（基础数学专业论文）一般符号动力系统子移位的拓扑混合.pdf

摘要 符号动力系统是动力系统理论研究的强有力工具，一般符号动力系统的动力 学性质的研究是一个远未解决的课题。拓扑混合是动力系统极强的一种复杂性 质，一个具有拓扑混合性的系统具有多种意义下的浑沌性。本文主要讨论了可列 无穷个符号组成的无穷序列空间( z + ) 上移位映射a 的动力性质，得到( ( z + ) ，口) 是拓扑混合的。同时着重讨论了由无穷阶矩阵a 确定的子移位，得到 + 了子移位( a ( z + ) ，) 拓扑混合的充分必要条件。此外也构造了( z + ) u k 2 l ( k ) 中的一个l i y o r k e 浑沌集合。 本文共分五个部分。在引言部分，简要介绍了符号动力学发展的历史；有限 个符号的符号动力系统与一般符号动力系统研究；符号动力系统移位及子移位的 浑沌性质研究，并叙述了本文的主要结论。 在第二部分，我们介绍l i y o r k e 浑沌、d e v a n e y 浑沌、熊金城浑沌、拓扑混合 等定义，并给出了它们之间的关系。另外也给出了单边符号动力系统、移位及子 移位等概念。 第三、第四部分是本文的中心，我们证明了子移位( a ( z + ) ，o a ) 拓扑混合的 + 充分必要条件，同时构造了( z + ) u ( k ) 中的一个l i y o r k e 浑沌集合。 k = 1 最后一部分我们提出了一些有待解决的问题。 关键词符号动力系统拓扑混合浑沌移位和子移位 t o p o l o g i c a lm i x i n go fg e n e r a ls y m b o l i c d y n a m i c a ls y s t e m s s u b s h i f t a b s t r a c t s y m b o l i cd y n a m i c a ls y s t e mi sap o w e r f u lt o o li nt h es t u d yo fd y n a m i c a ls y s t e m s t h e o r i e s ，t h es t u d yo fd y n a m i c a lp r o p e r t i e so ft h eg e n e r ns y m b o l i cd y n a m i c a ls y s t e m i saf a ru n s o l v e dp r o b l e m t h et o p o l o g i c a lm i x i n gi sav e r yc o m p l e xp r o p e r t yo f d y n a m i c a ls y s t e m s as y s t e mw i t ht o p o l o g i c a lm i x i n gp r o p e r t yh a sm a n yc h a o t i cp r o p e r t i e si nd i f f e r e n ts e n s e s ：t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e so fs h i f t m a p oo nt h es p a c e ( z + ) o fi n f i n i t es e q u e n c e sc o m p r i s e ss e q u e n c a b l ei n f i n i t en u n b e ro fs y m b o l s i tg i v e s t h a t ( ( z + ) ，o ) i s t o p o l o g i c a l m i x i n ga n de m p h a s i z e s t od i s c u s st h es u b s h i f td e t e r m i n e db ym a t r i xao fo r d e ri n f i n i t y ，g i v e sn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es u b s h i f t ( a ( z + ) ，o a ) t ob et o p o l o g i c a lm i x i n g i na d d i t i o n ， + c o n s t r u c t sac h a o t i cs e ti n ( z + ) u ( k ) i nt h es e n s eo fl i y o r k e k = 1 t h i sp a p e rc o n s i s t so ff i v ep a r t s i nt h ei n t r o d u c t i o n ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eh i s t o r yo fs y m b o l i cd y n a m i c sd e v e l o p m e n t ，t h er e s e a r c ho ft h es y m b o l i cd y n a m i c a ls y s t e mo fa nf i n i t en u m b e ro fs y m b o l s ，t h er e s e a r c ho ft h eg e n e r a is y m b o l i cd y n a m i c a ls y s t e m ，t h er e s e a r c ho fc h a o t i c p r o p e r t i e so fs h i f t a n ds u b s h i f to fs y m b o l i cd y n a m i c a ls y s t e ma n dl i s t sm a i nc o n e l u - - s i o n si nt h ep a p e r i ns e c t i o n2 ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cn o t i o n sa n dt h e i rr e l a t i o n s ，s u c ha s ：l i y o r k ec h a o s ，d e v a n e yc h a o s ，x i o n gj i n c h e n gc h a o s ，t o p o l o g i c a lm i x i n g ，a n ds oo n m o r e o v e r ，i n t r o d u c es o m ec o n c e p t s ：o n e s i d e ds y m b o l i cd y n a m i c a ls y s t e m s h i f t a n ds u b s h i f t ，e t c t h es e c t i o n3a n d4a r et h em a i np a r to ft h i sp a p e r ，w ep r o v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es u h s h i f t ( a ( z + ) ，。a ) t ob et o p o l o g i c a lm i x i n ga n dc o n 一 + s t r u c tac h a o t i cs e ti n ( z + ) u ( k ) i nt h es e n s eo fl i y o r k e k = l f i n a l l y ，w ep o i n to u ts o m eu n s o l v e dp r o b l e m s 、引言 通过由某些符号组成的无穷符号序列来刻划动力系统轨道结构的方法及与 之有关的理论称为符号动力学。早在1 8 9 8 年，h a d a m a r d 就将符号动力学技巧用 于负曲率曲面上的测地线的研究( 见文 1 ) 。1 9 2 1 年，m o r s e 首先注意到符号动 力学方法在动力系统研究中的重要性。1 9 2 7 1 9 3 5 年，b i r k h o f f 开始应用符号动 力学方法研究动力系统( 见文 2 ) 。1 9 3 8 年，m o r s e 和他的学生h e d l u n d 首次正 式将符号动力学作为一个独立的学科提出( 见文 3 ) 。1 9 4 9 年，l e v i n s o n 用符号 动力学方法和思想研究了v a nd e rp o l 受迫振动方程( 见文 4 ) ，其研究结果导致 了s m a l e 马蹄理论的形成( 见文 5 ， 6 ) 。此后，符号动力学进入稳定的发展时 期。1 9 8 0 s ，由于浑沌理论的兴起，符号动力学得到更加迅速的发展。 相对而言，目前对只有有限个符号的符号动力系统( ( k ) ，一) 了解得比较清 楚( 见文 1 ) ，但对一些复杂问题的深入研究发现了有限个符号的符号动力学的 局限性。s w i g g i n s 在文 1 中指出对许多系统的不变集的刻划需要用到可列无 穷多个符号，因而他在 1 中对具有可列无穷个符号的符号动力系统作了一些简 略的讨论。国内付新楚等人在2 0 世纪9 0 年代初开始了无穷多个符号的符号动 力系统的探讨，继在文 7 中研究了具有可列无穷个符号的符号动力系统及其浑 沌性质后，文 8 推广到了更一般的情况，讨论了当x 为可分度量空间时，符号动 力系统( ( x ) ，口) 的浑沌性质，证明了在l i y o r k e 及d e v a n e y 意义下( ( x ) ， 一) 是浑沌的，并且证明这种推广在某种意义下是最一般的。 显然，符号动力系统的移位映射的研究是一个远未解决的课题。近几年来， 对于有限个符号的符号动力系统的有限型子移位的研究已有很大进展，如文献 1 3 ， 1 4 ， 1 5 和 1 8 等，但对于一般子移位( 包括非有限型子移位和一般符号 动力系统( 见文【1 8 ) 的子移位) 的性质仍所知甚少。浑沌理论的兴起，使得对于 一般符号动力系统子移位的研究成为更加迫切的课题。这是因为在一定条件下， 一个具体的系统可以与某个符号动力系统或其子移位拓扑共轭或拓扑半共轭。 1 - 拓扑混合是动力系统的一种极强的复杂性质。具有拓扑混合的动力系统，它 皇具有多件意义下的浑沌性质。所以车交主要研究由可刭无穷拿符号构成的符 号动力系统的移位及子移位，特别地给出了由一个无穷阶矩阵a 确定的子移位 ( a ( z + ) ，a a ) 拓扑混合的充分必要条件。 此外，我们知道( ( k ) ，a ) ( k 1 ) 的浑沌集是( ( z + ) ，d ) 的浑沌集，当然 + ( u ( k ) ，a ) 中的浑沌集也是( ( z + ) ，一) 中的浑沌集，但反过来不一定有这种 = 1 十 关系，因此我们也构造了( z + ) u ( k ) 中的一个l i y o r k e 浑沌集合w 。 二、记号、定义及若干引理 为讨论方便，先介绍如下定义： 定义2 1 设x 为度量空间，连续映射厂x x 称为拓扑传递的，如果对任 意非空开集u ，v c x ，存在n o ，使 f - ( u ) nv v a p 定义2 1 与下面定义2 17 等价： 定义2 17 称，：x x 为拓扑传递的，如果对任意非空开集u ，v e x ，存在 n 0 ，使 ，一“( u ) n v 仍 定义2 ，2 设，连续，称，：x x 是拓扑混合的，如果对任意两个非空开集 u ，v c x ，存在正整数n ，使当n n 时，( u ) ny d 。 与定义2 2 等价的定义2 2 7 如下： 。 定义2 2 7 设，连续，称，：x x 是拓扑混合的，如果对任意两个非空开集 u ，v c x ，存在正整数n ，使当” n 时，- 厂1 ( u ) n v p 。 显然有： 引理2 。1 ( 2 1 3 若，是拓扑混合的，则，是拓扑传递的。 一般而言，反过来不成立。 定义2 3c 1 6 3 设( x ，d ) 为度量空间，；x x 连续，设咒c x 非空，如果存 在不可数集合s c x o ，满足 ( j ) l i r a i n f d ( 尸( 。) ，( ，) ) = o ，v z ，y s ； ( i i ) l i m s u p d ( 尸( z ) ，尸( y ) ) o ，v5 1 7 ，y s ，z y 。 则f 在x o 上是l i y o r k e 意义下浑沌的。 由文 2 2 ，我们可得到： 引理2 2 若，：x x 拓扑混合，则，是l i y o r k e 意义下浑沌的。 _1 除了i j y o r k e 意义下的浑沌外，另一种较常见的定义为d e v a n e y 意义下的 浑沌。 定义2 4 设( x ，d ) 为度量空间，：x x 连续，称，是d e v a n e y 意义下浑沌 的，如果 ( i ) ，敏感地依赖于初值，即存在d 0 ，使得对于x 中的任一点z 的任一邻 域，存在y 及n o ，使 d ( 尸( z ) ，尸( y ) 8 ； ( i i ) ，是拓扑传递的； ( i i | ) r 的周期点集在x 中稠密。 文 1 6 认为，在定义2 4 中条件( i i | ) 说明没有周期点的系统( 如极小系统) 都 不是浑沌的，所以把诸如极小系统排斥在浑沌系统之外是不适当的，所以 1 6 中 给出如下定义： 定义2 5 设( x ，d ) 为度量空间，：x x 连续，称，在修改的d e v a n e y 意义 下是浑沌的，如果： ( i ) ，对初值敏感依赖； ( ) ，是拓扑传递的。 引理2 3 1 6 3 若，：x x 拓扑混合，则，是在修改的d e v a n e y 意义下浑沌 的。 l i y o r k e 浑沌和修改的d e v a n e y 浑沌之间是否有蕴涵关系尚不得而知但 由上述引理我们知道若，为拓扑混合的，则在这两种不同的意义下，均为浑沌 的。 由文 2 0 ，熊金城给出如下定义及引理： 定义2 6 设( x ，d ) 是一个度量空间，：x x 是一个连续映射，集合c 称 为对映射，而言是浑沌的，如果对于c 的任意非空子集a 和任意连续映射f ：a x ，存在一个严格递增的正整数序列 h ，使得 l i m f 7 一( z ) = f ( z ) v z a * 满足定义2 6 意义下的浑沌我们称为熊金城意义下的浑沌。 引理2 4c 2 0 1 设( x ，d ) 是一个非独点的紧致度量空间，r ：x x 是一个拓扑 - 4 混合的连续映射，则x 中有一个相对于，而言的浑沌集合。 于是，我船也有： 引理2 5 设r ：x x 拓扑混合，如果存在x 的紧子集y c x ，且y 关于， 不变，则y 中有一个相对于，而言的浑沌集合。 文 2 0 证明了，每一个浑沌集合都是一个l i y o r k e 浑沌集合。 由此我们有如下关系： 拓扑混合 修改后的d e v a n e y 浑沌 ( 存在紧不变子集) 熊金城意义下的浑沌一l i y o ，k e 浑沌 也就是说，拓扑混合是强于常见的几种浑沌的一种复杂性质。 设k 2 ，s ( k ) = 1 ，2 ，k 赋s ( k ) 以由度量 f 0 z ，= y ： d ( c c 。，y 。) = z ，y ；s ( k ) 1 x i 弘 生成的离散拓扑。 考虑可列个s ( k ) 的笛卡儿积 ( k ) = s 。，s ：= s ( k ) ，i = 1 ，2 ， ( k ) 中元素可表为( z ) = ( z l ，z 2 ，) ，墨s ( k ) ，i = 1 ，2 ，( k ) 称为由s ( k ) 生成的单边符号空间。 赋( k ) 以由度量 p ( z ，y ) 2 善扣( 而，y 1 ) z ，y e ( k ) 生成的积拓扑，( s ( g ) 。| d ) 构成紧度量空间。 符号空间( k ) 上的移位映射a ：( k ) 一( k ) 定义如下： 盯( ( z 1 ，z 2 ，- ) ) = ( z 2 ，z 3 ，- - )( z l ，z 2 ，- - ) e ( k ) 则( ( k ) ，d ) 构成一单边符号动力系统。 下面给出一般符号空间及移位等概念。 r ( x ，d ) 为可分度量空间，c a r d ( x ) 2 ，其中c a r d ( ) 表示集合的基数，定 e z 。，y ：x 记( x ) = s 。，s ：= x ，i = 1 ，2 ，( x ) 中元素可表为( z ) = ( z 1 ，z 2 ，) ，z ： x ，i = 1 ，2 ，( x ) 称为由x 生成的单边符号空间。 ( x ) 上的度量定义为： + 1 p ( , 3 2 ，y ) = 暑考矗( z 。，y 。)z ，y ( x ) ( ( x ) ，p ) 构成度量空间。 定义一为( x ) 上的移位映射，即 口：( x ) 一( x ) d ( ( z l ，z 2 ，) ) = ( z 2 ，z 3 ，- - )( z 1 ，x 2 ，- ) ( x ) 则( ( x ) ，o ) 构成一单边符号动力系统。当c a r d ( x ) = k 为有限值时，即为 有限个符号的符号动力系统( ( k ) ，一) ，对此人们已有详细讨论。本文将讨论 c a r d ( x ) = c c ，。，即x 为可列集时的情形，记 s ( z + ) = 1 ，2 ， ( z + ) = s ，s i = s ( z + ) ，i = 1 ，2 ， f2 l ( z + ) 中元素可表为( x ) = ( x 1 ，z 2 ，) ，z ：s ( z + ) ，i = 1 ，2 ， 易见移位映射一：( z + ) 一( z + ) 是连续的，满的。不难证明，单边符号空间( ( z + ) ，p ) 是非紧致的，完备的，完全的，完全不连通的( 见文 2 1 ) 。 定义( z + ) 中的柱集u n 如下： u n ( “l 一，a n ) 三 ( z ) ( z + ) i z ：= a ：，i n ，a ，s ( z + ) 易见，柱集既开又闭。 我们可以得到以下定理： 定理2 1 口：( z + ) 一( z + ) 拓扑混合。 证明设u ，v 是( z + ) 中的非空开集，取a u ，b v ，则存在柱集巩 ( d ) 与u 。( b ) ，使 6 y 【| z t o 1 | 】 ) y z ( d 量度义 u n ( 口) = l ( z l ，, 7 2 2 ，) ( z + ) i z ：= n ：，i n l u u n ( b ) = ( 。1 ，2 ，) ( z 。) fz ：= b ，i n v 于是 d ”u nv 口”u n ( n ) nu n ( b ) vn z + ，当n n 时 d ”u ( a ) n ( b ) = ( z 1 ，2 2 ，) e ( z + ) ig 。= b ，i n 0 所以，当n n 时，口“u n v d 。证毕。 推论2 2 ( ( z + ) ，一) 存在可列无穷多的熊金城意义下的浑沌集。 证明 由于( z + ) 中存在a 的不变子集( k ) ( k = 1 ，2 ，) ，而每个 ( k ) 是紧的，由引理2 5 ，即得结果。证毕。 三、子移位( a ( z + ) ，盯a ) 拓扑混合的充要条件 在符号动力系统的理论中，子移位具有特殊的重要性。若在( z + ) 中考虑 有限型子移位，其限制矩阵必须是一个无穷阶矩阵。 设矩阵a = ( a ：，) = 0 1 l口1 2 n 2 10 2 2 a 1 k 口2 k 为无穷阶0 ，1 一矩阵，称a k = 为a 的k 阶主子矩阵，k = 1 ，2 ，。a k 的”次幂记为 a 女= ( n ；) ，vn 1 ，记 a ( z + ) = ( z l ，z 2 ，) ( z + ) i 。，。+ 。= l ，v i 1 a ( z + ) 是一的一个不变集，( a ( z + ) ，a a ) 为( ( z + ) ，一) 的子系统，其中 一a 是d 在 ( z + ) 上的限制，即姐为a 的子移位，矩阵a 称为a ( z + ) 的转移 矩阵。 由文 2 1 ，有 引理3 1 对于a k ，a 嚣= ( n i ) ，( n 孑) o 的充分必要条件是存在一个由p = 1 ，2 ，k 中的整数组成的m + 1 个数的有序数组：( 2 0 ，。，1 2 。，满足： ( 1 ) a o = i ，a 。= j ； ( i i ) n 。= 1 ，0 ”m 一1 。 引理3 2u ( k ) 在( z + ) 中稠密。 证明v ( z ) = ( z 1 ，z 2 ，) e ( z + ) 及vm ，jk = k ( r n ) ，使得x “= ；( z 1 ，一r 2 ，j ；。= z ：，1 i m + 1 ，z ! ；i ，2 ，k ( m ) ； = ( k ( m ) ) ，对于 z + e x”，有zu：e(k)，且p(z，z)刍，从而望(k)=ek 1k1 ( z + ) 。证 = z = 毕。 ， 同理有： 引理3 2 7 设a 为无穷阶0 ，1 e a 。( k ) 在a ( z + ) 中稠密。 矩阵，记a k 为a 的k 阶主子矩阵，则。u ：。 证明v ( 。) = ( 。，。2 ，) e a ( z + ) ，v 。ez + ，取；= ( 。1 ，。2 ，) ，其 中z k 而( 1 i m 十1 ) ，使ze e a 。( k ) ，k 为某个正整数，因而z 。u ：。a k ( k ) 且有p ( x ，z j 歹1 ，从而星。 ( k ) = a ( z + ) 。证毕。 由文 7 知道 引理3 3 ( ( z + ) ，口) 的周期点集n r ( 口) 在( z + ) 中稠密。 对于无穷阶矩阵a = ( a 。) ，若 k 。当i ，j k 时恒有。* = 0 ，则( z + ) 在a 限制下的子移位a 。退化为人们熟知的( k ) 上的在a k 限制下的子移位o a 。，即 有： 定理3 1 2 1 1 ( a 。( k ) ，弧。) 拓扑混合的充分必要条件是存在整数m o ， 使得a 嚣 0 ( 即a 嚣的一切元口嚣 o ) 。 于是我们以下始终假定无穷阶矩阵a ，对于v m ，存在i 0 , i o m ，使得a i d 。= 1 。 我们的主要结论如下： 定理3 2 对于( ( z + ) ，d ) 的子系统( e a ( z + ) ，“) ，( a ( z + ) ，一。) 拓扑 混合的充分必要条件是对于a 的任一有限阶主子矩阵a k ( k 1 ) ，存在整数m k o ，使得a 沙 o 。 证明必要性： 因( 。( z + ) ，4 a ) 拓扑混合，则设u ，v 是a ( z + ) 中的非空开集，则j n 0 ，当n n 时，有d i ”u f lv p 。对于任一k 1 ，记p = 1 ，2 ，k ，取非空 9 柱集u ：= ( z ) e a ( k ) iz 1 = i ，ie p 员0 d 互”u ：= i z ) a ，( k ) ；z 。+ 1 = i ； vi ，j e p ( i j ) ，由条件，jn i 0 ，当n n i 时，有d i ”qnu d 。在d i ”u nu ：中取点 ( z ) = ( i ，z 2 ，x 。j ，x 。+ 2 ，) 则( z + ) 中的前n + 1 个数i ，2 l 2 ，z 。，j 满足引理3 1 要求，从而； o ，取n = m a x n “，当m k n + 1 时，有a o 。 充分性： 对于a 的任一k 阶主子矩阵a k ，设u ，v 为a ( z + ) 中开集，由引理3 2 7 ， 量( k ) 在a ( z + ) 中稠密，对于( a ) u ，( 6 ) y ，存在k 2 j t n ，使得u 焉 ( n ) u ，蝶( b ) v ，其中 u 需( d ) = ( z ) a ( k ) i 五= n ；，i n 蝶( 6 ) = ( z ) e a ( k ) j 而= ；，i n k b f h 条t q - ，存在m k o ，使得a o ，对于满足n n + m k 的n ，因为有n n m k ，故a f n + 1 o ，记m = ”一n + 1 ，由引理3 1 ，存在m 十1 个数f o ，0 1 ，“，c 。 e p = 1 ，2 ，k ，使得 ( i ) c o = b n ，c 。= 4 1 ； ( 1 1 ) a 。= 1 ，o i m 一1 。 于是存在( z + ) = ( b 一，b 。，c l ，c 。一1 ，n 1 ，n n ，) 噍“( u 嚣( n ) ) n ( 嘴 ( 6 ) ) = 一i ”( 皤( n ) ) n ( u 舞( 6 ) ) c a ”u nv 移，其中a a n2 口ni u 。，所以 ( a ( z + ) ，“) 拓扑混合。证毕。 显然，定理3 2 是对由有限个符号构成的符号序列空间上的子移位有关结论 的实质性推广。 + o 。 四、( z + ) u ( k ) 中的l i y o r k e 浑沌集合 k = 1 在上一节中，我们得到了( ( z + ) ，一) 的拓扑混合性及给出了( a ( z + ) ，d a ) 拓扑混合的充要条件，同时我们也得到了是，( k ) 、是。a k ( k ) 分别在e ( z + ) 、 a ( z + ) 中稠密。这样一来是否移位一( 或子移位a a ) 的复杂性仅发生在某些 ( k ) ( 或a k ( k ) ) 上呢? 为此，在本节中我们构造了e ( z + ) 品e ( k ) f i b 的一 个l i y o r k e 浑沌集，以说明口在除u ( k ) 之外的集合中的复杂性。 对于v ”1 ，设映射p 。：( z + ) 一 1 ，2 ， 4 为( z + ) 对前n 个坐标的投 影，即v ( z ) ( z + ) ，p 。( x ) = ( x 1 ，。2 ，z 。) ，记q 。= p 。( s ( z + ) ) = ( 1 ，2 ， ，n ) ，其中s ( z + ) = 1 ，2 ， 。定义映射 西：( z + ) 一( z + ) 使得对任何” o 及对v ( z ) ( z + ) ，有 p 。矿。垂= p 。 p 。o n ( n 一1 ) a 西( z ) = q 。 具体地，对于v ( z ) = ( z l ，z 2 ，) ( z + ) 中( z ) = ( q 1 ，p l ( z ) ，q 2 ，p 2 ( z ) ，q 。，p 。( z ) ，) = ( 1 ，。1 ，1 ，2 ，。1 ，x 2 ，1 ，2 ，3 ，x l ，x 2 ，x3 ，1 ，2 ，n ，3 ：1 ，x 2 ，z ”， ) 因为对于任何( z ) ，( y ) ( z + ) ，有p ( 垂( z ) ，垂( y ) ) p ( ( z ) ，( ，) ) ，所以 有 引理4 1 圣为连续映射。 易证下面引理： 引理4 2 设( “) = 垂( z ) ，( ”) = 西( y ) ，若( “) ( u ) ，则( z ) ( 一) 。 1 1 显然西( ( z + ) ) ( z + ) u ( k ) k 2 1 记w = 中( ( z + ) ) ，我们有 定理4 1w 为转移自映射a ：( z + ) 一( z j ) 的l i y o r k e 浑沌集。 ，证明显然w 为不可数集，v ( “) ，( 。) w ，( ”) ( w ) ，设( “) = 西( z ) ， ( 口) = 垂( y ) ，由引理4 2 ，( z ) ( y ) ，即至少j i 。 0 ，使得z ：弘。 下证 ( i ) l i m i m p ( d ”( “) ，口“( 口) ) = 0 和 ( i f ) l i r a s u p p ( d “( “) ，扩( 口) ) o 因为 ( “) ，z n + 1 y 2 ，y n ，1 ，2 ， + 1 ，1 ，y 2 故有d ( ”+ 1 ) ”( 梯) = ( 1 ，2 ，- ，”+ 1 ，z 1 ，, 7 7 2 ，z 。+ 1 ，) d ( ”+ 1 ) ”( 口) = ( 1 ，2 ，n + 1 ，y l ，y 2 ，一，了。+ 1 ，) 所以加1 h ) ，”m ( 训，菇：= 南- - - 0 ( ”- - 0 0 ) 即( 1 ) 得证 对于( ) ，因为 i 。 0 ，使得z 。挑，即当n i 。时， 有盯“。- 1 ( 雠) = ( z i ，工，+ 1 ，) 和 扩“。一1 ( 口) = ( m ，y 。+ 1 ，) 故对vn i 。，有 n2+io-1(。)，矿2+i。-o(o i o - 1 ( 口) ) 要 “+ 1 ( “) ，矿+1 ( 口) ) 寺 即( ) 得证。 定理得证。 1 2 2 zz2lz 1 1 ) ( - y 21 2yly 2l y 1) ( = 一 ) 【 可 + ( ny 五、结束语 本文讨论了由可列无穷多个符号组成的单边符号动力系统移位及子移位的 拓扑混合性，对于双边符号动力系统，也可以进一步讨论。在本文中我们在 + ( z + ) u ( k ) 中构造了一个l i y o r k e 意义下的浑沌集合，至于在其它意义 k = 1 下，特别是熊金城意义下的浑沌集合的构造，也值得探讨。由 1 2 可知，( z + ) 的移位映射一的拓扑熵h ( a ) = + o o ，因而( ( z + ) ，口) 及有关的子移位的动力学 性质是异常复杂的。故这类符号动力系统存在大量的值得进一步研究的问题。 致谢 本文褥以完成怒与我的导师陈势跃教授的悉心指导和殷切关千不分不升的，持 找致以衷心的感谢。 畿三年的学习燮活中，陈老筛的谆谆教诲稍亲切指导，谴我受益嚣浅。同时， 陈老师本人严谨的治学态度也给我图下了深刻的印象。 我憋璃学王云辨辩我酶学习秘整活绘予了热惨魏帮致，糍此，岛穗表示诚挚 静溅愁。 v 1 4 参考文献 1 w i g g i n s ，s - g l o b a lb i f u r c a t i o n sa n dc h a o s ：a n a l y t i c a lm e t h o d s ，s p r i n g e r _ v e r l a g ( 1 9 8 8 ) 2 b i r k h o f f ，g d d y n a m i c a ls y s t e m s ，a m s p u b l i c a t i o n s ，p r 。v i d e n c e ( 1 9 2 7 ) ，r e p r i n t e d ( 1 9 6 6 ) 3 m o r s e ，m ，h e d l u n d ，g a ，a m j m a t h ，6 0 ( 1 9 3 8 ) ，r e p r i n t e di nc 0 1 1 e c t e dp a p e r so fm m o r s e ，2 ，w o r l ds c i e n t i f i c ( 1 9 8 6 ) 4 l e v i n s o n ，n o ，a n n m a t h ，5 2 ( 1 9 5 0 ) ，7 2 7 7 3 8 5 s m a l e ，s d i f f e r e n t i a la n dc o m b i n a t o r i a lt o p o l o g y ，s ，c a i r n s ( e d ) ，p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s ( 1 9 6 3 ) ，6 3 8 0 6 s m a l e ，s t h em a t h e m a t i c so ft i m e ，s p r i n g e r v e r l a g ( 1 9 8