（基础数学专业论文）非自伴算子代数的lie理想与共轭不变子空间csl代数上的原子对角不交理想.pdf

ab s t r a c t c b m p letelr d istri buti veand com m u t a t ive s ubs p ac e iatti ce ( c d csl for曲 。 rt) 公 g ebraisan恤p orta l l t d ass ofn o n . s e 饭 记 o int r e fi e 劝 v e o p e r a t oral g e b ras. 玩t 油 p aper， 桃 w u 1 8t u dy t hec o n n e ctionb e t w ee n li eid e a isa n dconj u g a t i 沦1 胡t s l l b s p a c e 扫 inc d c s l 川 g e b r as for t h i s sa抽， a c l 哪 of诫t ic esc 目 l e d y 一 g e n e r at ors dense l at 七 ic es ar e introd u c 司， w hi chst ri ct lyi n c l u d e t he c l 哪 ofcom p l e t e lyd 访 t r l b uti v e 城ti 哪 and t he c l ass ofp e n t a g o n以ti 咖 .叭 飞 e n乙认av 一 g ener ato rsd e nse a n dc o 刃 u n l u t at i ve lat七 ice( g d c s l for s hort)， a desc r i p t i onfor t helie id e ala 1 杯 : 刀is g v e n . hic h a p t erl ， we 抓rod u ce七 heb a c k gro u nd andp r 祀 l i m i n 田 了 ， a n ds uln 二 介t he mainr 朗u l t sof 七 l i l st h esis. 玩c h a p t e r z ， we d es crib est he c o 力 日 t r u ct l o nofatomi o d i a g o n ald isjo i nti d e als in c o m m t lt at ive s u b s p o l at t i c e ( c s l fo r s l l o rt ) a lg e b r as . i n c b a p t er3 ， wefi rs t d es c r i b e th e cons t r u c t ion o f t heli e idealla l g 乙: 刀i n g d- c s la l g e b r as 凡rt h e r ， 矶 s h o w七 h a t l ieideais andconj u g at io n- i nvax i 彻 l t s ubs p 创es are e q u i v a l e mfo r c d c s lalgebras . com m u t 就 ive s u b s p ace latt i ce，v 一 g e n e r 毗 ors d e nseand l a t t l c e ， d isjoi nt c om p le 七 elr d 访 t r i b u t ive and com m u t at 1 v e s u b s p ace 1 atti ce， i deals， lieideals， c 叨j ugat1 o n ， j n v a l l a n t s u b spaces . c卜 笼 n 网ecl ass 讯c a t iono1 7 71 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的 研究成果，尽我所知， 在本 学位论文中，除了 加以 标注和致谢的部分外，不包含其他人已 经发表或 公布过的 研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的 材料口与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均己 在论文 中作了明确的说明。 研 究 生 签 名 : 遏辱 二 邃 一 ”7 年7 月 了 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网 公布本学位论文的全部或部分内 容，可以向 有关部门 或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。 对于保密 论文， 按保密的有关规定和程序处 理。 研 究 生 签 名 : 鱼立立 友韧7 年7 月 了日 第 一章 绪论 g l i 概述 算子代数是二十世纪兴起的 一类新的 数学领域，经过几十年的发展， 现在这一 理论已 成为现代数学中的一个起领头作用的热门分支，它与量子力学，微分几何， 线性系统和控制理论， 甚至数论以 及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系 和相互渗透. 它是非交换数学的基础， 例如是由aliai n c o n n es发展的非交换几何和 由d . 丫 b i c ul e sc u 发展的 非交换 概率论或非交换自 由 概率论的 基础. 对于算子代数的研究，通常可分为自 伴算子代数和非自伴算子代数两 种. r 万 胶ad i s on和1 .m ， s i nge 于1 9 6 0 年发表的” 升i ang 山r o p e r at ora l g e b ras， 和 j r 一凡 n ， ose 于1 9 6 5 ， 1 9 6 6 年发 表的” o n s o m e a l 罗 b ras o f 叩er at or o 1 ，1 1 ， ，开slj了 非自 伴算子代数的 研究. 相对于自 伴算子代数， 非自 伴算子代数更年轻，数学现象 更丰富，方法也更多 样，并且与其他数学分支也有各种紧密的联系，因此很快成 为算子代数的一个重要分支，吸引了 一大批数学家投身其中，kr 乃avi ds o n的专 著” n es t a 】 g e b r as ”( 1 9 88 年) 系统地总 结了 前20 年的 研究 成果， 提出了 许多 新的问 题，极大地推动了套代数，进而也推动了 非自 伴算子代数的研究 非自 伴算子代数的 特点之一就是它里面的 弱闭 理想比 较多， 而自 伴算子代数的 弱闭理想就比较少，所以 研究非自伴算子代数的方法之一是研究其上的弱闭理想 本文研究的从。 理想是比理想范围更广的一种代数子空间，通过 众。 理想，我们能 够构造一种理想，即原子对兔不交理想 而反过来，通过理想，我们也能构造出一种 特殊的从 。 理 想区: 刀 . 此 外， 众 。 理 想 与 共 扼不 变 子空 间 的 关 系也是 近 年 来 大 家 关 注的 焦点. 到目 前为止， 人们己 经证明了 在自 伴算子代数与套代数中，两者是等价的 关系. 本文正 是在这一 基础上，试图 证明 两者的 等价性不但在套代数成立， 而且在 其他一些非自 伴算子代数， 如完全分配交换子空间 格代数上也成立. 此外，由 于完 全分配交换子空间格是v 一生成子稠格，所以利用v 一生成子的特性，我们证明 了 许多有意思的结果，比 如我们描述了v 一生成子稠交换子空间格代数中众。 理想 禅: 刀的 结 构 有了 结 构的 描述， 我 们就 不 会 对从 。 理 想感觉很 抽象， 使 我 们 对它 有了直观上的理解，以 便于更好的把握它. 硕士论文非自 伴算子代数的l ie 理想与共辘不变子空间 肚.2 符号简介 为了方便读者阅读， 我们将本文要使用的 主要记号介绍如下 c h 侧h) 乙 a a l g 护 a一 1 通* v a 叨 k 一以 即a n i s p(匀 g 复数域 复的 h il be时空间 h上有界线性算子的全体 价lb ot 空间h上子空间格 乙中所有原子组成的集合 乙所对应的子空间格代数 l gh的正交补空间 代数 滋中全体可逆元组成的集合 代数滋中所有算子的共扼组成的集合 闭线性扩张 集合的任意交 弱闭线性扩张 单位算子 风 中 迹零矩阵组成的 集合 h到l 的 投影算子 h中v 一生成子的全体组成的集合 g l 3 基本概念 定义l 3. l( 文睁 叩 设是h “ ber云 空间h的一族闭 子空间， 称乙是子空间 格，如果 1 )( 0 ) ， h 任 ; 2 )对的 任一族子空间 l : 任 a ， 总 有v 。 a 任 乙八 。 * 任 乙 . 硕士论文非自 伴算子代数的l le 理想与共扼不变子空间 如果乙为h 兹 b 喇 空间h上的子空间格，称 a 切 = t b ( 叨: 八 l)二l vl 乙 1 ， 为相应的子空间格代数. 注: a 匆 乙 是含单 位 元1 的 弱闭 算子 代数. 定 义1 .3.2 ( 文13 0j) 设 为h 以 石 e r 尤 空间h 上的 子 空间 格， 定 义 1 )l 一 二v m 乙 ，m边l ，呱 c 乙 ; 2 )d ( ) =a i 夕 乙 n ( a i 夕 乙 ) . ; 3 )峨 ) =v 八l): l 乙 . 定 义l 3. 3 ( 文价 0) 设乙为爪l be 时空间h 上的 子空 间 格， g 任 ， 若g- 尹h， 则称 g为v 一生成子. h中v 一生成子全体记为9 定义1 .3.4 设乙为h 沥酬 空间h上的子空间 格， 如果 1 ) ( 文12 6 )礼1 ， 场任 乙 ，有几二场或 者石2场 ， 则 称为套( 。 e a 云 ) ， 相 应的alg 乙 称为 套代 数. 2 ) ( 文!30 1 )v li ， 场 ，有 li 场二场 众， 则 称为 交换 子空间 格( 。 笼 ) ， 相 应的al g 乙称为c 份 石 代数. 3 ) ( 文 1 31 )v la ，。 任 乙 ， 有 avla， 。 一vala，(a) ， vala， 一av气 i(gl， a a西 b作b a 屹aa akbi 刀 泥 a a 则 称 为 完 全 分 配格(cd l)， 其中a ， b是 任意 指标 集，b a 表示 映 射了 : a一 b 的 全体， 相应的alg 乙称为己 刀 石 代数. 4 ) ( 文2 田 )h=v 门 g9 ， 则 称是一个v 一生成子稠格( 刀 石 ) ， 相应的 al g 称为口 刀 石 代数. 注: 1) 若同时满足上 2 ) ， 3 ) 两条件，则称是完全分配交换子空间格 ( cd。 弘 ) ， 相 应的al g 称为cdc 污 l 代 数. 2 ) 若 同 时 满 足 上 2 ) ， 4 ) 两 条 件， 则 称 是v 一 生 成 子 稠 交 换 子 空间 格( 卯坎 笼 ) ， 相应的 alg 称为gdc ， l 代数. 定 义l 3. 5 ( 文降 0) 设h是h ilbert 空间 ， vg侧卿是 子空 间 ， 定 义 刀 e 了 v 二 t 任 b ( 阅: 双 习任 v x 行 研， 硕士论文非自 伴算子代数的l le 理想与共辘不变子空间 其中!人 表 示由 介 : v v 生 成的 闭 子 空间 . 称v是自 反的 ， 如 果v =凡了 v ， 特别的 ， 若re了 ai 杯 = ai 夕 乙 ， 则 称al g 乙为 自 反算子代数. 注:套代数与乙 汾 石 代数都是自 反算子代数. 定 义l 3. 6 ( 文151 ) quad设 为价l b er t 空间h 上的 子 空 间 格， 如 果 vl 任 八 有l 尸 =p 或 者。 ， 则 称尸 是的 一个原 子. 注: 若乙是套， 则 vl 任 乙 ，l 一 l- 为乙的 原子 . 定 义l 3. 7 ( 文121 1 )设为h “ 衍t 空间h 上的 子 空 间 格， 定 义 a二 尸 : 尸 是 乙 的 原 子 ， 则称da*( ) =叨 k 一cl spa呵pb( 闭尸: 尸任a 为ai 杯 的原子对角，其中 w k 一 d 胡 a 。 表示弱闭 线性扩张. 注: 1)存 在一 个期望: a 勿 一 刀 面 帅( 均满足 v t ai 杯，州乃 一 艺尸 tp. 注: 2 ) mg ai 杯 且v t 城 ( 乃二0 ， 则 称m为 原 子 对角 不 交的 . 定 义1 :3s( 文1 1 1 ， 11 月 )设摊是一 个含 有 单 位 元1 的 代 数， 尤是风的 一 个子 流 形，如果 l) v a 摊 ， k 尤 ， 有ia ， 月=a k 一kac 尤 ， 则 称尤是摊的 一 个众 。 理想. 2 ) 比 c 涯且a 是通中可 逆元， 有a 一 1 尤 a g尤 ， 则称尤为 共扼不变子流形. 肚.4 预备引理与定理 定理l 4. 1 ( 文161， ! 1 01) 设为价l b ， t 空间h上的 子 空间 格， 的 算子 代数， 1是al g 中 弱闭的 理想， 则存在一个序同 态尹 : 乙 满 足诚 日= 云 三 双 v e 任 ， 使 得 且alg 为自 反 乙 ( e一 e ) ， 1= t b ( 功 ( 1 一 e ) te =0 丫 e任 乙 . 证明 v e 任 ， 定 义 映 射沪 : 乙 以 e 云 ) ， 使 得 俘 司表 示由 te t 1，。 研 生 成的 闭 子空 间 因 为1是 e二侧习=匡 石 1 ，其中 alg 乙中弱闭的 理想， 所 非自 伴算子代数的lie 理想与共辘不变子空间 以宫 = 试 习= 俘 召 1 石 口 忿 月 匆 = 的算子代数，所以1也是自 反的， ， 并 且容易 验证沪 是序同 态.又因为alg 乙为自 反 由定义l 2. 5 可知 1=凡jl 二 令 几= t 下 证1 = 几.一 方 面、 t b(脚: 双 劝cllxl比 母 域功: ( 1 一 沪 ( 习) te =ov e c 乙 ， 1=r e j l 另 一方面， 设t 任 几， 摊 = t c 厌功: 洲 忿 ) 任 匡 司 比 玛 9 t b(切: te gl了 e ve 任 乙 = t c 斌刃: te g试日 v e 任 乙 = t b ( 功: ( 1 一 沪 ( 习) te = 0昭 = 几 =ai 杯， x 任 h， 记 e =!七 ，则 二e，el 时摊=乙 . 由于 进而 这说明 因此 于是 ( 1 一沪 ( 习) 丁 召 =0 踌 【 邓 里沪 ( 卿， tx任份 9俘 万 1 =叮 1儿刁 =1几 . t任rej l=1 . 几 91. 1=几 引 理 1 . 4 . 2 ( 文 【 1 4 )设 e* e为相应的序同态， alg 乙是自 反的 算子 代数， 1是a i 夕 中 弱闭 的理想， 沪 : 则 1二 t 任 a 匆 ( e 一 e ) 八 e 一旬=0 ，v ec 乙 . 硕士论文非自 伴算子代数的lie 理想与共扼不变子空间 证明l)v t 任 i e c ， 有 (i 一 e ) te 二0 褂 te 丛e三e 井 t al g 乙 2 ) 由 1)丁 a 勿 幼 佗 二e te仪 e 乙 ) ，又e三双我们 有 ( 1 一 e ) 了 召=(i一 习e 件 一 ( 1 一 助e te (i一e ) e 双召 一 e ) (e一 e ) 洲e 一司 因此 (i一e ) 7 ，召 =0 专 = 令( e 一劝洲e 一e ) =住 所以由 1 ) ， 2 ) 得 1= t 任a 切 1 ( e 一e ) 双e一习 =0 ，v ec 乙 . 在给出引理1 忍 . n之前，我们先介绍h乞 肠 ert 空间h中 秩一算子的概念 设h是h 以 b er 云 空间 ， x ， ， h是非 零向 量， 秩一 算 子x ， 定 义为 二 公抓习=( : ， 功x ，讹任h. 引理 1 .4. a( 文【 1 5)设为h “ b ， t 空间h上的子空间格，则秩一算子 二 ， a 匆 的 充要 条 件为: 存在l e ， 使得二 任 l ， ， 任 足 证明 充 分性 .假 设 存 在l 任 ， 使得2 任 l ， ， l 士 ， 则 对 任 意的m任 或 1) 若m二l ，则二 。绒 切 gl g瓦 2 ) 若 m之l ，由l 一 的 定 义 知， mg l 一 ， 而， 任 足， 所 以x 抓 间= ( 0)9抓 因 此总 有二 抓 劝里从故二 。 ， 任 al g 乙 必要性.假设 二 ，任alg ， 记 l为 乙中包含x的最小元，即l= 八 kc : x 凡则二l ， 下证，班. 设 m任且m之l ， 由l的定义 知， 工 必 撇由 于x ， 任 a i 夕 ， 故 劣 0斌哟 gm介 任鱿 ( 2 ， ， ) 二0 ， ( 2 ， ， ) 公 任m，而x 更m 丫 宕m. 又 因 为l 一 二 v m任 :m之 对， 所以讥任 友，(l ， 功= 0 片 ， 址. 硕士论文非自 伴算子代数的 l l e 理想与 共扼不变子空间 定 理1 .4.4 ( 肠p p 吨) ( 文降 巾 设滋是b 邵a ch代 数， 如果5是通中 闭 的 共扼 不变子空间， 则5是通中的从。 理想. 证明 任取a滩 ， x任占 ， 由于 5是滋中闭的共扼不变子空间，所以 决 况 ，了 (t)=。 如 xe一 如 5 ， 上 式 在t =0 处求 导 得二一 xa 5 ， 因 此5是通中 的 l 让理想. 引 理l 4. 狱 文12 ， l 51) 设乙为h “ 阮 汀空间h上的 子空间 格， 丸=alg ， t 任 浑， 则的 每一 个v 一 生 成 子 包 含 于t 的 特征 子 空 间场 内 证明 设 g是中 一个v 一生成子，则必 尹。 ， 任取xt夕 认 二 ， 夕 尹。 ， 2 进且!: 】 =1 ， 由 引 理1 忍 . n 知: 二 2 ， ， 。 么 滩 ， 因 此v t 万， 有 八 二 。 2)二(x 习t， 双 ， 习=( ， 。 z)t. 取e 任 h使 得( e ， 2 ) =1 ， 我 们得到 (l.l)(l.z) 1 戏二 。2 ) 1 ( 。 ) = 【 双 ， 。 : ) ( e ) = 由 ( 1 . 1 ) ， ( 1 忍 ) 式得，几=( te ， 2 ) x ， 即x ， ， 在 t 的 特征 子空间场 内 . 乃 = 1 ( x o 2 ) 月 ( e ) ; ( ， 二 ) 刀 ( e ) . te. 幻 夕 . 这意味着二 ， ， 有相同的 特征值， 第二章 e 儿 代数上的原子对角不交理想 号 2 . 1 引言 设为h 以 be rt空间h上的 子 空间 格， alg 为 相应的 子空间 格代 数， 当乙 是 套时， 对于 任意e 乙 ， 由 于套是 全序集，即 套 里面 任意 两个 元素都可比 较，我 们 有及二v m任 : mz母=v m : m 马 感 尽这样 得 到e 一 及 为 的 一个原子， 但是当乙是一般的 子空间 格时， e- 不一定小 于等于e，例如( 文l 61 ) 乙 =0 ， 凡l ， 鱿毋， 其中l m， 这时m一m- 就不是原子，因此 对于不同的子空 间 格，我们必须根据原子的原始定义，重新来刻画原子， 我们考虑当乙是交换子空 间 格( 又 弘 ) 时， 它的 原子的 具体 结 构， 命 题2. 2. 1 给出了 刻画 . 假如尤为a 匆 中 弱闭的众。 理想， 1二 及 被定义为: 1 = 及= 毗一 d 即 an l tli :t c 尤 ， l 任 璐. 当a 匆 是套代数时， 文!21 ， l 司中 证明了1=及 是al g 中原 子对角不交理 想且19尤 ， 本章定理2 众2 将这一结果推广到c 夕 石 代数上，从而使他的应用范 围更广，其中需要克服的就是证明原子对角不交部分，因为相比于套，c 泞 石中 的原子结构要复杂，因此证明原子对角不交部分要困难一点，不像套代数那么显然， g 2.2 c s l 上的原子结构 由 于( 万乙中每个元素的前进元不一定小于其本身， 所以其上的原子结构不能跟 套一样，下面命题给出了c 份 乙上原子的具体结构. 命题2. 2. 1 设为h “ be r t 空间h 上的乙 客 石 ， 则 对 任意b ，e 一刀 丑 是 乙的原子. 证明 要 证e 一 召 石 七 是的 原 子， 只 需 证v f ，月 e 一 及) = e 一 e- 或 者 。 .令p 二爪e 一 止) ， 由 于 是 万 乙 ，因 此 尸 =侧e 一e-) 二( e 一e-) f 片 尸 二e 一 及. 硕士论文非自 伴算子代数的lie 理想与 共辘不变子空间 假设0 p 0 矛盾. 所以 尸=0 或者尸二e一召 召 即 e一召 男 -是乙的原子 证毕 互 2 . 3 代数上的原子对角不交理想 同套代数一样， 我们相应的也找出 式. 首先给出一个引理. 引理2. 3.1 设 乙为 爪l be r t 空间 想， 1=及，则 c 份 石代数上的原子对角不交理想的具体形 h上的乙 5 石 ，尤是alg 乙中 弱闭的众 。 理 1 = 二 k 一 以 即 叩 t 任 月日 l 任 ， 使 得t = l tli . 证明令 gi= ltl上 :t 尤 ， l 任 乙 ， 我们只需证 尤 ， l乙 ， 有 汤二 t 月 日 l 任 ， 使 得t = l tl工 . gi=汤 显然 汤ggi， 下证 glg久. 对于任意的l 几1 gi t任 l 儿1 = l 双 1 一 习二l t 一 l tl= l t 一tl. 因为尤是alg 乙中众 。 理 想， 所以 l tli=l t一2 工任尤， 硕士论文 非自 伴算子 代数的 lie 理想与共辘不变子空间 又因为 所以 l( l tl上 ) 护= l tl止 ， 任汤， 即gi二负因此 gi=负. 证毕， 定理2. 3. 2 设为价l be 材空间h上的c 汾 石 ， 想， 1=及， 证明 则1是alg 乙中 弱闭 的 原 子 对角 不交理 想 弱闭性显然，而由引理2 念1 得 尤是al g 中 弱闭的众 。 理 ， 且1二尤 . 1 = 及=二 k 一 d 即 二 汤 = w k 一 以 即 an t c 月弘任 ， 使 得t = l 儿1 9 龙 下证 1 1 ) =及 是原子对角不交理想 v 滋 我们得到 先证1 二 及 是alg 中 的 理想 川孵， t 任汤， 由 引 理2 3 . 1 可知，t 代 且孔c 使得 t 二l 几1 ， 因 此 体 通 l ， 刀 二 ( lal ) t 一叮 la劝 = ( lal ) t 一l tl上 ( l a l ) 二l al t=alt =a 双 l tl止 ) = a ( l tli ) =a里 因为t 任 式lal a lg 乙 ， 尤是alg 乙中从e 理想， 所以 a t =!l a l ， 刀任 尤 . 此外 la兀1 =l 川l tl上 ) 护=l a 石 儿工 = a l tl山 =a 只 所以a t伪 而由引理2. 3 . 1 及 = w k 一 以 卿可汤 ， 所以1 = 及 是a 匆 中 左理 想. 同 理， 考 虑【 溉 护a 护 ， 我 们 可以 得 到1 二 及是al g 中 右理 想 ， 2) 再证1=及 是原子对角不交的 硕士论文非自 伴算子代数的lie 理想与共扼不变子空间 我 们 只 需 证认二i l tl上 :t 尤 ， l 任 是 原 子 对 角 不 交的 . 令 a= e 一e 石 乙 e 乙 . 由 命 题2. 2. 1 可知: a是乙中 所有原 子组成的 集合. 因 此v l 儿工 gi，我们 有 (l tli卜又pltl 毕一 艺(e 一 ee-) l tlx(e一 ee-). v e 乙 ，e 一召 及 是乙 的 原子， 是 沼 乙 ， 所以ve 或有 ( e 一 召 召 一 ) l =l(e 一 刀 石 七 ) =e 一 召 召 一 或者 0. 若( e 一召 五 乙 ) l 若( e 一e 男 - ) l 0 ，v e 任 ， 则 ( l tli ) = 0. e 一e 五 胜 ，v e 乙 ， 则 、，j尹、，.户 .占2 (e一 刀 召 一 ) s l ，ve 任 幼 护( e 一 召 万 一 ) = 0 ，v e 乙 ( l tli ) = 0 .综 上: 呱tl上 gi， 我 们 有 为此 因因 ( l tl勺=认 即gi 是原子对角不交的. 证毕. 第三章 cdc 污 l 代数上的众 。 理想与共辘不变子空间 写 3 . 1 引言 设通9 域叨是 一 个 代 数， 尤是风中 的众 。 理 想， 阵: 月被 定 义 为 : 日: 胡=a 丸: 卜 ， 司 尤 ， 竹任 风 . 文 121 中 阐 明 了区: 月也 是滋的 一 个众 。 理 想， 且尤9区: 叼. 在 此 基 础上 ， 我 们 将进一 步阐明 对于任意的 线性子流形从 ga且满足尤9州 二阵: 叼可以 推出 州也是滩中 的 一 个众 。 理 想， 定 理 3 忍 . 1 将给 予 详 细证明 . 假如涯是 套 代 数 双 万) 时 ， 1 是洲 万 ) 中 弱 闭 的 理 想， e 一 云为1 所 对 应 的 序 同 态 ， 定 义 份= d 任 侧 万 ) :姗任 万 ， 存 在 常 数 入 二 ， 使 得 ( e 一 句 侧 e 一 云 ) = 入 以 e 一 动 . 易 知， 份是voone。 ， 。 朋代数 . 文!2 1中 证明了! 叮 万) : 月= 1 + 街， 利用v 一 生成子的特性，我们将这一结果推广到 口 刀 以 夕 石 代数上， 值得注意的是， 此时份 的 定义方式与套代数有一点不同，将呈现出较复杂的结构. 设 是h ilber t 空 间h中 的 交 换子 空 间 格( c 咎 乙 ) ， 1 是al g 中 弱闭 的 原 子 对 角 不交理想，由 第一章定理1 滩 . 1 和引 理1 点2 可知， 存在相应的 序同 态乙、 侧e 一 动使 得1 = t o al g !( e 一 动双 e 一 厕= 。 ，v e 。 ， 记 与 = e 一 凡 坠: e=五 及 ， 由 第二章命题2 .2 . 1 可知，龙 ga ， 其中a是 以 夕 乙 中 所有原子组成的 集合. 对于任 意的a l ga 了 ， 1与a : 的饱和i v a i 被定义为 ivai一 二 一 任十 艺 p b( 功 尸 : 尸 。 a ， 容易 验证i v a i 也是 态 一 ( e 一 豆 ) ， a 勿 乙中 弱闭 的 理 想. 同 样由 第一 章定 理1 41 ， 存 在相 应的 序同 引理 3 念5 将证明 育 若云=刃 旧 . 且刃 一 刀 五 赶 c a i ; 其他情形. 刀e 了.j、.气 一- 硕士论文非自 伴算子代数的 lie 理想与共扼不变子空间 此 外当乙是g 刀 c 汾 石 时， 我 们 将证明份=c 了 v a i 本章关注的另外一 个重点 就是要找出口 刀 治 石 代数上几。 理想的具体结构和它 与共扼不变子空间之间的关系.关于血e 理想与共扼不变子空间之间的关系， 已经 被 许多 人所研究， 其中 最 早 研究的 人是h er 时 “ 斌 文 1 习 ， l 2)， 后来文睁 刀 证明了 在 侧h ) 的 任意闭 子 空 间 中 ， 两 者 是 等 价的 一 相 似的 结 果 是 在 文价 01，份 al 中，证明 了 在自 伴 算子代数( 如口 一代 数 与voone二。 砚代数) 中 ， “ 。 理 想与 共扼不 变子空 间 是等价的 因此， 我们自 然想到能不能在一些非自 伴算子代数中，找到两者的一 致 性.文!21 1 中 证明 了 在 套 代 数中 两 者的 等 价 性， 我 们 将 这一 结 果 推广到cd 1乙 代 数上. 此外，在刻画g 刀 口 旨 乙 代数中众 。 的理想具体结构中，需要用到迹零算子的 概念，为此， 我们引入理想的迹零部分. 设乙是h 沥e 代空间h中的交换子空间 格( 泞 乙 ) ， j是a i 夕 中 弱闭 的 理 想， 定义 j “ 二 a任 了:行 pa尸 二0 ， v 尸 任 a ， 岔 坛 刀 2 尸 co . 容易验证，j 。 是a j 夕 中 的众。 理想特别地，我们有 俘 v a i)o 一。 k 一 d 仁+ 艺 pb 刃 p:尸 。 ai， 击 ， 尸 一 co 十艺 艺乃 p:尸 。 ai， 面 二 尸 一 二 00 ， 其中以 。 表示 从卫 中迹为零的矩阵组成的众。 理想 笋.2 g 刀 c s 石代 数滋上的l 记理想区: 月结构的 描述 我 们 首 先阐明区: 胡是 包 含 代 数滋中玩 。 理 想尤的 最 大从 。 理 想. 定理3. 2. 1 设风是一个b 二 ch代数，尤是摊中众e 理想，则 1) 区: 闷是风中众 。 理 想， 且尤二区: 胡; 2 )若州是摊中 线 性子 流形且 满足尤二州9区: 月， 则州也 是涯中众 。 理想. 证明 1) 由 引 言区: 胡的 定 义 可知: 阵: 周显 然是通中 子 流形 ， 且 对于任 意的a 摊 ，b c 区: 月， ia ， 句 =ab一b a 尤 硕士论文非自 伴算子代数的lie 理想与共扼不变子空间 而尤又 是摊中众 。 理 想， 于 是vx任 滋 ， 有 泌一 施 ， 司任 尤辫 ia ， 习 区: 叼. 阵: 门是a中众 。 理 想; 又因 为殊任 尤 ， a 任 滋 ， 有 la ， 间任 尤片 k 任 区: 周， 尤9沐: 门 2 ) 对于 任意的。任 州 9眯: 胡， a 任 风 ， 有 所因 a ， 润二确 一 、 尤9川， 所以州 是通中众e 理想. 证毕. 为了 描述 刀 己 弘代数滩上的“ 。 理 想区: 月结 构， 我 们 先给出c( 均子 代数 cl 的定义. 设乙是价lb e rt空间h中的v 一生成子稠交换子空间 格( gd 。 弘 ) ， 通=alg 众 1 是涯中 弱闭 的 理 想， e 云为1 所对应的 序同 态， 我 们定 义 cl = d 试 ) : ve ， 民c g 。 任 a ) ， 日 常 数 久 即( q ) 使 得 ( e 一 云 ) d( e 一 云 ) 叹 = 入 肋 ( 认 )( e 一 云 ) 民 . 引理3 . 2 . 2 设乙是h葱 l ber t 空间 理 想，10是1的 迹零部分， 则a: 刀 h中的( 己 夕 石 ) ， 涯=al g ， 1是滋中 弱闭 的 =区: 10 . 证明 显 然阵: 10 9阱: 幻 ; 下 证碑: 习二区: 护 . 因 为v a 任 区: 刀 ， t 任 人 at一 i x 任1 a t 一ta 任滋=a 匆 份 只a t 一ta) 尸 二你 p(a t 一ta) 二ov 尸 a a 任 队: 10 1 ， 井幼褂 所以 碑: 刀=阵: 10 . 证 毕 . 引 理3. 2. 3设 是价l b 曰 嗯空间h中 的( 。 兀 ) ， 则 存 在一 个al g 到试 ) 上 的期望介. 硕士论文 非自 伴算子 代数的 l 沁 理想与共 扼不变子 空间 证明 因为乙是 已 夕 乙 ， 所以 c( 均一 了片 1 试 圳 二 厂二 乙 而厂=以 均是 可 换的 ， 所以由 文 【a引 理 8 .呵知， 是a f 的， 再由 文 15定 理 8 3 可知， 存在一 个a 勿 到试 均上的 期 望叱 证毕 有了 上面两个引 理， 下面我们来证明 本节主要结果. 此定理将众 。 理想区: 月 分解成两部分. 定 理 3. 2. 4设 是爪lb 喇 空 间h中v 一生 成 子 稠 交 换 子 空 间 格 ( gd以 ， l ) ， 通二a i 夕 为相应的召 刀 c 万 石 代数， 1是摊中 弱闭 的理想，ia是1的 迹零部分， 则 区: 罗 =眯: 习=1 + 份 证明 由 引 理 3 2 2 可 知 ， 禅: 护1 =泌: 习 设e e是1 所 对 应的 序同 态， 下 证区: 月=1 + 份. 1) 证明1 十 份二区: 刀 . 令a =b 十 刀 ，v b 1 ， d 份， 则对于 任意的t a二alg ，有 1 黑川= 军 b 十 切=i t，司十1 界d 因为 1是 通中理想，所以 【 爪司=tb 一b t 1. 下 面 考 虑! t， d ， 对 于 任 意 的q 9 ， a ， 有 ( e 一 e ) ! t，切( e 一 e ) 久 ( e 一e ) ( td 一d 乃( e 一 e ) g ( e 一 句叹 e 一 句刀 (e一 动民一 ( e 一 句侧 e 一 句双 e 一 动g ( e 一 e ) 几ed( 认 ) ( e 一 e ) q一入 ed( 民 ) ( e 一 e ) q双e 一 e ) - 入 ed( 认 ) ( e 一e)( 少 久一认乃( e 一 习， 其中 入 ed( 认 ) 是 与e，d，认 有 关的 常 数. 又因为乙是 口 刀 c 旨 乙 ，所以 1 二h=叭 以 认c g: 任 a. 硕士论文非自 伴算子代 数的 li e 理想 与 共扼 不变 子空间 于是 ( e 一 e ) 【 t，叼( e 一 e )= ( e 一 e ) i t，切( e 一 e ) 1 ( e 一 e ) ! t，例( e 一习城 。 a 久 叭 以 ( e 一 e ) 1 界d ( e 一 e ) 久 v 、 a 久 ed( 民 ) ( e 一 e ) ( 了 q一g乃 ( e 一 e ) 二 ( e 一e ) ( tl一1 乃( e一 e ) 所以由第一章引理1 . 4 忍 得 【 爪d 1. 因此 ! 界 a=! t，月十 ! t， d任 1 褂 a任 区: 刀 即 1 + 份互区: 刀 2 )证明区: 月二 1 十 街. 对 于 任 意的a 区: 刀 ， 由 引 理 3 念 3 知， 存 在 一 个期 望 仰: 风一 c( ) . 令 b =a 一叱( a ) 对于任意的t 任 滩 ， 我们有a ， 乃 1 ， 所以由 第一章引 理l 4 . 2 得 0二( e 一 句ia ， 欢e 一 匀= l(s一 厕 双 e 一 句， ( e 一 厕双 e 一 k) 二l(s一 句 a( e 一 句( e 一 动双 e 一 k)一 l(s一 动爪 e 一 动( e 一 厕 a( e 一 2). 因此 ( e 一 e ) a ( e 一 e ) c ( e 一 e ) 风 ( e 一 e ) 于是v 认任 9 沐任 a ， 由 第一章引 理1 4.5 得 ( e 一 e ) a ( e 一e ) 久 =【 ( e 一 e)a(e 一 习 ( e 一 习久 ( e 一 习 人 滩 试场 ) ( e 一 e ) 认( e 一 助 久 a 威认 ) ( e一 e ) 民， 硕士论文非自 伴算子代数的lie 理想与共扼不变子空间 其中入 韶( 民 ) 是 与a ， 双诀有 关 的 常 数 . 这样我们得到 ( e 一 e ) b ( e 一 e ) 认 二 ( e 一e)a(e 一 e ) 认一但一 e ) 介( a ) ( e 一 e)认 拟武诀 ) ( e 一 习认一仰i( e 一 e ) a ( e 一习o 叔域认 ) ( e 一 习g一 仰入成 认 ) ( e 一 e)a. 久 a 域q ) ( e 一e ) 认一入 a e ( 认 ) ( e 一 e ) 民 o 所以 ( e 一e ) b(e 一习 二 刀 一e ) 侧e 一e ) 1 ( e 一 e ) b ( e 一 e ) v 。 a 诀 v 。 a ( e一e ) b ( e 一 e ) 研 o 由第一章引理l 4. 2 得 b任1 又由上面证明过程中，我们发现 ( e 一 e ) 仰( a ) ( e 一 e ) 认=人 a ， ( 认 ) ( e 一 司认. 因此 介( a ) 份. 于是 a二b +介( a ) c l+份. 即碑: 月91 十 份 综上所述，我们得到 区: rl =区: 刀=1 十份 证毕. 硕 士 论文非自 伴算子 代数的 li e 理想 与 共扼不 变子 空间 下 面 我 们 讨 论以 弘代 数涯中份与匀 的 关 系 ， 其中 1为通中 原 子 对角 不 交 理 想， j二 i v a i . 这里面 最重 要的 就是找出 理 想了= i v a : 所对应的 序同 态， 下 面引理给出了结果. 引 理 3. 2. 5设是h “ b ， t 空 间h中 交 换 子 空 间 格 ( 。 弘 ) ， 滋= al g 为 相 应 的c 夕 石 代 数， 1 是丸中 弱闭 的 原 子 对角 不 交 理 想， e 云为1 所 对 应的 序同 态 . a : 二ax ， j=iv ai ， 则存在相应的序同 态 乙 ( e * 劝， 满足 e 若云=刀 召 一 且e 一召 万 赶 a l ; 其他情形. ee 了.，、. 一- 使得 j二 证明 成的集合， t 摊: ( e 一 司八 e 一 司 二 。 ， v 万 任 . 由 命 题 2 忍 . 1 可 知 ， a l g ax二 e 一 服 : 云 = ee- 是 中 一 些 原 子 组 且 j 一 i v a ， 一 w k 一 “ 仁+ e pb( 功 p:尸 。 a i ， 是通中 弱闭 的 理 想， 所以 存 在 相 应的 序同 态 、 以刃 一 厕. 下 证 尸 若万=石 它 一 且e 一 召 凡任 a 石 其他情形. ee 矛1、. 一一 即要证对于任意的 t j ， 有 ( e 一 司双 e 一 劝= 0 ，铭 乙 ( 3 注 ) 1)若云 = ee- 且e 一 ee- a l ， 则 面 二 尽 这 时价 1) 显 然 成 立 ; 2 )若e 一 云 必 a l ， 则面 = 云 ， 所 以 由 原 子 的 定 义 可 知 ( e 一 瓦尸 = ( e 一 厕 p = 0 ，vp。 a l . 因此 ( e 一e ) pb( 阅八e 一 e)尸 =0 ，vp 任 a : .( 3 2 ) 又因 为e 云为1 所 对 应的 序同 态， 所以 ( e 一 e ) 1 ( e 一 e ) =。 .( 3 3 ) 硕士论文非自 伴 算子 代数的 li e 理 想与共扼不变子空间 因 此由 ( a 卫 ) ， ( 3 . 3 ) 得 ( e 一 习戏 e 一 e)=0 ，v t j 综 合 1) ， 2 ) 可 知， 对于 任 意的t 了 ， (a.1) 式 成 立. 证 毕 定理 3. 2. 6设 是h 沥， t 空间h中v 一生 成子 稠交换 子空间 格( gdcsl ) ， 滋=a i 夕 为相应的gdc 泞 l 代数， 1是通中弱闭 的原 子对角不交理想， a ; 二 与，j= i v ai， 则份二份甲 证明 设e 云为1 所 对 应 的 序 同 态 ， e 面为j所 对 应 的 序 同 态， 则 由引理3 念5 可知 若云=召 及 且e 一 召 及 任 a 石 其他情形 ee 矛叮.哎l -一 一一e 所以份二份 是 显 然的， 下 证份 9份. 对于 任意的d 份， 1) 若云 = ee- ， 即e 一 若 是 原 子因 为d 匀 侧 ) ， 所 以 由 原 子 的 定 义 可 知 ( e 一 厕d(e 一 句二 e 一 茗 或 者 0， 因此d份 2 )若云 尹 服 ， 则云 = 面 ，因 为刀 份，所 以 对 于 任 意 的民任 久 a， 有 ( e 一 习域e 一 习认 二 ( e 一 马d(e 一 劝q 二 入 ed( 认 ) 丑 一 马久 =人 ed( 诀 ) ( e 一 助认. 刀 份. 于是 我们 得到: 份 二份.因 此 份= 份. 证毕. c 刀c 万 石代数上 l 北理想与共辘不变子空间的关系 圳3 屏f3. 有了 上节的 一系列结果作铺垫，本节开始重点阐 述 口 刀 c 泞 乙 代数上众。 理想与 共辘不变子空间的等价性. 定理3.3.1 a lg 乙为 相 应的 设 是 h 以 石 e r 云 空间 口 口 乙 5 石代数，尤是几 h中 完全分 配交换 子空间 格( cd。 弘