（应用数学专业论文）几类时滞神经网络模型的全局稳定性.pdf

摘要 本文主要研究了几娄时滞神经网络模型的全局稳定性( 包括全局渐近稳定性。全局指数 稳定性和全局指数鲁棒稳定性) 在第一章中，利用l y a p u n o v 方法，线性矩阵不等式( l m i ) 方法和h a l a n a y 不等式技巧 研究了一类具有时滞的c o h e n or o s s b e r g 神经网络的全局渐近稳定性和全局指数稳定性。 在第二章第一节中，利用压缩映像原理、同胚性质和l y a p u n o v 方法研究了一类定常时 滞神经网络的全局指数鲁棒稳定性，并得到了些新的在工程上易于验证的判据；在第二 节中，利用非奇异m 一矩阵理论、同胚性质和h a l a n a y 不等式技巧研究了一类具有变时滞 的神经网络的全局指数鲁棒稳定性。 本文所得到的结果是以前一些结果的推广相完善，并且本文的结果在工程上易于验证 和应用。另外，本文只要求激活函数满足全局l i p s c h i t z 条件，有时也假定激活函数是有界 的，但是不要求激活函数是可导的、单凋非减的，也不要求连接权矩阵是对称的，因此本文 的结果对神经网络的设计和应用具有重要的意义。 关键字，神经网络，时滞，线性短阵不等式，h a l a n a y 不等式，全局 | i 近稳定性，全局 指数稳定性，全局指数鲁棒稳定性。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eg l o b ms t a b i l i t y ( t h eg l o b a la s y m p t o t i c a s t a b i l i t y ，t h eg l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dt h eg l o b a le x p o n e n t i a lr o b u s ts t a b i l i t y ) f o rs e v e r a lk i n d so fd e l a y e d r l e u r a ln e t w o r k s i nc h a p t e r1 ，b yu s i n gl y a p u n o vm e t h o d ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m l la p p r o a c ha n d h a l a n a yi n e q a l i t yt e c h n i q u e ；w ei n v e s t i g a t et h eg o b ma s y m p t o t i c a ls t a b i l i t ya n dt h eg l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rac l a s so fc o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y s i ns e c t i o n1o fc h a p t e r2 ，b ya p p l y i n gc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e ，h o m e o m o r p h i s m p r o p e r t y a n dl y a p u n o vm e t h o d t h eg l o b a le x p o n e n t i a lr o b i m ts t a b i l i t yi sd i s c u s s e df o rac l a s s o fn e u r a ln e t w o r k sw i t hc o n s t a n td e l a y s a n das e to fn e wc r i t e r i aa r eo b t a i n e d ；i ns e c t i o n2 ， b yu t i l i z i n gn o n s i n g u l a rm m a t r i xt h e o r y ，h n m e o m o r p h i s mp r o p e r t ya n dh a l a n a yi n e q u m i c y t e c h n i q u e jt i mg l o b a le x p o n e n t i a lr o b u s ts t a b i l i t ya r ec o n s i d e r e df o rac l a s so fn e u r a ln e t w o r k s w i t ht i m e v a r y i n gd e l a y s ， t h er e s u l t so b t a i n e di nt h i sp a p e ri m p r o v ea n de x t e n ds o m e e x i s t i n go n e s ，a n dt h eg i v e n c o n d i t i o n sa r ee a s yt ov e r i f ya n da p p l yi ne n g i n e e r i n g i na d d i t i o n ，i nt h i sp a p e r ，w eo n l y r e q u i r et h ea c t i v a t i o nf u n c t i o n st ob eg l o b a ll i p s c h i t zc o n t i n u o u so rb o u n d e d n o tr e q u i r et h e a c t i v a t i o nf u n c t i o n st ob ed i f f e r e n t i a b l ea n dn l o n o t o n en o n d e c r e a s i n g ，a n dn o tr e q u i r et h ei n t e r c o n n e c t i o nm a t r i c e st ob es y m m e t r ye i t h e rt h e r e f o r et h ep r o p o s e dc r i t e r i ai nt h i sp a p e r p o s s e s si m p o r t a n tl e a d i n gs i g n i f i c a n c ei nt h ed e s i g na n da p p l i c a t i o no fn e u r a ln e t w o r k s k e y w o r d s ：n e u r mn e t w o r k s ，d e l a y ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , h m a n a yi n e q a t i t y , g l o b a l a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y ，g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ，g l o b a le x p o n e n t i a lr o b u s ts t a h i l i t y 独创性声明及使用授权的说明 、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标明和致澍的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 = 、关于学位论文使用授权的说明 签名：凌! i ：盔整日期： 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文彼查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 签名：主睦上丛导师签名日期 引言 以非线性大规模并行分步处理为主流的神经阿络( n e u r a ln e t w o r k s ) 的研究在近二十年 来取得了引人注目的进展，引起了包括计算机科学、人工智能、信息科学、自动控制、数 学、生物、物理等学科领域内的众多科学家的巨大热情和广泛兴趣。由于神经网络具有 般的数字计算机所没有的优点，如大规模并行分布处理能力、学习联想能力、高度的鲁棒 性、容错性，使得其在工程上的应用也越来越广泛，表现出越来越高的实效性，如在模式 识别、数据压缩、图象处理、联想记忆、优化计算以及神经控制等领域都有着非常广泛的 应用。当神经网络应用于求解优化问题f 8 时，要求网络只能有一个平衡点，且是全局渐近 稳定的。此时，对于优化计算神经网络的平衡点，一般对应于某一个优化问题的最优解， 而构造神经网络的目的是通过网络的渐近性，使其解趋于平衡点从而找到最优解。然而， 对于联想记忆神经网络，通常需要阿络具有多个分别对应于要存储的记忆模式的平衡点， 并且要求这些平衡点是局部渐近稳定的，因此平衡点的存在性和稳定性就成为这类神经网 络应用和设计的前提。然而在大规模电子电路的实现中经常会有时滞的产生，它经常是引 起网络振荡，不稳定，分支及混沌的直接原因i 3 7 ，3 8 1 最近几年，时滞神经网络( d e l a y e d n e u r a ln e t w o r k s ) 的稳定性研究已成为一个热门课题，有关时滞神经隅络的全局渐近稳定性 ( g l o b a la s y m p t o t i e a ls t a b i l i t y ) 和全局指数稳定性( g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ) 已有众多 学者进行了研究，得到了一些对神经网络在工程上的应用和设计都有重要意义的结果f 5 3 4 ， 4 叫。另外，在时滞神经网络的处理过程中，它的一些不确定因素总是难以避免的，如神经 网络系统参数的波动和网络系统的外部扰动及模拟误差，这些都可能导致网络的不稳定或 分支与混沌现象，因此一个好的网络应该具有一定的鲁棒性。所谓网络系统的鲁棒稳定性 是指在指定网络系统的邻近系统中，某些动力学行为如平衡点的稳定性的保持问题，文f 2 1 ， 2 2 ，3 0 1 将时滞h o p f i e l d 神经网络模型推广为区间时滞模型，对它的稳定性做丁研究，得到一 些平衡点是全局渐近鲁棒稳定的充分条件，在实际设计中往往要求提高网络的收敛速度， 对应于此设计要求，希望网络具有全局指数收敛性文 2 1 ，2 2 ，3 。 中作者都假设系统的激 活函数是有界的，这种有界性的限制并不令人满意，因为它对线性系统或二次系统就无法 检验，本文将去掉激活函数有界性的限制另外，在已有的结果中，对稳定性的研究通常 采用l y a p u n o x , 方法，因此需要构造各种不同的l ya _ p u n o v 函数( 泛函) ，这往往需要一定的 技巧，有时甚至难于构造最近，文f 1 7 ，1 8 用线性矩阵不等式方法研究了时滞神经网络的 稳定性，所得结果考虑了神经元之间的兴奋与抑制影响，克服了l y a p u n o v 方法所产生的缺 陷。 本文主要利用线性矩阵不等式方法、h a l a n a y 不等式技巧、m 一矩阵理论及同胚性质 等并通过构造适当的l y a p u n o v 函数( 泛函) ，研究了几类时滞神经网络的全局稳定性( 包括 全局渐近稳定性、全局指数稳定性和全局指数鲁棒稳定性) 。 在第一章中，考虑了具有时滞的c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模型，它由如下的泛函微分 t 第一章时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的全局稳定性 1 9 8 3 年c o h e n g r o s s b e r g 提出了一类神经网络，由于这类神经网络在模式识别、平行 计算、联想记忆，特别是在解决一些优化问题上有着的广泛应用，它已引起了众多科学家 的广泛兴趣众所周知，信号在神经网络中的传递需要时间，加之在神经网络的硬件实现 时放大器的转换速度有限，因而不可避免地存在着时滞，而时滞意味着网络模型应该与过 去时间的神经元状态有关，这也在一定意义上反映了大脑本身的特点，所以应该在神经网 络中引入轴突信号传输时滞。另一方面，在神经网络中引入时滞有利于移动目标的图像处 理、移动物体速度的确定和模式分类。 本章考虑如下一类时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的全局稳定性( 包括全局渐近稳定性 和全局指数稳定性) 其模型可用如下的泛函微分方程来描述： d u m i ( t ) = n ( u 沁( “一。卯( u j ( ) ) 一g j ( u ，( t q ) ) + 厶 ， ( 1 1 ) 3 = 1j 2 1 其中n 表示该神经网络中神经元的个数，i = 1 ，2 ，? z 。啦表示第i 个神经元的状态 变量，a i 表示放大器函数，b 。表示行为函数，0 0 表示轴突信号传输时滞，a i ”b i j 分 别表示第，个神经元和第i 个神经元在t 时刻和t q 时刻的连接权， 表示第i 个神经 元的外部偏置，们是神经网络的激活函数( a c t i v a t i o nf u n c t i o n ) 。 系统( 11 ) 的初始函数为： 地( s ) = 也( s ) g ( 一f ，o ，r ) ，se 【一r ，o ，i = 1 ，2 ， ，7 z 其中r = m a x r j ，1 曼j n 。 对函数a b g 。作如下的假设： ( 日1 ) ：a 。有界连续且0 o ， = 1 ，2 ，一，n ； ( 凰) ：激活函数吼( u 。) 有界且存在常数g ； 0 ，使得 i 吼( ) 一玑( 卢) 1s g i l a 一口 对任意q ，卢r ，。= 1 ，2 ，t ，n 成立 易见模型( 11 ) 包含了一些著名的神经网络模型，比如： i 当a i ( ) = 1 ，b ：( 啦( t ) ) = e i 地( ) 时，( 1 1 ) 就成为时滞的细胞神经网络( d e l a y e dc e l l u a r n e u r a ln e t w o r k s 】模型，对这类神经网络模型的稳定性的研究现已得到了许多有意义的结 果 1 ，2 ，4 ，1 2 1 8 ，2 4 ，3 0 ，3 2 。 2 当a i ( 。) = 1 ，b 。( u ：( t ) ) = c i n 。( t ) ，= 0 时， ( 11 ) 就变成了时滞的h o p f i e l d 神经网络 ( d e l a y e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k s ) 模型，在 3 ，1 1 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 5 ，3 4 1 中详细地讨论了这类 神经网络的稳定性 1 东南大学硕士毕业论文 2 本章的主要目的是利用线性矩阵不等式( l m i ) 方法和h a l a n a y 不等式技巧，通过构造 适当的l y a p u n o v 泛函讨论系统( 11 ) 的平衡点的全局稳定性，给出了一些在工程上易于验 证的判据。在这量不要求激活函数是单调非减的、可导的，且神经元间的连接权矩阵不要 求是对称的。 1 1 平衡点的全局稳定性 为了证明我们的主要结果，我们首先给出下面一些引理： 引理jjt ( s c h = r 补引理“，：线性矩阵不等式 s ：f 酬曹瓤司卜o s ( z ) 7r ( x ) 成立，等价于下面不等式： r 扛) 0 ，) ( z ) 一s ( z ) r ( z ) 一1 s b ) 7 0 其中0 扛) = 0 扛) 丁，r ( z ) 2r 扛) ，s 扛) 仿射地依赖于z ， 引理1 2 j 对任意。，b 冠”和隆意正定砧除矩阵a 有如下不等式成立 2 0 t b q 0 ，9 ( ) 是定义在 t o r ，如】上 的非负连续函数，当t t o ，满足如下不等式； d + 9 ( t ) 曼一刚( c ) + 茆( t ) ， 其中雪( t ) =s u p 可( s ) ) ，则下面的不等式 ( t ) 兰口( ，o ) e 一1 ( “， 东南大学硕士毕业论文 成立，其中a 是如下方程 的唯一正解 根据b r o u w e r 不动点定理知条件( 风) 保证了系统( 1 1 ) 平衡点的存在性。假设= ( u i ，u ：) 7 是系统( 1 1 ) 的一个平衡点，作变换z ( t ) = u ( t ) 一“+ ，则系统( 1 i ) 可以改写 为 害磐：咽( 删) 胁癣) ) 一塞州删) 一妻州州 吲) ， ( 1 3 ) 其中 q 。( z ：( t ) ) = a i ( z i ( t ) + u ；) ， 风( z ：( ) ) = b i ( x i ( t ) + u ：) 一b d u + ) ， t f l j ( x j ( t ) ) = g a x a t ) + u ；) 一珊( “j ) 由条件( e 如) 和( 日3 ) 可得 x i ( ) p 。( a ：；0 ) ) ，y 。z ；0 ) ，i = 1 ，2 ，- ，n ( 14 ) l p ；( t ) 曼g ；。；( t ) ， = 1 ，2 ，n ( 1 5 ) 定理j 1 ：假设( 日1 ) ，( 日2 ) 和( 风) 成立，若存在对角正定矩阵p0 ，使得 f 2 尸r p a q a t p - g q g g q - 1 g p b 1 o ， ( 1 6 ) i - b r pq 厂叭 u 。 或等价于 2 p f p a q a 丁p g o g g 0 1 g p b q 一1 b 丁p 0 ，( 17 ) 则系统，j 存在唯一的平衡点，且是全局渐近稳定的，其中r = d i a 9 ( 7 1 ，一，) ，g 2 d i a q ( g 1 ， ，g 。) 。 证明：考虑如下的l y a p u n o v 泛函： 眦”= 。善n 只厂南蚺塾：- - 。t i 积引圳幽 ( 1 8 ) 沿( 1 3 ) 的解计算v ( z ( t ) ) 可得 v ( 。( t ) ) = 一2 p z 。( 0 z d z 。( f ) ) 一n t j 妒，( z ，( f ) ) 一b i jq o j ( z j ( 1 一q ) ) z = 1j = l，= 1 f 19 1 nn + q ，妒；0 ，( t ) ) 一q t 妒；( z ：( 一n ) ) ， 根据( 14 ) ，( 1 9 ) 可改写成下面的矩阵形式 3 p ( z ( f ) ) 茎 一2 z r ( t ) p p g ( ) + 2 2 7 ( ) p 1 4 妒( 。0 ) ) + 2 z 丁( 。) _ p b 妒( 。0 7 ) ) 0 1 0 ) + 妒丁( z 0 ) q 妒( z 0 ) ) 一妒+ ，( z ( 一r ) ) q 妒( 。( f r ) ) ， 东南大学硕士毕业论文 4 妒( z ( ) ) = ( 妒l ( z 。( t ) ) ，妒。( z 。( t ) ) ) 7 ， 妒( 。( t t ) ) = ( 妒1 ( z i ( t n ) ) ，-，妒。( 。( 一- ；) ) ) 丁 根据7 1 理1 1 2 可得 2 z 丁( f ) p a 妒( 。0 ) ) s $ g t ( t ) p a q a 7 p z ( f ) 十妒t ( z 0 ) ) q 一1 妒( z ( t ) ) 、( 11 1 ) 将( 15 ) 和( 1 1 1 ) 代入( 1 1 0 ) 得 矿( z ( t ) )墨x t 0 ) ( 2 p f + p a q a 7 p + g q g + g q 一1 g ) z ( ) + 2 2 7 ( t ) p b 妒( 。( t t ) ) 一妒7 ( z 0 一r ) ) q 妒( z 一r ) ) = 一( 。r c t ，妒r c z 。一r ，) n ( 妒。：三二，) 其中 n = ( 2 p 。一p a q a t p b - ，p g q g g q 一1 g 一：b ) 。， 一b 丁pq7 因此可得矿( z ( t ) ) 0 等价于 2 p f p a q a 7 p g q g g q 一1 g p b q 一1 b r p 0 证毕。 在定理1 1 1 中，如果令p = q = ( 单位矩阵) ，我们可以得到如下推论； 推论j j ；假设( h 1 ) ，( 日2 ) 和( 日3 ) 成立，若 ( 2 r a a b t ，一2 g 2i ；b ) 。， c l 。， 或等价于 2 f a a t 一2 g 2 一b b 7 0 ，( 1 1 3 ) 则系统门j j 存在唯一的平衡点，且是全局渐近稳定的，其中r = d i a g ( y i ，) ，g2 d i a g ( g l ， ，g 。) 。 注1 1 1 ：在文1 2 0 中，在假设激活函数是单调非减的条件下研究了一类时滞c o h e n 。g r o s s b e r g 神经网络的全局渐近稳定性，但在本节中，我们不要求激活函数是单调非减的，因此我们 的激活函数比文 2 0 1 中的更广泛。 定理j1 害：假设( 日】) ，( h 2 ) 和( 凰) 成立，若存在常数盘 口 0 和对角正定矩阵p ，q 使得 “j2 p f p a q a 丁p p b q b 7 p g 0 1 g 一言p 0 ， re ) 一g q 一1 g 十p 0 ， 东南大学硕士毕业论文 则系统限纠存在唯一的平衡点，且是全局指数稳定的，其中矗= i n 8 矗：) ，g = 1 茎。n 、 f = d i a g ( f f l ，) ，g = d i a 口( g 1 ，g 。) 。 证明：考虑如下的l y a p u n o v 泛函： 嘲肛z 娄只f 赤a s f 1 1 4 1 1 n 1 n ：只q 2 ( t ) s 矿( z ) ：只z ( 11 5 ) ；= 1一o = j 或写成下面的矩阵形式 。t 。) p 王( 毫) v ( z ( ) ) s ：z ，( ) p z ( ) ， ( 1 1 6 ) 沿( 1 3 ) 的解计算矿( z ( t ) ) 可得 矿( z ( f ) ) = 一2 只戤( ) 慨( q ( t ) ) 一哟奶( q ( ) ) 一b t j 妒5 ( x j ( t q ) ) 1 ， ( 1 1 7 ) 由( 14 ) ，( 11 7 ) 可以写成下面的矩阵形式： p ( 。0 ) ) s 一2 x 丁( t ) p r x ( t ) + 2 x 7 ( t ) p a c p ( x ( t ) ) + 2 x 丁( q p b q o ( x ( t t ) ) ， ( 1 1 8 ) 根据引理1 ，1 2 可得 2 z 丁( 亡) p a 妒( z ( ) ) sx t ( t ) p a q a ? _ p 。( 妇+ 妒t ( ”) q 一1 妒 ( ) ) ， ( 1 。1 9 ) 2 x 丁0 ) p b 妒( 。( t t ) ) z 2 1 ( t ) p b q b 7p z ( t ) + 妒? ( z ( 一f ) ) q 一1 妒( 。( t r ) ) ( 12 0 ) 把( 1 5 ) ，( 1 1 9 ) 和( 12 0 ) 代入( 1 ，1 8 ) 可得 矿扛( ) )s z 丁( t ) ( 一2 p f + p a q a 丁p + p b q b t _ p + a q 一1 g + ：p ) z ( ) + z r ( 一r ) ( g q 一1 g 一：尸) 。( 一r ) 一：z 7 ( t ) p z ( t ) + ：z 7 ( t , - - 7 - ) p 。( t r ) ， 由( 1 1 6 ) 可得 y 扛( t ) ) z 丁( t ) ( 一2 p f + p a q a 丁p + p b q b 丁p + g 。一1 g + ：p ) z ( t ) + z t ( 一f ) ( g q 一1 g 一；p ) 。( t r ) 一。v ( 。( 。) ) + f i r ( 。p 一7 ) 一d v ( 。0 ) ) + 口矿( z ( ) ) ， 根据引理1 1 3 可得 v ( 。( ) ) s 矿( z ( 如) ) e 一1 ( t - t 。) 又由( 1 ，1 5 ) 得 扣n 妻瓤2 茎忡) p ( 邢o ) ) e 叫t 5 一 一bs 茸 。m 0 ，使得 f 1 ) 2 f a a t b b 7 g 2 一畏i 0 ， 2 ) 一g 。+ 甓i 0 ， 则系统口i ，存在唯一的平衡点，且是全局指数稳定的，其中丘= ，m ，a 0 - 所以由定理2 1 2 ，系统( 11 ) 存在唯一的平衡点，且是全局指数稳定的。但是当a = 0 时 7 、 毗 ，i、 1j 、， h 屯 ，、 + 、， n 吨 、， o m、， l 8 0 2 ，j、 【 、 2 u o 0c+2 舭警 、， ) ) 0 0 l 2m m 嘴 s c ， 第二章两类时滞区间神经网络的全局鲁棒稳定性 2 1定常时滞区间神经网络 在第一章中，我们考虑了一类具有时滞的c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的全局渐近稳定 性和全局指数稳定性。众所周知，在一个确定的神经网络模型中，真实数据诸如突触联接强 度、神经元的放电速度以及轴突信号传输延迟等，通常都是通过统计估计的方法得到的， 因此估计的误差总是存在的。同时由于技术手段的限制，一些信息也许被丢失或在某种情 况下难于收集，然而我们可能相对精确地从经验或不完整信息中获得真实数据的范围，基 于这个范围端点的估计和利用区间动力系统和区间矩阵理论 2 7 ，在研究神经动力学系统中 我们能得到满意的结果在硬件实现时由于模型误差，外部于扰和参数漂移等，神经网络 的动力学行为可能因为某种不可避免的因素而难以保持f 2 1 ，2 2 1 ，因此一个好的网络应该 具有一定的鲁棒性。另外，在实际设计中往往要求提高网络的收敛速度，对应于此设计要 求，希望神经网络具有指数收敛性。 本节将讨论一类具有定常时滞的区间神经网络模型 生爱盟= 一c 。啦( f ) + 登n ：，如( u ，( f ) ) + 妻6 。，厶( u ， 一几，) ) + j 2 lj 2 1 e ，= ( g = 出。9 ( 。t ) ，。x n ：gsg g ，i 。，f t 。；矗，i = 1 ，2 ，一，礼) f 2 1 1 a f = a = ( t j ) n n as asa ，ie 璺。a i j 茎五v ，i ，：1 ，2 ， 。，礼) b = b = ( b i j ) 。：1 3 _ bs 百，ie ，鱼，茎6 ”55 ”，i ，j = 1 ，2 ，- ，n ) 的全局指数鲁棒稳定性 其中n 表示该神经网络中神经元的个数，i = 1 ，2 ，n 。u 。( t ) 表示第i 个神经元在t 时刻的状态，c t 0 表示在与神经网络不连通并且在无外部电压差的情况下第i 个神经元 恢复孤立静止状态的速率，n ，20 表示轴突信号传输时滞，。6 ：，分别表示第j 个神经 元和第i 个神经元在t 时刻和t n ，时刻的连接权，厶表示第i 个神经元的外部偏置，厶 是神经网络的激活函数( a c t i v a t i o nf u n c t i o n ) 。 系统( 2i ) 的初始条件为： t ( 。) = ( 。) ，一7 s 。so ，7 2 1 1 m ：，a j x 。 t j ) ，i ，j 2 1 ，2 ，“ 其中也( ) 是连续函数，假设“= ( u i ，“；，“：) 7 为系统( 2 1 ) 的平衡点，定义如下范 数： t l 一叫“_ s 蜓u p 。【萎渺小卜蚓1 8 壅南大学硕士毕业论文 在本节中对激活函数 作如下的假设： ( s 1 ) 是l i p s c h i t z 连续的，即存在l ， 0 ，使得 对任意的u ，u r ，i = 1 ，2 t ，n 成立 本节将讨论上述区间神经网络模型的全局指数鲁棒稳定性( g l o b a le x p o n e n t i mr o b u s t s t a b i t i t y ) ，容易看出模型( 21 ) 包括了时滞细胞神经网络、h o p f i e l d 网络和双向联想记忆 阿络等模型。在已有的结果 2 1 ，2 2 ，3o 中，作者都假设系统的激活函数是有界的，这种有 界性的限制并不令人满意，因为它对线性系统或二次系统就无法检验。本节将去掉激活函 数有界性的限制，并给出一些在工程上易于验证的判定条件，这对神经网络的设计和应用 有重要的指导意义。 2 1 1 平衡点的存在唯一性 为了证明我们的结果，需要下面的引理 引理2 俐：若日( z ) c o 满足下列条件 ( i ) 日( z ) 是r “上的单射； 对区间神经网络( 2 1 ) ，分别利用压缩映像原理和同胚等方法可以证明下面两个命题： 命题2 ：假设( s 1 ) 成立，若存在正数 1 ，沁，一， 。，使得对任意的i = 1 ，2 ，n ， 有 弛 a ，n ；，厶+ ，嵋，l ， ( 2 2 ) 则系统r 2 j j 存在唯一的平衡点，其中。玉= n 1 拭 l 且。， ，a u ) ，= m a x l b ” ，5 。，) 。 证明：若“+ = ( u ：，u ，“i ) 7 是( 21 ) 的一个平衡点，则u + 满足下面的非线性代数方 程： 妊塘地舭抄纠，z ，叫。 定义映射f ( u ) ：r “- - ) 只“， f ( “) = ( f i ( t z ) ，f 2 ( “) ，一。r ( “) ) 7 ， 其中丘( “) 2 击 量( 。t ，+ 。”) 厶( q ) + 厶1t 定义r ”中的向量范数如下 i 】u i f = 儿j u ：| _ ( 23 ) 9 悃 e忙m卟 h 卜 i 6导酽 陋是 日r 一签堕盔堂亟主望些殓塞 1 0 则对任意的4 ，口r “，由( 22 ) ，( 23 ) 式可得 | f f 沁) 一f ( 口) = a 。i 去( n + b i j ) ( f j ( u ，) 乃( ) ) i s 等( 。；+ ) l ，1 勘一”，1 ：妻避一壹如( 味塌心 鲁 a t 乌 鲁1 。吖1 “ s 。臻瓦1 圣( 町。+ 舭t ”i j = r u ”| 1 ， ( 2 4 ) 其中，一1 晋臻 硒1 三( 。知+ 蚜。) 厶， 0 ，i ，j = 1 ，2 ，- ，n ， 使得 址。 ；壹( 。l ，。j + a j l ；t n 痧+ 批，2 一，6 、l ) ( 2 5 ) 成立，则系统俾，存在唯一的平衡点u + ，其中。；，屹同命题2 。 证明：定义映射日m ) ：r n - 4 r n ， h ( 4 ) = ( 日1 ( u ) ，h 2 ( u ) ，一，皿。( u ) ) 7 n 其中甄( ) = - - c i ，a i + ( a i j + ) 乃( q ) + i i 。根据引理21 1 ，要证明系统( 21 ) 的平衡 ，。1 点的存在唯一性，只要证明映射日是兄“上的同胚。 先证明日是舻上的单射。假设存在u ，u r “，使得h ( 4 ) = ( ) ，由映射日的定 义可得 n q ( u 。一咄) = ( n v + 6 v ) 厶( u ，) 一厶( ) 】 ( 2 6 ) j 2 1 由c a u c h y s c h w a r z 不等式， a ：乌( u ， 2 = 1 nn = a t ( ( 。+ 6 。) 乃( ) 一疗( q ) 】) ( u 。一叫) i = 1 j 2 1 u 。一啦i + 。嗡l ，1 u ， “) 2 + l “) a i 3 ( ? 4 j 一) 2 ) c 。 一 ” 一 l u ba 。社 。日 一 叫 a 。趟 。 1 2 。 由( 29 ) 式，有e 1 1u | 1 2 s 1 1a 1u 豆( u ) ”，即渊茎1 | 宙( u ) 1 j ，因此，当1 1u 1 1 _ + 。时t 有| 】曰( u ) i i - + + 。，也就意味着当i iui l - + o 。时，l fh ( u ) | | _ + 。由引理21 1 知，映 射日是r n 上的同胚。因此系统( 2 ，1 ) 存在唯一的平衡点u 。证毕。 2 1 2 平衡点的全局指数鲁棒稳定性 定义2j ：系统偿 的平衡点u + = ( u ；，u ；，u i ) 7 ( 即u 4 满足 b ”) 疗( “：) + 厶= 0 ) 称为全局指数鲁棒稳定的，若对任意的c = 饿n 9 晒) e ，a = ( 。) a i ，口= ( 6 q ) 删b ，“是全局指数稳定的 本小节将给出判定系统( 2 1 ) 的平衡点的全局指数鲁棒稳定性的两个定理。并给出证 明 东南大学硕士毕业论文 定理2 j ：假设( s 1 ) 成立，若存在正数a l ， 2 ，k ，使得对任意的i = 1 ，2 ，n 有 则糸统侣 的平衡点矿是全局指数鲁棒稳定的，这里n 玉，6 玉同命题2 jt 证明：由于存在正数札 2 ， 。，使得 nn - a 缝+ a ，n ；。厶+ 嗡正。 0 ，使得 f 2 ，1 0 1 将系统( 2 1 ) 改写为 煦譬盟一c ( 圳一孙塞a i j 姒u 以) ) 一胁捌+ 毫b i j u m 1 ) ) 一舯；) 1 2 l，2j ( 2 1 1 ) 现考虑l y a p u n o v 函数 v ( t ) = 凡( t ) 一u 弦+ 嗡 i f a u j ( s ) ) 一，j ( “孙巾”d s 滑( 2 1 1 ) 的解计算d + v ，可得 因此 = 九【_ d + ( t )十b ；i 疗( t ) ) 一办( u 徘“”“ r c ：( t ) - t 。w + f 。l 艿( 嘶( t ) ) 一如( “；) j 3 l 乃( ，z ；) 1 e 。 。 ( e 一乌) i “，( f ) 一引+ ( t ) t = 1j = 1 + e 7 吲三，似t ) 一知 c 一 o o ，j = 1 ，2 ， ，礼， ( a 2 ) 0s 五上等；j j 垃d 岛，。，掣，r ，。，掣，o l ， + o o ，= 1 ，2 ， 一，n 定理2 ，廖剐：假设( a 1 ) ，( a 2 ) 成立，若存在正数 1 ，a 2 ，一，a 。，使得 ( 一。燃( 去( 九l 翔；十a ，工f 1 。；。+ a ；l 弛；+ a ，f ” 2 ， u 。 a 留一h 一 e 矿一 爨 。 代“ 髋 岛 入 丕宣太堂亟望些迨塞 1 4 则系统阳圳的平衡点是全局渐近鲁棒稳定的，这里n 舀= ，。m 。& ，x 。( 旧，l ，嘛，i 。 6 0 = k m a ，x 。 l - b i j l ，蚓) ，r 。2 m 定理2 j 4 声珂：假设( a 1 ) ，( a 2 ) 成立，若 i ) 矩阵s = f s 是正定的； i i ) ( - 2 c 。工m + l ib + 1 1 1 ) 0 则系统俾j 平衡点是全局渐近鲁棒稳定的，其中 s 。，= 一2 5 i i n 玉， 2 = j 0 j 矗= m “伸玎+ 丘”f ，f - a i j + q ；皓 c 。= m i n c ：) ，三m = m a x l i ) ，1 1b 幔= m a x i 虽惦，| f 雪幢) 例1 ：令n = 2 ，乃( u ) ；，( “) = 0 5 x ，显然，l j