（应用数学专业论文）二阶脉冲微分方程neumann和周期边值问题正解的存在性.pdf

摘要 本文将在前人研究的基础上利用锥不动点定理来讨论关于二阶脉冲微分方程多 重正解的存在性问题，首先研究 fz 7 ) 4 - o z ( t ) = i ( t ，z ) t t k ，0 t 1 ，a l ( o ，) a x 他k ) = 厶( 。( “) ) k = 1 ，p ，t t l ，) 【z ( o ) 一0 ，x r ( 1 ) = 0 和 f z 7 ( ) + 遁z ( ) = ，( t ，z ) t “，0 o z b 。= ( z ( k ) ) ，一a x m ；“= 以( z ( ) 21 ，2 ，p lz ( o ) = z ( 2 丌) ， z 7 ( o ) = z 7 ( 2 丌) 带有两个脉冲情形下的二阶脉冲微分方程周期边值问题的存在性问题 关键词：正解，n e u m a r m 和周期边值问题，锥不动点定理，格林函数 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e m sw i t ht h ef o l l o w i n gm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i me q u a t i o n sb yt h ef i x e dp o i n t t h e o r e mi nc o n e sf i r s t ，w ec o n s i d e rm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fn e u m a n nb o u n d e r y v a l u ep r o b l e m s ： a n d 。”( ) + 。；z ( t ) = f ( t ，z ) a x 7 ( t k ) = “( 。( “) ) k z ，( 0 ) = 0 ，z ”) = 0 t t k ，0 t 1 ，a l ( 0 ，) 1 ，p ，t t l ，t p ) f z “( ) + 。；z ( t ) = ，( t ，。) 一z 似k ) ： ( ( t k ) ) k 【。，( o ) ：o , x i ( 1 ) ：o t t k ，0 0 z i 忙“= ( z ( k ) ) ，一。仉：k = 以( ( 缸) ) 七= 1 ，2 ，p x ( 0 ) = z ( 2 ) ，z 7 ( o ) = z 7 ( 2 ) k e yw o r d s ：p o s i t i v es o l u t i o n ；n e l l m a n d _ a n dp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l o m f i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o h o s ；g r e e nf i m c t i o n i i ，j，、-【 ，j，、l【 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特男0 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果。也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均巳在论文 中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名 f 酗砰 日期：。幽! ! 苎 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名；同堡堕指导教师签名；蠡坠氇 日 期：迎姓日期：型犁竺一 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址， 塑监塾触 礁翌堑涮 电诲堂型物f 邮编，壁生箜苎 第一章引言 9 0 年代，脉冲微分方程作为非线性微分系统领域的一个新的分支。受到国内外 专家学者的重视，在脉冲微分系统的边值问题取得了一些很好的结果对于脉冲自 治系统的几何理论和脉冲偏微分系统振动理论等问题的研究方面取得了很大的发展 ( 参见文献【2 , 3 ，4 1 ) 过去的二十多年里，许多作者研究过二阶微分方程n e u m a n n 边值问题( 参见 文献【5 ，6 ，9 ，1 1 ，1 2 0 ，文献中也有些关于正解存在性的结果 在本文中，我们将在前人研究的基础上( 参见文献f l ，9 | ) 利用锥不动点定理f 1 5 - 18 1 来讨论 i 矿( ) + 巾( ) = f ( t ，z ) t 缸，0 t l ，0 , 1 ( o ，舌) a z ( t k ) = 厶( z ( “) ) 七= 1 ，p ，t t l ，t p ii ( o ) _ 0 ，一( 1 ) = 0 和 i 一矿( ) + n ；。( ) = f ( t ，z ) 馁，0 0 z i k “= i k c z c t ) ) ，一一i # “= 以( z c t k ) )七= 1 2 ，z 【z ( o ) = z ( 2 7 r ) ，一( o ) = 一( 2 7 r ) 带有两个脉冲情况的二阶脉冲微分方程多重正解的存在性问题 1 第二章二阶脉冲微分方程n e u m a n n 边值问题的 多重正解 2 1 预备知识 这里，我们将用锥不动点定理来讨论 i ( t ) + o 扣( t ) = f ( t ，。) t t k ，0 t 1 一( “) = i k ( x ( t k ) )k = 1 ，p ，t t z ，知)( 2 1 ) l 【一( o ) = 0 ，一( 1 ) = 0 和 i 一( t ) 4 - z ( t ) = ( t ，z ) t t ，0 t 1 一a x 似k ) = 矗( z ( “) )k = 1 ，p ，t 协，知， ( 2 1 ) 2 【z ，( 0 ) = 0 ，一( 1 ) = 0 二阶脉冲微分方程n e u m a n n 边值问题解的存在性问题 其中f ( t ，z ) ：【0 1 】x 0 ，o c ) 一【0 ，0 0 ) 连续，厶： 0 。o ) - - - - - - 4 【0 ，o o ) 连续， k = 1 ，p ，m ( z = 1 ，2 ) 为常数，0 0 1 0 对于下面方程的边值问题 f ，( t ) + o 扛( t ) = ( t ) 1 一( o ) = o 一( 1 ) = o ( 22 ) 1 和 ；勰：，蠹善0 协z b 1 一( o ) = o ，一( 1 ) = “。妇 的唯一解可以表示为z ( t ) = 詹g ( t ，s ) h ( s ) d s ( z = 1 2 ) ，其中 g - ( 抽) - c o s a t ( 1 - t ) c o s a l s 。o ； 。s 三 。t ；l 。 吲和，= 蒌唆o s 三 。t 三 。l 其中当 ( s ) 2 。t 2 时，有詹g t ( t ，s ) 0 2 如= 1 ，即有j 孑g ( t ，s ) d 8 = 专 容易验证下面引理 2 引理2 1 如果z ( 力是方程 ) = 0 1g ( t s ) 琊) 幽+ 砉姚州啪) 的解，其中g t ( t ，s ) 是方程( 2 2 ) t 的格林函数则z ( t ) 是下面脉冲问题的解 f 矿( ) + 嵋z ( ) = h ( t ) t “，0 t 1 ，0 1 ( o ，；) 一i t 。= i k ( x ( t d ) 豇= 1 ，p( 2 3 ) 1 【i ( o ) = 0 ，i ( 1 ) = 0 及 i - x ( t ) + z ( t ) = h ( t ) t “，0 t 0 一一l 日。= 厶( z ( “) ) k = 1 ，p( 2 3 h 【一( o ) = 0 ，一( 1 ) = 0 2 2 主要结论及证明 现在我们来考虑下面的边值问题： i ( t ) + d 2 z ( t ) = f ( t ，z ( t ) ) t t k ，0 t 1 a i ( t k ) = 厶( 。( “) )k = 1 ，p ，t t l ，t p 【i ( o ) = 0 ，t ( 1 ) = 0 和 i 一矿( t ) + 遁z ( t ) = ，( t ，z ( t ) ) t “，0 t 1 一a i ( t i ) = 厶( z ( “) ) k = 1 ，p ，t 札，知 i 一( o ) = 0 ，一( 1 ) = 0 正解的存在性同题 因为 g - 够，s ，= 塑c “塑a 挚l 1 - t ) c o s a , a 。0 。s s 。ts s 。1 则 1 m 2 。嚣。g - ( 。，s ) 2 丢高 m ，= 。爨。g z ( 泓) = 器 设o 1 = 胁m l ，则o 1 = c o s 2 a 1 因为 g ：他扣 摹o b s h a 2 。o 矗 s t 三 。l 3 ( 2 1 ) l ( 2 i ) 2 则 = 。9 m a 。x s g 2 ( t ，s ) = 蕊c h 2 a 2 耽= 。爨。g 2 ) = 五赢1 设如= 畿有0 2 = 杀石定义 x = c o ，1 】，l = s u pi x ( t ) * 【0 1 】 凼为 1p z ( t ) = g ；( t ，s ) f ( s ，x ( s ) ) d s + g ；( t ，“) ( z ( k ) ) ，o= 为( 2 1 ) l 的解，g i ( t ，s ) 为格林函数所以 i z l l 脱( ( 1 ，( s ，。扣) ) 幽+ 圭 o ( “) ) ) 脱( 上m 俐) 幽+ 三州圳 荆狐( j cm 删) 幽+ 三喇圳 雄) 触圳刮l 。1 1 定义x 为实b a n a c h 空问，k 是x 中的闭凸子集，如果它满足；( 1 ) 若 k ，a 0 ，则a z k ( 2 ) 若z k ，一z k 有。= 0 则耳是x 中的闭锥 固定。= 1 ，2 所以易知k = 扛x ：z 0 ，z ( t ) 2 吼忙吣是x 中的闭锥 在k 上定义算子中：k 一x (西z)(t)=g；(t，s)，(s，z(s)+g；(f，“)(z(如)0j 命题2 2 中( k ) c k ， 证明：对v x k 。有 f f 零z l | 坛( f ( s ，z ( s ) ) d s + 矗( ( “) ) ) j o k 一= l ( 虹) ( 。) m t 吼，删出+ 吾喇圳 有 ( 中州2 釉垂z 忙以u 贝0 垂z k ，所以垂( k ) c k 4 命题2 3 【1 3 1x = ( x ，i | ) 为一个b a n a c h 空间，k 为x 中的一个锥。 0 r r ，q r = 扣x ，i i x l l r ，圣：n k k 是全连续算子若满足t ( 1 ) 存在雪k t 0 ，对于k n a 珥，6 0 ，有z 圣+ 6 皿 ( 2 ) 当k n a q r ，有0 垂z 0 z i i 则圣在k f l 伽x ：r s i i x l i r ) 中至少存在一个不动点 命题2 4 命题2 2 中，如果将( 1 ) ，( 2 ) 换为， ( 1 ) 存在霉k o ，对于z k n a q r ，6 0 ，有霉圣z + 鼬 ( 2 ) z k f l6 l 珥，有l i c z l i i i z 0 则c i , 在k n 。x ：r s f | 。j i 埘中至少存在个不动点 下面我们来证明( 2 1 ) 存在正解 定理2 5 若对所有的。，瓢kr 司，0 r l ，蜘t 咖，州1 【o 1 1 ，i = 1 , 2 掣+ 舰砉掣 l ，蚍陋删，i = 1 , 2 则( 2 1 ) l 至少存在一个正解 证明；定义集合珥= z x ，l i x l l r ，n r = 和x ，i 研 首先，我们假设条件( 1 ) 成立由不等式 掣+ 主掣扎帅t 俐帆i = 1 , 2 因为 可知存在常数口l ，使得f ( t ，z ) 风口2 ，有 m 。壹掣( 1 - k = 1 山 盹薹p 端= 砚躺2 佻杰掣小傀 5 所以有 ， 讹。z ，x k ( z o c t k ) ) ( 1 一历) 媳知( t ) 令田兰1 ，则皿k ，下面证明对任意的z k n a 珥和南0 ，有z 圣z + 6 皿 否则，存在x o k n a g 和6 0 20 ，使得x o = 圣z o - i - 如皿 因为如k n 锄，所以z o ( t ) 2 爱l l x o l i = 薏r = 以r 则对任意的0 t l ，我们有 x o = ( c z o ) ( t ) 4 - 南 = g ( t ，s ) ，( s ，z o ( s ) ) d s + g 。( t t k ) i k ( x o ( t k ) ) + g o j 0 b - 一1 2 胁s ) 。挪2 ) 盹轰厶( 砒) ) + 岛 2 口- 。；理恐即( t ) z 1 g t ( t ，s ) d s + ( 1 一口1 ) 。m s 。i ：n l z 。( ) + 如 = 口x * r a c i 。n z o ( t ) + ( 1 一口1 ) 。m 。i n x o ( t ) + 南 2 m i n i x o ( t ) + 南 这意味着 踺z 。( 。) 。m s 延i n l 。o ( 。) + 南 所以有o 垂z + 6 皿2 7 k f 3 a f 2 ， 另外，利用条件( 1 ) 中第二个不等式 掣+ 舰耋蚴x k 1 ，v x , z k e m = 1 , 2 则存在常数国，使得 因为 所以有 m ，z ) 岛叩2 ，壹掣( 1 - 岛) = l 山r m 薹等争= 而m - 吾p c 硝尬砉等竽- 一岛 p 舰l , ( z k ) i l z l l ( 1 一岛) 6 f 面证明，当z k n 耽r 时，有i i 西z i i i i = 1 i 事实上，对任意的z k n a q 凡，f 0 ，1 】，有 圣洲2 og t ( 。训s 删) 幽+ 善毗t * ) 州t t ) ) 5 上岛国( 。，j ) z ( j ) 幽+ 坛丕厶( 。( “) ) 恻j 性霹z 1 g ( ，s ) 幽+ ( 1 一尾) 】 = i i z o 胁刍+ ( 1 一岛) 】= o z 所以有| i 圣z 0 z h ，n o n r 综上由命题2 3 锥不动点定理，可知垂在k n z x ：r 1 1 = 1 1 脚中存在 一个不动点z 为( 2 1 ) 的一个正解 同理，我们假设条件 掣+ 坛砉掣乳v 。, x ke 叭i = i , 2 訾+ 砚砉掣弘酬m 帆= 1 , 2 成立，也有同样的结论 由上面的定理2 5 ，可以得到下面多个正解的存在性定理2 6 定理2 6 如果存在a l ( o ，) ，a 2 ( o ，+ ) 和0 r q l 蚧t 咖以唧 l 】，i = 1 , 2 掣+ 尬砉掣 t ， v 霸z k 【几r ，r 1 ，t 【o ，1 】， = 1 ，2 讹。z 女kr ，r 】，t 1 0 ，1 】，i = 1 ，2 坳，瓤i 吼口，g 】，t f 0 ，l 】，l = 1 ，2 7 掣+ 舰喜掣乳帆”删，= 1 , 2 则( 2 1 ) 。至少存在两个正解卫l ，z 2 ，并且r i i z l l i q i i x 2 1 l r 证明：定义集合= z x ，i i z l l l v x ，x k e m 【0 ，l 】，i = 1 , 2 可知，对比k n a q ，6 0 ，有o 圣z + 6 皿 由第二个不等式 掣+ 壹翟掣 l ，瓢 吼删1 ，t 0 ，1 】， - 1 ，2 o ；o备“ 。 可知对比k n a ，有i i 垂o l i i i x l l 由锥不动点定理命题2 3 ，有( 2 1 x 至少存在一个正解z i ，并且r i j 盈 | 口 同样的，由( 1 ) 的第三个不等式 堡望+ m 。壹型1 ，比，z p 。r 捌，【o ，l 】，i ：1 ，2 a t z置x k 。 。 可知，对v z k n a q r ，5 0 ，有x 垂z + 占皿 由锥不动点定理命题2 3 ，有( 2 1 k 至少存在一个正解x 2 ，并且q l i x 2 1 i r 综上，若满足条件( 1 ) ，则( 2 1 ) ；至少存在两个正解z l ，x 2 ，并且 r 忙1 | l q i i z 2 1 i r 同理，假设条件( 2 ) 成立，亦可得到相同的结论 我们还可以将定理进行推广 定理2 7 若存在a l ( 0 ，) ，a 2 ( 0 ，+ 。o ) 和0 1 ，v x , z ke q 】 吲o j l _ 1 2 ，l 姚n 掣+ 尬壹掣 l 沌眠d l 】，t 【0 1 l ：1 ，2 ，l 姚n ( 2 ) 訾+ 必善p 掣 t ，v x , x k e 帆d 1 1 吲叭= 1 2 - 娜仇 则( 2 1 ) ；至少存在2 n 一1 个正解，且q 4 8 函，其中 c 1 d l c 2 d 2 q d f 2 3 推论及应用 定理2 9 如果对所有的z ，肘和几乎所有的t 【o ，1 ，并且n 1 ( o ，；) ，0 2 ( o ，+ o o ) ，( ，z ) 0 ，氏( z k ) 0 ，这里r + = 【0 ，+ o o ) ，当下面条件之一成立时， 即对几乎所有的t 【o ，l 】，有 ( 1 ) ：婪+ 掣十砜蚤p 。骂+ 掣乩。粤。掣+ 脱砉。悠掣q 渊，z ( 2 ) 。甄訾+ 舰砉。盘掣q 。粤。警+ 砚砉。掣扎 致成立，则( 2 1 ) 。至少存在一个正解 证明；因为z ，肘= 【o ，+ o o ) ，分别令r 足够小。r 充分大即 当r _ 0 时，有霉_ o + ，瓤一o + ， 当r _ + o o 时，有z _ o o ，z k d o o 则根据定理2 5 可以证明结论成立 9 推论2 1 0 如果对所有的，钆j 矿和几乎所有的t 【0 ，l 】，并且a l ( o ，) ，n 2 ( o ，+ o o ) ，f ( t ，z ) o ， ( z k ) 20 ，这里r + = 【o ，+ o o ) ，当下面条件之一 成立时； 即对t 【0 1 】，有 ( 1 ) l i m + 了f ( l x ) 或苫p 。岛+ 掣；。璺。掣- 0 k 壹= l 。哩。掣= 。 ( 2 ) 。磐。掣或一l i m 掣；l i r a + 掣一o ，k 壹= l 。嘎+ 必x k 2 。 一致成立，则( 2 1 ) ；至少存在一个正解 利用定理2 9 ，此推论结论成立 例2 1 1 如果o 【o ，割，0 q ，口 1 ，0 1 ，则 边值问题 f 。”+ 0 2 z = z 。+ z 口 a x 饥：“= ( z 一( “) ) + ( z ( t k ) ) ， k = i ，2 ，p ( 2 1 1 ) 【z ，( 1 ) = o + 一( o ) = 0 至少存在一个正解 证明；当0 o t ，卢 1 ，0 1 时，情况恰好相反，但同样根据推论2 1 0 均可得到( 2 1 1 ) 至少存在一个正解的结论 事实上，我们可以由定理2 6 和定理2 8 得到多个解存在的条件 我们做出如下假设： 1 0 对t 1 0 ，l 】，z ，孤【o ，+ o o ) 和 一致成立； 。鸳掣+ 佻壶。器掣 - ，i = 1 , 2 ；粤。訾+ 矾砉；。掣 ，i = 1 , 2 对t 【0 ，l 】，z ，z 【0 ，+ o o ) 和 。鲰掣+ 尬耋。器掣 ，一帆= 1 , 2 定理2 1 2 如果对所有的z ，取胪，当口1 i o ，割，o 2 【o ，+ ) ，f ( t ，z ) o ， ( z k ) 0 ，且( 如1 ) 和( f k ) ( 或( 嘞) 和( k ) ) 成立时，( 2 1 ) t 至少存在两个正 解且0 0 。l l i 口 l | 勋 证明：利用定理2 6 ，分别令r 足够小和r 充分大，即可得证 推论2 1 3 在定理2 1 2 中，如果用条件( t 2 1 ) 和( 7 汤) 代替条件( h 2 1 ) 和( f k ) ， 则结论也成立其中 对f o ，l j ，z ，硌f o ，+ o 。) ，有 ( 剐。垮掣或砉墨掣； 1 1 1 i m 型：+ o 。或手1 i m 型：+ o 。 z 一+ z 笛。 一- t - o o z k 一致成立 对t 【0 ，1 1 ，。，z k 【0 ，+ o o ) ，有 ( 乃2 ) l i 。型：o 乒l i m 型：0 ；h m 型：o ，手u m 型：0 一+ x ；。一- t - o ox k 2 一o +o 主三z 一o +巩 一致成立 例2 1 4 如果0 口 0 ，若下面的条件成立； 刍 0 则 f ( o 十) = 0 ，f ( o o ) = 0 弛) _ 列s u p ，尬) ，口= ( 等) 出 z ( 0 + ) 一一1 当a q 。q 时，对任意的t 【o ，l 】，有 掣+ m 砉掣= 砉c 掣，+ 坳扩 刍c 警，+ m a 扩= 刍c 赤，+ m a 扩 则( h z 3 ) 成立 所以，定理2 ，1 2 的条件满足，则边值问题( 2 1 4 ) 至少存在两个正解 1 2 第三章二阶脉冲微分方程周期边值问题的多重正解 这里。我们将研究下面带有两个脉冲的方程周期边值同题正解存在性的问题t i 一矿0 ) + p 2 z = f ( t ，叫t t k ，t 【o ，2 丌】 z l c = k = 厶z ( “) ) ，一一i t = 拓= 以0 ( 坛) ) 摩= 1 2 。，p( 3 1 ) iz ( o ) = 。( 2 丌) ，一( o ) = 一( 2 丌) 其中，0 = 知 t l t 2 知 0 ，c ( f 0 ，2 1 r 】 矿，胪) ，厶c ( r + ，r + ) ，以c ( r + ，胪) ，矿= 【0 ，+ o o ) ，并且 ( ：以( z ) ，z r + ，a x i t ：“= z ( 碡) 一z ( 坛) ，一i t ：“= 一( 毒) 一一( 石) 定理3 1f 1 4 1 若z 是方程 邢) = fg 町“删凼+ 砉g ( t ，狮) ) + 高- o o 鼬( t , s ) i 础撕) ) ( 3 2 ) z ( ) 2 上g ( ，s ) m ，删凼+ 荟g ( 。 ) 以( 喇) + 篇 鼬 - 础喇“) )( 3 2 的解，其中g c t ，s ) 为格林函数，且 g c 友s ，：= ； ：一a ( 。t - 一s 。，) + + 。e a 烈( 。2 ”，一- t + + s 。： ：；三：乏： 其中f = 2 p ( e 2 一1 ) ，那么z ( ) 就是脉冲问题( 3 1 ) 的解 于是，有 笙一=g(7r，o)s，8)g(o，2”)=琢e2”万+面12p(e2，-1) g ( t( 3 3 ) 竺一= g ( 7 r ，o ) s ，8 ) g ( o ，2 ”) 2 琢万面 ( 3 3 ) 舍 m = ；，肘= 字 ( 3 t ) 则 m g ( ”，0 ) c ( t ，s ) g ( o ，2 1 r ) g ( 枷) z “，( s 删) d s + 娄g ”m ) ) + 娄o g 瓦( t , 吼s ) 刊圳) - g ( 删) z “m 叫s ) ) d s + 莲旷( 蝴t ) ) 叫) ) + e “2 ”一 + ( ( z ( t ，) ) + p l 扛( t ) ) ) 】 + 击 【e 9 “一( 正( z ( 亡1 ) ) + p 厶( z ( 亡1 ) ) ) 1p i = k + l q - e p ( 2 ”- t , + ( ( z ( 屯) ) 一p 厶( z ( 岛) ) ) 】 1 4 凼为 1 厶( $ ) 0 ， 则由( 3 6 ) 可得 ，2 f 9p 。( 。) g ( 以o ) 上，( s ，删出+ 吾萎删厶) ) = g o r , o ) j o ，( 8 删) 幽+ m 蚤删屯) ) = 丽c o r , o ) g 2 ”) f m ，删d s + m 品耋砸( 堋 叫器杀一i i a i i z i i 其中 a = 酬器，嚣 则我们定义k 为b a r w c h 空闻x 的一个锥，且 k = z x ：z ( t ) a l l x l i z 【o ，2 7 r 】) 定义西：k k ，使 ( 蚓= z “哪，s ) ，江删如+ 砉g 瓴) ) + 蚤pa c 。c 。t , s 3 1 一洲喇) ( 垂洲2z g ( 。，s 抛删如+ 荟g ( 。，如) 删。t ) ) + 荟。一删“) 命题3 2 垂( k ) c k 证明：类似前述证明方法可得 别fs g ( o ，2 7 r ) 上如，。( s ) ) 幽+ m 至删t ) ) ( 啡) 撕n 耥，刍州呲i i = a i l o z l l ，t 【0 ，2 卅 所以垂( k ) ck 定理3 3若对所有的z ，乳l k 捌，0 r o ，f ( t ，z ) o ，厶( 卫) 2o ，正( z ) o ，五( z ) 1 蜘t 【唧烈 1 5 掣+ m 娄掣 1 虮邙删艇捌 ( 2 ) 掣+ m 姜掣 1 蚧蚓机小【0 ，。叫， 掣+ m 娄掣扎邙删肛捌 则( 3 1 ) 至少存在一个正懈 证明；定义集合珥= 扛x ，l i z l i r ) ，q 片= z x ，i i x l i l j 咄r 】 吲叩”】 可知，存在常数历，使得f ( t ，z ) 历p 2 x ，有 m 壹掣21 咱 因为 m 耋m 旦i n o t 2 , x o ( t ) = 二m i n o _ t 2 x o ( t ) 圭圳m 委掣小历”刍2 刍以j2 ”刍2 1 一伪 所以有 d m 以( 如( 如) ) ( 1 一口1 ) o r a 砌i n x o ( t ) 令皿；1 ，则皿k 下面证明对v x k n a 亿和a o 0 ，有x 垂。+ a 皿 否则，存在z o k n a 皿和知0 ，使得x 0 = c z o + a o 皿 因为x o k c i o f f ，所以z o ( t ) a l l x o l l ，t 【0 ，2 7 r 】 贝0 对v t o 2 7 r 】，有z o ( t ) = ( 垂z o ) ( t ) + a o = z “g s ) ，删幽+ 耋，啪慨) ) + 鲁f = o c 6 i s ( t , s ) 喊l m 他) ) “ = r ”g ( f ，s ) ，( s 删) d s + ；( 妻 e p ( t - t , ) + e p ( 2 = - t + t d 邢 + 【e 州 。十e 9 2 ”一h + 。】工( 。( t 。) ) + 击 【一p e 肿一“+ p e “2 ”叫+ 】五( z ( t 1 ) ) p1 1 6 + 壹曲e 舶一种一p e 胁一a + ”j 五扛( 如) ) + 知 = z 打g ( f ，s ) ，( 8 ，出) ) 如+ 礁 e m 一p i t c x ( 枷) + h 一件b ( z 扛( 厶) ) + 以( z 他) ) ) j + i 1 ( 壹f e 舶一毋( 五 ( 也) ) + p 厶( 。( 血) ) ) + e 一打一“+ ( 止0 他) ) 一p 五 ( t ) ) ) 】) + x o 因为 厶( 动 0 ， 则 r 2 x np 粕( 。) 上g ( 。硼蛐( s ) ) d s + ；薹 ( 勒( 屯) ) + 2 上g ( 。，5 ) ，( 8 郇) ) 8 8 + m 蓦柏( 赴) ) + fg ( t ，s ) 口l p 2 z o ( s ) d s 十( 1 一岛) 。：r a 。：i n 。，x o ( t ) + 知 2 反p 2 。婴。卸( f ) 广g ( f ，s ) 幽+ ( 1 一所) 。! m 。j i n 。跏( t ) + h 2 历。婴，知( ) + ( 1 一历) 0 s r a 。s i n 2x o ( t ) + 2 。s m f s i n 2 x o ( t ) + 知 这意味着 。麴。如( ) 呻埘n ：。z o ( t ) + a o ， 产生矛盾，所以当卫k n a q ，时，有z 雪z + a 皿 另外，利用条件( 1 ) 中第二个不等式 掣+ 肘耋掣 l 蚧邮删艇捌 贝9 存在常数国，使得f ( t ，z ) 岛矿z ，则 肘壹掣s 1 一岛 因为 肘妻箐= 丽m 萎p 地，m 妻掣小岛 1 7 则有 p m 正( 五) i l x ll ( 1 一岛) 下面证明，当z k n a q 凡时，有0 垂0 0s 恻l _ 事实上，对v z k f 3 a q r ，t 【o ，2 】，有 ( 叫( f ) = f g 他s ) ，( s ，删如+ 薹g 钔他) ) + 萎1 0 c ( t - s ) k 洲啪) ) = r ”g ( t ，s ) ，( s ，。( s ) ) d s + ；( 妻 e p ( t - t , ) + e p ( 2 7 r - t + t , ) y = ( z ( t ；) ) + 圭【。“一t ) + e 一( ：”一“+ t 1 工( z ( t ) ) + ； 圭【- - p e p ( t - t , ) + p e p c 2 ：r - t + t ) = ( z ( 如) ) + p e 9 “一一p e 9 2 ”一“+ 】厶( z ( 岛) ) ) = z “g s ) m ，删d s + ；啻“i ) ( 他) ) 呐( 地) ) ) + e p 2 ”。“；1 ( z ( z ( ；) ) + p i 。( z ( t 。) ) ) 】) + 击 e p ( t , - t ) ( 以如( 厶) ) + p i , ( z ( t 。) ) ) 2 = 十1 1 _ e p ( 2 z - t , + t ) ( 以( z ( ；) ) 一p i , ( x ( t ；) ) ) ) 因为 1 厶( 。) 0 ， 则 ( “g 。) ，( s ，删d s + 罕壹心) ) ( 圣。) ( t ) j cg ( ，s ) ，( s ，。( 8 ) ) 出+ = = r 萎上( 喇) f “g ( t s ) 岛p 2 pxds+m五( 删) 上g ( 。s ) 岛p 2 薹五( 删) = s z p 2 f 0 2 ”g ( t ，s ) 础+ m 薹p 删屯) ) s 忙| i 岛p 2 刍+ 1 1 z l l ( 1 一如) = 忙。 所以。当z k n a q r 时，有0 垂z 0 2 0 1 8 鞣上，田佛题z - d 傩个明点难埋，j 州仕 i i 怛 ，r s i i x l ts 埘甲仔征一 个不动点。为( 3 1 ) 的正解，所以( 3 1 ) 至少存在个正解 定理3 4 若对所有的。，毛【把捌，0 r o ，f ( t ，) 2o ，厶( z ) 0 ，j | c z ) 2o ，五( 。) 1 ，蚰邙叫，t 【0 ，z 叫， 掣+ m 娄掣 l 忱，雄眦甩t i 2 4 ( 2 ) 掣+ m 粪掣 l ， i 旭日1 ，t 【0 ，2 。】， z篙 ” 訾+ m 耋掣 1 v x , x i m r 1 唧，。叫 则( 3 1 ) 至少存在两个正解z l ，x 2 ，并且r l i x l l i 口 0 和0 c f d f ，( 1slsn ) ，使得f ( t ，。) 0 ，厶( z i ) 0 ，工( 而) o ，厶( 。) l v x , x z 【0 ，z 乩 訾+ m 娄掣 1 ，比雕m ” o ，：叫 ( 2 ) 訾+ m 娄掣 1 沌蚓概q l i t l 【0 2 乩1 姚 掣+ m 委掣 ，v x , x i e 【0 ，z 叽z 姚n p ) 掣+ m 耋掣 1 ，v x , x i e 阻旧 0 矧，l f 1 ，比， 地d j 】，t 【0 1 2 。】1 1 zg 则( 3 ) 至少存在 一-1112 n 个正解，且e l l l 以0 画，其中 c 1 d l c 2 d 2 - - c f d ! 0 ，f ( t ，z ) 20 ，五( z 。) 0 ，五( z t ) o ，厶( 茁) ：正( z ) ，这里r + = 【o ，+ o o ) ，当下面条件之一成立时： 即对t 【0 2 7 r 】有 。骂+ 掣+ 2 = 1 一l i r a 掣乩熙掣+ 村耋。l i r a 掣 0 ，f ( t ，z ) 0 ，厶( 五) 0 ， ( 五) 0 l ( z ) 1 z o + p o ：z l + o +z t ，l i _ _ m 。掣+ m 壹t = l 。坚。掣 一致成立； 对t 【o ，2 丌】，而也【o ，+ ) ( 蚴。缘訾+ m 耋。掣 【o 2 州 定理3 9 如果对所有的z ，矿，当p 0 ，f ( t ，。) 0 ，厶( ) 0 ，五) 0 ， 且( 凰1 ) 和( e k ) ( 或( 凰2 ) 和( k ) ) 成立时， ( 3 1 ) 至少存在两个正解x l ，沈且 0 忙10 口 i i z 2 1 1 推论3 1 0 在定理3 9 中，如果用条件( t 3 1 ) 和( 2 k ) 代替条件( f b z ) 和( 2 ) ， 则结论也成立其中 对t 【o 2 丌】，z ，瓤f 0 ，+ o o ) 有 ( 耻l i _ m + 掣= 佃或耋。+ 掣= 悯 l i r a 幽：+ o o 或乒l i m ! 盟：+ o o z 一+ z ：；。- 一+ o i 一致成立 对t 【0 ，2 7 r 】，z ，。，1 0 ，+ o o ) ，有 c ，。魄掣= o ，圭r i m + 掣= o ；。缘掣一o ，耋；粤+ 掣= 。 一莹 j j j 2 ：寺 例3 1 1 如果0 a 1 口，若下面的条件成立； ； 嘉 0 z i t ：“= 譬z (