（基础数学专业论文）一类非线性方程组唯一性定理及其应用.pdf

摘要 本文主要给出一类非线性方程组的唯一性定理及其在三个方面的应 用，分四部分 第一部分，一类非线性方程组的唯一性定理 定理1 设函数列兄( z 。，x 2 ，z n ) ，k = 1 ，2 ，n 及其偏导数 a r k ( x 1 ，x 2 ，z n ) 锄，七，j = l ，2 ，n 在连通区间d 内连续若对于每 一个m ，1 m 7 1 , 及任意给定的n m 个值 + l ，) ，存在一组值 【g 哪，s 哪) ，l m ，一= 1 ，k = 1 ，2 ，m ，使得含m 个未知数z l ，2 2 ，z m 的方程组 f k ( x l ，x m ，+ l ，) = 0 ，k = 1 ，m( 1 ) 总有解x = z k ，k = 1 ，m ，且解满足 塑鱼萼坐业二型：o ，kc j ，七，j ：1 ，m ( m 2 ) dx 4 、 和 f - r n ，k 坠组_ 挚堕划 o ，尼：1 ，m ，_ - 一7u ，尼2 上，7 乃 o x k 则对于每一个m ，1 仇n 和任意给定的一组值 y m + l ，】，方程组 ( 1 ) 有唯一解 特别地， - 3m = n 时，方程组( 1 ) 有唯一解 第二部分，唯一性定理在幂正交多项式方面的应用 定理2 设咖为( n ，b ) 上的测度，且l a c ( a ，6 ) 又设m i n l 七如m 忌= 1 时，p c 1 ( o ，b ) 且p 协) 0 ，z ( n ，6 ) 则存在唯一的向量x x 满足 圣nx ) = i n f y 又圣。( y ) 应用唯一性定理1 ，给出此定理另一个简单的证明 t 第三部分，唯一性定理应用于广义c h e b y s h e v 系上g a u s s 型求积公式 此部分与第四部分考察的结点向量为： x l ：= x = ( x l ，z m ) ：a x l 勋 z m 6 ) ， x 2 ：= x = ( x m + 1 ，z ，1 ) ：a x m + l ，x 叉，e 。为 将插值矩阵e 中每行( 七，m 七一1 ) ，1 k m 位置的1 去掉所得到的矩 阵，s ( x ；z ) 如( 2 ) 所示 定理5 设定理f 的假设成立，又设m a n l 0 ，k = 1 ，m t h e n f o re a c hi n d e x m ，1 m n ，a n d f o r e a c hg i v e ns e to l v a l u e s + l ，蜘) ， t h es y s t e mo fe q u a t i o n s ( 1 ) h a sau n i q u es o l u t i o n i np a r t i c u l a r , t h es y s t e mo fe q u a t i o n s ( 1 ) w i t hm = nh a sau n i q u es o l u t i o n t h es e c o n dp a r ti sau n i q u e n e s st h e o r e m sf o rp o w e ro r t h o g o n a lp o l y n o m i a l t h e o r e m2 l e t 中b eam e a s u r eo n ( a ，b ) s a t i s f y i n gp c ( a ，6 ) a s s u m e ， f u r t h e r , t h a tp c 1a ，b ) a n d 弘7 ( z ) 0 ，z ( a ，6 ) ，i f m i n x k nm k = 1 t h e nt h e r e e x i s t sau n i q u ev e c t o rx xs a t i s f y i n g 圣n ( x ) = i n f y 叉圣n ( y ) w eg i v eas i m p l ep r o o ff o rt h et h e o r e mb yu s i n gt h e o r e m1 v t h et h i r dp a r ti sau n i q u e n e s st h e o r e mf o rag a u s s i a nq u a d r a t u r ef o r m u l ao f a ne x t e n d e dc h e b y s h e vs y s t e m i nt h i ss e c t i o na n dt h ef o r t hp a r t ，w ed e n o t et h ec o n s i d e r e dv e c t o r ： x l：= x = ( x l ，) ：a x l x 2 z 仇 吣， x 2：= x = ( x m + l ，z n ) ：a x m + l z n 6 ) ， x ：= x = ( x l ，x 2 ) ：x l x t ，x 2 x 2 d e n o t eb ya k j ( x ) p nt h ef u n d a m e n t a lf u n c t i o n sf o rt h eh e r m i t ea n db i r k h o f f i n t e r p o l a t i o n ，s a t i s f y i n g 4 慰( ) = 妨p ，p = o ，1 ，m q 一1 ，q = 1 ，2 ，n 眙a l s od e n o t e ： s ( x ；z ) = s g n n 1 - i ( x - x k ) 胤， k = l c 知j = c 膏j ( d p ，x ) = j a b a k j ( z ) s ( x ；z ) d p ( z ) ( 2 ) t h e o r e m3l e tub ea n ( + 1 ) 一d i m e n s i o n a le x t e n d e dc h e b y s h e vs p a c eo n 【a ，6 1 a n dl e tam e 口l , s u r ed 丘s u p o r t e do n 【a ，6 】s a t i s f yt h a t # v i a ，6 】w h e nm i n i 一 k 一 0i n ( a ，6 ) t h e ni o rag i v e nv e c t o r x 2 x 2 ，t h e r ee x i s t sau n i q u ev e c t o rx l x ls u c ht h a tf o rx = ( x l ，x 2 ) ，r e l a t i o n 埘t ht h ep r o p e r t y ：ab u ( z ) s ( x ；z ) d p ( z ) = i se x a c t f o re v e r y 札u nm k 一1 f f t - t ：t k = lj - - o ( x ) 缸( j ) ( 孤) c k , i n k - - l ( x ) = 0 ，k = 1 ，m( 3 ) a g a i nw ec a ng i v eas i m p l ep r o o ff o rt h et h e o r e mb ya p p l y i n gt h et h e o r e m1 v i t h ef o r t hp a r ti sau n i q u e n e s st h e o r e mf o rg a u s s i a nb i r k h o f fq u a d r a t u r ef o r - m u l a f i r s t l y , b a s i so ft h er e s u l t st h ef o r m e rg o t ，w eo b t a i nt w ol e m m a s u n d e rt h e f o l l o w i n gl e m m a s ，w ew i l lg e tt w om a i nt h e o r e m se a s i l y t h e s el e m m a st h e m s e l v e s a r ei m p o r t a n tr e s u l t s ，t o o h a v e l e m m a1 乃r 五z e di n d i c e s 惫，j ，w i t he k , j = 1 ，e k , j e ，a n d1 r n ，w e oak,j(x；x)o：一a旨1(x；z，)a，巾(x；z)zr e 名l “幻v 叫“烈4 山p l e m m a2l e td 丘b eam e a s u r es a t i s f y i n g 肛c a ，6 】a n dl e ta nn ( n + 1 ) p 6 1 y am a t r i xe c o n t a i nn oo d dn o n - h e r m i t i a ns e q u e n c e s s u p p o s et h a te a c ho ft h e r o w s1 k mi sh e r m i t i a n l e t1 七，r m t h e n 百0 g k ( x ) = f 掣嘶川z ) 一= j 一11x一，：ifzf正l：r：l a z r 厶 a z r “r “7 “r 、“7 矿m k 2i nt h ec a s ew h e nr = k m e a n w h i l e ， o a k ，m k 一1 ( x ；z ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一：= = ：一 o x ， e a , p 2 l a 跣：) 。( x ；) a ，护( x ；2 ) m o r e o v e r , 矿y o rag i v e nv e c t o rx 2 x 2 ，av e c t o rx l x li s as o l u t i o no ft h es y s t e m o fn o r m a le q u a t i o n s 瓯( x ) = 0 ，k = 1 ，2 。，m ， t h e n f o r x = ( x l ，x 2 ) a n d1 七，j m ，r e l a t i o n o a 七( x ) 8 茁j = 0 ) 的解而后r 1 1 u r 缸和t c h a c k a l o f f 等人对于多 重结点求积公式的研究取得了一些重要结果从而揭开了幂正交多项式 与多重结点的g a u s s 型求积公式的研究序幕 正交多项式与幂正交多项式是不同的，即一类是线性问题而后者是 非线性问题，前者是后者的一种特殊情形这表明了幂正交多项的研究 式较之正交多项式更不易( 参见s h i 3 1 1 ) 令p ( z ) 为定义在( 口，6 ) ，一o 。sa b + o 。上的非减函数，它有无穷 多个递增点，且础的所有矩量为有穷的我们将其称为测度 令n n ，假设m 1 ，r n 2 ，r n n 1 是任意实数对于向量 m = ( m l ，m 2 ，) 2 一类非线性方程组唯一性定理及其应用 和 x ：= x = ( x l ，x 2 ，z n ) ，a x l x 2 0 ，( 1 2 5 ) 下，b o j a n o v ，b r a e s s 和d y n 【6 】又将其结论推广到了 m 七) 为任意正整数的 情形在假设( 1 2 5 ) 下，对于m 七= q q k ，q 1 是任意实数，q k 都为正整 数的情形，运用归纳法，对于m 七1 为任意实数的情形运用一种拓扑 方法，b o j a n o v 3 ，4 】论证了极值问题( 1 2 1 ) 解的唯一性【3 ，4 】中的拓扑方 法，b a r r o w 曾在【1 】中第一次使用之后s h i 3 1 1 使用b o j a n o v 【3 】的思想的一 个修正，去掉假设( 1 2 5 ) ，证明了m i n 。 0 ，x ( o ，6 ) 则 存在唯一的向量x x 满足以2 f 少同时以下叙述等价 ( a ) 向量x 满足以2 f ，j ( b ) 向量x 是规范方程组p 2 纠的解； ( c ) 向量x 满足正交关系式以2 砂 1 3g a u s sh e r m i t e 求积公式 我们先介绍h e r m i t e 插值的基本多项式，因其在h e r m i t e 插值和g a u s s 型求积公式中起着至关重要的作用在本部分 n n ，m 七n ( 尼= 1 ，2 棚) ，m - - 燃n ：= m 七一1 给定一个结点组a = 铷z 1 z 2 1 ，k = 1 ，2 ，m ，m o + m 1 + + m n + 1 = + 1 再 给定结点组口= 黝 z m + 1 z 计1 = b ，则陋，6 】中存在唯一的结点组 z l z 2 z m 使得 s ( x ；m ；x ) u ( x ) d x c k j u ( j ) ( 埘， ”口 k = oj = o 同时附有性质吼，m 一1 = 0 ，k = 1 ，m ，其中 n s ( x ；r e ；x ) = a ( x ) s g n1 - i ( x - x k ) m k k - - - 1 本论文在第三章给出此定理简便的证明 1 4g a u s sb i r k h o f f 求积公式 我们首先考虑一个插值问题给定结点组 x l x 2 z n ， 和一组数据y k j ，需确定一多项式p p n 满足下述+ 1 个方程组 ( 1 4 1 ) 对于任意的k ，( 1 4 1 ) 中j 阶o = 0 ，1 ，m 七一1 ) 导数形成一连续序 列，这是h e r m i t e 插值问题，特殊情形，当所有m 七= 1 时，即为l a g r a n g g e 9 硕士学位论文 插值问题然而，如果某些序列不连续，这就属于b i r k h o f f 插值问题了 显然( 1 4 1 ) 的可解性等价于+ 1 阶系数矩阵的非奇异性这足以说明 ( 1 4 1 ) 的可解性很难确定如果有解也难以得到明显的表达式，只有在某 些特殊的情况下可得到解的较复杂的表达式，却并不便于研究一直以来 人们的主要研究工具为r o l l e 定理以及一些特殊行列式( 如v a n d e r m o n d e 行列式) 的结果 1 9 0 6 年b i r k h o f f 发表了第一篇关于b i r k h o f f 插值的文章，之后b i r k h o f f 插值理论得到了较快的发展人们自然而然想到将h e r m i t e 插值中得到的 许多重要结果推广到b i r k h o f f 插值中在本文中重点介绍g a u s sb i r k h o f f 求 积公式的存在性与唯一性本论文几个重要结论也是关于这方面的，内 容安排在第三章3 3 节 由( 1 4 1 ) 的讨论易知b i r k o f f 插值问题包括四个部分： 结点组 x = x l ，x 2 ，z n 】，a x l x 2 z t i 6 ；( 1 4 2 ) 区间【a m6 】上一个线性独立的n 次连续可微分的实值函数系g = 【g o ，g - ，鲫) ； 一个插值格式； 一组给定的数据 为了方便研究，人们通常用一个插值矩阵来描述一个插值格式 定义1 4 1 ( s h i 3 0 ，p 2 】) 设e = e k a l l ，搀o ，n 1 ，n 0 ，e k j 为0 或 1 ，则称e 为关于g 和x 的插值矩阵 定y a 4 2 ( s h i ， 3 0 ，p 2 】) 如果i e i = e w = n + 1f ，e 的列数) ，则e 被 称为规范的通常不允许空行，即对于某尼，e 巧= 0 ，j = 0 ，1 ，不被允 许 b i r k h o f f 插值问题即包含e ，g ，x 和一组数据四个部分，由这四部 1 0 一类非线性方程组唯一性定理及其应用 分来确定一个广义的多项式p = 釜o 毋显然0 j 一旦确定，p 即为所 求函数的b i r k h o f f 插值多项式 定义1 4 3 ( s h i 【3 0 ，p 4 】) 设插值矩阵e 是规范的且满足条件? p t l e 巧p + 1 ，p = 0 1 ， ( 1 4 3 ) j = ok = l 则称e 为p 6 l y a 矩阵 现在我们来考虑e 的第k 行，( e 舢e 鼬，e k n ) 定义1 4 4 ( s h i 【3 0 ，p 4 】) 如果e 航= e 惫，= = e 幻= 1( o i j ) 满足i = 0 或e k ，= 0 ，j = n 或e 七一l = 0 ，则这一集合e 硒e 七，州，e 巧称 为一个1 的序列一个1 的序列有奇数个或偶数个元素，则相应地称其 为奇或偶序列 定义1 4 5 ( s h i 【3 0 ，p 4 】) 如果某1 的序列从第0 列开始或i 1 ，则分别 称为h e r m i t e 序列或非h e r m i t e 序列如果一行中只包含一个唯一的1 的 序列，且这个序列为h e r m i t e 序列，则称这行为h e r m i t e 行插值矩阵e 中如果仅包含h e r m i t e 行，则称e 为h e r m i t e 矩阵 考虑b i r k h o f f 插值同样我们先考虑其基本多项式，其表达式虽不如 h e r m i t e 插值的基本多项式易于运用研究，但也有其适用性 先假设关于e ，x 的基本多项式为：a k j ( x ；z ) p n ，它满足条件： a 安；( z 口) = 嘞以g ， e 巧= e 印= 1 ，e 巧，e q p e ( 1 4 4 ) 为了方便使用我们记：a j ( z ) = a k , j ( x ；z ) ，则满足插值条件的多项式p 可 确定 p ( z ) = y 巧a k j ( x ) c k ，j = l ，e k ，j e e 关于b i r k h o f f 插值基本多项式部分的理论，读者可参阅( s h i 【3 0 】) 硕士学位论文 下面介绍g a u s sb i r k h o f f 求积公式g a u s sb i r k h o f f 求积公式的唯一性 一直是一个难题m i c c e l l i 和r i v l i n 2 2 1 证明了非h e r m i t e 边界结点的单结点 g a u s s 型求积公式的存在性和唯一性；j e t t e r 2 0 证明了在锯齿形结构这一 特殊条件下，一个唯一的双精度求积公式的存在性1 9 8 9 年，n i k o l o v z 3 讨 论了两种不同类型结点的g a u s s 型求积公式的存在性和唯一性：1 任意 ( b i r k h o f f 或h e r m i t e ) 固定结点；2 自由的h e r m i t e 结点他得到了多重结点 ( 带有b i r k h o f f 边界结点) g a u s s 型求积公式的存在性和唯一性在该文中， 他在选择区间中给定礼+ 2 一m 个结点，余下的m 个结点是可变动的但 是他定理中的假设条件限制性过强也很复杂 在n i k o l o v 的文中，有下述定义 定义1 4 6 ( n i k o l o v 【2 3 ，( 1 2 ) 1 ) 一b f ( x ) w ( x ) d x c k , j f u ( z 七) ( 1 4 45 ) 。n e k j = l 称为插值求积公式 定义1 4 7 ( n i k o l o v 【2 4 ，p 4 3 ) 设e 中第e 七行是h e r m i t e 行，且h e r m i t e 序列的长度为m 七，则称飘为m k 重的h e r m i t e 结点如果c k ，砜一。= 0 ，则 在以；剀中重数m k 为偶数的h e r m i t e 结点x 知称为m 七一1 重的g a u s s 结 点一般地，如果m 为偶数且( 1 4 5 ) 中某些奇数入，( 1 入m 七一1 ) 对 应的a = 0 ，则称x 七为a 重的g a u s s 结点 接下来的两定理，也即【2 3 】中的存在性定理和唯一性定理，在本论文 中对其过强的限制性条件进行了较大的弱化，得到了两定理( 定理3 4 1 和定理3 4 2 ) ，同时给出了它们极其简便的证明( 参见3 4 ) 定理1 4 1 ( 存在性定理【2 3 】) 设插值矩阵e = 、e 。一、n + 。l ，岛为正规矩阵且内 行没有奇序列又设0 k 1 k 2 k o ) 将e 中这些行的最后一个1 都去 1 2 一类非线性方程组唯一性定理及其应用 掉，得矩阵e = ( e ) 高，搀o 如果( 易) 弩为p d l y a 矩阵列，且具有性 质： ( i ) l 易i = j + 1 ； ( i i ) 易内部行不包含奇的非h e r m i t e 序列； ( 俐) 易ce + ， 则给定礼+ 2 一m 个结点 x j ；j 【0 ，1 ，n + 1 七l ，k ) ) ( n ，6 ) ，至 少存在一个含m 个点的结点组【z 七z ，口= z o z 七， z k 0 个h e r m i t e 行，记e 。= ( ) 蔷，岛为 e 去掉这些行的最后的1 后所得矩阵再设( 易) 留为p 6 l y a 矩阵列，且 具有性质： ( i ) i 易i = j + l i ( i i ) 岛内部行不包含奇的非h e r m i t e 序列； ( 洌) 岛c e ( i v ) 对于每一h e r m i t e 行e ；( 1 七r t ) 和非h e r m i t e 行勺( 1 j 扎) ，口( u 勺) + q ( e 七u e j ) = 2 q ( e ；u 勺) ，其中霞是e ；去掉最后一个l 所得 如果0 k 1 k 2 k 佗+ 1( 0 m 8 ) 是e 中h e r m i t e 行的指数， 则给定礼+ 2 一m 个结点协；歹 o ，1 ，扎+ 1 ) 七1 ，k ，( n ，6 ) ，存在 唯一的m 个点 z 七l z k ，a = 跏 x k l x k , n z n + 1 = b 为满足 ( 1 4 5 ) 的g a u s s 结点 o t ( e kue j ) 的定义读者可参阅【2 3 ，p p 4 8 - 4 9 关于存在性理论，s h i 刚中对前人的结论有很好的总结和推广 e 幻= 0 的最小的指数j 记为m k ( 1 k n ) 我们还记： x = x o ，x l ，x n + l ，a = x o x l z n o ，后：l ，m l 仇，嚣o 7o ” ，。 u x k 则对于每一个m ，1 m 礼和任意给定的一组值 + 1 ，鼽) ，方程组 ( 1 5 1 ) 有唯一解 特别地，当m = 几时，方程组( 1 5 1 ) 有唯一解 应用i 将上述的唯一性定理应用于幂正交多项式 定理1 5 2 设缸是( 口，b ) 上测度，且p c ( a ，6 ) ，又设m i n l k 0 ，z ( o ，b ) 则存在唯一的向量x x 满足 圣nx ) = i n f y 叉垂n ( y ) 此定理同定理1 2 2 ( s h i 【3 1 ，p 3 3 】) ，他文中已给出完整的证明，本文应 用唯一性定理1 5 1 给出另一简单的证明 应用i i 将唯一性定理1 5 1 应用于e t 系上g a u s s 型求积公式 从此部分开始，后文考虑的向量为： x 1 ：= x = ( x 1 ，x m ) ：a z 1 x 2 z m 6 ) ， x 2 ：= x = ( x m + 1 ，x n ) ：a x m - f 1 0 ，z ( a ，6 ) 则对于任意给定的一个向量x 2 x 2 ，存在唯一的 向量x - x ，使得对于每一个函数u u ，向量x = ( x 。，x 2 ) 都满足公式 1 3 ，3 ) 及条件 ，m k 一1 ( x ) = 0 ，k = 1 ，2 ，m ( 1 5 4 ) 1 6 一类非线性方程组唯一性定理及其应用 应用在本文讨论的非线性方程组的唯一性定理的应用中，更重要 的是在广义的g a u s sb i r k h o f f 求积公式( 也称g g b q f ) 方面的应用得到 了两个重要的结果 首先介绍两引理，在这两引理成立的条件下，我们便于得到后面的结 果，同时两引理本身也是有意义的结论 引理1 5 2 设e 是插值矩阵对于确定的指数七，j ，r ，e k j = 1 ， l r n ，则有 o a k 百, i ( x 一；x ) ：一a 黠1 ( x ；) 4 ，p ( x ；z ) a z r 厶，。七j r i ，w ，7 。- 伊、一删广 引理1 5 3 设中为【口，6 】上测度，p c a ，6 】，且n ( n + 1 ) 阶矩阵e 不包含奇的非h e r m i t e 序列又设e 中1 k m 行为h e r m i t e 行进一 步设定l k ，r m 如果r = k 时有m k 2 ，则 百o a k ( x ) = f 警蜘m 础 一= - 一lx：二，：nf正i：，： a z r- ，oa z r 。、一r 甲弋“厂 同时 o a k 可, m t - - i ( x 一；x ) ：一a 踹x ；研) a r 护( x ；z ) 月fj 乙一。一定 m k 一1 、一7 一，一1 、一一， 。 e r ，p 2 1 此外，如果给定一向量x 2 x 2 ，向量x 1 x l 是规范方程组( 1 5 2 ) 的 解，则向量x = ( x 1 ，x 2 ) ，1 ，r m 满足 o g 七( x ) l 0 ，r k 22 ) ， 抛r i - s ( x ，x k + 0 ) c k ：，! r n k - - 2 ( x ) l ， ，= k 这部分两重要结果为： 定理1 5 4 设咖是【o ，6 】上测度，p v i a ，6 】又设n ( + 1 ) 阶 p 6 1 y a 矩阵e 不包含奇的非h e r m i t e 序列则对于任意给定的一个向量 1 7 硕士学位论文 x 2 x 2 ，存在向量x 1 x 1 ，使得向量x = ( x 1 ，x 2 ) 满足g g b q f 以彳刀及 条件( 1 5 4 ) 进一步，对于向量x x ，以下叙述等价： ( q ) 向量x 满足g g b q f ( 1 4 ，7 ) 及条件( i 5 4 ) ： 例向量x 满足规范方程组门矗剀? 纠向量x 满足正交关系式门3 力 定理1 5 5 设定理1 5 1 的假设成立，又设m a n l 七nm 七= 1 时，p 严 格单调递增如果e 中满足条件l k m 的每一行皆为h e r m i t e 行，则 对于任意给定的一个向量x 2 x 2 ，存在唯一的向量x 。x 。使得向量 x = x l ，x 2 ) 满足g g b q f 以彳矽及条件以5 钞 1 8 一类非线性方程组唯一性定理及其应用 2 一类非线性方程组的唯一性定理 2 1基本定义 定义2 1 1 连通空间：称拓扑空间d 为连通的，若d 中除了空集和d 本身外没有别的既开又闭子集( 可参看一般的拓扑书籍) 2 2 非线性方程组的唯一性定理 定理2 2 1 设函数列凡( z 1 ，x 2 ，z n ) ，k = 1 ，2 ，n 及其偏导数 o f k ( x l ，x 2 ，x n ) a 巧，七，j = 1 ，2 ，佗在连通区间d 内连续若对于每 一个m ，1 m n 及任意给定的n m 个值 + 1 ，) ，存在一组值 ( 川1 ，n ，f 8 m , k | = 1 ，k = 1 ，2 ，m ，使得含m 个未知数z 1 ，。2 ，z m 的方程组 最( z l ，+ 1 ，、= 0 ，k = 1 ，m(22y,j 0k1 22 1 ) ，七【z l ，z ，l ，+ ，= ，= ，m(1 ) 总有解z 七= z k ，k = 1 ，m ，且解满足 坠组等坠生型：o ，k j ，忌，j ：1 ，m ( m 2 ) ( 2 2 2 ) 0 i 、 一 。、。 和 k 塑垫萼堂业二世 o ，七：1 ，m (223)o e m 。= 一夕u ， 尼= l ，m 1 z z jj xk 、 则对于每一个m ，1 m n 和任意给定的一组值 + l ，鲰) ，方程组 ( 2 2 1 ) 有唯一解 特别地，当m = n 时，方程组( 2 2 1 ) 有唯一解 证明：此证明是对m 用归纳法 1 9 硕士学位论文 当m = 1 时，反设函数f ( z 。) ：= f l ( z 。，y 2 ，鲰) 对于任意给定的值 驰，) 有两个不同的零点名，和不妨令z i ，不失一般性，我们 可假设这两零点是相邻的，即对于所有的x 。，7 o ，k ：1 ，2 柚 ( b ) 如果向量x x 满足( 1 2 1 ) ，则向量x 是规范方程组( 1 2 6 ) 的解，并 且解x 满足 0 f 五d _ x ) ：o ，k j ，七，j ：1 ，2 ，n ( 扎2 ) ( 3 1 1 ) 0 z 此引理的证明可参阅s h i 3 1 1 。 本节内容的接下部分及3 3 和3 4 中的向量x 采用下述记号：对于 一确定的整数m ，1 m 礼，m 奄n ( k = 1 ，2 ，n ) ，n ：= 楚l m 七一1 x l ：= x = ( x l ，z 竹1 ) ：a x l x 2 z 竹l 6 ) ， x 2：= x = ( z m + l ，z 竹) ：a x m + l 0 ，z ( o ，6 ) 如果x x 有c k , r n k - - 2 ( x ) = 0 ，则 s g nc k ，, f r t k2 ( x ) = s ( x ；x k 十0 ) ， ( 3 1 2