关性，并根据系数层问相关性的特点提出基于 多小波系数相关性的图像去噪法；最后根据经过多小波分解的含噪图像的噪声分 布特性，提出基于经典阈值的多层阂值去噪法，该方法同时研究了噪声方差己知 4 1 绪论 和未知的情况。 第五章首先简单介绍了遗传算法的一些理论基础知识，然后通过对图像特性 的分析，提出一种基于遗传算法的多小波自适应阈值去噪法。 第六章是全文的总结与展望，概括了全文的研究内容与创新点，并对下一步 研究工作进行了展望。 1 5 本文实验中所用图像 本文实验中既使用了标准图像，也使用了日常生活中的图像，具体如下： 图像i n f r a r e d 2 ：来源于英国政府气象局( w w w m e t - o f f i c e g o v u k ) 多小波图像去噪方法研究 2 多小波理论分析 2 1 多分辨分析 m e y e r 于1 9 8 6 年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，并使其二进制 伸缩与平移构成1 7 ( r ) 的规范正交基，之后小波理论得到了真正的发展。而1 9 8 8 年s m a l l a t 在构造正交小波基时提出的多分辨分析( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 从空 间概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，并将此之前所有正交小波基的构造 法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速算法，即m a l l a t 算法【3 6 】。 其实，不仅在小波理论中有多分辨分析，多小波理论也是建立在多分辨分析 m r a 基础上的。不过两者的区别在于：标准的m r a 只有一个尺度函数( z ) ，而 多小波的基由于是由多个小波函数经过伸缩平移生成，故它有多个尺度函数。 2 1 1 多尺度函数 假设多小波有r ( r 2 ) 个尺度函数和小波函数， 令 m ( 功= 【识( 功，办( 】7 l ( r 2 ) 为一个向量函数，如果以( ( 1 s i ，) 经过伸缩平移 后生成的子空间巧；印鲫 2 喘谚岳一| j ) ，k z 满足： l j ( 1 ) 单调性：c c kc c 正lc ；( 2 - 1 ) ( 2 ) 逼近性：u 巧= 叠( r ) 、n 巧= o ；( 2 - 2 ) j e zj e z ( 3 ) 伸缩性：厂( f ) 营f ( 2 t ) ；伸缩性体现了尺度的变化、逼近正交小波 函数的变化和空间的变化具有一致性； ( 4 ) 平移不变性：对任何k z ，有谚( 2 4 j z f ) 巧铮办( 2 叫2 t k ) ； ( 2 3 ) ( 5 ) r i e s z 基存在性：协( f 一后) 1 1 j r ，k z j 构成的r i e s z 基。 则它在空间口( r ) 中产生一个r 重多分辨分析，我们将满足以上条件的向量函数 中( x ) 称为多尺度函数d o , 3 6 1 。 此时可知所有尺度函数满足办( f ) ，以( f ) c “，而t 。子空间有基 w 2 氟( 2 t 一豇) ：1 兰i ，k z 。因此多尺度函数必须满足r 度函数的双尺度方程： m ( 功= 4 2 h k d p ( 2 t j j ) ( 2 - 4 ) k 其中以为一个，低通滤波器矩阵。 定义函数 疵肚( f ) = 2 - 1 2 谚( 2 。o ，一后) l i r ，k z ( 2 5 ) 则尺度函数集移。，。( f ) j 是一的一个r i e s z 基。 2 多小波理论分析 2 1 2 多小波函数 令为巧的正交补空间，满足一t = 巧o ，巧n = g 。则乃包含了由 ，一i 层的近似信息分解后得到的第层的细节信息，同时由式( 2 - 1 ) 和式( 2 - 2 ) 可知： 旦2 r ( r ) ( 2 - 6 ) 令甲 ) = 眇。 ) ，悱( x ) r l ( r 2 ) ，我们定义： = 嬲 2 呖哆峋：峄脚) 如果砂。( f 一七) f l s i ，七z ) 构成的一个p d e s z 基，则甲( 是一个多小波 函数。 定义函数 妒，j ( f ) = 2 - j 1 2 ( 2 一t - k ) 1 f ，七z ( 2 - 8 ) 则小波函数集杪( r ) 是的一个r i e s z 基，且是r ( r ) 的一个r i e s z 基。 此时所有小波函数满足( 吼，( r ) c 圪，而予空间有基 风( 力一七) ：l i s ，七z j 。因此多小波和多尺度函数必须满足小波函数的双尺 度方程： 甲( z ) = i q 中( 2 工一七) ( 2 9 ) 其中瓯表示的是r x r 高通滤波器矩阵。 2 2 多小波的性质 经过g s t r a n g 和v s t r e l a 对g h m 多小波的研究，并通过和单小波的对比，可 知多小波具有以下性质： l 、对称性反对称性 由于式( 2 棚可使滤波器具有线性相位或至少具有广义线性相位，因而可以避 免因重构而产生的误差。假设，= 2 ，多尺度函数构成多分辨分析空间， s u p p 谚= 【口。，饥】【o ，n 】，h ( c o ) 为相应的两尺度符号。当且仅当日满足 h o = ( 一1 ) i + j z 2 4 + 4 卜叶+ h 。0 1 ) 时，o 是对称的，珐是反对称的，即 办o ) = ( 一1 ) 。以( 口。+ 岛- t ) ，i = 0 , 1 【j “。 2 、短支撑性 边界处理一直都是小波中值得关注的问题，目前可采用的方法有：( 1 ) 补零拓 扑；( 2 ) 周期拓扑；( 3 ) 对称周期拓扑f 3 羽。而当尺度函数支撑很短时，就能够避免因 截断所产生的误差，适合于处理边界问题。目前所构造出来的多小波函数都是短 支撑的，如：g h m 多小波分别在 o ，1 】和【o ，2 】上支撑，c l 多小波分别在 o ，2 】 7 多小波图像去噪方法研究 和【o ，3 】上支撑等。 3 、高阶消失矩 如果尺度函数满足 l x p 矿( x ) 西c = 印，p = 0 ，n 一1 ( 2 l o ) 称( 力具有n 阶消失矩，同样当小波函数妒( x ) 满足 l x 9 0 ，( x ) d x = o ，p = o ，n l( 2 一1 1 ) 称妒( 力具有n 阶消失矩。一般说来，消失矩越高，频域的局部化能力越强，光滑 性越好。所有小波都有一阶消失矩，而在实际应用中，为了更好地对线性函数进 行重构，一般都要求多小波至少具有二阶消失矩。 4 、正交性 在图像处理中，正交性可以保持能量恒定，使分解后图像的能量更加集中， 这是十分重要的性能。正交小波的对偶是其本身，在应用中由于它无须构造对偶 函数，所以能节省很多运算。 由小波的正交性可知： h ( c o ) h ( ) + h ( c o + r c ) h 。( + 万) = ，( 2 - 1 2 ) h ( r o ) g ( 口，) + h ( c o + 石) g ( 甜+ 石) = d r( 2 - 1 3 ) g ( c o ) g ( c o ) + g ( c o + x ) g ( o j + 石) = ( 2 1 4 ) 其中，符号表示复共轭转置。上式可等价于： h 。h r 。，= 2 4 o ( 2 1 5 ) 巩g 乙= o ， ( 2 - 1 6 ) g , g k r 2 = 2 a , ，。 ( 2 - 1 7 ) 其峨。= 住裳。 2 3 预处理 相对单小波，多小波的处理过程要复杂得多，其中最大的区别在于多小波在 变换之前要先对信号进行预处理，其中的预滤波过程能够消除多小波的不恰当离 散性【3 1 。同时多小波重构也要在进行与之对应的后处理之后才能全部完成。 多小波的预处理可分为两类：采用滤波器和采用平衡多小波；其主要任务是 把原始数据分裂为，维数据，并保持或改善多小波滤波器的性能【6 j 。其中采用滤 波器的预处理方法是以其所选预滤波器为基础的，而预滤波器的选择又和一系列 矩阵系数有关1 4 1 。现有的预滤波器设计方法主要有：逼近法、滤波器转化为低通 和高通滤波器法以及自适应法【3 9 , 4 0 1 。 2 多小波理论分析 这里介绍几种主要的预处理方法：奇偶( o d d e v e n ) 方法、h a a r 滤波器方法、 m o d h a a r 法、重复行预处理法和矩阵( 近似) 预处理法【1 0 1 。 1 、奇偶方法 对输入信号分别进行奇数和偶数采样，初始系数为： c 器= x ( 2 n ) ，c 如= x ( 2 n + 1 )( 2 - 1 8 ) 预滤波时，选择基于2 x 2 的h a a r 滤波器，具有简单、正交和对称的优点， 其初始系数为： c 罂= ( x ( 2 咒) + x ( 2 ，l + 1 ) ) j ，c 出= x ( 2 n ) 4 - 5( 2 1 9 ) 3 、m o d h a a r 法 这是对h a a r 滤波器进行修正后的处理方法，其初始系数为： c 2 = ( 2 功+ x ( 2 万+ 1 ) ) j ，c 器= ( x ( 2 珂) 一x ( 2 n + 1 ) ) 互 ( 2 2 0 ) 4 、重复行预处理 设输入信号长度为n ，如果预处理后产生的是长度为n 的2 1 序列向量 “曲肌旷阱斟陋o ，t ，一肺这种预处理为 重复行预处理。假如x k = c ，一个常数，那么对于所有的k ，高通滤波器的输出 将是0 。 例如：在g h m 中，一般取a = 1 j ，当以= c 时，根据下式： 阱蛳皿斛 l 毒期唯 ( 2 - 2 ， 料啪崛崛卧扩1 6 尉7 c 圈2 ， 其实还可以通过一个矩阵乘法口z = v o 来描述这个预处理过程： 10 0 丌z o 口oo 8 蜀 o l o lx 2 o 口o l 墨 卜 x o c r x o 墨 m 】t i ： v 勰 v 出 v 船 v 搿 i ( 2 - 2 3 ) 其中p 是一个2 n x n 阶矩阵，x 是n x l 阶矩阵，是2 l 阶矩阵。 5 、矩阵( 近似) 预处理 设输入信号长度为，如果预处理后产生的是长度为n 2 的2 1 序列向量 v 。) ，则称其为矩阵( 近似) 预处理。 9 多小波图像去噪方法研究 设x ( t ) ，v o 是由g h m 尺度函数产生的一个空间。则x ( r ) 可表示为：