（信号与信息处理专业论文）基于小波变换的地震数据压缩编码算法及并行化研究.pdf

基于小波变换的地震数据压缩编码 算法及并行化研究 作者简介：杨浩钦，男，1 9 8 2 年6 月出生，2 0 0 4 年9 月师从于成都理工大学罗 省贤教授，于2 0 0 7 年6 月获硕士学位。 摘要 随着地震勘探不断地深入发展，地震资料的处理量和解释量也日益快速增 长，并且在地震数据的传输和存储过程中还含有较大的冗余数据量，因此对地震 数据进行合理的压缩处理已经成为一个重要的研究课题。 为了保证存定压缩比的条件下满足地震数据重建精度的要求，本文根据多 分辨分析思想，利用小波变换对地震数据进行分解得到多个子带，然后根据每个 子带所代表信息的重要程度不同，进行不同策略的量化和编码处理，并对现有算 法和改进后算法的实验结果进行了详细分析。 实验结果表明，改进算法比现有算法具有更大的灵活性，可以根据小波变换 后不同频带小波系数的组织形式，针对重要信息区域和非重要信息区域采取不同 的量化编码策略，这样既能提高压缩比，又能较显著地提高地震压缩数据的重建 精度。 在实际的地震数据处理中，地震数据体一般都相当庞大，串行算法的处理速 度很难满足日益增长的计算能力的需求，因此，研究地震数据压缩的并行化方法 具有现实的意义。本文深入分析了地震数据压缩处理内在的并行性，基于m p i 实 现了地震数据压缩的并行化算法，可显著减少海量地震数据的压缩计算时间。 关键词：小波变换；多分辨分析；量化；熵编码；并行算法 r e s e a r c ho nc o m p r e s s i o na l g o r i t h mo fs e i s m i cd a t aa n d p a r a i l e i i z a t i o nb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m a b s t r a c t a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to fs e i s m i cp r o s p e c t i n g ，t h ea m o u n t so fs e i s m i cd a t a p r o c e s s i n ga n de x p l a n a t i o ni n c r e a s er a p i d l y , a n dl a r g en u m b e r so fr e d u n d a n td a t aa r e i n c l u d e di nt h es e i s m i cd a t at r a n s m i s s i o na n da c c e s s t h e r e f o r e t h er e a s o n a b l e c o m p r e s s i o np r o c e s s i n gt ot h es e i s m i cd a t ai sa l r e a d ya ni m p o r t a n tp r o b l e m i no r d e rt oa c h i e v et h ec e r t a i nc o m p r e s s i o nr a t i oa n ds a t i s f i yt h er e c o n s t r u c t i o n p r e c i s i o no fs e i s m i cd a t a ，t h i sp a p e rd e c o m p o s e dt h es e i s m i cd a t at oo b t a i ns e v e r a l s u b b a n db yu s i n gw a v e l e tt r a n s f o r mb a s e do i lt h em u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ( m r a ) ，t h e na c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n ti n f o r m a t i o nw h i c he a c hs u b b a n d r e p r e s e n t s ，t h ed i f f e r e n ts t r a t e g yo ft h eq u a n t i f i c a t i o na n dc o d i n gp r o c e s s i n gc a nb e m a d e h i sp a p e ri m p r o v e dt h ee x i s t i n gc o m p r e s s i o nc o d ea l g o r i t h mf o rs e i s m i cd a t a ， a n da n a l y s e dt h ee x p e r i m e n t a lr e s u l to f t h ee x i s t i n ga n dt h ei m p r o v e da l g o r i t h m t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l ti n d i c a t e dt h a tt h ei m p r o v e m e n ta l g o r i t h mi sf l e x i b l e r t h a nt h eb a s i ca l g o r i t h m i nv i e wo ft h e i m p o r t a n ti n f o r m a t i o nr e g i o na n dt h e n o n i m p o r t a n t i n f o r m a t i o nr e g i o n ，t h i s p a p e ra d o p t e dt h e d i f f e r e n t s f f a t e g yo f q u a n t i f i c a t i o n a n d c o d i n g ，w h i c hh a se t l l a a n c e dt h ec o m p r e s s i o nr a t i oa n d r e c o n s t r u c t i o np r e c i s i o no f t h es e i s m i cd a t a i nt h ea c t u a ls e i s m i cd a t ap r o c e s s i n g ，t h ea m o u n t so fs e i s m i cd a t ai sg e n e r a l l y h u g e ，p r o c e s s i n gs p e e do ft h es e r i a la l g o r i t h mi sd i f f i c u l tt os a t i s 匆t h ed e m a n do ft h e c o m p u t a t i o na b i l i t yw h i c hg r o w sd a yb yd a y , t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c ho fs e i s m i cd a t a c o m p r e s s i o np a r a l l e l i z a t i o nm e t h o dh a st h er e a l i t ys i g n i f i c a n c e t h ep a p e rr e a l i z e dt h e p a r a l l e l i z a t i o na l g o r i t h mb a s e do nm p i ，i th a so b v i o u s l yr e d u c e dt h ec o m p u t i n gt i m e o f c o m p r e s s i n gt h em a s ss e i s m i cd a t a k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；m u l t i - - r e s o l u t i o n - a n a l y s i s ；q u a n t i f i c a t i o n ；e n t r o p yc o d i n g p a r a l l e la l g o r i t h m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得成都理工大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者导师签名：嗲角赁 学位论文作者签名： 携名铭 2 0 哆年岁月2 5 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑理王太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛登理王太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位论文作者签名： 拐名铭 2 口哆年岁月? 亏同 第1 章引言 第1 章引言 1 1 选题目的和意义 1 1 1 小波分析意义和应用范围 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它 已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。而电子信息技术是六大高新 技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。从数学的角度来看， 信号与图像处理可以统一看作是信号处理( 图像可以看作是二维信号) ，小波分 析的许多应用，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定 不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中，绝大多 数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。 小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析 与图像处理、量子力学与理论物理、军事电子对抗与武器的智能化、计算机分 类与识别、音乐与语言的人工合成、医学成像与诊断、地震勘探数据处理、大 型机械的故障诊断、计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙 的研究与生物医学等方面。 小波分析用于信号压缩是小波分析应用的一个重要方面，其特点是压缩比 高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干 扰。 1 1 2 地震数据压缩的必要性 随着地震勘探工作的不断深入，地震勘探的数据量正在日益快速增长，地 震资料的处理和解释量也越来越庞大，其中数据的冗余量也比较大。同时人们 对远距离快速传输地震数据和其它勘探数据的要求也日益迫切，对这些数据进 行合理的压缩处理已经成为一个重要的课题。 1 2 国内外研究与发展现状 1 2 1 小波变换的产生与发展 小波变换的思想源于人们对非平稳、非线性信号分析的需求。自1 9 世纪8 0 年代f o u r i e r 提出f o u r i e r 变换以来，f o u r i e r 变换一直都是数字信号处理的重要工 具。它可以将一个信号的频率成分以频谱的形式简单而清晰地显示出来，频率 分辨率最高，实现简单。但是f o u r i e r 变换无法判断信号在一个确定时刻的频率， 成都理工大学硕士学位论文 无法反映信号的时频特性，不具有灵活可变的时频窗，对处理非线性问题力不 从心。 g a b o r 变换就是在这种背景下产生的，1 9 4 6 年，d e n n i sg a b o r 弓【入了短时傅 氏变换，也就是人们常说的加窗傅氏变换。它通过采取一定时间的窗函数对信 号进行分析，具有了一定的局部化功能，在研究信号的局部特征方面起了一定 的作用，虽然g a b o r 变换的时间窗可以随参数变化而变化，但是只要窗函数一旦 确定，则窗口的形状也就确定了。显然在整个时域上用大小相同的时窗函数分 析实际信号是不可取的，于是在这种背景之下又产生了小波变换。 小波变换的概念是由法国从事石油物理信号处理的工程师j m o r l e t 在1 9 7 4 年首先提出的，通过信号处理的实际需要经验建立了反演公式，但是当时未能 得到数学家的认可。1 9 8 6 年著名数学家y m e y e r 偶然构造出一个真正的小波基， 并与s m a l l a t 合作建立了构造小波基的同样方法及其多尺度分析，在此之后，小 波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家i d a u b e c h i e s 构造出具有紧支 撑集的正交小波基，对小波的普及起了重要的推动作用。 与f o u r i e r 变换、g a b o r 变换相比，小波变换是一种时间和频率的局域变换， 因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进 行多尺度细化分析( m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) ，解决了f o u r i e r 变换、g a b o r 变换不能 解决的许多困难问题，从而小波变换被誉为“数学显微镜”。 1 2 2 地震数据压缩处理的现状 数据压缩最初来源于信息论，解决数据问的冗余问题，冗余信息要用额外 位来编码，因此减少冗余就可以减少编码位，节省存储空间。近几十年来计算 机技术、网络技术、信号处理技术的发展在很大程度上推动了数据压缩技术的 进步。在多媒体、语音图像、视频方面已经有了一套标准的规范并且取得了很 好的效果。 在地震勘探方面，随着地震勘探技术的应用、地震监测网点的加密、数据 精度的提高以及地震数据本身的特殊性要求，地震数据压缩越来越受到广大科 技工作者的重视，它必将在我国的地球物理勘探领域中发挥重要的作用。 1 3 本文研究的内容与改进点 本文以小波变换基本理论和数据压缩编码基本理论为基础，结合实际地震 数据资料，主要进行了以下几个方面的研究： ( 1 ) 小波变换基本原理与理论的研究，重点研究小波变换的m a l l a t 分解算法 原理以及该算法在地震数据变换中的实际应用： ( 2 ) 数据压缩理论与方法的研究，重点研究r l e 编码、h u f f m a n 编码以及算 第1 章引言 术编码三种编码方法； ( 3 ) 研究地震数据的特点，分析地震波的特征，提取地震参数，根据地震信 号分频性强的特点，以及无损压缩和有损压缩的不同要求选取不同的小波基对 地震数据进行小波分解； ( 4 ) 研究小波变换在地震数据压缩编码中的应用，采用二维离散小波变换对 地震数据进行多级分解得到多个子带，然后根据不同子带之间信息的有效性和 重要性程度的不同，研究不同的量化编码策略； ( 5 ) 重建后地震数据与原始数据的误差分析和研究，分析比较通过采用不同 的小波基函数、设定不同的闽值和不同的量化编码方法所得到重建地震数据之 间的差异； ( 6 ) 地震数据压缩并行化研究及有效性分析，根据地震数据变换编码内在的 并行性特点，研究小波变换压缩地震数据的并行处理算法，并与串行处理的性 能进行比较，分析影响并行效率的几个重要因素。 本文的主要改进点是： ( 1 ) 对基本的闽值计算公式引入算子q 和c ，作为压缩重构信号的品质控 制因子。在基本的数据压缩处理过程中，一般采用单一阈值对数据进行量化处 理，而对于小波变换后的地震数据，因为每个子带所代表的信息重要程度各不 相同，如果仍采用单一阈值处理，则不能保证在取得较高压缩比的同时，满足 地震数据重构精度的要求，或者是满足了地震数据重构精度的要求，却不能达 到较高的压缩比。因此，有必要对基本的阈值计算公式进行合理的改进； ( 2 ) 充分发挥地震勘探数据经小波分解后数据块间内在并行性特点，基于 m p i 实现了地震数据压缩编码并行化算法，并对最影响并行计算效率的几种因 素做出了详细的分析和研究。实验结果表明，对于处理海量的地震数据，根据 计算规模的不同，选取适当的处理器个数进行并行计算时，压缩编码并行化算 法与比串行算法相比能大大的缩短处理时间。 成都理工大学硕士学位论文 第2 章小波变换的基本理论 2 ，1 小波变换概述 1 9 8 4 年法国地球物理学家m o r l e t 在分析地震波的局部性质时，发现传统傅 立叶变换的分析方法难以满足研究的需要，于是引入了小波变换的概念。 傅氏变换的实质是将一个时间序列的波形分解成许多不同频率的正弦波的 叠加。其标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，是信号在时间域与频率域之 间相互转换的工具。傅氏变换的定义： f ( ) = if ( t ) e - j m t d t( 2 - 1 ) 傅氏变换可以将一个信号的频率成分以频谱的形式简单而清晰地显示出 来，频率分辨率最高，实现简单。但是，它无法判断信号在一个确定时刻的频 率，无法反映信号的时频特性，不能表征随时间变化的频率，变换在无限的时 域上进行，不具有灵活可变的时频窗，对处理非线性问题力不从心。 1 9 4 6 年，d e n n i sg a b o r 弓l 入了短时傅氏变换，即加窗傅氏变换： 咆 s ( ，r ) = i ，( f ) g ( f - r ) e j d t ，其中g ( t - r ) 为窗函数 ( 2 - 2 ) 它可以大致反映信号在r 时刻、频率为的信号成分的相对含量。加窗傅 氏变换变换采取一定宽度的时间窗对信号做分析，具有一定的局部化功能，但 是，窗函数一旦确定，则窗口的形状也就确定了。加窗傅氏变换实际上只具有 单一分辨率，如果要改变分辨率，必须重新选择窗函数，因而它适用于分析较 为平稳的信号。 于是在这种背景之下又产生了小波变换，小波变换克服了傅氏变换和加窗 傅氏变换的缺点，实现了高频信号用短时窗，低频信号用宽时窗的方法对实际 信号进行分析，符合客观自然规律。 满足式( 2 - 3 ) 的l f ，。( f ) v ( ，) = t f ，( 上旦) ( 2 3 ) 吖a “ 称为小波基函数，它们是由同一母函数y ( f ) 经伸缩和平移后得到的一组函数序 列。 小波变换的物理意义可以理解为将信号分解到代表不同频带特性的小波空 间上，信号的小波变换，也是信号与小波函数的相似性运算，两者越相似，则 4 第2 章小波变换的基本理论 变换后能量越集中。小波变换的系数则是反映这种相关性强弱的，可以理解为 在信号的某个时刻，含有的某种小波函数成分的量，表征了信号在时频窗内的 信息。 根据小波基函数和加窗傅氏变换窗函数的不同，我们可以得到以下两个图， 分别代表两种变换的时频窗。 2 缸 口= 2 口= 1 l 口= 一 2 图2 - 1 加窗傅氏变换的时一频窗图2 2 小波变换时一频窗 宽4 宽2a a o 宽a a o 由图2 2 可以知道，在小波变换中窗函数其实就是小波函数，通过尺度的改 变，也就是伸缩因子的改变，就可以改变窗口的形状。定义当a = 1 ，b = 0 时的 时频窗为基本窗，设该窗的时窗中心为t 。，时窗半径为缸。，频窗中心为c o 。， 频窗半径为纨，当a ，b 变化时： 时窗中心为，= 圭( b + 6 ) 时一频窗中心为( 二( f o + 6 ) ，a c t ) 。) “ 口 11 时窗半径为a t = 二垃。 时窗宽度为2 a t = 2 二“ 口 口 频窗中心为国= 口频窗宽度为2 = 2 口 频窗半径为= a a m o时一频窗面积为2 a t x 2 = 4 f o 这些结果表明： ( 1 ) 对小波函数的平移，不改变其时窗宽度，也就是当小波函数不被压缩， 仅仅平移b ，则时窗中心也相应移动b ； 1 ( 2 ) 当小波函数l f ，( f ) 经过压缩二和平移为i f ，“( f ) 时，其频窗半径也相应被 “ 1 压缩了二，时窗半径则伸展为原来的口倍。 口 为了更好的理解小波变换在对非平稳信号进行频谱分析时所表现出来的优 势，我们对两组简单的数据分别进行小波变换，一组数据为1 0 0 0 个采样点的平 成都理工大学硕士学位论文 稳信号，另一组数据为i 0 0 0 采样点的非平稳信号，并对实验结果进行对比分析。 平稳信号实验结果如图2 3 所示。 图2 - 3 平稳信号小波变换 在图2 3 中，小波变换将该组信号分解成为一组低频成分分量和若干组高频 成分分量。低频成分分量代表了信号的本征特点，高频成分分量则反映出信号 的细节信息。 从图中我们可以看出，对于平稳信号，小波变换可以像我们所熟悉的傅氏 变换与加窗傅氏变换一样，很好的将各频率成分分离开来，从而可以很容易的 对信号进行频谱分析。 但是在实际的工程实践中，人们所接触到的信号大多是非平稳信号，如本 文所处理的地震数据就是典型的非平稳信号。下组实验表现出了小波变换在处 理非平稳信号中所表现出来的优势。 非平稳信号实验结果如图2 4 所示。 6 第2 章小波变换的基本理论 图2 4 非平稳信号小波变换 在图2 4 中，小波变换同样也将信号分解成为一组低频成分分量和若干组高 频成分分量，对于非平稳信号，我们可以清楚的看到，小波变换不仅可以很好 的将各频率成分分离，还可以清楚的知道信号发生频率变化的时刻，但是傅氏 变换与加窗傅氏变换却不能很好地做到这一点，因此小波变换在分析非平稳信 号时有着傅氏变换与加窗傅氏变换无可替代的作用。 由于地震数据本身也是典型的非乎稳信号，所以小波变换很适合用来对地 震数据进行分析。 2 2 小波变换 2 。2 1 连续小波变换 我们把对信号f ( t ) 的积分变换 c f p 弓( 口，妨2i 厂) i ；f ，。( ，弦= ( 2 - 4 ) 称为连续小波变换【1 1 ，其中 i i ，。( f ) ： 1 | f ，( 上旦) 叫口 “ ( 2 - 5 ) 成都理t = 大学硕十学位论文 称为小波基函数，它们是由同一母函数v ( f ) 经伸缩和平移后得到的一组函数序 列。根据不同标准，小波函数具有不同类型，常用标准有： ( 1 ) 支撑长度：当时间或频率趋于无穷大时，从个有限值收敛n o 的速度； ( 2 ) 对称性：在图像处理中对于避免移相时很有用； ( 3 ) 消失矩阶数：对于信号压缩和奇异性检测很有用； ( 4 ) 正则性：表征函数的光滑性。对信号、图像的重构获得较好的平滑效果以 及信号的奇异性判断很有用。 小波基函数大多以研究者的名字命名，如图2 5 所示。 d b 7 小波函数 m o r l 小波函数 图2 - 5 部分小波基函数 e o i f 5 小波函数 g a u s 小波函数 由于小波变换对f ( t ) 而言是以v ( t ) 为核函数的线性变换， 特性： ( 1 ) 线性 名丁= 舷+ e f 2 c f f 乃( 口，6 ) = a c 阡7 一( 口，6 ) + b c f f 7 z ( 玎，6 ) ( 2 ) 平移特性： 设g ( t ) = f ( t - t o ) n c 陟，7 ：( 口，6 ) = c 呵 ，( 口，b t o ) ( 3 ) 频域特性： 谓g g ( t ) = f ( a t ) 因此它具有下述 ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) 第2 章小波变换的基本理论 f j c 叨：( ，6 ) = ；c 胛j ( a a ，a b ) ( 2 8 ) 。4a 。 ( 4 ) 等内积性： c 哆( 口，6 ) 巾) ，( f ) 钗八n ) ，k ，e ( ) ( 2 9 ) ( 5 ) 能量守恒： 1 c w t ( a , b ) 1 2 竽= qm 1 2 d t 一 2 g 。l l 甲i , o ) l i j 1 dro(2-l 2 2 2 离散小波变换 在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用 的缩放因子和平移参数比较小而已，所以连续小波变换的计算量是惊人的。另 外，连续小波变换不能完全重构的缺陷阻碍了它的应用。因此有必要将其离散 化处理。 目前通行的办法是对尺度进行幂级数离散化，即令口取口= ， 口。 0 ，z ，此时对应的小波函数是- s z y a o - j o 一6 ) 】，j = o ，1 ，2 。对于 位移离散化，通常是对b 进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。为了防止信 息丢失，要求采样间隔b 满足n y q u i s t 采样定理，采样率大于等于该尺度下频率 带通的二倍。当，增加1 时，尺度口增加一倍，对应的频率减小一半。所以在尺 度j 下，由于y ( 口。叫f ) 的宽度是l f ，o ) 的盯o 倍，因此采样间隔可以扩大a 。倍，同 时也不会引起信息的丢失。这样，1 ：f ，。( ，) 就改写成： v ，。j ( f ) = a o - j v ( a o t 一七k )( 2 1 1 ) 于是离散小波变换就定义为： d 胛j ( 口o ，蛾) = jr f ( t ) t g * 旃( o a t j = o ，1 ，2 ，“，k 仨z( 2 - 1 2 ) 二进离散小波并不等同于连续小波的离散小波，它只是将伸缩因子a 进行 了离散化，而对时间域上的平移因子保持连续变化，因此二进离散小波不会破 坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是它所具有的独特优点。我们通常称 的离散小波变换就是二进离散小波变换。 离散小波变换重构公式为： 巾) = c d w t ( j ，t ) i f r 卅( ，) ( 2 - 1 3 ) 9 成都理 大学硕士学位论文 其中c 是一个与信号无关的常量。 2 3 多分辨分析 小波变换是通过多分辨分析例( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s 简称m r a ) 方式实 现对信号的局部化分析的。多分瓣分析是m a l l a t 对小波理论所做的重大贡献，将 计算机视觉中的多分辨分析引入到小波分析中，多分辨分析的主要思想是将 r ( 足) 分解为一串具有不同分辨率的子空间序列，该予空间序列的极限就是 r ( r ) ，然后将三2 ( r ) 中的f ( t ) 描述为具有一系列近似函数的逼近极限，其中每 一个近似函数都是f ( t 1 在不同分辨率空间上的投影。通过这些投影可以分析 厂( f ) 在不同分辨率空间上的形态和特征。 m r a 的定义：设 一) 。是三2 ( r ) 的一串闭子空间序列，如果满足下列五个 条件，则称 一，。为l 2 ( r ) 的一个多分辨分析。 ( 1 ) 单调性： 一一“( 2 1 4 ) ( 2 ) 逼近性： u _ = 2 ( 尺)n _ = o ) ( 2 1 5 ) j e oj e z 从这两个条件可以看出，闭子空间序列是一个包含一个的，他们的极限位置是 ( 3 ) 平移不变性 r ( r ) 3 3 3 _ 一13 ) 0 1 ( 2 1 6 ) l f ，( 2 叫2 f ) y j ( 2 77 2 t - k ) 巧 ( 2 1 7 ) ( 4 ) 二进制伸缩相关性： f ( t ) 矿，铮f ( 2 t ) 一一】( 2 1 8 ) 任意两个相邻子空间之间相差一个二进分辨率，只要知道任意一个子空间中的 基，就可以通过分辨率的二进伸缩，得到相邻予空间中的基，进而可以得到所 有子空间中的基。 ( 5 ) r i e s z 基的存在性： 存在g g o 使l g ( x 一露) i 是i 约r i e s z 基 ( 2 - 1 9 ) 我们可以由r i e s z 基的规范正交化构造出环中的规范正交基，也就可以构造出所 有矿，u ：) 中的规范正交基。 由于 一) 。不是l 2 ( r ) 的正交分解，只是单调的嵌套子空间序列，所以不能 由矿，( _ ，：) 中的基来合成l 2 ( r ) 的规范正交基，但是我们可以从 ) 。通过正交 1 0 第2 章小波变换的基本理论 补的方法构造出l 2 ( r ) 的正交分解子空间序列f 一 ，( o 一= “) ，其中。表 示其前后两个向量空问的直和。这个序列就是我们常说的小波空问序列，我们 可以从w 的基构造出f ( 置) 的基，然后合成全空间的基一小波基。 多分辫分析的分解式： r ( 月) * 一一巧一- 一 矽 囱2 6 多分辨分析的分解式 2 。4 紧支撑小波基的构造 在地震数据压缩编码所采用的小波基函数中，虽然很多小波基函数都具有 良好的光滑性，但是由于它们的支撑是无限的，所以在实际计算数值时需要截 断后进行计算，因此有计算误差，不能实现精确重构，比如s h a n n o n t j 、波、 b a t t l e l e m a r i e d 、波。或者有的小波基具有紧支撑，但是它不连续，比如1 - i a a r t j 、 波，不能很好地表示和分析连续函数值的计算。 而在对地震数据进行小波变换的时候恰好需要具有紧支撑性的连续小波基 函数，这说明构造具有紧支撑性，而且具有较好光滑性的小波基函数在地震数 据压缩编码- # 具有重要的应用。 2 4 1 紧支撑正交小波的构造 构造紧支撑正交小波ij , s l 的充分条件： 用多分辨分析构造小波的基本思想，首先从一个尺度函数妒构造一个正交 尺度函数十，然后计算的两尺度方程所对应的滤波器h ，最后由十与h 构造正交 小波l i ，这个基本过程可以表示成 妒一j h 斗g v ( 2 - 2 0 ) 但在实际中，直接构造尺度函数1 0 或者正交尺度函数口通常是不容易的， 因此我们将稍微改变一下解决问题的思路，即直接从滤波器h 出发，考虑h ，g 在满足一定条件时，它们能够唯一确定一定正交尺度函数，使得h 正好为的 两尺度方程对应的滤波器进而构造出正交小波，这种思路可以表示成 h呻(2-21) 但是一个滤波器序列h = 。 在满足什么条件时，它能够使两尺度方程中的 正交尺度函数存在，进而根据多分辨分析构造小波的方法构造正交小波? 对于 h = 以) 是有限滤波器的情况，即对于离散滤波器 = ，啊，) ，滤波器系 数在什么条件下，两尺度方程 0 一 0 町o 成都理工大学硕十学位论文 d p ( t ) = 、 2 eh k # ( 2 t t ) ( 2 2 2 ) 存在解妒( ，) r ( r ) ，并且它是r ( r ) 中的正交尺度函数。由于 汹：卉华( 2 - 2 3 )妒( ) = 兀竺岩 因此，上述问题可以进一步地表述为，离散滤波器系数在满足什么条件下，无 穷积n 堕喾收敛，并且收敛于r ( r ) 中某个正交尺度函数的傅立叶变换。 j = l 、，二 从多分辨分析可知，若咖为正交尺度函数，h 是对应庐的两尺度函数的滤波 器，则h 必须满足以下条件： ( 1 ) h k h k 。= 6 。， ( 2 - 2 4 ) i ( 2 - 2 5 ) 佗一2 6 ) 其中式( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 是构造正交小波的必要条件，而非充分条件。即满足 这种条件的滤波器h 不能保证由两尺度方程构造出正交尺度函数。因为满足上 述条件的滤波器 ： ，啊， 并不都能使无穷积n 堕掣收敛于三：( r ) 3 = 1 二 中某个正交尺度函数的傅立叶变换驴佃) 。那么我们还需要增加什么条件才能保 证存在正交函数曲使两尺度方程成立昵? m a l l a t 和m e y e r 、c h o e n 和d a u b e c h i e s 等都在这方面做出了重大贡献，下面以d a u b e c h i e s 所证明过的充分条件为例进 行说明，若要保证正交函数毋使两尺度方程成立，则h 应满足以下条件： ( 1 ) h k h k 。= 5 ( 2 - 2 7 ) ( 2 ) = 4 5 ( 2 2 s ) k ( 3 ) p 阶消失矩条件 五( ) = 压( 兰三) ，( e 。) ( 2 - 2 9 ) 其中，当c o = 丌时，f o ( e ”) 0 ，且i f o ( e ”) l 在= 0 2 t t 范围内上界值2 9 一。 这就是说，如果有限滤波器j i z = h o ，啊，h 。) 满足所给定的充分条件中的3 1 2 坐压 嘶一 压 。兀一 = = 玩 回 。 扳 回 第2 章小波变换的基本理论 组个条件，则两尺度方程在f ( 月) 中且仅存在一个解毋( f ) ，并且( ，) 是具有紧支 撑性的正交尺度函数，它的支撑区间是 o ，】。 2 4 2 紧支撑双正交小波构造 由于实际数据压缩中比较有实用价值的小波基是具有对偶性的紧支撑正交 小波函数，而紧支撑正交小波函数除去h a a r j , 波以外都缺乏对偶特性，为了构 造具有对偶性的紧支撑小波只好放弃小波基正交性的要求，来构造具有对偶性 和紧支撑的双正交小波。 我们先来看看正交与双正交的区别何在： 正交：设x 是由一组向量仍，妒：，妒所张成，即 x = s p a n q , i ，| p 2 ，妒( 2 3 0 ) 如果妒。，妒：，妒，是一组两两互相正交的向量，则称其为正交的。分解则是信号 在各个基向量上的投影，如图2 7 所示 图2 7 向量正芟不意图 双正交；设想在空间x 中另有一组向量；，；：，鑫，这一组向量和 纯，仍，9 满足 ( 妒j ，妒， = 1 0f ；( 2 - 3 1 ) 则称其关系称为“双正交”。妒。，妒2 ，妒。称为妒。，妒：，妒的对偶基。如图2 - 8 所示。 成都理t 大学硕十学位论文 j l 蛾 妒2 ，_ 7 ，7 ，7 吼 、 r 、 、 、 妒2 图2 8 向量双正交示意图 妒。，妒：，妒和q o i , r p 2 ，妒。每一组向量之间并不一定具有正交关系，但是 仍上妒，即两组基向量满足双正交关系。 图2 - 9 是一个正交小波m e y e r 小波的例子，图2 1 0 是一个双正交小波b i o r 2 8 的例子。 图2 - 9m e y e r 正交小波图2 - 1 0b i o r 2 8 双正交小波 下面我们讨论怎样构造具有对偶性和紧支撑性的双正交小波，用h 代表低 通综合滤波器，h 代表低通分析滤波器，g 代表高通综合滤波器，g 代表高通分 析滤波器，我们从这四个滤波器出发，采用h ，h ，g ，g 一驴，妒一y ，l f ，的 求解过程构造对偶尺度函数，妒，和对偶双正交小波l f ，y 。以下假设h ，h ， g ，g 都是实系数有限长滤波器。 双正交滤波器的约束条件： 为构造具有紧支撑的双正交小波，假设有限滤波器 ，h ，g ，g 满足以下 各式： 1 4 第2 章小波变换的基本理论 莓以如2 屯 。h 2 k 莓“= 万1tt| v 莓址莓如= 万1 k k ( 2 - 3 2 ) 为双正交滤波器的约束条件。 如果还要所要求的滤波器都是关于0 对称的，则需要增加条件 h 一= h h 。= h 一。 ( 2 3 3 ) 这时约束条件变为： 如咆一 k = 。= 去且厅一= h h = h 一一 ( 2 - 3 4 ) ki二 ：t = ：“= i 1 k 女吖上 一般的双正交小波滤波器满足式( 2 3 3 ) ，但反过来结论并不成立，因为所求 的滤波器还必须使得无穷积n 堕警与n 堕学依次收敛于r ( 尺) 中的函 j = l v ，= l二 数) ，妒油) 。通常这个条件是否满足难以检验。那么h ，h 还需要满足什么 条件，才能使无穷积满足上述收敛条件? 我们这里介绍一种关于消失矩的条件。 小波的消失矩决定了该小波逼近光滑函数的能力，p 阶消失矩意味着小于 p 次的多项式与小波做内积的结果为零，一般光滑函数厂( r ) 都能用多项式来刻 画( 泰勒级数展开式) ，因此，小波的消失矩越高，光滑函数在小波展开式中的 零元就越多。 随着消失矩的增加，一个负面的影响是其支撑长度变宽，运算量增加。有 了消失矩的概念，我们来看一个对于完全重构的有限长滤波器h ，h ，g ，g 给 出了生成r ( r ) 的一个双正交基的充分条件。 ( 1 ) 若有限长滤波器h ，h ，g ，g 满足下式： 成都理_ t 大学硕士学位论文 如咆， k = 如= 去且g 。= ( 一1 ) ”h g 。= ( 一1 ) “h i 一。( 2 3 5 ) i上 地= 如一去 k、z ( 2 ) h ( c o ) ，厅( ) 满足 ( 3 ) 而且 汹= 压( 等- j o 飓。) h ( c o ) = 、, 2 - - ( t 1 + e - , 。) 9j 。( p 。) f 0 ( 2 ) i 2 9 f o ( 2 ：- 0 ) l 2 9 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 则无穷积i 竺i 堕竽与卉堕学依次收敛于r ( 彤中的函数；) ，；沏) ，妒， ，= l二 1 = 1 v 二 妒满足双正交关系，而且相应的尺度函数妒，妒与小波函数y ，i f ，也都有紧支集。 下面给出本文中对于地震数据无损压缩和有损压缩过程中进行小波变换 所分别使用的小波滤波器。 本文在地震数据无损压缩中使用( 5 3 ) j , 波滤波器，用b i o r 2 2 表示，它被广 泛应用于数据压缩领域，而且为j p e g 2 0 0 0 中无损图像压缩的缺省滤波器。小波 函数如图2 1 1 所示，其结构如下： i = 一赤，壶，素，壶，一去 ，= 击万1 h去)拈1 一砺丽丽丽一硒，21 丽西丽f 在地震数据有损压缩中使用( 9 7 ) 小波滤波器，用b i o r 4 4 表示，小波函数如 图2 1 2 所示，它也被广泛应用于数据压缩领域，而且为j p e g 2 0 0 0 中有损图像压 缩的缺省滤波器。其结构如下： 1 6 川兀盎 一 一 第2 章小波变换的基本理论 h o = 0 8 5 2 6 9 7 2 而3 = - 0 0 2 3 8 4 9 3 噍i = o 4 1 8 9 2 4 ， h t l = 0 3 7 7 4 0 2 7 矗“= o 0 3 7 8 2 8 8 红2 = 一o ，0 4 0 4 8 9 8 ， 图2 - 1 1 ( 5 - 3 ) 小波 h 2 = - 0 1 1 0 6 2 4 ， h o = 0 7 8 8 4 8 6 3 垃3 = - 0 0 6 4 5 3 9 ， 图2 - 1 2 ( 9 - 7 ) 小波 2 5 小波变换在地震数据压缩中的应用 对地震信号进行小波变换的基本思想就是将地震信号分解到不同频带的小 波空间上，可以理解为带通滤波，也就是地震信号和小波函数的相似性运算， 具体实现方式则是由多分辨分析思想出发，采用m a l l a t 算法来实现的。 从多分辨分析的分解式出发，通过多分辨分析中相邻子空间之间的二进伸 缩关系，能否找出相邻子空间中，投影系数之间的递推关系，使得小波系数和 尺度系数能简单推算，易于实现，即找出图2 1 3 中各子空间系数之间的递推关 系。 99o c ，七二_ 。c j l ，七二- c 卜2 ，i c j ，i= _ _ 。_ c j 七 哆- 2 ，k ”dj t d 吐t 图2 1 3 各子空间系数之间的递推关系 其中。砧表示原始信号，c ，、d ，。，表示按照某种递推关系分解后所得到的成 分分量。 m a l l a t 算法1 2 1 又称为塔式快速算法，其系数分解的关系可以描述成图2 1 4 所示的向量关系： 1 7 成都理1 ：= 大学硕七学位论文 围2 - 1 4 塔式快速算法分解向量图 有了以上基础，我们可以把把小波变换的应用到与地震数据结合起来，鲋， 表示二维地震数据，首先分别通过低通滤波器日和高通滤波器g 对二维地震数 据矩阵进行行卷积运算，再用日，g 分别作用于采样后的信号，对一组二维地震 数据迸行一次小波分解就得到4 个分解后的部分，即低频低波数鲥。，低频高波 数也枷- 1 高频低波数c d 【哪。，高频高波数码蛳- l ，这样就完成了一次对二维 地震数据的小波分解，在实际操作中可以根据需求来确定小波分解的次数。如 图2 1 5 所示。 图2 15 地震信号的快速分解算法 地震信号是典型的非平稳信号，而且可以将地震剖面当成是特殊的图像来 处理。下面就用小波变换分析单炮地震数据，研究其特点。 一幅地震剖面图可以作为一幅图像，其横向坐标为道数，纵向坐标为反射 时间或采样点序号。经过小波一级分解后得4 个子图像，如图2 1 6 所示，它包括 四部分： 卫弋 q b 卫弋 q 嘎 卫 c 第2 章小波变换的基本理论 ( 0 ，n f 2 ) + ( 0 ，n l 【2 )( 0 ，n f 2 ) + ( n k 2 ，n k ) il i ( n 2 ，n f ) ( o ，n k 2 )( n 观，n f ) + ( n k 2 ，n k ) 图2 1 6 地震信号经一次小波变换后得到的四个部分 i 区：低频、低波数成分，它的频率波数范围为( 0 ，n f 2 ) ( 0 ，n k 2 ) ， 其中n f ，n k 分别为时间及空间方向的尼奎斯特( n y q u i s t ) 频率和波数。这一部 分包含了大部分地震反射能量。压缩过程要仔细对待这部分信息，以降低信息 损失和误差。数据量化时要考虑深浅层的区别； i i 区：低频、高波数成分，其范围是( 0 ，n 舵) + ( n k 2 ，n k ) 。这一信息 区以大倾角反射的能量占优势，其中可压缩的数据较多。但对大倾角反射应该 认真对待，尽量保持其较高的精度。量化时也应考虑深层与浅层的区别： i i i 区：高频、低波数反射部分，其范围是( n f 2 ，n f ) + ( 0 ，n