（概率论与数理统计专业论文）随机游动的性质及其在金融风险中的应用.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 随机游动的性质及其在金融风险中的应用 摘要 风险理论作为精算数学中的一个重要课题，已经经历了百年的发展；近年 来，不少学者专家都使用随机游动来研究风险理论本文将在前人理论的基础 上，继续研究随机游动的一些重要及性质及其在风险理论中的应用 根据内容本文分为以下三章： 第一章：设 甄，1 ) 为一列独立同分布随机变量，具有共同的支撑 在( 一o 。，+ o o ) 上属于s ( 7 ) 族的分布函数设r 为一个整值随机变量，且与 甄，女1 ) 独立本文研究了量晶= 坠1 五，n 1 ，m 。= m a x o 塾! 。吼，j 厶= m a x o ! 女n 讯以及它们的随机版本s 丁，尬，x 的尾概率p ( - 。) 以及量& 的 局部概率p ( 。 z ) 的渐近行为 第三章：本章中，我们引入了两个随机游动模型，研究了量岛= 坠。置，n l 的尾概率的渐近行为 关键词：s 族；s ( 1 ) 族；尾概率；局部概率；部分和；渐近行为 曲阜师范大学硕士学位论文 t h ep r o p e r t i e so ft h er a n d o mw a l ka n di t s a p p l i c a t i o n si nr i s kt h e o r y a b s t r a c t r i s kt h e o r y l a sa ni m p o r t a n ts u b j e c to ft h ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c s ，h 糖 b e e nd e v e l o p e df o rah u n d r e dy e a i 。s ；n o w a d a y s ，i o t so fe x p e r t sh a v ei n v e s t i g a t e dt h er i s kt h e o r yb yt h em e t h o do ft h er a n d o i nw a l ki nt h i sp a p e r ，w ew i l l c o n t i n u et os t u d yo ft h ep r o p e r t i e so fe a n d o mw a l k sa n di t sa p p l i c a t i o n si t h e r i s kt h e o r yo nt h eb a s i so ft h ep r o d e c e s s o r c h a p t e ri ：s u p p o s e x i ，七1 ) i sas e q u e n c eo fi n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s ，w h e r et h e i rd i s t r i b u t i o n s 最，七1a r eb o t h s u p p o r t e do n ( 一。o ，+ ) a n dj l s ( 7 ) ，南1 ，s u p p o s e7 i sa 至上l t e g e r v a l u e d r a n d o mv a 工i a b l e ，a n di si n d e p e n d e n to f x ， l i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h et a i lp r o b a b i l i t i e sp ( - z ) o ft h eq u a n t i t i e s & = 坠1x z ，n21 ，蝎l = m a x os n & ，? k = m a x o ! ( n ka n dt h e i i r a n d o m i z e dv e r s i o n - 鼻 矗，x ( ，) a n dt h el o c a lp r o b a b i l i t i e sp ( z ) o ft h p q u a r n i t y 品，w h e r ex o = 0b yc o n v e n t i o na n dh 0 i sa r b i t r a r y 矗x e d c h a p t e ri i ：i nt h i sc h a p t e r ，w ei n t r o d u c ean o n 一8 t a n d a r dr a n d o mw a l k a n di n v e s t i g a t ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h et a i lp r o b a b i l i t i e sp ( z ) o ft h e q 讧a n t i t i e s & = 墨1 x 。，n l c h a p t e ri i i ：i nt h i sc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et w om o d e l so fr a n d o mw a l k i n v e s t i g a t et h e i ra s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h et a i lp r o b a b i l i t i e so ft h eq u a n t i t i e s & = 坠。五，礼1 i ( e yw o r d s ：s ：s f 7 ) ；t a i lp r o b a b i l i t i e s ；l o c a lp r o b a b i l i t i e s ；p a r t i a is u m s i 曲阜师范大学硕士学位论文 a s y m p t o t i cb e h a i o r 第一章随机变量部分和及最大值分布的渐近表达式 由于随机游动在保险理论研究中具有十分重要的作用，研究它的一些重要 的性质对保险估算会起到熏要的作用。通过阅读以前文献中出现的重要结果， 本文继续考虑随机游动的一些特点及性质 设x ，x 。，i = 1 ，2 ，为一列独立同分布随机变量，其分布为f ，令& = ：l 五，n 1 ，s o = o 则称兔为标准随机游动，且定义 靠= m a x o s 女s 。& ， = 0 通篇约定，x ，x i 具有期望p = e x ( 一。，+ 。) ，f ( 。) = 1 一f ( z ) ， 其拉普拉斯变换p ( 7 ) = j 芸e 一，。d f ( z ) 所有的极限过程如无特别说明均指 z 斗o 。，f 的平衡分布定义为 踯，= 黠 若o 铲百( g ) 由 o ) 其中g ( 7 ) o ；关于部分和及最大值的局部概率，文献 1 1 中得到如下结 果：若f 1 ，毋支撑在( 0 ，+ o 。) 且满足： 0 ( r ；z ) 一c z ，( z ) ，q ( 玛；z ) 一c 2 ，( z )( 1 1 ) 其中c - ，c 2 o ，且h 为大于零任意实数，函数，：r + 斗r + 与s + 中的某个 分布函数成比例，则有 文献 2 将结果推广到日，局支撑在( 一。，+ 。o ) 且满足条件( 1 1 ) 时得到了 与文献1 1 1 相同的结果 本文中我们将研究在s ( 7 ) 的情况下，随机游动部分和& ，尬；= m a x 。k 。& 及随机和s 分布的渐近表达式 下面我们介绍几个与本文结果有关的重要定义： 定义1 1 1 称非负随机变量y 的分布g 属于s ( 7 ) ，7 o ，若 ( i ) l i m 。- + 。号差 = 2 fe 7 。d g ( z ) 。， ( i i ) l i m 。_ + 。! 莘；挈= e w ，任意的r 当s = s ( o ) 时，称s 为次指数分布族当只有( i i ) 成立时，我们称g 2 曲阜师范大学硕士学位论文 上( 7 ) ，7 o 更一般的，我们说实值随机变量x 的分布函数属于s ( 7 ) ，若随 机变量m a x ( o ，x ) 的分布函数属于s ( 7 ) 定义11 2 ： 支撑在 o ，。) 上满足i ：产e ，f ( ) 咖 o 时有 f s 4 ( 7 ) 铮f s ( ，y ) 详见文献f1 0 定义113 无穷小量a ( z ) ，b ( 。) ，若有1 i ms u & 。勰s1 我们记为一4 ( t ) ! b 0 ) ，若l i m i n f 。o 。并碧21 ，则有a ( z ) 兰b 扛) 定义1 1 4 分布函数f 1 和f 2 称为和与最大值等价，记为f 1 一m f 2 ，若 了_ 瓦( 工) 一万( z ) + 万( z ) 注：若两个随机变量义t ，x 2 的分布分别是f l ，f 2 ，那么f l m 凡等价于 p r x l + x 2 g ) 一尸 m a x ( x 1 ，x 2 ) 。) 众多文献都研究了最大值与和的等价问题，如文献 2 8 】中提出 若，f l r ，f 2 r ，则日$ f 2 r ，且有： f 1 + r ( 霉) 一f l ( z ) + f 2 ( z ) 文献1 2 1 中提出： ( 1 ) 若f l dnl ，毋dnl ，则r f 2 d n ，且有 f l + 足( z ) 一f 1 ( z ) + f 2 ( 。) ( 2 ) 只c ，f 2 e ，则日十f 2 g ，且有： f t + f 2 ( z ) 一目( z ) 十局( z ) 3 第一章随机变量部分和及其最大值分布的渐近表达式 1 2 预备知识 本节给出几个有用的引理 引理1 2 俐若只l ( 7 ) ，j = 1 ，2 ，3 ，则f 1 f 2 + j 二l ( ，y ) 下面的两个不等式可以认为是对l e v y 不等式和k o l m o g o r o v 不等式的推广 对0 q 1 ，我们记( z ) 为随机变量x 的q 分位数，即( z ) 取自下列集合 r q ( z ) = z ；_ 尸( x z ) 1 一g ，p ( xsz ) 1 一q ) 引理1 2 2 【9 】( 1 ) 对任意的0 q l 及实数z ，下式成立 p 蜀誉& 。) 茎；p ( & 2z 一恶 ( 晚一晶) ) ) 【2 ) 议d i ak l 。，仕葸的ls sn ，那么对仕葸明u q o ，存在k ( e ) 0 有 掣( 。) ( + 。) n f b l 一“ 7 引理1 2 5 3 设f s ( 7 ) ，那么对任意的礼，螈= m a x l z ) 4 曲阜师范大学硕士学位论文 其中c 佗( 7 ) o 引理1 2 6 6 】设分布函数瓦( z ) 一c k f ( 。) ，女1 ，其中为非负常数，则 尸( & z ) 一q ( n ) f 扛) 1 3 尾概率的渐近行为 定理1 3 1 设分布函数最l ( ，y ) ，女1 ，则我们对任意的n ，有 p ( 燃s 七 z ) ! 尸( r z ) e w 其中g = m a x l s k s 。 ( 晚一s 礼) 证明由引理2 1 知，叉的分布属于l ( 7 ) ，从而由引理2 2 ( 2 ) 知 尸( 船乳 茁) 其中= m a x l 。 ( 鼠一& ) ) 在上式中令q 1 l ，即得命题成立 注13 1 当7 = o 时，结果与文献【1 】中定理2 1 一致因为显然有 尸( 攫喙& z ) p ( ， 。) 成立 定理1 3 2 设分布函数磊( z ) 一c k f ( z ) ，1 ，其中c m 为非负常数，且使得 c ( n ) = ? c o ，那么对任意的n ，有 p ( 燃k z ) c ( n ) f 扛) 证明我们用数学归纳法证明命题成立当n = 1 时命题显然成立 5 ns c ，) 7 品 坝 p 矿 l一口lq z ) 假设当似= i 时成立，则 = p ( x l z ) + p ( x 2 z ) 一p ( x 1 。x 2 茁) = r ( z ) + f 2 ( 。) 一f l ( z ) 玛( z ) 一( cl + c z ) f 如) + 。( f ( z ) ) 尸( 。嚣装。甄 z ) = p ( 器怂m z ) + ( 五+ t 茁) p ( 戮凰 z ，五十1 z ) 一c ( i ) f 扛) + 矗“f ) + 。( f ( z ) ) = c ( i + 1 ) f ( 。) 于是命题成立 定理1 3 3 设分布函数瓦( 茁) 一c k f ( z ) ，三l ，f s ( 7 ) ，其中c k ，21 ，为非 负常数，则有 p ( 岛 z ) 一端p 鼹五 z ) 一州妒( z ) 证明由引理2 6 知， p ( 晶 z ) 一c ，) f 如) 由定理3 2 知， 尸( 足鬯矗x t 。) “c ( 凡) f ( z ) 经过简单变形，即可得到命题的证明 定理1 3 4 设f s ( ，y ) ，r 为一非负整值随机变量，且7 - 与 x k ，1 ) 独 立，则对任意的e 0 ( 1 ) 若f f ( f ( ，y ) + e ) 7 茁) e c r ( 7 ) 】f 0 ) ； 曲阜师范大学硕士学位论文 p ( 船卫) = p ( 勰跏茁) p ( r = 扎) s ；羹尸( 麟狰尚) 即刊 ；薹删讯m p ( 舵z 尚) 砷圳 墨；拼( e ) ( 尹( 7 ) + e 弦( r = 扎) 由控制收敛定理及引理1 2 5 易知： j p ( 燃，斑 。) 一岛( ，y ) p ( r = n ) 亏( z = 露 c r 一) 】( 罗 ) ) 。 n = o ( 2 ) 由于 p ( s 7 _ z ) = p ( s 。 z ) p p = n ) n = 0 七( e ) ( p ( 7 ) + e ) “尹( 。) p ( r = n ) n = 0 蠢弓l 理1 2 3 及控割波敛定理鳃 p ( 鼻 z ) 一礼( 卢h ) ) ”1 p ( r = n ) f ( z ) n = o = e p ( 爹( 7 ) ) 7 1 l 尹( 。) 注l3 2 当7 = o 时，结论与文献f l j 中定理12 3 一致，同时它也与文献【2 】 中定理1 ，3 1 ( i ) 一致 了 一f 们 一f目 飕 0 ， 0 且h 为任意的，函数，：r + _ 兄+ 与s + h ) 中的某个分布 函数成正比。 不失一般性，我们设，在 o o 。) 上非增。 文献 2 】中得到，若r ，f 2 支撑在( 一。，+ 。) 且满足： q ( 日：z ) 一c i ，) ，q ( f 2 ；z ) 一c 2 厂 ) 其中c l ，c 2 0 ，且h 为大于零任意实数，函数，：尺+ 斗r + 与s + 中的某个 分布函数成比例，则有 即算子吼( f ；。) 在渐近性上关于f 可加下面我们将其结论推广到s + ( 1j 定理1 _ 4 1 设分布函数f 满足( 41 ) ，那么对任意的n ， 0 有 证明设为m ，场两个独立的随机变嚣，其分布分别为f l ，f 2 ，于是我们将 吼( f l 十f 2 ；石) = - 1 尸扛 0 ，k 0 ) ，( m o ，k o ) ，( mso ，m o ) 分成三个部分 ，如与 由s ( 7 ) 的性质，对任何有限区间 6 1 ，6 。 ，一致的有 挈- ( 4 2 ) 8 zxq h一乃 。n州 。谢 z shq 曲阜师范大学硕士学位论文 从而对任意的o ，6 ，c o 有 以= 一1 f 2 ( 。一t ，z 一危+ f d f l ( ) = 一1 z 。f 2 ( z t ，z 一九+ 叫d f l ( ) + 一1 2 2 + “一。f 2 ( z t ，茁一 + 叫d 目l ) + 一1 f 2 ( z t ，z 一 + 叫d f l ( t ) = 1 + 以2 + 以3 ， ，l l = _ 1 石f 2 ( 。一t ，。一 + t 】d f l ( t ) 一c 2 ，( z ) 片e 州d n ( t ) ， r z + ，z + j 1 3 = _ 1 f 2 扛+ 一t ) d f l ( t ) 一 - 1 f 2 ( z 一) d f l ( t ) j z + 一dj o + 一o r z + h = 一1 f 2 扛+ 一t ) 只( t ) j 。+ 一n 。+ “一f l ( t ) d 马( z + 危一) j + h 一 r o 十 一f 2 一t ) 见( t ) ) iz + 愚一。计“+ f l ( t ) d 玛一) j z + 一o = 一1 卜f 2 ( ) f 1 ( z + 一o ) + f 2 ( n 一 ) f 1 ( z + 一o ) r o 十广2 + + r ( t ) d 局( 。一t ) 】一日( t ) d f 2 扛+ 一t ) j z + 一nj z + h o = 。【一如( o ) 日( z + 一o ) + 昂( d 一危) f l + 一) ，or o 一 + f 1 + 一t ) d f 2 ( t ) 一 f 1 如一) d f 2 ( t ) 】 ju ，u r n 一r d = 一1 f 1 ( z t ，茁+ 一t 】d f 2 0 ) + 一1 日( z + 口，z + 一铂d f j ( ? 上述证明中我们用到了当zs0 时，f ( z ) = o 又 吖z 。 一1 只( z 一，z + 一t d f 2 ( t ) s 3 j 0 r n t ，z + 危一t d 咒( t ) 一c 1 ，( z ) e 1 d j j ( t ) 9 一 卜 扛 m r f n 咆厂厶 e 一 第一章随机变量部分和及其最大值分布的渐近表达式 又 。，( z ) 厂d f 2 ( t ) 。h 一厂“n ( 。 j oj o z 。f l ( z t ，z + 一t d f 2 ( t ) 一c ，( z ) z 。e 叫d 局( t ) 由于。可以取为任意大，故我们只需将证明限制在整值。上，下证。2 j 1 2 = o ， 其中。2 9 ( z ，。) = l i m 。一o 。l i ms u p 。- + 。警群由控制收敛定理 。2 。，( 。一可) ，( 可) d g = 。2 。，( 。一掣) ，( g ) d 可= 。e 7 ”，( 可) d 可 ( 4 3 ) “上m g ) m ) d g 讪上一。m 一) m ) 妇。0 8 删m ) 咖( 4 _ 3 ) 0j 2 一n u 令茁+ = 陋+ o ，重复使用( 14 2 ) 式及关于f l ，毋的假设，我们可以得到 2 ，( z + 一g ) d 只( 目) j 8 = l 2 m 4 一女一1 ) 日( k ，+ 1 】 ：= 。m + 一k 一1 ) ，( 七) 由( 14 1 ) 式与( 1 4 3 ) 式知上式趋与o 所以 一c ，| 厂( 。) z 。e w d 最( t ) + c 。，( 。) z 。e w d f 2 ( t ) 同理可得 于是当。一，c 趋于无穷时 q ( f 1m 毋；z ) 一( c l 式( 7 ) + c 2 篪( 7 ) ) ，( z ) l o 胁厂 妇 = d d b 如 d d 矿 ， 0 6 0 c上上 扛 扛 ， q 龟 如 如 曲阜师范大学硕士学位论文 通过归纳，可以得到 ( 晶；z ) 一( 巧( ，y ) ) 魏( 置；z ) 注1 4l 当7 = o 时，结果与文献 2 中定理4 1 前半部分结果一致 第二章一类非标准随机游动的尾分布的渐近表达式 2 1引言及预备知识 本章将在上一章的基础上继续研究随机游动在金融风险中的应用，所不同 的时，本章提出了一类新型的非标准随机游动它通过另一种完全不同的途径 来研究随机游动 本章中所有的符号，如果不作特别说明，都与第一章中出现的符号意义相 同 下面重复几个重要的重尾分布族； l 类： l = f i l i m 。- 。等等= 1 对任意固定的y ) s 类： s = l l i m 。+ 。锹= n 任意的n 2 ) m 类： m = f l l i m 融= o ) r 类： r = f l i i m 弘+ ；筅学= 掣一。) c 类： e = f i l i i n y t l l i ms u p ；等= 1 ) d 类： d = f i l i m 。一黜 。，对任意的掣( o ，1 ) ， 下面的结果是众所周知： 由文献，有 r c g c d n 三cscl 疋s j ，m f ( 。) = o ( f f 净) ) 疋s = ，m = f ( 。) = o ( f ，扛) ) 曲阜师范大学硕士学位论文 定义2 1 1 设x 。，i = 1 ，2 ，为非负独立同分布随机变量，则称& = 苫x 为标准随机游动 定义2 1 2 设，i = l ，2 ，为非负独立同分布随机变量，坛，i = 1 ，2 ， 其分布分别为f ，g ，称& 为非标准随机游动，若 。= k l + 蚝1 + + m 。+ k 。s 2 。+ l = k l + 蚝1 + - + k 。+ k 。+ k 1 其中= o 当f ，g 相同时，即回到我们熟悉的标准随机游动 如第一章中所约定，f ( z ) = l f ( z ) ，f ”是f 自身的n 重卷积，分布函 数f 的拉普拉斯变换尹( 7 ) = fe 1 。d f ( z ) ，百；( 7 ) 为分布函数9 “的拉普拉 斯变换，而所有的极限过程如无特别说明，均指z _ 。，f 的平衡分布定义为 坼，= 牒 若o f 百( y ) 叻 2 。- + ”士( 叫 定义214 称非负随机变量y 的分布函数g 属于s ( ，y ) ，7 o ，若 ( i ) 蛾裂= z p 脚) 。) 一n ( a + 1 ) 虿( z 1 堕呈堕整盔堂堡主堂垡迨塞 一一 p ( 岛n + l z ) 一( n 十n a + a ) 百( z ) 证明：由于 c 6 2 n z ) = p ( k j + k i + ，+ 】。+ 】r 2 n z ) 2 p ( k 1 + k 2 + + k 。+ 托1 十 j 2 + + 圪。 z 1 = z 。州卅z 2 研刊州。) p z = g ”( z ) + f 鬲( z 一) d g + “( 口) j0 而 怒z 。警州，)。+ ”og f z l 舰z 。掣州v ，。_ + 。og ( z 】 = z 。舰扩 ( 2 。 o o 。+ 。 “l z l r 7 = z 。规裂篱掣， 2 z 如们“( 9 ) 陋2 ) = a 忆 其中( 2 21 ) 得自控制收敛定理，( 2 22 ) 得自引理2 ，2 1 和引理2 2 2 ，又 熟z 。州”，z _ j og ( 0 1 。 规。裂州，) = 规g 弋z ) 裂 l ；r n 门。r f + “扣) f 如) 2 舰9 弋硝莆券 第一章随机变量部分和及其最大值分布的渐近表达式 其中( 2 2 3 ) 式得自引理2 21 从而可得 。兰掣d g + n ( ) 。a 百( 。) og ( 茁) 一 于是可得 p ( 兜。 石) 一n ( a + 1 ) g ( z ) 同理可得 p ( 。+ 1 茁) 一( n + 礼a + a ) g ( z ) 从而命题得证注：当a = 1 时，_ p ( 。) 一n g ( z ) 与标准随机游动的结 果一致下面的文献来自 4 】 引理2 2 3 设f s ( 7 ) ，则当礼l 时有 1 i m 掣：。( 确) z o 。f f z l 、 定理2 2 2 设f s ( ，y ) ，g s ，贝 n 百( z ) + 礼a ( 尹( 7 ) ) ”一1 f 扛) z ) z ) = p ( h 1 + h 2 + - + 】j 。+ k 1 + k 2 + + i 孔 z ) 2 zd g ”b ) + z 两( 卜刚口m ) r z = g ”。( z ) + f “( z 一口) d g ”( ) 曲阜师垫盔堂堡圭堂! 童堕壅 一 一 丽 溉：4 警秽， l i mf _ 亏哥弋。d “i ， 一z 斗o，。【j ：熙肌，雩等弓害酬驯 ：n ( p ( ，y ) ) ”1 其中( 2 2 6 ) 式得自引理2 2l 从而可得 扎( 舶扩t z 。写删小嘲) ) n 。觏们 于是可得定理结论： 橱( 卅n 瓶坩一t 剐 茁) _ z ) 一九g ( z ) + ( n + 1 ) f ( z ) 证明：在定理2 2 2 中，令，y = o 即可 注：在非标准随机游动中，若e g s ，且f = g 时，即可得到与标准随机游 动相同的结果，即随机变量x z 的分布函数为f s 时有 p ( z ) 一礼f ( 茁) 下面的引理来自文献 2 9 引理2 2 4 设分布函数鼻l ( ，y ) ，i = l ，2 ，3 ，4 ，且m 。( ，) ，若万一c | l f 3 ，f 2 一 q f 4 ，g o ，i = 1 ，2 ，则 可了万一c 1 g 瓦面+ q ( m 。( 7 ) 一g m 4 ( 7 ) ) 万+ q ( m l ( 7 ) 一c _ l b ( 7 ) ) 曩 下面的引理来自文献 7 】 引理2 2 5 若只l ( 7 ) i = 1 ，2 ，3 ，则f l $ f 2 十r l ( ，) 推论2 2 2 若只g l ( ，y ) ，且熙吕黯= a ，则 l i 。竺盟：l l m = = = i o = a “ 。g + “【z ) 证明：由于只g l ( ，y ) ，则f “，g ”l ( 7 ) ，于是由引理2 25 可知，推论结 果成立 定理2 2 3 在非标准随机游动中，若f 工( 7 ) ，g s ( 7 ) ，舰吾罄= a o ，o 。) ，则 n ( 舀( 7 ) ) “一1 + 礼a “( 百( 7 ) ) ”一1 舀( z ) z ) z ) = 尸( k 1 + k 2 + 十k 。+ k l + k 2 + + 蚝。 o ) ，。r z = d g “( ) + 而( z 一) d g “( f ) ，$ = g ”( z ) + f ”( 。一) d g ”( ) 舰z 。篙产州们 鲫m 厂。! 凳掣妇n ( y ) 一z 一。，og f 茹) = z 。舰篙州v ， = 序m 。_ 。渊甓岩掣州v ， j o g + “( z 一) g ( 。一g )g ( z ) 一 ”7 = a “礼( 百( 7 ) ) “一1 e ，”d g + “( 掣) j 0 ：n a n f 舀1 n l 莎讯1 第一章随机变量部分和及其最大值分布的渐近表达式 ，t m 。_ 。等( z ) a g 4 ”( ”) 刈一_ 。篙州v ) = 舰驴裂 = 熙g 弋z ) 掣筹 z _ o 。 、7 g + n 、7 g f z l 其中( 2 2 3 ) 式得自引理2 2 1 从而可得 柏r 1 z 。州小钟( “西 于是可得定理结论： 【n ( 0 ( 7 ) ) “一1 + 佗a “( a ( 7 ) ) ”一1 虿( z ) z ) 。) 一h + ( n + 1 ) a “ g ( 。) 证明：在定理2 2 3 中令 ，= o 即可 第三章双随机游动及其在金融风险中的应用 3 1建立模型 本章将继续研究随机游动在金融风险中的应用，所不同的是，本章提出了 一类双随机游动它通过另一种完全不同的途径来研究随机游动 定义3 1 设五，i = 1 ，2 ，叫，弘= 1 ，2 ，分别为独立同分布随机变 量，其中叫一g ( z ) ，x 。一f ( z ) ，称 s = s l + s 2 为双随机游动，其中s = 呈。x ；，岛= 翟。x ；均为标准随机游动 在随机游动中定义： 弱减阶梯时刻：r 一= i n f ，& s h 一。) 阶梯高度；l = l 1 = 鼻。，k = s _ 。一s 、。称厶为阶梯高度 显然，m a x s 。= 墨。厶，其中k 服从参数为e = p ( r o 。) 的几何分布 厶独立同分布在随机游动中，当日s ，e 五= 加 z ，7 _ z ) 一高习巧( z ) 说明1 ：耳表示在给定 f ) 时l 的尾分布 考虑如下两个模型： 模型3 1 1 ：在双随机游动中，岛每一项与s - 有关，满足：岛= 墨， 且 = e 置 o ，其中勺为s 1 的第j 个阶梯增高时刻服从参数 2 1 第一章随机变量部分和及其最大值分布的渐近表达式 r 1 = ，则令岛= 0 模型312 ：在双随机游动中，& 与岛相互独立，五与州相互独立， “f = e x 。 o ，舳= e 列 o ，且x ，x ；的支撑均在( 一。，+ 。) 上 本文主要考虑了x 。，列在重尾族中情况，为本文的讨论需要，我们引入几类 重要的重尾族： l 类： l = f i l i m 。_ + o 。等等= 1 ，对任意固定的y ) s 类： s = j l i m 。+ 。错= n 任意的礼2 ) 定理3 一a ：在随机游动中，如果对任意固定的c ，f ( 。一c ) 一f ( z ) ，且f ，s 则 亓( z ) 一r j f ( z ) 3 2 预备知识 下面的引理来自文献 2 9 ： 引理3 2 1 ：设f 1 ，最为( o ，) 上的分布函数，若存在f s 与d i = 1 ，2 ，则 有 l i 巴攀：g h 叫：爨下2 “i + q 说明：对于支撑在( 一。，+ o 。) 上的分布函数通过标准化，可亦得引理3 21 成 立 特别得鲁_ o ，z _ 。，则有 瓦i 万( 。) 一万( z ) ，z _ 。 由文献 1 l 】有 引理3 2 2 ：如果分布函数f ，g 支撑( o ，) 在上，且善- c ，o c 。，则 f s g s 2 2 曲阜师范大学硕士学位论文 注l ：本文主要研究的对象为负均值的分布函数，自然f 的支撑不全o ，o 。) 在 上考虑到我们的兴趣仍然是在( 一。，+ o 。) 的情况下，因此我们可以把f 标准 化为支撑在 o ，。) 上，即耳( z ) = t 兰，从而只支撑在 o o 。) 上，这样 ，。1r f ，s ( z ) = l 酬肚f ，n1 一。l uj 从而易得亦满足引理3 21 ，引理3 ，2 2 在第一章中，我们已绎说明s a m u s u s 8 e n 得出了在重尾分布族得情况下，随机 游动最大值得渐进性质，在本章我们将结果，推广到双随机游动中 3 3 主要结果及其证明 足理3 3 1 ：在模型3 1 1 中， ( i ) 如果乃s 且器_ o ，则有 万( z ) 南耳( z ) ( i i ) 如果f ，s 且器斗a ，o 。) ，其中岛为阶梯高度 k 服从参数p ( = p ( r z ) 一；( a + 志) 巧( z ) 如同( i ) 的证明，由毋s ，有 = f ( 1 一驴矿( z ) 一( 1 一目) 帆丽高巧( z ) + ( 1 一目) 帆扩1 万( z ) d ( 。)a f ( z ) 一r 巧研i1 一目 = 南矶) + 帮矶) z 吩 埘 p = z开 zp 脚 p | | z一丌 曲阜师范大学硕士学位论文 f i i i ) 由条件易得 ， 1 一 亓( z ) = p ( 三，+ 刊 z ) “；g 扛) 如同( i ) 的证明，由g s ，有 即碍) = 高矾) 定理33 2 ：在模型3 12 中，如果乃s ，g j s ，且涨_ a z ) z 1 = 而而( z 1 由定理3 一a 知当“，6 时，确 砟) 一南可( 巩 砷) 一志瓦( n 由引理3 2 1 知 如果o a 巧 一 p o亓 第一章随机变量部分和及其最大值分布的渐近表达式 如果a = 0 ，则有 如果a = 。，则有 而( z ) 一南矶) 丽( 。) 一南面( z ) 又芦f = e 五 0 ，肛g = e 玛 0 ，所以 p ( s l 茁) 由于 p ( 岛 茁) p ( m a x s l 。) 亓( z ) p ( m a x s l z ) = i 百( z ) ( 3 3 2 ) f 333 1 亓( z ) p ( m a x 兜 z ) = 亓i ( 。)( 3 3 4 ) 由( 3 3 4 ) 结合( 33 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 知定理3 3 2 成立 参考文献 l 】n gkw ，1 h n gq ，醵m ghm a x i m ao fs u m so fh e a v y t 越l e dr a n d o mv a r i a b l e sa s t i n b u l l 2 0 0 2 3 2 ：4 3 5 5 【2 】n gkw ，a s y m p t o n cb e h a i o ro ft a i la n dl o c a ip r o b a b m t i e 8f o rs u m s0 fs u b e x p o n e n t i a l r a n d o mv a r i a b l e s ，ja p p lp r o b2 0 0 4 ，4 l ：1 0 8 1 1 6 3 】ms s g i b n e v o nt h ed i s t r i b u t i o no f 如em a x i m ao fp a r t i a ls u m s ，s t a t i 8 t i c sa n d p r o b a b i l i t yl e t t e r s ，1 9 9 6 ，2 8 ：2 3 5 2 3 8 1 4 1p a u le m b r e c h t s ，c h a r l e sm g o l d i eo nc o n v 0 1 u t i o nt a i l 8s t o c l l a 8 t i cp r o c e s s e sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n s ，1 9 8 2 ，1 3 ：2 6 3 2 7 8 【5 1 j u nc a i ，q i h e1 1 a “g o nm a ：( 一s u me q u i v a l e n c ea n dc o n v o l u t i o nc l o s u r eo f h e a v y t a i l e d d i s t r i b u t i o n sa dt h e i ra p p l i c a t i o n s ja p p lp r o b ，2 0 0 4 ，4 1 ：1 1 7 2 3 0 【6 m s s g i b n e v b a n a c ha l g e b r a so fm e a s u r e so fc l a s s 妒( 1 ) s i b e r i a nm a t hj ，1 9 8 8 ，2 9 ： 6 4 7 6 5 5 【7 pa l l le m b r e c h t s ，c h 缸l e 8m g o l d i e o i lc 1 0 8 u r ea n df a c t o r i z a t l o np r o p e n i e so fs u b e x p o n e n t i a la n dr e l a t e dd i s t u i b u t i o n s ，ja u s t r a lm a t hs o c ，( s e r i e sa ) 1 9 8 0 ，2 9 ：2 4 3 2 5 6 【8 】y i nc h u a n c u ma 】o c 甜l i m i t 抽e o r 哪f o rt h ep r o b a b i l i t yo fr u i n s c i e n c ei nc b i n as e r am a m e m a t i c s ，2 0 0 4