（应用数学专业论文）加一条悬边的k2s的图设计.pdf

摘要 口阶a 重完全图a 耳。是一个。点无向图，其任二不同顶点z 和间都恰有 条边 z ， 相连对于有限简单图g ，图设计g g 仇( ) 是一个序偶( x ，8 ) ，其中x 是k 。 的顶点集，b 为，中同构于g 的一些子图的族( 称为区组族) ，使得，中每条边恰 好出现在b 的 个区组中 本文研究的是完全二部图尬。加一条悬边的两类图只，q 。的图设计对于图设计 b g d ( u ) 与0 。一g d ( ) ，文【3 已给出了ui0 ，1 ( m o d2 s + 1 ) 时的存在性本文则对 2 s + l = 3 口且9 c d ( 3 ，口) = l 时的进一步情况给出了相应的存在性结论 关键词：图设计 ab s t r a c t ac o n l p l e t el n l l l t i g r a i ) ho fo i d e rua l l ( 1 i i l d e xa d e i l o t e ( 1 1 ) ya ”i sa i lu n d i r c c t c dg r a p h w i t h jv 盯t i f e s ，w l i 叭1a 1 1 yt w i i s ( i iv e r l ：i f = c 刚( 1 a mj l ) i 【i yae ( 1 9 e s 似材l e tg 1 ) ca6 l l i t ( 、s i l l l p l eg i a p l la g r a p h ( 1 e s i g ng g d ( ? j ) 0 fa ，l sap a j r ( x ，口) w l l e i exbi ，1 1 e v e r t c xs e to fk a l l d8i sac o l l e c t j o n ( ) fs l l i ) g r a p h so fk c a l l e db j ( ) 陆s ，s l l c hc 1 1 a te a c hb l o c k i si s o m o p h i ct oga n da l l yt w od i s t i n c tv e r t i c e si nk ，a r ej o i l l e di ne x a c tab l o c k so f8 i i lt h i sp a p e r ，t h eg r a p hd c s i g no f 尥，sw i t hap e n d e n te d g e ，i n c l u d i l l gt w ok i n d so fg r a p h 只a n dq 5 ，i sr e s e a r c h e df i o i l l 3 州h a v ek 1 1 0 w l lt i l ce x i s t e i l c er e s u l t so fa 只一g d ( u ) a n d a0 s g d ( t ，) 、w l l e r e 劬三0 ，l ( i i l o ( i2 s + 1 ) i i lt h i sp a p c r ，t h cf u t l l e rr e s u l t sa i cg i v e nf o rt 1 1 c c a s e2 s + 1 = 3 qa n d9 c d ( 3 ，q ) = 1 k e y w o r d s ：g r a p hd e s i g n 摘要 u 阶a 重完全图a k 。是一个 点无向图，其任二不同顶点z 和间都给有a 条边 ， 相连对于有限简单图g ，图设计g g d ( ) 是一个序偶( x 8 ) ，其中x 是k 。 的顶点集，b 为。中同构于g 的一些子图的族( 称为区组族) ，使得中每条边恰 好出现在召的a 个区组中 本文瞬究的是完全二部图施。加一条悬边的两类图只，仇的图设计对于图设计 只。g d ( ) 与q 。一g d ( ) ，文【3 j 已给出了 io ，l ( m 。d2 s + 1 ) 对的存在槛本文刘对 2 s + l = 3 口且9 c d ( 3 ，q ) = l 时的进一步一睛况给出了相应的存在性结论 关键词：图设计 a b s t r a ( ：t ac o n l p l e t ei n u l t i g r a l ) ho fo r d e rt ，a 1 1 f li l l d e xa 。d e n o t e db y k ”i sa nu n d i r e c 钯dg r a l ) h w i t l tt ，v e l l i f p s 。w l i e r pa i l yt w l i ：；t i n + tv e r t i f ，sza l a l pj o i l l ( 、( 11 ) y 。d g c s 。1 ，弩 己e tg 1 ) ea 最l l i es ；l l l p i eg r a p i lag r a l ) l ( 1 c s i g ug g d ，) 0 fa k ，i sap a i r ( x ，嚣) w l l e l exi s 恤e v e r t e xs e to fk a l l d 嚣i sac o l k c t i o l lo fs u b g r a 曲so f c a l l e db l o c k s ，s u c ht l l 砒e a c hb 王o c k i si s o m o p h | ct oga n da i l yt w od i s t i n c tv e r t i c e si l lk ，a r ej “1 1 e di ne x a c tab l o c k so f8 i i lt h i sp a p e r ，t h eg r a p hd e 8 i g l lo f 施，sw i t hap e n d e n te d g e ，i n c h l d i n gt w ok i n d so fg r a p h 只a n d0 5 ，i sr e s e a r c h e d f l o i nm w eh a v ek 1 1 0 w 1 1t h ee x i s t e i l c er e s u l t so fa 只一g d ( u ) a n d aq s g d 扣) w l l e r e 计兰0 ，l ( n l t ) d2 s + 1 ) i nt h i sp a p e r ，t h ef u t h e rr e s u l t sa i eg i v e l lf o rt l l e c a s e2 s + l = 3 9a n d9 以( 3 ，口) = ：l k e y w o r d s ：g r a p hd e s i g n 海稳l 羟范大学硕士论文 l 王辱 言 u 降a 重塞垒塑a 甄是一个口点无向圈，其任二不嗣顶点和# 闷都恰宥a 条边 茹，螃秘连，而塞全三壹翼塌。是一个如下的匿： 1 ) 点集合x x lu 弱，j x l i = r n ，i 施 = 且x 1n 殛= 9 2 ；x 申的点z 与蠲嚣边鞠逶黜z x i ，# g 弱。 本文研究的图楚畅。加一条悬边，分为以”r 两类： 爨聪 篓q 。 设g 是一个像n 个顶点和s 条避组成酶麓单鳗。辑键的堡：蹩熊盐g g 圾印) 是一 个净缡( x ，国，其中翼是弱的疆点集，8 为搿。申竭构于g 璐子蔼酶族( 称为透缎 族k 馕樗砥中每条避恰好出瑰在嚣酚a 个嚣组申。显然， 眯) 存在哥篇l ( n 1 0 d 2 咄 la ”l i ! ol l l l o d 矗) 。 英中d 表示g 申善顶。鼠度数戆最大公西数。颤f + ) 知 p s g d ( ) 凌母5 - g d ( ”) 存在茸 s 十3 且口t ，一1 * om o d ( 如+ 2 ) 照然蹋设 手p 5 一g 拶 ) 。q ，一s 拶( ) 的存在范鹚瓤决于s 妁值+ 文【3 j 中对公共的范粒 o ，l ( m o d2 s + j ) 进行了讨论，并给出以下结论 g i 璞l ，l 润当口女o 。l m 。d2 8 十i j 显( ”a 2 8 十l ，1 ) ，( 2 s + 2 ，i ) 对，存在只一8 露 扣) 和q 。* g d 口) 显然，当2 s + l 为索数幂婶，上述引理给出的存在范围已楚完喜的( 即已是该设计 的存在谱) 但当2 s + l 不是素数幂时，该设计避有更大的存在范围 零文在；i 理1 1 的基礁土讨论了当2 8 + l 一曲显p e 蓐3 ，一i 薅辛，只一g 嚣知获 q 。一g p ( ) 的存在性问题，从赫拓展了嬲设计b g d ( ”) 和q 。一g d 口) 哟存在范蕊；鸯 简洁，泓下对圈设计嚣荧符号中髓a f 1 ) 蘩潮去不写。 为方便，按照土边磊图中只和q 。各点醇糖号秘相应的医级分嬲记为 c ：8 ，6 ；d i ，如，一，式) 和和；d l ，d 2 ，或；挑， 2 澎靶洚蓖大学硕毒论文 稚诸哦为上方点，o ，6 为下方点，c 为悬点有时我们也把对应于圈设计只一g d ( ) 和 0 。- g 凹扣) 中的区组简记为( c ；口，6 ；且) 和( c ；万；“，6 ) ，这里a ，万都表示一个s 元集 对于2 8 + l = 3 口及9 蒯( 3 ，q ) = l 时，显然有 2 = 6 + l ，s = 瓣+ l 或g s + & s = 辩+ 7 。 进而由豳设计只一g d f ) 和q r g d ( ”) 存在的弘簧条件，我们需在蚍下范围进行讨论： iu 兰o ，1 ，6 t + l ，1 2 + 3 ( m o d1 8 t 十3 )口= 6 t 十l 时， 【廿三o ，1 ，6 t 十6 ，1 2 t + l o ( m o d1 龇+ 1 5 )口= 6 十5 时 耪嬲地，若g 鸯素数幂，该慈蕊内妁存在结暴帮是只一g d ( ”) 和羁i 。g p 和) 砖毒在谱 设厶与二为匿设计p s g d q ) 中的两个隧熏珏( 可以是同一个) ，五的悬边为 ( c ，i ) ( o ，j ) ，称区组l 是悬边可移到区组l 的( 简记为l _ f ) ，著7 的上方点中存在 ( 。，i ) ( 或( ，j ) ) ，且l 中除憋点外不存在点( z 十a c ，j ) ( 或( + c o ， ) ) 引理l ，2 设存在图设计r g d ( 口) ，其全部基区缎为二l ，2 ，岛，如装存在 l ，2 ，r 的一令瓣或j l ，蠡，。矗+ 使臻磊与； l 墨r ) ，裁存在匦+ 8 p # ) 证鹌：r 需蓊原设计基送组厶中悬点 c ，i ) 去掉，并在。秘土方点扛，i ( 或，i ) ) 处 邻接新的悬点( n c + z j ) ( 或( c n + ，i ) ) 即可 仁：】 以下各节将立足于构造满足引理1 + 2 条件的只g d ( ) ，从而亦可完成q ，g d ( ) 为了方便，可将点扛，i ) 易。互簿记为( 。) 或当z5 # ( m o dm ) 时，记 臣，】。= 。，z + m ，一，一m ， ， 对于磊的子集a = 。i 龇，嘶 ，记 一a = 一n r ，一o r - 1 ，一0 1 ) ，( a ，t ) = ( 0 1 ) 。，( n 2 ) ，- 一，( o r ) 。) ， a + 6 = 盘l + 厶0 2 + 6 ，嘶+ 6 ) 点2 国) 表示露m 。d2 产生的2 t 个区组中， 8 + o ，嚣+ 1 。b 一i 分茸网点z ，z + i ，一一，善十l l ； b + t b + t + l ，- ，丑+ 2 1 分另1 1 用点可，封+ 1 ，一，+ t 一1 ， 2 毓雠+ lm o d1 8 t + 3 拳警穗攘”斡以下蓖蕉分捌鞠薛马黻一g d + 一( 3 & + 6 ) 女+ 2 4 + 4 ，见；l 理2 。l ， = ( 3 6 t + 6 ) + 6 t 十1 ，见引理2 2 ( 轧t 同偶) ，引理2 3 似偶，t 奇) 引理2 4 ( 奇，t 偶) ，引理2 5 ( ，同奇) 河北师范大学硕士论文 3 引理2 1 对于u = ( 3 6 t + 6 ) k + 2 乱+ 4 女1 存在嘞+ 1 一g d ( ) 构造：嚣先定义z 燃上的以下予褰( 注意2 2 0 + 3 ) ： d = 【7 t + 3 ，l o 纠2 ，e 篁f l o f + 3 ，2 0 十3 】2 ，f = 2 ，5 + l 】2 ， g = 4 t + 3 ，1 0 t + 1 】2 ，h = 【6 t + 3 ，1 0 亡十1 】2 u f l 2 十3 ，2 毗+ 3 】2 ， ，善f 3 ，4 + l kuf 6 # + 3 ，1 0 t + 1 】2 ，j f 一7 t ，一5 f 一2 1 2u f 一2 0 一2 ，一1 2 t 一2 k ， r = 【一( 7 f 一扣1 ) ，一l l ，= 【l 吼+ 2 ，1 2 f 十l i 。a 彳= 【一l 龇。一( 7 + 2 ) = f 4 ，+ 2 ，6 f + l 】，( ) = 【( 4 ，+ 1 ) 一l 尸= 3 ，5 f + l 】2q = 【7 t + 3 ，1 0 + 1 】2 而当2 时，在z 必中定义以下的点和子集族( 其中l 一1 此时孚兰3 2 + 5 ) ： 4 q = 1 0 + 1 + f 酐 1 ) a l = 【l o f 十3 1 6 ，+ l j 2 j = ? j i + ( 6 十1 ) ( j 1 ) b l 端( 2 0 f + 5 ，3 2 t + 5 】2 日= b i + ( 1 2 ，+ 2 ) l ，一lj p 。+ l g j d ( ) 应含的区组数为( 3 + 2 ) - 孚个，今在点集x = ( z 单。历) u 。c 上构 作3 + 2 个基区组，英中前3 ( 一1 ) 个基区组为： n ；一( ( “j ) r ：o r 1 r ：( 如，r ) ，( 马r + 1 ) ) r = o 1 ， 一( ( q ) 2 ；0 2 1 7 ：( a ，2 ) ( 1 b o ) ) 而另外5 个基区组较t 的奇偶性分别是： 为奇数对 为偶数时 五= ( ( 1 毗十1 ) o ：0 0 ，1 0 ：( d 0 ) ( e 1 ) ，( f 2 ) ) 乃= ( 一( 1 m + 1 ) o ：0 1 1 1 ：( g 1 ) ，( 2 ) ) ， 乃= ( 1 1 ：f ) 0 1 2 ：f ，。2 ) ，( f o ) ) 五= ( 。c ：0 0 0 i ：( ，、f o ) l 2 ) ) 马= ( 一( 1 眦+ 1 ) o ：【】2 0 l ：。c ( ，0 ) ( 2 ) ( ( ) 1 ) ) 正= ( 1 2 ：o o 。l o ：( q o ) ( e 。1 ) ，( p ，2 挠 砭= ( 一( 1 0 + 1 ) o ：o i 1 l ：( g 1 ) ( 2 ) ) ， 码= ( 1 2 ：0 2 1 2 ：( j 2 ) ，( j ，0 ) ) ， 噩= ( 。：0 0 o l ：( o ) ( l 。2 ) ) 、 罨+ = ( 一( 1 0 t + 1 ) o ；0 2 ，0 l ：，( f ，o ) ，( ，2 ) ，( o ，1 ) ) 则这些区组m o d ( 警一) 即可给出所需的局一g d ( ) 证明：首先说明所构作的3 + 2 个基区组中每个的点互异且上方点的个数均为蚍+ 1 噶 五 如 噩 z i 彤o ，l 萑南，l 与 + l 岛i = ：；f _ + 承+ l = 9 十1 1 0 十1 ，o 1 簪j d ：l 隹ff d i + i e 十l f | 嚣盟尹+ 筑+ 1 + 丑笋= 9 f + l o ，1 隹g 1 g i + l h i = 3 t + 2 f + 4 f 十l = 9 f + l o ，l 釜，i ， + l ，l = 4 t + & 十l = 9 t 十1 o 隹墨| | + i 二l = 孔+ l 十2 t = 9 十1 ， 4 塑! ! 堕整叁鲎塑主熊塞 嚣：0 霉0 ，o ，一( 王蕊十1 ) 聋掰徊z l + | 十| 0 | + l = 3 t l 十2 + 赶+ 2 = 辩+ i ， ：o ，1 隹q ，l 隹p i p i 十i 席i + l q = 2 t + 5 t 十l + ；t = 9 十1 进而讨论毗连的边，注意到与邻接的点恰为o o ，。1 0 2 r 故只需考察z 孚。磊中点 之翔以下麓； ( 弘坊纯差l 2 ，( 船+ 1 ) 奄+ 瓴p z 3 ： f 筘，擘) 混差0 i ，t ，1 2 f + 2 ) 套8 p ，鼋 历，o 筘 g 2 ； 这姥纯差与混差分别分布如下： 七一l一l u 。q ；r ，r ) 纯差： uf a u fa 一1 ) ) u “， ) j = j ；l 蠢一1 嚣u ( ( l o t + 2 ，1 艇+ 1 j + ( 龇十1 ) 括一1 ) ) u 1 0 + l + ( 6 f 十1 ) j ) ) j 篇l 盎一l u ( 【l 虢+ 2 ，l 黎2 】( 6 # 十i ) 0 一1 ) f 1 0 + 2 。( 蕊+ i ) 老+ 4 t ， ，= i 血一1 ( r r 十1 ) 混差：u ( 马u ( 岛一1 ) ) ，= l 盘一l 黜u ( 2 0 + 4 ，3 2 + 翻十( 1 2 十2 轻一i ) ) = 1 2 0 + 4 ，( 1 2 l + 2 ) 采+ 8 考| u o j = l 奄l盎一l q u ( 2 ，2 ) 纯差：u ( _ u 南一1 ) ) u 唧 ) 一疆o f + 2 。搿+ 1 ) 嘻 l 拦i，= i 一l ( ( j2 ) 混差：uf f 1 一旦，) u ( 1 一( 1 一日) ) ) = 【2 ( ) f + 4 ，( 1 2 ，十2 ) + 8 f 】u o j 2l 噩( o ，o ) 纯差：d u ( p 1 ) u l o t _ * l 一f 7 t 十2 。l o f + l 】， ( o ，1 ) 混差t嚣u ( 茸一i ) = i l o + 2 2 + 3 j ： f o ，2 ) 混差；f u f 一 ) = f l 。5 t + l j ， ( o ，o ) 纯差：q u ( 尊一1 ) = 7 十2 ，l o + 】 ( o ，1 ) 混差：e u ( f 一1 ) ：【1 0 十2 ，2 呲十3 j ， ( o ，2 ) 混差：p u ( p 1 ) u 1 ) 一 l ，钳 l 】， 为趸( 1 ，1 ) 纯差：g u f 8 一i ) = 障十2 ，l 蕊+ i 。 ( i 2 ) 混差：u ( 拱一i ) = f 6 十2 i 啦+ l l u f l 2 + 2 ，2 雠+ 3 l ， e 。l 混差； l 饼+ 。 而，瓦( 2 ，2 ) 纯差：，u ( ，1 ) u 1 = m 驰+ l l u l 6 ，+ 2 1 0 t 十1 】 ( o ，2 ) 混差： ( 一j ) u ( 1 一j ) = f 5 t 十2 7 + l 】u f l 2 t 十2 ，2 0 + 3 】， 甄，一晒国纯差，随i ) 混蓑；一蟊= f l ，7 + l l 。 鸭2 ) 混差，( 1 。2 ) 混茇；= 1 0 十2 、1 2 t 十球 马* - 一- ( 1 ，l ；纯差：一8 一 l 。越+ l ( 2 ，2 ) 纯差：= f 4 t + 2 ，6 t + 1 】， ( 0 ，2 ) 混差；( 一 f ) u 1 0 十1 ) = f 7 t 十2 ，1 0 t + 1 l ， 露l t 蜂范大学硕士论文 5 ( 1 2 ) 混茬： 。vl j ( 一d ) 一| l6 f1 l i f 。l 混差：一a f = | 7 十2 、1 0 壤 不难看出，每类纯差均恰覆盖了整数段f 1 ( 甜+ 1 ) k + 4 儿每类混差均恰覆盖了整数段 旺( 1 2 # + 2 ) 是+ 8 曩故此设计满足要求 1 引理2 ，2 对于t # ( 3 6 t + 6 ) + 6 t + l 、当盘、 每为偶数且a 2 时，存在焉- g 妇扣) 掏速；令n = 承+ i ) 女+ 。首先定义磊土静以下子集( 注意n i 3 手2 ： ( _ = 彗+ 【1 - 譬f 】d = 莹十【1 ；t 】e 篇f i t + 1 3 f 1 】2 f = f 2 1 搿十2 1 2 ，s = l l f ，一邳2 。露”2 ；一f 2 + 1 警一 j 2 z = f l 一2 f ，一1 1 2 ，一| 2 ，+ 2i 3 ，+ 2 i ? 。 = ( 2 、7 ，1 2 。 ；【蠢中2 。1 2 ；?o ，= l 1 3 一1 2 f 一 1 2 兰 2 ，静 2 而当 4 时，在z 。中定义以下的点和子集族( 其中l ，一2 此时，2 兰2 甜+ 4 ) ： “j 需等+ = 笋+ “? 一2 ) 娶+ ，。 4 翟g 十 1 十譬r 警f j ，= 。l f 一3 f ( ，一1 ) 。 b l 裂1 1 3 + 3 ；1 9 + 剐，色= 口l 十0 一1 ) ( 斟+ 1 ) 。 民+ i g d ( ) 应含的区级数为n f 6 十1 ) 个，今在点集盖= ( z 。x 磊) u ) 上构作6 十i 令基区缎，其中l 曼f 蟹乒。g js 2 、r o 1 ，2 豆下据摸8 取在磊中 孵= ( ( 一 1 2 r ：o 扒0 【+ 西：( | 4 2 r ) ( 口，2 十2 r ) ) 扩；= ( 吩一2 笋) 扣：o l4 打、0 2 r ：( ，2 ，) f 易，2 + 2 r ) ) + 1 7 = ( ( n 1 2 7 ：( ) h 0 1 牟2 r ：( ，l + 2 ，2 ) i 嚣，。3 十2 r ) ) 、 _ 【 了= ( 勺一连蔓) l 上奎：( l ? r ，o 卦：f 羹j 1 十2 ，、) ，易，3 + 2 r ， 7 1 。= ( f ! 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