（基础数学专业论文）广义基仿紧空间类的若干研究.pdf

摘要 本文在文 1 4 】和 1 5 】的基础上对广义基仿紧空间类进行了系统地研究得到 了基中紧空间，基一亚紧空间，强基仿紧空间及强基可数仿紧空间等四种空间的 一些新的刻画定理及相关性质这些研究成果推广了【2 】，【1 0 】和 1 5 】的结论，加深 了我们对广义基仿紧空间类的认识全文主要工作如下：( 1 ) 分别给出基一中紧空间， 基一亚紧空间，强基一仿紧空间及强基一可数仿紧空间的定义及它们之间的关系：( 2 ) 通过对上述空间关系的讨论，将覆盖性质理论的已有结果加以推广，进一步丰富和 发展了广义基仿紧空间类的基本理论 关键词：基一亚紧空间：基一中紧空间；强基一仿紧空间；强基一可数仿紧空间 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t i l d yt h ec l a s s e so fg e n e r a l i z e db a s ep a r a c o m p a c ts p a c e s s y s t e m a t i c a l l yo nt h eb a s i so ft h et e x t 【1 4 】a n d 【1 5 w eo b t a i n e ds o m en e w c h a r a c t e r i z a t i o n sa n dr e l a t e dp r o p e r t i e sa b o u tt h eb a s em e s o c o m p a c ts p a c e s b a s e m e t a c o m p a c ts p a c e s ，s t r o n g l yb a s ep a r a c o m p a c ts p a c e sa n d c o u n t a b l ys t r o n g l vb a s e p a r a c o m p a c ts p a c e s t h ec o n c l u s i o n so ft h e s es t u d i e sh a v ep r o m o t e dt h ec o n c l u s i o n o f 2 ，d 0 a n d 1 5 】t h e s ec h a r a c t e r i z a t i o n sa n dr e l a t e dp r o p e r t i e sh a v ed e 印朗e dt h e r e a l i z a t i o no ft h ec l a s s e so f g e n e r a li z e db a s ep a r a c o m p a c ts p a c e s 1h ep n m a r ys t u d i e si nt h i sp a p e ra r et h e f o l l o w i n g ：( 1 ) w eg i v eo u tm ed e f i n i t i o n s o lt h eb a s e m e s o c o m p a c ts p a c e s ，t h eb a s em e t a c o m p a c t s p a c e s ，s t r o n gb a s e p a r a c o m p a c ts p a c e sa n dc o u n t a b l ys t r o n gb a s ep a r a c o m p a c ts p a c e sr e s p e c t i v e l va n d t h e i rp r o p e r t i e s ；( 2 ) t h r o u g ht h er e l a t e dp r o p e r t i e so ft h ea b o v e d i s c u s s i o n t h ea u m o r h a sp r o m o t e dt h ep r o p e r t i e so ft h ee x i s t e d c o v e rt h e o r y ，f u r t h e re 耐c h e da n d d e v e l o p e db a s i ct h e o r i e so ft h ec l a s s e so f g e n e r a1i z e db a s ep a r a c o m p a c ts p a c e s k e yw o r d s ：b a s em e t a c o m p a c ts p a c e s ；b a s em e s o c o m p a c t s p a c e s ；s t r o n g i yb a s e p a m c 0 耵叩a c ts p a c e s ；c o u n t a b l ys t r o n g l yb a s ep a r a c o m p a c ts p a c e s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年月 日 导师签名： 签字日期：年月 日 广义基一仿紧空间类的若干研究 引言 拓扑学是近代数学一个十分重要的分支拓扑学作为一个学科出现，从 p o i n c a r e 在1 8 9 5 年相继发表的一系列论文算起，至今只有一百多年但是，拓扑 学发展到今天已经成为包括一般拓扑、代数拓扑和微分拓扑等重要分支的庞大学 科，有着丰富的结果和方法一般拓扑作为拓扑学的基础分支，已成为近代纯粹数 学的重要支柱，它的方法和结果不仅深刻地影响着数学其他分支，而且在其他学 科和社会实践中也得到了日益广泛的应用早期一般拓扑学研究的中心课题是关 于空间的度量化问题及关于空间的紧性问题2 0 世纪上半叶，对于度量空间，紧 空间，正规空间，完全正则空间的大量基础性研究工作取得了丰硕的成果，为一般 拓扑学奠定了坚实的基础，但也产生了一系列亟待解决的问题1 9 4 4 年法国数学 大师d i e u d o n n e 引进的概念是一般拓扑学进入全盛时期的重要标志随后拓扑空 间论以惊人的速度迅猛发展，其表现形式是为适应不同的目的而定义或发现各种 各样的拓扑性质，其基本方向是为解决各类问题而对仿紧性与可度量性作各式的 推广这些工作产生了近四十年一般拓扑学研究的重要课题一覆盖性质与广义度 量空间理论从2 0 世纪6 0 年代起，覆盖性质理论一直是一般拓扑学中活跃的研 究方向覆盖性质理论是一般拓扑学研究的重要课题，很多数学家已经在这一领 域取得了显著成果覆盖性质理论的研究有益于刻画空间的覆盖性及可度量性， 增加我们对拓扑空间的理解许多知名学者不断提出大量有挑战性的问题，汇同 一些长期未解决的经典问题成为覆盖性质理论进一步向前发展的源泉覆盖性质 理论还不是完整的，更确切地说，随着每年许多新的重要成果的出现，它还在不断 地向纵深发展 本文主要是在j o h ne p o r t e r 于2 0 0 3 年在文 1 4 】和 1 5 】中引入基一仿紧空间及 强基一仿紧空间的概念的基础上，进一步研究广义基一仿紧空间类的性 质j o h n e p o r t e r 首先提出了比仿紧空间结构更复杂更为重要的“基仿紧空间 的概念，同时对其性质进行了初步的研究，并且提出了关于“基仿紧空间 的四个 公开问题：付传秀在文【5 】中利用可数仿紧空间的性质，给出了基一可数仿紧空间的 定义及其相关刻画；贾永进在文【1 0 】中给出了基一中紧空间的定义并得出了一些 结论本文中作者利用基一中紧空间，基一亚紧空间等概念，通过对其进行条件约束， 获得了基一中紧空间，基一亚紧空间，强基一仿紧空1 8 j 及强基一可数仿紧空间的几个 江西师范人学硕士学位论文 等价刻画及一些映射性质，丰富了广义基一仿紧空间类的研究结果本文主要内容 安排如下： 第一章作为预备部分，给出了全文将要用到的一些概念、符号和结果 第二章给出了基一中紧空间的定义，研究了基一中紧空间在正则性条件下的等 价刻画，讨论了其对闭子空间的遗传性、在完备映射下的逆不变性以及乘积性等； 证明了这三种局部仿紧性均可加强分离性 第三章给出了基一亚紧空间的定义，研究了基一中紧空间在正规条件下的等价 刻画，讨论了其对闭子空间的遗传性、在完备映射下的逆不变性等 第四章研究强基一仿紧空间的可和性及等价刻画，讨论了其在完备映射下的 逆不变性等 第五章给出了强基一可数仿紧空间的定义，研究了强基一可数仿紧空间的映射 性质，讨论了基对闭子空间的遗传性、在正则条件下的等价刻画及在完备映射下 的逆不变性等 2 广义基一仿紧空间类的若干研究 第1 章预备知识 1 1 一般拓扑的基本概念与基本结论 定义1 1 1 设x 是集合，了是x 的子集所成的集族满足： ( i ) o 了，x 了； ( i i ) 若歹( i _ l ，2 ，n ) ，则n ：l 歹； ( i i i ) 若己0 歹( ，r ) ，则u ，e r 己厂，了 则称( x ，了) 是拓扑空间7 是这空间的拓扑了的元素称为开集在没 有必要指出x 上的拓扑了时，通常简单地用x 表示拓扑空间 定义1 1 2 设( x ，歹) 是拓扑空间，x x ，如果u 是x 的子集，满足条件： 存在一个开集v 歹，使得x vcu ，则称u 是点的邻域：点x 的所有邻域构 成的义的子集族称为点x 的邻域系易见，如果u 是包含着点x 的一个开集，那 么它一定是x 的一个邻域，我们称u 是点x 的一个开邻域 定义1 1 3 设( x ，了) 是一个拓扑空间，x x 记甜( 石) 是点x 的邻域 系酣( x ) 的子族y ( 石) 如果满足条件：对于每一个以翻 ) ，存在圪1 夕( x ) ， 使得圪cu ，则称y ( x ) 是点x 的一个邻域基 定义1 1 4 设( x ，歹) 是一个拓扑空间，召是歹的一个子族如果歹中的每 一个元素( 即拓扑空间x 中的每一个开集) 是召中某些元素的并，即对于每一个 u 了，存在矽c 召，使得u = u 畦8 b ，则称8 是歹的一个基，或称召是拓扑空间 x 的一个基 引理1 1 5 集族召是拓扑空间( x ，歹) 的基当且仅当召c 歹，并且对于x 中 的每一开集y 及每一点x v ，存在u ，召，使得x u ，cv 定义1 1 6 设x 和】，是两个拓扑空间，厂：x 岭y ，x x ( 1 ) j t t l 果】，中每一个开集u 的原像厂叫( u ) 是x 中的一个开集，则称映射厂是 从x 到】厂的一个连续映射，或简称厂连续； ( 2 ) j t l 果厂( z ) 的每一个邻域u 的原像厂- 1 ( u ) 是x 的一个邻域，则称映射厂 是一个在点x 处连续的映射，或简称厂在点x 处连续 引理1 1 7 设x 和y 是两个拓扑空间，厂：xjy ，则映射厂连续当且仅当 对于每一个点x x ，映射厂在点x 处连续 3 江两师范大学硕十学位论文 定义1 1 8 设x 和】，是两个拓扑空间，映射：f ：x y 称为一个开映射( 闭 映射) ，如果对于x 中的任何一个开集( 闭集) u ，像集厂( u ) 是】厂中的一个开集 ( 闭集) 引理1 1 9 下列条件等价： ( i ) f 是x 到】，内的闭映射； ( i i ) 对x 的每一子集a ，( 彳) 3 ( 爿) 引理1 1 1 0 映射厂：x 专y 为闭映射当且仅当对任意y y ，任意开集 ucx 且厂- 1 ( y ) cu ，则存在0 ，( 少) 使得厂一( o ，) cu 定义1 1 1 l 设4 是一个集族，x 是一个集合集族 彳nxia 么) 称为集 族4 在集合x 上的限制，记作4 i 引理1 1 1 2 设】，是拓扑空间( x ，歹) 的一个子集，则集族翻y 是】，的一个拓 扑 定义1 1 1 3 设】厂是拓扑空间( x ，歹) 一个子集，拓扑空间( y ，翻，) 称为拓扑 空间( x ，歹) 的一个子空间 定义1 1 1 4 设x 是一个拓扑空间，如果对于任意x x 且彳为x 的闭集，使 得x 芒a ，则存在x 的开邻域u 和a 的开邻域y 使得unv = o ，则称拓扑空间 x 是j 下则空间 引理1 1 1 5 设x 是一个拓扑空间，则x 是正则空间当且仅当对于任一点 x x 和点x 的任一开邻域u ，存在x 的开邻域矿使得vcu 定义1 1 1 6 设x 是一个拓扑空间，如果对于任意x x 和x 中任一不包含 点x 的闭集b 存在一个连续映射f ：x 寸【o ，l 】，使得( x ) = 0 以及对于任一 y b 有厂( y ) = 1 ，则称是一个完全j 下则空间 定义1 1 1 7 设x 是一个拓扑空间，如果x 的每一个开覆盖有一个有限子覆， 则称x 是紧空间 定义1 1 1 8 拓扑空间x 称为局部紧的，如果每一x x 具有一个紧的邻域 定义1 1 1 9 拓扑空间x 称为可数紧空间，如果x 的每一可数开覆盖具有有 限子覆盖 4 ，“义基一仿紧空间类的若干研究 1 2 仿紧空间的基本概念与基本结论 定义1 2 1 空间x 的一个子集族纠称为局部有限的，如果对每一x x ，存 在x 的邻域d ，至多与“中有限个元相交称甜是仃局部有限的，如果酣是可数 多个局部有限族的并 定义1 2 2 拓扑空间称为仿紧空间，如果x 的每一开覆盖具有局部有限 的开加细 定义1 2 - 3 设“，v 是x 的覆盖 ( 1 ) y 是甜的点星形加细，如果族 st ( x ，y ) ：x x ) 是甜的加细 ( 2 ) y 是甜的的星形加细，如果族 st ( b ，v ) ：b 1 夕 是纠的加细 定义1 2 4 设b = u ，：s s ) ，v = v ，：t t 是空间x 的开集 族( 1 ) 酣，1 夕是x 的开覆盖，称v 是酣的精确加细，如果t = s 且对于任意 s s ，形cu 。 ( 2 ) , ，v 是x 的开覆盖，称y 是“的强加细，如果 v ：t t ) 是“的加细 ( 3 ) “，y 是x 的开覆盖，称y 是甜的收缩，如果y 是x 的丌覆盖且y 是纠的 精确强加细，即t = s ，对于任意s s ，形cu 。 引理1 2 5 1 11 】若空间x 的开覆盖酣有局部有限的开加细，则“有局部有限 的精确开加细 定义1 2 6 称映射f ：x y 为准完备映射，如果厂是连续闭映射且对每 个y y ，厂( y ) 是空间x 的可数紧集 引理1 2 7 【4 】 设厂是空间x 到空间】，上的准完备映射， ) 口e 彳是x 中的 局部有限集族，则 厂( ) ) 口彳是空间y 中的局部有限集族 定理1 2 8 l j 对任意空间x ，下列条件等价： ( 1 ) x 是仿紧的； ( 2 ) x 的每个定向开覆盖有局部有限开加细； ( 3 ) x 的每个定向刀= 覆盖有局部有限的收缩； ( 4 ) x 的每个定向开覆盖有局部有限闭加细； ( 5 ) x 是可数仿紧的且x 的每个开覆盖有莎一局部有限开加细； ( 6 ) x 的每个良序丌覆盖有局部有限开加细； ( 7 ) x 的每个良序开覆盖有局部有限的收缩； 5 江西师范人学硕+ 学位论文 ( 8 ) x 的每个良序开覆盖有仃一局部有限开的强加细。 引理1 2 9 【2 】下列论断等价： ( 1 ) x 是亚紧的： ( 2 ) j 的每一定向开覆盖具有闭包保持闭加细覆盖； 定理1 2 1o 【2 】对任意空间x ，下列条件等价： ( 1 ) x 是中紧空间： ( 2 ) x 的每一定向开覆盖具有闭包保持闭加细覆盖厂买使由x 的所有紧集 组成集族加细厂： ( 3 ) x 的每一开覆盖酣具有紧有限的加细v 使对每一x x 万i n t ( s t ( x ，y ) ) 定理1 2 1 1 【l l 】设x 是正则空间，则下列条件等价： ( 1 ) x 是强仿紧空间； ( 2 ) x 的每个开覆盖有局部有限且星形有限的闭加细； ( 3 ) x 的每个开覆盖有闭包保持且星形可数的闭加细； ( 4 ) x 的每个开覆盖有星形可数的闭加细 f i g 理1 2 1 2 【2 8 1 设为强仿紧空间x 到正则空间】，上的闭且开映射，则空间 】，为强仿紧的 本文约定对所涉及的所有拓扑空间x ，如无特别声明，则总假定x 的权 重 国( x ) n o 本文中所涉及的其它有关概念、性质及记号和表示方法都可参见文【3 ，1 l 】 6 ，“义基一仿紧空间类的若干研究 第2 章基一中紧空间 2 1定义及相关概念 定义2 1 1 j 空间x 的集族“称为紧有限的，如果对任意紧集kcx ，使 得k 至多只与甜的有限多个元相交 定义2 1 2 j 空间x 称为中紧的，如果x 的每一开覆盖存在紧有限的开加 细 定义2 1 3 1 0 1 空间x 称为基一中紧空间，如果存在x 的基召，有i b l = 缈( x ) ， 对于x 的每一开覆盖甜，存在矽c 召，使得矽为纠的紧有限开加细 定义2 1 4 i o 】空间x 的子集m 称为相对于x 是基一中紧的，如果存在x 的基8 ，有l b l = 缈( x ) ，对于m 在x 中的每一开覆盖甜( 即x 中的开集族覆盖 m ) ，存在3 cb ，使得目为甜的紧有限的部分开加细，并且mcu 矽 定义2 1 5 【j j 称映射厂：x - - y 为完备映射，如果厂是连续闭映射且对每 个y y ，f 一( y ) 是空间x 的紧集 2 2 主要结论及其证明 引理2 2 1 1 4 j 设b 为拓扑空间x 的基，且l 召l = 彩( x ) ，则存在x 的一个基 矽，使得召c 矽，有l 3 l = 彩( x ) 且矽在有限交，有限并及闭包的补运算下封闭 引理2 2 2 基一中紧空间x 的闭子集m 相对于x 是基一中紧的 证明设x 是基一中紧空间，m 是x 的闭子集，召是x 的基，有i 召l = 国( x ) ， 且合于定义2 1 3 中的条件设“是m 在x 中的任一开覆盖，则纠u x m 是 x 的开覆盖，由x 的基一中紧性，存在b 。cb ，使得矽是甜u x m 的紧有限 的丌加细则b 曰矽：bnm g ) 是甜的紧有限的部分开加细，并且 mcu w ，所以m 相对于x 是基一中紧的 定理2 2 3 设x 是基一中紧空间，m 是x 的闭子集，满足国( x ) = 彩( m ) ， 则m 是基一中紧空间 证明由引理2 2 2 知，m 相对于x 是基一中紧的，因为彩( x ) = 国( m ) ，所 7 江两师范人学硕士学位论文 以m 是基一中紧空间 引理2 2 4 1 1 3 】如果空间x 任一覆盖有一紧有限的开加细则存在精确紧有限 的开加细 定理2 2 5 对于正规空间，下列条件等价： ( o x 是基一中紧空间； ( 2 ) x 存在基召，有i 召i = c o ( x ) ，使得对于x 的每一开覆盖甜，存在矽c 召， 且召覆盖x ，使得b7 中的元构成甜的紧有限收缩 证明( 1 ) j ( 2 ) ：设x 是基一中紧空间，则x 存在一个基召，有i 召i = 彩( 司， 且召合于定义2 1 3 的条件设“是x 的任一开覆盖，对任意的x x ，存在 u “，使得x 虬由x 的j 下规性，存在匕( x ) ，使得x 圪c 吆cv x ， 则1 夕= 圪：x x ) 是x 的开覆盖，所以存在召7c 召，使得召k i 口f ) 是 v 的紧有限开加细由于x 是正规的由文【1 l 】定理2 3 2 2 ，召有一个紧有限收 缩w = i 口f ，则w 也是x 的一个紧有限的开覆盖对任意x x ，存 在口( x ) f ，使得x ( x ) 因为1 3 是空间x 的基，所以存在反召，使得 x 召二c 阿么( x ) ，则召= 色：x x c 7 召，1 3 覆盖x 且x 召lc 7 陟么( 石) 令孝= b ，：x x ，则孝是由召的元的闭包构成的甜的紧有限的加细， 所以( 2 ) 成立 ( 2 ) j ( 1 ) ：设召是x 的基，l 召i = 国( 幻，设“是x 的任一开覆盖，从而存在 召c8 中的元的闭包构成的纠的紧有限加细，由引理2 2 4 知，不妨设召7 为甜 的紧有限精确开加细，从而x 为基一中紧空间 定理2 2 6 设厂：x 专y 为完备满映射，】厂为基一中紧空间，则x 是基一中 紧空间 证明由于厂：x y 为完备满映射，】，为基一中紧空间设岛是】，的满足 基一中紧性的基，贝i lc o ( x ) 功( y ) 设嘞是x 的一基，满足i 取i = 国( x ) 令嘞= 嘞u 厂- 1 ( b ) ：b 讳 u bn 厂- 1 ( 曰) ：b 瓯，b 岛) ，由引 理2 2 1 知，不妨设召y 在有限交，有限并及闭包的补运算下封闭，则可以断定 8 y 是x 的满足基一中紧性的基 事实上，( 1 ) 由鲰的构造可知i 鲰l = c o ( x ) ( 2 ) 设酣= u ：f t ) 是x 的任一开覆盖，不失一般性设甜c 取对于任 意y y ，则厂叫( y ) 是x 中的紧集，则存在有限集，( y ) ct ，使得 厂- 1 ( y ) cu t l ( y ) u 因为f 是闭映射，由引理1 1 1 0 知，存在0 ( y ) 使 8 广义基一仿紧空间类的若干研究 得厂叫( y ) cf 叫( z y ) cu f ，( y ) u 由y 的基一中紧性，y 的开覆盖 k ：y y 有紧有限的开加细昂c 珞， 则 f 叫( b ) ：b 硌 是紧有限的 事实上，若存在紧集kcx ，使得k 与 f - 1 ( b ) ：b 魄) 的无限多个元 有非空交，不妨设为f - 1 ( 蜀) ，f - 1 ( 吃) ，f 叫( 马) ( f c o ) ，即有： k n 厂叫( 局) o g c o ) 因为厂连续，紧集在连续映射下的象仍为紧集，所以 f ( k ) 为y 中的紧集，又厂为满射，则f ( f - 1 ( b ) ) = b e ， 又厂( k ) nf ( f - 1 ( 忍) ) = f ( k ) n 忍0 ( i c o ) 与脚为紧有限的集族相 矛盾 ( 3 ) 对任一b 邑，存在y ( 曰) y ，使得厂叫( 曰) cf q ( ) cu f ，( ) ，( b u f 令召x 忆- - 扩( b ) n uf ：b 3 y ：t ，( 夕( 曰) ) ，则召x 竹是由嘞的元构成 的甜的紧有限的开加细事实上，由戤什的构造知，鲰_ 是甜的开加细覆盖设 c 是x 的紧子集，因 厂叫p ) ：b 召y 是紧有限的。所以c 与 f 叫) ：b 召y ) 有限多个叫( 蜀) ，f - 1 ( 吃) ，f _ 1 ( 域) 有非空相交 ， 从而cc u k 江1 歹- 1 ( 岛) 2u k i = l ( u t e i ( y ( 岛) ) u f n 厂- 1 ( 色) ) ，则c 仅与8 x 什 中有限多个元相交，所以1 3 x 是紧有限的 综上所述，召彳竹为甜的紧有限的开加细，故x 是基一中紧空间 推论2 2 7 设x 是基一中紧空间，】，为紧空间，则x y 为基一中紧空间 定理2 2 8 设x 是基一中紧空间，】，是局部紧的乏的基一中紧空间，则x y 是基一中紧空间 证明设召x 是x 的基，b y 是y 的基，满足l 取l = c o ( x ) ，l 岛l = 彩( 】，) ，且 召x ，b y 分别满足定义2 1 3 的条件则b x 召y 为x y 的基，并且 i b xx b yl = c o ( x ) c o ( r ) 先证】，存在紧有限的覆盖召y - 吃：口人) c1 3 y ，满足对任意的 吃侈 ，吃为紧集 事实上，y 为局部紧空间，对任意y y ，存在0 ( y ) ，为y 中的紧集 且 ：y 】，) 为y 的开覆盖，由y 的基一中紧性，存在召y _ 吃：口人) cb y ， 使得8 y 为 ：y y ) 的紧有限的开加细 再证：对任意的吃召y ，存在0 ，使得吃c 巧，从而吃c ，则吃为 紧集，从而x y 是基一中紧空间 事实上，由定理2 2 7 知，x 吃为基一中紧空间设甜是x y 的任一开 9 江两师范人学硕十学位论文 覆盖，存在c 召xx b y 为x 吃的覆盖且部分加细甜，在xx 中紧 有限令乞= u ：( xx 吃) f lu o u ，吃召y ，口人) ， 则w = u 口人心为紧有限的，因 xx 吃：口八) 是紧有限的，从而w 是纠的紧有限的开加细，且wc 召z x b y ，则xxy 是基一中紧空间 1 0 广义基一仿紧空间类的若干研究 第3 章基一亚紧空间 3 1 定义及相关概念 定义3 1 1 【3 1 空间x 的子集族甜= u 。：s s ) 称为在nx x 是点有限的， 如果和s ：x u 。 是有限的“称为在x 内是点有限的，如果甜在每一点 x x 是点有限的 定义3 1 2 l j j 空间x 称为亚紧空间，如果x 的每个开覆盖都有一个点有限 的开加细 定义3 1 3 【2 】空间x 称为基一亚紧空间，如果存在x 的基屡，有i b i = 国( x ) ， 对于x 的每一开覆盖甜，存在1 3 cb ，使得矽为“的点有限的开加细 定义3 1 4 【z j 空间x 的子集m 称为相对于x 是基一亚紧的，如果存在x 的 基b ，有i b l = c o ( x ) ，对于m 在x 中的每一开覆盖甜( 即x 中的开集族覆盖 m ) ，存在矽cb ，使得矽为纠的点有限的部分开加细，并且mcu 3 3 2 主要结论及其证明 引理3 2 1 基一亚紧空间x 的闭子集m 相对于x 是基一亚紧的 证明设x 是基一亚紧空间，m 是x 的闭子集，召是x 的基，有l b l = 彩( x ) 且召合于定义3 1 3 的条件设“是m 在x 中的任一开覆盖，则“u x m ) 是x 的开覆盖，由x 的基一亚紧性，存在1 3 cb ，使得矽是酣u xl 肘 的点有 限的开加细则w = 曰1 3 i b n m g 是甜的点有限的部分开加细，并且 mcu w 定理3 2 2 设x 是基一亚紧空间，m 是x 的闭子集，满足c o ( x ) = c o ( m ) ， 则m 是基一亚紧空间 证明 由引理3 2 1 知，m 相对于x 是基一亚紧的，由于国( ) - - c o ( m ) ，则 m 是基一亚紧空间 定理3 2 3 设x 为j 下则基一亚紧空间，则存在x 的基屡，1 1 3 l = 彩( x ) ，使得 对于x 的每一开覆盖皓 u ，：s s ) ，存在由b 中的元构成的点有限的精确开加 江两师范大学硕十学位论文 细v 2 圪：s s ) 证明由于x 为基一亚紧空间，存在基召，i 召l = 缈( x ) ，则对于x 的任一开覆 盖泸 u s ：s s ) 存在由召中的元构成的点有限的开加细w 2 ：人) ，对于 任意夕人，取定一个s ( ) s ，使得：cu s ( ) 令k = u 。( ) ：。，则v 2 k ：s s 是由召中的元构成的一个点有限开覆盖， _ l f l 任意s s ，圪c 以 引理3 2 4 【1 1 】正规空间的每个点有限开覆盖有一个收缩 定理3 2 5 对于正规空间x ，下列条件等价： ( 1 ) x 是基一亚紧空间； ( 2 ) x 存在基召，有i 召l = 国( x ) ，使得对于x 的每一开覆盖存在召中的元构 成的点有限收缩 证明( 1 ) j ( 2 ) ：由x 的基一亚紧性，则存在召是x 的基，有l 召l = 彩( x ) 设 u - - 吮：口人 是x 的任一开覆盖，由x 的基一中紧性可知，存在召7c 召，使 得召= 吃：口人 是纠的点有限的开加细由于x 是正规的，结合引理3 2 4 知，召k 吃：口人 有一个点有限收缩 1 2 = 圪：口人) 因v 是x 的开覆盖， 又由x 的基一亚紧性及定理3 2 3 可知，存在b c 召，使得召 = 以：口人 是 y 的点有限的精确开加细，则召 是纠的点有限的收缩，即存在由召中的元构成 的点有限收缩 ( 2 ) j ( 1 ) ：设召是x 的基，有l 召l = 缈( x ) ，u - 虬：口人 为x 的任一 开覆盖，从而有一个点有限收缩召= 吃：口人 c 艿，则召是点有限的且加细 甜，从而x 是基一亚紧的 1 2 广义基一仿紧空间类的若干研究 第4 章强基一仿紧空间 4 1定义及相关概念 定义4 1 1 【1 1 】空间x 的一个子集族4 称为星形有限( 可数) 的，如果么的每 个元至多与4 中的有限( 可数) 多个元相交 显然，空间x 的任何星形有限的开覆盖是局部有限的 定义4 1 2 1 4 】空间彳称为基一仿紧的，如果存在x 的一个基召，有 l 召i = c o ( 司，对于x 的每个开覆盖“，存在召7 c 召，使得召7 是“的局部有限的 开加细 定义4 1 3 【1 1 】空间x 称为强仿紧的，如果x 的每个开覆盖有星形有限的开 加细 定义4 1 4 v 4 】空间x 称为强基一仿紧的，如果存在x 的一个基召，有 i 召l = c o ( x ) ，对于x 的每个开覆盖“，存在艿7 c8 ，使得87 是甜的星形有限的 开加细 定义4 1 5 【1 4 】空间x 的子空间m 称为相对于空间x 是强基仿紧的，如果 存在x 的基召，有l 召l = 缈( 刀，使得m 在x 中的每个开覆盖“( 即x 中开集 族覆盖m ) ，存在召cb ，使得召7 是甜的星形有限的部分加细并且mcu 8 4 2 主要结论和证明 引理4 2 i u l 】( 1 ) 空l h q x 的每个星形可数开覆盖酣是盯一离散的：( 2 ) 设x 是 正则空间，则x 是强仿紧的当且仅当x 的每个开覆盖甜有一个星形可数的开加 细 引理4 2 2 u t l 若空间x 的开覆盖酣有一个星形可数且闭包保持的闭加细 v ，则“有星形可数的开加细 定理4 2 3 设空间x 是正则空间，则下列条件等价： ( 1 ) 义是强基一仿紧空间； ( 2 ) x 存在基召，有l 召l = 国( 抑，使得对于x 的每个开覆盖“，存在 1 3 江两师范人学硕十学位论文 1 3 。c1 3 ，使得召。覆盖x ，且由召。中的元的闭包构成甜的星形有限的加细； ( 3 ) x 存在基召，有1 1 3 i = c o ( 刀，使得x 的每个开覆盖“有一个由b 中的 元构成的星形可数的开加细 证明( 1 ) ( 2 ) ：设x 是强基一仿紧空间，则x 存在一基b ，有1 1 3 l = 缈( 矽， 且召合于定义4 1 4 的条件设“是x 的任一开覆盖，对任意的x x ，存在 u x 翻，使得x 虬由x 的正则性，存在比( x ) ，使得x v xcv xc ， 则v = v x ：x x ) 是x 的开覆盖，所以存在1 3 c 7 1 3 ，使得召”= 屹：口f 是v 的星形有限加细由于x 是正则仿紧的，从而x 是正规的由引理3 2 4 知，召 有一个星形有限的收缩w = ：口f ，且w 也是x 的一个星形有 限的开覆盖则存在召c1 3 ，使得召7 是w 的星形有限的开加细于是 曰：b 1 3 ) 即为由召7 中的元的闭包构成的“的星形有限的加细，所以( 2 ) 成立 ( 2 ) j ( 3 ) ：设甜是x 的任一开覆盖，由条件( 2 ) 知，x 存在一基召，有 l 召l = c o ( 幻，存在1 3 7c 7 1 3 ，使得屡覆盖x 且 b ：b 1 3 ) 是甜的星形有限闭 加细，则矽是“的星形可数开加细，所以( 3 ) 成立 ( 3 ) ( 1 ) ：设正则空间x 满足条件( 3 ) ，由引理4 2 1 知，x 的每个开覆盖有 仃一离散开加细则x 是正则仿紧空间，从而x 是讵规空间设纠是x 的任一 开覆盖，由条件( 3 ) 知，“存在由召中的元构成的星形可数的开加细y 设 v ：s s ) 是y 的一切连通分支的族，则v 2u 。e sv 由于每个v 是连通的 星形可数族，据【“】引理2 4 4 知，每个v 是可数的 令k = 圪咒：n 力) ，cj = u 屹，则c 是开且闭集，并且c 是正规 可数仿紧空间，则c ：的可数开覆盖v 存在精确闭加细 ：刀 彩) 则 c 疗c 珞甩，于是有连续映射五胛：x i ，使得： l n x 玎】c 0 ，正疗【f s n 】c 1 ) 令u 肼= 兀。_ 1 【( o ，1 】，则虬以c 匕疗因为以玎ng = ( 厶lg ) 叫【( o ，1 】，令 u s = 虬以nc ：n 缈) ，则是c ：的可数的函数开覆盖，据【l l 】引理 2 4 1 0 知，m 有一个星形有限的精确开加细心= g 刀：，z y 是准完备开满映射，x 是强基一可数仿紧空间，瓯是 x 的基，满足x 的强基一可数仿紧性则有c o ( x ) c o ( r ) 令珞= ( b ) ：b 玩 ，由引理2 2 1 ，不妨设耳在有限交、有限并及闭 包的补运算下封闭，则反为满足】，为强基一可数仿紧空间的基 事实上，( 1 ) 显然i 耳。l = 彩( 】，) ( 2 ) 设1 夕= 形：f n 是】厂的任一可数开覆盖，故甜= f - 1 ( 杉) ：杉v ) 是x 的可数开覆盖因为对于任意x x ，由于厂为连续满映射，存在y y ，使 得f ( x ) = y 由1 夕为y 的丌覆盖，则存在f n ，使得f ( x ) = y k 1 9 江两师范人学硕七学位论文 ( 3 ) 由x 的强基一可数仿紧性，存在瓯c 反，使得瓯是甜的星形有限的 开加细因厂是准完备映射，则 厂( b ) ：b 瓯) 是星形有限的 ( 4 ) 由厂是连续开满映射，瓯覆盖x ，则 厂( b ) ：b 瓯) 是】，的开覆盖 事实上，对于任意的y y ，厂为开满映射，则存在x x ，使得厂( x ) = y ，则存 在b 瓯，使得x b ，则厂( 石) 厂( b ) ，rf ( b ) 开于】，故 f ( b ) ：b 取) 为】，的开覆盖 ( 5 ) 厂( 召) ：b 瓯) 加细y 由于毋是纠的星形有限加细，即任取b 戤c 瓯，存在f - 1 ( k ) 甜， 使得bc f - 1 ( 形) ，由厂为满映射，则有( b ) cf f 叫( k ) = k ( 6 ) 4 - 珞= 厂( b ) ：b 瓯) ，则瓯”是由耳中的元构成的y 的星形有 限开加细 综上可知，】，是强基一可数仿紧空间 推论5 2 9 强基一可数仿紧空间在完备满映射下的象是强基一可数仿紧空间 定理5 2 1 0 强基一可数仿紧空间在完备满映射下的逆象是强基一可数仿紧空 间 证明设f ：x 专y 是完备满映射，】，是强基一可数仿紧空间耳是】，的 基，满足】，的强基一可数仿紧性则有c o ( x ) c o ( r ) 设臻是j 的基且 l 取i = o j ( x ) 令矽x = 嘞u f - 1 ( b ) ：b 印 u bnf - 1 ( b ) ：b 鲰，b 印) ， 则矽x 是x 的基，由引理2 2 1 ，不妨设矽x 在有限交、有限并及闭包的补运算下 封闭，n 有- b x 为满足彳是强基一可数仿紧空间的基 事实上，( 1 ) 显然l 3 xi = c o ( x ) ( 2 ) 令甜= ：f 力 矽x 是x 的可数开覆盖设7 是有限多个自然数 所成之集，r 是所有7 构成的集合则r 是可数集对每个y f ，令 u y = u i y ，则对于任意y y ，f 叫( 少) 为x 中的紧集，由于翻为x 的可数 开覆盖，则存在某个，使得f 叫( 少) cu ，对于任意7 f ， 令弓= 少y ：厂1 ( j ，) c ) ，则u y e f 弓- - y ，且厂- 1 ( 邑) c ( 4 ) 由于f 为闭映射，由引理5 2 3 知，存在x 中的歼集，使得 厂_ 1 ( 勺) c c ，哆= 厂1 厂( ) ，且厂( 眵) 是y 中的开集，则有 w = 厂( 0 ) ：r ) 为】厂的可数j _ f 覆盖由y 的强基一可数仿紧性，w 存在星形 有限的丌加细蹄。c 珞，则： 广义基一仿紧空间类的若干研究 ( 5 ) f - 1 ( b ) ：b 召y ) 也是星形有限的 如若不然，则存在厂_ 1 ( b ) e f - 1 ( b ) ：b 召y ) ，使得厂叫( 曰) 与 f - 1 ( b ) ：b 召y ) 中无限多个厂_ 1 ( 毋) o c o ) 有非空交即： 厂_ 1 ( b ) n 厂- 1 ( 岛) o ( f c o ) ，则有bn 岛o ，b ，马e , r ( f c o ) ，这与 与印是星形有限的相矛盾 ( 6 ) 对于任意b 匆，存在厂( b ) f ，使得厂叫( 曰) c 厂1 ( 厂( ( b ) ) ) = y ( 口) cu r ( s ) 令翰”- - 叫( b ) n ：b 印，f 厂( b ) ) ，则欺”为由骸的元构 成的断的星形有限的开加细 综上可知。x 为强基一可数仿紧空间 2 1 江两师范大学硕十学偷论文 参考文献 【1 】曹金文o r t h o 一紧空间的逆极限性质【j 】纯粹数学与应用数学，2 0 0 2 ，1 8 ( 4 ) ： 3 5 6 3 6 1 【2 】邓小彬几乎弱秒一空间与基- 亚紧空间 d 】【硕士学位论文】成都：成都理工 大学数学系，2 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