（数量经济学专业论文）金融数据的尾部相关性研究.pdf

中文摘要 随着金融研究领域的日益深入，相关性分析在金融应用上变得越来越重 要，投资组合分析、资产定价及金融风险度量等问题都涉及到相关性分析， 而且自上世纪九十年代以来频发的世界范围内的金融危机也凸现出相关性研 究在防范灾难方面的巨大意义。但以往的研究通常只集中在对相关程度的分 析上，丽忽略了对金融市场间的相关性结构或模式特别是其尾部特征的研究。 事实上，即使具有相同相关性强度的两对随机变量，也可能会因为有不同的 相关模式和尾部特征而表现出完全不同的结构特点。因此仅用相关程度来描 述随机变量间的相关关系都是不全面的。 应用c o p u l a 函数技术，可以将相关程度和相关模式的研究有机地结合在 一起。作为连接随机变量边缘分布到联合分布的函数，c o p u l a 函数不仅可以 反映出随机变量间的相关程度，而且可以较好地描述随机变量间的相关模式， 因此可以用不同的c o p u l a 函数来表示不同的相关模式。前人已经提供了将 c o p u l a 函数应用于金融领域的一般性框架，并且对几种常见的c o p u l a 函数进 行了深入的分析和应用。本文的重点就是应用c o p u l a 函数来研究随机变量的 尾部相关性的问题。本文首先对c o p u l a 函数进行了详细的介绍，然后对尾部 相关性进行了定义与归纳，并使用c o p u l a 函数将其表示出来，同时将c h i 图 这一传统方法应用于尾部相关的判断上。然后依据判断的结果对尾部相关性 进行建模处理。从分析方法而言，本文依然沿用前人对c o p u l a 函数方法的框 架性归纳，但本文更强调对尾部数据建模的弹性要求，以及对数据的适应性 要求。所以本文充分利用了c o p u l a 函数的凸组合性质来构建一个弹性的 c o p u l a 函数组合，将不同c o p u l a 函数的优势结合在一起，在实证中也证明了 本文弹性c o p u l a 函数组合方法的优势。 本文的结论是本文的方法能较好的模拟出真实数据相关性的情况，特别 是尾部的特征，在和前人文献中常使用的正态c o p u l a 函数方法和t - c o p u l a 函数方法进行比较时发现，我们的模型在拟合度方面更具优势。 关键词：c o p u l a 函数，尾部相关，混合c o p u l a 函数 a b s t r a c t a l o n gw i t h t h ef i n a n c er e s e a r c ha r e a d e v e l o p i n g t h er e l e v a n ta n a l y s i s b e c o m e sm o r ea n dm o r ei m p o r t a n ti nt h ef i n a n c i a la p p l i c a t i o n i n v e s t m e n t a n a l y s i s ，a s s e t s d i v e r s i f i c a t i o na n dp r i c i n ga n df i n a n c i a lr i s km e a s u r ea l li n v o l v e s t or e l e v a n ta n a l y s i s s i n c e9 0 。st h ef r e q u e n tw o r l ds c o p ef i n a n c i a lc r i s i s ，r e l e v a n c e r e s e a r c hw a sp u l l e dt og u a r d sa g a i n s tt h ed i s a s t e ra n ds h o w e dt h eg r e a t s i g n i f i c a n c e b u tt h ef o r m e rr e s e a r c hu s u a l l ya l lc o n c e n t r a t e si nt ot h ed e g r e eo f r e l a t i v i t y , a n dn e g l e c t e dt or e l a t e ds t r u c t u r eo rt h et a i ld e p e n d e n c ei nt h em o n e y m a r k e t i nf a c t ，t h es a m er e l a t i v i t yo ft w op a i rr a n d o mv a r i a b l e sp o s s i b l yc a nh a v e t h ed i f f e r e n tr e l a t e dp a t t e r na n dt h es p e c i a lp a r tc h a r a c t e r i s t i c t h e r e f o r eu s i n gt h e d e g r e eo fr e l a t i v i t yo rt h el i n e a rc o r r e l a t i o nd e s c r i b ed e p e n d e n c eo fc o r r e l a t i o n d u r i n gt h er a n d o mv a r i a b l ei sn o tc o m p r e h e n s i v e u s i n gt h ec o p u l af u n c t i o nt e c h n o l o g y , m a yt a k et h er e l a t i v i t y a n dt h e c o r r e l a t i o np a t t e r no r g a n i c a h yi n t o t o g e t h e r a st h ec o n n e c t i o no fm a r g i n a l d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，t h ec o p u l af u n c t i o nm a yn o to n l yr e f l e c tt h er e l a t i v i t yo f r a n d o mv a r i a b l e ，b u ta l s om a yd e s c r i b et h er a n d o mv a r i a b l e sr e l a t e dp a t t e r nw e l l t h e r e f o r ew em a yu s et h ed i f f e r e n tc o p u l af u n c t i o nt od e s c r i b et h ed i f f e r e n t r e l a t e dp a t t e r n t h ep r e d e c e s s o ra l r e a d yp r o v i d e da n da p p l i e dt h ec o p u l af u n c t i o n i nt h ef i n a n c i a ld o m a i na n dh a ss u m m a r i z e dag e n e r a lf r a m e a n dh a sc a r r i e do n t h et h o r o u g ha n a l y s i sa n dt h ea p p l i c a t i o nt os e v e r a lc o m m o nc o p u l af u n c t i o n s t h i sa r t i c l e se m p h a s i ss t u d i e st h er a n d o mv a r i a b l eu s i n gt h ec o p u l af u n c t i o nt o d e s c r i b et a i ld e p e n d e n c e t h i sa r t i c l eh a sf i r s tc a r r i e do nt h ed e t a i l e di n t r o d u c t i o n t ot h ec o p u l af u n c t i o n ，t h e nh a sai n d u c t i o nt ot h et a i ld e p e n d e n c e ，a n du s e st h e c o p u l af u n o t i o nt oe x p i r e s si t a tt h es a l n et i m ec h ic h a ri sat r a d i t i o n a lm e t h o d ， w h i c hw a sa p p l i e di nt h ec o r r e l a t i o nj u d g m e n t f i n a l l yc a r r i e so nm o d e l i n g p r o c e s s i n gb a s e do nt h ej u d g m e n tr e s u l tt ot h et a i ld e p e n d e n c e t ot h ea n a l y s i s m e t h o d ，t h i sa r t i c l ec o n t i n u e st ou s et h ep r e d e c e s s o r sc o p u l af u n c t i o nm e t h o d f r a m e ，b u tt h i sa r t i c l ee m p h a s i z e st h ef l e x i b i l i t ya n da d a p t a b i l i t yo fd i f f e r e n td a t a i i d u r i n gm o d e l i n g t h e r e f o r et h i sa n i d ef u l l yu s e dt h ec o n v e xc o m b i n a t o r i a l p r o p e r t yo fc o p u l af u n c t i o nt oc o n s t r u c taf l e x i b l ec o p u l af u n c t i o nc o m b i n a t i o n ， a n dc o m b i n et h ed i f f e r e n tc o p u l af u n c t i o n sp r e d o m i n a n c et o g e t h e r f i n a l l yw e a l s oh a v ep r o v e nt h i sa r t i c l e sf l e x i b l em e t h o di sb e t t e r t h i sa r t i c l e sc o n c l u s i o ni st h a tf l e x i b l em e t h o dc a nb eag o o ds i m u l a t i o no f r e a ld a t ar e l e v a n ts i t u a t i o n ，e s p e c i a l l yt a i ld e p e n d e n c e w h e nw ec o m p a r ew i t ht h e n o r m a lc o p u l af u n c t i o nm e t h o da n dt h et - c o p u l af u n c t i o nm e t h o di np r e d e c e s s o r l i t e r a t u r e ，o u rm o d e ls h o wm o r ep r e d o m i n a n c et h a no t h e r s k e y w o r d ：c o p u l af u n c t i o n ，t a i ld e p e n d e n c e ，m i x e dc o p u l af u n c t i o n 1 1 1 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章序论 1 。1 选题的背景及其意义 自2 0 世纪7 0 年代；f 来，金融风险管理技术在金融动荡的压力下发展尤 为迅猛，全球化的金融机构兼并和混业经营浪潮也对金融风险管理的发展提 出了更高鹃要求。2 0 世纪9 0 年代中期以来，国际金融界经受着各种风险带来 的考验，金融机构面临许多风险来源，监管当局频频出台新的政策，特别是 巴塞色尔银行监管委员会推出巴塞尔新资本协议，更是对金融机构的风 险管理提出了更加严格的要求，传统的统计分析技术在风险管理方面已有不 少贡献，有关测量金融风险的指标、方法和理论已被一些金融机构应用并开 发成软件进行风险管理，v a r 技术就是一个典型的例子，它从出现到现在不蓟 十年时间，却已经广泛推广使用，成为标准的风险分析技术。但当深入分析 就会发现，无论是在风险管理，还是在投资组合的资产配置研究中，资产间 的相关性或者说风险源之间的相关性都是其研究的核心问题。以现代组合理 论的奠基马柯威茨模型为例，其模型的最关键点就是其线性相关矩阵的估计。 另外在全球一体化的进程中，上世纪九十年代发生的五次大的金融危机 使得金融市场间的相关性议题变得越发的重要。这些危机的共同点就是当 个市场发生混乱的时候，很快传播到另外一个国家或是市场，但这种传播却 很难用基本面的因素来解释。所以“传染性”这个词开始变得流行，不管是 在出版物还是学术文章中，专门代表这种现象。需要指出的是，这种传染性 实际上就是一种相关性，尤其是发生金融危机的时候，它代袭一种尾部的相 关性。 在九十年代，金融传染性的戮究，主要集中在“相关娃鹩崩溃” ( c o r r e l a t i o nb r e a k d o w n ) 方面：一个重要的统计现象是，当发生危机时相关 性显著的增加。这方面的文献的例子是b e r t e r o 和m a w r 以及k i n g 和 w a d h w a n i ，他们发现了在1 9 8 7 年的金融风暴中，股票数据的相关性显著的增 加了。同样c a l v o 和r e i n h a r d t 也发现了同样的现象在墨西哥金融危机中，b a i j n 和g o l d f a n 发现了发生亚洲金融危机的时候，亚洲股票市场阅的相关性也显 著的增加了。 武汉理工大学硕士学位论文 传统上，度量相关性的工具主要是线性相关系数，这个工具有着方便理 解、容易计算等一系列优点，在金融学的著作中一直起着一个举足轻重的作 用。但它也有其致命的弱点，就是从本质上来说，线性相关系数是和分布的 多元正态性假设联系在一起的。使用线性相关性作为相关性的度量指标，实 际上就暗含了指标间多元正态分布的假设。而前人的无数次的实证研究已经 表明了金融数据所体现出来的尖峰厚尾性和时变性的。所以使用线性相关性 来度量相关性常常得到误导的结果，这在风险管理和资产配置的应用中，将 会是非常危险的。 于是随着c o p u i a 函数的出现和应用，相关性领域的研究进入到一个全新 的时代。c o p u l a 函数是一个全面度量变量间相关性结构的方法，它的出现改 变了传统的用一两个指标来表示相关性结构的方法，使用一个完整的函数， 全面的表示出变量间的相关性，不仅仅是相关的程度，而是整个相关性结构。 虽然c o p u l a 函数在数学上已经出现了一段时间，但将其应用到金融领域还是 近几年的事，但其显示出的广阔的应用前景已经开始引起学者们的重视。 就研究意义而言，目前金融风险是国际、国内都非常关注的课题，风险 测量和分析技术发展得非常快，它不仅有强大的市场需求，而且可以较快看 到经济效益，风险管理的基础和核心是对风险的测量以及风险的定量分析和 评估，丽相关性砑究又是其重中之重。随着金融市场的发展和金融交易的规 模、动态性和复杂性的增加，以及金融理论和金融工程的快速发展，金融市 场风险测量的技术也变得更为综合、复杂。这促使我们必须使用更为先进， 更为全面的方法来进行金融决策。因此对金融数据进行精密的数量化测量和 建模就有重要的理论意义和实际意义。 1 2 国内外的研究现状 金融市场的相关性在过去十年被广泛的研究，在多元分析的相关性研究中 主要存在三种方法：第一种就是使用多元分布，在理论和实践中的大多数通 常情况下是假设多元分布是正态分布的。在正态分布的假设下，能很方便的 建立起均值方差分析。然而，越来越多的证据显示在现实世界中正态分布的 假设是不合适的，不管是在国内金融市场还是在国际间金融市场上。 多元正态分布方法的核心是相关系数。一般来说，两个市场间拥有较低的 武汉理工大学硕士学位论文 相关系数意味着投资者通过多样化链很好的分散他的投资风险。例如，假设 国内市场年收益和国外市场年收益的线性相关系数为0 2 ，在高斯分布的假设 下，两个市场的联合收益低于5 的概率要小于0 0 0 5 ，即一千年出现5 次。 因此在高斯假设下，投资者通过吸收一部分国外资产来平衡他的组合可以显 著地降低风险。然而我们观察到，各国常常在同一时间或紧随其后发生金 融危机，即使是这两个国家的相关系数很低也是如此。在上面的例子中这种 在概率上每千年才发生5 次的事情，在一个世纪就发生了不止一次。这就反 映出一个问题：即这里面不仅仅有一个相关性程度的问题，还存在一个相关 性结构的问题。不同的市场问，即使有着相同的相关系数，也有着不同的相 关性结构，这种相关性结构导致在高斯假设下的分散化获益发生了变化。 e m b e c h t s 详细的论述了线性相关系数在研究相关性问题上的缺陷和限制。 第二个在实证研究中常使用到的方法是计算条件相关性。这个方法发现在 不同的条件下计算出来的相关性会有很大的不同。a n g e ta l 研究了在市场下 跌的条件下相关性，并且他发现这种下跌能很好的帮助解释组合的期望收益。 他也发现在发生剧烈变动的时候相关性要大于发生细微变化对的相关性。这 种现象就是“相关性的崩溃”。但是1 3 0 y e r 提出，在这种场合下的相关性对于 揭示相关的本质只能透露出很少的内容。这因为即使是稳定的高斯过程也具 有在平稳时间得到较弱的相关性，在剧烈波动时期出现较强的相关性的特点。 所以，虽然条件相关性提供了比非条件相关更多的关于相关性的信息，但结 果同样有时会出现误导性的，这需要研究者谨慎解释。 第三中方法就是在多元分析中用c o p u l a 函数直接来对相关性进行建模。这 也是我们这篇文章所采用的方法。与多元分布方法和条件相关方法比较起来， c o p u l a 模型是一个更方便的建模工具。在数学上，c o p u l a 是一个连接边际分布 到多元分布的函数，不同的c o p u l a 函数意味着不同的相关性结构。在c o p u l a 函数模型中，主要的任务就是选择一个合适的c o p u l a 函数并且准确地将其估 计出来。 1 2 1 国外的研究现状 在统计上c o p u l a 函数已经有很长的研究历史了，s k l a r 最先进行了基础性 的研究，证实了所有有限维的边际分布都可以通过c o p u l a 函数联系在一起的。 随后f r e c h e t 通过研究发现了二元c o p u l a 函数的上下界。但是将其应用到金融 武汉理工大学硕士学位论文 市场却是非常近的事，这个领域发展得相当迅速，n e l s e nr b ( 1 9 9 9 ) 首先 全面的介绍了c o p u l a 函数的各项性质以及几种重要的c o p u l a 函数族。b o u y e ， e ( 2 0 0 0 ) 则对c o p u l a 函数在金融领域的各项用途进行了全面的介绍。 d u r r l e m a ne ta i ( 2 0 0 0 ) 提出了如何正确选择一个c o p u l a 和如何在应用中变 换c o p u l a 函数族的问题，并进行了有益的尝试。d rj o r nr a n k ( 2 0 0 0 ) 将c o p u l a 应用于风险管理领域。m a l e v e r g n e 和s o r n e t t e ( 2 0 0 1 ) 在他们的实证中显示在 大多数的情况下，高斯一c o p u l a 作为连接函数的假设是可以被接受的。c l a u d i o r o m a n o 将c o p u l a 函数应用于美国的股票市场和印度的股票市场，并将两个市 场进行了比较。总结起来，目前的研究主要集中在几种常见的c o p u l a 族方面， 对这几种的c o p u l a 族的研究已经相当的深入，但对于这几种之外的其他相关 性模式的c o p u l a 函数的研究相对较少。在实际地应用中还需要结合数据来判 断应该选择什么样的c o p u l a 函数，但选择的范围也只局限于几种研究地较为 透彻地类型上。 尾部相关性系数的概念最早是由j o eh ( 1 9 9 7 ) 提出，并用c o p u l a 函数把 尾部相关系数表示了出来，后人对尾部风险相关性的研究多是在他的工作的 基础上进行的。r u d i g e rf r e y ( 2 0 0 1 ) 对通常使用的线性相关系数提出了深 刻的批评。w o l f g a n gb r e y m a n n ( 2 0 0 3 ) 对高频数据的尾部相关性运用g a r c h 模型进行了研究。b r e n d a n0 b r a d l e y ( 2 0 0 1 ) 详细论述了厚尾与金融风险的关 系。最近，以j o h a ns e g e r s ( 2 0 0 4 ) 为代表的科学家进一步的把极值理论和 c o p u l a 联系在一起，为我们度量尾部风险的相关性结构提供了有力的理论武 器。 1 2 2 国内的研究现状 c o p u l a 连接函数在金融上的应用在我国才刚刚起步，且其中绝大多数文 献做的是介绍性、引入性的研究，将国外以成型的理论应用于中国的实际中 来。最早见诸的是张尧庭( 2 0 0 2 ) 提出c o p u l a 函数在金融风险领域大有可为。 其后刘国光( 2 0 0 4 ) 将其应用于深圳a 股与b 股相关性研究；史道济( 2 0 0 5 ) 将其应用于外汇组合的相关性；司继文( 2 0 0 4 ，2 0 0 5 ) 分别将其应用于国内 外的股票市场和期货市场；张明恒( 2 0 0 4 ) 则应用c o p u l a 计量方法研究我国证 券市场不同资产的相关性结构。在方法创新方面，韦艳华、张世英( 2 0 0 4 ) 把 c o p l a 应用于g a r c h 模型，来度量金融时间序列的自相关结构；史道济( 2 0 0 4 ) 武汉理工大学硕士学位论文 改进c o p u l a 对数据拟合的一种方法；李平( 2 0 0 5 ) 则探讨了二元数字期权定 价与c o p u l a 函数的关系。关于尾部相关性的问题，目前国内尚无专门的文献 论述，只有少量探讨违约相关性和极值分布的文献略微谈及。如李健伦 ( 2 0 0 5 ) ，朱世武( 2 0 0 5 ) 将c o p u l a 函数应用与度量违约相关性，违约实际 上就是一个尾部事件，另外詹罗瑞( 2 0 0 5 ) 将极值理论和c o p u l a 结合起来探 讨了灾难风险的建模问题。总的说来，目前国内的研究才刚刚起步，很多东 西都还不是很成熟，许多领域都还没有进入，比如将c o p u l a 函数应用于尾部 相关性的研究目前国内才初步进入人们的视线，这也是我们这篇论文研究的 方向。 1 3 思路、创新与论文框架 考虑到我国对于c o p u l a 函数的研究特别是在尾部相关上还相当的滞后， 本文将致力于这方面的研究，以期能使在这方面的研究能有所推迸。在上一 节已经提到，目前国外对几种常见的c o p u l a 函数族已有相当深入的研究，但 相关性结构各不相同，简单的照搬某一种c o p u l a 函数难免会出现系统性的误 差。那如何找到一种能比较弹性化的度量尾部相关性的方法呢? 本文的思路 是通过已知c o p u l a 函数来推导未知的相关性结构。幸运的是目前常见的几种 c o p u l a 函数已经反映出几大类不同的尾部相关性的特点，而c o p u l a 函数又具 有凸组合的性质，所以本文考虑利用凸组合的性质来组合不同的c o p u l a 函数 族，构造出新的c o p u l a 函数来适应不同的尾部相关性的特点。这样就巧妙地 解决了这样一个问题：如何有效选择c o p u l a 函数来适应数据。 与国内的同类研究相比，本文具有许多创新之处，这主要表现在以下几 个方面：一、提供了一种构造弹性c o p u l a 函数来描述尾部相关性的方法；二、 提供了一种对是否具有尾部相关性进行判断的简单图形方法；三、系统的介 绍了c o p u l a 函数相关概念、性质已经建模方法。 本人的内容安排如下： 第一章：导论。介绍了本文选题的背景和意义，对国内外关于c o p u l a 函 数以及相关性研究的现状迸行了简要陈述，并在此基础上提出本文的研究思 路、方法及创新之处。 第二章：c o p u l a 函数。介绍了c o p u l a 函数方法的理论基础，包括c o p u l a 武汉理工大学硕士学位论文 函数的定义、性质及常用的c o p u l a 函数，并论述了c o p u l a 作为一种相关性度 量指标的作用与意义等内容。 第三章：尾部相关性及检验。介绍了尾部相关的概念，以及使用1 2 0 p u l a 函数的表示方法，对几种常见的c o p u l a 函数的尾部特征进行了介绍，最后提 出使用c h i 图的方法来判断数据对的尾部相关性。 第四章：尾部相关性结构的建模。介绍了我们建模的中心思想，并建立 了模型，同时对模型使用实际数据进行了实证和检验工作。 第五章：结论。总结了全文的观点，并给出了下一步的研究展望。 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章g o p u ia 函数 c o p u l a 函数方法是相关性建模的重要方法，且大有成为度量相关性结构 标准方法的趋势。它是本文研究的主要方法，其概念和性质是全文的基础。 考虑到国内对c o p u l a 函数的研究尚处于起步阶段，本章将对其基本理论进行 介绍。 关于系方法的理论，s c h w e i z e r & s k l a r ( 1 9 8 3 ) ，j o e ( 1 9 9 7 ) 和n e l s e n ( 1 9 9 9 ) 都有详细的论述，在这里就( 1 ) c o p u l a 函数的定义；( 2 ) c o p u l a 函数的性质； ( 3 ) 常用的c o p u l a 函数等内容进行简要的介绍。 2 1 c o p u la 函数的定义 根据n e l s e n 的定义，n 元c o p u l a 函数是指具有以下性质的函数c ： ( 1 ) c i ”；【0 1 】”； ( 2 ) c 对它的每一个变量都是递增的； ( 3 ) c 的边缘分布g ( ) 满足：q 0 。) ；c g 1 ，1 1 ) - 球。，其中 u 【o 1 】，n r n 】； 显然根据上面的定义，若存在n 个随机变量x ，工：，一，h ，令h 。等于工。的 积累分布函数， 即社。- f ( x 。) ，n 一1 2 ，n ，那么函数 c 0 ，h ：，h ，) 一c ( f 瓴) ，f 0 。) ，f ) ) 代表了以f 瓴) ，f ( x 2 ) ，( h ) 为边 缘分布的一个多元分布。 s a r 定理：令f 为具有边缘分布，( 巧) ，f ( x ：) ，f ) 的联合分布函数，那 么存在一个c o p u l a 函数，满足： ，( ，z ：，石) 一c ( f 0 1 ) ，f ( x 2 ) ，f ( h ) ) ( 2 - 1 ) 若f ) ，f ( x ：) ，f 0 。) 连续，则函数c 唯一确定；反之，若 f ) ，v ( x ：) ，f ( h ) 为一元分布，那么由上式确定的函数f 是边缘分布 武汉理工大学硕士学位论文 f o 。) ，f ( x ：) ，f o ，) 的联合分布函数。 由此可以看出，c o p u l a 函数本质就是一个由边缘分布到联合分布的映射， s l d a r 定理确立了c o p u l a 函数的一般性与唯一性，它为我们求取联合分布函数 提供了一个便捷的通道，也为我们度量各边缘分布变量的相关性提供了个 全面的数学框架， 就金融应用而言，通常数据建模一开始就给定一个多元分布的假设，而 不是根据数据的特点选择合适的多元分布。最常见的就是在不同资产价格关 系的建模上，分布常常假设要么是多元正态分布，要么是对数正态分布的， 即使这些假设并不合适。但c o p u l a 函数却提供了一种强大的金融数据建模的 方法，因为建模的问题被分解成两各部分： 第一步，确认各自的边际分布； 第二步。定义一个合适的c o p u l a 函数来正确表达它们之间的相关性结构。 另外，通过c o p u l a 函数c 的密度函数c 和边缘分布f “) f o ：) ，f ) ， 可以方便地求出n 元分布函数f ( x ，x ：，却) 的密度函数： ，o ，x z ，h ) c 瓴瓴) f 2 0 ：) ，目) ) ， o 一) ( 2 - 2 ) 其中c t ，m ：，) i 鼍差裂，矗( - ) 是边缘分布疋( ) 的密度函数。 2 2c o p u i a 函数的性质： 为直观起见，下面以二元c o p u l a 函数c ( u ，v ) 为例来说明c o p u l a 函数的 基本性质： 1 ) 对于变量u 和v ，c ( u ，力都是递增的；即若保持一个边缘分布不变，联 合分布将随着另一个边缘分布的增大而增大： 2 ) c ( o , v ) - c ( u ，0 ) = 0 ，c 仉v ) 一c ，1 ) ；u ；即只要有一个边缘分布的发生 概率为0 ，相应的联合分布的发生概率就为0 ；若有一个边缘分布的发生概 率为1 ，则联合分布由另一个边缘分布给出： 武汉理工大学硕士学位论文 3) v u l ，2 ，v 1 ，v 2 【o 御 ， 如果 h lc 2 ，v l v 2 ，那么 c ( u 2 ，v 2 ) - c ( u 2 ，v 1 ) 一c ( u 1 ，p 2 ) + c ( 1 ，h ) 苫0 ；即若边缘分布u ，v 的值同时增 大，则相应的联合分布的值也增大； 4 ) 对任意的“1 ，w 2 ，y 1 ，v 2 e o ，i 有i c ( u 2 ，y 2 ) - c ( u 1 ，v 1 ) fs l u 2 一比l l + p 2 一v 1 i ； 5 ) 若u ，v 独立，则c ( u ，v ) 一u v 。 其中性质1 1 、2 ) 、5 ) 可以扩展到三维甚至更高维的情况，但性质3 ) 、4 ) 只 在二维情况下才成立。 6 ) c o p u l a 函数的线性不变性。若变量x ，y 有c o p u l a 函数c ，且啊和h 2 是递 增连续函数，则o ) 和h ：( ) ) 也拥有同样的c o p u l a 函数c 。 7 ) c o p u l a 函数的凸性组合性质：c o p u l a 函数的凸性组合同样是一个c o p u l a 函数。即若c l o ，v ) 是c o p u l a 函数，那么它的凸组合c m ，d 一芝二 q o ，力对 于任意的n ，且y ? ， 一1 并且 苫0 时，c ，v ) 也同样是c o p u l a 函数。 j - j 。 8 ) c o p u l a 函数的旋转性：让扩一1 - u 和旷一1 一v ，所以旷和矿也同样是标 准的均匀分布的随机变量，并且下面的论述都是正确的： 扩和旷有c o p u l a 函数c 一“，v ) t h + v 一1 + c ( 1 一u ，1 一力 盯和y 有c o p u l a 函数c + q ，v ) ，v c o 一“，v ) u 和旷有c o p u l a 函数c ”0 ，dm u c ，1 一” 如果c ( u ，v ) 是对称的，那么c ” ，v ) 一c 。+ d m ) 2 3 常用的c o p u i a 函数： a g u m b e lc o p u l a 函数族 三 g 0 m ，v ；6 ) 一e x p - ( - h a u ) 6 + ( 一l n v ) 6 】6 ， 6 阻) b c l a y t o nc o p u l a 函数族 上 c d ( “，v ；o ) = 和一8 + v 一4 1 。，0 苫0 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 武汉理工大学硕士学位论文 c f r a n kc o p u l a 函数族 c ，。，口) t i 1i ( 1 + 譬二= - 二= e 掣1 ) ，a 豫( 2 5 ) a一一 d 学生t - - c o p u l a 函数族 魄叼脚j 广广东翥 等写争孚撇泣s ， e 正态c o p u l a 函数族 c 删= = 1 磊刚一署焉瓤班c z - 7 ， 抽( 1 一群) 2 一、一“7 r 1 ，为相关系数矩阵。 2 4 以c o p u i a 函数表示的相关性 在度量相关性的过程中，除了通常使用的线性相关系数外，还有k e n d a l l 秩相关系数、s p e a r m a n 秩相关系数等，在下面我们可以看到这些相关系数都 可以使用c o p u l a 函数表示出来，这说明c o p u l a 函数是更全面表示相关性的方 法，而这些相关系数只是它的一种表达方式罢了。另外上面提到的c o p u l a 函 数的线性不变性也使得了k e n d a l l 秩相关系数和s p e a r m a n 秩相关系数同样具 有线性变换的不变形，这更体现出c o p u l a 函数的优越性。 2 4 1k e n d a l i 秩相关系数f 设( x 1 ，y ) 2 ，y ：) 是独立同分布的向量， ，屯蜀j ，。，y ：y ，令 _ r ；p o ，一z ：) ( ) ，一y 2 ) 0 ( 2 1 1 ) 则说明它们的变化是相反一致的。因此，f 就反应了变化一致与否的程度。 综上所述，我们可以得到以下结论： - $ - = 1 ，表示x 的变化与y 的变化完全一致，所以正相关； - g 一1 ，表示x 的变化与y 的反向变化完全一致，所以负相关； z ；0 ，表示x 的变化与y 的变化一半是一致的，一半是相反一致的，所以不 能判断是否相关。 很明显，对严格单调增的函数s 与t ，有： o ( h ) 一s ( 五2 ) ) 0 ( y 1 ) - t ( y 2 ) ) 0 ( 】1 一x 2 ) ( y 1 一y ：) 0 ( 2 1 2 ) 所以百的值对严格单调增的变换是不变的，这就充分说明了f 作为x ，y 的 相关性指标所具有的优点。 2 4 2 s p e a r m a n 秩相关系数p 设( x ，y ) 有联合分布日0 ，_ ) ，) ，它们相应的边缘分布是f 0 ) 和g ( y ) ，j ， y 。y 且0 0 ，y 。) 一f ) g ( y ) ，即x 0y 。独立。假定( x ，y ) 与o 。，y 。) 也独立，令 p 一3 f 珂0 一x o ) ( y - y o ) 0 一烈g 一砘) ( y 一_ ) ，。) 0 ( 2 - 1 4 ) 表示( x ，y ) 的变化与独立的与y 。变化相一致，这个概率的大小自然也反 映了一种相关性。很显然，它也是对严格单调增的变换不变的，因而它可以 用c o p u l a 函数表示。当 ，y ) 的c o p u l a 函数c ，v ) 给定后，其中u ；v ( x ) ， 武汉理工大学硕士学位论文 v t c ( y ) ，s c h w e t t z e r 和w o l f f ( 1 9 8 1 ) 证明了p 可由相应的c o p u l a 函数给 出： 风( 盖，y ) ，1 2 j e f o c ( x ，y ) d x d y 一3 ( 2 - 1 5 ) 对于独立的c o p u l a 函数，s p e a r m a n 的秩相关系数为0 ，如果两个随机变量x 和y 的线性相关系数为一1 和1 ，那么它们的s p e a r m a n 秩相关系数分别为1 和 1 。 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章尾部相关性及其检验 在金融风险的评估中，我们不光要看资产总体的相关性，我们还需要关 注资产价格尾部的相关性，也就是当发生小概率事件时资产间的相关性，或 者说是当损失超过v a r 值的时候资产间的相关性，只有能准确评估出此时的 相关性才能有效避免金融机构最大的风险“流动性风险”。 3 1 尾部相关性 尾部相关( t a i ld e p e n d e n c e ) 是指二维分布中尾部数据的相关，它是一个 与极值理论联系在一起的概念。在金融风险的分析中，更有意义的是寻找随 机变量的尾部相关性，这一特性用c o p u l a 函数来处理非常方便。引入条件概 率尸 x ， x l i x ：，x ：) ，它反映了股票市场中一种股票价格高涨后，是否会引 起其它股票价格的攀升，从而对股市有较大的影响。用随机变量的语言来描 述，就是j ： 工：时j ，而的概率是否会发生变化，x ，z ：相当大时，就是工， 和x 2 尾部的相关性。若僻1 ，x 2 ) 的c o p u l a 函数为c l ，u 1 ) ，其中u l ，“2 【o ，1 】，容易证明： 科卫1 一l z 2 x 2 ) 一p 1 1 2 1 l u 2 u 2 ) ( 3 - 1 ) 当两，x 2 _ o o 时，“1 ，h 2 - 0 0 ，令 聃，比k ，小蚴l - u z ， 它被称为相关性的分位数相关测度( q u a n t i l e - d e p e n d e n t m e a s u r eo fd e p e n d e n c e ) 。其中函数e ( ，) 为： 0 0 1 ，“2 ) 一p ( u “l ，u 2 “2 ) ；1 - u i 一2 + c 0 ，u 2 ) ( 3 - 3 ) 它与c o p u l a 生存函数的关系是：e 0 。，n ：) = e ( 1 一“，1 一“：) 。这里c o p u l a 生 存函数定义为： 武汉理工大学硕士学位论文 c 1 ，“2 ) 蕾砰i + 雒2 - 1 + c 1 ，h 2 ) ( 3 4 ) 容易求出： c ( u 1 ，“2 ) j u l + “2 1 + c ( u 1 ，u 2 ) = 虿 1 ，h 2 ) = p 石，f “以1 ) ，y g - 1 ：) ) ( 3 5 ) 由此看出，c o p u l a 生存函数e 。：) 实际上表示( 1 一“。，1 一h ：) 的分布函数。 这里重点要考虑“一1 时，九“) 的极限值，如果极限存在，它就反映了尾 部相关性的大小，为此j o e ( 1 9 9 7 ) 构造了尾部相关系数 。 尾部相关系数是一个广泛应用于极值理论的测度，用来表示当一个观测 变量的实现值为极值时，另一个变量也出现极值的概率。尾部相关可以分为 两种：上尾相关和下尾相关。令x 、y 为两个连续的随机变量，具有边缘分 布f ( x ) 、g ( 和c o p u l a 函数c ( x ，y ) ，那么上尾和下尾相关系数分别为： 砧= 曾胁g 4 。) f 孙f ( u ) - l i r a 掣一辫警 ( 3 6 ) 九；躲删c g 。1 ( u l x ，6 鸭) ( 4 - 3 ) 因为连接参数是6 ，d 越大，相关性就越强，通过下面的关系可以更清楚 的看出来： 6 。l( 4 4 ) 1 一f 同样在图1 中显示了密度等高线以及对角线( u - v ) 密度横切面的情况， 很显然g u m b e lc o p u l a 函数对于( 1 ，矩，2 ) 是不对称的，它在右尾有更高的密度。 其形状象一个大写的j ，就市场而言，这意味着这两个市场在环境向好的时候 一起变好，而在市场趋坏时却能很好的分散风险。应该来说，这正是我们进 行资产配置时所寻找的资产特征。 第三个我们用来说明