（应用数学专业论文）中立型泛函微分方程的周期解及稳定性.pdf

中文摘要 摘要 本硕士学位论文主要讨论了几类中立型泛函微分方程的周期解及稳定性， 全文共分四章 在第一章引言中，介绍了周期方程和周期解的性质，还给出了算子型中立 型方程 未d ( t ) _ ，( t 砘) 的零解稳定性定义，以及本论文的一些主要结果 在第二章中，我们讨论了一类一阶非线性微分方程 一( t ) = f ( t ，。0 ) ，z 0 一n ) ，z 0 一丁2 ) ，z 7 ( t n ) ，一0 一见) ) + p ( t ) 的周期解存在性问题，利用抽象连续定理研究了滞量在不同范围的情况，分别 得到了周期解存在的充分条件，并且给出了定理的具体应用 在第三章中，我们利用m a w h i n 延拓定理考虑了一类二阶非线性中立型泛函 微分方程 睁( t ) + c z 0 一r ) 】”+ f ( t ，z 0 一w x ) ) + g ( t ，z ( t 一吨) ) = p c t ) 的周期解存在性问题，并且得到了方程周期解存在的充分条件，而且举例说明 了所得的结果 在第四章中，我们通过构造l i a p 衄o v 泛函研究了线性中立型微分方程 辟( t ) 一0 i z 一兀) 】，= 6 z ( t ) + c j z ( t - a j ) t = l j = l 的零解渐近稳定性 ：“ 关键词：中立型微分方程；周期解；延拓定理；稳定性 英文摘要 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t hp e r i o d i cs o l u t i o n so fn e u l r a tf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n da s y m p t o t i cs t a b i l l 够t h et h e s i sc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r - 1 ，w em t r o d u c ep e n o d md i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n s o f p e r i o d t ce q u a t i o n s w ea l s oi n t r o d u c et h en e u t r a le q u a t i o n 兰d ( 如。) = ，貌) a n dg i v et h es t a b i l i t yd e f i n i t i o n so f t h ee q u a t i o n sz e r os o l u t i n ，a n dt h em a i nr e s u l t so f t h et h e s i s i nc h a p t e r - 2 ，ac l a s so f f i r s to r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s e ( t ) = f ( t ，z ( 力，z o n ) ，o 一死) ，一0 一n ) ，一( t 一危) ) + p ( t ) a r ec o n s i d e r e d w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n s b yu s i n gt h ea b s t r a c t c o n t i n u i t yt h e o r e m ，w eo b m i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u - t i o n sr e l a t e dw i t hd e l a y s a n da ne x a m p l ei sg i v e nt 0i l l u s t r a t et h em a i nr e s u l t s i nc h a p t e r - 3 ，w ed i s c u s st h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a ye q u a t i o n ： 陋( t ) + c $ 0 一r ) 】”+ f ( t ，0 一曲) ) + 夕( t ，。 一“堙) ) = p ( t ) b yu s i n gt h ec o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n s a ne x a m p l ei sg i v e nt oi l h l s 自c a 钯t h em a i nr e s u l t s i nc h a p t e r - 4 ，w ed i s c u s st h e s t a b i l i t yo f ac l a s so f l i n e a rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ： mn 扛( t ) 一a ，z ( t - n ) 】= w ( o + 白。( t - 2 ) 一一 英文摘要 b yc o n s t r u c t i n gl i a p u n o vf u n c t i o n a l ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ea s y m p t o t i cs t a - b l h t ya r eo b t a m e d k e yw o r d s ：n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ：p e d o d i cs o l u t i o mc o n t i n u a t i o nt h e o - y e m ；s t a b l h t y 一i 一 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得勘未女犬务其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 1 竞讳口 签字日期：沙净6年f 月。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解廛 数大咨有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权骏霭支嘲以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：j 汹承砬 导师签名： 夕勿冬 签字日期：夕铘年歹月，d 日 签字日期：户n 万年厂月，p 日 学位论文作者毕业去向：d 玎躬。妖雷忍粕 工作单位：名。毅老隶孙乞电话：。弓7 易g ，7 ，。g 弓 通讯地扫i ：邮编： 第章引言 第一章引言 自2 0 世纪以来，无论是一般的泛函微分方程还是具体的微分差分方程，其 发展都是非常迅速的，在每一分支中都形成了一套完整的理论体系，如今越来 越多的学者涉足这一领域探求更新的发展在许多科学领域的研究中，例如，l 态学、光学控制、物理学、通讯理论、经济分析、流行病等等，关于微分方程 的稳定性、有界性、振动性、周期性等方面取得了许多较好的结果1 7 - 矧而其中 周期解问题 g - 1 8 , 2 1 矧和稳定性眠1 7 ，1 8 ，1 0 ，2 0 2 4 矧一直是微分方程理论的两个重要分 支，在理论上和实际应用中都有着非常重要的意义 在泛函微分方程中，中立型方程是一类形式相当广泛的泛函微分方程，而 且有着很广泛的应用背景，j k h a i e 2 1 、郑祖庥( t l 等学者的著作中给出了许多应 用实例例如在高速计算机连接开关电路的无损耗传输线网络中的数学模型 i 珏( t ) 一k u ( t r ) 】= ( u ( t ) ，t 0 一r ) ) 就是一个中立型方程，有着其实际应用背景因而对于中立型方程解的性质的研 究，不但对其本身的发展有着理论意义，而且在应用上同样有着重要意义 本章主要介绍和本论文相关的一些预备知识及全文的主要结果 1 1 周期方程与周期解的性质 设z 舻考虑如下方程 一( t ) = f ( t l ，z ( t ) ，z o r ) ，一 一r ) ) ( 1 1 ) 一( t ) = c ( t ，o ) ，z 一1 ) ) ( 1 2 ) 其中f g 舻，丁= c o n s t 0 设( 1 1 ) 存在周期为t 的周期解z l ( t ) ，则由凯( t ) 代 入( 1 1 ) ( 或( 1 2 ) ) 得恒等式 ( t ) = f ( t ，z l ( t ) ，x t ( t 一下) ，吐o r ) ) 一l 一 第一章引言 z ；04 - t ) = f ( t4 - tz 1 ( + 丁) ，z l ( z + t r ) ，z i 0 一丁一t ) j 由所设z 1 ( t + t ) = z l ( ) ，z i o + t ) = 俅) 合并上两式得 f ( t + z x l 0 ) ，z 1 0 7 ) ，： 一_ r ) ) = f ( t ，z 1 ) ，z ，0 一r ) ，。i 0 一r ) ) 这说明当( 1 1 ) ( 或( 1 2 ) ) 存在周期为r 的周期解z l ( t ) 时，函数f 沿着这个解是周期 为t 的周期函数，反之不真或者说( 1 1 ) ( 或( 1 2 ) ) 存在周期解时，为端函数未必 关于t 是周期的例如 例1 对方程 一( t ) = c o s t + p 2 ( t ) + ! f 2 0 ) 一l l f l _ ( t ，z ( t ) ，f ( t ) ，z ( t r ) ，0 一r ) ) | ，0 ) = 一s i n t + 扛2 0 ) + y 2 ( t ) 一l l f 2 ( t ，。0 ) ，( t ) ，z 0 一r ) ，0 一f ) ) 不问只，兄如何，恒有周期解$ = s i n t ，暑= c o s t ( 如果f 1 ，易关于t 不是周期函数也 可能有周期解) 引理1 i 对方程 一( ) = 户扛( ) ，z ( 亡一r ) ，z 0 一r ) ) + l ( t ) ( 1 j 3 ) 仅当，( ) 是周期函数时才有可能存在周期解，而且解的周期只能等于，( t ) 的周期 或者是它的整数倍，换句话说，( 1 3 ) 存在周期解的必要条件是，( t ) 为t 的周期函 数事实上，设z ( t ) 是( 1 3 ) 周期为t 的周期解用x ( t + 刃= z ( t ) ，z 0 + t 一下) = $ o r ) ，p + t ) = 茁，( t ) ，( 亡+ t r ) = 一 一r ) 代入( 1 3 ) 立即推得引理结论成 立 1 2 稳定性的定义 对算子型中立型方程 未d ( t ，= ，( t , z t ) 一2 一 ( 1 4 ) 第一章引言 其中方程( 1 4 ) 的初始函数空间为c = e ( 【- r ，o 】，f p ) ，r 见p ，且方程满足解关f 初始数据的连续依赖性定理和解整体存在 类似于常微分方程，要讨论( 1 4 ) 某一解宝( t ) 的稳定性问题都可以化为零解 的稳定性问题这只要作未知函数的代换( t ) = z ( t ) 一士即可，因此不妨 设d ( t ，0 ) = 0 x , v t 尉茂立 定义1 1 记初始时刻为d r ，= s u pi 妒( 口) i ，i z ( t ) i 取舻中的模，n x c v a r 有 ( 1 ) ( 1 4 ) 的零解称为稳定的，若对v 0 ，弓6 ( ，) o ，使川 0 3 t ( c r ，妒) 使当i 训6 0 ( 盯) 时， 对v t2 口+ t ( 口，5 ，纠成立l 霉( t ，吼咖) j d 时，x g ( t ，z ) o 且l g ( t ，z ) i k ( 风) 当$ 一d 时，g o ，。) 一m 成立时，我们利用m a w h i n 延拓定理讨论了方程的周期解存在性问题，得出了定 理3 1 ，而且举例说明了定理3 1 在第四章中，我们讨论了一类中立型线性微分方程 的零解渐近稳定性，通过构造l i a p u n o v 泛函 v ( t ) ( 一砉。t z 一 ) + 砉( q 岛z ( s ) a s ) 2 nm f t - - v t “” + ( 6 + 岛) l a , ifz 2 ( s ) 出+ ( 6 + c ，) 白f卜2 ( s ) 山d u 3 = 1 l = l ，t 3 = 13 = 1 j f 一呀，” 得到了方程零解渐近稳定的充分条件： ( l 1 )b 0 ，白s0 ，j = 1 ，2 ，仃 ( 蚴1 一妻z = l + 壹3 = 1c j ( 孚) 。 一4 一 乃 一 o 圣 白 。一 + 妇 = n 一 茁 m m 斟 一 陋 第二章一类非线性中立型多时滞微分方程周期解的存在性 第二章一类非线性中立型多时滞微分方程周期解的存在性 2 。1 引言及引理 近年来，关于时滞微分方程周期解j 司题的研究已有许多结果出现【9 一1 3 1 其 中f l o - n l 币l j 用m a w h i n 重合度理论研究了时滞微分方程周期解问题文【1 2 i 利用抽象 连续定理研究了一类非线性中立型时滞微分方程 z 7 ( t ) = ，o ，z ( f ) ，z ( t r ) ，z o 一丁) ) + p ) 的周期解问题，得到了周期解存在性的结论 本章利用抽象连续定理研究了一类形式上更为广泛的非线性中立型多时滞 微分方程 z 7 ( ) = ( t ，。( t ) ，。0 一n ) ，z 0 一乃) ，一( 亡一n ) ，一o 一死) ) + p ( t ) ( 2 1 ) 的周期解问题，其中 ( t ，z ，y 1 ，y 2 ，z l ，z 2 ) c ( r r 5 ，兄) ，p ( t ) c ( r ，兄) ， 且对v ( z ，l ，9 2 ，z 1 ，z 2 ) r s ，都有 f i t + t ，茹，1 ，l j 2 ，z l ，z 2 ) = ( t ，$ ，机，y 2 ，z l ，勿) ；p 0 + t ) = p ( t ) 其中n ， r 2 为常数t o 为常数 为方便，先叙述一些背景知识 定义2 1 设e 是一个b a n a e h 空间，sce 是有界子集，令 衄( s ) - 叫d o | 舸表示为有限个集a 的并灌5 缈 且每个s 的直径d i 锄层假) 毋 则称衄为s 的非紧性测度或k u r a t o w s k i 距离 3 5 1 第二章一类非线性中立型多时滞微分方程周期解的存在性 定义22 设e 1 ，e 2 是b a n a c h 空间，dce l ，a d 一扇是连续有界算子，如果 存在常数k 0 ，对任何有界集scd 有： q 励( a ( 8 ) ) k o z e ，( s )( 2 3 ) 则称a 是d 上的k 一集压缩算子1 3 5 j 定义2 3 如果l ：d o m lce 1 一易是指标为零的f r e d h o l m 算子由1 5 l 可知，对 任何有界集bcd o m l ，s u p r 0 l r a 研( b ) a 两( b ) ) 是存在的，因而我们 定义 l ( l ) = s u p r 0lr a b , ( b ) a e a ( l ( b ) ) ，对任何有界集bcd o m l 引理2 1 设工：x y 是指标为零的f r e d h o l m 算子，x ，y 是b a n a c h 空间，y y 是一个固定点，假设n ：- 5 一y 是而一集压缩算子，k m 时，有f ( t ，z ，y l ，妇，z l ，z 2 ) + p ( t ) 0 ( 0 ) ； 当 0 ，存在有限个子集b l ，b 2 ，启kcx 满足 b = u 鼠，g d i a m r ( b , ) 0 ，v z 1 ，2 ，一，m ) ，选取钟，臂，- 一，a ? 2cy ，使得 m t l i b ；) = u 驾，l i d l a m y ( a ：) sq 十 则对b j = 如陋b ，l x 匙，有 ，n ，u d i a m ( l ( b ；) ) sq + 毛且b = u u 磅 故对v 。，掣霹，由于 j | 一一y l l o = i i l z l y l i o ，7 + ( 2 4 ) 又由d i a m y ( 鼠) 0 ，当t x ，z ，z b 且忙一孑f i o j ( ) 时，有 0 帆( z ) 一帆( - ) i i o 令( e ) = m i n 6 ( e ) ，s ，则v qcb ，当d i a m y ( q ) ( e ) 时，有d i a m y ( k ( q ) ) 0 1 刍( 2 2 ) 知存在有限个子集8 1 ，b 2 ，b kcb 满足 ，n u 马= b j i d i a m x ( b j 。( 。) 又由( 2 1 3 ) ，对v t 【0 ，刁，z ( ) = z ( ) + 层一( t ) m 即 i 。) f l 。( f ) i + ) d t m t i x ( t ) l d t m , + j 7 i 一( t ) i d t k o ) | l 烈o | + z 0 0 f p ) | 出 j l i 1 1 0 尬+ i z ( t ) l d t ( 2 1 5 ) j 0 下面证明j l 一( t ) l 出有界 f ( t ，霉( t ) ，$ 0 一丁1 ) ，x ( t 一乃) ，一0 一n ) ，一o 一亿) ) d o 竺一f p c 。出z t 瞅圳d t 2 j 。 p ( o l d * 第二章一类非线性中立型多时滞微分方稃周期解的存在性 s 0 1l f ( t , x ( t ) ，z 一r t ) ，z 。一功) ，z ( t n ) ，z 7 。一乃) ) + p ( t ) l d t r t, t i(t，蛾。(2一n)，。(一亿)，一(。一n)，。他一亿)i出+ip(,oo 舭 j ，( t ，z ( t ) ，z 0 一n ) ，。0 一亿) ，z 7 一n ) ，z 7 ( t 一见) ) d 亡+ n f x ( t ) l d t j o j o + 6 l z m t 一刮d f + k z 7 m t 一训d t + c - f r o m 一训出 ，t p 1 怕五一r 2 ) d t + d t + j o i p ( 妣 z 圳。肛圳出+ 以仁”m t ) i m + 6 2 仁1 陬啪t f t - 2 ，t 一力 + q l x ( t ) l d t + c 2 i x ( t ) l d t + d t j - - r lj 一心 = 2 z t 俐川a + b l + b 2 ) f o t 阪t ) i d t + ( c 1 捌f 阱d t f i+ ( a + b l + i i + ( c z + c 2 ) f 0 2 p ( t ) l d t b l b 2 ) t l l x i i o 3 1 c 2 t l x ( t ) l d t + d t 0 0 + (+ ( 1 + 一 2 z r i p ( 圳出+ ( a + b l + 6 2 ) t ( 尬+ z r i 。) i d t ) ， + ( c l + c 2 ) l z ( t ) l d t + d t ，n = 【( 0 + 6 。+ 6 2 ) t + ( c ，+ c 2 ) 】z r i 一( 。i d + 2 2 7 睁。) i d t 【1 一( n + b l + b 2 ) t 一( c 1 + 如) 】i x ( t ) l d t t ， 。f t i v ( 驯d t + c 。蚴麓硼 1 7 由( a 。) 知j x ( t ) l d t m 2 ( 肘i 为与a 无关的常数) 所以 i l x l l 。尬+ f 纵t ) l d t + = 坞 第二章一类非线性中立型多时滞微分方程周期解的存在性 取f 2 = z ( ) 引【。s 地) ，其中地= m a x m ，m 3 ) + 1 则易验证12 庸足引 理2 1 的条件( r 1 ) 下面证明引理2 ，1 的条件( 兄2 ) 也满足为此，在x x 上定义有界的双线性泛 函 j 】如下： 【y ，z = v ( t ) z ( t ) 出 且定义 印： ，一c o k e r 三，q ( 们= i o t z ，( ) 出 则可验证q 为一投影算子，这样对v $ k e r lna q ，则z 是常数且川= m 4 ，即 【q n ( x ) + q 口，卅【q ( 一z ) + q y ，卅 = m 4 2 【，p ，m 4 ，m 4 ，尬，0 ，0 ) + p ( t ) j d t 一0 【，( t ，一尬，一 缸，一 厶，0 ，0 ) + p ( ) 】d t 一0 由( 仍) 知( 兄) 成立由上面证明知引理2 1 和引理2 2 所有条件都满足，从而由弓 理2 1 得，存在z k e r l r l 掰2 ，满足l x = n x + p ，即方程( 2 1 ) 存在r 一周期解 以下设 ，( 。 z ( 。) z 一n ) z ( 亡一丁2 ) 。7 ( t n ) 一( 亡一亿” ( 2 1 8 ) = ( z ( t ) ) + 丘0 一n ) ) + 五( z o 一您) ) + 五( t ，z o n ) ，一o 一心) ) 定理2 2 若( 王h ) ，( h 2 ) 满足，且 ( b 1 ) 对v z l ，托r ，存在常数l 1 ，如使得 i ，2 0 1 ) 一丘( 。2 ) l l l i z l x 2 1 ，i ，3 1 ) 一，3 ( 。2 ) i l z l x l a 7 2 ( b 2 ) 7 1 u k t 6 l ，k t ) u ( k t , k t + 6 1 】，见u 【l t 一如，i t ) u ( 1 t , l t + 5 2 】 k e zl 牙 其中o 以 i t ，o 如 吾且o 工1 矗+ 三2 如 店( 1 一詹) 则方程( 2 1 8 ) 至少存在一周期解 一1 4 第二章一类非线性中立型多时滞微分方程周期解的存在性 1 4 1 = 明：v 复x ( tj 足( 2 1 z j 削仕 周期m 竿，出( 1 1 2 ) 尖1 以j 一止埋( 2 1j 明吐州刘 i i x 峪m + o r 眺) 以下仅需证明fj z 似) j d 有界即可不妨设n ( k t , k t + 研，恐( 1 t , l t + 妒、2 z 则再= r k t ( 0 ，嗣五= r 一1 t ( 0 ，n 对方程( 21 8 ) 两端同乘 以。俅) 并在【o ，卅上积分得 阻 = z 胁) 邢) d t + z t 罅( t 一训邢) f f h ( 雄一硼抛) 出 + r h ( t , i 0( t n ) ，7 。一乃) ) d t + d ，0 t p ( t ) ( t ) m + ( t n ) ，7 0 一乃) ) d t + p ( t ) ( t ) m = f i b ( 础一n 一胁) o ) 出+ r 触) 堋出 r tr t + 【，3 扛( t n ) ) 一，3 ( ) ) 】一( t ) 出+ 厶0 ( t ) ) 一( t ) 出 j o d o ，2 + 【，4 ( t ，一( t n ) ，一0 一赴) ) 一，4 ( t ，0 ，o ) 】一( t ) 出 ，0 + z o t f 4 ( t ，。，。) ( t ) 出+ r p 。) z 7 ) d ，2 ，? l 1 l x ( t 一7 1 ) 一z ( ) | | z 7 ( t ) l d t + l 2 l z 0 7 ) 一z 0 ) il z ( t ) l d t j 0d 0 + o t ( i 邶一训+ i 以t 一乃) 1 1 以t ) l d t + ( | 挑+ 慨) z t 坝t ) l d t 工，嵋rj $ 。一茜) 一$ ( t ) 1 2 d 硝5 嵋t i ( d j 2 d 叫i + 岛【o t i z ( t 一镌) 一x ( t ) 1 2 d t 】；【，ti 一(01d0d o 2 d 司 + 岛【z ( t 一镌) 一 2 d t 】；【2 d 司5 十；七旺7j 一。一再) 1 2 d 习 f z r i 一( 力1 2 d 】 + ；后【z t 。一花) 1 2 出p f o ti x ( 圳2 d 】 + ( + 慨) ! t i 一( 圳出 第二章一类非线性中立型多时滞微分方程周期解的存在性 其中 如= m hl ，4 ( t ，0 ，o ) i ，故由上面所得和引理2 3 得 t e 【0 ，i i 肛阳t s l ， 眢( 1 + 事) ：t | 一 ) 1 2 d t f fl z 7 。) 1 2 d t + l 。 秀( 1 + 孚) z 7l z ( ) 1 2 d t i z 7 i z 7 ( t ) 1 2 d r tf i + i x ( 0 1 2 d t + ( m 5 + 0 p l i o ) l z ( q l d t j nj o 蛐再正巧 1 2 d m 砭乒巧一圳2 出 + z r 批卯( 地删p 帖) f l 出 【( m 仙蚴镌+ 捌 | 2 d t 埘州肛啡 b u 【1 - 锯。小明卜 阳弛州肛m ( 2 1 9 ) 由于o 0 ，使得 t 邮尬， d o 其余类似于定理2 1 的证明即可 定理2 3 设( 日1 ) ，( 凰) 满足，且n ，r 2 t j t ，j z ) 则方程( 2 1 8 ) 存在周期解 证明：设z ( t ) 是方程( 2 1 3 ) 的任一周期解，类似于定理2 t 的证明知 忙尬+ 肛啡， 第二章一类1 # 线性中立型多时滞微分方程周期解的存在性 以下仅需证石l z ”) l 出有界即可 对方程( 2 1 8 ) 两端同乘以z 讹) 并在【o ，刁上积分得 卜1 2 d t = z 。，l ( z ( t ) ) z ”) 出+ 上。，2 扛。一n ) ) 一( ) m + z 。 一丁2 ) z 讹) d t ，t，t + ，4 ( ，z ( t n ) ，z 一亿) ) 一( t ) d 亡+ p ( t ) z ( t ) d t j 0 j 0 ，t = 【 ( t ，一0 一n ) ，( t 一忍) ) 一f ( t ，0 ，o ) 】一( t ) 出 j 0 + j ( r 胁，叩) 邶) 蚺t p 邶) m 詹z 7 i $ 7 ( 幻1 2 d t + 磊z r i z 7 ( t ) l d t + i i p o 。z t i 一( t ) l d t 即 ( 1 - k ) f o t i 川圳2 蜒( 慨+ i i p | | 0 ) i i z t i z ( t ) l d t 由 1 知 f f l 荆阳( 等警) 2 g 他) 1 2 d t ( 等) 2 ， 其余类似于定理2 1 证明 2 3 应用 例2 考虑如下形式的非线性中立型多时滞微分方程： 一( t ) = 寺z ( t ) + 吼( t ，。( t ) ，z o n ) ，x ( t n ) ， 一n ) + 9 2 ( t ，z c t ) ，z ( t n ) ，x ( t 一乃) ，z 0 一死) ) + c o s t 其中吼，9 2 c ( r ，兄) 且9 1 ( ，墨g l ，珑，z 1 ) 关于z 1 可微，9 2 ( t ，z ，y 1 ，y 2 ，忽) 关 于z 2 可微，而且都是关于t 的2 1 r 一周期函数，并满足g l ，9 2 有界，且 i 罄i 0 且i g ( t ，z ) i k ( 凰) 当z 一d 时，g ( t ，z ) 一 彳 设方程 陋( t ) + c z p r ) 1 ”+ a f ( t ，x ( t u 1 ) ) + 9 ( t ，x ( t 一) ) = 如( t ) ( 3 3 ) 这里a ( 0 ，1 ) ，我们有 引理3 2 假定( 研) ，( 飓) ，( 凰) 成立，那么存在与a 无关的正实数d ，0 = 0 ，1 ，2 ) 使得对方程( 3 3 ) 的任一周期解z ( t ) r 有： l 扣( t ) j 功t 【o 刁，j = 0 ，1 ，2 ( 3 4 ) 这里茁( o ) = 豇 证明：设z ( t ) 为方程( 3 3 ) 的任一t 周期解对方程( 3 3 ) 的两边从0 到t 积分，得 打 ，( t ，。0 一u 1 ) ) + 9 ( t ，z o 一地) ) d t = 0 ( 3 5 ) j 0 设 e 1 = 口【0 ，7 1j 。p 一也) d ，f - a = 【0 ，刁毋， 因为g c ( r 2 ，r ) i l a ( t ，。) 关于t 为丁周期的，则易知 “8 u d ，i g ( t , z ) l = m ，硎s , g 【- d ，d ji g ( ：r ) e a x - d d t t , z ) e l u i x 。，删 佃 “， ，i 一，卅 由( 飓) 和( 玩) 有 1 9 ( t ，z 0 一w 2 ) ) l d t t m a x m ， s u pl g ( t ，霉) i ) j而(t,z)erxl-d，nl 一2 l 一 第二章二阶非线性中立型泛函微分方程的周期解 又由f 。) ，( 3 5 ) 可有 1 7 【9 。，z 一此) ) 一k 】d t z 7 由 ，z o 一) ) 一i i ( ，z 一u - ) ) d t z r m 邛叫) ) 吲姐( 一) 冲= 。 且 厂 怕( t ，z 0 一地) ) 卜k d t j f l = 曲( t ，。0 一眈) ) 一k d t j f i ， 一b ( t ，。o 一“垃) ) 一吲d t j 岛 ， 1 9 ( t ，。o 一比) ) 一团d t j 而 ， 【扫o ，。( t 一出) ) i + 吲d t b ( t ，x ( t w 2 ) ) l d t s2 t k + i g ( t ，z 0 一忱) ) i d t ， je l j 岛 因而有 f f i 9 ( ，o u z ) ) m 2 t k + 2 t m “ m ，( 。，水。s u 。p 卜。，d 1 b ( t ，z ) i 可知存在正数使得 t t 上i g ( t ，z ( t w 2 ) ) l d 。硒 ( 3 6 ) 由于z ( o ) + 凹( 一r ) = z ( 刃+ 凹口一r ) ，可知存在t o o 卸使得 x ( t o ) + 凹7 ( t o 一下) = 0 于是由方程( 3 3 ) 对任意t 1 0 ，t i ，有 一( t ) 一d ( t 一下) 一a r ，( s s 一岫) d s a ( 小州s 一忱) ) d s + a 石p ( 州s 第二章二阶非线i 生中立型泛函微分方程的周期解 则有 ls k i l m 州a x j i z 缸) i + 1 厶l y ( s ，z8 - - ；i ) ) i d s + a 肛s 叫s 刊) j d s + a 肛圳山 s 旧 。m 。l 。a ，x i x i ( 2 ) 1 + 1 0 i f ( s 。8 - - c 0 1 ) ) m + z 7 恼( s ，z ( s 一忱) ) i d s + 0 7 i p ( s ) i d s | c 。m e p a ，x 卅l z 他) l + 嘣+ 硒w 删m “1 i p ( ) j = 蚝 则对任意t 【0 ，司有 l ( 0 1 k i m o x 1i x t ( ) l + 凰 可得 删m a x l i 一( 圳s d t = 尚 ( 3 7 ) 由 一，( t ，。( t - w 1 ) ) + 9 ( t ，。( t - u ；2 ) ) d t ：o ， j o 则存在t 1 0 ，司使得 ( t l ，。( t l u i ) ) + g ( t l + z ( l 一曲) ) = 0 i t ( h i ) 有i f ( t * ，z ( t l u 1 ) ) l k ，则可知1 9 ( t l ，z ( h 一忱) ) i k ，从而有l z ( n 一 忱) i d ，注意到$ ( t ) 为? 周期的，于是存在亡2 o ，2 1 使得l z ( t 2 ) lsd 又对任 意t 【0 刀有 i = ) + ( | d + j m 。a 。x ，d j ，设 n = 。x | | i x l i 0 ，使对 任意( t l ，。1 ) ，( t 2 ，勋) 【0 ，t i 【- d ，d 有 l f ( t l ，z 1 ) 一，( 2 ，2 ) lsl 1 _ ( 1 h t 2 i + i i t l 一z 2j ) 0ftilf； 第二章二阶非线性中立型泛函微分方程的周期解 取m 2 = m a x l l ，三2 ，对任意矿如，t ，t 7 ( 0 ，t i ，则可推知 i y z ( t ) 一掣”( t ，) | i f ( t ，x ( t u ) ) 一f ( t ，x ( t 一u 1 ) ) i + i p ( t ) 一p ( t 川 + l g ( t ，x ( t 一2 ) ) 一g ( t 7 ，x ( t 一u 2 ) ) i m 2 ( 1 z ( t u 1 ) 一z ( t 7 一u 1 ) l + j x ( t 1 d 2 ) 一x ( t 一0 2 ) 1 ) + 2 m 2 1 t 一，i + i p ( t ) 一p ( t ，) l 我们由微分中值定理且注意到西的定义，有 x ( t u 1 ) 一z ( 一o ) 1 ) is 西忙一t l ，l x ( t 一地) 一z ( t 7 一忱) i s 万| t 一i 则有 i 矿( t ) 一矿( ) l 2 m 2 ( 1 + 面) l t r l + i p ( t ) 一p ( r ) i ( 3 2 1 ) 又可由p ( t ) 在【0 司上一致连续，则可知五在【o ，明上等度连续，我们注意 到也， 在 o ，邪是有界的，则可知 ，j o 在【0 ，司上也是等度连续的，应) 喟a r z e l a - a s c o l i 定理可知山， ，, 1 2 都为相对紧的贝t j k p j l v 而相对紧，而k p v q 丽也相对紧，则 可推知坼( ，一日) 行也为相对紧的，则在一上是三紧的由引理3 2 知x c f f ： 意入( 0 ，1 ) 和$ a o n d o m l 有 l ( x + c s ( 下) ) 茹a z ， 即引理3 1 中的( o ) 满足又对任意$ a q n k e r l ，霉= 西或z = 一_ ，并注意 到) ，( 岛) ，( 风) 和r p ( t ) d t = 0 ，有 q n ( x ) ；z t n ( 以。o 一坝) ) 一9 ( z p 一地) ) + p (