（概率论与数理统计专业论文）非参数回归模型中β的核估计.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 在非参数统计理论中，对给定的一组关于两变量z 和王，的非参数回归模型常常定义 为舅= r e ( x , ) + ，i - - 1 , - - , 以，其中 ( ，乃) ，f = 1 ，疗 已知，q ( 扣l ，疗) 为随机误差项， 并希望通过对所f 工1 的核估计得到更好的拟合模型。在本文中，我们将这一非参数回归 模型更进一步地定义为】，= f f 矿x + 占，其中f 为一不固定形式的实函数，仅为未知 参数。应用回归函数核估计和条件密度函数的核估计方法估计。回归函数核估计方法 中，又分别提出了在选定连续样本点和离散样本点时的两种非参数估计模型，并对这两 种模型做了详细的阐述。本文第3 章中，针对离散样本点情形下两非参数回归模型( 2 6 ) 和( 2 7 ) 我们做了算例模拟。将得到的一组参数估计值用m o n t e c a r l o a n a l y s i s 方法求 平均以取得最优估计值0 ，并且计算了标准差t 。通过在不同模型下算例模拟，将得 到的关于未知参数的估计值以及标准差加以比较，从而对估计方法的可行性及其优劣 进行了分析讨论。最后简单列举了窗宽选择对未知参数估计效果的影响。 关键词：核估计；概率密度估计；非参数回归；非参数估计 非参数回归模型中口的核估计 k e r n e le s t i m a t i o no f pi nn o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l s a b s t r a c t i nn o n p a r a m e t r i es t a t i s t i c a l t h e o r ) ，t h en o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e lt h a ti s z = 所( 一) + q ，f = l ，拧 w i t ht h e g i v e ns a m p l eo fo b s e r v a t i o n sa 坨墨，f = 1 ，n i n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e da n d 吐l er e s p o n s ey ，w h e r ee “= l ，功i st h e r a n d o m e r r o r s i n t h e v i e w o f t h i s ，o u r i n t e r e s t i s t o f i n d k e r n e l e s t i m a t o r s o fr a x ) i n o r d e r t oh a v eab e t t e rs i m u l a t i o nm o d e l i nt h i sp a p e r ，w ep r o v i d et h en o n p a r a m e t r i cm o d e l ss u c h t h a t y = f 卢7 x ) + 占，a n df i sa nt m f i x e db o r e lf u n c t i o nw i t ho m y i su n k n o w n w e a p p l yt h ek e r n e lm e t h o d so f r e g r e s s i o nf u n c t i o n sa n dc o n d i t i o n a ld e n s i t yf u n c t i o n st oo b t a i na s e r i e so f a st h ee s t i m a t o r so f8 i nt h em e t h o do fr e g r e s s i o nf u n c t i o n ，w es h o wt w o m o d e l sw i t hs e l e c t e d 善a r ed i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sa n dd i s c u s st h e s er c a s o n c d l y i n c h a p t e r3 ，w es i m u l a t et h et w on o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l so f ( 2 6 ) a n d ( 2 7 ) w i t h 工a r ec o n t i n u o u s t h e nn s i n g m o m ec a r l oa n a l y s i sm e t h o d , w ec 趾g e tt h eo p t i m a lc h o i c e o f t h eb n k n o w l lp a r a m e t r i cpt h a ti s $ a n dt h es t a n d a r de l t o rt e x a m p l e si l l u s t r a t et h e m o d e l sa n dw i l ls h o wt h e s ee s t i m a t i o n sa r ee f f e c t i v e f i n a l l y ，w es i m p l ys h o wt h ee f f e c to f t h ew i n d o w - w i d t hc h o o s i n g0 1 1e s t i m a t i o n so f u n k n o w np a r a m e t e r9 k e yw o r d s ：k e r n e le s t i m a t i o n ；p r o b a b i l i t yd e n s i t ye s t i m a t e ；n o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o n ； n o n p a r a m e t r i ce s t i m a t i o n i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 y - 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：猛熟整日期：坦z ：2 q 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者虢猃塑鉴 导师签名：! 冱整壶 且年_ l j q 益日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 非参数方法基本上以数据的秩为出发点，在许多方面都是利用与秩有关的分布性质 进行统计推断的。而在计算机飞速发展之后，对于非参数回归和密度估计问题这些需要 大量计算的统计方法也得到了长足进展【增】。以下作简单的介绍。 假定有了一组关于两变量z 和】，的数据 ( 毛，m ) ，i = l ，h ，如果认为这两个变量有 一个近似的函数关系yz 埘( 曲，或者更具体的，对f = 1 ， = 埘( 葺) + q ， 这里可看成是随机干扰。如何去估计函数掰( x ) 则是我们的目的。对于此闯题， 大体上有两种方法。种是参数方法。也就是假定该函数的形式是已知的，并且可写成 带参数的形式州( x ，们，这里口为仅有的未知量( 可以是向量) 。因此，只要估计出目的 值，问题就解决了。经典的线性或非线性回归就属于这种方法。参数方法有很多优点， 特别是其表达式简单直观，分析容易，用起来方便。但是，世晃是复杂的，并不是所有 的关系都能用一个有限的数学表达式表示出来。在许多情况下，即使引入大量的参数， 仍不能改善拟合的结果。这时，人们可用非参数的方法。在非参数方法中，并不假定也 不固定函数研f z l 的形式，也不设置参数，函数在每点工的值都由数据决定圆。在原始 数据点出来之后，由于随机干扰的存在，数据有很大的摆动，极不光滑。这里要做的就 是，去除干扰，也就是说要使图形光滑。这就向我们提出了估计与光滑的问题【3 】。那么 非参数统计理论中这一非参数方法细分有很多种，但是基本思想和主要方法大体一样。 这里，我们主要介绍概率密度估计里的核估计和非参数回归里的核回归思想。 1 1 概率密度估计中的核估计方法 概率密度函数，常简称为密度函数以至密度，是概率论的最重要概念之一。虽然在 统计学上我们常提“总体分布”这个名词，其实，使用密度的概念去规定和刻画一个统 计模型不仅常见，而且比使用分布概念更适合和方便。只要想想下面这个情况：在各种 实际问题中，变量取值的分布呈现。两头小、中间大，左右对称”这种“正态类似性” 者，为数颇多。这些特点在密度函数图像上一日了然，而在分布函数的图像上则不然。 密度估计问题，就是要通过从总体中抽得的样本去估计其概率密度函数厂( x ) i l l 。这里， 估计的对象是一未知函数厂。但在实际操作中，总可把问题说成：固定一已知的善值， 非参数回归模型中，的核估计 要估计f 在x 点之值，( 功。后者是一实数。于是，我们司以在习知的惹义f ，谈论密度 的估计。下面，我们就简单介绍一下核密度估计的相关概念。 定义1 1 ( 一维核估计定义) 设五，置，以为已知给定样本空间中独立同分布的一 维随机变量，且置a = 1 ，功密度函数厂( 工) 未知【2 1 ，我们可以得到一组形式如下的函数： 删2 面1 萎nk 咩) ， ( 1 1 ) 其中足( ) 为胄中一个适当的有界对称密度函数，称置( - ) 为核函数a 称为窗宽， 它是与样本容量，z 有关的一列正实数，并且当疗啼。时。吃一o 。我们称这样的一组五 为未知函数厂( x ) 的核估计。 令足( ) 为一个定义在尺上的概率密度函数，那么k 满足以下条件回： 条件1 s u p ，量( 工) 肘m ；h 茁 ) o ，当旧斗 条件2 置( 力= 芷( n x r ：x 2 k ( x ) 出 o 。 条件3 壹( x ) 是绝对可导的，当壶( 功为k ( ) 的特征函数时 下面我们列举一些满足条件1 条件3 的常用条件密度函数置( ) 陆6 7 1 ： 删= 臀嚣n - 0 ) 是一个同i 1 有关的常数，l i l y 驰，= f 南k ( 错j 峨c y ， = 壶善xc 亭， 。国 称z 为总体未知密度函数厂的一个核估计，置为核函数，危为窗宽，并且恕满足：当 拧寸时，h = 矗( 竹) 一0 。 假设k 0 一是r ，上的一个肋旭，可测实函数，那么k o ，) 具有以下性质： 性质1 s u p 乒舻i x o o 和段。j ) 的坐标，履轴对应的是f 啦) 和最。2 ) 的坐 标，i = l ，l o o 。 t ” ( i ) 从图3 1 中我们可以看到，罗，o = l ，t o o ) 分散在孱周围，并且反是在以原点 非参数回归模型中，的核估计 图3 2 为当声= p o = ( 0 9 5 0 1o 3 1 1 9 ) 时所得到的对模型】r = f 7 x ) + 拟合后的 曲面图。其中，工l 轴对应置= ( z 。，五：) ( f = l ，5 0 ) 中向量墨。的坐标值点，x 2 轴对应 的是置= ( 置，z ：) ( i = l ，5 0 ) 中向量置：的坐标值点。r 轴对应( i - - 1 ，5 0 ) 的坐标。 这里，我们提倡网格细化。下面图3 3 为当取= 忍。( 1 ) = ( o 9 5 0 3 0 3 11 4 ) 时，带入非参 数回归模型y = f 芦7 戈l + 若中得到的拟合曲面图。坐标轴工l 与x 2 中取到的数值点跟图 3 2 中的数值点完全相同。但由于参数值不同，得到的zo = 1 ，5 0 ) 数值不同。因此， 拟合后的曲面并不完全一致，但是从整体形态上观测发现两个拟合曲面仍然是近似的。 图3 3 如下页所示： 大连理工大学硕士学位论文 图3 3 模型r = f ( ( z 0 1 ) 7 z ) + 占的拟合曲面图 f i g 3 3 f i t s u r f a c e f o r t h e m o d e l o fr = f ( ( 芦0 ”) 7 x ) + 占 为了迸一步从数据和图形上讨论这估计方法的可行性及优劣，我们对回归估计方 法中( 2 7 ) 式也做了算例模拟，也就是下一节中展开的内容。 3 2 回归估计方法中( 2 7 ) 式算例模拟 在本节中，我们对( 2 7 ) 式做算例模拟。4 ，与置。如( 3 1 ) 式和( 3 2 ) 式定义，类似于 ( 2 6 ) 式变化过程，我们也可对( 2 7 ) 式进行如此变换，得到( 3 6 ) 式如下【2 0 1 ： 聃甜2 小驴锻) ) 2 溉 蕤耳竹弧后砸拼钧豢匿蹦痒譬眵 攀 荔 篷一 非参数回归模型中，的核估计 f 塾洋蝎磬z 专玛+ 磐芒：互h 。磐洋， i私洋城譬， f ，窆- 4 j 巧窆彤+ 窆写窆4 。，1 2l 巧彤+ 写4 。， - 1 茄一i l 。6 ) i4 ，易i l ( 3 6 ) 式的程序实现过程与( 3 4 ) 式类似，对此我们将不再过多冗余罗列，只做简单 介绍。首先仍然选定参数真值反= ( 0 9 5 0 10 3 1 1 9 ) ，且窗宽j i = o 5 ，依此方法我们得 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )2 ) 到关于的1 0 0 个不同的估计值卢i ，2 ，色，1 蚰应用m o n t e c a r l o a n a l y s i s f 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 ) 方法，对。，2 ，几，瑚取平均，求得反。2 = ( o 9 5 0 30 3 1 1 4 ) 这一数 值仍然与反比较接近，并且与( 2 6 ) 式在窗宽h = o 5 情况下求得的最优参数估计值 屈，”= ( o 9 5 0 3 0 3 11 4 ) 完全吻合。下面，我们将对两种估计方法求得的色与反， 进行评判比较。主要是通过求标准差f 及做，与鼠的分布图来得出结论。请看 ( 2 ) ( 2 ( 2 )( 2 ) 反，p ：，屈。与屁的标准差f 如下： ，= 唇而= 0 0 589 ， ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 比较发现标准差f ( 1 ) 与一2 十分接近，并且( p 0 0 6 。再次将。，声2 ， 一 ( 2 ) ，屈。与属的分布情况以图形的方式展示如下： 啦，。，j 珥 珥 ，“1，气 划。 艺一 大连理工大学硕士学位论文 ( 2 ) 2 ) 但) 2 ) 图3 4 成与1 ，芦2 ，3 ，瑚 分布图 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) f i g 3 4d i s i r i b u t i o n o f 属a n d f l l ，芦2 ，l o o 比较图3 1 与图3 4 ，我们发现两图残同屈和兔同反q = 1 ，l o o ) 0 - 布情况是 相类似的，但仍然存在着一定的偏差。我们从标准差的数值就可以看出： t o ) = 0 0 5 5 4 ：f ( 2 ) _ 0 0 5 8 9 ( t ) u ) 0 )1 ) 说明矗，声：，反，夕。与属分布的更加紧密，也说明在模型( 2 6 ) 中当窗宽选择 为h = 0 5 时，得到的参数估计值更好。 3 。3 算例结果分析 要分析两种估计方法得到参数的估计值如的效果，我们除了要考虑模型本身建 立的情况，也要考虑到窗宽选择对于模型的影响。为了进一步说明这两方面的影响效果， 我们给出两个窗宽h = o 0 5 和h = 一* 0 4 5 7 3 ，来比较这两种方法在不同窗宽下得到的 估计值芦0 以及标准差。掘下表所示： 非参数回归模型中芦的核估计 表3 1 变化窗宽下估计值p 0 和标准差f 值的比较 t a b 3 1c o m p a r i s o no f t h ev a l u eo fp a n dtb yc h a n g i n gw i n d o w - w i d t h 模型选择窗宽参数估计值 标准差t h = 0 5( o 9 5 0 3 o 3 11 4 ) ， 0 0 5 5 4 回归估计模型( 2 6 ) 矗：n - y , 。0 4 5 7 3 ( 0 9 4 9 8 0 31 2 9 ) o 0 5 9 3 h = 0 5( o 9 5 0 3o 3 11 4 ) ，0 0 5 8 9 回归估计模型( 2 7 ) 而：栉一鬈0 4 5 7 3 ( 0 9 5 0 20 3 1 1 5 ) 0 0 5 4 0 这里，h 为模拟实例中样本空间的大小，我们取定玎= 5 0 ，反= ( o 9 5 0 10 3 1 1 9 ) 7 。 对于表3 i ，我们做以下分析： ( 1 ) 在回归估计模型( 2 6 ) 中，与取定的参数真值反比较，当窗宽h = 0 5 时得到的 与属相差a = 一属= ( o 0 0 0 2 - 0 0 0 0 5 ) 较小，且标准差f = 0 0 5 5 4 1 乜较在窗宽为 h = 押一乃m 0 4 5 7 3 时小。这说明对非参数回归估计模型( 2 6 ) 的算例模拟，在选择窗宽 h = 0 5 得到的估计值尾。更好。 ( 2 ) 同样，在回归估计模型( 2 7 ) 中，与参数真值绒= ( o 9 5 0 1 o 。3 1 l9 ) ，比较，当窗 宽h = 一“0 4 5 7 3 时得到的如与风傲差有a = ( o 0 0 0 1 - 0 0 0 0 4 ) ，比窗宽而= 0 5 时得 到的估计值更靠近参数真值。此外，标准差0 0 5 8 9 1 3 0 5 4 0 ，也说明在窗宽为h a 0 4 5 7 3 时 回归模型( 2 7 ) 的算例模拟效果更好。 ( 3 ) 当窗宽h = 0 5 时我们纵观两非参数回归模型，此时得到的参数估计值均为 凡= ( o 9 5 0 30 3 1 1 4 ) 。再比较两标准差：o 0 5 5 4 o 0 5 8 9 。说明，在窗宽选为0 5 情况 下，非参数回归模型( 2 6 ) 所建立的对参数的估计方法更好。 h 1 窗宽h = 胛一尥mo 4 5 7 3 情况下仍然纵观两非参数回归模型，我们发现两模型中估 计效果相差较明显：模型( 2 6 ) 中，参数真值与估计值相差a ，= ( - - 0 0 0 3o 0 0 1 0 ) ，标准 差为o 0 5 9 3 ；模型( 2 7 ) ，真值与估计值差为a ，= ( o 0 0 0 1 一o 0 0 0 4 ) ，标准差o 0 5 4 0 。 大连理工大学硕士学位论文 通过算例结果我们综合来看，在窗宽取定为h = 以一乃* 0 4 5 7 3 时，非参数回归模型( 2 7 ) 的 估计方法优于非参数回归模型( 2 6 ) 。 ( 5 ) 此外，我们还需要对程序实现所用运行时间迸行比较。两回归模型中，均取定 窗宽h 为o 5 ，且程序编写中两模型算法基本一致的情况下，非参数回归模型f 2 6 ) 总的 运算时间为9 小时，而模型( 2 7 ) 的运算时间为1 4 小时，这说明模型( 2 6 ) 这一参数估计 方法更好。在取定窗宽h z o 4 5 7 3 时仍进行上述比较，结论一致。 综合以上五点分析，我们可以看出窗宽的选择对于参数的估计效果影响是十分显著 的。在较早的关于核估计的文章中，更多是对窗宽选择的研究，而在本文中这一选择问 题并不作为重点内容加以讨论分析。 大连理工大学硕士学位论文 结论 对于非参数回归模型y = f ( 多工) + 占中未知量夕的估计，在本文中提出了两神估计 方法。我们主要基于核估计理论，应用回归函数核估计和条件密度函数的核估计方法做 深一步探讨研究。从而，我们得到了四个关于未知量的函数表达式： 互c 声，；k 。( 未，p ，一未：泸c 7 砷 2 c 扣 易( 历；兰f 赢( 置) 一刍：舻r 置门2 i = l 易c ，= 喜 2 r 一( 刍一c 墨，+ 刍：伊c 卢7 叠， 2 会t t 励= 套( 二：咿( y 7 置，一五( y 陇) 2 方 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 i o ) 分别通过令以上四个函数式取最小值来估计。在算例模拟中，我们主要讨论回 归估计函数自变量彳取离散点列时得到的易( ) 和易泸) ，并对最) = w i n 易) 及 e ( ) = m i n e ( ) 时得到的p 即为的估计。在这里主要是应用m a t l a b 软件运用多 种算法进行大规模逐一线性搜索获得估计结果。并通过图倒说明以上估计方法所得结 果是较好的，说明此估计方法可行。然而，以往人们更多的是讨论窗宽选择对核估计 结果的影响，在算例模拟的最后也简单地作了分析。为了便于估计，我们对非固定 函数，定义了具体的表达式，并对石与g 的分布做了约定。今后，对于实函数，和窗 宽h 的选取，我们还可以做更深入和全面地探讨。 大连理工大学硕士学位论文 参考文献 1 陈希孺，柴根象非参数统计教程上海：华东师范大学出版社，1 9 9 3 2 b ls p r a k a s ar a o 。n o n p a r a m e t r i cf u n c t i o n a le s t i m a t i o n 。u s a ：a c a d e m i cp r e s s ，i n e 1 9 8 3 ， 3 】吴喜之，王兆军非参数统计方法高等教育出版杜，1 9 9 6 4 吴喜之非参数统计【第二版 中国统计出版社，2 0 0 6 5 薛留根，胡玉萍回归函数核估计的随机加权法，系统科学与数学， 2 0 0 1 ，2 1 ( 1 ) ：9 2 2 6 3 翘海燕，赵联文。非参数估计中核估计的构造及相合性西南交通大学学报，1 9 9 9 ，3 4 ( 3 ) ： 3 6 0 - 3 6 4 7 李艳娟核估计量与窗宽选择辽宁工程技术大学学报，2 0 0 6 ，2 5 ( 3 ) ：4 7 8 - 4 8 0 8 b e n o i tc a d r e k e r n e le s t i m a t i o no fd e n s i t yl e v e ls e t s j o u r n a lo fi b j l t i v a r i a t e a n a l y s i s ，2 0 0 6 ，9 7 ：9 9 9 1 0 2 3 ； ( 9 l i 呻i n gz h ua n dl i - x i n gz h u o nk e r n e lm e t h o df o rs l i c e da v e r a g ev a r i a n c ee s t i m a t i o n j o u r n a lm u l t i v a r i a t e l l a l y s i s 2 0 0 7 9 8 ：9 7 - 9 9 1 i o 张良勇，宋向东，董晓芳等非参回归函数递归核估计的相合性沧州师范专科学校学报， 2 0 0 6 。2 2 ( 4 ) ：4 2 - 4 5 1 1 茆诗松，王静龙濮晓龙等高等数理统计高等教育出版社，施普林格出版社，1 9 9 8 1 2 吴耀华( 中国科学技术大学数学系，合肥) 非参数回归核估计的条件平均绝对误差的指数收敛 速度系统科学与数学，1 9 8 6 ，6 ( 3 ) ：1 8 6 1 9 4 1 3 王文圣，丁晶基于核估计的多变量非参数随机模型初步探究水利学报，2 0 0 3 ，2 ：弘1 4 1 4 x i a n c h u nl i ，r o n g h u ix u e m p i r i c a la n dk e r n e le s t i m a t i o no fc o v a r i a t ed i s t r i b u t i o n c o n d i t i o n a lo ns u r v i v a lt i m e c o m p u t i o n a ls t a t i s t i e s d a t aa n a l y s i s ，2 0 0 6 ，5 0 ：3 6 2 9 3 6 4 3 1 5 但尧，丁鹭飞变换核估计和迭代算法应用概率统计，1 9 9 4 ，1 0 ( 2 ) ：1 1 3 1 1 8 1 6 陈希孺近五年来中国数理统计工作者的部分理论成果( ) 数学研究与评论，1 9 8 4 ，4 ( 2 ) ： 1 3 1 - 1 4 4 n 7 j i a n g s h uz h a n g ，x i n g f a n gh u m g , c b e n b uz h o u a ni m p r o v e dk e r n e lr e g r e s s i o nm e t h o db a s e d o nt a y l o re x p a n s i o n a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n 。d o i ：1 0 1 0 1 6 j 8 m c 2 0 0 7 0 3 0 8 5 1 8 王家文，王皓，刘海m a t l a b7 ，0 编程教材机械工业出版社，2 0 0 5 1 9 飞思科技产品研发中心w a t l a b6 5 辅助优化计算与设计电子工业出版社，2 0 0 3 【2 0 阳明盛，熊西文，林建华m a t l a b 基础及数学软件大连理工大学出版社，2 0 0 3 一2 5 大连理工大学硕士学位论文 1 主函数( m a i n ) 附录a 回归估计模型( 2 6 ) 计算程序 c l c ： c l e a ra 1 1 ： b e t a o = o 0 0 1 0 ：0 9 9 9 9 ： n = 5 0 ： e = o ： w h i l ee = 9 9 e = e + l ： o p t i o n s = o p t i m s e t ( f m i n c o n ) ： o p t i o n s = o p t i m s e t ( o p t i o n s ，d i s p l a y ，i t e r ) ： b e t a 。f v a l = f m i n c o n ( 囝n y f u n ，b e t a o ，口， ， ， ， ， ， m y c o n ，o p t i o n s ) e n d 2 优化约束函数( m y c o n ) f u n c t i o n c ，c e q = m y c o n ( b e t a ) c e q = b e t a ( 1 ) 2 + b e t a ( 2 ) 2 - 1 ： c = ： 3 目标函数( m y f u n ) f u n c t i o nf = m y f u n ( b e t a )定义关于待估值b e t a 的函数m y f u n n = 5 0 ： h = o 5 ： x = r a n d ( n ，2 ) ：随机抽取得到自变量x f o ri = 1 ：5 0 b e t a l = o 9 5 0 1 ：0 。3 1 1 9 ： e p = n o r m r n d ( 0 ，0 1 ，1 ，1 ) ；e p 为服从n ( 0 ，0 0 1 ) 的随机参数 t e m p l = x ( i ，1 ) * b e t a l ( 1 ) ： 一2 7 j ! 叁墼旦塑堕型主生堕堡堡生 e n d t e m p 2 = x ( i ，2 ) * b e t a l ( 2 ) ： t e m p l = s i n ( t e m p l + t e m p 2 ) + e p ： y ( i ) = t e m p l ：求因变量y f = o o d o ： f o ri = l ：n f l = o o d o ： f 2 = o o d o ： f o r1 = l ：n b = b f u n ( x ( i ，：) ，x ( 1 ，：) ，h ，b e t a ) ：调用函数f u n c t i o nb f o rj = l ：n a = a f u n ( x ( i ，：) ，x ( j ，：) ，h ) ：调用函数f u n c t i o na c = c f u n ( y ( 1 ) ，y ( j ) ) ： 调