（信号与信息处理专业论文）小波降噪算法及其ip软核实现技术研究.pdf

摘要 捅要 随着数字信号处理理论的发展，小波理论得到了越来越多人们的关注。作为 小波理论应用的一个重要方向，小波降噪理论也日趋成熟。在实际应用程中，模 极大值法和阈值法是最常用的两种降噪方法。模极大值法提出于上世纪九十年代， 由于计算量太大，它的应用受到了极大的限制。因此本文重点讨论阈值降噪的方 法以及对它的改进。阈值降噪处理的难点主要存在于最优分解层数确定、针对信 号不同特性进行准确阈值估计、采用合适阈值处理函数对小波系数进行处理这三 个方面。本文从多个方面对这些难点进行了讨论、仿真，提出了改进方法。 在实际工程中，采用软件方法进行小波降噪很难满足实时性的要求。针对这 个问题，本文还进行了基于f p g a 的小波降噪i p 软核实现研究。在介绍了i p 软核 的设计方法和设计思想的基础上，提出了小波降噪口软核的主要结构，详细分析 了影响设计性能的几个重要方面。 最后，本文提出了对全文的总结以及对未来研究的展望。 关键词：小波变换阈值法降噪阈值估计i p 软核 a b s t r a c t a b s t r a c t w a v e l e tt h e o r y , a sb e i n gs t u d i e dm u c hm o r eh e a t e d l yn o w a d a y s ，h a sb e c o m ea s i g n i f i c a n ts i g n a lp r o c e s s i n gt 0 0 1 d e n o s i n gi so n em a j o rb r a n c ho fi t sa p p l i c a t i o n g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h e r ea r et w ow a v e l e td e n o s i n ga p p r o a c h e s ，o n e sn a m e d m o d u l u s m a x i m ad e - n o i s i n g w h i c hi sp r o p o s e di i lt h e19 9 0 s h o w e v e r , t h el a r g ec o m p u t a t i o n a m o u n to ft h i sa l g o r i t h ml i m i t si t s u s e s t h e r e f o r e ，t h r e s h o l dd e n o i s i n gi sd i s c u s s e d m o r ei l lt h ep a p e r t h r e ek e y s t o n e so ft h r e s h o l dd e - n o i s i n ga r e - d e c o m p o s el e v e l n u m b e re s t i m a t e ，s h r i n k a g ee s t i m a t ea n d s h r i n k i n gf u n c t i o ns e l e c t t h o s et h r e ep a r t sa r e d i s c u s s e df r o ms e v e r a lp o i n t so f v i e wi nt h ep a p e ra n dt h es i m u l a t i o n sa r eg i v e ni nt h e e n d c o m p a r e dt oh a r d w a r e , s o f t w a r ec a l ln o tb es a t i s f a c t o r yw h e nf a c i n gr e a lt i m e r e q u i r e m e n t t os o l v et h i sp r o b l e m ，t h ed e s i g no ff p g as o f ti pc o r eo fw a v e l e t t h r e s h o l dd e - n o i s i n gi sp r o p o s e dt h e r e a f t e r t h et h o u g h ta n ds t r u c t u r eo fs o f ti pc o r e d e s i g n i n gb a s e do nw h i c ht h es o f ti pi sb u i l t ，i sg i v e n i nt h ee n d ，c o n c l u s i o na n d e x p e c t a t i o nf o rf u t u r ed i s c u s s i o na r eg i v e n k e y w o r d ：w a v e l e tt r a n s f o r mt h r e s h o l dd e - n o i s i n gt h r e s h o l de s t i m a t es o f t i p c o r e 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 、fl- 、 本人签名： 出i 是日期：砭乙j 且 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布的全部或 部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解 密后遵守此规定) 本人签名： 导师签名： 魄衅 日期埤_ 乒 第一章绪论 第一章绪论 1 1 小波变换的发展及其应用 f o u r i e r 变换是人们非常熟悉的数学变换。它在数字信号处理领域内获得了非 常成功的应用。但是f o u r i e r 变换在对信号的时频域观察时有个缺陷：它不能在观 察频域信息的同时兼备到观察时域信息。因为f o u r i e r 频谱是信号的统计特征，是 整个时间域的积分，没有局部化分析信号的能力，不具备时域信息。另外，f o u r i e r 变换要求信号在时间域内是统计平稳的，但是有很多信号不具备平稳的统计特征， 面对这样的信号，f o u r i e r 变换分析方法往往显的力不从心【1 1 。 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是八十年代后期发展起来的应用数学分支。与 f o u r i e r 变换、窗口f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 相比，小波变换是时域和频域的局 部变换，因而能有效地从信号中提取信息。它通过伸缩和平移等运算方法对函数 或信号进行多尺度分析( m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) ，解决了f o u r i e r 变换所不能解决的许 多困难，被誉为数字信号领域内的“数学显微镜 。小波变换是调和分析发展史上 里程碑式的进展，现在已经成为了国际上众多媒体和学科领域共同关注的热点， 并在相关领域取得了重要成果。 1 9 10 年，a h a a r 在描述抽象h i l b e r t 空间特性的论文中，首次构造了紧支撑的 正交函数系叫a a r 函数系。r a d e m a c h e r 和j l w a l s h 分别于1 9 2 2 年和1 9 2 3 年构 造了【0 ，1 ) 区间上的正交小波包。在“小波”概念出现以前，w - a l s h 函数系曾广泛应 用于信息论、通讯、计算机、遥感等领域。1 9 2 7 年，w h e i s e n b e r g 发现了著名的 不确定性原理。这一原理在信号理论中表现为时间一频率分辨率的测不准关系， 任何函数与它的f o u r i e r 变换不可能同时具有紧支撑，而且它的时频带宽积大于一 个确定的常数。 1 9 4 6 年，d g a b o r 提出用加窗f o u r i e r 变换( 或g a b o r 变换) 表示信号，此方 法与连续小波变换( c w t ) 有许多相似之处。相应地也引入了时频局部化原理及 等q 原理。6 0 年代，f f t 的提出是f o u r i e r 分析走向实用的一个里程碑。 小波变换在理论上构成较系统的框架则是在8 0 年代，主要是法国数学家 y m e y e r 、地质物理学家j m o r l e t 和理论物理学家a g r o s s m a n 的贡献 2 1 。把这一理 论引入工程应用，特别是信号处理领域，法国学者i d a u b e c h i e s 和s m a l l a t 起着极 为重要的作用。因此人们有时把小波分析的兴起归功于所谓“法国学派” 在八十年代早期，s t r o m b e r g 发现了第一个正交小波。 在调和分析理论发展的同时，a l e xg r o s s m a n ，j e a nm o d e t 等人独立地研究了 连续形式的小波变换，并建立了“框架( f r a m e ) 理论。 2 小波降噪算法研究及其i p 软核实现 八十年代中期，许多研究小组( 最著名的是m e y e r 及其合作者) 意识到从 c a l d e r o n - - z y g m u n d 理论而的来的工具，尤其是l i t t l e w o o d - - p a l e y 描述，有其离 散形式，并能给许多调和分析结果一个统一的解释。于是人们开始尝试用这些手 段代替f o u r i e r 分析。随着研究重点转向描述本身，用以描述的结构被包含进来， 这个理论的名字也发生了变化。g r o s s m a n 和m o r l e t 提出“w a v e l e t 一词来指代描 述结构，该理论也开始被称为小波理论。 m e y e r 和l e m a r i e 各自独立地构造出了正交小波基。随着m a l l a t 和m e y e r 引入 多尺度分析的概念，一个理解这些正交展开的系统框架也发展起来。多尺度分析 也使小波与二次镜像滤波器联系起来，实现了小波变换的快速算法。1 9 8 9 年， d a u b e c h i e s 构造出一族具有任意阶消失矩的紧支撑正交小波。1 9 9 2 年，双正交紧 支撑小波也被构造出来。与此同时，时频域刻画可控的基“小波包”的概念也被 提了出来。 八十年代中后期，小波设计方法日趋多样性，并和多个学科相互渗透。1 9 9 4 年，g e r o n i m o 、h a r d i n 和m a s s o p u s t 把分形理论中迭代函数系应用于小波设计，提 出了通过双尺度差分方程迭代生成小波的构造方法。后来，g o o d m a n 等在此基础 上提出了多小波( m u l t i w a v e l e t ) 概念。1 9 9 5 年，w s w e l d e n 提出通过提升法( l i f t i n g s c h e m e ) 构造第二代小波( s e c o n dg e n e r a t i o nw a v e l e t ) 的新思想。提升法是一个 简单而实用的工具，使得小波构造摆脱了对f o u r i e r 变换的依赖，并更具灵活性。 小波变换一个应用非常成功的领域就是降噪【3 ，4 l 。传统的建立在f o u r i e r 变换基础上 的滤波方法在提高信噪比和提高空间分辨率两项指标上常常存在矛盾。低通滤波 器固然可以抑止高频噪声，但是同时也会损失高频细节信息。高通滤波器可以保 留高频信息，但是背景噪声同时也被加强。相比之下，基于小波变换的多分辨滤 波技术有明显的优点。 小波分析已经被广泛应用于现代科技的各个方面。例如信号分析、图像处理； 量子力学，理论物理；医学成像与诊断；大型机械故障诊断等等。在国防工业领 域，小波分析也被用来进行雷达信号处理1 5 】。文献 6 使用了小波方法进行雷达目 标识别处理中的特征信号识别。文中选择性地利用分解后得到的一些小波系数进 行小波重构得到用来进行目标识别的识别特征。 1 2 小波降噪算法和i p 软核实现技术的研究意义 正是由于小波变换在信号处理等的一系列领域内得到了越来越广泛的应用， 对小波变换的研究也日益成为业界和学术界的一个热点。一方面，针对实际情况 下的信号，传统的小波降噪算法存在着一些不尽如人意的地方。本文通过仿真， 提出了一些对小波降噪算法改进的方法；另一方面，由于小波变换的计算较为复 第一章绪论 3 杂，在一些实时性要求比较严格的场合，软件计算方法经常不能满足要求。我们 以一个十阶的直接型f i r 滤波操作为例，每产生一个数据需要进行十次乘法操作和 九次加法操作。如果采用d s p 实现，通常来说执行一次加法需要一个操作周期，一 次乘法需要若干个操作周期。完成这些运算会积累起大量的时间延迟，处理速度 很难满足实时应用需要。为了解决上述的矛盾，人们总是在工程中试图用硬件来 实现小波降噪算法。但是掩膜专用芯片的设计周期长，风险大，并且其中的算法 无法优化。本文尝试通过实现基于f p g a 的小波降噪算法i p 软核的方法来解决这一 矛盾具有积极的意义。 1 3 小波理论的国内外研究现状 小波变换理论在国际上是上个世纪8 0 年代才发展起来的数学分支。国内从9 0 年代开始才掀起了小波研究的热潮。国外在该领域内的理论研究工作是比较系统 的集中在完善小波变换理论，小波基的构造等方面；国内的研究主要是对国外现 有理论的学习和改造，对于应用的研究也相对较多。美国a d 公司于2 0 0 1 年推出了 首款基于小波压缩的专用芯片；近两年，在数码相机的高端市场有基于j p e g 2 0 0 0 的产品推出，而j p e g 2 0 0 0 的核心算法就是基于小波变换的。 从公开发表的论文看，s a t i ng e o r g em a t h e n ( u n i v e r s i t yo f k a n s a s ) 2 0 0 0 年的硕士论文 ( ( w a v e l e tt r a n s f o 珊b a s e da d a p t i v ei m a g ec o m p r e s s i o no nf p g a ) ) 己经实现了每秒 钟1 0 帧的处理速度( 5 1 2 5 1 2 ) ，编码支持3 种不同的图像压缩率的功能【，j 。文献【8 】 对信号做3 层小波分解的系统时钟达到了9 2 7 m h z ( 正变换) 和8 9 1 m a z ( 反变换) 。 远远高于p e n t i u mi i i 处理器的0 0 0 78 1 m h z ( 正变换) 和0 0 0 67 3 m h z ( 反变换) 以及 d s p 芯片t m s 3 2 0 c 6 7 1l 的6 5 3 m h z ( 正变换) 和3 6 2 m h z ( 反变换) 。 国内这方面的研究要相对滞后，但是近年来也有不少研究成果。女1 2 0 0 3 年8 月， 复旦大学专用集成电路与系统国家重点实验室的华林在微电子学杂志上发表 了一种适合j p e g 2 0 0 0 的离散小波变换v l s i 统一结构其最高工作频率达到了 6 5 5 2 4 删z 。 总之，国内外都在小波领域进行了深入的研究，国内相对滞后，但是也取得 了一定成果。 1 4 本文所作的工作 本文主要是针对小波变换在降噪领域内的应用，提出了小波阈值降噪的改进 方法；针对变信噪比信号的降噪问题，做了具体的分析和研究，提出了具体的降 噪算法；研究了小波降噪实现的硬件结构，通过v h d l 硬件描述语言进行建模，仿 真，最终生成可以在f p g a 或c p l d 开发中使用的i p 软核。具体来说，本文所做的 4 小波降噪算法研究及其i p 软核实现 工作主要有以下几点： 针对小波变换系数阈值降噪方法可能在信号的奇异点产生伪g i b b s 现象，给出 了一种在通用阈值法基础上改进的平移不变小波变换降噪方法，该方法能有效 地抑制通用阈值法在信号奇异点产生的伪g i b b s 现象。 针对宽带信号接收过程中常遇到的变信噪比的信号，提出了有效的分段阈值降 噪算法和一种基于r o b u s t 均值估计器的自适应阈值处理方法； 分析了小波降噪的算法，提出了小波降噪口软核的设计结构、功能、目标： 采用模块化设计方法，用v h d l 语言建立每个模块，在q u a r t u s l i 平台上做了仿 真，并且和m a t l a b 6 5 仿真结果对照，验证了各功能模块的正确性；最终生 成通用性较强的i p 软核。 1 5 论文内容安排 论文一共分为五个章节。第一章是本章，主要介绍小波理论和小波降噪理论 的产生、发展情况和本文的研究内容；第二章介绍了小波理论的基本知识和几个 重要的概念；第三章重点讨论了阈值法降噪的方法，介绍的分段降噪方法和平移 不变法对阈值降噪法的一些缺点进行了改进，并给出了仿真结果和讨论；第四章 分别从结构、性能等角度介绍了小波降噪的i p 软核实现方法。 第二章小波分析和降噪理论 5 第二章小波分析和降噪理论 2 1 引言 小波分析理论是一种数学方法，是通过使用一系列的“特殊信号”对目标信 号、系统或者处理过程进行建模的一种数学理论。这些特殊的信号是很“短小 的“波 或者称之为“小波 。它们必须是振荡的( 波) 而且具备在正反两个方向 急剧降低到零的振幅特性。上述中要求的振荡特性使我们联想到了正弦曲线，而 快速的收敛特性使我们想到了加窗这种处理方法。要作为一个“小波 ，这两个条 件必须同时满足，所以我们称小波为“长度有限，均值为零的波”。小波不像正弦 波( f o u r i e r 分析的基础) 那样既光滑又可预见，它倾向于不规则、不均匀、不对 称的特性桫j 。 图2 1 正弦信号和d a u b e c h i e s 小波信号 从图2 1 我们可以看出，具有比较陡峭变化的信号用小波信号进行分析比用 光滑的正弦信号进行分析要好的多，而且信号的局部特征用小波来刻画也要更加 细致一些。进一步，我们使用一个系列的小波来分析信号，而且这个系列的小波 都是通过对一个小波方程进行平移和伸缩产生的。我们称这个原始的小波方程为 母小波。 小波理论就是通过把目标信号用一系列相关的其他信号进行分解后处理的一 种理论。如果这个“其他信号 是经过平移和伸缩过的小波，这个分解的过程就 被称为小波分解或者小波变换；另一个把用小波分解的信号重新组合在一起的过 程就称作小波重构。 2 2 小波理论的基本思想 小波分析的基本思想是用一组函数去表示或逼近一个函数或信号。小波变换 利用一个具有快速衰减性和振荡性的函数母小波，将其伸缩和平移得到了这 组函数小波基函数。基函数在时频相平面上具有可变的时间频率窗，以适应 不同的分辨率的需要。图2 2 是加窗f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 和小波变换的时频 空间的划分【1 0 1 。 6 小波降噪算法研究及其1 p 软核实现 频 塞 g a b o r 变换 时间 频 率 l 毳 时间 图2 2g a b o r 变换与小波变换时频分析 图2 2 说明了，在g a b o r 变换中，一旦窗函数选定，在时频平面中窗口的大小 是固定不变的，不随时频位置变化而变化，所以g a b o r 变换的时一频分辨率是固定 不变的，而小波变换中的窗函数在时频平面中，随中心频率变化而改变，在高频 处时窗变窄，在低频处频窗变窄，因而满足对信号进行时频分析的要求，它非常 适合分析突变信号和非平稳信号。况且小波变换具有多分辨率分析的特点和带通 滤波器的特性，并可用快速算法实现，因而常用于滤波、降噪等方面。 2 3 连续小波变换与二进小波变换 本小节首先介绍连续小波变换的定义及其性质、小波变换的反演及对基本小 波的要求，然后阐述二进制小波变换。 2 3 1 连续小波变换 设x ( t ) 是平方可积函数 记做x ( f ) r ( r ) ，缈( ，) 是被称为基本小波或者母小波 ( m o t h e rw a v e l e t ) 的函数，则 暇( 叩) = 击趸九等渺= ( 蚺匕) ，口 。 ( 2 _ 1 ) 称为x ( f ) 的小波变换。式( 2 一1 ) 中口 0 是尺度因子，r 是位移，可正可负。 、王，吖( f ) = 甲( ! 二) 是基本小波的位移与尺度伸缩。式中f 、口和f 均是连续 变量，因此式( 2 一1 ) 称为连续小波变换i l l , 1 2 ( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m 简单记 为c w t ) 。 ( 2 1 ) 式等效的频域表达式是： 第二章小波分析和降噪理论7 哪力= 尝弘肌矿咖 ( 2 - 2 ) 式中x ( o j ) ，甲 ) 分别是x ( f ) ，矽( f ) 的f o u r i e r 变换。 与某些常用变换( 如f o u r i e r 变换、拉氏变换) 相比，小波变换的一个特点是 没有固定的核函数，但并不是任何函数都可以用作小波变换的基本小波伊( f ) 。任何 变换都必须存在反变换才有实际意义，但反变换并不一定存在。对小波变换而言， 所采用的小波必须满足“容许条件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ) ，反变换才存在。 1 容许条件 当勺：1 垃粤监咖 时，才能由小燃w r x ( a , r ) 反演原函数x o ) 。 二 珊 2 正规性条件 满足容许条件的小波缈( f ) 可做基本小波。但实际中还要加“正规性条件 ，以 便a ( c o ) 在频域有较好的局域性能，即要求i 暇( 口，f ) i 随口的减少而迅速减小。这就 要求缈( r ) 的前刀阶原点矩等于o ，且n 越大越好。也就是要求 t ) a t = o ，p = l ，2 ，” ( 2 - 3 ) 。上述要求在频域表示是：甲) 在缈= o 处有高阶零点，且阶次越高越好。即 甲沏) = c o ”1 t p o ) ，甲o ( c o = 0 ) 0 ( 2 - 4 ) 3 建核与重建核方程 重建核方程是小波变换的另一重要性质，它说明小波变换的冗余性。即在口一f 半平面上各点的小波变换是相关的。( ，r o ) 处的小波变换值暇( ，) 可以表 示成半平面( 口r + ，f r ) 上其它各处胛的总贡献： 陟r t x ( a 0 巾= 垮f w t ( a , r ) g 妒( a o , r o ，叩) d r ( 2 - 5 ) 式中： k ( ，r o ，口，彳) = 他，( f ) 盛，勺( o a t 2 吉咖c 净去缈c 等，衍 = ( ( r ) ，( f ) ) ( 2 - 6 ) ( 2 5 ) 式称为重建核方程，k 称为重建核，它反映了仍，( f ) ，f o ( ，) 的相关程度。 8 小波降噪算法研究及其i p 软核实现 2 3 2 二进制小波变换 一维信号x ( f ) 作连续小波变换成为二维的暇( 口，丁) 后，其信息有冗余。因此从 1 压缩数据及节约计算的角度看，希望甲o ) = 甲( 上与的口，f 限定在一些离散点 v a u 上取值。 先看尺度的离散化。一种最常用的办法就是将尺度按幂级数离散化，即令口取 o = 1 ，础，2 ，磊，此时相应的小波函数是 g o j l 2 缈 a 0 7 ( f f ) 】，j f = o ，1 ，2 ，3 ， ( 2 7 ) 再看位移的离散化。当a = 醒= 1 ( 也就是j = o 时) ，f 可取某一基本间隔作 为均匀采样。应使信息能覆盖全7 轴而不丢失( 满足n y q u i s t 采样定理) 。对于 其余各尺度，由于烈啄7 f 】的宽度是纠明的耐倍( 相当于其频率降低“倍) ，因此采 样间隔可以扩大耐倍。即在某一歹值下沿r 轴以为间隔作均匀采样仍可保证信 息不丢失。因此，纯，i t 】就被改成： 一一 2 矽【a o o k a g r o ) 】= a o2 伊【a o 。t - k r o 】 ( 2 - 8 ) 记作乒，在这些点上计算得到的胛记作： 呢( 耐，钒) = 卜。砌罐j f o 衍j = o ，1 ，2 ，k z ( 2 - 9 ) 因时间变量没有离散化，称式( 2 - 9 ) 为离散小波变换( d w t ) ，有些文献也 称式( 2 - 9 ) 为离散栅格下的小波变换。 当取a o = 2 ，a r = 0 ，即连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍然 取连续变化，此类小波称为二进s u , j , 波，表示为： 吩。，( ，) = 2 一；缈( 毕( 2 - l o ) 二进制小波介于连续小波和离散小波之间，它仅对尺度参量进行离散化，而 在时间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进制小波变换仍然具有连续小波变 换的时频共变性，这是它与离散小波变换比较所具有的优点。因而，它在奇异性 检测等信号的处理等方面有着十分广阔的用途 1 3 , 1 4 1 。 设小波函数为缈( f ) ，其f o u r i e r 变换为甲 ) ，若存在二常数0 渐进完全性：u 巧= r ( r ) ， _ ，一= r ( r ) 伸缩规则性：厂( x ) 巧铮f ( 2 x ) 一小厂( 詈) 巧一t 平移不变j i 生：f i x ) 一营f ( x - k ) 一 r i e z e 基存在性： 存在妒( x ) v o ，使得 伊o 一后) i k z ) 构成的r i e z e 基。 即对任何厂( x ) k ，存在唯一序列 吼) ，2 ，使厂( 工) = 鲰缈 一七) 。反之，任 k e z 意序列 以) 臌，2 确定一个函数”( x ) ，且存在0 a b o o ，隹得 a l l u l l 2 - o 高频数据的延拓为： 22 1_ 以，2 一噍刊2 一噍吐， o 对于周期延拓而言，对信号做一级小波分解相当与先对信号做低通滤波( 卷 积) ，然后进行下采样。一个周期数据和一滤波器做卷积后仍然具有相同的周期性， 小波变换处理过程中的数据的长度一般都是2 的幂，那么经过下采样后得到低频 数据和高频数据同样具有周期性。 2 4 小结 本章从连续小波变换的基本概念入手，逐步介绍了离散小波变换、二进小波 变换、多分辨分析以及m a l l a t 算法几个重要的概念。这些概念是理解小波理论的 1 6 小波降噪算法研究及其i p 软核实现 基础，深刻地理解它们有助于在后面章节较好的理解降噪的原理。在本章末尾介 绍了m a l l a t 算法实现时需要注意的一些问题。 第三章小波降噪的原理、方法及步骤 1 7 第三章小波降噪的原理、方法及步骤 现有降噪方法归结起来大概有三种：传统的基于f o u r i e r 变换的降噪方法，相 干平均法【1 6 1 1 1 7 1 和基于小波变换的降噪方法。其中最常用的是基于f o u r i e r 变换降噪 方法和基于小波变换的降噪方法。我们这里主要讨论的是小波降噪的方法。 3 1 小波降噪的基本原理 假定信号f ( i ) 来源于一光滑信号f ( t ) 的均匀采样，采样信号被加性噪声以( f ) 所 污染，于是带噪信号为： x ( d = 厂( 力+ 玎( f ) ， f = l ，2 ，n 本文讨论的，2 ( f ) 为高斯白噪声的情况。一般说来，原信号通常表现为低频信号 或者是一些光滑信号，而噪声则通常表现为高频信号。所以，降噪过程可以按照 如下的方法进行处理：首先对信号x ( f ) 进行小波分解，以三层分解为例，分解过程 如图3 1 所示，则噪声通常包含在c d l ，e d 2 ，e d 3 中，因而可以用小波阈值的形 式对小波系数进行处理，然后对信号进行重构即可以达到降噪的目的。对x ( o 降噪 的目标就是要抑制信号中的噪声部分，从而从x ( f ) 中恢复出真实的信号厂( f ) 图3 1 信号的分解过程 3 2 小波降噪的方法及步骤 比较常见的小波降噪方法大体有两类：第一类始于1 9 9 2 年，m a l l a t 提出奇异性 检测的理论，从而可以利用小波变换模极大值的方法结合边缘检测来去除噪声。 第二类是小波阈值法，将含噪信号做正交小波变换，然后对其系数进行阈值操作 得到降噪信号。1 9 9 2 和1 9 9 5 年，d o n o h o 【18 ，1 9 1 等提出非线性小波变换阈值降噪法， j a m e ss w a l k e r 提出自适应树小波萎缩法。 l g 小波降噪算法研究及其l p 软核实臻 3 2 1 模极大值法降噪 1 9 9 2 年，m a l l a t 提出用奇异点一模极大值法检测信号的奇异点，根据有用信号 和噪声的小波变换在奇异点的模极大值的不同特性，采用多分辫率理论，由粗分 辨率到精细分辨率地跟踪各尺度下的小波变换极大值来消除噪声。模极大值法主 要适于信号巾混有自噪声且信号中含有较多奇异点的情况，降噪精的信号没有多 余振荡，能获得较高的信噪比，保持较高的时间分辨率。另外模极大值法要利用 复杂的交替投影法来进行重构小波系数，因而计算速度非常慢且有时不稳定 2 0 , 2 1 9 2 。 3 2 2 阂值法降噪 含噪声信号经小波交换嚣得至l 离散细节信号( 小波系数) 和离散逼近信号( 尺 度系数) ，可以证明，噪声的离散细节信号的幅度和方差随着小波变换级数的增长 丽不断地减小。对于所有的尺度，自噪声的离散细节信号的系数方差随整尺度的 增加会有规律地减少，但有用信号的小波变换的平均功率与尺度没有什么关系。 同样，对应予信号的离散细节信号的幅度和方差也不会随着尺度的增加丽减少。 利用这一特性，可以选择一阈值，对小波变换后的系数进行处理从而达到降嗓的 目的，这就是小波阈值降噪的方法。 一般来说，利用小波方法进行降嗓酶过程可以分尧三步l 玷霉： 1 ) 小波分解。确定小波分解的层数n ，对信号进行n 层小波分解。 2 小波分解高频系数的阙值处理。对第- - n 第n 层的每一层高频系数，选择一个 阈值进行阈值处理。 3 ) 小波重构。根据小波分解的第n 层的低频系数和经过闽值处理后的第一层到第 n 层的高频系数，进行信号的小波蓬构。 在这三步中，最关键的就是分解层数的确定以及如何进行准确的阈值估计。+ 分解层数太高，增加了计算量的同时不定能有效的提高降嗓效果；如果太低剐 得不到理想的降噪效果。而阂值过高，会将信号分量也当作噪声滤掉，丢失的信 号信息太多：如果阂值太小，又会使得滤波效果不好，嗓声的成分过多，不利于对 信号的分析。从某种程度上来说，它直接关系到信号降噪的质量。 3 2 2 1 基于白化检验的小波降噪分解层数确定 由小波的多分辨理论我们知道，小波理论对信号分析处理过程实质上是在对 不同分辨率或称不同尺度的小波系数处理的过程。一个数据长度为的信号理论 第三章小波降噪的原理、方法及步骤 1 9 上可以进行l o g ，层的分解，每次分解后的数据长度降低一半。但是每增加一层 分解级数，就要相应的增加一层分解所需的运算量和存储空间，这对工程实践是 不利的。另外，是不是分解层数越高，对信号的降噪处理就越有利呢? 通过下面 这个仿真，我们就可以得出结论。 在仿真中，本文选用m a t l a b 工具箱中的一组常用信号对上述理论进行仿真。 首先给出信噪比在同一母小波，不同分解层数的情况下的表现。下图是用d b 4 小 波分解得到的结果，四种不同的线型分别代表不同的阈值降噪策略： b 10 c k s b u m p s ” 1 0 z 磊9 b 7 二摇整遥二三 ； ；、! !； 笋 卜p 弋 p 鼍y = = 一 、 以一l l l 三 + 一一一。一一 ； ；i 0 ， 、 一蚕rigrsure 图3 2 信号分解层数与处理后信噪比的关系 从图3 2 的仿真结果可以看出，在分解层数没有达到理想的分解层数以前， 信噪比的增加与层数的增加有着非常直接的关系。而达到了一定的分解层数后， 信噪比不再会有太大的增加，某些情况下甚至会有较大的降低。这样，无论从计 算量、存储量的角度还是从处理效果的角度来考虑都没有必要进行更多的分解。 所以在进行小波降噪的过程中，要适当选择分解层数，太小会使处理结果信噪比 提升效果不够，太高会使得计算量提高而处理效果基本不变甚至降低。在图3 2 中，最佳的分解层数分别为4 ，3 ，6 ，5 。针对这个问题，本文给出了一种基于白 化检验的小波降噪分解层数确定方法。 由随机过程理论，我们知道离散白噪声是由一组互不相关的随机变量序列构 成，它的自相关序列为： 9 8 7 6 5 4 3 2 1 z z 小波降噪算法研究及其i p 软核实现 雕，= ： 嚣 ， 利用这个特点，我们可以对小波变换后的系数进行白化检验，确定它是否为白噪 声序y l j 2 4 1 。方法如下： 设第层的小波系数为，。( 后= l ，2 ，3 m ) ，m 为第歹层小波系数的个数，首 先计算其自相关序列辟( 扛0 , 1 ，2 ，m ) ，m 通常取5 到1 0 ，若肛满足下式： 悱再1 9 5 ，纠 ( 3 2 ) 则认为 为白噪声序列，需要继续进行小波分解，- 卣n , j 、波系数变成非白噪 声序列时停止分解。 3 2 2 2 小波降噪的阈值处理 从绪论我们知道，d l d o h o n o 于1 9 9 5 年在小波变换的基础上提出了阈值降噪 的概念，这种方法在b e s o v 空间上可得到最佳估计值，而任何其他线性估计都达不 到与此相同的估计效果。因此，阈值降噪的方法引起了国内外学者的关注。d l d o h o n o 和i m j o h n s t o n e 在阈值降噪的方面做出了大量的研究工作【2 5 1 ，提出了硬阈 值、软阈值和几乎硬阈值等阈值处理函数。有的学者2 6 1 分析了各种传统的阈值处 理方法，提出了一个一般化的带有参数a 的策略分数幂模型，对前面几种阈值处理 方法进行了总结和扩展。文献 2 7 提出了多项式差值法，软硬阂值折衷法，模平 方处理法。 1 软硬阈值法1 1 8 2 5 ，2 8 】 最早出现的阈值处理方法就是软硬阂值处理方法。硬阈值处理方法对各层小 波系数做如下处理： 1w t ，1 w t l 见 州2 t0 0 ， 1 , ( 3 - 4 ) l 0 ， h 名 镰 丸 0 x 1 a l m o s th a r ds h n n k a g e 图3 4 小波系数的几乎硬阈值处理方法 3 。分数幂模型 万永福，袁震东分析了各种传统的阈值处理方法，提出了一个一般化的带有 小波降噪算法研究及其i p 软核实现 分数a 的阈值策略分数模型( f r a c t i o n a lp o w e rm o d e l ) ，该模型描述如下： 址p 唢m r 一：粥 5 ， 硬阈值、软阈值和几乎硬阈值三种方法可以看作是这个模型的三个特例，对 应的a 为佃，1 和2 。图3 5 表示了a 不同时，不同的模型表现出来的阈值处理模式。 赵瑞珍结合软、硬阈值降噪方法，得到了三种改进的阈值估计模型j 多项式插 值法，软硬阈值折衷法，模平方处理法。 4 多项式插值法 由于硬阈值估计在兄点处不连续，而软阈值估计在w f 较大时总有一定的偏差， 为避免这两个缺点，设计这种方法估计出来的小波系数w t 在旯点处连续，而对于 1 w t l g ( t 名) ，估计所得小波系数衍与w t 无偏差，这可以通过多项式插值来实现， 其模型为： x l 九 图3 5 小波系数的分数幂处理方法在a 不同时的对比 帆广r f w l , m 睇 1 w t i _ t 五1 w ，l 3 2 嚣 3 2 ( 3 - 1 3 ) 接着，再介绍一种工程中比较常用的阈值估计方法叮阈值法 一些文献f 3 2 弓q 根据统计上的3 盯原则，采用2 = 3 0 - 。因为对于五= o 2 l o g sn 来说，该阈值在过大时显得太大，在较小时则过小，因此往往不采用因子 2 l 0 9 2 n ，而代之以一常数，即力= c o 。 在 3 6 中，作者在一个合理的假设前提下，给出了一个重构信号与真实信号 误差的近似函数通过计算