（应用数学专业论文）粘性尖峰孤立波方程的最优控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文在变分不等式最优控制理论和分布参数系统的最优控制理论 的基础上，研究了几类粘性尖峰孤立波方程的一种很典型的最优控制 问题，形式如下： ，万) = 0 ，砷满足 ，万) = ， 这里，：形( 矿) 亭( q ) 专灭，p ：形( y ) 三2 ( q ) 专寥( y ) x h ；都是充分光滑的 函数。形( y ) ，r ( q ) 和r ( 矿) 都是h i l b c r t 空间。集合形( 矿) ，r ( q ) 分别表 示状态空间和控制空间。 本文主要研究了粘性推广的c a m a s s a h o l m 方程、粘性f i f t ho r d e r 浅水波方程的最优控制问题。首先用g a l e r k i n 方法证明了在一个很短 的时间区域内这两个方程弱解的存在性和唯一性。其次，根据变分不 等式最优控制理论和分布参数系统的最优控制理论，证明了在一个特 殊的h i l b e r t 空间，这两个方程解的范数与原方程的控制项和初始值相 关。最后，在r 空间中，给出了在一定边界条件下这两个方程的最优 控制，还证明了最优解的存在性。 关键词：最优控制，最优解，分布最优控制，推广的粘性c a m a s s a h o l m 方程，粘性f i f t ho r d e r 浅水波方程 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t a c c o r d i n g t ot h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r i e sa b o u tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y a n dd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m ，w eh a v es t u d i e dat y p i c a lo p t i m a lc o n t r o l p r o b l e mf o rs o m e v i s c o u sp e a k e ds o l i t a r ye q u a t i o n s ，t h ef o r mi sa sf o l l o w s ： m i n j ( v ，万) s a t i s f i e se ( v ，砩= o ， w h e r e j ：w ( v ) l 2 ( q ) 专r a n d e ：w ( v ) l 2 ( q ) j r ( y ) 日 a r e a b u n d a n ts m o o t hf u n c t i o n w ( v ) ，亭( q o ) a n d r ( v ) a r eb o t h h i l b e r t s p a c e w ( v ) a n dr ( o o ) a r e s t a t es p a c ea n dc o n t r o ls p a c er e s p e c t i v e l y t h i sp a p e rs t u d i e st h ep r o b l e m sf o ro p t i m a lc o n t r o lo ft h ev i s c o u s g e n e r a l i z e dc a m a s s a h o l me q u a t i o na n dt h ev i s c o u sf i f t ho r d e rs h a l l o w w a t e re q u a t i o n a tf i r s t ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fw e a ks o l u t i o ni n t h ei n t e r v a lt ot h ev i s c o u sg e n e r a l i z e dc a m a s s a h o l m ，t h ev i s c o u sf i f t h o r d e rs h a l l o ww a t e re q u a t i o na r ep r o v e du s i n gg a l e r k i nm e t h o d t h e n ， a c c o r d i n gt ot h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r i e sa b o u tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n d d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m ，i ti sp r o v e dt h a ti nt h es p e c i a lh i l b e r ts p a c e ， t h en o r mo fs o l u t i o nt ot h e s et w oe q u a t i o n sa r er e l a t e dt ot h ec o n t r o li t e m a n di n i t i a lv a l u e f i n a l l y , t h eo p t i m a lc o n t r o lo ft h ev i s c o u sg e n e r a l i z e d c a m a s s a h o l me q u a t i o na n dt h ev i s c o u sf i f t ho r d e rs h a l l o ww a t e re q u a t i o n u n d e rb o u n d a r yc o n d i t i o na r eg i v e ni nl 2 s p a c e ，a n dt h ee x i s t e n c e so f o p t i m a ls o l u t i o na r ep r o v e di nt h e o r y k e yw o r d s ：o p t i m a lc o n t r o l ，o p t i m a ls o l u t i o n ，d i s t r i b u t e do p t i m a lc o n t r o l ， t h ev i s c o u sg e n e r a l i z e dc a m a s s a - h o l me q u a t i o n ，t h ev i s c o u s f i f t ho r d e rs h a l l o ww a t e re q u a t i o n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口， 在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密囫。 学位论文作者签名：灏旭 签字日期：加富年，2 月j7 日 翮签名参冗 签字日期：堋年，工月歹日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容以外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：强旭 日期：劲孑年，z 月，7 江苏大学硕士学位论文 1 1研究背景 第一章绪论 1 8 4 4 年，英国著名物理学家s c o t t r u s s e l l 在英国科学促进协会第1 4 届会 议报告上发表的“论波动一文中，描述了一种奇特的水波现象：他在运河里 发现了一个奇怪的孤立水波，它以很快的速度向前滚动着，在行进中它的波形和 速度没有明显改变，该水波在1 2 英里之外的转弯处消失了。r u s s e l l 认为这种奇 怪的水波是流体力学中的一个稳定解，并称之为孤立波。但r u s s e l l 的学说未能使 物理学家们信服他的论断，在此以后有关孤立波的问题引起了广泛的争论。当水 域沿特征方向的水平尺度比水的深度大得多的时候，可作为浅水环境。1 8 9 5 年， k o r t e w e g 和d ev r i e s 研究了浅水波的运动，在长波近似小的，但为有限的振幅的 假定下建立了单向运动的浅水波运动方程，即著名的非线性k d v 方程。他们求解 k d v 方程得出与r u s s e l l 描述一致的形状不变的脉冲状孤立波解，从而在理论上证 实了孤立波的存在。现在描述孤波现象的方程包括修正方程很多，重要的如k d v 方程、b u r g e r s 方程、k d v - b u r g e r s 方程、c a m a s s a - h o l m 方程、d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程等，其中k d v 方程和b u r g e r s 方程是许多领域中孤波现象的模型，如可描述 冷等离子体的磁流体波的运动；离子体离子声波液气两种混合态的压力波；管底 下部流体的运动；低温下非线性晶格的声子波包的热激等。c a m a s s a 和h o l m 发 现c a m a s s a - h o l m 方程的孤立波是 u c ( x ，f ) = c q , ( x - c t ) ，x 乏，其中缈( x ) ：= e - h ， x r 。 同时他们发现该孤立波是孤立子：它们在碰撞时保持各自的特性，碰撞后还以原 来的形状和速度出现。孤立子是尖峰波，并且可以被理解为该方程的弱解。因而 对孤立波的研究引起了人们极大的兴趣。 现代控制理论研究的问题主要包括以下几个方面：( 1 ) 最优控制规律的寻求。 如何根据给定的目标函数和约束条件，寻求最优的控制规律的问题，即最优控制 问题。在解决最优控制问题的方法中，庞特里亚金的“最大值原理”和贝尔曼的“动 态规划法”得到了较为广泛的应用；( 2 ) 系统数学模型的确定。如何根据系统的输入 和输出确定系统的数学模型，即系统辨识问题；( 3 ) 状态向量的求得。在系统数学 模型已经建立的基础上，如何根据受随机干扰的输出来求状态向量，即最优估计 】 江苏大学硕士学位论文 问题；最优控制和自适应控制的实现。如何用辨识系统动态特性的方法随时调 整控制规律以实现最优控制，即自适应控制的问题。 从理论上讲，施加于系统的控制作用，在于影响系统的行为，以达到某种预 定的目标。当控制作用是为了系统的性能按某种指标达到最小( 或最大) 时，就是最 优控制问题。显然，人们设计控制系统总希望他达到某种最优的性能。例如，我 们从事某项工作时，总希望在已有的条件下，能以最小的代价换取最大的收益。 采取何种手段来达到这样的目的就是我们要研究的最优控制问题，也就是现代控 制理论研究的第一个方面。 最优控制的思想很早就在人们的认识中产生过，但如何将这个思想用数学语 言来描述，如何用数学方法来论证它，从而形成套理论体系来指导我们的工作， 这些问题直到上个世纪4 0 年代才引起人们的注意。这方面的先期工作应该追溯到 维纳科w i e n e r ) 等人奠基的控制论( c y b e r n e t i c s ) 。1 9 4 8 年维纳发表了题为控制论 一关于动物和机器中控制与通讯的科学的论文，第一次科学的提出了信息、反 馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。维纳州w i e n e r ) 同时 在4 0 年代提出了相对于某一个性能指标进行最优设计的概念，见文献i l l 。1 9 5 0 年，米顿纳尔( m e d o n a l ) 在4 0 年代首先将这个概念用于研究继电器系统在单位阶跃 作用下的过度过程时间最短的最优控制问题。钱学森1 9 5 4 年所著的工程控制论 衄g i i l e e r i n gc y b e r n e t i c s ) 直接促进了最优控制理论的发展和形成。到了5 0 年代末， 特别是6 0 年代初，在空间技术发展和数字计算机实用化的推动下，动态系统的优 化理论得到了迅速的发展。1 9 6 0 年，国际自动控制联合会( i f a c ) 第一届世界大会 在莫斯科举行，贝尔曼、卡尔曼、庞特里亚金等在大会上报告了他们的各自工作， 引起了人们极大的重视，逐渐形成了一个重要的学科分支一最优控制。毫无疑 问，该理论在航天工程领域中的成功应用为最优控制理论和数值方法铺平了道路。 人类认识客观世界和改造客观世界的历史进程总是由低级向高级，由简单到 复杂。在控制领域也是这样。最先研究的控制系统都是线性的，但是随着科学技 术的不断发展，人们认识的不断深入，逐渐意识到了任何一个实际的物理系统都 是非线性的。非线性是本质，普遍的现象，而所谓的线性只是非线性在特定的条 件下的一种特殊的表现形式。因此，近年来非线性问题已成为控制领域的热门方 向，见文献1 2 1 1 3 】。 2 江苏大学硕士学位论文 因此在进行控制系统的研究时，通常将其划分为线性和非线性两大类。线性 系统我们用常微分方程来描述，称为集中参数系统，具有有穷多个自由度。非线性 系统我们用偏微分方程来描述，称为分布参数系统，具有无穷多个自由度。古典 控制论主要研究集中参数控制，现实世界中所发生的各种现象，从数学角度来讲， 大部分是非线性，分布的，如物体温度变化、地下水渗流、汽油形成、生物种群 演化等都是通过分布参数系统来描述的。现代控制论的研究方法从建立在传递函 数基础上的频域法，发展为建立在状态空间上的时域法，其研究对象从线性系统 发展到非线性系统，从确定性系统发展到随机系统，从集中参数系统控制，反馈 控制发展到最优控制，对被控系统根据工程实际要求提出实现准则，寻求系统在 满足一定条件下，使实现准则达到最优的控制方案，就是最优控制研究的课题， 最优控制理论已成为现代控制理论的重要组成部分。 几十年来，最优控制理论不仅有了许多成功的应用，而且已经越过了自动控 制的传统界限，它在机器人技术、化学工程、车辆动力学、系统工程、经济管理 与决策，特别是空间技术等众多领域都有其广泛的应用，收到了非常显著的效果。 正是上述原因，人们对最优控制的研究日趋深入，如今对分布参数系统的最优控 制研究已成为学术界非常活跃的一门学科。特别是对非线性孤立波方程的最优控 制正处于数学，工程学和计算机科学交叉发展的前沿。 1 2 研究现状 二十世纪六十年代，随着分布参数系统的最优控制问题展开，布特可夫斯基 在讨论炉温控制时，把热传导方程的某种最优控制问题转化为p o n t r y a g a i n 讨论过 的问题。王耿介联系航天技术中的控制问题，于1 9 6 4 年系统的讨论了分布参数系 统最优控制理论。在1 9 6 8 年，l i o n s 与m a g e n s 对描述分布参数系统的偏微分方程 ( 椭圆型，抛物型和双曲型) 的定解理论作了深入研究，见文献1 4 1 1 5 1 。在1 9 7 1 年，l i o n s 通过引入变分不等式等工具，探讨了各类典型二阶性能指标的最优控制问题，见 文献【6 j 。 分布参数系统主要向最优解的存在性，最优性条件，系统的可控性、稳定性 和最优控制问题的求解等方向发展。在最优解的存在性及最优性条件方面，人们 根据不同系统作了大量工作。由于分布参数系统本身的复杂性，早期的研究工作 3 江苏大学硕士学位论文 主要集中在线性，半线性且不考虑对状态和控制约束的情形。a h m e d 和t e o ( 1 9 8 2 ) 的工作最具代表性，见文献1 7 l 。以l a d y z e n s k y “1 9 6 8 ) 关于线性与拟线性抛物方程 的定解理论为基础，将l i o n s 的结论进行了较为全面推广，见文献【8 1 。在1 9 8 2 年， a h m e d 给出了一类二阶双曲分布参数系统最优控制存在的必要条件，这是研究双 曲系统最优控制方面较早的研究之一，见文献【9 l 。在1 9 8 9 年，a h m e d 利用算子半 群、伴随系统及变分不等式等工具，把分布参数系统最优控制理论引入到参数识 别之中，在b a n a c h 空间中，给出了该领域的一抽象理论体系，见文献1 1 0 】。 f a r o r i n i 系统讨论了b a n a c h 空间中，由发展方程描述的最优控制问题最优解 的存在性及其最优性条件。在1 9 8 5 年，他给出了具有非线性边界条件分布参数系 统的非凸最优控制的最大值原理，见文献1 1 1 1 。在1 9 9 1 年和1 9 9 3 年，f a t t o r i n i 对 具有状态约束最优控制问题的p o n t r a g i n 进行了深入研究，见文献1 1 2 1 1 1 3 l 。在1 9 9 4 年，研究了抛物型分布参数系统边界控制问题，得到了关于d i r i c h l e t ，n e u m a n n 和 r o b i n 边界最优控s ui 口- j 题的p o n t r a g i n 原理，见文献0 4 10 5 1 。在1 9 9 9 年，他对最优控 制理论( 主要是关于最优解的存在性及其必要条件) 及所作的工作进行了全面的概括 和总结，见文献【1 6 l 。在f a t t o r i n i 等人工作基础上，r a y m o n d 与z i d a n i ( 1 9 9 9 ) 着重研 究了半线性抛物系统的最优控制问题，在边界条件的非线性项既不单调又非 l i p s c h i t z 连续及分布，边界控制没有有界性约束的条件下，利用一种新的正则性结 果，获得了关于分布，边界及初值控制的三个分离形式的p o n t r y a g i n 原理，且该结 果可以应用于具有状态约束的最优控制问题之中，见文献 1 7 1 。 m o s s i n o ( 1 9 7 5 ) 是最早研究具有状态约束分布参数系统最优控制的学者之一， 见文献1 1 8 】。c k n r o t h ( 1 9 8 2 ) 研究了具有逐点控制约束的抛物型最优控制问题，通过 选取适当的泛函空间，证明问题最优控制的存在性，见文献 1 9 l 。在此基础上，c a s e s 在( 1 9 8 6 ) 年研究了具有逐点状态约束的线性椭圆方程最优控制问题，并证明了最优 控制的存在性，给出了最优性条件及最优解的正则性结论，见文献1 2 0 】。此后 c a s a s ( 1 9 9 3 ) 研究了具有状态约束的半线性椭圆边界控制问题，见文献1 2 1 1 。在1 9 9 6 年，c a s a s 利用峰值摄动法，给出了拟线性椭圆方程边界最优控制的p o n t r y a g i n 原 理，见文献1 2 2 l 。在1 9 9 7 年和2 0 0 0 年，结合李训经等人的工作，就具有逐点状态 与控制约束的半线性抛物型边界最优控制进行了研究，得到了问题最优控制存在 的p o n t r y a g i n 原理，给出了最优控制的正则性条件，为该类问题的研究建立了统一 4 江苏大学硕士学位论文 的抽象理论框架。通过引入扩散摄动，s o b o l v e 嵌入定理及偏微分方程解的正则性 理论，c a s a s 进一步研究了该f - j 题，见文献1 2 3 1 1 2 4 l 。在2 0 0 1 年，c a s a s 研究了具有 梯度形式状态约束的半线性抛物型方程最优控制的p o n t r y a g m 原理，见文献【2 5 】。此 外，c a s a s 和t r o l t z s c h 等还就分布参数系统最优控制的最优解存在条件进行了研 究，论证了同时具有逐点状态与控制约束，且具有半线性边界条件的半线性椭圆 型方程描述的边界最优控制，局部最优控制存在的二阶充分条件，见文献1 2 6 。在 2 0 0 0 年，f e r n a n d e z 研究了一类更具有代表性与普遍性的，具有关于状态变量的梯 度形式的等式与不等式约束的散度形式的拟线性抛物型边界最优控制问题，其中 控制变量含在状态方程的高阶导数项系数中。通过引入适当的函数空间，证明了 最优控制的存在性、状态变量对控制的连续性与可微性、并给出了最优控制的一 阶必要条件，见文献【2 7 1 。在2 0 0 0 年，d r o n o u 和k a y m o n d 研究了含有测度数据的 半线性抛物型方程描述，且具有逐点状态约束的最优控制问题。这类问题具有广 泛的应用背景，通过引入对换法和测度理论，证明了问题最优控制的存在性及其 必要条件，见文献1 2 8 1 。在2 0 0 5 年，b e r e to k s e n d a l 研究了随机偏微分方程方程的 最优控制问题，见文献1 2 9 l 。 在国内，李训经等利用算子半群、粘性解、凸分析、s o b o l e v 空间理论，在分 布参数系统的时间最优、最大值原理、缺乏c e s a r i 条件下最优控制的存在性及可 控制性等诸多方面取得了许多有代表性的成果；李训经和雍炯敏的论著( 1 9 9 4 ) ，对 分布参数系统最优控制和无穷维空间最优理论的发展产生了重大的影响。陈任昭 基于l i o n s 的理论体系，具体应用于人口，生物种群等系统的最优控制中，取得了 许多重要的成果见文献1 3 0 1 1 3 2 1 。另外，宋健与陈任昭等利用分布参数系统理论研 究了人口预测与控制问题。在1 9 9 9 年，高夯把c l a r k 的非光滑分析理论引入分布 参数系统最优控制之中，证明了一类半线性抛物方程描述的非凸最优控制问题最 优解的存在性及其基于变分不等式的最优性必要条件，见文献1 3 3 1 ；并研究了由椭 圆型方程描述的空间区域最优控制问题，给出了最优控制区域存在的基本条件， 见文献1 3 4 1 。在1 9 8 5 年，王康宁把集中参数系统最优控制中的相关理论推广到分 布参数系统之中，并就最优解存在性、可控制性、能达性及可观性进行了深入探 讨，见文献1 3 5 1 ：同时研究了具有二次性能指标和具有时间性能指标的线性抛物型 分布参数系统最优控制存在的必要条件，并给出了用算子方程形式的半线性抛物 5 江苏大学硕士学位论文 型系统控制存在的最大值原理，见文献1 3 6 l 。对于尖峰孤立波方程的最优控制问题， 国内很多学者给予了高度关注，2 0 0 4 年，朱敏，田立新等人研究了k d v b u r g e r s 方程的最优控制问题1 3 7 l ；2 0 0 5 年，赵志峰，田立新研究了充分非线性k d v b u r g e r s 方程的最优控n 1 3 8 1 ；2 0 0 6 年，赵志峰研究了k u r a m t o s i v a s h i n g 方程的最优控制 问题【3 9 l ；2 0 0 7 年，田立新，沈春雨研究了粘性c a m a s s a - h o l m 方程和粘性 d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的最优控制问题1 4 0 1 【4 1 1 。 由于求解分布参数系统最优控制的复杂性，与对它的定性理论相比，相应算 法的研究明显滞后。由于工程技术领域，经济管理和资源分配等实际应用部门的 需要及非线性规划算法和计算机技术的迅速发展，对求解最优控制问题的优化算 法研究近年来受到人们的重视，并得到了较大的发展，成为最优控制理论中的一个 重要的组成部分和解决实际问题的一有力工具。 最优控制的优化算法主要内容是研究这类问题各种数值计算方法，并研究算 法的收敛性和收敛速度等。这些内容多数是把变分法和求解非线性规划的方法加 以改造、移植和拓展而得到。早在1 9 6 0 年，h o m 和k e l l e y 就发表了后来在庞特 里亚金最大值原理中利用的伴随方程组的梯度法；b r e a k w e l l 和b r y s o n 等以不同的 方式采用n e w t o n 方法研究了求解最优控制问题；r u e e s l 研究了当系统关于控制为 线性时可用罚函数方法求解约束最优控制问题；b a l a k r i s h n a n 提出了 “b a l a k r i s h n a n 占方法”，而且推出了庞特里亚金最大值原理；t e o 在p o l a k 和m a y n e 关于集中参数系统最优控制优化算法研究的基础上，对分布参数系统最优控制问 题的优化算法进行了深入的研究。在1 9 8 3 年，分别就由带有第一类，第二类边界条 件的二阶线性抛物型偏微分方程描述的无约束最优控制和松弛最优控制问题的优 化算法进行了研究，并针对不同的目标泛函提出了强变分法，条件梯度法和可行 方向法，且从理论上证明了各种算法的收敛性，还给出了相应的数值计算实例， 见文献1 4 2 】。在我国，宫锡芳对最优控制问题的计算方法作过系统的研究；陈祖浩 研究了约束最优控制问题的罚函数方法，用统一的理论提供了若干充分和充要条 件来处理带罚函数的最优控制问题趋于原最优控制问题，还解决了r u e e s l 提出的 困难问题。由于连续系统最优控制问题是在无限维空间内讨论的，故最优控制的 计算方法远较有限维非线性规划问题的计算方法为复杂。迄今为止，最优控制问 题的计算方法的研究，在深度上和广度方面都远不如非线性规划的最优化计算方 6 江苏大学硕士学位论文 法的研究，一些最优控制问题的计算方法，如最优控制罚函数方法等，其收敛速 度等问题都还没解决。这将是最优控制方向研究的热点之一。 二十世纪八十年代后期，出现了广义分布参数系统。它是比分布参数系统更为 广泛的一类系统，如电缆信号传播、图象处理、气体吸附、磁流、电磁耦合超导线 路中的电压分布等。与一般分布参数系统有着本质上的区别，当系统受到干扰时， 不仅会使系统失稳，而且会使系统结构发生变化。近年来，广义分布参数系统的研 究为人们所重视，提出了广义分布参数系统最优控制与参数识别概念。对于前者在 理论上的结果极少，而对于后者的研究目前尚未开展。由于广义分布参数系统最优 控制与参数识别具有广泛应用前景，对该问题的研究必将对工程系统、经济与社会 系统、生命科学与材料科学等产生重大影响。这也将是今后研究的另一热点。 1 3 研究方法 最优控制问题从数学上来说，是一个变分学问题。但是经典变分理论只能解 决一类简单的最优控制问题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的。而实际 上碰的更多的却是容许控制属于闭集的一类最优控制问题。这类问题从数学上可 作如下描述，设受控系统的状态方程为尘掣：厂g t ) ；甜o l f ) ，其中ie 础是系统的 状态，砧( - ) 是控制作用。由于技术条件等众多因素的限制，控制作用的取值甜o ) 不 可能是任意的，而必须是有限制的，在数学上可以把这种限制表示为 ”( f ) ucr ”。这里u 是中的给定集合，称为控制域。当控制“( ) 具有某种可 测性，并且适合于对控制作用的限制时，称“( ) 为容许控制，记为“( ) ，通 常u 耐是由逐段常值，逐段连续或可测函数组成。设给定了t o r ，x o 瞅和 三cr ”，“( ) ，x ( 岛) = x o ，状态方程的解为x ，x = x ( 甜( ) ，t ) 。如果存在f 。 t o ， 使得x ( “( ) ，f 1 ) 三，就称“( ) 把系统从状态而迁移到三。最优控制问题在数学上可 叙述为：选取掰( ) ，使得状态方程以k ，。) 为初值的解x ( 甜( ) ，f ) 三，且性能 指标，( 甜( ) ) = ，厂( x ( 甜( ) ，r ) ，“( f ) ，t ) d t 取最d 、。 在2 0 世纪5 0 年代末6 0 年代初，对于最优控制理论出现了众多的新方法，有 两种方法最富有成效，它们和变分法奠定了最优控制的理论基础。一种方法是原 7 江苏大学硕士学位论文 苏联数学家庞特里亚金的“极大值原理”，见文献1 4 3 l ；另一种是美国学者贝尔曼 ( b e l l m a n ) 的“动态规划”，见文献1 4 4 l 。受分析力学中哈密尔顿原理的启发， 庞特 里亚金等人把“极大值原理”作为一种推测首先提出来，随后作出了严格的数学证 明。“极大值原理”发展了经典变分法原理，成为处理闭集性约束变分问题的强有力 的工具。“动态规划”是贝尔曼2 0 世纪5 0 年代中期为解决多阶段决策过程而提出来 的。这个方法的关键是建立在他提出的所谓“最优性原理”基础之上的，这个原理归 结为用一组基本的递推关系式使过程连续的最优转移。它可以求这样的最优解， 这些最优解是以计算每个决策的后果并为今后制定最优决策为基础的，但在求最 优解时要按倒过来的顺序进行，即从最终状态开始到初始状态为止。动态规划对 于研究最优控制理论的重要性在于：它可以得出离散时间系统的理论结果； 用动态规划方法可以得出离散时间系统最优解的迭代算法；动态规划的连续形 式可以给出它与古典变分法的联系，在一定条件下，也可以给出它与最大( 小) 值原 理的联系。贝尔曼依据最优性原理，发展了变分学中哈密尔顿一雅可比理论，构 成了“动态规划”。贝尔曼用动态规划方法讨论最优控制问题，得到了人们称之为贝 尔曼方程的必要条件。它是一种适用于计算机计算，处理问题范围更广的方法。 到了6 0 年代，卡尔曼( k a l m a n ) 等人具体研究了线性二次最优控制，建立了最优线 性反馈调节器设计的理论基础。他们提出了可控制性及可观测性概念，并且建立 了最优估计理论，见文献1 4 5 11 4 6 】。 最优控制理论中最基础，最成熟的部分是线性控制系统的理论方法，特别是 线性二次( l q ) 控制理论，它是最优控制理论中用的最广最有成效的部分，是进行 系统最优控制研究的基础。另外，一些学者在研究l o 控制的逆问题，见文献1 4 7 1 。 尽管如此，i x ) 控制仍有一些重要问题未解决好( 如计算机效率和大系统降价等) 。 在以后相当长的时间内，这方面仍将是人们继续研究的对象。 本课题主要研究的是几类粘性尖峰孤立波方程的最优控制问题，属于分布参 数系统，是由微分方程( 组) 所描述的系统。为进一步说明怎样对分布参数系统进行 最优控制，我们引用一关于物体温度控制的典型的抛物型分布参数系统最优控制 实例，见文献 4 8 l 。 设物体在点x q 和时刻f 0 ，丁】的温度用函数矽g ，f ) 描述，区域q r 3 ， 0 ，t 1 为所研究物体的温度变化时间区间。若物体中不同点的温度存在差异，则将产生 8 江苏大学硕士学位论文 热流g g ，) ，由f o u r i e r 定律，可表示为 g g ，t ) - 一k g ，r 妒秒b ，)g ，f ) q 【o ，t 】( 1 1 ) 其中，k g ，f ) 为物理的热传导系数。在( 1 1 ) 中，负号表示热流的方向与温度的梯度 方向相反。因此，热量总是从温度高的地方流向温度低的地方。在任意点x q 处 取一面积微元舔，并设其单位法向量为r l ，在持续时间d t 内，通过该片表面沿方向 嚣的总热流量为 坦= g n d s d t = - ( k v o ) d s d t 。 ( 1 2 ) 若设区域q 内固有的热容为c ( x ) ，则在q 中任一以粕q 为中点的球召内的总的 热量为量c g 汐g ，f 域。该量是关于时间的函数，并且由于通过球b 的边界蚀的热 流与球本身所具有的热源厂变化。这样在b 中，总的热容为 姆= ( 一l 胛矽劂+ f d x ) a r t 式中，栉表示边界t 3 b 的外法方向。由式( 1 2 ) ，热量守恒定理和g r e e n 公式，可得 工c ( x ) 詈出= 一工k v ，z 搬+ 肛= l v ( 胛秒眵+ 触。 由于上式对q 中所有充分小的球b 均成立，故可得到下面方程 c ( 毛，) 詈- v ( 胛口) = 厂， q ( 0 ，丁) ，( 1 3 ) 当c - - 1 , k - i ，= 0 时，即得到一般的导热方程： 只一a 0 = 0 。 下面考虑问题的边界条件。若边界铀上的温度给定，则有 = 缈 ( 1 4 ) 该边界条件称为d i r i c h l e t 边界条件。若边界触上的热流量给定，则有 ( 竽) ：缈( 1 5 ) 这种边界条件称为n e u m a n n 边界条件。当然可以给出许多更复杂的边界条件。例 如，若边界上热流与局部温度成比例，则有下面的r o b i n 边界条件 ( 娑+ o - o ) 锄：o( 1 6 ) 如果进一步给出物体的初始温度o o ，即 9 江苏大学硕士学位论文 缉：o = 岛g ) ， x q 。 ( 1 7 ) 那么在适当的条件下，基于初始条件( 1 7 ) 和上面的三种边界条件之一，可以求得方 程( 1 3 ) 的解乡g ，f ) 。 下面考虑基于上面的微分方程的一些控制问题。为了明确起见。首先考虑由 方程( 1 3 ) ，边界条件( 1 4 ) 及初始条件( 1 7 ) 所描述的系统。假设可以改变方程( 1 3 ) 右边的源项，显然不同的厂将得出不同的解汐。因此为了得到一所要求的温度分 布乡g ，f ) ，可以选取一适当的，使得问题的解臼g ，f ) 在某种意义下口g ，f ) 充分接近 于秒g ，t ) ，直观上讲，这就好比在冬天烧暖气使室内的温度升高，在夏天开空调使 得室内的温度降低。通常把0 称为关于厂的状态，而厂称为控制。方程( 1 3 ) 称为状 态方程，在上面的情形中，控制是在状态方程的右边，或者说控制是作用在区域q 的内部，称这种控制为分布控制，若可以改变区域边界施上的温度，即可以改变 缈，则称缈为边界控制。 显然，方程( 1 3 ) 及条件( 1 4 ) ，( 1 。7 ) 给出了一通过，确定口的独特方式。把这样 一指明状态与控制之间关系的对象称为控制系统。因此，( 1 3 ) ，( 1 4 ) 和( 1 7 ) 为一控 制系统，而( 1 3 ) ，( 1 5 ) 和( 1 7 ) 为另一控制系统。 有时为了按一最佳的方式实现某种目标，比如，使得花费时间最少，消耗能 量最低等，这就涉及到最优控制问题。因此，为了实现最优控制，必须给出其它 的准则来衡量控制系统的性能。该准则称为效用( 目标) 函数。以上面的控制系统 ( 1 3 ) ，( 1 4 ) i g l ( 1 7 ) 为例，其中厂为控制，要求系统的解p g ，f ) 接近日g ，t ) 。因此， 可定义如下目标泛函： ，驴) ：r k ，) 一弛) 1 2 d x d t + r r ) 1 2 d x d t 。 我们的目标是通过选取适当的厂使得，杪) 最小。在上式中，第一项要求0 接近0 ， 而要求能量消耗不要太高。当然，可给出其它类型的目标函数。若缈为控制，可添 加f 上i 以，f 凇洫在目标泛函中。 若在给定时间丁内，使得区域q 的温度秒g ，r ) 接近秒g ) ，则可定义目标泛函 1 0 江苏大学硕士学位论文 ，扩) = 球一叫d x + r ，】2 d r d t 。 现在假设物体的初始温度为岛g ) ，并要求目g ，f ) 尽可能的接近秒g ) ，在该情 况下，可按下面的方式来定义目标泛函。首先利用r ( q ) 范数来度量温度的接近程 度，设占 0 为给定的精度，记 q = y r ( q ) ，l p 一弓0 p 。n ，s ) ， 对于任意的控制厂，设相应的温度分布为乡k f ；厂) 。因此，目标泛函为； r ( ) - - - i r , f t o ，口( ，f ，厂) p ) ， 我们的目标是最小化该目标泛函。该问题称为时间最优控制问题。 以上就是引用的关于物体温度控制的典型的抛物型分布参数系统最优控制实 例，这将有助于我们进行进一步的研究。 在某些实际问题中我们关心的不是求出最优控制作为时间的函数，而要把各 时刻的控制表达成当时状态的函数：“o ) = d g o ) ，) ，因为这样便于实时地根据当 时状态确定各时刻应施加的控制，这叫作最优控制的综合。当然这种表达式不易 找到，只是在很特殊的情况下才能求出来，因此在解决实际问题时，要善于简化， 使得模型既能反映实际系统，又能求出上述形式的表达式。例如，对于二次性能 指标的线性系统，综合问题早已解决，最优控制规律是按状态为线性的负反馈控 制律，而反馈增益能通过解r i e w a t i 方程的末值问题算出，见文献1 4 9 1 1 5 0 1 。 最大值原理在最优控制中占有很重要的地位。最优控制的必要条件一最大值 原理，把古典变分学中极值曲线的必要条件，最优开关原理等做为应用实例。但 是，古典变分学不能处理最优开关控制问题。所以人们说最优控制理论是变分学 适应控制过程问题的新发展。然而，美国的伯科维茨( l d b e r k o v i t z ) 在1 9 6 1 年指 出，运用芝加哥( c h i c a g o ) 学派在2 0 世纪三十年代发展的变分学方法，也可证明最 大值原理。但是，庞特里亚金关于最优控制问题的叙述和最大值原理是与控制系 统的最优设计问题紧密结合的，所以人们还是愿意把最优控制理论视为变分学的 新发展，而不把它归结为变分学的一部分。 从抽象的观点来看，最大值原理无非是一个极值问题的一阶必要条件。所谓 1 1 江苏大学硕士学位论文 极值问题的一阶必要条件，粗糙的说是指：对于一个定义在某个带线性结构的集 合上的函数，如果它在该集合的某点上达到极小值，那么函数在该点上对于任何 “容许方向”上的“方向导数”都不小于零。如果集合很正规，例如，m 维空间( 对应 m 个变量的无约束最优化问题) ，由多变量光滑函数的等式确定的流形( 对应带等式 约束的最优化问题) ，而被求极值的函数又是光滑的，那么我们立即导得熟知的 f e r m a t 定理和l a g r a n g e 乘子定理。最优控制问题的困难恰恰在于它所涉及的极值 问题中，自变量变化的集合不太正规；这罩被求极值的函数是控制问题的目标函 数，其自变量是状态和控制，而它们的变化范围由状态方程和容许控制集等来决 定。即使目标函数对状态与控制来说都很正规，但状态方程与容许控制集合会使 这个函数在一个古怪的集合上求极值；或者把控制也用状态来隐含表示时，目标 函数会变成状态的古怪的函数。这样一来，要弄清集合在一个点上的“容许方向” 和函数的“方向导数”都变的不太容易。这就引起后来的最大值原理的非光滑分析。 微分方程是描述控制系统的数学工具，所以微分方程理论成为最优控制系统 设计理论的基础和工具。 1 4 本文的目的、内容、意义 本文研究的目的为： 本文主要研究了粘性推广的c a m a s s a h o l m 方程和粘性f r i t ho r d e r 浅水波方程 的最优控制问题，包括证明两个粘性尖峰孤立波方程弱解的存在性，给出这两个 方程的分布最优控制，证明最优解的存在性等。 本文研究的具体内容为： 第三章：根据分布参数系统最优控制的存在性理论和一系列数学估计，研究 了粘性推广的c a m a s s a h o l m 方程最优控制。首先，用g a l e r k i n 方法证明了在特殊 的h i l b e r t 空间上该方程弱解的存在性。然后，根据变分不等式最优控制理论和分 布参数系统的最优控制理论，运用第二章的知识，并选择了合适的性能指标 j ( y ，们，证明了在该空间上解的范数与原方程的控制项和初始值有关；并且在l 2 空间中给出了粘性推广的c a m a s s a h o l m 方程在一定边界条件下的最优控制。最后 证明了粘性推广的c a m a s s a h o l m 方程的最优解的存在性。 第四章：深入研究粘性f i f t ho r d e r 浅水波方程的最优控制问题。把第三章研究 江苏大学硕士学位论文 粘性推广的c a m a s s a - h o l m 方程的方法运用到粘性f i f t ho r d e r 浅水波方程上来，得 到了相关的结论。 本文的研究的意义为： 由于庞大的计算量以及模型可能产生的的困难( 例如，非线性性) ，解决非线性 偏微分方程的最优控制问题意味着要面临着巨大的数值挑战。这几类粘性尖峰孤 立波方程都是重要的数学物理方程，它们具有很多实际意义。但是由于这几类方 程非线性项较复杂，它们的最优控制和边界控制问题一直没有人研究过。在本文 中，我们使用一系列的数学估计研究了这几类粘性尖峰孤立波方程的分布最优控 制问题。我们的研究是得到了对b u r g e r s 方程最优控制问题的研究和分布参数系统 最优控制的存在性理论的启发。从理论上，我们证明了这几类方程最优解的存在 性。这将为我们进一步研究以及在工程领域中的应用提供了理论依据。为了认识 最优控制问题的最优解，我们必须重新计算在某一时刻出现扰动情况下的最优解。 我们将使用数学理论和相关的数值方法来解决这个问题，这也是我们下一步努力 的方向。 江苏大学硕士学位论文 2 1 函数空间 第二章预备知识 2 1 1 有界线性算千 我们取( 矿，l i | l 矿) 是一个普通的线性空间。集合b o ；，) = b y ：0 y 一彩忆 x ，定义如下： 似允，x ) r j = ( 如力) r r 对所有的z x ，允y 。 引理2 1 如果x ，y 是两个实的h i l b e r t 空间，x 。，】，分别是它们的对偶，给出 a 三伍，y + ) ，则对偶算子4 + 有如下一些性质： 1 ) 彳p ，x ) ，而且忙+ 扎( r ，1 = m l l 仁y ) 2 ) k e r a = k e r 0 掣) ，羽= k e r 彳广，一r a n a = r a n e 4 ( x a * ) 证明见文献i s 2 1 。 引理2 2 如果x ，y 是两