（应用数学专业论文）奇异摄动系统的几个问题的研究.pdf

中文摘要 奇异摄动系统的几个问题的研究 摘要 本文旨在研究带转点的指数式减小交换引理和三维奇摄动系统的周期 轨道和不变环面的分支交换引理是近十年几何奇摄动理论最重要的成果 之一，主要用于追踪慢流形附近的不变流形，在奇摄动系统的边值问题、 具有快慢变化的同宿异宿轨道、某些偏微分方程的脉冲行波解等方面具有 非常重要的作用本文将指数式减小的交换引理推广到带转点的情况近 年来，利用动力系统的分支理论与方法来研究奇摄动系统的分支现象已得 到较大的发展，由于奇摄动系统的特殊性，其分支理论与方法还有待进一 步的发展和完善本文将运用分支的相关理论和方法来研究具有两个快变 量和一个慢变量的三维奇摄动的周期轨道和不变环面的分支 全文共分五章，谨将具体内容和研究结果概述如下： 第一章是本文的概述，叙述了几何奇摄动理论和奇摄动系统的的分支理 论的发展过程、背景及现状，介绍了本文的工作并提出了一些待解决的问 题 在第二章讨论了带转点奇异摄动系统的指数式减小的交换引理1 9 9 4 年 j o n e s 等人提出了著名的k + l 交换引理，1 9 9 6 年蛔e s 等人将此交换引理推广成 指数式减小的交换引理，2 0 0 2 年咖研究了带转点的交换引理本章综合使 用j o n e s 等人与l i u 的方法，首先将慢流形上的慢流拉直，简化了建立的带 转点的f e n i c h e l 规范形，并以此为基础，建立了关于外微分形式的p | i i k e ，坐标 的动力学方程，并用予追踪不变流形，针对岛( u ( 韶) ) ，o ( 口3 ) 和。( 口8 ) ，p o ( “( 嘏) ) 这两种情况，将3 c ) n e s 等人建立的指数式减小的交换引理推广到带转点的情 况，使我们能够更有效的追踪在带转点的慢流形附近的不变流形 第三章讨论了具有两个快变量和一个慢变量自治的三维奇异摄动系统 著名的v a nd e np o l d u f f i n g 振子和r a y l e i g h 数较大的l o r e n z 模型都具有这种形式 当快系统出现奇异t l o p f 点时，1 9 9 8 年s t i e f e n h o f e r 利用直接的方法和n a i m a x k ，s 。k e r 上海交通大学博士学位论文 定理研究了具有两个快变量和一个馒变量的三维奇异摄动系统的周期轨道 和_ ：变环面 2 0 0 0 年s t i r f e n l m ，利用此结果研究了快系统出现b o g d m 一，点的 开折在快系统出现双曲极限环时，32 通过推广的曲线坐标变换建立了 p o i n c a r 映射，利用隐函数定理得到，由快系统的双曲极限环产生的三维奇 异摄动系统的周期轨道分支的必要条件和充分条件当快系统的极限环非 双曲时，33 利用曲线坐标变换和i ) l u w - p 变换，使得变换后的周期系统能够 使用平均方法，由平均定理得到了快系统的非双曲极限环产生周期轨遭的 条件经过更进一步的计算，运用不变环面的相关理论，3 6 得到了快系统 的二重极限环和三重极限环产生不变环面的条件 第四章和第五章讨论含有两个快变量和一个慢变量具有周期扰动的非 自治系统1 9 8 7 年，w i g g i n s 和h o h n e s 指出处在反馈控制中的一些非线性弹 性结构如果在控制过程中有一不可忽略的时间常数将会出现这种形式，并 嗣在快系统z 一，( r ) 是一个平面h a m i l i t o n i a n 系统的条件下，研究了周期轨道 和亚调和解的分支 第四章假设快系统= ，( z 珈) 有一个极限环4 2 讨论了双曲极限环产 生次调和解分支的条件，通过曲线坐标变换、尺度变换和渐近分析建立了 分支方程，分析了分支方程产生根的条件，利用隐函数定理得到了次调和 解的鞍结点分支曲线由于在阻2 里利用曲线坐标变换所建立的双周期系 统不能直接使用平均方法，5 t3 首先利用f l o q u e t 理论将某些周期系数变为常 数，再根据平均方法的思想，利用概周期函数的理论寻求双周期变换，使 得变换后的方程能利用推广的积分流形理论，从而得到双曲极限环产生不 变环面的条件 对于非双曲的极限环产生次调和解分支，4 4 采用与睁2 不同的方法，首 先进行周期性变换p = e 一? 州”“r 并且令中= t 一0 ，从而将9 4 2 由血线坐标变换 得到的双周期系统变为单周期系统，利用b l o w u p 变换以后，该系统可以利 用平均方法，最后利用平均定理得到调和解分支在5 4 5 里，通过曲线坐标 变换和周期性变换p = e - 片a ( s ) d s r 进行进一步的计算，在b l o w 呻变换以后， 使用平均变换的思想，对一组偏微分方程，利用概周期函数的理论求解， 并讨论了某些偏微分方程的性质，从而得到一组双周期的变换，经该变换 中文摘要 后得到的方程能够利用有关积分流形理论获得非双曲的限环产生的不燹环 面 第五章假设快系统z = ，( z m ) 是一个闭轨族，姆2 利用角作用变换首先 将系统( 11d ) 转化为双周期系统，经尺度变换和渐进分析得到了、肛跳和解 的p o i n e a r 6 函数，通过p o i m a 厄函数分析了亚跳和解产生的必要条件针对 s ( h ) 0 和退化情形n ( ) = n ( h o ) 分别建立分支方程，得到了亚跳和解的鞍结 点分支曲线最后5 3 利用在札5 里的方法，通过更进一步的汁算，得到了 快系统中的可积系统产生不变环面的条件 关键词：奇异摄动，转点，n n i c l l e l 规范形，慢流形，交换引理，极限环， 周期轨道，次调和解，不变环面，曲线坐标变换，尺度变换，角作用变换， ，l o w - u p 平均变换，积分流形 d o c t o r a t d i s s e r t a t i o n o fs h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y s e v e r a lp r o b l e m so f s i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m a b s t r a c t t h i st h e s i sa i m st oi n v e s t i g a t et h ee x c h a n g el e m m a s w i t he x p o n e n t i a l l y8 m 8 l ie r l r o r sf o r 恤es i n g u 】a rp e r t u r b a t i o np r o b l e m sw i t ht u r n i n gp o i n t s a n db i f u 。a t i o “8o f d e r i o d i co r b j t sa n di n v a r i a n tt o r if o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m s i nt e ny 8 甜s ，t h e e x c t l a n g e1 e m 瑚ai so d eo ft h em o s ti m p o r t a n tr e s u l t si nt h eg e o m e t r i cs i n g ”1 a rp e n “卜 b a t i o nt h e o r ya n de m p l o y e dt ot r a c ki n v a r i a n tm a n i f o l d s n e a rs l o wm a n i f o l d 8 i th a s b e e nw i d e l vu s e dt os t u d yt h ep r o b l e m ss u c ha sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，h o m o 。l i l l i c a n dh e t e r o c l i m co r b nf o rs i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m s ，a n dp u l s et r a v e l l i n gw a v es o l u - t i o n st os o m ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i sd i s s e r t a t i o ng e n e r i a l i z et h ee x c b a n g e l e m m aw i t he x p o n e n t i a l l ys m a l le r r o r st ot h o s ew i t ht u r n i n gp o i n t s i n 。e 。n ty 。8 。8 i t h 8 se a j n e dg r e a td e v e l o p m e n tt os t u d yb i f u r c a t i o n so fs i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m 8b y m e a n so ft h eb i f u r c a t i o nt h e o r yo fd y n a m i cs y s t e m ，b e c a u s eo ft h es i n g u l a r i t yf o rt h e s i n g a l a rp e r t u r b a t i 。“p r o b l e m ，i t sb i f u r c a t i o nt h e o r yn e e d st ob ed e v e l o p e d - i n t h i s t h e s i s t h eb i f n r c a t i o n so fp e r i o d i co r b i t sa n di n v a r i o a gt o r if o rt h es i g u l a r l yp e r t u r b e d s y s t e mw i t ht w of a s tv a r i a b l e sa n do n es l o wv a r i a b l e a r ei n v e s t i g a t e db ym e a n so ft h e b i n i r c a t i o nt h e o r yo fd y n a m i cs y s t e m t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s ，t h em a i n r e s e a r c hr e s u l t sa r e o u t l i n e da sf o l l o w s ： c h a p t e r0 n ei n t r o d u c et h eh i s t o r ya n da c t u a l i t yf o rt h eg e o m e t r i cs i n g u l a rp e r t u r b a t i o nt h e o r ya n dt h es i n g u l a rp e r t u r b a t i o nb i f u r c a t i o nt h e o r y ，a n dg i v es o m er e 。 m a i n i n gp r o b l e m s c h a p t e rt w oi sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t et h ee x c h a n g el e m n l a sw i t he x p o n e n t i a l l y 一一一 苎璺羔! 里! 竺：! s m a l le r r o r sf o rt h es i n g u l a rp e r t u r b a t i o np r o b l e m sw i t h t u r n i n gp o i n t s t h ew e l l k n o w ne x c h a n g el e m m aw o sf i r s tf o r m u l a t e db yj o n e se t a li n 1 9 9 4 ，a n dg e n e r i a l i z e dt o t h ee x c h a n g el e m m aw i t he x p o n e n t i a l l ys m a l le r r o r si n 1 9 9 6i n2 0 0 0 ，l i ui n v e s t i g a t e t h ee x c h a n g el e m m a sw i t ht u r n i n gp o i n t t h ef o r m u l a t i o na n dt i l ep r o o fi nt h e c h a p t e r f o l l o wt h o s eo fj o n e se t o la n dl i u b ys t r a i g h t e n i n gt h es l o wf l o wo i lt 1 1 es l o wm a n i f o l d t h ef e n i e h e ln o r m a lf o r me s t a b l i s h e db yl i ui ss i m p l i f i e d t h ed y n a m i c so nt 1 1 ep l f i k e r c o o r d i n a t e sc o n s i s t e do f ( k + 1 ) 一d i f f e r e n t i a lf o r m si se s t a b l i s h e d ，a n dr e l e v a i l tm a n j f o l d j 8t r a c k e db yp 1 f i k e re o o r d i n a t e s - t or ( u ( 积) ) 卜0 _ ( 碥) a n do ( 如) - r ( u ( 胡) ) ，t h e 镊c h 3 n g el e m m aw i t he x p o n e n t i a l l ys m a l le r r o r si sg e n e r i a l i z e dt ot h o s ew i t ht u r n i n g p o i n t t h eie s e r c hs u j b e c to fc h a p t e r 1 1 1 r e ei sat h r e ed i m e n s i o n a ls i j 1 9 u 1 8 r l yp e r t u r b e d s y s t e mw i t ht w of a s tv a r i a b l e sa n do n es l o wv a r i a b l e t h ef a m e sv a nd e np 0 1 一d u 侬n o s c i l l a t o ra n dl o r e n zm o d e lf o r h i g hr a y l e i g hn u m b e r st a k es u ( - t 1t l l ef o r m1 1 11 9 9 8 b ym e a n so ft h ed i r e c tm e t h o da n dn a i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o nt t l e r 咖，s t j e f e n b o f e r ”。8 t l g a t ep e r i o d i co r b i t sa r i di n v a r i a n tt o r if o rt h et h r e ed i m e n s i o l l a ls i n g n l a r l vp e r - t u r b e ds y s t e mw i t hs i n g u l a rh o p fp o i n t si n t i l ef a s t d y n a m i c s i n2 0 0 0 ，o nt h eb a l i s o ft h e s er e s u l t s ，s t i e f e n h o f e rs u d yt h eu n f o l d i n gw i t hs i n g u l a rb o g d a n o vp o i n t si nt h e f a s td y n a m i c st ot h eh y p e r b o l i cl i m i tc y c l ei nt h ef a s td y n a m i c s ，s e c t i o n32 e s t a b l i s h t h ep o i n c a r 6m a pu s i n gt h eg e n e r i a l z e dc u r v i l i n e a rc o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n ，a n de e t 8 u 雁。i 。n tc o n d i t i o n sa n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rp e r i o d i co r b i t s f r o mt h eh y p e r b o l i c l i m i tc y c l 。i nt h ef a s td y n a m i c sf o rt h et h r e ed i m e n s i o n a ls i n g u l a r l y p e t u r b e ds 恪 t e m i ft h el i m i tc y c l ei nt h ef a s td y n a m i c si s n o n h y p e r b o l i c ，s e e t i o n3 3e m d l o vt h e 。“删】n e a rc o o r d i n a t ea n d b f o w - u pt r a n s f o r m a t i o ns u c ht h a tt h ep e r i o d i cs y s t e mf r o m t h e s et 。a n 8 f o r m a t i o n sc a nu t i l i z et h ea v e r a g i n gm e t h o d b ym e a n s 。ft h ea v e r 唧n g t h e o r e m , t h eb i f u 。c a t i o n 8o fp e r i o d i eo r b i t sa r eo b t a i n e d b yf u r t h e rc o m p l l t i n ga n d d o c t u r md i s s e r t a t i o no fs h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y u s i n gt h er e l e v a n tt h e o r yo fi n v a r i a n tt o r n s ，i ns e c t i o n3 5w eo b t a i nt h ei n v a r i a n tt o r u s b i f u r c a t i o n so fam u l t i p l e2a n dan m l t i p l e3l i m i tc y c l ei nt h ef a s td y n a m i c s c h a p t e rf o u ra n dc h a p t e rf i v ea r ed e v o t e dt oap e r i o d i cp e r t u r b a t i o ns y s t e m w i t ht w of a s tv a r i a b l e sa n do n es l o wv a r i a b l ei n1 9 8 7 ，w i g g i n sa n dh o l m e sc a l l e d t h es y s t e ma ss l o w l yv a r y i n go s c i l l a t o ra n dp o i n t e do u tt h a tt h es y s t e m st a k i n gt h i s f o r mo c c u ra sm o d e l so fs i m p l en o n l i n e a re l a s t i cs t r u c t u r e ss u b j e c tt of e e d b a c kc o n t r o l w h e nt h e r ei san o n n e g l i g i b l et i m ec o n s t a n ti nt h ec o n t r o l p r o c e s sa n ds t u d i e dt h e b i f u r c a t i o n so fp e r i o d i co r b i t sa n ds u b h a r m o n i cs o l u t i o n su n d e rt h em a i nc o n d i t i o n t h a tt h ef a s ts y s t e mi = ，( 置y ) i sap l a n a rh a m i l i t o n i a ns y s t e m c h a p t e lf o u rs u p p o s et h a tt h ef a s td y n a m i c sh a sal i m i tc y c l e i ns e c t i o n42 ，w e d i s c u s st h es u b h a r m o n i cs o l u t i o nb i f u r c a t i o n sf r o mah y p e r b o l i cl i m i tc y c l ei nt h ef a s t d y n a m i c su s i n gt h ec u r v i l i n e a rc o o r d i n a t ea n ds c a l i n gt r a n s f o r m a t i o n ，t i l ee q u a t i o n o fb i f u r c a l i o ni se s t a b l i s h e d a n a l y z i n gt h er o o t so ft h eb i f u r c a t i o ne q u a t i o na n du s i n g t h ei m p l i c i tf u n c t i o nt h e o r e m 、t h es a d d l e - n o d eb i f u r c a t i o nc u r v ei so b t a i n e d b e c a u s e t h ea v e r a i n gm e t h o di sn o tu s e dd i r e c t l yi nt h ed o u b l e - p e r i o d i cs y s t c l no b t a i n e db y t h ec u r v i l i n e a rc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o ni ns e c t i o n4 2 ，i ns e c t i o n 4 3 ，f i r s tb yt h e f l o q u e tt h e o r ys o m ep e r i o d i cc o e f f i c i e n t sa r ec a r r i e di n t oc o n s t a n t s ，u s i n gt h et l m u g h t o fa v e r a g i n gm e t h o da n db yt h ea l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o nt h e o r y , w es e e kt h ed o u b l e - p e r i o d i ct r a n s f o r m a t i o nw h i c hc a nc a r r yt h ed o u b l e - p e r i o d i cs y s t e mi ns e c t i o n4 2 i n t ot h es y s t e mt h a ti ss u i t a b l ef o rt h eg e n e r i m i z e di n t e g r a lm a n i f o l dt h e o r y ，s ot h e b i f u r c a t i o n so fi n v a r i a n tt o r u sa r eo t a i n e d i bt h ec a s et h a tt h es u b h a r i n o n i cs o l u t i o ng e n e r a t ef r o man o n h y p e r b o l i cl i m i t c y c l ei nt i mf a s td y n a m i c s ，d f f e r e n tf r o mt h o s ei ns e c t i o n4 2 ，f i r s tt h ep e r i o d i ct r a r t s - f o r m a t i 。np ee ( s ) 出ra n dt h et r a n s f o r m a t i 。n 壬= t 一0c a r r yt h ed o u b i e p e r i 。d i c s y s t e mi ns e c t i o n4 2i n t ot h ep e r i o d i cs y s t e mi ns e c t i o n44 u s i n gb l o w - u pt r a n s _ b s 丁- r c 了1 f o r m a t i o na n dt h ea v e r n i n gt h e o r e m ，t h eb i f u r c a t i o n so fs u b h a n n o n i cs o l u t i o nc a nb e o b t a i n e di ns e c t i o n4 5 ，f u r t h e rc o m p u t i n gb ym e a n so ft h ec n r v i l i n e a rc o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o na n dt h et r a n s f o r m a t j 。np = e c ( 5 汕r ，1 ，s i n gt 1 1 eb 1 。w u pt r a n s f o 卜 m a t i o n ，b yt h et h o u g h to ft h ea v e r a g i n gm e t h o d ，w eu s et h ea l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n t h e o r yt og e tt h es o l u t i o n st os o m ep a a t i a ld i f f e r e t i a le q u a t i o n sa n dd i c u s ss o m eq n a l i t i e s t oo t h e rp a r t i a ld i f f e r e t i a le q u a t i o n s ，f r o mt h i sw eo b t a i nad o u b l e p e “o d j ct r a n s f o r ， m a t i o n b ym e a n so ft h ed o u b l e - p e r i o d i ct r a n s f o r m a t i o na n dt h ei n t e g r a lm m f i f o l d t h e o r y ，t h et o r u sb i f u r c a t i o n sf r o mt h en o n h y p e r b o l i cl i m i tc y c l ec a l lb eo b t a i n e d i nc h a p t e rf i v e ，t h ef a s td y n a m i c s 士= f ( x ，y o ) h a saf a i n i l yo fc l o s e do r b i t s i n s e c t i o n5 2 ，u s i n gt h ea n g l ef u n c t i o nt r a n s f o r m a t i o nt h es y s t e mi sc a r r i e di n t oad o t i b l e - p e r i o d i cs y s t e mb yas c a l i n gt r a n s f o r m a t i o na n dt h ea s y m p t o t i ca n a l y s i sw eo b t a i n t h ep o i n c a r 6f u n c t i o n b yt h ep o i n c a r 6f u n c t i o n ，w eh a v et h en e s s a r yc o n d i t o n sf o rt h e s u b h a r m o n i cs o l u t i o n t ot h ec a s en 。( o ) 0a n dt h ed e g e n e r a t ec a s ea ( h ) in ( 九o ) ， t h eb i f u r c a t i o ne q u a t i o n sa r ee s t a b l i s h e da n dt h es a d d l e - n o d eb i f u r c a t i o nc u r v e sa r e o b t a i n e d f i n a l l y , i ns e c t i o n5 3 ，b ys i m i l a rm e t h o d st ot h o s ei ns e c t i o n4 5a n d f u r t h e rc o m p u t i n g ，t h ec o d i t i o nf o rt h ei n v a r i a n tt o r u sf r o ma ni n t e g r a b l es y s t e mi n t h ef a s td y n a m i c si sp r e s e n t e d k e yw o r d s ：s i n g u l a rp e r t u r b a t i o n ，t u r n i n gp o i n t ，f e n i c h e ln o r m a lf o r m ， s l o wm a n i f o l d ，e x c h a n g el e m m a ，l i m i tc y c l e ，p e r i o d i co r b i t ，s u b h a r m o n i cs o l u t i 。n ， i n v a r i a n tt o r u s ，c u r v i l i n e a rc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n ，s c a l i n gt r a n s f o r m a t i o n ，a n g l e f l m c t i o nt r a n s f o r m a t i o n ，b l o w - u p ，a v e r a g i n gt r a n s f o r m a t i o n ，i n t e g r a lm a n i f o l d 上海交通大学学位论文答辩决议书 l 中请者叶志勇4 所在学科( 专业) l ! 论文题目离异摄动系统的几个问题的研究 f 答辩日蝻12 葫菇；1 7一否孬菇矗f 石泣校 i 一一- 一 l l 担任l l 务；姓名i 职称 ! 土席 朱德明! 教授 ! l 委员肖冬梅教授 ；：委员，黄文璋 教授 + ! 委员唐云 教授 委员高国柱；教授 。 一一一 一 _一 答辩委员会成员 应用数学 区西大楼数学系办公摩 所在t 作单位 - 华东师范大学 上海交通人学 a l a b a m a 大学数学系 清华人学 东华大学 备注签名 评诒耕伙议： 川忠勇同学的学位论文t 要研究了带转点的指数式减小的交换引理和高维奇 异掇动系统的周期轨道_ ；f i l 不变环面的分支以及在周期非亡】治扰动下产生周艄解， 弧调年解及不变环面的题这是近二十年来奇异摄动理论中发展起来豹个新 的 i i f 究领域一奇异摄动的儿何理论，研究的内容是动力系统中非常困难且极有意 义的课题，叫忠勇同学做出了报有意义并且有较大创新性的结果，表明r 该酬学 往相笑领域具有扎实的理论基础相当强的分析问题和解次闯题的能力“n _ j 较强独立科研能力。论文层次分明，文笔流畅，内容丰富结果新颖。且有创新 性。冉糟= 辩过拌中n 占勇同学能够止：确同答答辩委员提出的问题。所以替辩 委员会一致认为叶志勇同学的论文是一篇优秀的博士学位论文，同意授予博十学 协。 表决结果 啦 中文摘墨 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导f ，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担。 彬彰 2 口。歹毛厶1 上海交通大学博士学位论文 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论史的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密 ( 请在以上方框内打“ ”) 屹磊 加口f 6 厶f 芗夕疹 砂杉吼歹如 第一章绪论 自然科学和工程技术中的许多问题例如在非线性振动、力学、化学、生 物、燃烧出现的许多问题可以归结为对相应的奇异摄动系统的研究( 卧 在奇摄动的发展过程中，各种方法和理论不断出现和发展，使之成为求解 非线性数学问题的重要工具近几十年来，随着几何、拓扑、微分方程等相 关的数学理论的发展，研究奇摄动系统的定性性质引起了人们越来越大的 兴趣特另目是研究奇摄动系统几何和动力学行为性质的几何奇摄动理论和 奇摄动的分支理论近年来获得飞速发展，已成为重要的研究领域 在本文我们主要研究带转点的指数式减小的交换引理和三维奇摄动的 分支理论以下我们首先简单介绍奇摄动几何理论和奇摄动的分支理论的 基本内容和研究概况，然后概括介绍本文的主要工作，包括研究方法、研 究内容和主要结果，最后简要介绍一些待解决的问题 1 1几何奇摄动和奇摄动分枝的简介和研究概况 考虑如下形式的标准奇摄动系统 害= f ( x ，9 ；e ) ， 鲁= e g ( x ，g ；e ) ， z r t m 、y r ”、0 0 ，存在一个位于的o ( e ) 一邻域的慢流形尬满足 微分同胚于m o ， 关于( 112 ) 的流是局部不变的， 是c r 的，对任意的r 0 ) 接近的这就是指数式减小的交换引理 如果在m o 上，e ( z ，y ，0 ) 有特征值的实部等于0 ，则称( 1 ，11 ) 或( 112 ) 为带转点的的奇异摄动问题l i u ( 1 5 ) 研究了在上g ( x ，y ，o ) 有特征值 等于0 的转点问题，通过建立f e n i c h e l 型的坐标并在此坐标基础上用外微分 形式跟综+ o 维不变流形，将定理1 12 的结论推广到带转点的被跟踪的 流形的维数为k + 一的情况并将此交换引理应用于研究带转点的某些奇摄 动边值问题 由于关于奇异摄动系统分支以及一般的微分方程的分支的研究内容非 常广( 1 7 1 一1 3 1 1 ，【3 8 】- 【5 7 】) ，这里主要介绍如下的具有两个快变量和一个慢变量 的奇异摄动系统分支相关的一些工作首先介绍下面形式的奇异摄动系统 峦= j i = 1 ( 茁，y ，6 ，e ) r 2 ， 9 = e g ( z ，y ，6 ，e ) ， ( 1l3 ) z 舻，y 卯，0 1 、 v a nd e np o l d u f f i n g 振子和r a y l e i g h 数较大的l o r e n z 模型都具有这种形式( 见 f 9 3 、f 9 5 j - f 9 7 j ) 对该类系统较早的工作主要涉及动力学行为的研究，包括 b a k e r 等对周期性行为的研究和m a r z e e 与s p i e g e l 关于奇怪吸引子的研究 当快系统出现h o p f 点时，s t i e f e n h o f e r ( 8 2 ) 利用直接的方法和n a i m a r k s a c k e r 定理研究了( 11 3 ) 不含6 的系统的周期轨道和不变环面并利用此结果研 究了在系统( 11 3 ) 的快系统出现b o g d a n o v 点的开折( 【8 l 】) w i g g i n s 和h o l m e s ( j 3 2 ) 研究了下述具有周期扰动的三维奇异摄动系统的 周期轨道 1 = ，( z ，) + c h ( t ，6 ，e ) r 2 ， 1 口：。9 ( t ，。，9 ，民。) _ r ，。1 11 4 第一章绪论 其中h ( t ，x ，6 ，) 和g ( t ，x ，y6 ，e ) 兄关于t 是t 周期的该系统具有重要的作 用，例如在反馈控制中的一些非线性弹性结构如果在控制过程中有一不可忽 略的时间常数时将会出现这种形式，在快系统士一f ( x y ) 是平面h a m i l i t o n i a n 系统的假设下，得到了m e l n i k o v 函数，并用于讨论周期轨道的h o p f 分支和 鞍结点分支 关于三维奇摄动系统的鸭问题和松弛振荡环的研究见文1 9 8 l ， i 0 4 ，f t 0 9 1 及其参考文献对于一般的微分方程，周期轨道、次调和解、不变环面、同 异宿轨的分支的研究已有非常丰富的结果，其中关于周期轨道、调和解、 不变环面的分支的研究可参考1 7 4 6 ，4 9 - 5 4 ，6 0 6 5 ，7 0 7 91 等文献关于平面及 高维系统同异宿轨的分支的研究，可参考【8 0 ，8 5 ，9 7 ，8 9 1 等文献 上海交通大学博士学位论文 1 2 本文主要工作介绍 本文主要研究带转点奇异摄动系统的指数式减小的交换引理和三维奇 异摄动系统的分支在本文里，我们结合j o n e s ( i l o 一【1 2 ，1 1 6 】) 等人和l i u ( 1 5 ) 的方法，利用wl i u 于2 0 0 0 年建立的带转点的f e n i c h e 坐标，追踪k + 1 维 不变流形，将慢流形为法向双曲的指数式减小的交换引理推广到带转点的 情况这些交换引理将使我们更有效的追踪带转点的慢流形附近的不变流 形在三维奇异摄动系统的分支方面，利用曲线坐标、角作用变换、平均方 法以及积分流形和不变环面的相关结论，讨论了在快系统= ，( z ，y o ) 出现 极限环和可积系统时，三维奇异摄动系统的周期轨道、次调和解以及不变 环面的分支 在第二章中，我们讨论