（信号与信息处理专业论文）多通道带乘性噪声系统的最优估计.pdf

摘要 p 0 5 987 本文主要研究带乘性噪声的离散随机系统的信号最优估计理论。 ( 以往的乘性噪声系统观测模型中，总是假定乘性噪声为一维随机变 量，这种情况下，系统意味着是单通道的，即使当观测为多维( 多通 道) 时，各通道的乘性噪声也是完全相同的，这种假设似乎不符合实 际情况。因此一在以往模型的基础上，本文进一步考虑多通道带乘性 噪声的系统，其中，乘性噪声不再是一维随机变量，而是随机矩阵。 本文针对多通道带乘性噪声系统，应用新息的方法和h i l b e r t 空 间的投影运算，对状态最优滤波和平滑估计、随机输入信号的最优估 计等理论与应用方面的问题，进行了深入的探讨，暗重完成了以下工 作： 第一，本文回顾了带乘性噪声系统的最优估计理论的发展和现 状：列举了r a j a s e k a r a n 等人在独立白噪声条件下关于带一维乘性噪 声系统的状态线性最优滤波的递推算法。 第二，根据多通道乘性噪声系统问题的实际需要，推广了 r a j a s e k a r a n 滤波算法。利用线性最小方差和投影公式的概念，推导 出了含有乘性噪声统计特性参数阵特殊乘法运算的新息序列的协方差 矩阵，并利用这个中间矩阵，在各个通道的乘性噪声不同，以及系统 的动态噪声和观测噪声互不相关和同时刻相关的情况下，推导出了状 态递推滤波算法，该算法在线性最小方差意义下是最优的。 第三，本文推导出了这种系统在两个加性噪声同时刻相关时状态 最优固定域平滑估计的问接算法，通过引入中间变量的递推表达，减 少了运算量，使算法更实用。同时推导出丫固定域和固定点最优反褶 积算法，它们是不含乘性噪声u 寸相应的m e n d e l 算法、以及带一维乘 性噪声系统反褶积算法的更一般形式。 笫四，除了理论上对所给出的最优算法的推证之外，木文还进行 了大量的仿真试验，仿真结果验证了各算法的有效性。寸 关键词：随机系统，乘性噪声，线性最小方差估计，状态滤波与平滑， 反褶 ； 。 堕登堡墨 _ - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ + - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ a b s t r a c t o p t i m a ls i g n a le s t i m a t i o nt h e o r yf o rd i s c r e t es t o c h a s t i cs y s t e m s w i t h h 1 u l t i p l i c a t i v en o i s ei sm a i n l yr e s e a r c h e di n t h i sd i s s e r t a t i o n w ea l w a y s a s s u m et h a tt l l em u l t i p l i c a t i v en o i s ei s 1s t d i m e n s i o n a ls t o c h a s t i cv a r i a b l e i nt h eo b s e r v a t i o nm o d e lf o rt 1 1 ep a s ty e a r s u n d e rt h i sc i r c u m s t a n c e ，m e s v s t e mm e a n so n e c h a n n e lo b s e r v a t i o ns y s t e m e v e ni ft h eo b s e r v a t i o ni s m u l t i d i m e n s i o n ( m u l t i c h a n n e l ) ，t h em u l t i p l i c a t i v en o i s eo f e a c hc h a n n e l i st h es a m e t h i sa s s u m p t i o n i s n ti na c c o r d a n c ew i t ht h ep r a c t i c a li n s t a n c e s o ，o n t h eb a s e o ft h e p a s ts y s t e mm o d e l ，t h e d i s s e r t a t i o nf o c u so n m u l t i c h a n n e l s y s t e m w i t h m u l t i p l i c a t i v e n o i s e i nt h e s y s t e m ，t h e m u l t i p l i c a t i v en o i s ei sn ol o n g e r1s t d i m e n s i o n a ls t o c h a s t i cv a r i a b l e ，i ti s a s t o c h a s t i cm a t r i x i nt h ei n s t a n c eo fm u l t i - c h a n n e ls y s t e mw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e ，w e d i s c u s st h eo p t i m a le s t i m a t i o no fs t a t ef i l t e r i n ga n ds m o o t h i n ga n dt h e s t o c h a s t i ci n p u ts i g n a lw i t ht h et e c h n i q u eo f i n n o v a t i o na n dp r o j e c t i o no f h i l b e r ts p a c e t h em a i ns t u d yo f t h i sd i s s e r t a t i o ni si n t r o d u c e da s f o l l o w ： 1t h ed e v e l o p m e n ta n da c t u a l i t yo fs i g n a le s t i m a t i o nt h e o r y f o r s t o c h a s t i c s y s t e m s w i t h m u l t i p l i c a t i v e n o i s ei sr e c a l l e d i nt h i s d i s s e r t a t i o n ；u n d e r t h e c o n 仃o lo fi n d e p e n d e n tw h i t en o i s e ，t h e r a j a s e k a r a ns t a t er e c u r s i v ea l g o r i t h mo f l i n e a ro p t i m a lf i l t e r i n go f t h es y s t e mw i t ho n e d i m e n s i o nm u l t i d l i c a f i v en o i s ei sl i s t e d 2 a c c o r d i n gt o t h ep r a c t i c a lr e q u i r e m e n to fm u l t i - c h a n n e ls y s t e m w i t h m u l t i p l i c a t i v e n o i s e ，w eb r o a d e n t h e r a j a s e k a r a nf i l t e r i n g a l g o r i t h mw e m a k eu s eo ft h ec o n c e p tl i n e a rm i n i m u mv a r i a n c ea n d p r o j e c t i o nf o r m u l a t od e d u c et h ec o v a r i a r l c em a t r i xo ft h ei n n o v a t i o n s e q u e n c e ，w h i c h c o n t a i n s s p e c i a lm u l t i p l i c a t i v e o p e r a t i o n o ft h e s t a t i s t i cc h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e rm a t r i x w i t h m u l t i p l i c a t i v e n o i s e a p p l y i n g t h ec o v a r i a n c ea n d a c c o r d i n g t ot h ed i f f e r e n t m u l t i p l i c a t i v en o i s eo f e a c ho b s e r v m i o nc h a n n e la n dt h er e l e v a n c eo f - 、 堕查堡墨 4 s y s t e ma n do b s e r v a t i o nn o i s ei nt h es a m et i m ea n di r r e l e v a n c e o f t h e m ，w e d e d u c et h es t a t e r e c u r s i v e f i l t e r i n ga l g o r i t h m t h i s a l g o r i t h m i so p t i m a la c c o r d i n gt ol i n e a rm i l l i n l u mv a r i a n c e t h ei n d i r e c ta l g o r i t h mo ft h eo p t i m a lf i x e di n t e r v a ls m o o t h i n gi s d e d u c e da c c o r d i n gt ot h er e l a t i v i t yo fs y s t e ma n do b s e r v a t i o nn o i s e i nt h es a m et i m e t h eo p e r a t i o nq u a n t i t yi sr e d u c e dt h r o u g ht h e r e c u r s i v e e x p r e s s i o n o ft h ei n d i r e c tv a r i a b l e ，s ot h ea l g o r i t h mi s m o r ep r a c t i c a l a tt h es a m et i m ew ed e v e l o pt h eo p t i m a lf i x e d i n t e r v a la n df i x e d p o i n t d e c o n v o l u t i o ne s t i m a t i o na l g o r i t h m t h e a b o v ed e c o n v o l u t i o n a l g o r i t h m s a r e t h em o r e g e n e r a l f o r mo f m e n d e l a l g o r i t h m a n dt h eo n e d i m e n s i o n m u l t i p l i c a t i v e n o i s e s y s t e m t oa i dt h e r e s e a r c h i n go ft h ea b o v eo p t i m a la l g o r i t h m s ，m a n y s i m u l a t i o n so f f i l t e r i n g ，s m o o t h i n ga n dd e c o n v o l u t i o na l g o r i t h m sa r e p e r f o r m e d t h es a t i s f a c t o r yr e s u l t sh a v eb e e n o b t a i n e d k e y w o r d s ：s t o c h a s t i c s y s t e m ，m u l t i p l i c a t i v en o i s e ，l i n e a r m i n i m u m v a r i a n c e e s t i m a t i o n ，s t a t ef i l t e r i n g a n d s m o o t h i n g ， d e c o n v o l u t i o n 多通道带乘性噪声系统的最优估计 第一章引言 1 1 选题的意义 随机系统的信号估计理论是现代控制理论的一个重要发展方向， 用统计估计理论把有用信号从受到干扰和噪声污染的信号中尽可能精 确地提取出来，这就是所谓的最优估计问题。 要想解决动态系统的信息最优提取问题，即所谓的最优估计问题， 首先需要建立含有随机干扰的系统数学模型，并根据模型进而得到信 号的最优估计。以往在建立实际系统的观测数学模型时，对随机干扰的 处理通常是把它作为一项加性噪声，因而，大多数最优估计理论，如 k a l m , m 滤波理论“，都是指针对含有加性噪声的经典情形进行的。下 面是这一经典情形的数学模型： x ( k + ，) = a ( k + ，) x ( t ) + b ( t ) 形( 七) z ( ) = c ( t ) z ( 七) + 矿( ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 其中，x ( ) 为n 维状态向量，z 似) 为r 维观测向量，a ( k + t 是刀门维状 态转移矩阵，b ( 七) 和c ( 尼) 分别是”s ，h 维系数矩阵，矽( 七) 和矿( 膏) 分别 是，和，维动态噪声和观测噪声。 对于经典的在系统的观测数学模型中只含加性噪声的随机系统， 自从k a l m a n 、b u c y ”等人提出了状态最优滤波的递推算法以来，在信 号最优估计领域取得了众多的理论成果，并在空间技术、通讯、导航等 沟：多领域得到广泛的应用。 但是在许多实际观测过程中，比如石油地震勘探、通讯工程、语音 处理等应用领域，由反褶积形式描述的观测模型中，不仅含有加性噪声 l j + j - i 二扰，还应考虑系统的时变性、非线性畸变、能量衰减等各种复杂甚 至不确定因素。r a j a s e k a r a n 等人m 把这些因素在数学上近似归结为 乘性噪声，这些含有乘性噪声的随机系统称作带乘性噪声系统( s y s t e m w ithr o l l 】t i p lic a t i v en o i s e ) ，其离散时间模型表达在观测模型中含有 乘性噪声r e ( k ) ，它是一维随机变量，但是，系统的观测数学模型中乘性 青岛海洋大学硕士学位论文 因子，即乘性噪声的引入，使系统形式上更复杂，处理上更困难。但实际 中关于这类系统的最优估计，如动态系统的状态估计( 滤波、平滑、预 测) ，信号反褶积估计( 反卷积，随机输入信号估计或反滤波) 及其参数 辨识估计等问题又是很重要的，因此有必要进一步探讨。 带乘性噪声随机系统是指系统的观测模型中同时含有加性噪声和 乘性噪声。以离散系统为讨论对象，用状态变量法描述，带乘性噪声( 噪 声为一维随机变量) 系统可表达为： x ( k + ，) = a ( k + ，膏) x ( 膏) + b ( k ) w ( k ) z ( k ) = m ( 女) ( ? ( ) j ( ) + 矿( ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 其中式( j 1 3 ) 是系统的状态方程，式( 1 1 4 ) 是系统的观测方 程， x ( ) ) 是系统的状态变量序列， z ( ) ) 是系统的观测序 列，a ( k + ，女) ，b ( k ) 和c ( t ) 均为确定性系数矩阵， m ( 尼) 为一维随机变量 它是观测模型中的乘性噪声，而 形( 女) 】和 矿( 女) 1 则是系统的动态噪声和 观测噪声，它们都是加性噪声。 带乘性噪声系统的表达有如下特点： 1 由于：状态x ( t ) 是随机向量，因而观测方程中出现了随机变量的乘积， 观测方程不再是线性的。 2 加性噪声和乘性噪声并存于观测方程中，而乘性噪声往往是由于信 号传输特性不理想而产生的干扰，所以它的影响随信号的消失而消失， 而加性噪声却始终存在，不论信号是否存在。 ： 当乘性噪声为1 时，系统退化为经典的状态空间表达如 ( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) ，所以乘性噪声为1 只是带乘性噪声系统的特例，可 见，带乘性噪声系统模型描述了更为广泛的一类实际过程。 对于乘性噪声只是一维随机变量的情况，继n a h i 、r a j a s e k a r a n 、 c h o w 1 “等人的研究之后，导师褚东升。“等人继续扩展了这一问题的研 究，初步建立了带乘性噪声系统估计理论的体系，并针对石油地震勘 探领域r i 。的反褶积问题作了有价值的研究。应该指出的是，与传统的 上| 女优估汁罔? 论相比，带乘性噪声估计理论还需要进一步的完善和发展。 蚬仃的择种带乘性噪声系统算法的约束条件，使算法的实际运用受到 多通道带乘性噪声系统的最优估计 限制，是需要进一步探讨和改进的方面。丰富和完善现有的带乘性噪 声系统的基本估计理论( 滤波、平滑、以及反褶积的基本理论算法) ， 以满足不同的实际情况的要求。 总之，作者希望通过深入的研究，能解决带乘性噪声系统在理 论和实际应用中都有意义的一些问题，使这一理论得到完善和丰富。 1 2 带乘性噪声最优估计理论的发展及现状 对于传统的在观测模型中只含加性噪声的随机系统，最优滤波问 题已经有了大量的研究成果“”1 。自从k a l m a n ”1 、b u c y ”1 等人提出了状 态最优滤波的递推算法以来，在各种加性噪声条件下的状态滤波算法， 带有k a l m a n 滤波器的最优控制算法，自适应滤波算法n “，滤波算法的 稳定性研究及克服估计发散的方法等方面都有众多的理论成果，并在 空间技术、通讯、导航等许多领域得到广泛的应用。k a l m a n ”1 滤波方 法突破和发展了w i e n e r 滤波理论，解决了非平稳过程和多变量系统的 最优滤波问题，而且便于在滤波器上实现，完成了频域上的谱分析方法 到时域上的状态空间方法的变革，也标志着现代控制理论的诞生。但以 上：研究都是基于在观测模型中只含加性噪声的随机系统上。 由于实际观测过程中，如在石油地震勘探，目标跟踪等应用领域， 应考虑系统的时变性，非线性畸变，能量衰减等各种复杂甚至不确定因 素，所以在这种情况下只考虑加性噪声还不足以完整地描述系统，还需 要考虑乘性噪声，所以带乘性噪声随机系统的信号估计问题日益受到 人们的重视。r a j a s e k a r a n 等人n 2 ，把这些因素归结为一维乘性随机因 子。根据已有的研究成果，带乘性噪声系统的估计理论主要集中在两个 方向，分别是针对离散型和连续型的乘性噪声。下面是针对这两种类型 乘性噪声系统的一些理论研究。 ( ) 关于含离散型乘性噪声的随机系统的研究。 1 9 6 9 年，n a h i ”“首先对离散型乘性噪声为0 ，1 两值序列的情形，在 乘性噪声为独立同分布的条件下，推导出了最小方差意义下的最优滤 青岛海洋大学硕士学位论文 波递推算法，当乘性噪声取0 的概率为零时，该滤波器退化为k a l m a n 滤波器，1 9 7 9 年，h a d i d i “6 1 等人又将n a m 的结果推广到乘性噪声为非 独立同分布的情形，但在一般情况下，状态最优滤波不能表达为递推形 j = = 。1 9 7 1 年，j a f f e r 等人n 7 ”，对乘性噪声为两值m a r k o v 序列的情形给 出了状态的b a y e s 估计算法，但由于存储量大，很不实用，后来的改进 形式降低了存储量，但当系统维数大时，仍不实用。1 9 9 4 年，c a r a z o “ 等人把n a h i 的工作推广到了动态噪声和观测噪声相关的情况，并推导 出了预测算法的一般表达式。 ( 二) 关于含连续型乘性噪声的随机系统的研究。 1 9 7 1 年r a j a s e k a r a n n 。，等人对带乘性噪声为独立非平稳自噪声的 情况进行了研究，对离散系统应用随机过程理论及投影定理，推导出了 状态递推滤波算法和非递推的平滑估计算法，证明了该算法在线性最 小方差意义下是最优的，同时还给出了连续系统的最优状态估计器。 1 9 8 9 年，c h o w ”2 ”针对乘性噪声为有色噪声的情形，通过相邻观测的相 关性和新息序列的递推表达推导出，其滤波公式在形式上明显不同于 k a l m a n 滤波的形式，后者是前时刻的估计加上与现时刻有关的修正项 而前者的修正项与两个时刻的观测有关。之后，c h o w t 。u 等人将其滤波算 法也推广到了噪声均值非零的情况。1 9 9 3 年，导师褚东升m m 对离散系 统，推广了r a j a s e k a r a n 的工作，推导出动态噪声、加性观测噪声相关 时的线性最小方差递推滤波器。 此外，反褶积估计或称去卷或信号复原是信号处理领域的重要课 题，但是现在关于反褶积估计的大量研究都是基于传统的线性系统模 型的。m e n d e l “”“1 等人考虑了输入个线性系统的白噪声信号去卷问 题，h a g a n d e r 和w i t t e n m a r k 提出了在白噪声情形下自回归滑动平均 ( a r m a ) 模型信号的最优和白校正去卷问题。邓自立对于通过线性系统 破观测的a r m a 信号，应用时间序列分析方法和射影理论，提出了新的 a r v i a 信5 j 的最优去卷平滑器，它不同于g o o d w i n 和s i n 的状态空间方 浊和结粜。1 9 9 3 年，导师褚东升”提出带乘性噪声离散系统的最优反 梢私u = l | 沦，推导出独立白噪声条件下的最优反褶积算法。对定常系统给 多通道带乘性噪声系统的最优估计 出更简单实用的次优反褶积算法，还推导出有色噪声时的反褶积算法， 把固定域，固定臂长的反褶积最优算法推广到动态噪声和观测噪声相 关的更4 般的情形。 总之，无论从科学发展的角度还是从工程应用实际需要出发，以 “带乘性噪声系统随机信号的最优估计”的课题予以概括，并进行理 论和应用方面的研究，是具有重要意义的。 1 3 本文所做的主要工作 以往针对带乘性噪声的系统所做的工作中，总是假定乘性噪声 ( 女) 为一维随机变量序列，如式( 1 1 4 ) 所示。但在石油地震勘探 等实际问题中，以上的数学模型意味着单通道观测系统，即使当观测为 多维时，即多通道时，各通道的乘性噪声也是完全相同的，这种假设似 乎不符合实际情况。因此在上述模型的基础上，本文进一步考虑多通道 带乘性噪声的系统，其数学模型为 x ( k + ) = a ( k + ，k ) x ( k ) + b ( k ) w ( k ) ( 1 3 1 ) z ( 七) = u ( 七) c ( 七) z ) + f 7 )( 1 3 2 ) 其中，( ，( ) 不再是维随机变量，而是随机矩阵，其具体形式如下所示： ( m ) = d i a g ( u ，( 蜕，“。( 吼其中击昭( ) 表示对角阵。 其统计特性为 e ( ，( 膏) ) = 彳( j i ) = d i a g ( m ( 女) ，埘，( ) ) 其中 川，( 女) = e u ，( ) ，j = ， ( ) = ( 。( 膏) ) 其r = | ， 。( 女) = 日( ，( 女) 一脚。 ) ) ，( 女) 一脚， ) ) 本文将在以上数学模型的基础上，在动态噪声 w ( k ) 和观测噪声 i v ( k ) ；不相关和同时刻相关情况下，对滤波、平滑和反褶积等最优估 讣： _ 7 ：法进行推导。 青岛海洋大学硕士学位论文 第二章多通道带乘性噪声系统的最优滤波算法 2 1概述 众所) 刮知，对于经典的线性系统( 在系统的观测数学模型中只含加 性噪声) ，自从k a l m a n 、b u c y m 6 ，等人提出了状态最优滤波的递推算法以 来，在信号最优估计领域取得了众多的理论成果，并在空间技术、通讯、 导航等许多领域得到广泛的应用。 但是在许多实际观测过程中，比如石油地震勘探、通讯工程、语 音处理等应用领域，由反褶积形式描述的观测模型中，不仅含有加性噪 声的干扰，还应考虑系统的时变性，非线性畸变，能量衰减等各种复杂 甚至不确定因素，这些因素在数学上可以近似归结为一个乘性噪声。这 类含有乘性噪声的随机系统称作带乘性噪声系统( s y s t e m w i t h m u ti p l ic l t i v en o i s e ) ，r a j a s e k a r a n 等人”在独立白噪声条件下关 于带乘性噪声离散系统模型表达在观测模型中含有一维乘性噪声r e ( k ) 这种系统的数学模型为： x ( k + ，) = a ( k + ，七) x ( j ) + b ( k ) w ( k ) ( 2 1 1 ) z ( 女) = m ( k ) c ( k ) x ( k ) + 矿( ) ( 2 1 2 ) 其中，( ) 为门，维状态向量，z ( k ) 为r ，维观测向量，w ( k ) 为s x l 维系 统动态噪声，矿( ) 为，维观测噪声，r e ( k ) 为乘性噪声，它为一维随机 变量序列。 比如在石油地震勘探中，以上的数学模型中，当观测为一维时为单 通道的，即使当观测为多维时，即多通道时，各通道的乘性噪声也是相 同的，这种假设往往不符合实际情况，因此在上述模型的基础上，本章 考虑下列的多通道带乘性噪声系统的数学模型 a ( + ，) = a ( k + ，) ( j i ) + 占( 膏) ( )( 2 13 ) z ( k ) = ( ，( ) ( 1 ( 女) x ( 女) + v ( k )( 2 1 4 ) 1 0 ，h f 似) 1 i 再是。一1 维随机变量，而是随机矩阵，其具体形式如下所示： 墨望堕堕墨壁咝兰墨竺塑垦垡堕盐一 r ，( t ) = d i a g ( u 1 ( 七) 却，( ) ) ：乓统计特性为 e ，( ) ) = m ( 女) = d i a g ( m ( ) ，埘，( ) ) ( 女) = ( 。( 女) ) i 中 。( ) = e ( ”，( 女) 一m 。( i ) ) ，( ) 一m ，( ) ) ) 本章将推导在上述模型基础上的最优滤波算法。 2 2带乘性噪声系统的r a j a s e k a r a n 最优滤波 本节概括地介绍r a j a s e k a r a n 等人m 1 在独立白噪声条件下关于带 一维乘性噪声离散系统的状态线性最优滤波的递推算法。 在介绍r a j a s e k a r a n 最优滤波算法之前，我们先简单介绍一下线 性最小方差估计和投影公式。“。 对任意正整数， 记 z ，= c o ( z ( o ) ，z ( r ) ) l ( z ，) 为z ( o ) ，z ( n，z ( ，) 张成的n 维线性空问，记 岩( 七，) = p r o j x ( k ) z ，) 这里p r o j x ( k ) z ，) 戥( 后) 在三( z ，) 上的投影( p r o j e c t i o n ) ，或称为线性最 小方差估计，其含义是，2 ( k 7r ) 为z ( o ) ，z ( ，) 的线性组合表达，且满足 使如下形式的性能指标函数 j 。= 耳( ( t ) 一x ) ( j ( ) 一) 7 ) 在x = x ( k r ) 时为最小，这里，。的定义域是l ( z ，) 。当性能指标函数取极 小值时 x = x ( k r ) = e x ( | i ) + c o v ( x ( k ) ，z ，) v a r 一 z ， ( z ，一e z ，) ) l ：式便是投影公式。 下面，我们概括地介绍一下r a j a s e k a r a n 最优滤波。 带维乘性噪声的系统模型为2 1 节中的( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 式，其 似定条件如f 所示： 7 青岛海洋大学硕士学位论文 1 ) e w ( k ) = 0 ，c o v ( w ( k ) ，( ，) ) = e w ( k ) w 7 ( = q ( k ) 8 h ： f v ( k ) ：0 ，c o v ( v ( k ) ，矿( ，) ) = e v ( k ) v 7 ( = j r ( ) 民： 2 ) c o v ( w ( k ) ，y ( ，) ) = e w ( k ) v 7 ( m = 0 ： 3 ) e x ( o ) = 0 ，e x ( o ) x 7 ( o ) = s ( d ) ： 4 ) c o v ( x ( o ) ，( 女) ) = 0 ，c o v ( x ( o ) ，矿( 女) ) = 0 ： 5 ) 聪n 7 ( ) = 丽( ) ，e l ( r e ( k ) 一衙( ) ) ( ( j ) 一而( ，) ) = 仃( ) 毛； 6 ) ( ) ， 7 r ( 女) 及爿( o ) 与 m ( j i = ) ) 相互独立，x ( o ) 分别与 ( ) ) ， 矿( 露) 互不 相关。 其中 耻娃 f g - 表示对随机变量诹数学期望。 匕述条件表明， ( ) ) ， 矿( j i ) ) 及 m ( | ) ) 可以是非平稳白噪声序列，但它 们相互之间还必须是不相关的。 在上述条件下，r a j a s e k a r a n 等推导出的线性最优滤波及预报递推公 式为： 滤波公式 一y ( k 开) = x ( k k 一，) + k ( 后) ( z ( 后) 一j 万( j | ) c ( 后) ( 七j | 一d ) k ( ) = 丽( 女) ，( k k 一，) c ( k ) r l - ( t ) 尺。( 膏) = r ( 膏) + 丽。( k ) c ( k ) p ( k k o c 7 ( | | ) + c r ( 七) c ( 露) s ( 后) c 7 ( 七) y ( 女) = a ( k ，女一1 ) s ( k 一1 ) a 7 ( t ，k 一) + b ( k 一1 ) q ( k 一1 ) b 7 ( 七一) 滤波误差方差矩阵为 p ( 七) = p ( k k d j 万( 七) k ( 厅) c ( 七) p ( j k 一，) 其中初值为 0 ( 口) = f ( 口) - 0 ，( d ) = n ( o ) 一步预报公式 + i ( k 一，) = a ( k ， 一，) 力( 一l k ，) ，( k ，) = a ( k ， 一1 ) 1 ( 一1 ) a 7 ( ，k 一，) + b ( k 1 ) q ( k o b 7 ( 女一，) 多通道带乘性噪声系统的最优估计 其中令 x ( k m ) = 片似) 一2 ( k m ) s ( k ) = e x ( k ) x 7 ( ) p ( k k 一) = e 2 ( k k 一1 ) 2 7 ( k k 一) j p ( t ) = e 牙( 女 ) 牙7 ( 女) 2 3 噪声不相关时多通道带乘性噪声系统的最优滤波 尽管2 2 节中r a j a s e k a r a n 滤波【2 2 】本身允许是多通道观测系统( 即 z ( 女) 可以是多维的) ，但由于观测方程中r e ( k ) 为一维随机噪声，这就不能 表现真正意义下的多通道观测系统。下面我们考虑2 1 节给出的多通 道带乘性噪声的状态方程模型： x ( k + ，) = a ( k + t ) z ( 女) + b ( k ) w ( k ) ( 2 31 ) z ( t ) = u ( 七) c ( ) x ( t ) + 矿( | i )( 23 2 ) 其中 x ( t ) 为状态序列， z ( 后) ) 为观测序列， 矿( 七) ) 为系统动态噪声序 列， 矿( ) 为观测噪声序列，其中u ( t ) 为乘性噪声矩阵，它是一个随机 对角矩阵。假定下列条件成立： 1 ) ( 七) = 0 ，c o v ( w ( 后) ，( ) ) = e w ( k ) w 7 ( ，) ) = q ( k ) f i 。： f 7 ( ) = 0 ，c o v ( v ( 七) ，矿( ，) ) = e v ( k ) v 7 ( j ) = r ( k ) 6 h ： 2 ) e o v ( w ( 七) ，( ) ) = 毋w ) 矿7 ( ) 1 = 0 ： ： ) e ( o ) = 。，v a r ( x ( o ) ) = e ( ( o ) 一u 。) ( x ( o ) 一2 。) 7 ) = p o ： 4 ) c o v ( x ( o ) ，矽( j i ) ) = 0 ，c o v ( x ( o ) ，矿( t ) ) = 0 ： n ) f ，( ) = d i a g ( u ，( t ) 。，( 女) ) ： 其统计特性为 耳( ，( ) ) = m ( k ) = d i a g ( m ，( ) ，埘，( 七) ) ( ) = ( 。( 女) ) f 0 巾 。( 女) = e 0 ，( ) 一卅，( 女) ) ( ? ，( 女) 一m ，( 女) ) 厅( 女) = ( 砜( 女) ) 卜，= m ，( t ) ，( 女) 9 青岛海洋大学硕士学位论文 6 ) 1 w ( k ) i7 ( ) 及x ( o ) 与 u ( 女) 相互独立，( d ) 分别与 ( t ) ， y ( 女) ) 互不 相关， 在2 2 节我们已经介绍了线性最小方差和投影公式”“，在这里我 们不再重述，下面直接推导针对上述系统在线性最小方差意义下的最 优滤波公式。 泸 其中 把式( 2 ： 2 ) 代入上式，由 2 ( k k 一，) = p r o j z ( k ) z 。) z 。= c o t ( z ，z ( k 一1 ) ) v ( k ) _ l z 。， 得 z ( k k 一，) = p r 凹 ( ( ，( 膏) c ( 七) ( 尼) + y ( 膏) ) z 。一，) = p r o j u ( k ) c ( k ) x ( k ) z ) 因为 u ( k ) c ( k ) x ( k ) 一 ，( 尼) c ( ) e 。r ( 七) ) = ( u ( j | ) 一 ，( ) ) c ( j ) e 爿( t ) ) + u ( 七) c ( 尼) ( x ( 后) 一e x ( i ) ) ) 又利用投影公式，便有 p r 叫 ( ，( ) ( 1 ( 尼) x ( 尼) z i ，) = r ，( 斤) ( 1 ( 膏) x ( | j ) ) + c o v ( ( ，( | 】 ) c ( i ) z ( 七) ，z ，) v a r z 一j ) ( z 一一e z 。一，) ) = a 彳( 五) ( 1 ( 五) e x ( 七) + 彳( 五) c ( j i ) c o v ( x ( 七) ，z 。一，) v a r 一7 z 一，) ( z 一一e z 。一，) ) = m ( k ) ( ( 女) 肖( 女k 一，) 其中 一y ( 膏k d = e 爿( 露) + e o v ( x ( k ) ，z 。，) v a r 一 z 。一， ( z 。一，一e z 一， ) 因此我们得 z ( k k 一，) = m ( k ) c ( k ) x ( k k 一，) 我们定义新息为 z ( ，一1 ) = z ( ) 一z ( ，一，) = z ( ，) 一p r o u ( ，) ( 1 ( ，) x ( j ) z ( d ) ，z ( ，一，) = z ( ，) 一m ( 7 ) ( 1 ( ，) ( ，一，) 1 0 兰望堂堂垂丝堂皇墨篓塑垦垡堡立一 根据投影定理m “，我们知道，当k ，时，有 e 2 ( k k 一，) 三7 ( ，j 一例= 0 ( 2 3 4 ) 叉 戈( t k f ) ：x ( 女) 一2 ( k k 一，) ( 2 3 5 ) 所以对于k ， e 1 2 ( k k i ) 2 7 ( ，一例 = f z ( 女) 一2 ( k k 一，) 】乞7 ( ，) ) = e f f ，( 女) ( ( 女) x ( t ) + 矿( ) 一m ( k ) c ( k ) k ( k k 一0 1 2 7 ( j j 一，) ) ：f a m ( 女) c ( 女) 牙( 女一，) + ( u ( 膏) 一m ) ) c ) x ( 女) + 矿 ) 谚7 ( j ，一 = e f ，( 七) ( 1 ( 七) x ( 七) m ( ) ( 1 ( ，) 碧( ，一，) + ( ( ，( ) 一a ，( ，) ) ( 1 ( ，) x ( ) + 矿( ，) 7 【a 7 ( 女) ( ( 膏) ( 七) m ( ，) ( 1 ( ) 戈( ，一，) + ( c ，( ，) 一 彳( ，) ) c ( ，) x ( ，) + 矿( j ) 】7 ) = 0 在这里，我们用到了( 2 3 4 ) 与条件6 ) 。同理，当k 时，有 e 2 ( k k 一，) 三7 ( j j m = 0 当 = 时，我们定义 r l ( 女) = e 乞( k k 一1 ) 2 7 ( k 一，) 则有 r 。( ) = e z ( k k ，) 三7 ( k k j ，) ) ：8 m ) ( ( 女) ( t k 一，) + ( u ( ) 一m ) ) c ) x ) + 矿( t ) 】 彳( ) ( 1 ( k ) 2 ( k k 一，) + ( u ( 女) 一， 彳( 女) ) c ( 七) x ( i ) + 矿( i ) 】7 ) = 彳( 七) ( 1 ( k ) p ( k k 一) c 7 ( | ) ，( 七) + e ( e ，( 女) 一( 女) ) c ( 女) ( _ ) x 7 ( k ) c 7 ( 女) ( z ，( 女) 一 彳( 女) ) ) + 月( 七) = 五7 ( 女) l c ( k ) p ( k k i ) c 7 ( ) 】+ ( t ) c ( t ) s ( ) ( ? ( j i ) + r ( t ) ( 2 3 6 ) 式。向代表矩阵对应元素相乘，其表示的意义为 爿2 ( “。) 。、b = ( 6 。) ，a b = ( 口u b u ) 。 厨( 女) ( ) 如条件5 ) 定义。 i i ，我们先给出一个定理，然后给出它的证明： 定理2 3 1系统如式( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 所示，如果条件1 ) 到6 ) 全部 童璺塑堂查兰堡主兰丝堡茎 满足，且n ( d ) ， m ( ) ) ( ) ， q ( 女) 及 月( ) ) 均已知，则我们有下列的多通 道带乘性噪声系统的一步预测最优滤波递推算法： 状态一步预测估计 贾( ，) ：爿。( 女，k 一1 ) 2 ( k 一1 k 一2 ) + a ( k ， 一) k ( 七一0 z ( k 一，) ( 2 3 7 ) 其巾 戈( 0 ) = e i x ( o ) a 。( 女，一，) ：