一种反射式光栅光谱仪光学系统的复合形法最优化设计

文章编号 : 042727104 ( 2006 ) 06 20767207一种反射式光栅光谱仪光学系统的复合形法最优化设计韩磊 ,刘木清(复旦大学 光源与照明工程系 ,上海 200433)摘 要 : 探讨了复合形优化方法在光谱仪光学系统设计中的可行性和应用方法 . 以反射式光栅光谱仪光学系统为例 ,建立了优化数学模型 ,以焦平面像差极大值为目标函数 ,光学器件的参数 、物理尺寸和相对几何位置等为 约束条件 ,编写了优化程序 ,得出了最大像差为 0. 043 mm 的一组最优化方案 . 与专业设计软件作了对比 ,在某 些光学设计应用方面 ,复合形法的优化效果具有较高的实用性和优化效率 .关键词 : 光学系统 ; 光谱仪 ; 像差 ; 最优化 ; 复合形法中图分类号 : TP 202 + . 7文献标识码 : A光谱仪器光学系统的最优化设计指的是选取光学系统的各个光学元器件的适当的几何参数作为最优化的搜索变量 ,在一系列的几何尺寸和光学设计要求的约束下 ,寻求系统的目标函数 (设计要求的光学系 统性能参量 ,如像差 13 ,光学分辨率 4 , 5 ,光谱带宽 ,象元分辨率 ,焦平面上的弥散斑的分布和大小等 6 )的极小值 ,由此作为系统设计的重要依据 . 最优化的实际过程就是由给定的光学系统性能指标确定光学 系统最佳结构方案的过程 .传统的设计方法主要依靠设计师的工作经验 7 . 设计者运用一系列像差理论公式借助数值计算的方法评估系统各项关键指标 8 . 由于光学系统特有的复杂性 ,比如主光路的非同轴性 ,光学器件的非线性等 原因 ,传统设计方法不够直观 ,参量之间的相关性不够明确 ,效率较低. 专业光线追迹软件的成熟为设计者提供了前期计算机模拟和验证的可能 ,优化工具软件的出现也有助于提高设计者的工作效率. 遗憾的 是 ,未见有成熟的国内自主研发的专业光学设计和优化软件问世 .光学系统设计面临的问题之一是 :虽然计算机模拟光线追迹的方法能够帮助设计者了解方案的预期效果 ,但是系统的初期最优化方案不易得到 ,仍然依赖于设计者的经验 . 此外 ,国外专业软件的优化效率 难以保证 ,而且价格非常昂贵 .下文将要探讨一种可视化光学设计和最优化工具软件的初步方案 ,采用了复合形法作为最优化方案 的搜索方法 ,在提供初期最优化的系统级方案方面以及优化效率方面具有明显的优势 .1 原理与模型光学设计的目的是正确地选择光学系统的结构以满足特定的设计要求 ,最主要的是像差要求 . 光学 系统的成像像差总是存在的 ,问题是如何调整系统结构中的色散元件的形式 ,组成 ,尺寸大小和材料 ,以及 物镜的形式 ,焦距 ,视场角和它们的相互间距等 7 ,使得像差符合设计指标 . 下文以一个采用平面光栅的 二次反射光谱仪为例 ,详细介绍光学系统的最优化模型和复合形法的实现方法 .图 1为此光学系统的光路图 . 光源通过狭缝 S以近似点光源的方式发出一定孔径角的光线. 入射光 线经过凹面反射镜 O 1 (球面镜 )反射后变成近似平行光出射. 此平行光斜向入射到平面反射光栅 g发生收稿日期 : 2006209 229基金项目 : 2002年上海市科委重大攻关资助项目作者简介 : 韩 磊 ( 1981) ,男 ,硕士研究生 ;通讯联系人刘木清教授 ,硕士生导师 .768复 旦 学 报 (自然科学版 )第 45卷色散. 系统利用了光栅 g的 21级反射光线集. 不同波长的光线以不同角度出射 ,同一波长的单色光仍然以近似平行光的形式射向凹面反射镜 O2 (球面镜 ) . 同一波长的单色光经由 O 2凹面镜的反射后汇聚在焦 平面 p 上某一点附近 .理论上这些同一波长的光线将汇聚成一点 ,但由 于像差的存 在它 将 扩散 成一 个弥 散 斑 , 如图 3 所 示. 入射光的波长范围是 370 到 790 nm ,这是可见光光栅 光谱仪的设计指标要求 . 在这个波长范围内 ,笔者等 间距取了 10个不同波长的入射光作为代表 ,每一种波 长又采用了 10 条光线总共 100 条光线严格按照几何 光学定律计算出他们的追迹路径 .实际上在焦平面上的成像是连续分布的 ,红光波 段在最上面 ,紫光波段在最下面. 将焦平面上的成像 情况放大研究可得图 2. 图 3 所示的是波长为 460 nm 的单色光的弥散斑的分布图. 如果我们以 460 nm 的10条光线在焦平面上交点的等效重心为参考中心 ,考图 1 光学系统光路图F ig. 1 Op tica l p a th of a p ane l gra ting system察这 10条光线相对参考中心的位置偏移便可得如图4 所示的图表. 焦平面弥散斑的分布对光电信号的良好接收有着重要的直接影响. 因为系统采用的一维自扫描光电二极管阵列的几何尺寸是矩形紧挨排列的 ,几何形状过分变形的弥散斑分布不仅会带来相应的光信号的不一致性 ,而且会干扰相邻的通道 ,根据 瑞利准则 ,这将会降低系统的光谱线分辨率 ,从而影响光谱仪器的总体性能 9 . 所以在最优化搜索过程中 弥散斑的最大尺寸是设计师最关心的指标之一 .图 2 焦平面成像情况图F ig. 2 Foca l p lane d iagram图 3 波长为 460 nm 的单色光的弥散斑分布图F ig. 3 D isp e rsion spo t of the 460 nm monoch rom a tic ligh t将不同波长下的光线束所形成的弥散斑的最大直径一一求出后可得到不同波长下弥散斑最大直径的分布图 ,见图 5. 从图 5中可以发现不同波长下的弥散斑的直径的最大值出现在 370 nm 的单色光处 ,且随 着波长的增大弥散斑的直径逐渐递减 . 这告诉我们系统的最小光学分辨率将由紫光区的弥散斑的直径和 几何尺寸决定 .另外还需考虑的一点是这些弥散斑的等效重心在焦平面上的几何分布与波长的线性关系以及最大分 布长度. 这种分布可由图 6所示 . 前者将直接影响到阵列式光电探测器的像元与对应的波长之间的对应 关系 ,即波长定标函数的形式 ,因而过分非线性的的分布必将使后期的仪器波长定标变得复杂和误差增 大 ;后者直接决定了阵列式光电探测器件的几何尺寸 ,而器件的几何尺寸反过来往往 成为最优化搜索中 的约束条件之一.769第 6期韩 磊等 :一种反射式光栅光谱仪光学系统的复合形法最优化设计图 5 370790 nm 弥散班直径分布图 (图中可见 370 nm处可见 370 nm 处弥散斑直径最大 )F ig. 5 D istribu ting d iagram of the d iam e te r of d isp e rsion spo ts from 370 790 nm( The m axim um va lue app ea red a round 370 nm )图 4 460 nm 弥散班分布图F ig. 4 D istribu ting d iagram of d isp e rsion spo t a t 460 nm由以上分析可知 ,光学系统的最优化设计方法的目标函数和多个变量之间的存在隐式关系 ,而且还对这些变量有隐式约束条件 ,这些特点决定了传统的解析的最优化方法 不适用于求解这类问题 . 而复合形法能够解决多维有约束条件的求 极值问题 ,不仅能自动进行迭代优化搜索 ,而且保证了搜索结果符合 预设的约束条件 10 ,它是在单纯性法的基础上加以改进得到的. 在 实际问题中 ,目标函数可定义为光学系统的各种像差的加权平方和的 平方根值 . 每一个像差 ( fi ) 是若干个光 学器 件的 几 何参 数 (狭 缝位 置 ,光栅倾角 ,光栅常数 ,反射镜的焦距等 ) 的函数 . 这些参数就是最优化设计中的搜索变量 ( xi ) .所以目标函数可表示如下 :k1 / 2f ( x ) =2(w i fi ( x ) ).图 6 入射光波长与焦平面弥散等效重心分布线性关系 ( dm ax = 7. 446 mm )i = 1式中 x为 n 维向量 , 即 x = ( x1 , x2 ,T, xn ) , x 的定义域为n 维实, k.F ig. 6L inea r re la tion sh ip be tween thewave length of the inc iden t ligh t and the equ iva len t ba rycen te r of re sp ec tive d isp e rsion spo t in thefoca l p lane ( dm ax = 7. 446 mm )n空间 R . w i 为加权因子 , 由设计要求决定 , 0 w i 1, i = 1, 2,一般地 , 有约束的最优化问题的数学规划形式如下 :Tnm inf ( x )ai xi bigi ( x ) 0= ( x1 , x2 , xn ) 1 (反射系数 ) ;f) 检验 x( r) 是否为能行点 , 若不是则调整为能行点 (方法见下 ) ;( r)( r) ( h)g) 以 x( r) 代替 x( h) , 如果 f ( x( r) ) m ax ( f ( x( i) ) , 则将ih( r)x 向( r)x 收缩 , 直到 x 满足要求为止 ;770复 旦 学 报 (自然科学版 )第 45卷h) 复合形法迭代的终止条件是连续 q次满足 : f ( x( h) ) - f ( x( l) ) , 式中的 为给定的计算精度要求 , q一般取 3.2 ) 检验和调整能行点方法的步骤 :a) 如果点 x不满足显式条件 ai xi bi , 那么对其作一个微量 的移动调整 ;( 1 )( 2 )( s)( c)b ) 如果点 x不满足隐式约束条件 gi ( x ) 0, 则将 x向已知能行点 d, d, d的形心 x方s( c) 1 x + x ( c)( i)(N )向压缩 : x=d , x=.2s i = 1c) 重复步骤 a ) , 重新检验 x 是否满足显式和隐式约束条件 , 直到调整为能行点为止.2 计算实例与结果在以平面光栅的二次反射光学系统的最优化设计中我们采用在焦平面上的各个不同波长的单色光的 像差及所成弥散斑直径的的最大值 Pm ax作为目标函数 . 考虑到机械加工的精度约为 10m, 故模拟计算精 确到 m. 搜索变量为狭缝位置 xs , ys , 主轴光线倾角 O _m s, 狭缝出射光线张角 u, 第一凹面反射镜焦点位 置和焦距 Xo1 , Yo1 , f1 , 光栅位置 Xg , Yg , 光栅倾角 O _g, 第二凹面反射镜焦点位置和焦距 Xo1 , Yo2 , f2 , 焦平面 位置 Xp , Yp , 焦平面倾角 O _p中的任意数目的组合 . 搜索变量的初始值由设计经验给出 . 显式约束条件为 每一个搜索变量的取值范围是其相应的初始能行值的 10 % , 能行点调整量为各个搜索变量下边界或上边 界值的 1 % ; 隐式约束条件为弥散斑的等效重心在焦平面上的最大分布长度必须满足在 7. 2到 7. 4 mm 之 间 . 因为凹面反射镜的几何尺寸有一定要求 , 所以我们实际采用 10 个搜索变量进行最优化运算 , 数学规 划如下 :m in (m ax ( Pi ( xs , ys , O _m s,u, xg , yg , O _g, xp , yp , O _p) )i58. 68 xs 71. 72 mm (1 = 0. 6 mm )- 42. 416 ys - 34. 704 mm (2 = 0. 4 mm )- 25. 63 O _m s - 20. 97 (3 = 0. 25 )10. 8 u 13. 2 (4 = 0. 1 )58. 68 xg 71. 72 mm (5 = 0. 6 mm )76. 5 yg 93. 5 mm (6 = 0. 7 mm )58. 5 O _g 71. 5 (7 = 0. 6 )72 xp 88 mm (8 = 0. 7 mm )- 0. 1 yp 0. 1 mm (9 = 0. 001 mm )75. 195 O _p 91. 905 (10 = 0. 8 )7. 0 Dm ax 8. 0 mm (隐式条件 ), i = 1, 2, 10其中 , = 0. 001, q = 10, = 1. 3.采用基于对象的可视化编程语言 V isua l B a sic 6. 0 编写了模拟和优化程序. 光学系统最优化方案的初 始结构来自于设计经验 ,见图 7 ( a) ,像差为 0. 312 mm ,最优化过程完成后像差降至 0. 045 mm ,见图 7 ( b) . 这是一组实用的最优化方案.771第 6期韩磊等 :一种反射式光栅光谱仪光学系统的复合形法最优化设计图 7 一种可见光光谱仪的光学系统的初始方案和优化方案 (其中初始像差为0. 312 mm ,完成方案像差为 0. 045 mm )F ig. 7 In itia l sta te and fina l op tim ized sta te of the op tica l system of a visib le ligh t sp ec trom e te r( In itia l sta te abe rra tion = 0. 312 mm , fina l sta te abe rra tion = 0. 045 mm )为了进一步分析复合型最优化方法的特点 ,我们将其和专业软件 ZEMAX的设计方案做比较 .系统方案的初始值来源于经验性模型结构 ,见图 8 ( a) .孔径角 ,两个凹面镜的半径比 .0. 7 到 1. 1 m ,约束条件是 :光栅常数 ,工作波长要求是图 8 一种近红外光谱仪的光学系统的初始方案和复合形法优化方案(其中初始像差为 0. 229 mm ,复合形法完成方案像差为 0. 043 mm )F ig. 8 In itia l sta te and fina l op tim ized sta te by comp lex m e thod of the op tica l system of a nea r2infra2red sp ec trom e te r( In itia l sta te abe ra tion = 0. 229 mm , abe rra tion of fina l op tim ized sta te by comp lex m e thod = 0. 043 mm )采用复合形法优化算法的程序给出的一个最优解像差为 0. 043 mm ,见图 8 ( b) ,这是一个较理想的可行的最优化方案. ZEMAX 是 专业 光 学设 计和 光 线追 迹软 件 , 常 见用 于光 学系 统 的 追 迹 模 拟 和 优 化 工772复 旦 学 报 (自然科学版 )第 45卷作 11 . ZEMAX的参考结果结合设计师的经验给出了一个像差为 0. 038 mm 的优化方案 ,见图 9 ( a) ,焦平面点列图见图 9 ( b) . 可见 ,两者的差距已小于机械加工工艺的最小分辨能力 . 在同一台主流台式 PC 机 上试验 ,采用复合形法的整个最优化过程约耗时 2 m in;而采用 ZEMAX软件的单次优化过程长达 20 m in, 而且需要多次优化 ,结合设计师的经验 ,才能给出上述最优解 .图 9 ZEMAX 优化方案及其焦平面点列图 (像差为 0. 038 mm )F ig. 9 Op tim iza tion re su lt by ZEMAX and re levan t spo t d iagram on the foca l p lane( r)( i)复合形法的收敛条件是 f ( x) m ax ( f ( x) . 如果不满足前述条件 ,那么采用向已知能行点压缩的ih办法. 由试验可见已知能行点的选取非常重要 ,尤其是当系统设计中存在多个最优化组合结果时更是如此 . 如果在不同的最优化近似区域中选取了不同的能行点 ,那么在迭代过程中将会出现一定程度的振荡 现象 ,这将影响到收敛速度 . 试验发现 ,当收敛速度下降时 ,可重新设置初始值 ,继续实行优化搜索算法 , 即可提高搜索效率.初始能行点的选取对优化结果有一定的影响. 如果初始能行点集的选取局限在相对较小的范围内 ,那么迭代过程中的反射动作将不会有较大的试探空间 ,既优化结果可能更多地呈现出局部性 ,难以达到真 正的最优 . 初始能行点对应的目标函数值如果不很理想 ,那么复合形法的迭代运算的效率将会大大下降. 所以不推荐采用随机的能行点集而是依据经验采用一组相对较佳的能行点集.反射系数 的选取对复合形法的搜索效率和结果也有一定影响 . 笔者试验了 1. 2, 1. 3, 1. 5, 1. 8 等 几个不同的反射系数 , 发现较大的 值将导致相对较大的试探步伐 , 但影响收敛的速度 ; 而较小的 值下 的迭代虽然搜索方向正确 , 但是试探尺度偏小 , 导致相对较慢的收敛速度 , 甚至不能得出较好的最优化值. 参考文献 9 中推荐的常用值 = 1. 3确实是一个相对适中的反射系数 .实际的光学系统的设计中还要考虑反射光线的阻挡问题 , 光栅的其他级次的反射光谱的干扰 , 色散元 件的冷却所需的额外空间尺寸要求 , 杂散光的影响 , 以及光学器件的加工能力等因素. 这些又可以作为复 合形法的进一步的隐性或显性约束条件.3 讨论本算法给出的几组最优化解被用于可见光和近红外光栅光谱仪的光学系统结构设计中 ,并在实际应用中得到验证 ,实验表明这些优化方案达到或超过了设计指标 . 实验证明 ,复合形法在某些特定光学系统 结构设计方面具备了一定的实用性 12 ,达到了专业光学设计软件的优化性能水平 ,且优化效率较高 . 本 文提及的算法和程序实现方法在特定的光学系统设计中能够有效提供初步的最优化系统方案 ,为设计者 在筛选初期系统方案阶段提供实质性帮助. 结合光线追迹软件对初期方案进行验证和微调 ,光学设计工773第 6期韩 磊等 :一种反射式光栅光谱仪光学系统的复合形法最优化设计作的效率将得到有效提高 .参考文献 : 1 2 3 4 王永仲 . 航空工程复杂光学系统的计算机辅助设计 J . 航空学报 , 1994 , 15 ( 5 ) : 583 2584.王 琦 ,赵铭弟 ,孙晓光 . 光学透镜自动设计智能化的计算方法 J . 应用光学 , 2004, 25 ( 1) : 24 226.樊学武 ,陈荣利 ,刘 卜 ,等 . 一种成像光谱仪前置物镜的设计 J . 光学技术 , 2003 , 29 ( 4 ) : 498 2500.时善进 沈为民 顾华俭 ,等 . 紧凑型静态傅里叶变换光谱仪的工作原理与光学设计 J . 激光杂志 , 2000 , 21( 3 ) : 16 218.王 雷 . 一台可见 - 近红外瞬态光谱仪结构的设计 J . 分析仪器 , 2003 , 2: 14216.胡 松 ,温志渝 ,陈伟民 ,等 . 一种新型微小型光谱仪的设计 J . 压电与声光 , 2000 , 22 ( 6 ) : 363 2366.吴国安 . 光谱仪器设计 M . 北京 :科学出版社 , 1978.唐 奕 ,程海清 ,张子业 ,等 . 线阵 CCD 多通道光谱仪及其应用 J . 华中科技大学学报 (自然科学版 ) ,2002, 30 ( 10 ) : 96298.陈伟民 ,胡 松 ,温志渝 ,等 . 微小型光谱仪光谱带宽及象元分辨力的讨论 J . 压电与声光 , 2000 , 22 ( 3 ) :149 2151.张开明 ,顾昌鑫 . 计算物理学 M . 上海 :复旦大学出版社 , 1987.武旭华 ,朱永田 ,王 磊 . 高分辨率阶梯光栅光谱仪的光学设计 J . 光学精密工程 , 2003, 11 ( 5) : 446.高洪伟 . 复合形法在全息光学设计中的应用 J . 电光与控制 , 1995, 58 ( 2) : 34 239. 5 6 7 8 9 10 11 12 An O ptim um D esign of the O ptica l System of a ReflectiveGra ting Ba sed Spectrom eter Utiliz ing Con stra inedCom plex M ethod of O ptim iza tionHAN L e i, L IU M u 2q ing(D epa rtm en t of Illum ina ting Eng ineering and L igh t S ou rces, Fudan U n iversi