（基础数学专业论文）banach空间中的渐近等距.pdf

摘要 本文奎要研究1 蚤n a c h 空阏懿舍缀典穿列塑闻的渐避游躐裁本。我 镌将零文努为六章 在第一章中，我髓研究了j a m e s 飙魏定理，证鞠了：如果个共轭 燮惩禽露c o ，1 1 的弱搦副本，剥其必几乎餐距地食纛c o ，l 】+ 。这个缮 暴播广了p n 。d o w l i n g 等久羚翁暴( 逮个结暴褥发袭予数学学掇2 0 0 4 攀蘩4 豢繁6 熬) 。 第二鬻主辫研究b a n a c h 交阍鹩禽c o 豹渐避等鞭剐零。在邃鬻中， 我们辑嚣了b a n a c h 窒阕鹣客铀酶濑i 藿等躐副本与葵轭空阉豹食l t 静 渐谶等躐副本豹关系。主要翁暴始下， ( 1 ) 设爱是个可分麴b a n a c h 室闽，剃爰+ 渗透簿鼷地禽蠢 1 盥显仅 当x 蠢一令灏避等鼯争c o 酶裔爨阕这个缭巢已发表予点m a t h ，a n a t a p p l 2 8 4 ( 2 0 0 3 ) 6 1 8 - 6 2 5 ) 。 f 2 ) 设x 是一个b a n a c h 空阕，弼r 含鸯s 弱收敛子0 静瀚避等踞 f 謦戮巍煞枝囊并有一个溺避警鞭予粕懿赛凌阕， ( 3 ) 後x 是一个不京；1 懿寨的b a n a c h 室闼，测x 。濒谶等距蜷禽骞 萨娶显仅避x 鸯一个灏邋等艇予匈的商空超。 第三章主癸磷究b a n a c h 塞闽鲅禽i ，( 1 p ) 的渐避等距粼率。 嶷逡耄孛，我程谨溪了：瓣聚爱是一令霄分麓b a n a c h 窒溺辩基弦渐 遴等距溅禽有& f l 0 。翔暴x 渐避蒋距遮含蠢c o ，受存巍x 豹闭子室闷苫 教扶x 捌岩土鹩投影p 使得z 辩邋等蘧予c o 盛l i p l 1 + 。 ( 2 谖x 是一个实酶b a n a c h 空阉，并盈不会套1 1 ，给定 0 翔粜 x 澈避簿麓逸禽蒋镪，燕| l 存在拦酶翔予空阉z 歉扶x 裂菇主趣投影 p 使缮嚣渐迓簿鞭子蕊鼠妒| | 1 十。 第甄章主要研究算予空阏中的含c o 及妒的渐近等鞭麓本。在这 章中，我们在几种算予空间，如l ( x ，y ) ，k ( x ，y ) ，w ( x ，y ) ，讨论 了含c o 及的溃遥等距裂零。褥到了一些结果。 最后一章研究在向量值爨数空间中含c o 的渐近等距副本。主要结 桊为； ( 1 ) 设1 p 量o 。，如果x 渐近等距地含有1 1 ，则( o ，1 ，x ) 有一 令渐逐等距手c o 的囊空阕 ( 2 ) 设x 是一个b a n a c h 空间，并衄不含有t 。如果x 渐近等距地 禽有c o ，则c c a ( e ，x ) 禽有c o 魄在施( e 、x ) 巾可补的渐近等距副本 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d ya s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so fc l a s s i c a ls e q u e n c e s p a c e si nb a n a c hs p a c e s w eh a v ed i v i d e dt h i st h e s i si n t os i xc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w es t u d yj a m e s sd i s t o r t i o nt h e o r e m sa n dp r o v et h a tad u a l b a n a c hs p a c ec o n t a i n i n gas u b s p a c ei s o m o r p h i ct oc o ，i i m u s tc o n t a i na l m o s t i s o m e t r i c c o p i e so fc o ，1 卜t h i sr e s u l tg e n e r a l i z e st h e r e s u l t sd u et op n d o w l i n g ， n r a n d r i a n a n t o a n i n aa n db t u r e t t ( t h i sr e s u l tw i l lb ep u b l i s h e di na e t a m a t h ， s i n i c a ，v 0 1 4 7 ，n o 6 ，2 0 0 4 ) c h a p t e r 2i sd e v o t e dt oa s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i c c o p i e so fc oi nb a n a c hs p a c e s 。 i nt h i sc h a p t e r ，t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so fc 0i n b a n a c hs p a c e sa n da s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so ff 1i nd u a lb a n a c hs p a c e s a r ed i s c u s s e d o u rm a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) l e tx b eas e p a r a b l eb a n a c hs p a c e t h e nx + c o n t a i n sa na s y m p t o t - i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo f1 1 i fa n do n l yi fx h a s 毡q u o t i e n tw h i c hi sa s y m p t o t i - c a l l yi s o m e t r i ct oc o ( t h i sr e s u l th a sb e e np u b l i s h e di nzm a t h a n a l a p p l 2 8 4 ( 2 0 0 3 ) 6 1 8 6 2 5 ) ( 2 ) l e t xb eab a n a c h s p a c e t h e n x + c o n t a i n saw e a k + - n u l la s y m p t o t i c a l l y i s o m e t r i c1 1 _ s e q u e n c ei fa n do n l yi fxh a saq u o t i e n tw h i c hi s a s y m p t o t i c a l l y i s o m e t r i ct oc o 。 ( 3 ) l e t xb ear e a lb a n a c hs p a c et h a td o e sn o tc o n t a i nac o p yo f ? 1 t h e n x c o n t a i n s a s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so ff 1 谨a n do n l yi fx h a s8q u o t i e n t w h i c hi sa s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i ct oc o c h a p t e r3i sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ha s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so f p ( 1 茎 p o 。) i nb a n a c hs p a c e s i nt h i sc h a p t e r ，w ep r o v et h a ti fx i sas e p a r a b l e b a n a c hs p a c es u c ht h a tx c o n t a i n sa s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so fb ( 1 0 i fxc o n t a i n sa na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo fc o t h e nt h e r ee x i s t sa s n b s p a c ez o fxa n da p r o j e c t i o np f r o mxo n t ozs u c ht h a tzi sa s y m p t o t i c a l l y i s o m e t r i ct oc oa n d1 i p i is1 + e i nc h a p t e r5 ，w ec o n c e n t r a t eu p o na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so fc oa n d f 。i no p e r a t o r s p a c e s i nt h i sc h a p t e r w ed i s c u s sa s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e s o fc 0a n dpi ns o m ek i n d so fo p e r a t o rs p a c e s ，s u c ha sl ( x ，y ) ，k ( x ，y ) a n d w ( x ，y ) s o m er e s u l t sa r eo b t a i n e d c h a p t e r6 ，t h ef i n a lc h a p t e r ，i sd e v o t e dt oa s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so f c 0i nv e c t o r v a l n e df u n c t i o ns p a c e s t h em a i nr e s u l t so ft h i sc h a p t e ra r e ： ( 1 ) l e t1 p o 。a n d a s s u m et h a tx c o n t a i n sa n a s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i c c o p yo f 1 ，t h e np ( o ，l 】，x ) c o n t a i n saq u o t i e n tw h i c hi sa s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i c t oc 0 ( 2 ) l e tx b eab a n a c hs p a c et h a td o e sn o tc o n t a i na c o p yo fl 。i fx c o n t a i n sa na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo fc o ，t h e nc c a ( ，x ) c o n t a i n sa n a s y m p - t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo fc oc o m p l e m e n t e di nk ( e ，x ) c h a p t e r 0 i n t r o d u c t i o n i ti sw e l l - k n o w nt h a tt h e r ea r em a n y g e o m e t r i c c o n d i t i o n so nab a n a c h s p a c e s t r o n ge n o u g ht oi m p l yt h a tt h eb a n a c hs p a c eh a st h ef i x e dp o i n tp r o p e r t y ( f p p ) g e o m e t r i cc o n d i t i o n ss u c ha su n i f o r l t lr o t u n d i t y ，u n i f o r ms m o o t h n e s s ， o rn o i l t l a ls t r u c t u r et o g e t h e rw i t hr e f i e x i v i t ya r es u f f i c i e n tt oi m p l yt h ef p p e a c l lo f t h e s ec o n d i t i o n sa l s oi m p l i e s ( o ra s s u m ei nt h e1 a s tc a s e lt h a tt h eb a n a c h s p a c ei sr e f l e x i v e w h e no n ec o n s i d e r st h ec l a s s i c a lb a n a c hs p a c e s t h er e f l e x i v eo n e s ( 2o r 护 w h e r e1 p 0 0 1h a v et h ef p ps i n c ee a c hi su n i f o r m l yr o t u n d t h ec l a s s i c a l n o n r e f l e x i v eb a n a c h s p a c e s ( c o ，囊f ，。，a n dc 0 ，1 1 f a i lt oh a v et h ef p p s i n c e e a c ho ft h e s es p a c e sc o n t a i n sa ni s o m e t r i cc o p yo ff 1o rc na n dw eh a v ea l r e a d y s e e ne a s y e x a m p l e s o fi s o m e t r i e so nn o n e m p t yc l o s e db o u n d e dc o n v e xs u b s e t so f po r 翻w i t h o u tf i x e dp o i n t s t h u si ti sn a t u r a lt oa s kt h ef o l l o w i n gq u e s t i o n s ： q u e s t i o na i fab a n a c hs p a c exh a st h ef p ri sx r e f l e x i v e ? q u e s t i o nb i fab a n a c hs p a c exi sr e f i e x i v e d o e sxh a v et h ef p p ? i nc o n s i d e r i n gt h ef i r s tq u e s t i o n ，w h e t h e rt h ef p p i m p l i e sr e f l e x i v i t y , i ti s t e m p t i n g t ot r yt oc o n s t r u c tn o n r e f l e x i v es p a c e sw i t ht h ef p p w h e r eh o w e v e r s h o u l do n el o o kf o rs u c hs p a c e s ? p e r h a p st h em o s tn a t u r a lp l a c et ol o o ki s a m o n g t h er e n o r m i n g so f e oa n d 1s i n c et h e s ea r e ，i nac e r t a i ns e n s e ，t h es i m p l e s t o ft h en o n r e f l e x i v eb a n a c hs p a c e s i ti sw e l l k n o w n ( t h e o r e m s1 c ，1 2i nf 3 1a n d 1 c , 5i nf 4 u t h a tab a n a c hl a t t i c eo rab a n a c h s p a c ew i t ha nu n c o n d i t i o n a lb a s i s i sr e f l e x i v ei fa n do n l yi fi tc o n t a i n sn oi s o m o r p h i cc o p i e so fc oo r1 1 t h u s i f i tc a nb es h o w nt h a tn e i t h e rc on o r ；1c a nb er e n o r m e dt oh a v et h ef p p i t w o u l df o l l o wt h a tt h ef p pi ne i t h e rab a n a c hl a t t i c eo ri nab a n a c h s p a c ew i t h a nu n c o n d i t i o n a lb a s i sw o u l di m p l yr e f l e x i v i t y t h u s s u c c e s si n c o n s i d e r i n g t h ei s o m o r p h i s mc l a s s e so ft h e s et w os p a c e sw o u l dh a v e e x t r e m e l yp l e a s a n t c o n s e q u e n c e sf o rs e v e r a ll a r g ec l a s s e so fb a n a c hs p a c e s 。 i fo n ea t t e m p t st or e n o r mf 1a n dc ot oh a v et h ef p po ri fo n ea t t e m p t st o s h o wt h a tz 1a n dc oc a n n o tb er e n o r m e dt oh a v et h ef p p ，o n ei si n t e r e s t e di n k n o w i n gh o wd i s t o r t e dr e n o r m i n g so ff 1 a n dc oc a nb e ? i nf a c t ，r c j a m e s 5 】h a ss h o w nt h a t n e i t h e r1 1o rc oc a nb e d i s t o r t e d ( i n t h es e n s et h a t a n y 1 r e n o r m i n g so ff 1 a n dc oc o n t a i na l m o s ti s o m e t r i cc o p i e so ff 1a n dc or e s p e c - t i v e l y ) p n d o w l i n ge ta 1 6 1g i v et h es t r o n g e rv e r s i o n so fj a m e s sd i s t o r t i o n t h e o r e m sa n di n v e s t i g a t et h e i rr e l a t i o n s h i pt of p p t h e yp r o v et h a t1 1 c a n n o t b er e n o r m e dt oh a v et h ef p pf o ru n i f o r m l yl i p s c h i t z i a nm a p p i n g sa n dc oc a n - n o tb er e n o r m e dt oh a v et h ef p pf o ra s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g s i ti su n k n o w nw h e t h e rt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l tf o r1 1h o l d s ；t h a ti s ，i fab a n a c h s p a c ex c o n t a i n sa ni s o m o r p h i cc o p yo ff 1 d o e sx f 越lt h ef p pf o ra s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g s f i x e dp o i n tt h e o r e m s f o ru n i f o r m l yl i p s c h i t z i a n m a p p i n g s ( r e s p a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g s ) a r ec o n s i d e r e di n 7 ，8 - p n d o w l i n g e ta 1 f 9 1o b s e r v ej a m e s sd i s t o r t i o nt h e o r e m sa n di n t r o d u c e t h ec o n c e p to fab a n a c hs p a c ec o n t a i n i n ga na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p y o ff 1a n du s ei tt os h o wt h a tn o n r e f l e x i v es u b s p a c e so fl 1f a i lt h ef p pf o r n o n e x p a n s i v em a p p i n g s ，p r o v i n gt h e c o n v e r s eo fat h e o r e mo fm a u r e y 1 0 i ti sp r o v e di n 【9 t h a tb a n a c hs p a c e sc o n t a i n i n ga na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i c c o p yo ff 1 f a i lt h ef p pf o rn o n e x p a n s i v em a p p i n g s t h u st h ec o n c e p to fa b a n a c hs p a c ec o n t a i n i n ga na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo ff 1i sau s e f u lt o o l i ni d e n t i f y i n gb a n a c hs p a c e st h a tf a i lt h ef p p 。i n 1 1 1 ，t h ec o n c e p to fab a n a c h s p a c ec o n t a i n i n ga na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo fc o i si n t r o d u c e da n di t i s p r o v e dt h a tb a n a c hs p a c e sc o n t a i n i n ga na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo f c 0f 越1t h ef p pf o rn o n e x p a n s i v em a p p i n g s t h u st h ec o n c e p to fab a n a c h s p a c ec o n t a i n i n ga na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p yo fc o i sa n o t h e ru s e f u lt o o l i ni d e n t i f y i n gb a n a c h s p a c e st h a tf a i lt h ef p p h o w e v e r ，t h ef o l l o w i n gp r o b l e m i ss t i l lo p e n ： q u e s t i o nc i fxi sab a n a c hs p a c ei s o m o r p h i ct of 1o rc o ，d o e sx f a i lt h e f p p ? t h u s ，t h er e s u l t so fp n d o m i n ge ta 1 o n l yp r o v i d eap a r t i a la n s w e rb e c a u s et h e r ed oe x i s tb a n a c hs p a c ex i s o m o r p h i ct o1 1 ( r e s p c 0 ) ，t h a tc o n t a i n n oa s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so ff 1 ( r e s p c o ) i n 1 2 】，p n d o w l i n ge ta 1 p r e s e n tar e n o r m i n go fc 1 ( r e s p c o ) w h i c hc o n t a i n sn oa s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i c c o p i e so f1 1 ( r e s p c 0 ) t h u sj a m e s sd i s t o r t i o nt h e o r e mf o rf 1 o rc oi s ，i nt h i s s e n s e ，o p t i m a l i nc o n t r a s t ，i np n d o m i n ge ta 1 f 1 1 1 t h ea u t h o r ss h o wt h a t t h es p a c e sf o oa n df 1 ( r ) ，w i t hru n c o u n t a b l e ，c a n n o tb ee q u i v a l e n t l yr e n o r m e d t oh a v et h ef p p i n d e e d a l ls u c hr e n o r m i n g sc o n t a i na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i c c o p i e so f1 1 t h i sl c a d st ot h ef a c tt h a tf o rab r o a dc l a s so fo r l i c zs p a c e sw i t h t h eo r l i c zn o r m ir e f l e x i v i t yi s e q u i v a l e n tt ot h ef p p ( s c ef 1 1 ) m o r e o v e r ，i n d o d d se ta j 1 3 1 ，i ti ss h o w nt h a te v e r yn o n r e f l e x i v es u b s p a c eo ft h et r a c ec l a s s o rt h ep r e d u a lo fav o nn e u m a n na l g e b r amw i t haf a i t h f u l n o r m a l f i n i t e t r a c e7 c o n t a i n sa s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so ff 1 f u r t h e r i nc a r o t h e r se t 8 f 1 1 4 l t h ea n a l o g o u sr e s u l tf o rn o n r e f l e x i v es u b s p a c e so ft h el o r e n t zf u n c t i o n s p a c el ，1 ( 0 ，( d o ) i se s t a b l i s h e d a sf o rc 0 ，p n d o m i n g 酣a 1 【1 5 1p r o v et h a t 2 n o n r e f l e x i v es u b s p a c e so ft h es p a c ek c h lo fc o m p a c to p e r a t o r so nah i l b e r t s p a c e 髫c o n t a i na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so f 国。t i l e r e f o r e ，as u b s p a c e o ft h e 嚣f 嚣1h a st h ef p pi fa n do n l yi fi ti sr e f l e x i v e f i n a l l y , r e c e n ta r t i c l e s 1 6 ，1 7 ，1 8 lb yh p f i t z n e rs h o wt h ee x i s t e n c eo fa s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e s o f1 1i nn o n r e f l e x i v es u b s p a c e so fl e m b e d d e db a n a c hs p a c e sa n da s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so fc oi nn o n r e f l e x i v es u b s p a c e so fm e m b e d d e db a n a c h s p a c e sa n dc o n s i d e ra s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p i e so f 1 1i np r e d u a t so fv o n n e u m a n n a l g e b r a s 。m o r e o v e r ，ar e c e n tp a p e ro fn 。r a n d r i a n a n t o a n i n al1 9 | c o n s t r u c ta s y m p t o t i c a l t yi s o m e t r i cc o p i e so f1 1i na n yn o n r e f l e x i v es u b s p a c eo ft h e d u a lo fa na r b i t r a r yc + a l g e b r ao rj o r d a nt r i p l e t h en o t i o no fab a n a c hs p a c ec o n t a i n i n ga na s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i cc o p y o f2 1o r a l s oc a nb eu s e dt oc o n n e c tw e a k l yc o m p a c tc o n v e xs e t scw i t h t h ee x i s t e n c eo ff i x e dp o i n t 8f o ra l ln o n e x p a n s i v es e l f - m a p so fc ，a l s p a c h s 2 0 e x a m p l eo f a ni s o m e t r yo l law e a k l yc o m p a c tc o n v e xs u b s e to fl 1w i t h o u taf i x e d p o i n ts h o w st h a tw e a kc o m p a c t n e s s i sn o ts u f f i c i e n tf o ras e tt oh a v et h ef p p f o r e x a m p l e so fn o n - w e a k l yc o m p a c t s e t ss u c ht h a ta l ln o n e x p a n s i v es e l f - m a p s o f t h o s es e t sh a v ef i x e dp o i n t s ，s e es o a r d if 2 1 1w h e r ei ti ss h o w nt h a tt h eu n i tb a l l o fl ”h a st h ef p po rt h eb o o ko fg o e b e la n dk i r kf 7 1 。p a g e3 1 。w h e r eac e r t a i n n o n - w e a k c o m p a c ts u b s e to f ；1i ss h o w nt oh a v et h ef p i n f a c t t h ee x a m p l e i nf 7 1c o m e sf r o mf 2 2 1w h e r ead e c r e a s i n gs e q u e n c eo fc l o s e dc o n v e xs u b s e t so f f 1i sc o n s t r u c t e ds u c ht h a tt h ee v e n - i n d e x e dt e r m sh a v et h ef p pa n dt h eo d d - i n d e x e dt e r m sf a i lt h ef p p i n s p i r e db yt h e i re x a m p l e ，p n d o w l i n ge ta l 。 2 3 1 s h o wt h a t i fac l o s e db o u n d e dc o n v e xs u b s e tko rab a n a c hs p a c ec o n t a i n sa n a s y m p t o t i c a l l yi s o m e t r i e2 1 | b a s i s ，t h e nt h e r ee x i s t san o n e m p t y c l o s e db o u n d e d c o n v e xs u b s e tco fka n da na f f i n en o n e x p a n s i v es e l f - m a po fcw i t h o u taf i x e d p o i n t 0 n ec o r o l l a r yo ft h i st h e o r e mi st h a tac l o s e db o u n d e dc o n v e xs u b s e t go f ：1i sn o r l 2 1c o m p a c tl fa n do n l yi fe v e r yc l o s e db o u n d e ds u b s 畦疆ch a s t h ef p pf o rn o n e x p a n s i v em a p s t h et h e o r e ma l s oc o m b i n e sw i t har e s u l to f p n d o w l i n g 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