高考备考精品：数学解题能力快速提升

第 1 页 共 34 页 高考 备考精品： 数学解题能力快速提升 一 不等式解题方法 一、从 与 的大小说起 【引例】 正实数中，对任意 a， b， m，都有 这就是 “分数的基本性质 ”：分数的分子和分母乘以同一个正数，其值不变 . 这，连小学生都知道 . 但， 我们的话题却要从这儿开始 . 【问题】 对以上 “性质 ”，如果将冒号后的文字改变一个字，将 “乘 ”改成 “加 ”，即变成 这里的等号还能成立吗？请看下例 . 【例 1】 若 ba0， m0，则有 A. B. C. D. 【解答】 （淘汰法）令 a=1， b=2， m=3 淘汰 B， C， D，答案为 A. 【例 2】 （变例 1 为解答题）若 ba0， m0，试比较 和 的大小 . 【解 1】 （比较法 作差 变形 判定符号） 因为 【解 2】 （综合法 由因推果 由整式推出分式） ab mamb ab+amab+bm a(b+m)b(a+m) 【说明】 因果关系，步步清楚，只是在第三步时，对 ab 的无中生有，不易想到 . 【解 3】 （分析法 由果索因 由分式化为整式） 第 2 页 共 34 页 欲使 只须 a(b+m)b(a+m) 只须 ambm 只须 a） 【说明】 a 放大为 b，则 缩小为 ，结果是分值缩小 . 将 缩成 ，目标是 “约 ”去 m. 【解 5】 （放缩法 从左到右） （ a0， m0，求证 【法 1】 （等式法 不等式变为方程） 设 得 即 x0，故有 . 【说明】 这种等式法实为比较法的一种变式 . 即作差法的另种形式 . 【法 2】 （等式法 未知数论设作因子）设 则 所以 【说明】 这种等式法为比较法的另一种形式 . 即作商法的另种形式 . 【法 3】 （函数法 视 m 为 x， ） 设有函数 函数 在 0， m上是减函数，故 是 0， m上的增函数 .（图右，其中 a=1， b=2） f（ 0） 0）是 第 4 页 共 34 页 （ 0， +）上的减函数 . 【法 4】 （不等式法 把证不等式化为解不等式） 解不等式 即 x=m 为正数时，原不等式真 . 【说明】 证不等式可视为一种特殊形式的解不等式 .如证 a2-a+10，即 x2-x+10 的解为 R，视参数为变量 . 解出的参数值域符合题设的取值范围即可 . 【法 5】 （极限法 把参数 m 作极端处理） &nbs,p； 当 m0 时， 当 m 时， 故有 【说明】 对于解答题来讲，这种解法的理由不充分，因为对于函数 f (m)= 的单调性并没讲清楚，没有交待 f(m)是 上的增函数 . 如果是确定性的选择题例 1，即 与 的大小关系是确定的，不需要讨论 m 的范围时，则这种极限法是很简便的 . 【小结】 真分数 的 放大性 ：真分数的分子和分母加上同一个正数，其值变大 . 以这种 放大性 为基础，可推出许多重要的分式不等式，如 （ 1） |a+b|a|+|b| （ 2）数列 an= 是增数列；而数 bn= 是减数列 . 【练习】 1.正数中，再证 .分别用函数法、方法程和解不等式法 . 2.用不同的方法证明 . 第 5 页 共 34 页 3.用不同的方法证明 . 三、千方百法 会战高考不等式 【考题 1】 （ 2006 年赣卷第 5 题） 对于 R 上可导的任意函数 f（ x），若满足（ x 1） f（ x） 0 ，则必有（ ） A f（ 0） f（ 2） 2f（ 1） 【分析】 从已知条件（ x-1） f (x)0 出发，可得如下 的不等式组 或 . 因此 f(x)有两种可能：其一， f (x)为常数；其二， f(x)在区间 上为减函数，在 上为增函数 . 【解答】 （综合法）依题意，当 x1 时， f（ x） 0 ，函数 f（ x）在 1， 上是增函数；当 x0，函数 f(x)=ax-bx2. （ ）当 b0 时，若对任意 x R 都有 f(x)1，证明 a ； （ ）当 b1 时，证明：对任意 x 0,1， |f(x)|1 的充要条件是 b-1a ； （ ）当 00， b0， a . 【解 】 先证必要性： 对任意 x 0,1， |f (x)|1 -1f(x)，据此可以推出 -1f (1)，即 a-b-1， ab-1； 第 6 页 共 34 页 对任意 x 0,1， |f (x)|1 f (x)1，因为 b1，可以推出 1， 即 a -11， a ； b-1a . 再证充分性：因为 b1， ab-1，对任意 x 0,1，可以推出 ax-bx2b(x-x2)-x-x-1. 即 ax-bx21； 因为 b1， a ，对任意 x 0,1，可以推出 ax-bx2 1，即 ax-bx21. -1f(x)1. 综上，当 b1 时，对任意 x 0,1， |f(x)|1 的充要条件是 b-1a . 【解 】因为 a0， 00， 0N 时，对任意 b0，都有 【分析】 本题的第（ ）、（ ）、（ ）小题之间成梯式结构，（ ）是（ ）和（ ）的基础 .从策略上看，如在（ ）上遇着困难，可承认（ ）的结论，并利用它迅速地解出（ ）第 7 页 共 34 页 和（ ）来 .此题恰恰是第（ ）难，而（ ）、（ ）容易 . 对于（ ），已知为两个不等式，而求证一个不等式 .其基本思路是，对已知不等式用综合法 下推 ，对求证不等式用分析法 上追 . 如： 欲使 只须 = 此时， 综合下推 的方向就清楚了 . 【解 】 当 n2时， ， ，即 ， 于是有 ， ， ， ， 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当 n3时有 ， 【解 】 又 an0. 故有 =0. 【解 】 （放大为了化简） 令 ， 则有 ， 故取 N=1024，可使当 nN 时，都有 【说明】 本小题是条件不等式的证明，已知 2 个不等式，求证 1 个不等式 .在分析 综合第 8 页 共 34 页 放缩三法联合证明综合大题时，优先考虑分析法 .随时思考待证的不等式需要什么，需要的东西如何从已知的不等式中得到 . 【练习】 对考题 3，已知条件不变，对设问作 如下改写 （ ）设 ，利用数学归纳法证不等式 （ ）利用上述结果，证明不等式 二 函数最值的求解方法 一、二次函数最值寻根 初中生研究二次函数的最值，是从配方法开始的 . 设 a0， f(x)=ax2+bx+c= 初三学生已知，二次函数 f(x)，在 a0 时，有最小值 ； a0，探索二次函数 y = ax2+bx+c 的单调区间 .并指出函数的最值点 . 【解答】 任取 x10 ) 有减区间 和增区间. 显然，二次函数的最值点为 ，函数有最小值 . 【评说】 从这里看到，二次函数的最点，就是两个 异性 单调区间的交接点 . 【练 1】 试研究一次函数 没有最点，从而没有最值 . 【解】 任取 ，则有 （ 1） 时， ，函数在 R 上为增函数 . 时， ； 时， . 第 10 页 共 34 页 （ 2） 时， ，函数在 R 上为减函数 . 时， ； 时， . 所以，一次函数在 R 上没有最点，从而一次函数 无最值（既无最大值，也无最小值） . 【说明】 一次函数定义 在 R 上，定义域内找不到这样的 点 ，使得该点两边邻域是异性的两个单调区间 .本例从反面看到：最点是单调区间的 变性 的 转折点 . 二、从 到 高中生将 最点 变形为 ，并由此得到一个一次函数 . 精明的学生发现，这个一次函数 与对应的二次函数 有某种 关系 ，甚至有学生在偷偷 地利用这种 关系 . 这种 关系 到了高三才彻底解决：函数 正是函数 的导函数，即 . 函数求 最根 的问题，正好是 的导函数 的 求根 问题 . 导函数 的根，就是 的驻点 .很清楚，二次函数的驻点就是二次函数的最点 . 问题变得这么明朗：求 的最点，就是求 的根 .俗说中 最根 ，真的与 根 字 巧合了 . 【例 2】 设 ，在同一坐标系中，分别作得 和 的图象（如右） . 试说明 的正负性与 单调性的对应关系 . 【解析】 与 相交于 . 第 11 页 共 34 页 （ 1） 时， , 递减； （ 2） 时， , 递增； （ 3） 时， , 得到最小值 . 故对应关系为：（ 1） 负区与 的减区对应； （ 2） 正区与 的增区对应； （ 3） 零点与 的最值对应 . 【练 2】 已知二次函数 的导函数 图象如右图的直线，则有 （ 1） =（ ），增区间为（ ），减区间为（ ）； 第 12 页 共 34 页 （ 2） 的最（ ）值为（ ）； （ 3）若 ，求 的解析式 . 【解答】 从右 图上看到 （ 1） 的根为 ，故有 =1； （ 2） 时， 0，故 的增区间为 ； 时， 0，函数递增； （ 2） 时， 0，函数递增 . 故 在 有极大值 ，在 上有极小值 . 故 ， 是 的 2 个极点，前者为极大点，后者为极小点 . 又 时， ，故函数 既无最大值，也无最小值 .从而 无最点 . 【说明】 这是三次函数有 2 个驻点，且都为极点的例子 .而三次函数无驻点或有驻点但不是极点的例子如下（练 3） . 【练 3】 研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间 . （ 1） （ 2） 【解析】 （ 1） ,函数 无驻点，无极点，无最点 . 是 上的增函数 . （ 2） , 有 2 个重合的驻点 . （ 1）当 时， ，函数递增， （ 2）当 时， ，函数也递增 . 第 14 页 共 34 页 因此，驻点 不能分出两个 相异 的单调 区间，故 不是 的极点， 无极点，当然也无最点 . 是 R 上的增函数 . 【说明】 函数 相重合的两驻点 不成为极点，可理解为它们消去了 中间 的一个 相异 的单调区间后，将两边的 同性 的单调区进行了链接而成为一个单调区间 . 经过以上的讨论得知，定义在 R 上的三次函数，不管它有无驻点或极点，它是不会有最点的。 四、极点何时为最点 不重合的 2 个驻点可以分别成为极点 .那么，在什么条件下极点成为最点呢？ 驻点是极点的必要不充分条件，那么极点是最点的什么条件呢？ 我们研究，极点何时成为最点 . 【例 4】 已知 的导函数 ，试探究 的极点和最点 . 【解析】 . 有 3 个相异的根： 它们都是 的极点 . 易知原函数 （ R） 易知 为 的减区间， 为 的增区间， 为 的减区间，为 的增区间 . 的 4 个单调区间依次成 减 增 减 增 的顺序，使得首、尾两个区间的单调性相异，从而使得 在 两次探底 中得到最（小）点 . 比较三个极值的大小： 得 的最小值为 ，对应两个最小点 和 1. 【说明】 定义在一个开区间上的可导函数 如果有 n 个极点： x1x2 xn. 第 15 页 共 34 页 当 n 为奇数时， 有最点存在 .最点在依次为奇数的极点中产生，通过奇数位上的极值比大小可得 . 当 n 为偶数时，函数无最点 . 【练 4】 求函数 的最值 . 【解析】 函数 是定义在一个开区间 上的可导函数 , 令 得 的唯一驻点 即为最点 . 时， ，函数递增 , 时， ，函数递减 , 故 有最大值 . 【说明】 本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便 . ,等号成立条件是 . 五、最值寻根的导数判定 若定义在一个开区间上的函数 有导函数 存在，那么 是否有最值的问题可转化为 的 导函数 是否有最根的问题来研究： （ 1）若导函数 无根，即 ，则 无最值； （ 2）若导函数 有唯一的根 ，即 ，则 有最值 .此时，导函数的根 即是函数 最根 . （ 3）若导函数 有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性 . 【例 5】 在以下四个函数中，有最值存在的函数是 第 16 页 共 34 页 A. B. C. D. 【解析】 对于 A，定义区间虽有两个，但都有 ， 无最值； 对于 B， ，函数有重合的两驻点 ， 无最值； 对于 C， ， 无最值； 对于 D， . 当 时，令 ，得 ， 有最值 =1. 本题答案为 D. 【练 5】 判断以下函数，是否有最值，如果有，求出最值 . （ 1） （ 2） 【解析】 （ 1） ， 无最值 . （ 2） . 当 时， ，由 ，得 . 有最值， . 当 时， ， 是增函数 . 当 时， ， 是减 , 函数 . 故 是 的最大值 . 六、最根与高考题 导数应用于高考，一般都在研究函数的单调性和函数最值问题，对可导函数来讲，这两个问题互相捆绑着，于是导数问题的 根本 则变成 最根 问题 . 第 17 页 共 34 页 【例 6】 已知可导函数 在 R 上恒有 ，且 不为常数，试研究的单调区间和函数最值 . 【解析】 由 可知 时， ，函数 为减函数 ； 时， ，函数 为增函数 ； 由此可知， 是 的唯一的根，故为最根 .故 有减区间 ，增区间 ，有最大值 . 【说明】 本题是在研究 抽象函数 无具体解析式的一类函数 的性质，只在满足性质 条件下，通过 最根 的判定而确定了 的单调区间和最值 . 有些不等式的证明，还可以通过构造函数，研究这个函数的 最值 而确认不等式是否成立 . 【练 6】 已知函数 ， . （ 1）求函数 的最大值； （ 2）设 ，证明： . 【解析】 （ 1） ， 故 有唯一的最根 ， 故 的最大值为 . （ 2） ， . 设 ， 则 . 当 时， ，因此 在 内为减函数 . 当 时， ，因此 在 上为增函数 . 第 18 页 共 34 页 从而，当 时， 有最小值 ， 因为 ， ，所以 ，即 . 【说明】 问题（ 2）的解决，是用 最根 证明不等式 . 七、余兴 荒唐错误 打从何来 学生小新读完上文，很感兴趣，他模仿着 【练 4】 的题型，只是变了几个系数，结果成了下面的问题 . 【例 7】 研究函数 有无最值 . 【小新解答】 . 令 ，得 的唯一驻点 为 最点 . 因此 有最值 . 【讨论】 是最值吗？若为最大值，我们可以找到比它更大的 ；如果是最小值，我们可以找到比它更小的 . 解答错了！错在哪里？作为思考题留给读者 . 【提示】 本函数 的定义域不是 一个 开区间 . 三二项式的展开 1、 二项式 ( a + b ) n展开 追根 n = 1 根据乘法法则，分别有： （ 1） (a+b)1 = a+b （ 2） (a+b)2 = a2+2ab+b2 第 19 页 共 34 页 （ 3） (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 （ 4） (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3 +b4 展开后，（ 2）的系数是（ 1）的系数 错位相加 ，（ 3）的系数是（ 2）的系数 错位相加 ，（ 4）的系数是（ 3）的系数 错位相加 ， ，（ n）的系数是（ n 1）的系数 错位相加 . 草式如下 . 由此看到 ( a + b ) n展开式的系数是由 ( a + b )1的系数 1+1错位相加、累计 (n-1)次的结果 . 【例 2】 设 ( a + b ) 6 = A0 a 6 + A1a 5 b + A2a 4 b2+ + A6 b 6 ( a + b ) 7 = B0 a 7 + B1a 6 b + B2a 5 b2+ + B7 b 7 试用 Ai(i = 0， 1， ， 6)的代数式表示 Bj ( j =0， 1， 2， ， 7) 【解析】 ( a + b ) 7 = ( a + b ) 6 ( a + b ) = ( A0 a 6 + A1a 5 b + + A5ab 5 +A6 b 6) ( a + b ) = A0 a 7 + ( A0 + A1) a 6 b + ( A1 + A2) a5 b2 + + ( A5 + A6) a b 6 + A6 b7 于是有 B0 = A0； B1 = A0 + A1； B2 = A1 + A2； B3 = A2 + A3； B4 = A13+ A4； B5 = A4 + A5； B6 = A5 + A6； B7 = A6 . 【说明】 由（ 6）到（ 7）的系数 错位相加 草式如下 . 第 20 页 共 34 页 这是一个有趣的规律，它说明：二项式展开式的每个系数也是 二项式 ，即展开式的每个系数都是一个二项式的和 . 一般地： Br +1 = Ar + A r+1 (r = 0， 1， ， n - 1) 特别地： B0 = 0 + A0 = A0， Bn = An-1+ 0 = An-1 2、二项式含二项式 看杨辉三角收藏 上面的 错位加法 有意思，二项式中的二项式更有意思，如果把草式简化，只把各行的 加法结果 依次开列出来，就得到我们熟悉的杨辉三角形（图右） . 这个三角形可命名为 1+1三角形 .因为：（ 1）这个三角形是从 1+1 开始的；（ 2）三角形的任何一行数的和，自我相加之后变成了下一行各数之和 . 这个三角形可命名为 2 打滚三角形 ， 因为从 2 开始，上行各数之和翻一倍，便成为下行各数之和 . 这个三角形还可命名为 二项式中的二项式三角形中 ，因为这个三角形中的任何一个数，都等于这个数肩上 2 数之和 . 如三角形中第 5 行的第 3 数10，就等于它的肩上两数 第 4 行第 2、 3 两数的和： 10=4+6. 二项式中的二项式 肩挑两数 中两数是唯一的吗？ 【例 3】 在杨辉三角形中，第 5 行第 3 数上的数 10，写成肩上 2 数的和，可以是： A.10=4+6 B.10=3+7 C.10=2+8 D.10=5+5 【解答】 杨辉三角形中的任何一个数，都由 1+1 的错位加法形成，因为加法的结果有唯一性 . 所以，第 5 行第 3 个数 10，肩挑两数的结果 4+6 是唯一的 . 答案为 A. 【说明】这个三角形还可以命名为 单肩串数三角形 . 因为三角形中任何一个数都等于它的 一个肩上数斜向上顶住的一串数 . 如三角形中第 5 行第 3 数 10，它等于它右肩上的数 6，并由 6 向左斜上方串联的一组数的和，即 10=6+3+1 它也等于它左肩上的数 4，并由 4 向右斜上方串联的一组数的和，即 10=4+3+2+1 单肩串数 实为 肩挑两数 性质 推论 . 单肩串数 实为 肩挑两数 递推的结果，例如数 10，如果是右肩串数，则是 3 次 肩挑两数 的结果 . 第 21 页 共 34 页 10=6+4=6+（ 3+1） =6+ 3+（ 1+0） =6+3+1+0 单肩串数 是 肩挑两数 的递推结果；从而是 错位加法 的累计结果（图右） . 3、子集组合 得 展开 式系数 为了弄清二项式 (a+b)n = (a+b) (a+b)( a+b)= A0an+ A1an-1b+ An-1 abn-1+ Anbn 展开时系数的形成过程，我们先回头看 和的平方 展开时，系数是怎样形成的 . (a+b)2 = (a+b) (a+b) 我们视 a 为主字母，视 b 为系数，其中的 2 个 b 分别记作 b1和 b2，于是有 (a+b)2 = (a+b1) (a+b2) =a2+ (b1 +b2)a+ b1b2 =a2+2ab+b2 由此看到，最高项 a2的系数为 1. 次高项 a 的系数是 b1 +b2，这是从集合 b1， b2中，每次取 1 个元素所成的组合 . 其组合数为 =2. 常数项 b1b2，是从集合 b1， b2每次取出 2 个元素所成的组合，组合数为 =1. 统一地看，最高项 a2中不含 b，因此可以看作，从集合 b1， b2每次取出 0 个元素所对应的组合 . 组合数为 =1. 这样一来， 和的平方 展开式可写成 (a+b)2 =a2+ ab+ b2 有了这个基础，我们也可以用 组合数 表示二项式(a+b)n展开后各项的系数 . 【例 4】 试探索用组合数表示二项式 (a+b)n=(a+b) (a+b)( a+b) = A0an+ A1an-1b+ An-1 abn-1+ Anbn 展开式中各系数 A0， A1， ， An-1， An. 【解答】 对于 an，它是从集合 b1， b2， ， bn 中每次取出 0 个元素的组合 . 组合数为 A0= . 对于 an-1b，它是从集合 b1， b2， ， bn 中，每次取出 1 个元素的组合，组合数为 A1= . 对于 abn-1，它是从集合 b1， b2， ， bn 中，每次取出 n-1 个元素的组合，组合数为 . 对于 bn，它是从集合 b1， b2， ， bn 中，每次取出 n 个元素的组合，组合数为 . 于是，二项式 (a+b)n可展开成如下形式 第 22 页 共 34 页 (a+b)n= an+ an-1b + abn-1 + bn 这就是所谓的 二项式定理 . 【说明】二项式展开后各项的系数依次为： ， ， ， . 其中，第 1 个数 =1，从第 2 个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为 这就是二项式展开 系数递推 的依据 . 二项式系数递推实际上是组合数由 到 的递推 . 4、 加法定理 来自二项式性质 将杨辉三角形中的每一个数，都用组合符号表示出来， 则得图右的三角形 . 自然， 肩挑两数 的性质可写成组合的 加法式 . 如 这里，（ 1）相加两数 和 是 下标相等，上标差 1 的两数；（ 2）其和 是 下标增 1，上标选大 的组合数 . 一般地，杨辉三角形中第 n+1 行任意一数 ， 肩挑 两数 的结果为组合的加法定理： 有了组合的加法定理，二项式 (a+b)n展开 式的证明就变得非常简便了 . 【例 5】 试用数学归纳法证明二项式定理 (a+b)n= an+ an-1b + abn-1 + bn 【证明】 （ 1）当 n=1 时， a+b = a + b=a + b 命题真 . （ 2）假设 n=k 时命题真，即 (a+b)k = ak + ak-1b + abk-1 + bk 两边同乘以 (a+b)，由 错位加法 可得 (a+b)k+1= ak+1 +( )akb +( )ak-1 b2 +( )ab k + bk+1 = ak+1 + akb + ab k + bk+1 第 23 页 共 34 页 综合（ 1），（ 2）可知，对任意的 n N+，二项式 (a+b)n展开式成立 . 5、 n 始于 1 r 始于 0 二项式定理将 (a+b)的乘方式展开成一个数列的和： (a+b) n= an+ an-1b + an-rbr + bn = an-rbr 展开式中的 r 从 0 取到 n，故展开式共有 n+1 项，其中关于 r的通项 an-rbr不是它的第 r项，而是第 r+1 项 . 故二项式展开式的通项公式为 Tr+1= an-rbr 初学者经常误成 Tr= an-rbr 在通项公式中弄清了 n 与 r 的关系 后，以下考题可以做到 一挥 而就 . 【例 6】 已知 ，求展开式中 x9的系数 . 【分析】 x9的系数与 x9的二项式系数虽然不是一回事，但仍可用通项公式 an-rbr求出对应的 r 来 . 【解答】 设展开式的第 r+1 项能化简得到 x9项 . 则有 Tr+1 = (x2)9-r = 令 18-3r = 9 得 r =3 故 x9的系数为 【说明】 数学解题，切忌拘泥公式 . 如本题中求 r 的值，不一定要硬套通项公式 . 事实上，展开式按 x 的降幂排列：第 1 项的指数是 18，第 2 项的指数是 15，依次递减，指数为 9 的项是第 4 项，故有 r = 3. 由此直接得 x9的系数为 . 这样的计算量大为减少 . 6、数形趣遇 算式到算图 二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学 . 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题 . 用系数通项公式来计算， 称为 式算 ；用杨辉三角形来计算，称作 图算 . 第 24 页 共 34 页 【 例 7】 （ 2007 全国甲卷理 13 文 16） 的展开式中常数项为 . 【式算】 先考虑 展开后的常数项 Tr +1 = x 8 r = （ 1）令 8 2r = 0，得 r = 4，得 = 70； （ 2）令 8 2r = 2，得 r = 5，得 = 56. 故求得 的展开式中常数项为 70 256 = 42 【 图算 】 常数项产生在 展开后的第 5、 6 两项 . 用 错位加法 很容易 加出 杨辉三角形第 8 行的第 5 个数 . 简图如下： 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 15 20 15 6 1 35 35 21 70 56 图上得到 =70， = =56. 故求得展开式中常数项为 70 256 = 42 【点评】 “式算 与 图算 趣遇，各扬所长，各补所短 . 杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图 . 对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第 6 行： 1， 6， 15， 20， 15， 6， 1 第 25 页 共 34 页 那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答 . 杨辉三角形在 3 年内考了 5 个（相关的）题目，这正是高考改革强调 多想少算 、 逻辑思维与直觉思维并重 的结果 . 这 5 个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透 . 四 函数周期性的求解 1、正弦函数的周期 三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数 . 幂函数 y = x 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax 无周期， 一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 无周期性 . 周期性是三角函数独有的特性 . （ 1） 正弦函数 y=sin x 的最小正周期 在单位圆中，设任意角 的正弦线为有向线 段 MP. 正弦函数的周期性 动点 P 每旋转一周，正弦线 MP 的 即时位置 和变化方向重现一次 . 同时还看到，当 P 的旋转量不到一周时，正 弦线的即时位置包括变化方向不会重现 . 因此，正弦函数 y=sinx 的最小正周期 2. （ 2） y=sin（ x）的最小正周期 设 0， y =sin（ x）的最小正周期设为 L . 按定义 y = sin （ x+L） = sin（ x+ L） = sinx . 令 x = x 则有 sin （ x + L） = sin x 因为 sinx 最小正周期是 2，所以有 例如 sin2x 的最小正周期为 第 26 页 共 34 页 sin 的最小正周期为 （ 3） 正弦函数 y=sin（ x+） 的周期性 对正弦函数 sinx 的自变量作 一次替代 后，成形式 y = sin （ x+） . 它的最小正周期与 y = sinx 的最小正周期相同，都是 . 如 的最小周期与 y = sin（ 3x）相同，都是 . 于是，余弦函数 的最小正周期与 sinx 的 最小正周期相同，都是 2. 2、复合函数的周期性 将正弦函数 y = sin x 进行周期变换 x x， sinx sin x 后者周期变为 而在以下的各种变换中，如 （ 1）初相变换 sinx si n（ x+）； （ 2）振幅变换 sin（ x +） Asin（ x+）； （ 3）纵移变换 Asin（ x +） Asin（ x+） +m； 后者周期都不变，亦即 Asin（ x +） +m 与 sin（ x）的周期相同，都是 . 而对复合函数 f （ sinx）的周期性，由具体问题确定 . （ 1） 复合函数 f（ sinx） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （ 1） 2 sinx； （ 2） 第 27 页 共 34 页 （ 2） 的定义域为 2k， 2k+，值域为 0， 1，作图可知， 它是最小正周期为 2的周期函数 . 【解答】 （ 1） 2sinx 的定义域为 R，值域为 ，作图可知，它是最小正周期为 2的周期函数 . 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定， loga x， sinx， ， sin（ sinx）都是最小正周期 2的周期函数 . （ 2） y= sin3 x 的周期性 对于 y = sin3x =(sinx)3， L=2肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下 . 图上看到， y = sin3x 没有比 2更小的周期，故最小正周期为 2. （ 3） y= sin2 x 的周期性 对于 y = sin2x = (sinx)2， L=2肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为 2？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下 . 第 28 页 共 34 页 图上看到， y = sin2x 的最小正周期为 ，不是 2. （ 4） sin2n x 和 sin2n-1 x 的周期性 y = sin2x 的最小正周期为 ，还可通过另外一种复合方式得到 . 因为 cos2x 的周期是 ，故 sin2x 的周期也是 . sin2x 的周期，由 cosx 的 2变为 sin2x 的 . 就是因为符号法 负负得正 所致 . 因此，正弦函数 sinx 的幂符合函数 sinmx，当 m=2n 时， sinm x 的最小正周期为 ； m = 2n1时， sinmx 的最小正周期是 2. （ 5） 幂复合函数举例 【例 1】 求 y =|sinx|的最小正周期 . 第 29 页 共 34 页 【解答】 最小正周期为 . 【例 2】 求的最小正周期 . 【解答】 最小正周期为 2. 【例 3】 求 的最小正周期 . 【解答】 最小正周期为 . 【说明】 正弦函数 sinx 的幂复合函数. 当 q 为奇数时，周期为 2； q 为偶数时，周期为 . 3、周期函数的和函数 两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2. 那么它们的和函数， 即 sinx + cos x 的最小正周期如何？ 和函数的周期与原有函数的周期保持不变 . 这个结论符合一般情况 . 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？ （ 1） 函数 sinx + sin2 x 的周期性 sin x 的最小正周期为 2， sin2x 的最小正周期是 ，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下 . 第 30 页 共 34 页 表上看到函数 sinx+sin2x 的最小正周期是 2. （ 2） 函数 sinx + sin2x 的周期性 依据上表，作 sinx+sin2x 的图像如右 . 从图上看到，函数的最小正周期为 2. 由 sinx， sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后 者的 2 倍 .从图上看到， sinx+sin2x 仍然是个 振动 函数 ，但振幅已经不是常数了 . （ 3） 函数 sinx+sin x 的周期性 sinx 的最小正周期为 2， sin x 的最小正周期是 3. 们之间的和 sinx + sin x 的最小正周期也由 较大的 决定吗？即 和函数 的周期为 3吗？ 不妨按周期定义进行检验 . 设 则 x0 +3= 因此 3不是 sinx + sin x 的最小正周期 . 通过作图、直观看到， sinx+sin x 的最小正周期为 6，即 sinx 和 sin x 最小正周期的最小倍数 . 4、周期函数在高考中 第 31 页 共 34 页 三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当 . 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数 列、向量等内容综合 . 正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性 . 关系到正弦函数的试题，有 2 种形式 . （ 1）直接考，求正弦函数的最小正周期 . （ 2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用 . 求单调区间，求最值，简单方程的通解等 . （ 1） 求正弦函数的周期 【例 1】 函数 y =|sin |的最小正周期为 （ A） （ B） （ C） 2 （ D） 4 【解答】 最小正周期是 最小正周期的一半，即 2. 答案为（ C） 【说明】 图象法判定最简便 ， |sin x|的图象是将 sin x 的图象在 x 轴下方部分折到 x 轴上方去 . 倍角法定判定最麻烦 【解答】 （ 1） y = 2cos2x + 1 的最小正周期由 cos2x 决定 （ 2） 求正弦函数的周期 【例 2】 （ 1） y =2cos2x+1 的最小正周期为 . （ 2） y =|sinx + cosx|的最小正周期为 . 【解答】 （ 1） y = 2cos2x + 1 的最小正周期由 cos2x决定，故答案为 . （ 2） 故答案为 . 【说明】 都可看作 sinx 的幂函数的复合函数 . （ 3） 函数周期性应用于求值 【例题】 f (x)是 R 上的偶函数，且是最小正周期为 的周期函数 . 【解答】 【说明】 周期性应用于区域转化 . 将 无解析式 的区域函数转化到 有解析式 的区间上求值 . 若 时 f (x) = sinx 试求 的值 . （ 4） 函数周期性应用于求单调区间 【例题】 x R，求函数 y =sin2x + sinx cosx+2cos2x 的单调增区间 . 【 解答】 函数的最小正周期为 . 令 得 第 32 页 共 34 页 因为函数周期为 ，故函数的单调增区间为 . 【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合 . 周期函数在高考中 （ 5） 周期性应用于求函数零点 【例题】 已知函数 . 【解答】 令 得 故交点横坐标的值的集合为 . 【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求 通解 . 5、高考史上的周期大难题 高考史上第一次 周期大难题 出现在恢复高考后的第 3 年，即 1980 年 的理科数学卷上 . 本题排在该卷的第六大题上 . 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目 . 这点为命题人事先未能预料 . 后来分析，该题的难点有三 . （ 1）函数抽象，导致周期中含有参数；（ 2）求参数范围，与解不等式综合；（ 3）求最小正整数解，连命题人自拟的 标答 都含糊不清 . 20 多年来数学界质疑不断 . 【考题】 设三角函数 ，其中 k0. （ 1）写出 f (x)极大值 M、极小值 m 与最小正周期 ； （