（理论物理专业论文）半导体量子点中电子属性的理论研究.pdf

：， 、，、上 at h e s i si nt h e o r e t i c a lp h y s i c s t h e o r e t i c a ls t u d i e so nt h ee l e c t r o n i cp r o p e r t i e s 。 s e m d u c t iq u a n t udotsine m i c o nu c t o ru a n t u mo t s b yw a n gs h e n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rw e ig u o z h u n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 8 i l 凡 ，一 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 ：亡巴 ，恩。 学位论文作者签名： 日 期：7 c , o 罗- 7 多 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年口 学位论文作者签名：五铆 筮a - 7 - 日期：如a 驴，7 弓 导师签名： 签字日期： -一rl 0u；1上厂 ，：00j 东北大学硕士学位论文摘要 半导体量子点中电子属性的理论研究 摘要 低维半导体量子点材料在二十一世纪纳米电子学中有极大的应用潜力，激发了人们 在这个领域的研究兴趣。研究该材料中有关电子属性有利于理解量子器件原理，例如激 光器件中吸收和发射现象，是非常有意义的课题。 本文主要研究了低维半导体量子点中与电子相关的一些属性。讨论了长方体量子点 中的电子s t a r k 效应( 第二章) 和外场存在情况下圆柱形量子点中类氢杂质对电子的结 合能( 第三章) 。 在第二章中我们用变分法计算长方体g a a s 半导体量子点中电子的s t a r k 能移。在 低场和高场极限下，给出s t a r k 能移的渐近展开式，并发现在低场极限下s t a r k 能移是 电场的二次式，在高场极限下它与电场的关系是线性的。同样，通过渐近展开式得到电 场方位对s t a r k 能移的影响。在低场情况下，对于正方体量子点，最大的s t a r k 能移不 依赖电场的方位，而对于长方体量子点，沿一条棱施加电场时，s t a r k 能移最大；在高 场情况下，无论是长方体还是正方体量子点，只要电场沿体对角线施加时，s t a r k 能移 就达到最大。在有效质量的约化下，我们给出了电场以及量子尺寸对s t a r k 能移影响的 数值结果，可以看出量子尺寸对s t a r k 能移有显著的影响。 在第三章中研究了电子在圆柱形量子点中类氢杂质的结合能。采用的量子点模型 为：纵向受量子阱势，横向受一个抛物势和可变磁场共同作用的强限制势。在这种强的 侧面限制下，我们采用一维有效势取代三维库仑势，研究了电场，磁场以及杂质位置对 结合能的影响。当杂质位于量子点的中心时，电场使电子远离杂质中心而磁场使电子靠 近杂质中心，形成了有趣的竞争。还发现杂质的位置对结合能也有明显影响。当杂质放 在圆柱形量子点轴线右边时，电场迫使电子向左边运动，结合能随着电场的增加而减少； 当杂质放在左边时，结合能首先增加并达到最大值，然后随着电场减少。 关键词：量子点；s t a r k 效应；类氢杂质；电场；磁场；结合能；变分法：有限差分法 i i 、 ， _j0、， ，r，ifl、幸 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e o r e t i c a ls t u d i e s0 1 1t h ee l e c t r o n i cp r o p e r t i e si r i s e m i c o n d u c t o rq u a n t ud o t s b e m i c o nu c t o ru a n t u m 0 t s a b s t r a c t l o w - d i m e n s i o n a l q u a n t u m d o t sm a t e r i a lh a s g r e a tp o t e n t i a l a p p l i c a t i o n i n n a n o e l e c t r o n i c sa t2 1 s tc e n t u r y ，w h i c hs t i m u l a t e sg r e a t l yp e o p l et os t u d yo nt h i ss u b j e c t s t u d i e so np r o p e r t i e sr e l a t e dt oe l e c t r o ni ns u c hm a t e r i a lu n d e r s t a n de a s i l yt h ep r i n c i p l eo f q u a r ) - i mc o m p o n e n t ，w h i c hi su s e f u l ，s u c ha se m i s s i o na n da b s o r p t i o ni nq u a n t u ml a s e r s i nt h i st h e s i s ，w ef o c u so nt h e o r e t i c a ls t u d i e so np r o p e r t i e sr e l a t e dt oe l e c t r o ni n s e m i c o n d u c t o rq u a n t u md o t s s t a r ke f f e c ti nr e c t a n g u l a rq u a n t u md o t si si n v e s t i g a t e da n d b i n d i n ge n e r g i e so fh y d r o g e n i ci m p u r i t i e si nc y l i n d r i c a lq u a n t u md o t s a r es t u d i e di nt h e p r e s e n c eo fe x t e r n a lf i e l d s i nc h a p t e r2 ，s t a r ks h i f to fe l e c t r o ni ng a a ss e m i c o n d u c t o rr e c t a n g u l a rq u a n t u md o t si s s t u d i e d t h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o n so ft h es t a r ks h i f ta r eg i v e ni nt h el i m i t so fl o wa n dh i g h f i e l d s ，r e s p e c t i v e l y ，t h e yc l e a r l yi n d i c a t et h a tt h es t a r ks h i f t i s q u a d r a t i cf u n c t i o no ft h e e l e c t r i cf i e l df o rl o we l e c t r i cf i e l d sa n di sa na p p r o x i m a t el i n e a rf u n c t i o no ft h ee l e c t r i cf i e l d f o rh i g he l e c t r i cf i e l d s l i k e w i s e ，o u rr e s u l t ss h o wa l s ot h a tt h el a r g e s ts t a r ks h i f ti s o b t a i n e df o rt h ef i e l dd i r e c t e da l o n gt h ed i a g o n a li nac u b i cb o x ，a n di sf o u n df o r t h el o wf i e l d d i r e c t e da l o n gas i d eo ft h eb o xa n df o rt h eh i g hf i e l da l o n gt h ed i a g o n a li nar e c t a n g u l a ro n e w i t h i nt h ee f f e c t i v e m a s sa p p r o x i m a t i o n ，t h en u m e r i c a lr e s u l t sf r o mt h ee f f e c t so ft h ee l e c t r i c f i e l d sa n dq u a n t u ms i z e so ns t a r ks h i f ta r eg i v e n i tc a nb ec l e a r l ys e e nt h a tq u a n t u ms i z e s h a v ead e m o n s t r a b l ee f f e c to nt h es h i f t i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h eb i n d i n ge n e r g i e so fh y d r o g e n i ci m p u r i t i e si n c y l i n d r i c a l q u a n t u md o t s t h eq di sm o d e l e dbys u p e r p o s i n gas q u a r e w e l lp o t e n t i a la n das t r o n gl a t e r a l c o n f i n e m e n tp o t e n t i a lb yt h ec o m b i n i n go fap a r a b o l i cp o t e n t i a la n dac h a n g e a b l em a g n e t i c f i e l d u n d e rt h es t r o n gl a t e r a lc o n f i n e m e n t ，w em a yr e p l a c et h r e ed i m e n s i o n a lc o u l o m b p o t e n t i a lw i t hq u a s i o n e d i m e n s i o n a le f f e c t i v ep o t e n t i a l t h ei n f l u e n c e so ft h ee l e c t r i cf i e l d ， m a g n e t i cf i e l da n dt h ep o s i t i o n so fi m p u r i t i e so nt h eb i n d i n ge n e r g i e sa r es t u d i e d w h e nt h e i m p u r i t yi sl o c a t e da tt h ec e n t e ro faq u a n t u md o t ，t h ee l e c t r i cf i e l dp u s h e st h ee l e c t r o na w a y i v 东北大学硕士学位论文a b s t r a c t f r o mt h ec e n t e ro fi m p u r i t yw h i l et h em a g n e t i cf i e l dt a k e st h ee l e c t r o nt oc l o s et ot h e - c e n t e r t h i sf a c tl e a d sa ni n t e r e s t i n gc o m p e t eb e t w e e ne l e c t r i cf i e l da n dm a g n e t i cf i e l d m e a n w h i l e ， o n ef i n d st h a tt h eb i n d i n ge n e r g i e sh i g h l yd e p e n do nt h ei m p u r i t yp o s i t i o n su n d e rt h ea p p l i e d t r a n s v e r s ef i e l d s w h e nt h ei m p u r i t yi sl o c a t e da tt h er i g h th a l fo ft h ec y l i n d e r ，t h ee l e c t r i c f i e l dp u s h e st h ee l e c t r o nt ol e f ts i d e ，t h e nt h eb i n d i n g e n e r g yd e c r e a s e s ；w h e nt h ei m p u r i t yi s l o c a t e da tt h el e f t ，t h eb i n d i n ge n e r g yf i r s ti n c r e a s e sa n dr e a c h e sa p e a kv a l u e ，t h e nd e c e a s e s w i t ht h ee l e c t r i cf i e l d k e yw o r d s ：q u a n t u md o t s ；s t a r ke f f e c t ；h y d r o g e n i ci m p u r i t i e s ；e l e c t r i cf i e l d ；m a g n e t i cf i e l d ； b i n d i n ge n e r g i e s ；v a r i a t i o n a lm e t h o d ；f i n i t e - d i f f e r e n c em e t h o d v t 东北大学硕士学位论文 目录 目录 声明i 中文摘要i i a b s t r a c t i v 第1 章绪论1 1 1 量子的基本观念”1 1 1 1 光量子1 1 1 2 物质波1 1 1 3 量子力学2 1 2 量子结构3 1 3 有效质量4 1 3 1 有效质量的概念“4 1 3 2 有效质量的实验测定一：_ 6 1 4 两种理论近似方法”7 1 4 1 变分法7 1 4 2 一维有限差分法“9 1 4 3 两种近似方法与精确解的比较1 0 1 。5 选题背景及内容1 3 1 5 1 选题背景- 1 3 1 5 2 本文的研究内容1 4 第2 章半导体量子点中电子的s t a r k 效应1 5 2 1 引言1 5 2 2 理论模型及计算1 5 2 3 数值结果及分析1 9 2 3 1 电场方位对s t a r k 能移的影响1 9 2 3 2 量子箱的尺寸对s t a r k 效应的影响2 4 2 4 本章小节3 1 第3 章半导体量子点中杂质的结合能3 3 v i 东北大学硕士学位论文 目 录 0 1 引言_ 3 3 3 2 理论模型及计算3 3 3 3 数值结果及分析4 0 3 4 本章小节4 6 第4 章结论4 7 参考文献4 9 东北大学硕士学位论丈第1 章绪论 1 1 量子的基本观念 第1 章绪论 量子代表了人类认识微观世界的核心观念，它不仅是微观实物粒子存在的基本形 式，而且描述了波与场所具有的粒子性特征。以量子力学为中心的现代量子理论，完整 地描述了微观世界的量子行为。事至今天，虽然关于量子力学的基础及其解释还没有定 论，但量子力学已成为现代科学的重要基石。在应用上，它促进了激光、半导体和核能 技术的建立，深刻地影响了当代人类社会的生产力。 1 1 1 光量子 量子观念起源于对黑体辐射的研究。1 9 0 0 年普朗克( p l a n c k ) 发现，为了解释实验 中黑体辐射能量的频率分布，必须假设电磁场辐射只能以“量子”方式进行，即发射和 吸收的能量只能是每个“量子”能量的整数倍。这是有别于经典力学中能量连续性的革 命性观念。由此，爱因斯坦( e i n s t e i n ) 明确提出光量子( 或光子) 的概念，认为辐射场 是由光量子组成。光子与电子碰撞，其行为很像一个有特定能量和动量的实物粒子。从 而能很好地解释光电效应：光照射到金属表面，只有当光的频率足够大时，电子才能克 服表面的逸出功，脱离金属表面。爱因斯坦进一步应用能量的不连续性，成功地解释了 固体比热在温度为绝对零度时的行为。 1 9 1 3 年，光波能量不连续的量子观念，启发玻尔( b o h r ) 对于卢瑟福( r u t h e r f o r d ) 原子有核模型的深刻研究。他认为，原子只能存在于分立的能量定态，辐射只能使原子 在两个定态之间跃迁。这个观点克服了经典理论对原子有核模型预言( 绕核电子会由于 电磁场辐射损失能量、塌缩到原子核上) 与现实原子基本稳定的矛盾，成功地解释了实 验中总结出来的氢原子光谱r y d b e r g - r i t z 组合公式。 1 1 2 物质波 1 9 2 4 年，德布罗意( d eb r o g l i e ) 把光的波粒二象性观点加以推广，认为一切微观粒 子都具有波动性。一个动量为p ，能量为的自由粒子，相当于一个波长为九一h p 、 频率为：e h 、沿粒子运动方向传播的平面波。许多实物粒子物质波的波长很短。例 1 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 如，能量为1 0 0 电子伏的电子，其物质波波长仅为o 1 2 纳米。室温下氢原子的物质波波 长更短，仅为0 0 2 1 纳米。1 9 2 7 年，美国物理学家戴维逊( d a v i s s o n ) 和革末( g e r m e r ) ， 在进行电子散射实验时，意外观测到和x 射线衍射类似的图像。同年，英国物理学家g p 汤姆逊完成了电子束穿过多晶薄膜的衍射实验。这些都证明了电子具有波动性。以后， 物理学家还陆续证实中子、质子乃至原子、分子等微观粒子都具有波动性。对于宏观物 体而言，由于其物质波波长极短( 远小于宏观物体的尺度) ，其波动效应很难被观察到。 1 1 3 量子力学 1 9 2 4 年，创立的量子力学是描述微观世界运动的基本理论，包括互为等价的矩阵力 学和波动力学。为了发展玻尔( b o h r ) 思想“以适用于更复杂的原子”，同年，海森堡 ( h e i s e n b e r g ) 首先提出了革命性观点：在原子世界，每个可观察的实验结果( 如氢原 子谱线) 总是与两个“玻尔轨道 有关，一个绝对的、由速度和坐标同时确定的轨道在 描述原子的微观理论中是没有意义的。应当处处使用“两个轨道”来描述可观察的物理 量。例如，原子的电磁辐射可以由电子坐标随时间的变化来描述，可能辐射的频率是其 付立叶展开式中出现的频率，是与r y d b e r g r i t z 组合中两个指标有关的实数。因此应当 把坐标和动量等可观察物理量都看成具有两个指标元素的矩阵( 或算符) ，而坐标q 和 动量p 是不对易的，即q p 不等于p q 。在玻恩( b o r n ) 和约当( j o r d a n ) 的协作下，海森 堡这个重要发现导致了矩阵力学的建立。它的诞生成功克服了玻尔理论处理复杂原子时 遇到的困难。量子力学另一种表述是由薛定谔( s c h r 6 d i n g e r ) 在1 9 2 4 年建立的波动力学。 其核心是用满足薛定谔方程的时空点上的波函数描述粒子的运动。根据玻恩( b o r n ) 提 出的几率诠释，波函数模的平方代表电子在空间的几率分布，例如，原子中的电子可以 用波函数描述，即所谓的电子云。在波动力学中，原子的定态是薛定谔方程的本征态， 相应的本征值就是原子的能级。原子的电磁辐射可描述为从一个能级到另一个能级的跃 迁。狄拉克通过建立表象理论，把矩阵力学和波动力学的描述完美地结合起来，并将它 推广创立了相对论量子力学，成功地预言了正电子的存在。反物质粒子的发现，把量子 力学理论推上科学的顶峰。 量子力学的建立，快速推动了社会科学技术的发展，尤其是在信息领域。例如目前 很热的研究课题一量子计算机和量子通讯。二十世纪六、七十年代对可逆计算机的研究， 提出了量子计算机的概念。从原理上讲，经典计算可以被描述为对输入信号序列按一定 算法进行变换( 逻辑门操作) 的物理过程。基于经典比特非0 即1 的确定特征，经典算法 2 东北大学硕士学位论丈第1 章绪论 是通过经典计算机( 或经典图灵机) 的内部逻辑电路加以实现的。而量子计算，贝叮是基于 量子比特的既| 0 又il 相干叠加特征，对于由量子叠加态描述的输入信号，根据量子的 算法要求，进行“量子逻辑门操作”的幺正变换。这是一个被人为控制的、以输入态为 初态的量子物理演化过程，即对末态一输出态进行量子测量，给出量子计算的结果。 通讯方面也提出了量子通讯的概念。量子通讯是利用量子纠缠效应进行信息传递的一种 新型的通讯方式。由于量子纠缠的关联依赖于两个纠缠的粒子，直接通过量子纠缠不能 传递物体的全部信息。而我们可以将某物体待传递量子态的信息分成经典和量子两个部 分，它们分别经由经典通道和量子通道传送给接收者，经典信息是发送者对原物进行某 种测量而提取的，量子信息是发送者在测量中未提取的大量信息；由此接受者就可以制 备出原来量子态的完全复制品。该过程中传送的仅仅是该物体的量子态，而非物体本身。 发送者即使对待传量子态一无所知，接收者也能将他持有的粒子处于原物体的量子态 e 。 1 2 量子结构 近几年，科学家们在研究量子器件，并制造出各种形状的量子器件，尤其是半导体 量子器件。低维半导体量子结构的研究，是非常有意义的课题，因为对这些结构中的粒 子属性进行深入研究有利于理解量子器件的原理，例如激光器件中吸收和发射现象。 所谓量子结构，在这里指低维纳米异质结构材料。根据粒子在该材料中运动受限制 的不同，可以把量子结构分为：量子阱( q u a n t u mw e l l ) ，量子线( q u a n t u mw i r e ) ，量子点 ( q u a n t u md o t ) 。简单的说，如果粒子运动在一维方向受限制，而在一个平面内可以自由 运动，此量子结构称为量子阱，受限制的方向为量子阱的生长方向；如果粒子在二维方 向受限制，而在一维方向可以自由运动，这种量子结构称为量子线；如果粒子运动在三 维方向都受限制，该量子结构为量子点。 实际上，早在1 9 7 0 年e s a k i 和t s u 就开始研究纳米异质结构材料，并提出了用沉 积的方法构造该异质结构层的想法。但直到2 0 世纪7 0 年代中期，分子束外延技术，和 m o c v d 技术的发展，才使这种材料生长得到了实现。由于异质结构层的结构可以人为地 改变，并通过计算机控制程序的方法把它生长出来。1 9 8 1 年，b a s t a r d 1 l 基于对这种结 构的理解，成功的计算出杂质在量子阱中的结合能，并带动许多学者对这个领域进行研 究。 本文中，研究的量子结构是量子点。实际上，量子点是准零维( q u a s i z e r o d i m e n s i o n a l l 3 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 的纳米材料，由少量的原子构成。粗略地说，量子点三个维度的尺寸都在i 0 0 纳米( n m ) 以下，外观恰似一极小的点状物，其内部电子在各方向上都受限制，因此量子限制效 应( q u a n t u mc o n f i n e m e n te f f e c t ) 特别显著。量子限铝撒应会导致量子点具有类似于原子 的不连续电子能级结构，因而量子点又称为人造原子( a r t i f i c i a la t o m ) 。目前有许多科 学家已经用许多不同的方法制造量子点，并预期该纳米材料在二十一世纪纳米电子学 ( n a n o e l e c t r o l l i c s ) 中有极大的应用潜力。 1 3 有效质量 本论文中，用到一个非常重要的概念一有效质量。有效质量与约化质量不同。约化 质量是牛顿力学中的概念，而有效质量仅在量子力学中使用。 1 3 1 有效质量的概念 在固体理论中，有效质量是指在半经典的理论模型下，粒子在晶体中运动时具有的 等效质量。可以证明多数情况下，晶体中的电子与空穴对电场或磁场的响应与其在真空 条件下的响应相似，仅仅是质量不同而已。此质量通常以普通的电子质量川。( 9 1 l x l o 。1 k g ) y 寸单位。 可以通过牛顿定律户：m d 来定义有效质量。由量子力学可以证明处于外力户( 电场 力或磁场力) 作用下的电子满足： 万。寺v f 2 占( f ) ， ( 1 1 ) 这里万是加速度，7 2 是约化普朗克常量，7 l = 乡乞，云是指波数( 由于云。，又常不严 密地称为动量) ，能量( 云) 是云的函数，通常称之为能量色散关系。因而在仅有外力作 用时，有效质量m 宰定义为： m 木( 云) = 庇2 ( v ；( 后) ) 以 ( 1 2 ) 下面做一个简单的证明如下： 当讨论外场作用下晶体电子的运动规律时，首先要知道电子在任意波矢云状态的平 均运动速度。根据量子力学，电子在晶体中平均速度可表为： 4 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 表格1 1 一些常见半导体材料中电子和空穴的有效质量 。 t a b l e1 1t h ee l e c t r o na n dh o l ee f f e c t i v em a s sf o rs o m ec o m m o ns e m i c o n d u c t o r 本论文中采用g a a s 半导体材料，因为g a a s 是制备半导体量子结构的器件的重要 材料，例如量子阱结构材料。这种半导体材料可用新的生长技术，像分子束外延技术， 金属有机化合物化学汽相淀积技术等一层一层的、周期性的生长出来。该周期可以人为 控制，不像硅单晶，它的晶格常数是一定的。从表1 1 可以看到g a a s 的电子和空穴的 有效质量远小于i v 族材料如s i 和g e 。根据简单的特鲁德( p d r u d e ) 电子传导理论， 载流子( 电子和空穴) 能获得的最大速度反比于有效质量，这样它的电子的漂移速度比较 高。同时这种材料耐高温，抗辐照；它的电子的光跃迁不需要声子参与，发光效率很高： 与此同时，作为微电子器件，如激光器件等，具有高速、高频，低噪音。 1 4 两种理论近似方法 本论文中，在求解量子点中电子的基态能量时，运用到两种理论近似方法：变分法 和一维有限差分法。下面对两种方法做简单介绍，并通过与精确解比较，验证两种方法 在本论文中的可行性。 1 4 1 变分法 变分法是在处理低能量子态时常用的一种近似方法。在本论文中主要是处理基态的 能量。在某些复杂量子系统中，这种近似方法给计算带来了极大简便，然而它的精确程 度依赖于选取的变分波函数。如果采取了一个好的变分波函数，则所求的近似解几乎与 精确解一致。它的思想是：选好变分波函数，对哈密顿量求期望值，然后用所得到的能 7 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 子来描述变分法的思路，在1 4 3 节将给出与精确解的比较，并验证变分法的可行性。 例：一个有效质量为m 木的电子被限制在一维无限深量子势阱中，z 轴方向为阱生 长方向，阱宽度为l ，且沿z 轴方向施加一个电场f 。电子在量子阱中哈密顿量为： 日：一兰vz + y ( z ) + h f z (1“)2 m 盘 、 ll。， 其中y 0 ) 是无限深量子阱势，电子在阱内l z i l 2 ， v ( z ) 为无穷大。选取变分函数为： w ( z ) = ( a ) c 。s 等e x p ( a 么) ( 1 1 5 ) 这里口为变分参数，描述了电场对电子波函数的影响。电场越大，a 就越大。 ) 是归 p 宰妒比一1 ( 1 1 6 ) 可以得到 旷2 = 鬻 波函数( 1 1 5 ) 对哈密顿6 ( 1 1 4 ) 求期望值，可得能量e ) ： e ( a ) = ；丽庇27g2+筹+i叫lf砖+五1一下cotha)2m ( 1 1 7 ) ；一十一十r i一十- ，il ，、 2 m 术r术、a 2 + 缸2 7r 7 然后对e ( a ) 取关于a 的极小，即 兰盟；o( 1 1 8 ) 一= l - i llxl 通过简单计算等式( 1 。1 8 ) ，得到如下关于a 的超越方程： 忙陋n 毫丢若一 q 1 9 ) 通过数值求解方程( 1 1 9 ) ，把得到的变分参数a 的值代入等式( 1 1 7 ) ，则可得到基态能量 。8 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 1 4 2 一维有限差分法 维有限差分法是处理量子体糸的另一种近似数值计算万法，在量子系统中，该方 法便于处理不能严格求解的薛定谔方程。吴连坳等人【2 1 已研究了径向薛定谔方程的有限 差分解法。下面我们简单介绍一维有限差分法，并以1 4 1 节的例子描述有限差分法的 思路。同样在1 4 3 节中将给出与精确解比较的结果，证明了有限差分法的可行性。 对于任意函数，若自变量x 有一微小但有限的变化缸，则f ( x ) 的变化f ( x + a x ) 可 做泰勒展开如下： ， + 缸) = 厂 ) + 缸孚，( z ) + 圭( 缸) 2 丽d 2 a x 厂 ) + z以x ；e x p ( x d 厂( z )( 1 2 0 ) 以工 利用中心差分算符： 6 = e x p ( j 1 缸云d ) _ e x p ( 一j 1 缸瓦d ) ( 1 2 1 ) 可以导出 厂o + 血) 一2 厂o ) + 厂 一缸) = ( 缸) 2 孑d2 + 西1 ( 血) 4 万d 4 + ) ，( z ) ( 1 2 2 ) 略去( 缸) 4 及更高级项，则得 嘉m ) = 击忡+ 缸) _ 2 ， ，o 一酬 ( 1 2 3 ) 设等式( 1 1 4 ) 的本征函数为妒( z ) ，本征能量为e 。薛定谔方程可以写为如下： 。v ”矽( z ) - 等( f z 一( z ) - o ( 1 2 4 ) 利用( 1 2 2 ) 式，可将式( 1 2 4 ) f d 6 y - , j 妒( z + z ) 一却( z ) + 妒( z 一位) = 万2 m ( & ) 2 【& 一e 砂( z ) ( 1 2 4 ) 第n 个分点x n = n a x ( ，z = 1 ，2 ，) 将坐标x 分为n 个相等的间隔。当n 充分大时，缸 将足够小。把第七个分点的波函数简记为 。 妒女毫妒( k a x )( 1 。2 5 ) 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 满足条件 。 妒o = 妒= 0 ( 1 2 6 ) 这样，( 1 2 4 ) 式可改写为 一嘉。+ 丽2 h 砰2 州渺。一志。= 却。 ( 1 2 7 ) 式( 1 2 7 ) 式可以写成矩阵形式： 其中矩阵为 a = a 妒1 妒2 妒3 ： 妒 = e 妒1 妒2 妒3 ： 峰n a 1 一r 000 一r a 2 一r 00 0一r a 3 00 0000 a 一1 一r ( 1 2 8 ) 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 和 彳劬”( 三) ；缈”( z ) 等式( 1 2 4 ) 可以重新写为： v ”妒国一斋e i f z e 渺阱。 令三= 丽2 m0 e l f z d ，则有下面方程： 丽2 m 0 e i f z 一目= 危+ b v ”妒圆一却圆= 0 由等式( 1 3 3 ) 可以解出a 和b 的值， 这样可得 州学) 1 ，3 ，肚( 千) u 3 ， 嚣 三= a z + b = ( 芈) _ 2 坞秘l h i f z - e ) 三 = ( 千) 以乃可( 1 e ) 方程( 1 3 2 ) 有精确解： 妒( 乞) = c ：4 f ( 三) + 三忸f ( 三) 其中c ，d 是常数，彳f ( 三) 和b ( 乞) 是a i r y 函数3 1 。 利用边界条件，当z ：生时 2 由此得到下面方程组： 矽( 乞) = 0 叫亭c 争争d b 蝣c 争争。 叫肾考一知删瞰争。 由方程( 1 3 8 a ) 秀d ( 1 3 8 b ) 消去常数c 和d ，得如下等式： 1 1 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 。3 8 a ) ( 1 ，3 8 b ) 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 彳i 亭( 导一吾) 】b f 宇( 一考一；) = b f 亭( 考一；) 】彳f 【亭( 一考一；) 】 ( 1 3 9 ) 通过数值求解超越方程f 1 3 9 ) ，得到本征能量e 。 以g a a s 半导体材料为例，通过数值求解，可以把由变分法和有限差分法得到的基 态能量与精确解相比较。当阱厚度己= 2 口，其中a ；壳2 r c m 丰e 2 时，用不同方法得到的基 态能量随电场的变化曲线，如图( 1 1 ) 所示。可以看到由变分法和有限差分法所得到的结 果与精确解在低电场时基本上是一致的；高电场时，由变分法得到的结果略比精确解高， 而有限差分法所的结果略比精确解低。这一结果表明，采用的两种近似方法是可靠的。 另外，可以看到有限差分法更接近精确解。 ，_ 、 霹 2 f q 善 啮 图1 1 基态能量随电场的变化曲线。三条曲线从上到下分别由变分法、精确解和有限差分法所得的 结果。其中阱的厚度日：2 a ，a = 疗2 k m 木e 2 ，在g a a s 半导体中r = 1 3 1 f i g 1 1g r o u n d s t a t ee n e r g yei ss h o w na sf u n c t i o no fe l e c t r i cf i e l d f f r o mu pt od o w n ，t h et h r e e c u r v e sa r eo b t a i n e db yv a r i a t i o n a lm e t h o d ，e x a c ts o l u t i o na n df i n i t e d i f f e r e n tm e t h o dr e s p e c t i v e l y w h e r e w e ut h i c k n e s sh ；2 a ，a = 壳2 i r m 芈e 2 i ng a a s ，r = 1 3 1 1 2 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 1 。5 选题背景及内容 1 5 1 选题背景 近年来，半导体材料组成的低维体系中粒子的性质已经被广泛研究。人造低维固体 对微观结构材料产生很大的挑战。在纳米结构材料中，对于激发电子的属性的理解是基 础物理以及装置设计观念形成的关键。粒子在不同几何形状的半导体纳米结构中的能移 和与杂质相关的电子属性的研究是很重要的，因为能移与这些结构中电子和空穴空间的 分离有密切的关系，它能促使带间复合率减少：杂质的存在可以极大地改变体系的物理 性质；同时，也有助于理解量子激光。 近期，被限制在低维量子结构中粒子的s t a r k 效应和与类氢杂质相关的电子属性在 实验和理论方面的研究受到了广泛注意。人们利用各种方法研究了量子阱，量子线和量 子点中的s t a r k 效应 4 - 1 9 1 。h a m 和s p e c t o r i 】利用变分的方法调查了在半导体量子盘中 电场对电子能级的效应，并且发现s t a r k 能移对量子盘尺寸的依赖性与电场关于盘的中 心轴的方位有密切关系。s p e c t o r 和l e e t l 8 】利用波函数展开的方法计算了横向电场对限 制在个正方体量子箱中电子基态以及几个低激发态影响，并利用这些结果检验了量子 箱中子带间光吸收。他们发现由于电场应用所导致能级的s t a r k 能移在低场时是电场的 二次式，而在高场时几乎是线性的。但有关于长方体量子箱中s t a r k 效应的研究却很少。 u 和x i a t l 9 】利用以平面波为基的有效质量包裹函数理论计算在长方体量子点中一个类 氢的施主杂质能量的s t a r k 效应。 同时，在这些量子结构中有关杂质结合能的研究也做出了许多成果1 2 0 - 3 4 1 。在理论上， 电场和磁场共同对施主杂质效应以做了一部分工作 3 5 - a s 。a k t a s 和他的合作者在电场和 磁场同时沿g a a s g a l ；a 1 ，舡量子阱轴施加时，计算结合能随杂质以及势垒厚度的变化 关系1 3 5 - ：妊1 。f j r i b e i r o 等人 3 7 1 利用变分方法研究了圆柱形量子点中杂质的结合能。此 量子点侧面受一个抛物势的作用，在纵向受一个方形量子阱势。他们分析由于施加外场 导致对电子的限制和量子尺寸的限制，并讨论了这两种情况下，对结合能的影响。同时 也讨论了沿阱生长方向放置的杂质位置对杂质结合能的的影响。在文献 3 8 1 中，一个球 形量子点受个抛物势的限制，在量子点的半径小于有效玻尔半径时，可以把杂质与电 子的相互作用作为一阶微扰。在这种情况下，这是一种好方法。j m f e r r e y r a 等人 3 9 1 利 用微扰的方法在磁场存在的情况下，研究了个受强抛物限制势的量子点。他们计算了 】3 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 杂质相关基态和激发态的结合能，并发现结合能很强依赖于杂质的位置以及磁场的强 度。c i m e n d o z a 等人 4 0 1 利用变分法在一个立方体量子点中，计算了类氢杂质的结合 能，并研究该结合能与杂质位置和施加电场大小的变化关系。他们发现杂质结合能很高 依赖于杂质的位置，并在未加电场时，杂质放置在某些点上的结合能是相同的，但在电 场存在时，它们发生了分裂。最近，b e d n a r e k 等人【4 1 】对于被限制的带电载流子间的有 效相会互作用，已经提出了一维解析公式。他们把含有效势的一维模型和三维方法运用 到解决被限制在单个或双量子点以及量子线中激子问题。通过对比一维和三维的方法， 讨论有效一维相互作用势的可行性。x t a n 等人【4 2 1 利用文献【4 1 】提到的一维有效势的 方法，研究了在磁场存在下，一个抛物量子阱线中类氢杂质的结合能。并利用一维有限 差分法进行讨论了磁场及空间限制对结合能的影响，发现在量子阱线中，电子受磁场和 空间限制的相会作用导致了复杂的类氢杂质的结合能。同时也发现在弱空间限制下，高