（轮机工程专业论文）多元有理函数域f（z）上电网络结构能控性研究.pdf

武汉理工大学博士学位论文 摘要 目前，在线性系统的设计中，系统运行的安全性、可靠性日益受到重视， 而系统的稳定性是系统安全运行的重要条件之一。能控能观性与稳定性有着 密切的联系：只要系统是能控能观的，就一定能使其稳定目前，实数域上 的系统的完全麓控性理论研究已经很成熟了，它用于分析系统结构和物理参 量的值共同决定的那些性能是有效的，然而，在工程中，由于实验条件或者 制造工艺上的限制和观测上的误差，以及人为地对数据的近似处理，一个实 际系统往往其结构是确定的，而参数只是近似的甚至未知的，实数域上的系 统不便于分析物理系统的结构性质，如结构能控性。如果一个线性系统的所 有物理参数被视为相互独立的参数变量，而不是恒定的实数值，那么这个系 统是心) 上的线性系统，它的能控性与系统参数取值无关。一个只z ) 上的系 统是能控能观的，即结构能控能观的，则意味着实数域上该系统实际上总是 能控能观的。本文以最典型的一类物理系统一电网络为研究对象，研究了 f ( 2 ) 上电网络的结构能控性问题，获得了一些只z ) 上线性电网络的结构特性 的分析结果。论文主要由以下几部分组成： 1 心) 上系统的频率域的结构能控能观性理论和时域的结构能控性理 论。 2 图论、电网络理论，只z ) 上的系统理论、矩阵理论间交叉研究在电网 络结构分析上的综合应用。 3 电网络的系数矩阵( 或特征多项式) 的互质性、可约性与网络可断 性、网络电气可断性的关系的研究及结论。 4 无源电网络和有源电网络的足z ) 上能控性研究和结论。 本文的主要贡献在于： 1 在探讨了有源网络解存在的结构条件下，推导了适合研究网络结构 特征的多元有理函数域上电网络的范式状态方程：如果不存在仅由独 立电压源和电容器构成的回路，且不存在仅由独立电流源和电感器组 成的割集，则无论是有源网络还是无源网络，在网络的范式状态方程 武汉理工大学博士学位论文 童= a x + b e 中，矩阵4 ，曰都有统一的结构。 2 以无源电网络为研究对象，用新方法如只z ) 上矩阵图的描述和频域 方法重新分析了网络的状态方程的系数矩阵( 或特征多项式) 的互质 性、可约性与网络可断性的关系，获得了r l c 网络和r l c m 网络的 特征多项式d e t ( s i - a ) 在，k ) 【s 】上可约、或状态方程系数矩阵彳可约的 充分必要条件，研究了心) 上r l c 网络和r l c m 网络的能控性问题， 获得了若干无源网络结构能控的结论。 3 率先将状态方程的输入可达、矩阵阻用的c o a t e s 图、流图传输系数 等概念和方法引入到对只z ) 上有源电网络的研究，研究了网络状态方 程的系数矩阵的可约性与网络电气可断性或电气可达之间的关系，研 究了心) 上有源电网络的能控性问题，获得了状态方程的系数矩阵m 明可约的充分必要条件、f 上有源电网络系统的结构能控性判据等 新的结论。同时将其用于实际的线性定常控制系统结构能控性分析之 中，为从更一般和更系统的角度研究线性定常控制系统独立变化的参 量和结构间的关系提供了一条有效的途径。 关键词：多元有理函数域；状态方程；可约性；可断性；结构能控性 本项目受国家自然科学基金项目“多元有理函数系统结构能控能观性研究” ( 6 0 5 7 4 0 1 2 ) ，国家自然科学基金项目“用f ( z ) 上矩阵研究电网络的结构性质” ( 5 0 1 7 7 0 2 4 ) ，国家教育部博士点基金项目“多元有理函数系统结构能控能观性研究” ( 2 0 0 3 0 4 9 7 0 0 5 ) 资助 n 武汉理工大学博士学位论文 a b s t r a c t g r e a ti n t e r e s t sh a v eb e e np u to nt h es e c u r i t ya n dr e l i a b i l i t yo fs y s t e m o p e r a t i o n si nt h ed e s i g n sf o rl i n e a rs y s t e m sa tp r e s e n t t h es t a b i l i t yo ft h e s y s t e m i so n eo ft h ei m p o r t a n tc o n d i t i o n sf o rs y s t e m o p e r a t i o ns a f e l y c o n t r o l l a b i l i t ya n do b s e r v a b i l i t ) rh a v ec l o s e l yr e l a t i o n sw i t hs t a b i l i t y ：i ft h e s y s t e mi sc o n t r o l l a b l ea n do b s e r v a b l e ，i tw i l lb es t a b l eu n q u e s t i o n a b l y n o wt h e c o n t r o l l a b i l i t yt h e o r yi nl i n e a rs y s t e m so v e rt h ef i e l dro fr e a ln u m b e r sh a sb e e n h e a v i l ys t u d i e d t h i st h e o r yi se f f i c a c i o u sf o ra n a l y z i n gt h ec h a r a c t e r sw h i c ha r e d e t e r m i n e d b y t h ev a l u eo fp h y s i c a l p a r a m e t e r s a n d s y s t e ms t r u c t u r e ， n e v e r t h e l e s sap r a c t i c a ls y s t e mh a sad e f i n i t es t r u c t u r ea n dh a sa p p r o x i m a t e ， e v e nu n k n o w np a r a m e t e rs o m e t i m e sb e c a u s eo fal i m i tt oe x p e r i m e n tc o n d i t i o n s ， o ral i m i tt om a k i n gt e c h n o l o g y , t h ee r r o r so fo b s e r v a t i o n i ti si n c o n v e n i e n c e f o ral i n e a rs y s t e mo v e rt h ef i e l dro fr e a ln u m b e r st oa n a l y z et h es t r u c t u r e c h a r a c t e r so fap h y s i c a ls y s t e m ，s u c ha ss t r u c t u r a lc o n t r o l l a b i l i t y i fa l lp h y s i c a l p a r a m e t e r so ft h es y s t e ma r er e g a r d e d 弱m u t u a l l yi n d e p e n d e n t l yv a r i a b l e p a r a m e t e r s ，n o ta s r e a lc o n s t a n t s ，t h e ni ti sas y s t e mo v e rf t h e c o n t r o l l a b i l i t yo ft h es y s t e mo v e rf e z ) i si n d e p e n d e n to ft h ev a l u e so fi t s p h y s i c a lp a r a m e t e r s t h ec o n t r o l l a b i l i t ya n do b s e r v a b i l i t yo fas y s t e mo v e r 心) a l w a y sm e a a st h ec o n t r o l l a b i l i t ya n do b s e r v a b i l i t yo ft h es y s t e mo v e rt h ef i e l dr o fr e a ln u m b e r s i nt h i sp a p e rw es t u d yt h es t r u c t u r a lc o n t r o l l a b i l i t yo fak i n do f at y p i c a lp h y s i c a ls y s t e m - - t h ee l e c t r i c a ls y s t e mo v e rf ( z ) s o m ea n a l y z i n g r e s u l t so fs t r u c t u r a lc h a r a c t e r sf o rl i n e a re l e c t r i c a ln e t w o r kh a v eb e e nf o u n d t h ed i s s e r t a t i o ni sm a i n l yc o m p o s e do ff o u rp a r t s 1 t h es t r u c t u r a lc o n t r o l l a b i l i t ya n do b e r v a b i l i t yt h e o r yo ft h es y s t e mo v e r 同i nf r e q u e n c yd o m a i na n di nt i m ed o m a i n 2 s y n t h e t i c a la p p l i c a t i o n so fe l e c t r i c a l s t r u c t u r a l a n a l y s e s i nc r o s s r e s e a r c h e sb e t w e e ng r a p ht h e o r y , e l e c t r i c a ln e t w o r kt h e o r y s y s t e m t h e o r yo v e r 心) a n dm a t r i xt h e o r y 3 t h er e s e a r c ha n dc o n c l u s i o na b o u tt h er e l a t i o nb e t w e e nc o p r i m em a t r i x ， l 武汉理工大学博士学位论文 r e d u c i b i l i t yo ft h ec o e f f i c i e n tm a t r i x ( o rc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n ) o ft h e e l e c t r i c a ln e t w o r k a n dt h es t r u c t u r a l s e p a r a b i l i t ya n dt h e e l e c t r i c s e p a r a b i l i t yo ft h en e t w o r k 4 t h er e s e a r c ha n dc o n c l u s i o na b o u tt h es t r u c t u r a lc o n t r o l l a b i l i t yo v e r 只力 f o rt h ep a s s i v ee l e c t r i c a ln e t w o r ka n da c t i v ee l e c t r i c a ln e t w o r k t h em a i nc o n t r i b u t i o n so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 a f t e rd i s c u s s i n gt h es t r u c t u r a lc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo ft h ea c t i v e n e t w o r ks o l u t i o n s ，t h es t a t ee q u a t i o n si nn o r m a lf o r mo v e r 心) o f e l e c t r i c a ln e t w o r kw h i c ha r es u i t e df o rs t u d y i n gt h ec h a r a c t e ro fn e t w o r k s t r u c t u r ea r ed e r i v e d i ft h e r ei sn ol o o pc o n t a i n i n go n l yc a p a c i t o ra n d i n d e p e n d e n tv o l t a g es o u r c e s ，a n di ft h e r ei sn oc u t s e tc o n t a i n i n go n l y i n d u c t o r sa n di n d e p e n d e n tc u r r e n t s o u r c e s b o t hm a t r i x 彳a n dbi n j = a x + b e ，as t a t ee q u a t i o ni nn o r m a lf o r m ，h a v ea l i k es t r u c t u r e ， w h e t h e rf o rp a s s i v en e t w o r ko ra c t i v en e t w o r k 2 t a k i n gt h ep a s s i v en e t w o r ka sar e s e a r c ht a s k ，n e t w o r kg r a p ht h e o r y , m a t r i xt h e o r ya n ds y s t e mt h e o r yo v e r 只z ) e t ca r eu s e dt oa n a l y z et h e r e l a t i o nb e t w e e nc o p r i m em a t r i x ，r e d u c i b i l i t yo f t h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo f t h es t a t ee q u a t i o na n dt h es t r u c t u r a ls e p a r a b i l i t yo ft h en e t w o r kf o rt h e f i r s t t i m e ，a c q u i r i n g s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rr l c n e t w o r ka n dr l c mn e t w o r kt h a tc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nd e t ( s i - a ) i s r e d u c i b l ei n 风z ) 吲o rc o e f f i c i e n tm a t r i x 彳o ft h es t a t ee q u a t i o ni s r e d u c i b l e t h e na c c o r d i n gt ot h e s et h e o r e t i cr e s u l t s ，t h es t r u c t u r a l c o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e m so fr l cn e t w o r ka n dr l c mn e t w o r ko v e r 月 a r es t u d i e d ，a c q u i r i n gs e v e r a ls t r u c t u r a lc o n t r o l l a b i l i t yc o n c l u s i o n so f t h ep a s s i v en e t w o r k 3 t a k i n gt h ea c t i v en e t w o r ka sar e s e a r c ht a s k ，t h ei n p u ta c c e s s i b i l i t y , t h e c o a t e sg r a p ho fm a t r i x 研b 】a n dg r a p ht r a n s m i s s i o ne t ca r eu s e dt o a n a l y z et h er e l a t i o nb e t w e e nr e d u c i b i l i t yo ft h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo ft h e s t a t ee q u a t i o na n dt h ee l e c t r i cs e p a r a b i l i t yo ft h en e t w o r ko rt h ee l e c t r i c a c c e s s i b i l i t yo ft h en e t w o r kf o rt h ef i r s tt i m e ，a c q u i r i n gs u f f i c i e n ta n d 武汉理工大学博士学位论文 n e c e s s a r yc o n d i t i o n st h a tc o e f f i c i e n tm a t r i x 阻b 】o f t h es t a t ee q u a t i o ni s r e d u c i b l e n e t w o r kg r a p ht h e o r y , m a t r i xt h e o r ya n ds y s t e mt h e o r y o v e rf e t ca r eu s e dt od e r i v et h es t r u c t u r a lc o n t r o l l a b i l i t yc r i t e r i o no f t h ep a s s i v en e t w o r ko v e r ，f o rt h ef i r s tt i m e t h e na c c o r d i n gt ot h e s e t h e o r e t i cr e s u l t s ，t h es t r u c t u r a lc o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e m so ft h ea c t i v e n e t w o r ko v e rf a r es t u d i e d ，a c q u i r i n gs e v e r a ls t r u c t u r a lc o n t r o l l a b i l i t y c o n c l u s i o n so f t h ea c t i v en e t w o r k m e a n w h i l et h e s ec o n c l u s i o n sa r eu s e d t oa n a l y z et h es t r u c t u r a lc o n t r o l l a b i l i t yo ft h e p r a c t i c a l l i n e a r t i m e - i n v a r i a n tc o n t r o ls y s t e m i tp r o v i d e sa ne f f e c t i v ew a yt os t u d yt h e r e l a t i o nb e t w e e nt h ei n d e p e n d e n tv a r i a b l ep a r a m e t e ra n dt h es t r u c t u r eo f t h el i n e a rt i m e - i n v a r i a n tc o n t r o ls y s t e mf r o mt h em o r ec o m m o na n d m o r es y s t e m i cp o i n to fv i e w k e yw o r d s ：t h ef i e l do fr a t i o n a lf u n c t i o n si nm u l t i - p a r a m e t e r s ；s t a t e e q u a t i o n ；r e d u c i b i l i t y ；s c p a r a b i l i t y ；s t r u c t u r a lc o n t r o l l a b i l i t y v 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方以外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：塑e t签名：! ! ：! ! 关于论文使用授权的说明 期： 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权 保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印和其他复制手段保存论文。 簋立籼、孙 签名：塑 一名：勉隰哗 武汉理工大学博士学位论文 1 1 问题的提出 第1 章引言 很多实际系统( 工程系统、生物系统、经济系统、社会系统等) 都可用线 性( 控制) 系统模型近似地描述，进而用线性系统理论的研究方法来解决问题【1 - 6 1 ， 如以连续工作为特征的电力系统：电力系统的安全稳定控制，特别是紧急控制 是典型的非线性控制系统问题，用微分动力系统方法，通过对动力系统微分结 构进行分析，可以在一定范围内将非线性控制问题转化为线性问题来处理尽 管常常可以用成熟的线性系统理论的研究方法来解决实际问题，但随着科学技 术的飞速发展，人们对实际系统的要求愈来愈高，系统本身也越来越复杂、正 朝着大型化和集成化的方向发展，对线性系统理论的研究也就提出了具有实际 意义的新课题：如何选择控制结构? 如何设计系统? 对于系统设计，传统的方法往往基于设计人员的经验、启发式知识通过凑 试，从各个操作单元控制系统的分别设计开始，最后组合成整个过程的控制系 统，很少将系统作为一个整体来考虑，进行系统全局性的控制系统设计。理论 和实践告诉我们：对于复杂系统，针对单元的系统设计不能保证系统的稳定操 作，同时，难以顾及对产品质量、安全、环境保护方面的要求可以认为，一 个性能优良的控制系统是各个层次上对各种约束及要求的权衡，也是各个层次 上控制系统集成的结果。此时，控制系统的设计，最基本的问题不是发展更复 杂的控制，给出更复杂的控制规律，而是选择一个良好的控制框架，这样它不 仅使系统结构简单，而且有能力获得更高的控制性能。 我们不妨以电力系统为例。电力系统的主体结构有电源、电力网络和负荷 中心电源指各类发电厂、站，它将一次能源转换成电能；电力网络由电源的 升压变电所、输电线路、负荷中心变电所、配电线路等构成。它的功能是将电 源发出的电能升压到一定等级后输送到负荷中心变电所，再降压至一定等级后， 经配电线路与用户相联。电力系统中网络结点千百个交织密布，有功潮流、无 功潮流、高次谐波，负序电流等以光速在全系统范围传播。它既能输送大量电 能，创造巨大财富，也能在瞬间造成重大的灾难性事故。为保证系统安全、稳 定、经济地运行，在考虑电力系统规划时，必须将电力系统作为一个整体来考 虑，在系统的不同层次上依不同要求配置各类自动控制装置与通信电网络，组 成信息与控制子系统，使它成为实现电力系统信息传递的神经网络，使电力系 统具有可观测性与可控性，从而保证电能生产与消费过程的正常进行以及事故 武汉理工大学博士学位论文 状态下的紧急处理。如果不全盘规划电力系统使系统运行的安全性、可靠性不 能保证，那么将产生一系列的系统稳定性问题，而系统不稳定导致系统发生故 障造成的损失是十分巨大的。以2 0 0 3 年8 月1 4 日美加大停电事故为例，总停 电时间约2 9 小时，波及5 千万人，直接损失1 0 5 亿美元，问接损失约3 0 0 亿美 元。 因此，当我们选择一个系统结构、从事系统设计时必须明确：一个能正常 工作的系统首先必须是可靠的、稳定的系统理论已经证明【3 】：能控能观性与稳 定性有着密切的联系，即如果所设计的系统是结构能控能观的，即使它有不稳 定的模式，也可以通过反馈补偿使其补偿后的系统成为稳定的；反之，若系统 有不稳定的模式不能控不能观，则不可能用反馈使其稳定。所以只要系统是结 构能控能观的，就一定能使其稳定。 鉴于所选课题，本文主要对电网络结构能控性问题进行探讨和研究 1 1 1 实数域上系统能控性及其局限性 一个线性系统在给出了系统状态空间的描述后，系统的运动特性在输入给 定的条件下，完全取决于系统的初始状态。状态变量是系统的内部变量，能否 通过系统的输入这种外部变量来建立或确定系统的状态，这是系统能控问题所 要研究的内容，即：研究系统这个“黑箱”的内部状态能否由输入来加以影响和控 制如果系统内部的所有状态的运动能够由输入来加以影响和控制，就称系统 是完全能控的，否则就称为不完全能控的或不能控的。 具体来讲，实数域上的能控性问题研究的内容就是考察线性定常系统在控 制作用u ( o 的控制下，状态矢量x ( o 的转移情况：考虑一动态线性定常系统，其 状态方程可写成如下形式 x = - a x + b u 。 ( 1 1 ) 其中，, i f 和缸分别是状态向量和输入向量，彳、口都是实数域上的矩阵。如果存 在一个连续的输入u ( o ，能在有限时间区间 t o ，明内，使系统由某一初始状态r o ) ， 转移到指定的任意终端状态x ( t h ，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是 能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的 根据k a l m a n 提出的“完全能控性印棚，当且仅当下列等价条件之一满足时， 式( 1 1 ) 所描述的系统似，固是完全能控的。 a 对于任意实数域上的非奇异矩阵r ，系统( 翩f ，r b ) 是完全能控的； b n n p 能控性矩阵陴，4 曰，4 “】的秩为刀； c 不存在彳的左特征向量p 使得p x b - - 0 ： d n x ( n + p ) 复阵叫啊i 明。对彳的每一个复数域上的特征值a 之秩，都是 2 武汉理工大学博士学位论文 刀。 实数域上的系统的完全能控性理论( 连同实数域上的完全能观理论) 用于 分析系统结构和物理参量的值共同决定的那些性能是有效的，并且已成功应用 于系统分析和设计的许多方面 9 - 埘，但是，在工程中，由于实验条件或者制造工 艺上的限制和观测上的误差，以及人为地对数据的近似处理，一个实际系统往 往其结构是确定的，而参数只是近似的甚至未知的，实数域上的矩阵( 元素都 是实常数的矩阵) 不便于分析物理系统的结构性质【1 1 d 2 l ，如结构能控性。以图 1 1 所示物理系统( i 也c 电网络) 和图1 2 所示的r c 电网络为例。 v e r i 在图1 1 中，选善= 【 h 屯】，。和是分别加在电容。上的电压和电感 童= 血+ 口吃i ( 1 2 ) 书卜锷祷铲 i , b - - 赢n ， 扛l - l ，厶一坐丛望_ 选坠丝生型妻坠bi 1 3 ) l 1 ( 墨+ 是x 马+ 墨) 上ljl ( 焉+ 局x 琏+ 墨) 厶j 对于这一给定结构的物理系统，只有当所有的物理参量c l ，厶，墨，垦，焉和墨取 值时，彳和曰才都是实数域上的矩阵，系统才是实数域上的系统，此时如果 r 2 r 3 - r l r 4 = o ，那么，能控性矩阵 户陴删= o ，r a n k 陋彳明= 0 ，系统 ，回在实数域 上是不能控的；但是，只要r 2 r 3 - r i r 4 o ，则无论q ，上i ，g ，足，墨和蜀怎样取值， m n k b 4 明= 2 ，系统( 1 2 ) 在实数域上总是能控的。 图1 2r c 电网络 在图1 2 中，系统的状态变量是电容c l 和c 2 上的电压幻1 和l c 2 ，村为输入 3 武汉理工大学博士学位论文 电流源，y 为输出信号。选x = u c 。：l ，则 童：l 。3 ( 2 r g ) 0u1 ( 2 r g ) i 材 ( 1 4 )ii 、 l 0 1 ( g r ) j l 0 j 对于给定的电路结构，电容c l 上的电压可以通过电流源输入“将其从初始 状态【，c l ( o ) 转移到任意的目标值，而电容c 2 上的电压，则无论如何变化，都 不能对其产生任何影响从能控性矩阵来分析， 乒陋彳司，无论电路参量取什么 值，都有r a n k m = - i ，所以，系统( 1 4 ) 在实数域上总是不能控的 上述两个例子说明：系统的能控性分析结果取决于两者：系统的( 物理) 结构和物理参量的值，而从k a l m a n 的实数域上的完全能控性出发，我们无法判 断系统结构单独的作用是什么? 我们无法知道系统不满足完全能控条件到底是 由于结构上的原因还是由于参数选择不当引起的。对于大型系统( 状态变量工 的维数较大) ，由于实际的参量总存在误差，k a l m a n 的完全能控性的判据用起 来很不方便。所以说，对于总是存在误差的实际系统，如果从k a l m a n 的完全能 控性出发，无法确定它是否完全能控。这时结构能控性的概念使得能控性的意 义从实际的观点来看更有意义 1 1 2 结构能控性的研究进展及存在的问题 为了研究系统的结构性质，让我们回顾一下几个具有代表性的结构能控性 定理和判据。 l i n 在1 9 7 4 年首先用图论方法对单输入线性时不变系统引进结构和结构可 控性的概念【1 3 1 ，对结构矩阵和结构能控给出了2 个定义。 定义1 1 ：矩阵彳称为结构矩阵【1 4 1 ，如果它的元素或者固定为零，或者是任 意可变的，且这些可变参数彼此独立；系统剐，国称为结构系统，如果“，动 是有序的结构矩阵时；矩阵j 称为结构矩阵彳的取值矩阵，如果彳中的自由参 数取某些特定的值后就是j 。但a 称为j 的的结构矩阵指j 中不为零的元素变 为自由参数后得到的结构矩阵。 定义1 2 ：系统似，固称为结构能控的，如果有似，回的一个取值系统( 互，瓦) 为完全能控的。 显然，l i n 把结构系统似，动和欧几里德空间置”密切联系起来，这里一( 脚) 代表结构矩阵a ( 口) 中自由参数的个数。对于一个确定了的系统( 互，反) ，常用 且咖中的一个点p o 来表示。随后，l i n 用图论的方法提出了第一个结构能控性 判据，当时他考虑的仅仅是单输入线性系统，其结构能控性的主要成果可归纳 成以下定理，设a 和6 分别是露撑和n l 的结构矩阵。 定理1 1 下面的性质是等价的 4 武汉理工大学博士学位论文 1 结构系统翟，功是结构能控的 2 似，研不具有形式i 和形式 3 似，印的图不包含“不可达点”( n o n a c c c s s i b l e ) 和“膨胀”( d i l a t i o n ) 4 “。两的图是由“掌”生成的 上述3 和4 的解释参见文酬n ，峋，这里解释一下形式i 和形式。 a 结构系统o ，刃具有形式i ，指存在置换矩阵尸使得 脚b 陉甜肛嘲l2 n s ， 其中d i m ( a n ) = k x k , l _ k s n 。 b n x m 矩阵oi 功具有形式i i ，指似；驴l ：i ，其中p l 和1 2 分别是k x m l 吒j 和( n - k ) x m 的( 硷1 ) ，且a 中至多只有知1 个非零列向量。 1 9 7 7 年，l i n 把他的图论推广到多输入的情形【1 6 1 ，后来1 9 8 1 年h i k o k a z u m a y e d a 用图论的方法也做了证明1 1 7 】。 定理1 - 2 ：系统似，功是结构能控的，当且仅当“，功的图是“众掌”( c a c t i ) 生成的。 这里，“众掌对应的系统是结构能控的，而且若叫，助结构能控，它的图中 就不能含有“不可达点”和“膨胀”图论的概念直观，使用也方便，特别是在设计 系统的结构时，通常在一个图中寻找一个“膨胀”或“不可达点”时比较容易。 1 9 7 6 年，r o b e r tws h i e l d s 和jb o y dp e a r s o n 用代数方法得到了多输入线性 系统结构能控的代数判据【阍 定理1 3 ：系统，功是结构能控的，当且仅当矩阵豆的秩等于矿，一为方阵 a 的阶数，豆的定义如下 r = bl o 卅 oo o oo 8l 0一爿 oo o o b l oo 00 o o o一占 ( 1 6 ) 其中，= i ，百的含义见定义1 1 ，i 为单位矩阵。 1 9 7 6 年kg l o v e r 和lm s i l v e r m a n 用系统本征值的性质对结构不能控做了 简单的证呀埘。在证明中他们还得到了一个很重要的结论。 定理1 4 ：设结构矩阵a ，四由 止r 珈= 嘲 n 7 ， 给出，其中4 笠和协分别是 一d ( n 固和( 开七) ，的，假如a 2 2 ，历) 和0 t i ，0 1 2 ， b o ) 都是结构能控的且p g ( a i i ) = 嘲则结构系统口，回是结构能控的。这里p g 口1 1 ) 5 武汉理工大学博士学位论文 表示结构矩阵彳n 的一般秩( g e n e r i cr a n k ) ，即4 l i 中的自由参数在参数空间中的 变化使得a l l 能取得的最大秩数 定理1 5 ：下面三个命题等价 如似，动结构可控 b 系统输入可达，且翻；西一般秩为斗 c “，研导出的有向图g 研，功可由一个多输入仙人掌( m u l t i i n p u t c a c t i ) 扩 张而成 m a y e d a 1 7 1 ，y a m a d a 2 1 1 以及l i n n e m a n n 2 2 1 分别对上述三个等价命题之间的关 系作了严密的证明。 文献 1 9 1 把a ，国矩阵的可约条件与系统的一般能控性联系起来，揭露了系 统结构能控的本质，提出了结构能控性判据，文献 2 0 l 从结构系统的源”、“汇”、 “渡”和“耦合”这些图的概念以及多项式矩阵入手，研究了系统的完全能控和结构 能控；文献 9 8 - 9 9 1 采用类仙人掌的概念研究系统的结构能控性，并取得了一些 成果，文献 2 3 ：2 4 定义并研究了最小结构能控和强结构能控，文献 2 5 1 给出了多 输入多输出系统的强结构能控性的判据，这里就不一一列举了 显然，自从l i n 首次提出了结构能控性概念后，许多学者提出了多种结构能 控性判据 2 6 - 2 9 1 ，对l i n 的理论进行了发展和完善。由于结构能控性理论反映了控 制机构与被控制对象相匹配的结构和参数特性能够解决利用输入控制信号对 系统状态实现控制的结构问题，因而，这一理论也被许多大系统控制论所引用 0 0 - 3 3 1 但是，必须注意：这些学者和大系统理论所谈论的结构能控性，都是针 对l i n 的结构系统而言的，即前提是“线性系统的系数矩阵中的元素或者固定为 零，或者可以任意变化而且自由参数相互独立”这样的假定具有一定的实际意 义，然而，一般的工程实际系统往往不是这样，往往是某些参数间存在一定的 制约关系，并且参数的变化范围也不是随意的，常受到某些约柬。 对于参数变化范围受约束的情形，如果自由参数相互独立，参数变化范围 为r “中的某个子集s ，即参数只能在s 中取值，我们可以定义喀上的系统是 结构能控的概念鲫，当s 是r ”中某个开集的稠密子集，特别s 就是旷”的一 个非空开集时，前面关于矗”。上的系统结构能控性的判据仍然适用，但是，如 果s 是r 咖中的一般子集时，问题就要复杂了 当系统参数间存在依赖关系时，如图1 1 所示的电网络系统，在系数矩阵 和丑中，吨i 勘和幻的变化都不是相互独立的，前面关于结构能控性的定义和 结论就不再适用了该如何来讨论这个问题呢? 还有就是实际系统那些固定不 变的元不一定就是零，这时又如何来研究系统的结构能控性呢? 特别是系统的 结构矩阵a ，b 又如何来定义呢? 武汉理工大学博士学位论文 为了探索系统结构的作用，继l i n 提出的结构化矩阵后，出于物理上的和数 学上的各种考虑，很多研究者又提出了多种结构矩阵：文献1 3 5 3 7 1 引进了元素 是独立参量的一次多项式的矩阵( o n e - d e g r e ep o l y n o m i a lm a t r i x ) ， 如一g * ( ：牡( ：o ) = ( 毛掣= 1 ) ； “s ， 文献【3 8 ，6 6 】提出了一种列结构矩阵( c o l u r a n - s u u c t u r e dm a t r i x ) ，这种矩阵的每一 列元素中含有一相同参量因子，而不同列中的参量因子是相互无关的， 如：一：f 强。21 ：( 1 ，9 ) t , 2 z i4 z z ) 文献【3 9 ，4 0 ，7 3 】定义并研究了混合矩阵( m i x e dm a t r i x ) 胆q + l 这里r 的非零元 素在g 的元素所属的域上是代数独立的， 如：= q + r = ( ：) + ( 君芝 = ( j 乏 ； ， c ，。， 文献 6 7 1 定义并研究了半结构矩阵，如果一个矩阵的元除固定零元和可独立取值 的元外，还有某些元取确定的非零实数值，则称该矩阵为半结构系统， 如：彳：降：1 ( 1 1 1 ) 乃z 上述结构矩阵的研究都有重要的数学意义，但由于其定义的结构矩阵不能 完全描述物理系统( 如图1 1 所示电网络系统) ，所以难以直接用于研究物理系 统的结构性质( 如：结构能控性) 1 1 3 多元有理函数域上系统能控性 针对结构能控性研究中出现的问题，上世纪9 0 年代，武汉理工大学鲁凯生 教授首次提出用多元有理函数矩阵r f m ( r a t i o n a lf u n c t i o nm a t r i x i n m u l t i - p a r a m e t e r s ) h l 】描述系统的系数矩阵，把系统描述基于多元有理函数域上。 设毛，z 。表示g 个独立参量( 或说变量：v a r i a b l e s 、未定元：i n d e t e n n i n a t e s ) 而不是参数( 常数、数值) 。令z = ( 毛，z 。) ，r q 是z 的定义域( d o m e ) ，殿 也可说成是参量空问( p a r a m e t e rs p a c e ) 。令黝表示一切z l 一，z 。的有理函数构 成的域，【z ) 冈表示以只z ) 中的元为系数的卫的多项式环。若矩阵m 的每一元素 都是，中的元( 即是变量毛，z 。的有理函数) ，就称膨是z 的有理函数矩阵 砌m 或域k 力上的矩阵；若系统的系数矩阵都是r f m ，则称该系统为风z ) 上的 有理函数系统r f s ( r a t i o n a lf u n c t i o ns y s t e m ) 或域只z ) 上的系统。 鲁教授在文献t 4 1 1 提出用风z ) 上矩阵描述系统的系数矩阵，把系统描述基于 风：) 上以图i i 所示系统来说明。系统独立的参量应该是6 个物理参量 c 1 ，厶，焉，咒，焉和墨那么由( 1 3 ) 式和以上定义可知：实数域上的矩阵，s m ， 7 武汉理工大学博士学位论文 独立参量的一次多项式矩阵，c s m 和混合矩阵以及半结构矩阵都不能完全描述 这两个矩阵。而这两个矩阵都是r f m ，系统是只力上的系统，这里 z = ( 毛，气) = ( c l ，厶，胄i ，凡) 1 强m 之所以能描述物理系统而其他各种矩 阵不能是因为r f m 的概念是十分广泛的，而实数域上矩阵、s m 、一次多项式矩 阵、c s m 和混合矩阵以及半结构矩阵都可视为特殊的r f m 设( 1 1 ) 描述的是一，上的系统( r f s ) ，令 t = l _ 8a b 4 ”1 b i ( 1 1 2 ) 是系统的能控性矩阵。因为彳寥都是r f m ，所以r 的元素是：的有理函数。判 断风力上的系统能控性的一个代数判据是计算