（基础数学专业论文）一类四阶非线性波动方程整体经典解的存在性.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本文研究了一类非线性四阶波动方程的c a u c h y 问题，引入了一个同时 体现解的能量估计及解的衰减性的函数空间作为迭代的基本空间。借助线性 问题的衰减估计，在设定的b a n a c h 空间中，当空间维数n 满足一定的假设 条件，初始值适当光滑，且在某些s o b o l e v 空间中的范数足够小。利用简单的 迭代格式和普通的压缩映象原理证得了方程整体经典解的存在唯一性。 关键词：整体迭代法：四阶波动方程；整体经典解 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s tr a c t t h i sp a p e rd i s c u s st h ec a u c h yp r o b l e mf o ro n ek i n do fn o n l i n e a rf o u r t ho r d e r w a v ee q u a t i o n s a tt h es a m et i m e ，t h ei n t r o d u c eo ff u n c t i o ns p a c ew h i c he m b o d y e n e r g ye s t i m a t ea n dd e c a yo fs o l u t i o n ，t h i ss p a c ei su s e da si t e r a t i v eb a s i cs p a c e w i t h t h eh e l po fd e c a ye s t i m a t e so fl i n e a rp r o b l e mi ns o m ea p p r o p r i a t eb a n a c hs p a c e ，w h e n s p a c ed i m e n s i o nns a t i s f ys o m eh y p o t h e s i sc o n d i t i o n s ，i n i t i a lv a l u eb e i n ga p p r o p r i a t e s m o o t h ，a n di ns o m es o b o l e vs p a c e ，n o r t nb e i n ge n o u g hs m a l l ，b ys i m p l ei t e r a t i v e f o r ma n dc o m m o nc o n d e n s ei m a g ep r i n c i p l e ，e x i s t e n c ea n du n i q u e so ft h eg l o b a l c l a s s i c a ls o l u t i o n so fe q u a t i o n sa r ep r o v e d k e yw o r d s ：g l o b a li t e r a t i v em e t h o d ，f o u r t ho r d e rw a v e e q u a t i o n s ，g l o b a lc l a s s i c a l s o l u t i o n s 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第一章绪论 1 1 问题的研究背景 对于非线性波动方程的c a u c h y 问题而言，通常考虑如下两方面的问 题、， ( ) 存何种条件下，所考虑的非线性波动方程的c a u c h y 问题，存 在省唯一的整体古典解。并在此基础上研究解的整体性态。 ( 二) 在何种条件下，所考虑的非线性波动方程的c a u c h y 问题不存 在整体古典解，而必在有限时间内发生解的爆破现象。并在此基础上深入 考察解在爆破点的性态。 关于非线性波动方程已有很多工作，并且取得了较精细的结果f 4 9 锄】。 对非线性波动方程初边值问题的讨论，s k l a i n e r m a n 1 - 3 】和g p o n c e t 4 】作了 大量丌创性的工作。他们采用了局部延拓法来证明c a u c h y 问题的整体经 典解的存在性。局部延拓法实际上将整个证明过程分为两步：第一步先通 越近似解序列在关于t 的局部区域上的收敛性，来得到局部解的存在性； 笫二步再利用对解建立适当的一致先验估计式，将局部解延拓为整体解。 这是目前证明整体解存在性的一个常用方法。特别在局部解的存在性为已 知的情况下，采用这一方法的优点更为突出。但如果要完整的写出证明全 过程工作量相当大。李大潜、陈韵梅【5 1 又改进前人的工作，他们引入了 “个同时体现解的能量估计和线性问题解的衰减估计的函数空间作为迭 代的基本空间，利用简单的迭代格式和普遍的压缩映象原理，就可直接证 h jj 整体经典解的存在性。无须先证明局部解的存在性，就可以直接证明整 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 体经典解的存在性，并同时得到解在f 一+ * 时的衰减性质。 对非线性波动方程的经典解的整体存在性的研究有很多结果【6 12 1 ，已 致胜】_ i 少有效的方法l t 3 - 1 6 ，如紧致性方法，单调性方法，半群方法，补 偿紧致方法等等。自8 0 年代初开始，非线性波动方程的经典解的整体存 m r l ：的研究提出了一套新的处理方法，就是对解的能量估计的基础上，再 利丹_ 相应的线性奇次方程的解在f 一+ 。时的衰减性质，并将两者有机地结 f ，世求，就i ! ；i 以在一定条件下对小初值的隋形得到经典解的整体存在性。 自9 0 年代初开始，对非线性波动方程解的性态的研究有了新的进展f 4 2 4 引。 即对于非线性波动方程的初边值问题的解不仅存在，而且具有指数衰减的 形式。 1 2 问题的研究现状和本文所做的工作 考虑如下非线性四阶波动方程的柯西问题： 阢2 麓器姗融n + a 砘z u ：器矗豸 力程( 1 1 ) ( 2 1 ) 是一类梁方程，梁是房屋，桥梁，水库，大坝，机械工 程等睹多方面的重要构件，梁在外力作用下产生振动，由此可以研究粱的 抗韧性，强度等，对梁振动方程的研究具有十分重要的理论和实际价值， 近年受到国内外数学，物理学，工程技术工作者的广泛关注 “。39 1 。 对于( 1 1 ) 的c a u c h y 问题，l e v a n d o s k y 在 1 】中研究了梁方程( 1 1 ) 的 线性方程的一酽估计和时空估计，并利用这些估计证明了c a u c h y 问题 ( 1 1 ) 的m i l d 解的局部存在性及渐进性质。对于线性方程的f 一口估计，当 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 贾 仞值( “( 0 ) ，“，( 0 ) ) 位于w 2 。”) l q + 职“) 中，2 口s2 ”。( 其中2 “表示，l 苫5 时取三， 1ss 4 时取口。，三+ 一1 ：i ) ，方程( 1 1 ) 的线性方程的解在 ，l 一斗 c 7盯 空削( 刷) o w - 2 , q ( r “) 中对时间是一致有界的，解在此空间中的范数具有 理想的衰减率f “，2 - 4 ) ；对于时空估计，当初值位于能量空间 x=h 2 ( r “) o l 2 似”) ，对所有的在2 + 跏到2 + 1 2 ( n 一4 ) 之间的q ，方程 c i 1 ) 的线性方程在空i 训”1 ) o w - 2 , q ( 尺”1 ) 中有解；对于( 1 1 ) 的c a u c h y l u j 题的局部解的存在性，当1 cpc2 ”一1 ，对z 中的任意初值，存在强连 续有限能量的局部解，局部针对时间而言：对于低能量散射理论，当 1 + - ：p 0 l p 。；州。) sc i i f l 州 其中c 是一个与d 无关的正常数； 且当6 0 时，d ，一，在h 。“) 中强收敛。 ( i v ) 对任意固定的6 ，0 及任何整数n s 忆州叭sc 0 ，有“= n c ( 【0 ，丁】，h m ) “，e c ( o ，r 】，) 7 侈儿昆乞跏7 j “。e c ( o ，r 】，h “3 ) 2 2 1 准备工作 为了下文的需要，我们对任意给定的整数s 。，夏芋面+ 1 与及s zs 。 引入如下的函数集合 西南交道大学硕士研究生学位论文第10 页 d 。川= 渺s 。u p ( 1 + r 精“+ ， 扯x 。e 上引入如下度量：v 订，亏工。p f ，哥) = d ，一哥) x 。是一一个非空的完备度量空间，其证明见【5 】a 由定义可知：若v e x 。，啦，则v r ( o ，o 。；阿) v l 。( 0 ，o o ；w 2 “2 ) ( 1 + r ) 鲁熹v l 。( o ，。；wx e , 2 a + 2 ) 。 引理4 f 1 8 】设h 是如下柯西问题的解 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) 扑i 、述仙汁式右端有愆义，则成立如f 不等式： i k , ( o l l p sc t 一2 qi 啦。b + 帆峙)对任意t 0 l b ( r ) l l 。，。sc r 三i i0 h 。i i ，：。，+ j i v 。0 。，一) 其中，假定q 满足25 口s2 “ 2 “= j n - 4 ，n 乏5 r 2 ，1 【。， 1 n 4 这晕q ，q 共轭。 由引理1 ，易得如下推论 董 却b “ “ + “ “ 舒 = + 岫 m， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 推论4 设“0 ) 是( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) 具初值“( o ) = “。和q ( o ) 一时的解，若 ! 、述估汁式右端范数有意义，则成立如下不等式 ( r ) ksc ( 1 + 踮1 雄。k 。+ i l v 0 1 1 ) ，fz o( 2 2 1 2 ) 下面给出复合函数的相应估计，其证明见 5 。 引理5 设f = f ( w ) 充分光滑，其中w = ( w 1 ，w ，) ，并设当ms v 。时成立 f ( w ) o d 叫1 + “) ，a 之1 为整数。对任何整数s 0 ，若向量函数w = w 0 ) 使下 述不等式右端出现的范数有意义，且 则 其中t1 s p ，q ，r 0 叫l 工5 v 。 9 f ( w ) l l ，sc 0 叫i ，n o ， ( 2 2 i 3 ) ；+ 。满足三。竺+ ! 。 r pq 引理6 设f f ( w ) 充分光滑，其中 i v 一( w l ，w 。) ，并设f ( 奶。d 日叫“) 一 搴 “i 儿烂数成立。若向量函数w w 及w w 分别满足 i l w l l r 。e v 。 且使下述的范数有意义，则 忙( _ 一f 霸0 ，s c 忡9 ，旧茹+ ，。) + 。旧。，+ ，) ) ( ，+ 鳓，) ”1 ( 2 2 1 4 ) 其中汜w ：i 一霭。l ；p ，q ，r ；+ 。满足三：土+ 2 ，而c 是一个正常数 r p日 ( 可与y o 有关) 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 一 = 目i 理7 设f = f ( w ) 满足定理3 中的条件，若向量函数w tw 及w w 分 圳满足 r 墨 且使下述不等式右端出现的范数有意义，则对任何整数s 苫0 一f 观s c ，( i l ；l l ，。垌，抄圳盼刚炯卜4 ( 2 2 i s ) 其中记w 。一w - - 。w 。1sp ，q ，rs + * 满足! ；! + 三，而c 是一个正常数( 可 r p q 与，。有关) 。 2 ，2 2 定理1 的证明 任取v e x 。由求解横梁振动方程的c a u c h y 问题 ( 2 2 1 6 ) 来定义一。个映照t ：v 一“= t v i ：面要证明：当6 及e 适当小时，映照t 将x 。啪映照到自身，并在 x 。的度量下为压缩，从而由b a n a c h 不动点定理，就得到所要求的结论。 引理8 ：! 璺占及e 适当小时，映照t 将x 。映照到自身a 征：要证明当6 及e 适当小时，x , - t4 - t - f 可v z ，e ，“一n x m 啦。 方程：“。+ 2 “+ “= f ( v ) k f i = m “j + 一 0 ，1 # + 础 “ “ ，l 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 “t t v 由标准的半群理论，c a u c h y 问题( 2 2 1 6 ) 可化为如下的积分方 ”吨弦) ( 甜f 其小s ( t ) 足相应线性问题的解算予。 l h ( 2 2 1 2 ) 式，可知 龇，“蚴：+ | i v 0 i + f 咿d f 出( 2 2 t a ) 6 - f ( v ) l l 。互c l l v l l 。i l v l l ： 注意到x 。的定义，由s o b o l e v 嵌入定理1 2 6 】 i t f ( v l l 。，sc e 州( 1 + f ) 嚆， ( 2 2 1 7 ) 由( 2 2 s ) 得， 删。，sc 葩+ c e 。“r ( 1 + f ) 告三d f 。 j t 惑到堡j 苎二_ ，1 则 4 口+ 1 h ，妄c 6 e + c e ”1 ，6 ，适当小时h ，e ( 2 , 2 1 8 ) 由( 2 2 ，1 2 ) ，注意到s 毫s o i i 。! 。! 量c ) 祷b ! m 。) + 啊( 1 + f f ) 1 ：到删一。l f r 刚嘲十2 q ：甍 出( 2 ，2 ，1 3 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 所以w 得到 l u l l 。+ 忙( v 肌器c 删，：i l v l l ：。， 车c l l v l l 删。 ；- 一( 1 + z ) i n 五a - s c ( 1 + r ) 三：器十i i v o l l 。酱) + 啊( 1 + t - - z ) 一：南e ( 1 + r ) 一i n 磊r x c 山( ) s c(1+r)一：毒犯+ce“o(1+一百)熹(1+f)一itll磊a-22 9c etd r h ( )s + r ) 一i ：i l 五e + “ + 一百) 一i i 石【1 + f ) 一i ：鬲d r 一sc ( 1 + f ) 品犯+ c e “( 1 + 矿：品 即 ( 1 + f 再景。+ ：c 犯+ c e “ 只要6 ，6 适当小 s u p ( 1 + f ) ：景。与n 注意到上式用了如下估计 j ：( 1 + f r ) ”。( 1 + r ) 6 d fs c ( 1 + f ) 1 4 ，( 6 n o , b ，1 ) j = _ | ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ，可证得t 将x 。e 映照到自身。 ( 2 2 1 9 ) 引理9 ：当6 和e 适当小时， 映照t 按空间x , o a , l z 度量是压缩的 =一 旺：任取f ，v x m ，e ，“一t v ，“= 丁v x ， 要证明： v 常v 呷v ，“耳“一“ p 仁，木卯i r 1 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 “满足 簿旒f 每) ( ：i ) 4 os t 一- r 、f 妒，o f 节) ) d r i b 9 。，s j i l p 6 ) 一，仁i 。，d r 一l ( 2 2 1 4 ) 得：rs2 ，p 一* ，甜一2 一f 吼 一f 吼 i 。， s 0 v 4 。( i ；j l 。+ 妒i 。) + l l v o 。( 1 问l 工+ j 0 。? ) ) ( 盯1 1 r + 恫l r ) 。4 s 卜) 篙。，仲怛哗m ) 赢) 妒札计蒜( 口1 ) 妄c e ( 1 + 。) 一褊d ，0 + 访一( 1 + r ) 一精。a ( 1 + f ) 一丽i 。e l - d ，( v 。) na 1 s f oc e 。( 1 + r ) 焉见( v k - r = 。皿( y + w ( 1 + f ) 1 鬲d - r s u p 陋bsc e , 。d ，( v ) ( 2 2 2 0 ) s s u i ：b ( 2 2 1 5 ) 知 。s ( 1 小r 芦p ( - ) 一f 札一如 s 一r ) 精一f 吼嚣d r 8 f ( - ) 一f ) l 。等等s c l l v + i r 。+ ：( o 。，+ 问l 。，) + i p 1 i 。，( i f l l 。+ i f l l f 。：) ) ( 1 j i o 。! + l i f 。+ s ( 1 ) 篙。6 ，k 崛( v 棒计坐4 a + 1 炉1 卜) 抒- j ；c 0 + 百) 嘉e a d 。( v + ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 。! 。s 吖( 1 + t - z ) - | 焘e 。( 1 + 寸焉d ；( v k s c e 4 d ，6 ，骑( 1 + r r ) - 三( 1 + r ) 暑d rs c e 。d ，d 1 1 + f ) 暑 s u p ( 1 + f ) 持一一c e 。d ，6 ，+ ) 山( 2 2 2 0 ) 及( 2 2 2 1 ) 得：d ，0 ) sc e 4 d ，0 ) e 适当小n , 1 ，。t 1 相同 2 l 映照t 按空间 r 。f 度量是压缩的，证毕。 引理8 、9 证明了定理1 的整体经典解的存在唯一性。 ( 2 2 2 1 ) 第三章柯西问题( i i ) 的整体经典解的存在唯一性 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 上一章用整体迭代法证明了c a u c h y 问题： f “。+ a = u + “一f ( u ) 1 “i ，- 0 薯“。，“，l ，。；v 。 蝗体经典解的存在唯一性。 本章用与上面相同的方法，研究描述梁振动的四阶波动方程的如下柯 两问题； f “，+ 3 “* f ( u ，)( 3 1 ) 1 “一“，1 f o - v 。 ( 3 ，2 ) 整体经典解的存在性。 现对方程中的非线性项f 加以如下假定，设f f ( a )在a = 0 的一 1 ：城，掘 s 1 小适当光滑井满足f ( o ) t f ( 0 ) 一f ( o ) = 0 ( a 2 1 为 整数) ，从而在 z 0 的一个邻域，如s 1 有 f ( a ) - o ( 1 1 “。) ( 3 3 ) 若空问维数满足 扣吉) t 三， b 4 ， 只要“。，v 。适当光滑，且在某些s o b o l c v 空间中的范数足够小，则上述横梁 振动力程必在t 0 上存在唯一的整体经典解，且此解在t 一+ 。具有一定的 牲a t 性。 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 贺 即有如r 足理： 定理1 ：殴非线性右端函数满足式( 3 3 ) ，并设空间维数满足式( 3 4 ) ， 则对任何整数s 。，面芋而+ 1 及s s 。+ 研：】+ 1 ，存在适当小的正常数6 鄹ie ，使得当初值 “o h 5 nw 1 i i ，1e h nw 5 丽 且 l l o 。，“。) l l 。，+ l l ( “。，a u 。) 4 0 等等量t e( 3 5 ) i t l ，c a u c h y 问题( 3 1 ) ( 3 2 ) 在t o 上存在唯一的整体经典解“。z ee ( 空 削工。的定义将在下面给出) 。 3 1 准备工作 为了下文的需要，我们对任意给定的整数s 。夏芋面+ 1 与 5 苫+ m j 毛】+ 1 ，引入如下的函数集合： a + 上 x 。- 0 。- n i , , q o 。s e d 。( v ，) = 警忆i i 。+ 警( 1 + t ) 笛一m 花工。上引入如下度量：v 矿，哥z 。蚶，p 何，- ) 一d ，( - 一亏) x 。是一个非空的完备度量空间，其证明见【4 】。 l | i 定义可知：若v ，x 。“，则v ，工。( 0 ，。；片5 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 q r ( o ，o o ；w ”2 ) ( 1 十r ) 翳v ，e 矿( o ，* ：w 2 ) 。 引理1 i7 】 设“是如下柯西问题的解 f j ，盎瓤喵 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 若下述估计式右端有意义，则成立如下不等式 ，缸摊舡。墨c ( 1 + t ) 妒争峥：，厶“。，k ， ( 3 8 ) ( 。；n ( 1 一三) ，p ，曰共窜g ) 口 3 1 定理1 的证 任取v ，x 。出求解横梁振动方程的c a u c h y 问题 来定义一个映照t ：v ，一u = n ( 3 9 ) 下面要证明：当巧及e 适当小时，映照t 将x 。映照到自身，并在 。的度量下为压缩，从而由b a n a c h 不动点原理，就可得到所要求的结 沦。 引理2 当6 及e 适当小时，映照t 将z 。映照到自身。 i l e ：要证明当d 及占适当小时，对任何u x i a 蚶，“。n ，x m 坩a k 也i 联 i ， “ # “ 曲 ，【，j，lll 亘亩交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 力朽! ：“，+ 2 “茹，( v 。) 山标准的半群理论c a u c h y 问题( 3 9 ) 可化为如下的积分方程 ( ：。) 。s 。，( ：。) + j ：s 。+ r ，( f ；i ) j c 中s ( f ) 足相应线性问题的解算子。 m h 车帆，“) 焉c l l ( u t ，缸。) 峙+ j ：c 慨k ) ，o l l 。，d f = c t ，雎。) 1 1 片。+ 正c 9 ，p ，。d r 1 1 1 ( 2 2 9 ) 得； l i ， 1 ) ( l + f ) 3 叫。sc l l ( ，a u 。) 1 1 j 蔫+ c e ”1 由( 3 5 ) 得 s c 葩+ ”1 。 肖6 和e 适当小时 s u p ( 1 + f ) 2 “1 忆i i p 。：车e t t o 出( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 引理2 得证。 引理3 证压缩 征：任取- ，茸z 。，。；玩- 砸，瓦；嘱z ，。，； “。满足 由半群 v l 荤v f v f “i “_ “ 阻：+ a 2 u + - f ) 一f 谚) 1 “j ，。= o “川，。= 0 丢( 兰) 。( ：苫) ( 二。) + ( ，巧一0 f z ) ( 3 1 1 ) s “札sc 剧f 瓯) 一f 最) ，o i 。，d r ；c g l l f ( 订) 一f ( z ) i i 。，d f 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 “i ( 3 t o ) r ；2 ，p ；，q ；2 l f ( t ) 一尸( 瓦) 9 。，s c 、叫l r0 1 疋i i 。，+ i i 瓦l i 。，) + 卜川删t l r + 瓦0 r ) | i f ( 1 ) 一f ( 瓦。，墨c ( 1 + r ) 哇熹。，( v ：) e + 。，( v ：) e ( 1 + f ) 吗熹卜”1 ( 1 + r ) 南( 口。 一! sc e 。d ，( v ：) ( 1 + r ) 2 a + l j fd 2 蚋? 小黝艄o + f ) 丽抓c e 。d ( 3 1 2 ) 蚓l ：。s1 1 ( “? ，厶“) k ：。 5 上( 1 + f f ) 1 j 丽护( 乓) 一，最) ，叫l ，一矗酱d f = j ：( 1 + t - t ) - j 磊0 f ( 瓦) 一f 最舭”一焘鬻d f sj ：( 1 + f f ) 一i 磊栌佤) 一f 最) b 等矗= 由( 2 2 1 1 ) 得到： 0 f ( t ) 一f ( 瓦) 。，；辫 s l 列一：( i 阢0 。+ i 瓦1 i ) + 6 v 训( 1 l 瓦8 产，+ 1 1 瓦1 1 r 。) j o l 瓦0 p + ：+ l r i 产+ ：) 8 1 炉( ) 一f ( t ) 聚； s c i ( 1 + f ) 筠d ，( v ：) e + d ，“) e ( 1 + r ) 篙1 ( e ( 1 + f ) 撩) 一 lj 一! sc e 。d ，“) ( 1 + r ) “ 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 3 贾 代入得 n口口： l 。：5 l ( 一z ) j 丙e 。d ，( v ：) ( 1 + f ) 一j 忑d 百 n n ”g z ；8 d ，( v ：埴( 1 + f _ f ) i i ( 1 + f ) 1 雨如 t 渺州) j 雨一。，。：5c e 。d 【3 1 ：) ，( 3 1 3 ) 得到： d ，( “j ) c e 。d ，( v j ) ，e 适当小时，“t 1 。引理3 得证 ( 3 1 3 ) j l 则2 ，3 证明了定理l 。 2 ，3 章分别证明了柯西问题( i ) ( i i ) 整体经典解的存在唯一性 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 4 贾 致谢 论文完稿，甚感轻松，我的导师杨晗倾注了极大的心力，p ，口，杨很专 、i k ，山此受益许多，籍由此书，表示我最深的谢意。 弱对求学期间给予我帮助的所有老师，同学表示感谢! 我爱你们! ! 求，感i 舅 列本沦文提出宝贵意见的评委老师们，祝福您们! ! ! 张艳丽 2 0 0 5 年3 月 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 5 贾 参考文献 t ijs k l a i n e m a n g l o b a le x i s t e n c ef o rn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s j c o m m p u r ea p p l m a t h ，1 9 8 0 ，3 3 ：4 3 - 1 0 1 2 】s k l a i n e m a n l o n g - t i m eb e h a v i o ro f s o l u t i o n st on o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s j a r c h r a t m e c h a n a l ，1 9 8 2 ，7 8 ：7 3 - 9 8 【3 1 s k l a i n e m a n u n i f o r md e c a ye s t i m a t ea n dt h el o r e n t zi n v a r i a n c eo f t h ec l a s s i c a lw a v e e q u a t i o n j c o m m p u r ea p p l m a t h ，1 9 8 5 3 8 ：3 2l 一3 3 2 【4 】g p o n c eg l o b a le x i s t e n c e o fs m a l ls o l u t i o n st oac l a s so fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s j n o n l i n e a ra n a l y s i s ，t h e o r y ，m e t h o d sa n d a p p l i c a t i o n s ，1 9 8 5 ，9 ：3 9 9 - 4 1 8 【5 1 李大潜，陈韵梅著非线性发展方程【m 】北京：科学出版社t 1 9 8 9 6j j l l i o n s 著郭柏灵等译非线性边值问题的一些解法【m 】f - j i l l 冲山大 学出版杜，1 9 9 2 【7 】杜心华一类非线性波动方程混和问题整体解的存在唯一性【j 】四川师 范大学学报( 自然科学版) ，1 9 9 4 ，1 7 ( 4 ) ：3 5 4 2 【8 】杨林，王晓兰一类非线性波方程解的唯一性、光滑性 j 】云南大学学报 ( r i 然科学版) ，2 0 0 1 ，2 3 ( 3 ) ：1 6 6 - 1 6 8 ， 【9jg t o d o r o v a c a u c h y p r o b l e mf o ran o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t h n o n l i n e a rd a m p i n ga n ds o u r c et e r m s j n o n l i n e a ra n a l y s i s ，2 0 0 0 ， 4 1 ：8 9 1 - 9 0 5 【1 0 】g t o d o r o v a v o e o r g l e v e x i s t e n s eo fas o l u t i o no ft h ew a v ee q u a t i o n w i t hn o n l i n e a rd a m p i n ga n ds o u r c et e r m s j j d i f f e q a ，1 9 9 4 ， 1 0 9 ：2 9 5 3 0 8 【1 1 】杨志坚，陈国旺一类四阶拟线性波动方程初边值问题的整体解【讣数 学物理学报，1 9 9 5 ，1 5 ( 增刊) ：1 - 9 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 6 页 【1 2 】尚亚东一类四阶非线性波动方程的初边值问题【j 应用数学，2 0 0 0 ， 1 3 ( 1 ) ：7 - 1 1 1 ： ：畅禽类非线性热传导方程混合问题整体解的存在唯一性 j ，四川 帅范火学学报( 自然科学版) 。1 9 9 5 ，1 8 ( 1 ) ：9 2 9 6 1 4 杨林一类菲线性波方程解构存在性 j 3 云南大学学报( 自然科学 版) 。2 0 0 1 2 3 ( 2 ) ：9 5 9 9 i 刳阮恕行洪家兴编著偏微分方程的近代方法 m 上海：复旦大学出版 诎，1 9 8 8 ( i6 王耀东著偏微分方程的理论瞰 北京：北京大学出版社，1 9 8 2 i7 刘炳初著泛函分析 m 北京；科学出版社，2 0 0 2 【1 8 】s t 弓v c np a d 乙e v a n d o s k y d e c a ye s t i m a e st o if o u r t h - o r d e rw a v e e q u a t i o n s j j d i f f e q a ，1 9 9 8 ，1 4 3 ：3 6 0 4 1 3 ( 1 9 js t e v e nt , e v a n d o s k y s t a b i l j t ye n di n s t a b i l i t yo ff o u r h o r d e i s o h t a r yw a v e s j j o u r n a l o f d y n a m i c s a n dd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，1 9 9 8 ，1 0 ( 1 ) ：1 5 卜1 8 8 2 0 j u h ab e r k o v i t s o nt h eh i f u r c a t i o no fl a r g ea i j p l i t u d es o l u t i o n s r r as ys t e mo fw a v ea n db e a me q u a t i 0 1 2 8 j n o n l i n e a ra n a l y s is 2 0 0 3 ，5 2 ：3 4 3 3 5 4 1 z i a s ，a c k l e h ，h t b a n k sa n dg ，a p i n t e r an o n l i n e a rb e a me q u a t i o n j a p p l i e dm a t h e a i a t ic sl e t t e r s ，2 0 0 2 ，1 5 ：3 8 卜3 8 7 i ：! 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