（固体力学专业论文）旋转薄壳在转点频段内的振动及其在扬声器中的应用.pdf

海人学博l 。学位论文 摘要 第l 章回顾了扬声器和旋转薄壳在转点频段的线性和非线性振动，发现旋转 薄壳转点问题中尚有若干问题有待进一步研究。第2 章至第6 章系统研究了含一 价转点的截顶旋转薄壳在转点频段内的线性振动，包括自由振动通解，各种边界 条件下的本征值问题，边缘力和边缘位移驱动的强迫振动及其特有效应，在扬声 器薄壳中的应用。第7 章则研究了扬声器薄壳的自参数非线性振动。主要研究工 作为： 1 。重新定义了第一类和第二类广义相关函数，给出了这些特殊函数的级数 表达式和渐近展开表达式，得到了转点频段旋转薄壳全域一致有效解。该解不仅 适用于转点频段，同时适用于低频段和高频段；不仅使3 个频段拥有统一的解表 达式，而且消除了3 个频段间2 个连接区的解空隙。解的连接公式呈现出薄膜解 和弯曲解的对称耦合结构。所得解与有限元数值计算结果一致。 2 研究了转点频段中6 4 种边界条件组合的截项旋转薄壳的本征值问题。 各种边界条件本征模态和频率方程的表达式可归结为4 种边界条件下本征频率 和模念的表达式，并且所得本征模态和频率方程呈现出薄膜解和弯曲解的耦合特 征。给出了具有简单表达式的弯曲边乔条件效应公式和固有频率间隔公式。 3 研究了转点频段旋转薄壳受边界力或边界位移驱动的强追振动，揭示了 3 种特殊效应内部静止效应、内部薄膜运动外部弯曲运动效应和无弯曲效应。 其中，i j 2 种效应为本文新发现的转点频段薄壳强迫振动的特有效应，并理论解 释了产生无弯曲效应的机制。 4 将上述结果应用到扬声器薄壳，得到了扬声器全频段的线性强迫振动解 析解，给出了扬声器谐振频率、反谐振频率、轴向导纳、固有频率间隔公式和首 个无弯曲效应频率的解析表达式。讨论了扬声器几何参数对扬声器频率响应的影 响。并得到结论：首个无弯曲效应频率是扬声器频率响应理论上限；不可能在宽 频范围消除弯曲波：尽管被弯曲运动所覆盖，薄膜运动同样存在于转点外侧的扬 声器薄壳，因而该区域辐射了大量声。实验测得的声频率响应和理论分析非常吻 合。 海入学溥i 。学位论文 5 ，综合运用有限元法和摄动法，推得了扬声器漳壳的谐波外激励和1 ：2 分 谐波内共振的2 个模态的平方非线性演化方程，该方程描述了自参数振动系统。 轴对称模态由驱动力直接激发，非轴对称模态由内共振耦合激发。解析分析了演 化方程的稳态解及其局部稳定性。理论和实验确定了驱动频率和驱动力平面上的 h o p f 分葫集和叉式分贫集，理论和实验结果定性吻合。发现了l ，2 分谐波、h o p f 分箭、极限环和混沌等复杂非线性现象。2 个模态的能量共享导致了幅度调制振 动并出现混淹，理论和实验均观测戮了由倍局期到混沌的过程。 关键词：一致解，转点频段，旋转薄壳，扬声器，线性和非线性振动 海人学博i j 学位论文 a b s t r a c t a no v e r v i e wo ft h er e s e a r c hc o n d u c t e di nt h ea r e ao fl i n e a ra n dn o n l i n e a r v i b r a t i o n si nt h et u r n i n g - p o i n tf r e q u e n c yr a n g eo fl o u d s p e a k e r sa n dr e v o l u t i o ns h e l l s i sg i v e ni nc h a p t e r1 i ts h o w st h a ts o m ep r o b l e m sc o n c e r n i n gv i b r a t i o n so fs h e l l si n t h et u r n i n g - p o i n tr a n g eh a v et of u r t h e ri n v e s t i g a t e 耵1 el i n e a rv i b r a t i o n so fm m c a u x l r e v o l u t i o n ss h e l l sw i t ht h ef i r s t - o r d e rt u r n i n gp o i n ta r ei n v e s t i g a t e ds y s t e m a t i c a l l yi n t h et u r n i n g p o i n tr a n g ef r o mc h a p t c r2t oc h a p t e r6 ，i n c l u d i n gt h eg e n e r a ls o l u t i o n sf o r t h ef r e ev i b r a t i o n , t h ee i g e n v a l u e su n d e rv a r i o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ef o r c e d v i b r a t i o n sd r i v e nb ya ne d g ef o r c eo ra l le d g 暑d i s p l a c e m e n ta n ds o m es p e c i a le f f e c t s ， a n dt h ea p p l i c a t i o n si nl o u d s p e a k e rv i b r a t i o n s 1 1 ”n o n l i n e a ra u t o p a r a m e t r i cv i b r a t i o n i ss t u d i e di nc h a p t e r7 m a i ns t u d i e sa r el i s t e da sf o l l o w s ： ： 1 w er e - d e f i n et h ef i r s ta n dt h es e c o n dc a t e g o r yo f g e n e r a l i z e dr e l a t e d f u n c t i o n s ，p r e s e n tt h ep o w e rs e r i e sr e p r e s e n t a t i o n sa n dt h ea s y m p t o t i cr e p r e s e n t a t i o n s f o rt h e s es p e c i a lf u n c t i o n s ，a n do b t a i nt h eu n i f o r m l yv a l i ds o l u t i o n sf o rf r e ev i b r a t i o n s o fr e v o l u t i o ns h e l l s t h e s es o l u t i o n sa r ev a l i dn o to n l yi nt h et u r n i n g - p o i n tr a n g eb u t a l s oi nb o t ht h el o wa n dh i g hf r e q u e n c yi n t e r v a l s t i l i sn o to n l ym a k e st h es o l u t i o n si n t h et h r e ef r e q u e n c yi n t e r v a l sp o s s e sau n i f o r me x p r e s s i o nb u ta l s oe l i m i n a t e st h e s o l u t i o ng a p si nt h et w ob o u n d a r yr e g i o n sb e t w e e nt h et h r e ef r e q u e n c yi n t e r v a l s 1 1 艟 c o n n e c t i o nf o r m u l ao ft h es o l u t i o n se x h i b i t sac o u p l i n gs y m m e t r i cs t r u c t u r eb e t w e e n t h em e m b r a n ea n db e n d i n gs o l u t i o n s n l eo b t a i n e ds o l u t i o n sa l ei ng o o da g r e e m e n t w i t hf e mr e s u l t s 2 1 1 n a t u r ef r e q u e n c i e sa n dm o d e si nt h et u r n i n g p o i n tr a n g ea r cs t u d i e df o r r e v o l u t i o ns h e l l su n d e r6 4e 国s e so fb o u n d a r yc o n d i t i o n sb ya p p l y i n gt h e s eg e n e r a l s o l u t i o n s ，s h o w i n gt h ec o u p l i n gb e t w e e nt h em e m b r a n ea n db e n d i n gs o l u t i o n sf o ra n y b o u n d a r yc o n d i t i o n 耵l ee x p r e s s i o n sf o rt h en a t u r ef r e q u e n c i e sa n dm o d e su n d e r v a r i o i l sb o u n d a r yc o n d i t i o n sc a nc o l l 豫d o w nt ot h o s eu n d e rf o u re a s e so fb o u n d a r y c o n d i t i o n s s i m p l ee x p r e s s i o n sf o rt h eb e n d i n g e d g e - c o n d i t i o ne 舵c ta n dn a t u r e f r e q u e n c ys p a c i n ga r ep r e s e n t e d 3 t h ef o r c e dv i b r a t i o ni nt h et u r n i n g p o i n tr a n g ei ss t u d i e df o rt h et r u n c a t e d r e v o l u t i o ns h e l ls u b j e c t e dt oa ne d g ed r i v e t k r e ei n t e r e s t i n ge f f e c t se m e r g ef r o mt h e v i i i 婀人学 f 。学位论文 a n a l y s i s ：t h ei n n e r - q u i e s c e n te f f e c t ，t h ei n n e r - m e m b r a n e m o t i o n - a n d - o u t e r - b e n d i n g - m o t i o ne f f e c ta n dt h en o n - b e n d i n ge f f e c t t h ef i r s tt w oe f f e c t sf o u n di nt h ep r e s e n t p a p e ra r en e wc h a r a c t e r i s t i c so ft h ef o r c e dv i b r a t i o ni nt h et u r n i n g - p o i n tr a n g e ，a n d t h em e c h a n i s mo ft h en o n - b e u d i n ge f f e c ti nt h et u r n i n g - p o i n tr a n g ei sa n a l y t i c a l l y r e v e a l e d ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h a to c c u r r i n gi no t h e rf r e q u e n c yi n t e r v a l s 4 1 1 1 ev i b r a t i o n sf o rl o u d s p e a k e rd i a p h r a g mi nt h ef r e q u e n c yi n t e r v a lo f l o u d s p e a k e ra r ed e s c r i b e da n a l y t i c a l l ya n dn u m e r i c a l l ya l o n gw i t hc h a r a c t e r i s t i c f r e q u e n c ye q u a t i o n sa n dt h ea x i a la d m i t t a n c e f o rp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，t h e r e n a n c es p a c i n gf o r m u l ai sd e r i v e da sw e l la st h e e x p r e s s i o n f o rt h ef i r s t n o n b e n d i n gf r e q u e n c y t h ed e p e n d e n c eo ft h eg e o m e t r i cp a r a m e t e r so fl o u d s p e a k e r s o nt h ef r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c si sa l s od i s c u s s e d t h r e ec o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e d ： f i r s t t h ef i r s tn o n b e n d i n gf r e q u e n c ym a yb ec o n s i d e r e dt h et h e o r e t i c a lu p p e rl i m i to f t h el o u d s p e a k e rf r e q u e n c yr e s p o n s e ；s e c o n d ，t h e r ei sn om e a n st oe l i m i n a t et h e b e n d i n gw a v e si ng e n e r a ld u et ot h ec o u p l i n gb e t w e e nt h em e m b r a n ea n db e n d i n g s o l u t i o n s ；t h i r d ，t h el o u d s p e a k e rd i a p h r a g mo f t h eo u t s i d eo f t h et u r n i n gp o i n tr a d i a t e s m u c hs o u n d 1 1 圮m e a s u r e ds o u n dp r e s s u r el e v e la g r e e sw e l lt h ec a l c u l a t e do n e 5 ， u s i n gt h ep e r t u r b a t i o nm e t h o da n df e m ，d e r i v e da n dd e t e r m i n e df r o ma i o u d s p e a k e rs h e l li st h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o no ft w om o d e sw i t h l ：2 s u b h a r m o n i ci n t e m a lr e s o n a n c ea n dh a r m o n i ce x t e r n a le x c i t a t i o n , d e s c r i b i n g 鑫n a o t o p a r a m e t r i cs y s t e m 办ea x i s y m m e t r i cm o d eo ft h el o u d s p e a k e rs h e l li sd r i v e n d i r e c t l yb u tt h en o n - s y m m e t r l cm o d ei se x c i t e dt l u g ht h en o n l i n e a rc o u p l i n g b e t w e e nt h et w om o d e s t h es t e a d y s t a t es o l u t i o n sa n dt h e i r1 0 c a ls t a b i l i t i e sa r e a n a l y z e da n a l y t i c a l l y 弧eh o p f b i f u r c a t i o ns e t sa n dt h ep i t c h f o r ks e t s o nt h ed r i v i n g f r e q u e n c ya n dd r i v i n gf o r c ep l a n e ，a r ed e t e r m i n e dt h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i m e n t a l l y , s h o w i n gt h e ya g r e ew i t he a c ho t h e rq u a l i t a t i v e l y t h ec o m p l e xn o n l i n e a rp h e n o m e n a a r ed i s c o v e r e di nt h ed y n a m i cs y s t e m , s u c ha s ，i 2s u b h a r r n o n i c s ，h o p fb i f u r c a t i o n ， l i m i tc i r c l ea n dc h a o s e n e r g ys h a r i n gb e t w e e nt h et w om o d e sl e a d s1 0 a n a m p l i t u d e - m o d u l a t e dr e s p o n s et h a tm a yb e c o m e c h a o t i c t h ep e r i o d d o u b l i n gr o u t et o t h ec h a o si so b s e r v e di nb o t ht h et h e o r e t i ca n a l y s e sa n dt h ee x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s k e y w o r d s ：u n i f o r ms o l u t i o n ，t u m i n g - p o i n tr a n g e ，r e v o l u t i o nt h i n s h e l l ，l o u d s p e a k e r , l i n e a ra n dn o n l i n e a rv i b r a t i o n 上海大学博士学位论文 主要符号一览表 以杨氏模量厶密度p 、角频率和薄壳特征半径f ( 对扬声器旋转薄壳， r + 取内边缘的第二主曲率半径) 或其组合作为无量纲因子，按以下无量纲化( 以上 角标叶表相应有量纲量) ： 0 5 m ，0 6 奇异薄膜解和正则薄膜解 b = 矿r 拉密系数 h = h + r 壳厚 j = j r +第一主坐标 j ；口，6截顶薄壳的内边缘和外边缘坐标 如0 ) = f 尹一砰0 ) 薄膜方程的二价导数的系数 转点坐标，满足b 2 ( s ) = 0 6 , 4 = 5 = j i l 2 1 2 ( 1 - - v 2 ) 壳厚参数 z ( s ) = ( e 醚h ) d x ) “5 l a n g e r 变量 f = z a伸长的l a l l g 盯s 变量 = ”f ，= 矿r 切向和法向位移 2 “墨一w 转角 m ，m 2 = 研，必( 砑r 占4 ) 弯矩 l ，2 = 研，三， 劬+ ( 1 - v 2 ) 薄膜应力合力 巴- - ( 1 一伊) 巧，( 2 厅勘) 扬声器轴向驱动力 曷= 耳r + ，恐= 眨 第一、第二主曲率半径 心，甩= 砭，焉r + 截顶薄壳的内外端半径 9 = q l ( 点a + 一) 横剪力 尹= p e a 2 r 。2 e频率参数 上海大学博士学位论文 玩，纯 办、丘 石h 另外若不作特别说明，则o = 芸， 转点频段的起始和结束频率参数 转点频段的起始和结束频率 第栉个无弯曲效应频率 泊松比，计算中取o 3 母线切向与轴向的夹角，对锥壳为半礞角 d ：旦。 d 彳 2 海人学磷- j j 学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名i 基茎k 日期：丝垒：! 1 2 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：；毖塾趋导师签名：兰幽日 1 i i 期：苣塑叁堡旦 上海大学博士学位论文 第一章绪论 1 1 课题来源 本课题来源于上海：科建设项目( y 0 1 0 3 ) 和浙江省自然科学基 金项目“扬声器振壳非线性振动研究( 1 0 0 0 3 9 ) 一。 1 2 课题研究的目的和意义 一般认为，扬声器是声重放链中最薄弱的环节，它应该产生正比于输入电 信号的声压：平直的频率响应，足够宽的频带，良好的方向性，低的非线性失真 和高的电声转换效率。扬声器生产被评价为易响却难精【舛l 。对扬声器振膜力学振 动行为的研究是计算和分析扬声器声学性能的基础。扬声器的有效工作频段包括 低频段和转点频段，低频段扬声器振膜可采用刚性近似。在转点频段，扬声器振 膜的振动行为非常复杂。国际上对此的研究和认识尚不成熟，国内尤甚。研究方 法普遍采用数值计算方法。我国已经成为公认的扬声器及其零部件的产量第一大 国和出口数量第一大国，2 0 0 3 年，我国扬声器产量超过3 0 亿只，占世界扬声器 总产量的8 5 ，从业人员超过1 0 0 万，生产厂家数以千计。但是我国生产的扬声 器价格和档次低，出口扬声器生产基本处于接受订单生产阶段，研发创新力量薄 弱，没有世界级的扬声器品牌，还远非扬声器生产强国【叫。 图1 1 电动式扬声器剖面图：o s ，外支撑；嚣，内支撑：d ，振膜；v c ，音 圈； 以永磁体 上海大学博士学位论文 扬声器振膜是典型的旋转薄壳结构( 见图1 1 ) ，其内边缘粘结于音圈和内支 撑，受轴向电磁力驱动，外边缘固定于外支撑。而且薄壳结构被广泛地应用于航 空航天、建筑、机械、核能等领域。长期以来，对薄壳在转点频段的振动的研究 不多。本研究的目的在于填补力学界和电声界的鸿沟，对我国在二十一世纪成为 扬声器强国有所贡献；并对薄壳振动理论有所完善和发展。 1 3 国内外研究概况 1 8 7 7 年，s i e m e n s 发明了扬声器。次年，瑞利( r a y l e i g h ) 发表了经典声学著 作声学原理，其中关于刚性平面活塞振动的分析和声辐射的理论成为扬声器 分析的基本理论基础。1 9 4 0 年代，b r o w n 1 1 l 和b o r d o n i l l 2 1 采用刚性锥壳力学模型 分别研究了扬声器锥壳的辐射声场。1 9 5 1 1 9 5 2 年，n i m u r a i ，5 1 l 等才完成了对 扬声器力学系统的理论描述采用薄壳模型。但他们求解控制微分方程的努力 没有成功。首次采用薄壳模型并系统研究扬声器振动和声辐射特性的工作是由 f r a n k o r t 2 2 1 于1 9 7 5 年采用直接积分的数值分析方法完成的。在他的经典性专著 中，f r a n k o r t 给出的基本上是数值计算结果，并引用了r o s s 脾舶】的解析解以帮助 读者理解其数值结果。其后，研究和设计扬声器全频段声辐射特性均采用有限元 数值计算方法。上野孝文( 1 9 7 8 ) 【8 8 】可能是首篇将有限元计算方法运用于扬声器分 析的文献，其工作是利用大型有限元通用程序完成的，国内北京七九七厂开展过 类似工作。1 9 8 2 年，s u z u k i 和n o m o t o 7 1 蝙制了专门的扬声器振动和声辐射有限 元程序，国内天津电声厂鲍小琪等i s 0 于1 9 8 7 年完成了相应工作。k a g a w a 等口2 1 0 9 8 0 ) 和s h e p h e r d 等嗍( 1 9 8 5 ) 在考虑了声负载( 空气对扬声器振膜的反作用) 后 编制了扬声器振动有限元程序，国内陶擎天等7 2 ，1 傩1 ( 1 9 9 6 ，1 9 9 9 ) 计及声负载后 编制了扬声器振膜材料杨氏模量测试软件和扬声器声和振动分析程序。目前在国 外，有限元分析f l e a ) 广泛用于扬声器设计。迄今为止，尚无系统的关于扬声器 振动的解析解。 扬声器振膜是典型的旋转薄壳结构，它的理论研究水平依赖于薄壳振动理论 的发展。扬声器的有效工作频段包括低频段和转点频段。上述两种刚性力学模型 仅在低频时适用，低频时因为横向惯性力较小，扬声器确实作整体振动。随着频 率升高，薄膜力不能与横向惯性力平衡，扬声器进入所谓的分区振动状态。由于 4 上海大学博士学位论文 振膜外部的横向惯性力较大，而薄膜力的等效刚度较小，上述现象首先出现于扬 声器振膜外部。这导致两种不同的振动行为同时出现在扬声器振膜：横波仅存在 于外部，内部以纵波为主，中间出现过渡区域 2 2 , 6 4 1 。这种现象在数学上对应于薄 壳的转点问题，出现这种现象的频段称为转点频段，扬声器工程界称为分区振动 频段。迄今为止，鲜有扬声器振动解析解的原因即在于数学处理薄壳转点问题的 复杂性。、 解析研究旋转薄壳的方法主要有2 种幂级数法和摄动法。前者主要用于研 究锥壳，通常采用浅壳理论，例如s c i d e 鹋1 ( 1 9 6 5 ) ，唐照千娜l ( 1 9 “) 和孙博华 渺j ( 1 9 8 7 ) 。其缺点是，由于给出的是形式解，物理意义不明确。优点是可以避免 处理转点问题。后者利用纵波的慢变特点( 波长长) 和横波的快变特点( 波长短) ， 采用多尺度法将薄壳方程分解为薄膜方程和弯曲方程，由此得到慢变的薄膜解和 快变的弯曲解，因而能给出有明确物理意义且相当简单的解。但在特定频段这种 分解导致出现转点问题：在该点，一个薄膜解和全部弯曲解奇异。因此在转点邻 域，薄壳方程事实上不能分离成弯曲方程和薄膜方程。而在转点邻域外的薄壳外 部和内部，解仍可分离成弯曲解和薄膜解。但弯曲解在外部为振荡型的三角函数， 在内部为指数函数( 实际问题中代表边界层效应) 。众多学者研究过旋转薄壳振 动的转点问题。求解方法有两种：匹配求解法和给出全域一致有效解。匹配求解 法的关键是正确连接外部和内部的解。r o 鼹1 6 4 删于上世纪六十年代系统研究了旋 转薄壳在各个频段的振动，于1 9 6 6 年【删首先给出了旋转薄壳在转点频段的匹配 型解：分别求出在上述三个区域内分别成立的解，然后求出外解趋向于转点的极 限表达式和转点域解趋向于外部和内部的渐近展开式，由此得到它们之间的连接 公式。r o s s 得到的连接公式表明：转点内侧的奇异薄膜解在穿过转点后另外连 接了两个弯曲解，但弯曲解无此耦合特性。r o s s 在考虑到奇异薄膜解的上述特 点后，最后推论道：“旋转薄壳的奇异薄膜解在转点频段似乎不可能拥有全域一 致有效型解”。g o l d c n v e i z e r 等1 9 7 9 年发表了薄壳振动的综述性专著郾j ，给出了 弯曲解的一致有效表达式，但没有得到奇异薄膜解的一致有效表达式。原因在于 用传统的l a p l a c e 方法得不酣完整的相关函数族以将奇异薄膜解展开到高次近 似。他们给出了对称的连接公式：转点内侧的奇异薄膜解在穿过转点后另外连接 了1 个弯曲解；内侧的1 个弯曲解在穿过转点后另外连接了解析无矩解。我国学 者张若京和张维 1 0 1 - 1 0 4 , 7 7 硼不同方法于上世纪八十至九十年代系统研究了旋转薄 上海大学博士学位论文 壳在各个频段的振动，重点研究了旋转薄壳在转点频段的一致有效解问题。他们 对标准的l a p l a c e 方法进行了改进，首次得到了全域致有效型解，这是我国学 者对薄壳线性振动理论的一大贡献。但所得解的渐近表达式表明：弯曲解和薄膜 解完全是互相独立的。这表明：已有解的连接公式互不相同，薄壳转点问题尚未 彻底解决。且转点频段薄壳振动的丰富而独特的现象尚未揭示。 薄壳非线性振动从上世纪六十年代起引起了众多学者的兴趣。研究方法包括 模态展开法、摄动法和数值法等。薄壳强迫非线性振动按激励方式通常分为2 类 【1 l ；横向激励和纵向激励。前者驱动力通常为非轴对称的，以研究远低于转点频 段的低频非轴对称模态的非线性振动；后者通常为轴对称驱动力，该种振动表现 为参数激励振动。o i s o n 【5 2 1 、e v e n s e n 1s ，1 9 1 、d o w e l l 和v e n t r e s t l 6 1 等做了开创性的 工作，采用模态展开法研究了横向非轴对称激励的圆柱壳非线性振动。c h e r t 和 b a b c o c k l l 卯、g i n s b e r g t 2 6 , 2 7 1 采甩摄动法。p , a j u 和r a o l 6 3 l 、g a n a p a t h i 和v a r a d a n 2 4 1 采用有限元法研究了相同的问题。焦点在于闭合圆柱壳的非线性是软化型( 共振 频率随振幅增加而减小) 还是强化型( 共振频率随振幅增加而增大) ，u c d a t 7 4 1 采用 有限元法研究了锥壳的同一问题。最近，a m a b i l i 等在其系列性论文中【，5 4 , 跚 重新研究了该问题。在参数激励振动中，采用d o n n e l l 浅壳理论和单模态模型( 轴 对称模态或菲轴对称模态) ，由a i r y 应力函数和横向位移构成的偏微分方程组导 出的控制微分方程为m t t h i e u - d u f f m g 型方程，驱动力贡献为模态横向位移的随 时间变化的系数。若采用d o n n e l l 浅壳理论和多模态模型，控制微分方程是鹅合 型的，而驱动力仍表现为模态横向位移的随时间变化的系数。但若采用其它更精 确的非线性薄壳理论( 基本变量为薄壳的3 个位移) 和多模态模型，得到的耦合 型控制微分方程中，驱动力则仅作为轴对称模态的驱动项出现i 扪。最近，p e l l i c a n o 等1 1 4 s 6 1 和p o p o v i s 7 瑚1 等在其系列论文中研究了圆柱壳的参数激励振动，均采用 d o n n e l l 浅壳理论和多模态模型。n a y f e h l 4 7 4 s l 采用平面应变假定直接用摄动法推 得圆柱壳横向位移控制方程。a m a b i l i 1 , 2 i 因而评论该模型仅适用于圆环。上述研 究均没有实验证实。v i j a y a r a g h a v a d t m 首次实验研究了圆柱壳的参数激励振动， 发现了幅度远大于基波的l 2 分谐波，但其解释采用了线性薄壳理论( m t t h i e u 方程) 。 扬声器薄壳振动属于参数激励振动。扬声器非线性振动在低频时主要由因大 振幅产生的恢复系统非线性和音圈中磁场不均匀引起，在中高频则由薄壳非线性 6 上海大学博士学位论文 引起。对前者的研究较为简单和成熟。虽然谐波失真在扬声器中普遍存在，但分 谐波失真对扬声器音质的影响更大。o l s o n l 5 2 早在1 9 4 4 年观测到了扬声器中的分 谐波，国内魏荣爵等钔1 和潘立超等1 8 7 1 分别于上世纪八十至九十年代观测到了 扬声器声信号中的复杂非线性现象包括混沌、高阶分谐波和跳变滞后。本文作者 于2 0 0 1 年观测到了扬声器振动信号中的l ，2 分谐波、混沌和。拍”等现剡瑚， 并发现这些现象与转点频段的谐振密切相关。直接观测振动信号的优点在于能确 定非线性在扬声器薄壳上的分布。但上述实验研究均没有深入的理论解释。 近来，薄壳非线性振动领域的开创者之一e v e n s e n l 2 1 1 分析了实验结果中的理 性思考，并指出现在需要实验性论文。最近, a m a b i l i 等【l 】、m o u s s a o u i 等 4 2 1 和q a t u l 6 1 】 分别发表了关于薄壳非线性振动的综述文献。这些文献表明：已有的文献以研究 圆柱壳的非线性振动居多，尤其是解析解；基本研究低频段；含实验研究的文献 比例偏低，大概占1 0 。 综上所述，迄今为止，尚无系统的关于扬声器振动的解析解；旋转薄壳的转 点问题还没有得到最后的解决，已有的结果互有出入，且应用这些结果求得的固 有频率与数值计算结果有较大偏差；薄壳非线性振动是当前的热点和难点问题。 1 4 论文的主要研究内容 本文将系统研究含一价转点的截顶旋转薄壳( 第二主曲率半径单调变化) 在 转点频段内的线性和非线性振动，主要研究内容包括： 1 在转点频段内，旋转薄壳自由振动的一般解( 全域一致有效型解) ； 2 转点频段内的旋转薄壳解在低频和高频的推广： 3 在转点频段内，旋转薄壳在各种边界条件下的本征频率和模态； 4 在转点频段内，旋转薄壳在各种边界力或边界位移驱动下的强迫振动和特有 现象； 5 在扬声器中的应用。包括求解扬声器全频段的线性强迫振动，谐振频率和反 谐振频率、轴向导纳和频率响应曲线、无弯曲效应和参数对扬声器声频响曲 线的影响： 6 旋转薄壳在转点频段内的非线性振动。 7 海人学博l ：学位论空 第二章转点频段旋转薄壳自由振动一致有效解 出于菲轴对称振动的波长在音频范围内远短于空气中声波波长( 对标准的 扬声器振膜材料而言，此两种波长相等的频率的数量级为1 0 5h z t z 2 ) ，且反相振 动的邻近扇形区的面积相等，所以周向弯曲波是声短路的。也就是说，这部分空 气仅在邻近的以反相振动的振膜扇形区间来回振动，而几乎没有声辐射。此外， 非轴对称振动不存在转点问题。因此，在线性振动范围内，我们将只考虑溥壳的 轴对称振动。在非线性振动中，非轴对称振动模式将予以考虑。在那里非轴对称 振动模式通过内共振被轴对称振动模态激发。 2 1 旋转薄壳自由振动基本方程 米用s a n d e r s 线任浮宄埋馏t * a l ，分禹盯lb j 父量，开琢付亏一见衣所不【弟l 页) 无量纲化后，位移型的旋转薄壳轴对称自由振动方程为 ( 工+ 5 ) u = - ( t v 2 ) q 2 ， ( 2 1 ) 式中 上= 乞：乞，3 = 。虬n h 。m j v i ，3 = ： 耻善+ 旦b 丢一袁一( 笥“2 万+ 一面一丽一【百j 厶，= ( 击+ 善 芸+ ( 击+ 击) 厶，= 一( 击+ 云 未一詈( 蓄+ 瓦1 ) 。 驴一( 寺+ 专+ 蠢 1 3 = 一1 一y 2 ，百1 虿d 3 + 上辫大学博_ 一学位论文 憋，邓， 一导一2 詈导+ f i l l 2 + 嵩 导 悃+ 素纠船一剁h 其它算子和n 1 3 的低阶项无贡献。式中0 = 导。各量的意义见图2 1 。上述方程 中，三算予来自薄膜分量，算子来自弯曲分量，其特征是与簿壳厚度有关。 图2 1 薄壳几何形状和坐标系 n | = u l 4 - v - 善睁钞 膨。= 一矿一y 詈，十( 蓄) + y 善意 c 2 ：， 珐= 一矿一p 争+ ( 袁+ 等) “( 前+ 詈( 莉一( 袁+ 爿专 g o l ，d c n v e i z e r 等在基本方程( 2 1 ) 中消去纵向位移”，得到以法向位移w 表示的旋转薄壳轴对称自由振动方程 融等心驰学乩( 删) ) 9 上海大学博士学位论文 方程中，左边前一部分代表弯曲效应，后一部分来自于薄膜量和横向惯性，代表 薄膜效应。系数中。b 2 ( s ) 对解的行为有极大影响，由下式给出： ， b 2 ( s ) = 一巧2 ( s )( 2 4 ) 为使下面的解析求解能够简化，假定 i ：薄壳的材料参数和几何参数是均匀的，非均匀情况将用数值方法处理。 n ：忽略扬声器振膜的辐射阻抗，即忽略空气对薄壳振动的影响。空气的影响在 低频主要表现为众所周知的“同振质量”，在所关注的转点频段，辐射阻起主要 作用，将在数值计算中取比实际大的薄壳材料损耗因子值以作补偿 2 2 ，2 3 1 。 ：基本方程( 2 1 ) 算子中系数的量级为d ( 1 ) ，特别对频率参量口要求 口= d ( 1 )( 2 5 ) 扬声器能满足此假设。 ；考虑到扬声器振膜的实际形状，仅考虑截顶旋转薄壳，且飓是坐标j 的单 调增函数。这意味着转点是一价的，即6 2 0 ) 的一价导数在其零点处不为零。 2 2 方程和解的讨论 当b 2 ( s ) 0 时，按照张若京删1 和r 瑚婶l 的结果，方程( 2 3 ) 事实上可用摄动 法分离为如下2 个方程( 首次近似) ： 驰) 等州s ) 箬州加= o ( 2 6 ) 和 一一w 一。 方程( 2 6 ) 称为壳体的薄膜方程，可直接由基本方程中令厚度参数为零得 到，实即略去弯矩。称其解为薄膜斛。称方程( 2 7 ) 为弯曲方程，称其解为弯曲 解，应指出的是该方程中含薄膜效应，不能由略去薄膜内力得到。 把上述2 个方程与杆的纵振动和横振动方程方程类比对理解解的部分行为 是有益的。前者产生纵波，由拉缩应力控制；后者产生横波，由力矩控制。其区 别之一在于：由于旋转薄壳的形状，纵向和横向位移是耦合的。对任何一种波， 纵向和横向位移同时存在。张若刹1 0 1 - 1 叫和r o s s 6 5 碉的结果表明，在低频段和高 频段( 定义见后) ，薄膜解模态的纵向和横向位移量级相同，而弯曲解模态的横 1 0 上海大学博士学位论文 向位移要比纵向位移大一个量级，即 薄膜解：u w = d ( 1 ) ；弯曲解：u l w = d ( 占) ( 2 8 ) 更重要的区别来自于b 2 ( s ) 。对杆或板6 2 0 ) 中因r 尸o o 而只剩下惯性项，从而6 2 ( 0 是恒正的常系数；对薄壳，幻不仅是变系数，且可正、可负、可为零。以下简 述坟( s ) 的此特性对薄膜方程和弯曲方程的影响。 对薄膜方程，6 2 0 ) 的零点成为方程的奇点。引人f r a n k o r t 2 2 , 2 3 1 的集总参数模 型对理解该奇点的物理意义是有益的。为描述锥壳的薄膜行为，f r a n k o r t 将一个 完整的锥膜看作由一系列耦合的环单元连接而成，每个环由质量和弹簧构成。经 向单位长度的质量和弹簧的横向劲度由下式给出： 坍= 2 x p h r ，毋= 2 x 匹：h c o s 2 a i r ，( 2 9 ) 这里口是锥壳半顶角，足是环半径( 实即回。将6 2 p ) 重写为 2 7 d f h r b 2 = 2 氟o h r t 0 2 一e h c o s 2 a r ) = n 肋2 - 毛 ( 2 1 0 ) 上式表明，b 2 ( s ) d o 的两项分别对应于该环单元的横向惯性和横向劲度( 由周向拉 缩应力引起) ，而薄膜方程的奇点性质实际上是该处的环的弹簧质量系统的横向 谐振。谐振时横向位移趋于无穷大