（应用数学专业论文）半参数回归模型小波估计的理论及应用.pdf

摘要 小波分析是上世纪8 0 年代开始，逐渐发展成熟起来的一种数学分析，但将小波方 法用于半参数回归模型则是近十多年来的事。由于这一方法特有的优点，近年来受到许 多学者的关注，已经成为一个热点研究领域，但目前国内外用小波方法所研究的回归模 型，其随机误差一般是i i d 序列或鞅差序列。众所周知，时间序列是应用中最为广泛的 随机变量之一，因此把误差为时间序列的回归模型作为研究课题，将会有大量的工作可 做，同时也有很好的应用背景。 本文对半参数回归模型： 片= + g ( ) + e t ，i = l ，n 主要做了以下三个方面的研究： 1 、我们用小波构造权函数，通过最小二乘法对参数卢与非参数g ( t ) 进行估计，并 采用d a u b e e h i e s 正交小波进行了数值模拟。 2 、用尺度函数构造参数与非参数估计量并证明了它们的渐近i e 态性，均方相合性。 3 、利用小波的去噪功能处理半参数回归模型，本文直接使用了h a a r 小波函数通过 软、硬阈值去噪方法，对参数与非参数g ( o 进行估计，并进行了数值模拟。 通过数值模拟，我们可以看到这两种用小波方法对半参数回归模型的参数多与非参 数g ( r ，) 的估计是比较有效的方法。 关键词：半参数回归；参数估计：非参数估计；渐近正态性，均方相合性；d a u b e e h i e s 正交小波；h a a r 有理小波；阈值去嗓 w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e c o m et oac o m p l e t em e t h o do fm a t h e m a t i c a la n a l y s i ss i n c et h e 1 9 8 0 s ，w h i l et h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e ta n a l y s i si ns e m i p a r a r n e t r i cr e g r e s s i o nm o d e lh a s s t a r t e dad e c a d eb e f o r e b e c a u s eo fi t sa d v a n t a g e s ，i th a sb e e nah e a t e dr e s e a r c hs u b j e c t s a s f o rm o s to ft h ep r e s e n ta c h i e v e m e n t s ，t h er a n d o me r r o r sa r ei i d s e q u e n c eo rm a r t i n g a l e d i f f e r e n c es e q u e n c e s a sw ek n o w , t h et i m es e q u e n c ei so n eo ft h em o s tp o p u l a rr a n d o m v a r i a b l e s t h e r e f o r et h er e s e a r c ho fr e g r e s s i o nm o d e li nw h i c hr a n d o me r t o r si st h et i m e s e q u e n c ew i l lb em e a n i n g f u la n du s e f u l ， t h i st h e s i sa n a l y s e ss e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l y t = # p + g q 。) + e 。，i = 1 。，n t h em a i nc o n t a n t si nt h ep a p e ra r et h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s ： 1 w ec o n s t r u c tw e i 曲t i n gf u n c t i o n sb yw a v e l e t ，a n de s t i m a t ep a r a m e t e r a n d n o n - p a r a m e t e rg ( ) b yl e a s ts q u a r e s ，w i t hn u m e r i c a ls i m u l a t i o nb yd a u b e c h i e so r t h o g o n a l w a v e l e t s 2 w ec o n s t r u c tp a r a m e t e re s t i m a t o ra n dn o n - p a r a m e t e re s t i m a t o rb yv a l u eo fs c a l i n g f u n c t i o na n dp r o v e st h e i ra s y m p t o t i cn o r m a l i t y , s q u a r ec o n s i s t e n c y 3 a c c o r d i n gt ow a v e l e tt h r e s h o l dd e n o i s i n gf u n c t i o ni ns e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e ， w ee s t i m a t ep a r a m e t e r f la n dn o n - p a r a m e t e rg ( ) 谛mt h ea p p l i c a t i o no fh a r da n ds o f t t h r e s h o l dd e n o i s i n gf u n c t i o nb yr a t i o n a l i z e dh a a rw a v e l e tw i t hn u m e r i c a ls i m u l a t i o n o nn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，w ef i n dt h ee s t i m a t i o no fp a r a m e t e r f la n dn o n - p a r a m e t e r g “) i ns e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e lb yt h e s et w om e t h o d sw i l lb ee f f e c t i v e k e yw o r d s ：s e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o n ；p a r a m e t e re s t i m a t i o n ；n o n - p a r a m e t e r e s t i m a t i o n ； a s y m p t o t i cn o r m a l i t y ；s q u a r ec o n s i s t e n c y ；d a u b e e h i e so r t h o g o n a lw a v e l e t s ；r a t i o n a l i z e d h a a rw a v e l e t ；t h r e s h o l dd e n o i s i n g 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 论文作者签名：铂涵亥 日期：悯年月2 - 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本：学校有权保存并向国家有关 部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务：学校可以允 许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 作者签名：孑雾苞i 狡日期：锄，叶、6 ，2 指导教师签名。瑶铲俐 日期：沙，z 多2 ， j 第一章绪论 第一章绪论 非参数回归自s t o n e 1 】( 1 9 7 7 ) 的一项著名工作发表后，其理论和方法已有重要进 展。这种模型虽有它的优点，但从实际应用来说，尚有它的局限性。此时如用非参数回 归加以处理，则会失去太多的信息，若采用线性回归一般拟合情况很差。比较自然地是 采用两者的“混合”。e n g l e ，c r r a n g c r l 2 1 等( 1 9 8 6 ) 曾讨论气象条件对供电量的影响，就 适合这种情况。它既含有参数分量又含有非参数分量，用它来描述实际问题时，更接近 于真实，更能充分利用数据所提供的信息。 同其它回归模型问题一样。人们对此模型的理论研究的兴趣主要是关于它的参数分 量和非参数分量g ( t ) 的估计的大样本性质，由于此模型既含有参数分量又含有非参数 分量，所以研究此模型的方法综合了研究线性回归的方法和研究非参数回归的方法。但 并不是说是两种方法的简单叠加。 此外，在非参数回归模型中，各个解释变量对因变量作用的差别往往被忽略，这在 实际问题对此未提出任何信息时，是不可避免的；但若有根据认为某些解释变量对】，的 影响较显著时，而使用非参数回归会明显地降低模型的解释能力。 为在出现上述情况时，弥补非参数回归之不足，一个方向的努力是r i c e 例( 1 9 8 2 ) ， e n g l e 2 1 ( 1 9 8 6 ) 提出的偏线性回归。这种模型的结构部分地受线性回归中协方差分析的 启示，但与之不同的是此处主要是解释变量可以取连续指标值，且y 同“协变量”之间 的关系为“非线性”。详而言之，记z _ i 一，x ，t l ，f 。) = ( 一，) ，设( ) 有如下形式： 4 z ) = f l l x i + + 夕p 工p + g ( f ) = x 7 + g ( f ) 其中7 = ( 屈，卢。) r p , g e 今设 z ，r ) 乙为( z ，y ) 的n 次独立观察，则 y i = r + g ( t 1 ) + 8 1 ，i = l ，, 通常假定 ( i ) q ，毛是i i d 序列，如= 0 当 为随机时，还假定 ( i i ) z i ，z 。是i i d 序列， 互) 与碱 相互独立。 l ( 1 2 ) 湖北人学颂l 学位论义 ( i i i ) g ，为定义在u c r 4 上的某个实值函数空间。 文献中称模型( 1 2 ) 为偏线性模型( p a r t i a l1 l e a rm o d e l ) ，也常称为半参数回归模 型( s e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l ) 。而，g ( t ) 分别称为该模型的参数分量与非参 数分量，习惯上也称口为回归参数。 1 1 关于半参数回归模型 半参数回归模型的优点是集中了主要部分( 即参数分量部分) 的信息，因此有较强 的解释能力，深信随着此模型在理论和方法上的日益成熟，必将有广阔的应用背景。 半参数回归模型的早期工作大多沿着两条路径：1 、对非参数分量即未知函数g ( t ) 进 行参数化。即在区间【o ，1 】上选定一组基概) 三使得g ( f ) = q 只，若g ( f ) 具有某种光滑 - l z 性，使得此级数一致收敛，则可用有限和g a o ) = p ，e 来逼近。此处丑是一待定的光 滑参数。这样，将估计g ( f ) 的问题转化为估计有限维参数0 = ( b ，o a ) 的问题，然后 使用最小二乘法或其它类似方法同时估计参数向量和g ( ，) 对应的参数0 ，这样得到的 估计量以参数化的方法命名。2 、两阶段估计。这种估计方法是先设己知，使用标准 非参数回归方法，基于纯，y j 一工：历乙的估计g ( r ) ，记为雪。( f ，) ，然后再以重 ( f ，) 代 g ( r ) ，使用最小二乘法或其它类似方法同时得到p 和白( f ，声) 。 关于上述模型的研究，已经有一批研究成果了，8 出c k 【4 1 ( 1 9 8 6 ) 应用b i c k e l n ( 1 9 8 2 ) 中的一些结论研究了上述模型的一类特殊情形中口的渐近有效估计的构造； h e c k m a n 【5 1 ( 1 9 8 6 ) 1 1 院t ( x t ) 是i i d 随机子样，且“ 与 f 。 相互独立，并且g ( ) 的估 计取一类样条估计时，的加权最小二乖估计虎的渐近正态性：r i c e l 3 1 ( 1 9 8 6 ) 研究了 ( 一，t ) 是固定设计，且g ( ) 的估计取一类样条估计时，的估计的协方差函数的渐近性 质：c h e n l 6 1 ( 1 9 8 8 ) 研究了当 ，( f ) = e ( 而，i t = t ) - y c ：f f - t 满足a ( o 0 ，使得 i 厅( ，) l o 打o + l t l ) 4 k = 0 , 1 ，d z ，t r 定义2 称。似r ) 为s o b o l e v 空间，如果对 日“有 i t h 。舷口0 j ；( 口) 1 2 ( 1 + c 0 2 ) 8 d o ) 。 其中 为h 的f o u r i e r 变换。 设( ) s 是某个给定的刻度函数，相伴r ( r ) 的多尺度分析为 圪) ， ) 的再生 核为 ( f ，s ) = 2 m g ( 2 “t ，2 ”s ) = 2 “矿( 2 4 t 女) ( 2 ”s 一| | ) ( 2 2 ) 记4 = 【置+ t ) 是 o ，1 】的一个分割，且4 ，l i n ，这里 是满足( 2 1 ) 的设计点列。 当口已知时，可定义g ( ) 的估计 批棚= 妻( 只吖励l 啪卿出 求解极小问题 m i n 窆b 一棚一岛( ，p ) 2 记其解为反，定义g ( ) 的线性小波估计为 6 第二章误差为时间序列过程的芈参教回归模型的小波估计 色( ，) = l ( t ，庶) = 喜( 只一庭) l 岛( 柚) 凼 ( 2 3 ) 记x = ( ) w ，y = ( m ，以) 7 ，g = ( g ( ) ，g ( ) ) 7 ，岛= l 乞( ，s ) d s ，s = ( 邑) ， 勇= ( ，一s ) x ，p = ( ，一s ) r 由最小二乘法易知 危= ( 勇7 吖勇7 p ( 2 4 ) 本文中，c 和q 表示一个正常数，在同一场合可以表示不同的数，为研究磊的渐近 性质，我们作以下基本假设【1 3 】【1 4 1 a i 存在 0 ，1 】上的有界函数毋( ) ，l 兰) ，l 歹蔓p ，且满足“p s c h i t z 条件。 a ，m ( ) s ，口，o 满足1 阶l i p s c h i t z 条件且具有紧支撑，当一0 时， ；( 0 一l i - o g ) ，其中；为的f o u r i e r 3 漱。 丸m 。a 。x ( s , - s ，, ) = o c n - 1 ) b 2 = o ( 。n ，i 。 对于误差过程经) ，我们作以下假设 7 湖北大学硕b 学位论文 a s 碱 是时间序列过程，即t = w e , 。，其中i 吩i 0 0 ，巳是i i d 随机变量， j - o j - o 必= o ，v a r e ：= 盯2 ， e ) 的谱密度厂( ) 满足 0 c i 厂( ) 蔓乞 ( 一窟，万】 其中q ，乞是常数。 注：通常的a r ，删和a r m a 过程均满足条件4 ，。 2 2 引理 引理1 若条件a ，成立，则有 ( 2 8 ) ( i ) l 晶( b 圳南l 玩( 蹦) j 百，其中为自然数，c 为只与后 有关的正常数。 ( i i ) s u pf 瓦( r ，j ) f - 0 ( 2 ”) ( i i i ) s u pi 。l e m ( f ，s ) 陟s c os r s l 。” 证明：见引理2 2 引理2 若条件“- 4 成立，贝i j 有m a x m a x 窆。le ( 。s ) 出= 。 疗 l 。g 一) 证：证明中，我们用到如下a b e l 不等式的一个推论例 喜q 包l 2 m 。a ；x 。l b , i - m a x l 善，l ( 2 9 ) 其中娩 ， 6 j ) 是任意两个实数序列，“，五，l ) g o ，2 ，聍) 的某个排列。 由条件a 及引理1 ， 于是v i ， l 。( t l , s ) d s l 麟l 。瓦识, s ) d s = 0 ( 斗一卟；) 坳 喜l 。最 ，s ，a 骚z l 。( 号 l 喜i = 。( 盯专) p ( 厅j i ，。g 厅) = 。( 疗 - 。g 以) 第二章误差为时间序翔过程的半参数回归模型的小波 i l i 计 i 理j 右象仟a i a 4 础卫，_ l i u 伺 ( i ) i j ：已( f 力g 。泌一善( l 玩( 淞) g q ) i = d ( 拧。1 ) ( i i ) l 既( f ，s ) 吩( s 油一喜( l 乓( f ，s ) 包也) l - 。仰。) 证： 证( i ) l j ：玩c ，s ，g c s ，幽一喜( l 瓦c ，西) g c k ，i = i 喜l c ，s ，g c s ，廊一喜l g c ，c r ，s ，凼l 羔k - il l 已( f ，s ) 1 g ( s ) 一g ( t k ) l d , s c 。l i 瓯( f ，s ) i f s t k i d s ( 2 1 1 ) 注意到i j 一i - m 。a 。x l s , 一岛一ti - d ( 仃“) ，故 ( 2 1 0 ) 喜c l i 以s ) l d s 。( 摊- 1 ) = c l o 卿i 凼。( n “) = 。( 挖_ 1 ) ( i i ) 同理可证。 引理4 若条件一一a ，及( 2 9 ) 式成立，则有 c t ，。s 。u 。p g 。，一喜( l 瓦o ，s ，c 妇) g c ，l = 。( 疗一； 锄，恕一喜( l 眦触) 叫= 。( 证明； ( i ) r ；j v t 【0 , 1 】 l g c d 一喜( l 瓦以s 弦) g 纯) l = g ( d r 瓦( 淞) g ( d 凼i + l ：玩( 淞) g ( s ) 施一砉( l i ( f ，s ) 凼) l 由中定理，2 上式中第- g _ o ( 行 ) ，由引理s 第二项s 。( 阼“) ，故c i ，得证 同理可证( i i ) 。 引理5 若条件4 。- 彳，及( 2 4 ) 式成立，则 9 湖北大学硕士学位论文 m ；，a ；, ，, m ，。a 。xl 再w c t ，j = 。( 栉一：b s 胛 其中k ( ) 2 勺( f ) 一k - ! l 瓦( r ，s ) 峨，f = l ，2 ，啊，= l ，2 ，p 证明： v 1 _ ，s p ，1 s i s 力， 瓦“) i = 卜“) 一喜l e 。q ，s ) d s x 。 卜c t ，一砉l 匕c t 埘凼吩c ，l + | 喜l 玩 , s ) d s u k j l = + l 由弓i 理4 = 。( 胛一；) ，由弓i 理2 五= 。( ”一。g ) 引理6若条件a 3 , a 4 成立， 则磷善n l ，i 已( ，s ) l 幽s c 证明见【1 5 1 引理2 5 。 引理7 若条件a ，- a ，成立，则 其中b 如条件a 。中所定义 证明： 由条件a ， h m 吉善岍。吆 n m = 。 l i m 三霪7 晃；b 呻o h ( 2 1 1 ) 又疗。蝣蝣的( _ ，后) 上的元素： 玎“喜毛孔= 疗。1 喜( 而一喜l ，瓦c t 埘西勤) ( 一喜l ，瓦c 。出) = ，z 。喜 q c t ，+ 一喜l ，瓦纯卿凼勤) 扛c t ，+ 一喜l ，玩辑力凼 = 胛“ u o u a + n瓦( r f ) + 硫( f f ) + 瓦( ) 瓦。( ) 1 月 n月 l j 。il l = li l“i扣lj o 。 j 1 + j ，+ j 。+ j 、 1 0 第二章误差为时问序列过程的半参数回归模堑的小波估计 简记”h a t , ) 一喜l ，e ) 凼h a t a 以= l - i 瓦( ) 。nlq)一善【l，gct,t=l r - |，s ) 凼夕t，- 1 。7 ， = 善n 吃c t ，一喜 喜l ，乓c t 力出h c ，+ u r ， n l k ) = 喜 i ( t ) 一喜l ，瓦( 。，s ) d s h j ( t , ) 一砉l ，瓦( 一凼吻) = 喜 l 一喜l ，玩( 凼勤 = 一i 。玩( ，j ) 凼勤 ，- l 一1 1 j 口璎一联 由a b e l 不等式及引理4 i 碟f = , i lh 。l = l 喜 勺c k ，一喜l ，瓦“，s ，凼l c ，) l s z 麟k 卜喜l ，珧出，1 a lu t k l = 。( 珂一；) + 。( 行一7 ) 。( 以；。g 甩 = 。( 一：b g 厅 + 。( 盯 b g 胛) = 。c 拧， 睃) | = 陲( 言l ，瓦纯卿出) l = 陲扛c 缸，一喜l ，玩 卿凼q c ，) l 2 麟阻眦卿凼1 1 纠 = 。( ，厂；b g 甩) 。( ；k ，g ，z ) = 。c ，力 于是刀“以j 0 ( 当珂_ ) 。 同理矿以一0 ( 当r - - - o o ) 。 而由引理5 i 1 = i 喜毛c t ，瓦。t t ，l 疗 。( 刀一i it 。g 以) = 。c 珂， 湖北大学硕士学位论文 于是，l “以一0 ( 当r l o o ) 。 结合( 2 1 1 ) 引理6 得证。 引理8 设幢) 是满足条件a 的时间序列过程， c ) 是实数序列，整数集上的函数 u ( ) 满足 熙去薯一，l 幽 o _ 1 由引理2 由a b e l 不等式及引理4 ，引理6 坞j = l 喜 喜l ，e 阮, s d s u , 季n ，| _ 陲 喜l ，瓦以川凼蜃g ，) 吻 2 磷喜l ，l 瓦州面i 季 ”i 喜i = 2 豫靴n 陋附； 叫 湖北大学硕士学位论文 = 。( ，z k ，g 疗) = 。( 拧； j 7 万的第个元素为 喜轷喜( 一虬r l ! ，s 弦 ( 鼽眦州凼)i - ii l i 卢l 7 = 喜 _ “，十一言l ，最阢，s ，出c q c ，+ ， 喜l ，玩以, s l d se r = 喜征瓦c t ，+ 吻一言l ，既m 卅凼 喜l ，阶s 协q ) = 喜 喜l ，既h s + 喜 喜l ，岛h s 协q 瓦n ， 一喜 喜l ，玩瞳卅凼喜l ，乜h s 协 = 喜 轧眦州凼嘞) q + 喜倭l ，舭巩* 喜 喜 喜l ，瓯以州凼 l ，瓦h ，西卜 = n t + n 1 一n 3 先估计l 对固定的- ，记q = 喜l ，e 胛【，s d s u u ，则】= 言q q ，由e 。5 。 删a r 倭q 十删= e 睦j = l 窆k = l 惭瓯津喜w 巳吼 = 善n 荟n 乃q 名c ，一= ) l 喜q 。一f 咖，l 女= ii 卢il c 喜口；= c 喜 喜l ，玩魄州西 2 ，- lh ll - l j 由a b e l 不等式及( 2 1 0 ) 式 1 4 ( 2 1 5 ) 第一二章误差为时问序列过程的半参数同归模型的小波估计 上式c 喜 。m ，a x 。l ，瓦m 卅西l 陲1 2 = 行 。( 厅号 。( 刀；b g 胛 ) 2 = 。c 一， 由c h c b y s h c v 不等式 p ( ，玉卜= 警硼 m 鸭阱 与t 的估计类似地有 蹦外喜 轧眦舭蚴 2 = c 鲥砒捌凼巩， 2 蹦”杈玎 2 = d ( 珂， l 故 = 口。0 2 ) 对3 类似地有 删妇喜 喜 轧s 蛐k 叫 刚好窆j - im 叫) 2 ：d ( 蚪， i，l n 3 - = o p 喜毛互= 。，( 玎； = 喜 主 乓 ，- l， ，t ii ! i j 7 占= 毛e 的第，个元素为 - l 喜气q=窆(吻+弓(，)一窆l，瓦n，sdsjffil r - i) q 毛q = l 吻+ 弓( ，) 一l 瓦n ，j q 1 1 湖北大学硕士学位论文 = 善n q + 善n 亏c t h 一喜 砉l ，既融，s 协 占 = m t + m 2 一 以 与1 类似地可证蝎：( 阿；) 邮夸卜杈” + d ( ”，) 卜， ，- 1，l，l 于是鸩= ( 斗做喜聃= n t = l 。， 一l k 将对( 2 1 4 ) ( 2 。1 5 ) ( 2 1 6 ) 式的估计结果代a ( 2 1 3 ) 式得 a - p = ( 弘) 0 ；u , e t + o r ( 厅； k d八l i l ( 2 1 6 ) j 磊( 怠一圆：石f 窆五 。杰u , g + n f 窆茸爿1 _ j ( 1 ) k - l ，- ll 女；i 由引理6 n ( 喜五 - l 斗b 一，t = f 但 疗f 窆。：丁j 旷z 一i 因此只须证 n f 窆吨1 - 。窆m q 与( o , b - i a b - ) ( 2 1 7 ) i = 1l - l 由引理7 及完全类似于【1 6 】中的讨论，( 2 1 7 ) 成立，定理1 证毕。 2 4 厦的均方相合性 定理2 在定理1 的条件下 其中l h l 表示范数，即对f 岛 证：沿用定理1 中的记号 众一0 一o ( 当h 斗o o ) 口( e i , y 1 2 户 6 怠一2 ( 丢牙7 启) “ 丢j 7 季+ 丢j 7 善 = ( 丢牙7 j ) 。b 露+ 丢j 。一寺j 7 歹 i 怠- p = 吁) 。1 惟磨+ 一汐司 护j ) 。阳矧+ 寺附寺忙7 哪 亿蚴 因为是非随机的，因而利用定理1 中( 2 1 4 ) 式的证明 阱闽十) 功 j 7 s 的第，个元素 其中 而i = i + 2 一3 ，l - = 喜 喜l ，毛坼，s ，出蚴) 憋= 喜倭l ，砒凇弧，卜 也= 喜 喜 喜l ，e 以，s 垴蚝 l ，玩敝，s 弦 与定理1 中对应项的估计类似地可证 刷岬= d ( 哟i - - 1 ，2 ，3 故 矽和( 玎；) j 7 占的第f 个元素 其中 月 i 口l = m i + m l m ， f l 瞒= 坳弓 1 7 湖北大学琐j j 学位论文 鸩= 瓦( ) e 坞= 如l ，啪卜 利用定理1 中( 2 1 6 ) 式的估计我们有 。e i 肘：= 口( 力) e = d ( ，1 ) 脚：e 陬e 1 2 ：e 窆勘阱 l i - i j l ，- lt - i j = 至杰u 够8 , e k ；窆窆u u u 。r s ( i 一) = 加，融e “卜s 嘻弓 利用条件( a ) 中( 2 1 6 ) 式( 取矗= 0 ) e m ? = o ( ，1 ) 于是 i l j 7 9 8 = d ( 茚) ( 2 2 1 ) 2 5d a u b e c h i e s 小波数值模拟 众所周知，小波构造可纳入多分辨分析的框架中。由多分辨分析的定义中我们有双 尺度方程 p ) = g 。( 2 t - n ) ，g 。e 1 2 ； ( 2 2 2 ) 可见双尺度方程( 2 2 2 ) 中岛在小波构造中起着非常关键的作用。对于不同的小波g 。也不 相同。为了说明这个方法，本文中我们采用d a u b e c h i e s 紧支集正交小波。 d a u b e c h i e s 紧支集正交小波是人们广泛应用的正交小波，它是紧支集为( o ，3 ) 的 小波。d a u b e c h i e s 在构造正交小波对假设日( w ) = i ( 1 + p “) 】双口一) ，并对双尺度方程 二 ( 2 2 2 ) 的系数作了详细推导【7 l 。在这里本文引用书中的所得的结论，我们这里取 d a u b e e h i e s 紧支集正交小波中的( ) 支集为【0 ，n 】，l = 1 则d a u b e c h i e s 构造正交小波的 第一二章误差为时间序列过程的半参数回归模型的小波估计 双尺度函数的系数为 g o = o 。6 8 3 0 1 2 7 0 1 8 9 2 2 1 9 3 g 。= 1 1 8 3 0 1 2 3 1 5 2 9 7 1 0 4 8 9 2 = 0 3 1 6 9 8 7 2 9 8 1 0 7 7 8 0 7 9 3 = - 0 1 8 3 0 1 2 7 0 1 8 9 2 2 1 9 2 且该小波的双尺度方程为 ( f ) = g o 矿( 2 f ) + g l ( 2 r 一1 ) + 9 2 妒( 2 f 一2 ) + 9 3 ( 2 r - 3 )( 2 2 4 ) 有了上面的理论推导，我们采用这种方法对半参数回归模型中的原函数，( f ) 进行估 计并进行数值模拟。由条件矽：d 0 ) ，令m = 1 ，我们取只：五+ g ( ) + ，其中原 始信号g ( t t ) = p ( 一”。一0 5 ) “，t ，【0 ，1 1 ，t ，= f ，8 ，x ，= h ( t ，) + “，h ( t ，) = t ，一2 t ，2 + 2 t ， = 8 ，蜀，缸，为服从n ( 0 ，0 3 6 ) 的噪声；则有如下数据： z 12345678 0 1 2 5 00 2 5 0 00 3 7 5 00 5 0 0 00 6 2 5 00 7 5 0 00 8 7 5 01 0 0 0 0 “r 1 0 8 1 11 1 2 4 51 7 3 5 71 9 3 7 51 6 3 5 11 2 5 5 9o 2 1 3 50 1 9 8 9 占f 0 3 0 7 50 5 7 2 30 9 7 7 60 4 4 6 81 0 8 2 12 3 7 2 60 2 2 9 30 2 6 6 6 h ( t ，) 0 0 9 7 7o ，1 5 6 3o 1 9 9 20 2 5 0 0o 3 3 2 00 4 6 8 80 6 8 3 61 0 0 0 0 x 10 9 8 3 40 9 6 8 31 9 3 4 92 1 8 7 5 1 9 6 7 1- 0 7 8 7 20 4 7 0 1o 8 0 l i g ( o 0 0 0 0 90 0 4 3 90 4 5 7 8 1 0 0 0 00 4 5 7 80 0 4 3 90 0 0 0 90 0 0 0 0 由以上数据得到我们的观测信号： f ， 1234567 8 m - 7 5 5 8 8- 8 2 7 4 51 4 9 5 9 31 8 0 5 2 91 7 2 7 6 73 8 8 0 93 9 9 0 6 6 1 4 1 9 反复利用( 2 2 4 ) 式，且取“= 鲁( 七= l 2 ，1 2 ) 计算得到庐( ，) 在各个点的近似值： ( f 。) = 0 6 3 7 3 ，0 2 ) 2 0 9 3 3 0 ，0 3 ) 卸6 3 7 3 ，( 0 ) 2 1 3 3 6 6 妒o ，) 2 0 3 4 1 5 ， 庐( ，6 ) 。0 ，( f ，) 2 0 0 9 1 5 ，矿( f 8 ) = 0 3 6 6 1 再计算矽= ( ) 懈，其中；l j e m ( t ，j ) 凼“1 e m ( t , ，s j ) ( 2 2 5 ) 1 9 塑j ! 奎兰堡主兰堡望苎 由( 2 2 ) 式可以近似得到矩阵形的各行各列的值如下： 矽= 0 1 0 1 50 1 4 8 70 1 0 1 50 2 1 3 00 1 5 5 9 0 1 4 8 70 11 6 1 0 2 7 1 3 0 1 4 8 7 0 2 1 7 60 1 4 8 70 3 l1 8o 1 8 1 2 0 1 4 8 7 0 1 2 2 90 2 9 8 3 0 1 0 1 50 1 4 8 70 1 0 1 5 0 2 1 3 00 1 5 5 9 0 1 4 8 70 1 1 6 1 0 2 7 1 3 0 2 1 3 0 0 3 1 1 80 2 1 3 0 0 4 4 6 60 3 2 7 1 0 3 l1 80 2 4 3 50 5 6 9 0 0 1 5 5 90 1 8 1 2 0 11 5 90 3 2 7 10 1 3 0 70 1 4 8 70 1 0 9 3 0 2 4 4 2 0 1 4 8 70 1 4 8 70 1 4 8 7 0 3 1 1 80 1 4 8 7 0 2 1 7 6 0 1 4 8 70 3 1 1 8 0 11 6 10 1 2 2 90 11 6 10 2 4 3 50 1 0 9 30 】4 8 70 ，1 0 3 60 2 2 1 3 0 ，2 7 1 3 0 2 9 8 30 2 7 1 3 0 5 6 9 00 2 4 4 20 3 11 8 0 2 2 1 30 4 8 0 1 d 这时我们利用只= y ，- e ( ) y ，葺= - z ( f ，弦，1 j - n ，n n x , ，只如下； ，lj - l l l23456 7 8 x ， 1 8 6 3 62 1 1 7 11 0 5 4 70 3 4 1 5o 8 9 1 61 9 0 7 40 3 7 8 2l 1 3 6 4 y 1 5 1 7 2 2。1 8 0 7 8 6 7 3 4 6 52 0 8 6 48 1 0 0 11 3 6 1 0 93 3 3 3 51 0 5 1 0 0 因此由p = ( 戈贾) 一1 j p 得到参数卢的小波估计夕= 8 0 6 5 3 ，其绝对误差 爿一夕净。6 5 3 ，相对误差等= 。8 1 6 ，下面考虑非参数估计g ( ) ， 这时，由( 2 3 ) 式和( 2 4 ) 式求得季( ) 如下； z l2345678 g ( ) 0 0 0 0 9o 0 4 3 90 4 5 7 81 0 0 0 00 4 5 7 80 0 4 3 90 0 0 0 90 0 0 0 0 季( ) o 5 1 4 10 5 3 8 0o 5 1 4 i1 0 7 8 20 ，5 0 2 50 6 9 5 30 4 8 2 31 0 2 5 7 比较原始数值和估计函数值，图象模拟如图； 第二章误差为时间序列过程的半参数回归模型的小波估计 由于样本容量较小，因此非参数估计不是很理想，但从图像上的走势看这种方法是比较 有效的方法。 2 l 湖北大学硕士学位论文 第三章小波变换在半参数回归模型中的去噪方法 在实际应用领域中得到的信号总是会混杂着一定的噪声，而噪声的存在严重干扰了 信号的本来面目，不利于进一步的信号分析和处理。因此，在信号的预处理过程中对噪 声加以消除或减小，以便更大程度的提取出有用的信号，是非常必要和重要的。这里主 要考虑与信号无关的自噪声的去噪问题。信号经过去噪处理后，不但信噪比得到提高， 同时信号的一些细节也突现出来了，对后续工作非常有利。 我们把去除信号的噪声并恢复原始信号的过程称为信号去噪。在信号处理领域中， 人们根据实际信号的特点和噪声的统计特征，基于统计估计原理，发展了各式各样的去 噪方法，有时域的和频域的。这些方法基本思想是根据噪声和信号在频域上分布的不同 而进行的，因为在实际的工程中，有用信号通常表现为低频部分或是一些比较平稳的信 号，而噪声信号则通常表现为高频的信号。在实际中，人们总是希望把噪声减小到可以 忽略不计的程度，而完全重构出信号的本来面貌。然而，所采用的算法只是利用噪声的 一些先验知识对含噪信号在最小均方误差意义上进行估计，要想完全消除信号噪声是不 可能的。 近年来，随着小波理论的日臻完善和小波研究的不断深入，小波分析的应用也日趋 广泛。其中，运用小波分析进行信号去噪处理始终是一个热门课题，是小波分析的一个 重要应用之一，并显示出比传统的f o u r i e r 分析更加优越之势。特别地，在实际的工程 应用中，所分析的信号可能包含许多尖峰或突变部分，并且噪声也不是平稳的白噪声， 对这种信号进行分析，进行去噪处理，传统的f o u r i e r 分析显得无能为力，因为它不能 给出信号在某个时间点上的信号变化情况，使得信号在时间轴上的任何一个突变，都会 影响信号的整个谱图。而小波分析由于能同时在时、频域中对信号进行多分辨分析，所 以能有效地区分信号中的突变部分和噪声，从而实现信号的去噪。 随着对小波去噪算法的深入研究，小波去噪方法也丰富起来。到目前为止，小波去 噪方法大致可分为三大类：第一类方法是基于小波变换模极大值原理的，即根据信号和 噪声在小波变换各个尺度上的不同传播特性，提出有噪声产生的模极大值点，保留信号 所对应的模极大值点，然后利用所余模极大值点重构小波系数，进而恢复信号；第二类 方法是对含噪信号作小波变换之后，计算相邻尺度间小波系数的相关性，根据相关性的 大小区别小波系数的类型，从而进行取舍，然后直接重构信号；第三类方法是阅值方法， 第三章小波变换在芈参数闾归模型中的去噪方法 即对小波系数设置阈值，在众多小波系数中，把绝对值较小的系数设置为零，而让绝对 值较大的系数保留或收缩，然后对阈值处理后的系数进行小波逆变换，直接进行小波重 构，即可达到去噪的目的。该方法是基于这样一个思想：信号对应的小波系数包含有信 号的重要信息，其幅值较大，但数目较少，而噪声对应的小波系数是一致分布的，个数 较多，但幅值小。本节在给出阈值去噪的原理之后，着重介绍和分析了小波阈值去噪中 估计小波系数的软阈值和硬阈值方法，最后通过数值模拟验证该方法的可行性。 设有如下观测信号： 】，= 工移+ f + a z( 3 i ) 其中， 】，= ( m ，y 2 ，儿) ， f = ( ( f i ) ，f ( t 2 ) ，f ( t 。) ) 7 ，= ( x 1 ，x 2 ，石。) 7 且 z = ( 毛，8 2 ，s j ，f ( t ，) 为原始信号，岛是服从n ( o ，1 ) 分布的i i d 序列，直接从观测信 号y ，中把有用信号f ( t ，) 提取出来是十分困难的，必须借助于其它变换方法作为工具。 近年来兴起的小波变换理论为信号的去噪提供了强有力的工具，而这种小波分析最重要 的过程就是对小波系数的处理。 3 1 估计小波系数的软、硬阈值方法 小波阈值去噪的基本思路是： ( 1 ) 先对含噪信号y j 做小波变换，得到一组小波系数w ； ( 2 ) 通过对w 进行阙值处理，得出估计小波系数访，使得忡一叫i 尽可能小； ( 3 ) 利用谛进行小波重构，得到估计信号f ( t ) ，即为去噪信号。 本节主要讨论如何进行小波系数估计。 d o n o h 0 1 2 0 1 提出了一种对小波系数w 进行估计的非常简洁的方法。x c y ，连续做几次小波 分解之后，由空间分布不均匀信号- ，n ) 所对应的各尺度上小波系数w 在某些特定的位 置有较大的值，这些点对应于原始信号厂) 的奇变位置和重要信息，而其它大部分位 置的w 值较小，对于白噪声蜀，它所对应的小波系数w 在每一尺度上的分布是寻找一合 适的数旯作为阈值，把低于五的小波系数w ( 主要由噪声占，引起) 设为0 ，对高于五的