（应用数学专业论文）关于二元风险模型.pdf

中文摘要 中文摘要 截止到目前，很多学者针对保险业务中存在和出现的情况做了大量的研究， 很多论文处理了互相相关的索赔集合的和，如当索赔数额的聚合分布取某个确 定形式时，损失集合的分布；具有共同波动的离散时间泊松模型的相依关系对 有限时间破产概率和调节系数的影响；连续时间内具有埃尔朗公共波动的互相 相关的索赔集合的和的风险过程的破产概率，等等。同时，对于保险公司来说 多变量风险过程对研究破产问题是非常有用的，所以在此基础上，考虑关于多 变量风险过程的模型就变得顺理成章了。 本文研究一个二元复合泊松模型，主要用于与保险业务相关的工作。我们 把研究的重心集中在，至少有个保险业务将会变得破产时的破产概率。这种 工作虽然是我们所期望的，但是，在一般情况下，要获得这种二元的破产概率 表达公式是非常困难的。考虑到这点，我们引入通常情况下所说的二元复合二 项式模型，这个模型过去习惯用于这个假设模型的近似有限次的生存概率。而 且，通过二元复合泊松过程的聚合性，针对无限次破产概率，我们获得一个上 界。对于这个模型的特殊情况，我们考察当索赔额是指数分布时的无限次数生 存概率。 关键词聚合性，复合泊松，复合二项式，破产概率，生存概率 a b s t r a c t a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r sal o to fw o r kh a sb e e nd o n ew i t hab o o ko f d e p e n d e n tc l a s s e so f i n s u r a n c eb u s i n e s s w i t h i nt h i sf r a m e w o r km a n yp a p e r sd e a lw i t ht h es u mo f c o r r e l a t e da g g r e g a t ec l a i m s ，t h a ti s ，t h ea g g r e g a t el o s sf o r t h ew h o l eb o o k o f b u s i n e s s a m o n gt h e ma m b a g a s p i t i y ad i s c u s s e dt h ed i s t r i b u t i o no ft h ea g g r e g a t el o s sw h e nt h e j o i n td i s t r i b u t i o no ft h ec l a i mn u m b e r st a k e sac e r t a i nf o r m ；c o s s e t t ea n dm a r c e a u s t u d i e dt h ei m p a c to fd e p e n d e n c er e l a t i o no ft h ed i s c r e t e t i m ep o i s s o nm o d e lw i t h c o m m o ns h o c ko nt h ef i n i t e t i m er u i np r o b a b i l i t i e sa n do nt h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ； y u e n ，g u oa n dw ud e r i v e dr u i np r o b a b i l i t i e sf o rt h er i s kp r o c e s so ft h es u mo f c o r r e l a t e da g g r e g a t ec l a i m sw i t he r l a n gc o m m o ns h o c ki nc o n t i n u o u st i m e a to n e t i m e ，m u l t i v a r i a t er i s kp r o c e s s e sm a yb eu s e f u lt os t u d yr u i np r o b l e m sf o ri n s u r a n c e c o m p a n i e sh a n d l i n gd e p e n d e n tc l a s s e so f b u s i n e s s ，a p a r tf r o mt h es u mo f c o r r e l a t e da g g r e g a t ec l a i m s ，i ti sn a t u r a la n ds e n s i b l et oc o n s i d e rt h em o d e li nt e r m s o fm u l t i v a r i a t er i s kp r o c e s s e s t h i sp a p e rc o n s i d e r sab i v a r i a t ec o m p o u n dp o i s s o nm o d e lf o rab o o ko f t w o d e p e n d e n tc l a s s e so fi n s u r a n c eb u s i n e s s w ef o c u so nt h er u i np r o b a b i l i t yt h a ta t l e a s to n ec l a s so fb u s i n e s sw i l lg e tr u i n e d a se x p e c t e dg e n e r a le x p l i c i te x p r e s s i o n s f o rt h i sb i v a r i a t er u i np r o b a b i l i t yi sv e r yd i f f i c u l tt oo b t a i n i nv i e wo ft h i sw e i n t r o d u c et h es o c a l l e d b i v a r i a t ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e lw h i c hc a l lb eu s e dt o a p p r o x i m a t et h ef i n i t e t i m e s u r v i v a lp r o b a b i l i t yo ft h ea s s u m e dm o d e l f u r t h e r m o r e w eo b t a i na nu p p e rb o u n df o rt h ei n f i n i t e t i m er u i np r o b a b i l i t yv i as o m e a s s o c i a t i o np r o p e r t i e so ft h eb i v a r i a t ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s f o ra s p e c i a lc a s e o ft h em o d e l ，w ee x a m i n et h ei n f i n i t e t i m es u r v i v a lp r o b a b i l i t yw h e nc l a i ms i z e sa le e x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d k e yw o r d sa s s o c i a t i o np r o p e r t y ，c o m p o u n dp o i s s o n ，c o m p o u n db i n o m i a l ， r u i np r o b a b i l i t y ，s u r v i v a lp r o b a b i l i t y 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：多殇 乡回7 年堋日 经指导教师同意，本学位论文属y - 保密，在 年解密后适用本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 多务 解密时间：年月曰 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：弓强 。 棚7 年，胡日 第一章引言 第一章引言 在最近几年中，许多关于相依保险业务的论文有很多s 通常使用的一个模 型是具有c o m m o ns h o c k 的风险模型。这类模型假设存在一个影响所有类的索赔 额和它们的潜在风险的公共波动。另外，可能还存在着其他的公共波动影响类 子集。事实上，一种公共分量可以描述一个导致各种不同类型的索赔的自然灾 害的影响。在这个构架内部，有很多论文处理了互相相关的索赔，也就是对于 全部商业的损失集合。其中，a m b a g a s p i t i y a ( 1 9 9 8 ) 讨论了当索赔数额的聚合 分布取某个确定形式时，损失集合的分布；c o s s e t t e 和m a r c e a u ( 2 0 0 0 ) 研究 了具有共同波动的离散时间泊松模型的相依关系对有限时间破产概率和调节系 数的影响；y u e n ，g u o 和w u ( 2 0 0 2 )导出了连续时间内具有埃尔朗公共波动 的互相相关的索赔的和的风险过程的破产概率。 除了互相相关的索赔的和，我们很自然地有理由考虑关于多变量风险过程 的模型。虽然对于那些处理商业相关类的保险公司来说，多变量风险过程对研 究破产问题可能是有用的，但是令人吃惊的是，到目前为止仅有少数的注意力 被投在了这些风险过程的应用上。在多变量设置中，j u r i ( 2 0 0 2 ) 为了确定相关 结构的模型使用了s u p e r m o d u l a r 序关系，并且得到了索赔是相关随机变量的和 的风险过程的一些结果；d e n u it ，g e n e s t 和m a r c e a u ( 2 0 0 2 ) 证明了具有正分 量的随机向量的随机和两个向量是怎样被随机地确定顺序的。 在展开本文的研究之前我们先来回顾几个相关的概念。 1 泊松过程 在概率论的著作中泊松过程有不同的定义方式。根据我们的需要，将泊松 过程定义如下即可：如果事件问的时间分布是均值为形的指数分布，那么一 个计数过程就是有参数九的泊松过程。在这罩，一个事件指一次索款的发生。因 此，如果我们将a 定义为第( i - 1 ) 次和第i 次事件间的时间，则a ，是第一事件 发生的时问，则 a 1 】羔。表示独立的指数分布随机变量序列，每个a 的均值为形。 如果一个计数过程是个泊松过程，那么直到固定时刻t 的事件数的分布 第一章引言 是一个参数为九t 的泊松分布。由定义解释如下：对定值t o ，令n ( t ) 表示壹到时 刻t 的事件数，那么对于n = o ，1 ，2 。3 ， 一+ l n ( t ) 2 n + l a i o ，每一个x i 都具有分布函数f ，且n ( t ) 也独立。 我们利用 【f ) s ( t ) ：善一 定义过程 s ( t ) ) 。兰0 。当n ( t ) - - 0 时，s ( t ) = o 。过程 s ( t ) ) 。三。叫做具有泊松参数； 的复合泊松过程。对一个固定值t o ，随机变量s ( t ) 是有泊松参数处的个复 合泊松分布。 3 破产概率 无限时间破产概率被定义为 、l ，( u ) = p r ( u ( t ) o ) 换言之，、i ，( u ) 是指在将来某一时刻保险公司的盈余降到零以下的概率。即索 款支出超出了初始盈余与保险公司收入之和的概率。这就是在连续时间内的破 产概率。我们也可以定义离散时间的破产概率为 第一章引言 ( u ) = p r ( u ( t ) 0 和u ( ( n + 1 ) r ) 5 0 ，且u ( r ) o ，t ( n r ，( n + 1 ) r ) 。如果对区间( n r ，( n + 1 ) r ) 外的 所有t ，有t l ( t ) 5 0 ，那么破产只在连续时间定以下发生，而不在离散定义的条件 下发生。由此，、i ，( u ) 、i ，( u ) 。然而，随着r 逐渐变小，我们需要频繁的控 制盈余水平，那么，v r ( l j ) 将是v ( u ) 的一个好逼近。 有限时间破产概率定义为 、l ，( u ，t ) = p ，( u ( s ) 0 ，0 s t ) 由此，、l ，( u ，t ) 是在有限时间区间( 0 ，t 内，保险公司的盈余降到零以下的概 率。我们也可以定义有限时间内离散时间的破产概率 v r ( u ，t ) = p r ( u ( s ) 0 ，s = r ，2 r ，t ) 其中t 是r 的整数倍。 上面用到的解释为什么岍( u ) ( 1 + a ) ，且仍 ( a 。+ a ) a ，。注意，这类模型 也被称为一个二维风险模型。这里，我们简单的称它是一个二元风险模型。 我们可以在模型( 1 1 ) 中考虑破产的几个定义。如以前所提到的那样，经 常被使用的一个定义是对于某个t 0 ，s ( t ) + s ( 幻将降至零点以下这个事件。很 容易证明两个相关风险过程的和可以被转化成一个单变量复合泊松过程，强度 是a 7 = a i + a 2 + a ，并且可被转化为索赔额分布，可参看y u e ne ta 1 ( 2 0 0 2 ) 。 因此，经典破产概率的结果可以被应用到和的风险过程。在本论文中，我们研 究另一种破产概率。这里，如果5 ；( t ) 0 或者& ( 幻 o ，就说破产发生。令 7 = i n f 1 ：s l ( 0 0 0 r 如，) o ，有 l i r a f 0 l i ms u p 埘( ，j - r ) 竺0 ， 加 7 ( 2 4 ) 第三章有限时间生存概率的近似 其中 呈( c ! l l ，肺( ，) ，( ) = s u p ( r a i n i 朋( ，) 一w 脚( ，1 ) 1 i w o 朋( ，) 一l f l 所0 2 ) i ( ) 1卜一cftln卜c 对于任意t j f ) 烹朋a _ 3 f _ ti r ( i m t 2 1 一m 1 ) i 因此，( 2 4 ) 是上面两个不等式的一个直接结果。 成 第三章有限时间生存概率的近似 本节给出一种计算模型( 1 1 ) 的二元生存概率的近似方法。 考虑重新换算的二元复合二项式过程( 2 2 ) 。它的，7 年生存概率可以被写 肼忙，一鞋嘶：十等一掣胍) = p ( f l 每c l ，一w ；m ( ，) 三0 ，秘2 + f 2 ，一份妒( f ，兰0f o ra l lt 兰h ) 最后一个等式表示巾。( 幽，啦：r a n ) 等价于( 2 3 ) 的7 年生存概率。这与定理2 1 的 结果一起蕴涵我们对大数胁可以用l 一巾。( u i ，啦：捌逼近( 1 3 ) 的，7 年破产概率 缈( “，啦：膨。 在引入计算虬( “，啦：r a n ) 的递归方法之前，我们需要使索赔额随机变量为整 一8 第二章有限时间生存概率的近似 数值。为此，我们在目前二元的条件下拓展d i c k s o n 和w a t e r s ( 1 9 9 1 ) 的方法。 记凸= 1 十0 ，q = l + 护：，其中护，和0 ：是证的常数。令叉：是一个独立同分布 的序列，离散随机变量取值为p ，仁l ，2 ，其中p 。= m a ，令，：是另一个独 立同分布序列，离散随机变量分布于点夕：，k = - l ，2 ，其中p ：= 伤。天：和 巧的分布的构造使得它们能各自逼近z 和杉的分布，且有( 1 + 0 。) 夕。= ( 1 + 0 。) 夕：。这个离散化步骤是为了分别用x ：和r 取代( 2 2 ) 中的形和杉。 为使索赔额随机变量取整数值，我们考虑使用x 尹= 卢i 髯和彳= 戌。下一 步用夕。乘以( 2 2 ) 中的第一类，用p 。乘以( 2 2 ) 中的第二类。那么合成二 元过程的1 1 年生存概率就是 舭心沪pw l + k 一鐾砷墨狲2m 警纳o ，是m 咒)婊? 2 ；m 咒) = p 一 墨芝o ，姚+ 蠢一，彤s ”2j = 1 i = l 其中旷协，产1 ，2 。因此，我们可以用蜕( 彬i ，掰2 ：朋盯) 作为巾。( “，胁：枷 的一个逼近，而审。( “，啦：脚又逼近巾( l t ，啦：力。 假设x ；和f 的概率函数分别是和反，肛1 ，2 ，。这里我们采用w u ，y u e n 和g u 。( 2 0 0 3 ) 计算二( 珊1 ，伽2 ；m 7 z ) 的递推方法。他们的方法是基于下面这个 递推公式 移二( t ? l ，础2 ；t f l 1 1 )= p o o o , ( t + 1 。赶2 + l ；7 ，z n 一1 ) 1 1 a 9 + 1 + p o l 螺( 1 f l + 1 ，拟2 + 1 一j ；m n 一1 ) 9 j j = l t | ，l + 1 + 尹i 。嗾( 缱l + 1 一i ，铿? 2 + 1 ，m n 一1 ) 五 f = 1 w l 十1w 2 + 1 + p l 】驴二( l + 1 一l ：钍j 2 + 1 一歹： h i l l 一1 ) 五( 3 1 ) 我们假定这个方法中w ，和w ，是整数。我们首先要对乃= 0 ，1 ，w , + m n 一1 和 历= o ，1 ，w 2 + m 7 1 确定妒二( ：l ，z 2 ；1 ) 的初始点。因为够二( 之1 z 2 ：o ) = i ，我们有 i ，i：i “l二j 1 二2 1 铱1 ) 篇姗十肌g ，十p t 0 十p tt 艇i j 1 hl i ，ljl 第三章有限时间生存概率的近似 利用( 3 1 ) 和娇f z l ，z 2 ：1 ) 的值，我们对z j = 0 ，l ，w , + 一2 和 z 2 = o ，1 ，肠+ 脚一2 计算多二( ：l ，z 2 ：2 ) 的值。然后，重复这个递推过程，我们能够 获得妒二t l ，l ，w z ；r a n ) 的值。 我们现在进行个模拟研究来估计逼近的完成。假设a 。= a 。= = o 5 ， c , = c 2 = 1 1 ，彤。e x p ( 1 ) ，f 。e x p ( 1 ) 。对于各种不同的7 和( 阴，址) 的值， 巾( i 。址：d 的值从5 0 0 ，0 0 0 次模拟中获得，痧二【砌l ，彬2 ：麒柠 的值由( 3 1 ) 式计 算出来，它们的值总结在表1 中。对于每一组( 奶，啦) ，表中第一行给出争( u l ，醍：仃) 模拟值，第二行和第三行分别对m ：ll 和m ：2 2 给出的炼l t ，l ，n j 2 ；p n n ) 的值。我 们从表1 中可以看出，对于两个的值，逼近的方法完成的相当好。同时，它 也揭示了这样一个事实：7 越大，逼近程度越好。 表1 有限时间生存概率值 第四章简单上界 第四章简单上界 由于这个相关结构，即便在指数索赔的情形下，也不可能得到提出的二元 复合泊松模型的无穷时问破产概率的解析解。在这个部分，我们通过研究风险 模型的聚合性质来寻找无穷时问破产概率的一个简单上界。 我们首先给出聚合的定义。 定义4 1 假设v = ( 1 ，l ，y 2 。) 是一个随机向量。如果对于所有能使g f “即) ， 点0 ( v ) ) 和以，( y ) 髫( y ) ) 存在的非减函数，和g 来晚，有c o y ( f ( v ) ，g ( y ) ) 兰0 ， 我们就说随机变量“，k ，k 是聚合的。 下面列出的是e s a r y ( 1 9 6 7 ) 中给出的聚合的性质。 ( p1 ) 聚合随机变量的任意子集是聚合的。 ( p2 ) 如果两组聚合的随机变量是相互独立的，那么它们的并是一组聚合的随机 变量。 ( p3 ) 由一个随机变量组成的集合是聚合的。 ( p4 ) 聚合随机变量的非减函数是聚合的。 ( 5 ) 如果对每个。矿p ，”是聚合的，且分布中vc k ) - v ，那么k ，k ，k 是聚 合的。 这些性质在得出上界的证明中是有用的。假设 k 1 ( t ) = m 1 ( t ) + m ( o ，k 2 ( t ) = a 岛( t ) 4 - a ，( f ) ， z 1 ( t ) k 1 ( f ) x i ， i = 1 磊( t ) k 2 ( f ) i = 1 那么，我们得到 引理4 1 对于任意f o ，( d托( t ) 和彪( 幻是聚合的；( i 1 )z ( t ) 和z ( ) 是 第四章简单l 界 聚合的。 证明： 容易看出，因为膨( 芒) ，膨( 力和版t ) 是无关的，所以它们是聚合的。由 丘( f ) ， 厄( 芒) 的定义和性质( p 。) 得出( i ) 。为得到( ii ) ，我们需要证明对任意 非减函数，和g ，我们有 f ( 厂( z ( t ) ，汤( t ) ) g ( z ( 芒) ，z ( r ) ) ) f ( “么( 芒) ，z ( t ) ) ) f ( 占( z ( t ) ，汤( 力) ) ， 对固定的t ，我们有 = e ( ( k 1 ( 芒) ，k 3 ( f ) ) 仂( k ，( ，2 ( ) ) ) e ( j f l ( k ，( ) ，z ( 芒) ) ) e ( 夕，( k ，( f ) ，k z ( f ) ) ) = e ( ，( z 1 ( ) ，z 2 ( ) ) ) e ( 9 ( z 1 ( ) ，z 2 ( ) ) ) ， 其中 胍纠= f ( ，佳 是两个非减函数。因为己j 、 f 1 ( t ) = 七1 ，k 2 ( 1 ) = 蠡2 ) 尸( k 1 ( ) = 膏1 ，2 ( t ) = 乐2 ) ( 4 1 ：) ( r ) 和性质( r ) 得到( 4 1 ) 。另外，因丘( t ) 与成( t ) 的聚合以及性质( p 。) 可推出第二个不等式 ( 4 2 ) 。由( 4 3 ) 式，我们得到( ii ) ) ) ( 4 2 ) ( 4 3 ，) k ， 尸 巧 、， 2 r 1 0”b倒 匕 力 b岗、妄 建卢e芦k l巨叱 z 9) 巧 匕 陋br厶倒b l ，厶斛舭b 倒b 匹斛 ” x x 易。 b【一厶川h r 厶州 l， “ ， ， 1，l一，r p e e ， ， 0 刚 柏呐 b 斛 ， x 0质 e 陛 i i 由 ) 们 如 爨 1 t 老 约 限 街 1 x 州 联是 ， 巧、，“ 、0，囊，o0 叫荔 b声啪 x “ 第四章简单上界 引j 里4 2 对于0 t l t 2 ( ，l ：( n ) = 8 p ( z 2 ( ) 一r ，：t ，fst ，) 且 f t ，七= 1 ，2 ，) 是 0 j 聆 的一个稠密子集。由推论4 1 ， m a x z 1 ( t 1 ) 一e 1 1 ，z 1 ( t3 ) 一c l t 2 ，z 1 ( t ) 一c a t k 和m a x z 2 ( z 1 ) 一c2 t l ，z 2 ( f 2 ) 一c 2 t 2 ，z z ( ) 一c 2 ) 是聚合的。另一 方面，我们有 m a x z 1 ( 1 ) 一c l f l ，z 1 ( 芒2 ) 一c l t 2 ，z 1 ( f ) 一c l t ) - 厶( ? 2 ) ， m a x z 2 ( 芒1 ) 一c 2 f 1 ，z 2 ( 芒2 ) 一c 2 t ，z 2 ( f ) 一r 2 t k 一2 ( ，1 ) ， 当扣o o 时，概率为1 。那么，由性质( p 5 ) 可知，l ( 功和厶( 功是聚合的。 因而，我们有 这就得出 p ( l 1 ) 1 ，l 2 ( ”) 2 ) p ( l i ( n ) u 1 ) p ( l 2 ( n ) “2 ) ， p ( l 1 ( 咒) 让1 o r l 2 ( n ) u , 2 ) = p ( l 1 ( 扎) 钍1 ) + e ( i 2 ( 弛) 钍2 ) 一p ( 三1 ( 扎) t 1 1 ，l 2 ( n ) h 2 ) 茎p ( l 1 _ ) t 1 ) + p ( l 2 ( 咒) “2 ) 一p ( l i ( n ) 让1 ) 尸( l 2 ) h 2 ) ( 4 5 ) 当胪时，( 4 5 ) 导致( 4 4 ) 。 口 为了考察( 4 4 ) 式中给出的上界的紧性，我们进行了一个模拟研究，其中的 参数值和索赔分布与第三节中的模拟研究的那些值相同， 即 a 1 = a 2 = a = 0 5 ，0 1 = p ! = 0 。1 ，x i e x l ) ( 1 ) 和】：一e x p ( 1 ) 。这里， 我们用具有一个5 0 0 时间段的时h j 标架( m 5 0 0 ) 的有限时间破产概率去逼近无 第四章简单上界 穷时间破产概率。! ，( 牡，) ，。( “z ) 和够( “1 ，u 2 ) 的模拟值以及上界的值在表2 中给出。表2 中的每个值都是在5 0 0 ，0 0 0 次模拟基础上计算出来的。从这个表 中我们看到，上界和真值非常接近。 接下来的推论完全可以由引理4 2 和定理4 1 得出。 推论4 2 对s 。( t ) ，假设t ；是破产的时间，( i = l ，2 ) ，那么t ，和t 2 是聚合的。 表2矿( 阴，地) 的上界值 ( i l l ! 抛)妒l “1 )膏) 2 ( m 2 ) 妒( 扎l ：u 2 )u p p c rb o u n d ( 0 0 ) ( 5 , 0 ) ( 5 5 ) f 1 0 5 ) ( 1 0 1 0 ) o ，9 0 6 9 70 9 0 6 9 7 0 9 8 41 50 9 9 1 3 5 0 5 7 0 6 60 9 0 6 9 7 0 , 9 4 8 7 4 0 。, 9 6 0 0 6 0 5 7 0 6 60 5 7 0 6 60 7 8 r 5 7 1 0 8 1 5 6 7 0 3 5 7 9 9 0 5 7 0 j ；60 6 0 20 7 2 4 3 6 0 。3 5 7 9 9 0 。3 5 7 9 90 爱5 8 5 30 骗7 8 2 1 5 参考文献 参考文献 【1 】a m b a g a s p i t i y a ，r s ( 1 9 9 8 ) o nt h ed i s t r i b u t i o no f a s u mo f c o r r e l a t e da g g r e g a t e dc l a i m s i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s2 3 15 - l9 【2 】c o s s e t t e ，h & m a r c e a u ，e ( 2 0 0 0 ) 1 1 1 ed i s c r e t e - t i m er i s km o d e lw i t hc o r r e l a t e dc l a s s e so f b u s i n e s s i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s2 6 13 3 14 9 【3 】d e n u i t ，m ，g e n e s t ，c & m a r c e a u ，e ( 2 0 0 2 ) c r i t e r i af o rt h es t o c h a s t i co r d e r i n go fr a n d o m s u m s ，w i t ha c t u a r i a la p p l i c a t i o n s s c a n d i n a v i a na c t u a r i a lj o u r n a l ，3 16 ， 【4 】d i c k s o n ，d c m & w a t e r s ，h r ( 1 9 9 1 ) r e c u r s i v ec a l c u l a t i o no f s u r v i v a lp r o b a b i l i t i e s a s t i n b u l l e t i n2 1 1 9 9 2 2 1 【5 】e s a r y ，j d ，p r o s c h a n ，f & w a l k u p ，d w ( 19 6 7 ) a s s o c i a t i o no fr a n d o mv a r i a b l e sw i t h a p p l i c a t i o n s a n n a l so f m a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s3 8 ，14 6 6 14 7 4 f 6 】j u r i ，a ( 2 0 0 2 ) s u p e r m o d u l a ro r d e ra n dl u n d b e r ge x p o n e n t s s c a n d i n a v i a na c t u a r i a l j o u r n a l , 1 7 - 3 6 1 9 【7 】s k o r o h o d ，a v ( 19 5 7 ) l i m i tt h e o r e m sf o rs t o c h a s t i cp r o c e s s e sw i t hi n d e p e n d e n t i n c r e m e n t s t h e o r