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任意凸多面体上均匀设计的格子点构作中文摘要 中文摘要 均匀试验设计作为一种部分因子设计方法，现已经在很多领域得到了推广和应 用格子点设计是构作均匀设计的重要基础，格子点法也是构作均匀设计的经典方法 之一在现有的文献中，格子点法仅局限于单位立方体上的均匀设计构作，+ 而对任意 凸多面体上的均匀设计构作却没有涉及事实上，任意凸多面体上的均匀设计在实际 生产中有着更广泛的意义( 如混料均匀设计) 对于凸多面体上的均匀设计，通常都采 用变换的方法，本文则对传统的格子点法进行了改进，提出两种布点方案，并对物理 学中的势函数加以修正，用它作为一种新的均匀性度量，并结合随机优化算法，得出 了一种可以在任意凸多面体上进行均匀设计构作的方法 关键词：凸多面体；格子点法；均匀设计；势函数；均匀性度量；偏差； 作者，李彦霞 指导老师：唐煜饵教授) t h ea p p l i c a t i o no fl a t t i c ep o i n t sm e t h o do n u n i f o r md e s i g n si na na r b i t r a r yc o n v e xp o l y h e d r o n a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n tm e t h o do ff r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i g n ，u n i f o r md e s i g nh a sb e e ng e n e r a l - i z e da n du s e dw i d e l y l a t t i c ed e s i g ni sav i t a lp r i n c i p l eo f 、m “蛐d 镫i 弘，a n dl a t t i c ep o i n t s m e t h o di sa l s 0ac l a s s i c a lm e t h o df o rc o n s t r u c t i n gu n i f o r md e s i g n b u ti nt h el a s tp a p e r s ，t h i s m e t h o di so n l yl i m i t e di nt h ec o n s t r u c t i o ni nu n i tc u b e ，a n dn o tm e n t i o n e df o rc o n s t m c t i n g u n i f 0 衄d e s i g n si na na r b i t r a r yc o n v e xp o l y h e d r o nw h i c hi sm o r ef a r - r a n g i n ga p p l i e di nt h e a c t u a l lp r o d u c t i o n ( l i k et h ei n i x t u r eu n i f o r md a s i g n ) f o rc o n s t r u c t i n gu n i f o r md e s i g ni n 姐 c o n v e xp o l y h e d r o n ，t r a t t f o r m a t i o ni st h eu s u r a lm e t h o d t h i sp a p e ri m p r o v e dt h et r a d i t i o n a l l a t t i c ep o i n t sm e t h o d ，a n dg i v et w on e w w a y so fd i s t r i b u t i n gp o i n t si na na r b i t r a r yc o n v 饮 p o l y h e d r o n a tt h e8 a m et i m e 耽a l s om o d i f yt h ep o t e n t i a lf u n c t i o n ，u 舱i t 鹤ak i n do fn e w m e a s l l r eo fu n i f o r m i t y a d dt h ea r i t h m e t i co fr a n d o mo p t i m i z ea n do b t a i nan e wm e t h o do f c o n s t r u c t i n gu n i f o r md e s i g ni n8 na r b i t r a r yc o n v e xp o l y h e d r o n k e y w o r d s ： a r b i t r a r yc o n v e xp o l y h e d r o n ；t h el a t t i c ep o i n t sm e t h o d ；u n i f o r m d e s i g n ；t h ep o t e n t i a lf u n c t i o n ；m e a s u r eo fu n i f o r m ；d e v i a t i o n ； i i s u p e r v i s e db ya s s o c i a t ep r o f t a n gy u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：左盘重e l 期：翌塑： 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：盗盘盔日期：型幺生 导师签名： 皿日期：堆 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第一章引言 第一章引言 均匀试验设计是继6 0 年代华罗庚教授倡导普及的优选法和我国数理统计学者在国 内普遍推及的正交法之后，于1 9 7 8 年应航天部第三研究院飞航导弹火控系统建立数 学模型，并研究其诸多影响因素的需要，由中国科学院数学研究所王元教授和方开泰 教授共同提出的一种试验设计方法，是处理多因素多水平试验设计的一种卓有成效的 试验技术它可以用较少的试验次数( 一般试验次数和因素的水平数相同) 完成复杂的 科研课题开发和研究，尤其适用于那些周期长，费用高的试验项目发展至今，均匀 设计已经在航天，化工，制药，造船等诸多领域得到了广泛的应用 同正交设计一样，均匀设计也有相应的均匀设计表每个均匀设计表又配有相应 的使用表，通过这两个表就可以安排试验了所以构造均匀设计表是均匀设计理论中 的基础现有的构作方法主要有( 1 ) 好格子点法( g o o dl a t t i c ep o i n tm e t h o d s ) 由王元 和方开泰首先使用，是数论方法中的经典方法( 2 ) 拉丁方法；由f a n g ，p a n ，s h i u ( 1 9 9 9 ) 提出( 3 ) 正交表扩充方法：由方燕( 1 9 9 5 ) 提出( 4 ) 折迭法( c o l l a p s i n gm e t h o d ) ：这一 方法是将两个均匀设计表，用k r o n e c k e r 乘积的方法折迭在起( 5 ) 切割法( c u t t i n g m e t h o d ) ：用好格子法中的指数生成问量法来生成均匀设计表铲) 的计算量很小， 当p 为素数时，相应的表妒) 有很好的均匀性( 6 ) r b i b d 法：可分解的平衡不 完全区组设计( r e s o l v a b l eb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n s ) ( 7 ) 翻转法( f o l d o v e r ) ：常用 于二水平的试验 ( 8 ) 数值优化法：确定一均匀测度，利用数值优化算法得到使均匀 测度最小的试验点集这一方法是现在构作均匀设计的最常用的方法c 见参考文献 f a n g ( 2 0 0 4 ) 1 ) ( 9 ) 平衡趋向法。由t 姐g ( 2 0 0 5 ) 提出 上述这些方法构作的均匀设计表所安排的试验，其试验区域都是矩形区域( 通常都 是在单位正方体内) ，所以又叫做矩形均匀设计在实际生产中，还有一类设计叫混料 设计或者配方设计设某种产品有s 种原料晒，尬，尥，他们在产品中的百分比分 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第一章引言 别记作$ 1 ，z 2 ，$ 。，寻找满足条件霉1 o ，。之o ，x l + z 2 + + z 。= 1 的最佳配方 的试验设计就是混料设计【2 】用均匀设计的思想做混料设计，对给定因素的水平数 在试验区域上找出n 个最有代表性，即散布最均匀的死个试验点就是混料均匀设计 若因索还要满足一定的限制条件，则称这样的设计为有限制条件的混料均匀设计 3 】 混料均匀设计的试验区域为单纯形 正= z = ( z l ，x 2 ，) l z i = l ，甄o ，i = 1 2 s ) j l i = i 这样的区域有自已的特殊性，不能直接采用矩形均匀设计的构作方法王元，方开泰 ( 1 9 9 0 ) 【4 l 提出了基于矩形均匀设计表获得混料均匀设计的方法变换法，通过单位 立方体伊一1 = 【0 ，l j | - 1 上个均匀设计 o k = ( c k l ，强，n 一1 ) ：七= 1 ，2 ，n ) ，然后通 过变换生成t l 上n 个点，具体算法如下： ( a ) 设巩( - 1 ) 为一个均匀设计表，其中的元素记为； ( b ) 令= 学，i = 1 ，s ，七= 1 ，佗；则 c 七= ( 1 ，i 1 ：七= l ，2 ，妨) 为伊- 1 上的个均匀散布的点集 ( c ) 计算 z h = i i 霄( 1 一孝) ，i = 1 ，口一1 ( 1 1 2 ) 则 x 七= ( = k l ，现。) ：七= 1 ，n ) 为p 上的个混料均匀设计 此外，张金廷( 1 9 9 3 ) 5 1 也提出了两种构作混料均匀设计的方法当4sns1 1 时， 变换法产生的混料均匀设计均匀性较差，针对这种情况，他提出了一种迭代法来改进 它的均匀性这一方法是以点集的m s e ( m e a ns q u a r ee r r o r ) 做为均匀性指标，给定试 验区域的个初始点值，通过不断迭代来改善点集的均匀性另一种方法叫做循环拉 丁方法，可以构作旦笋8 n 一1 时的混料均匀设计，详细算法可见参考文献 对于有限制条件的混料均匀设计，方开泰和杨振海( 1 9 9 9 ) 6 利用条件分布法给出 2 体 k i i 七 南巧 c 触 = h z 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第一章引言 了几种不同限制条件下的具体构作方案例如在满足限制条件 t , c a ，b ) = x = ( z l ，现，z 。) ：0 啦z i b i 1 ，ex i = 1 ) ( 1 1 3 ) i = l 的区域内构作均匀设计的具体步骤为： i 令d 三e 啦，6 兰e 屯且n t ：= m 凹( 以，b i + l 一6 ) ，玩：= m i n ( b i ，c l i + 1 一口) i = l i - - - - - i 若a = o ，上式变为 啦：= 仇们( o ，6 - 4 - i 一6 ) ，仇：= m d 他( 1 ，k ) 2 记a = ( 口l ，口。) ，b = ( b l ，k ) b ：= ( b a ) l ( 1 一o ) ，y = ( x a ) 1 0 一口) g ( u ，d ，b ，c ，七) = c 1 一心( 1 一b p + ( 1 一u ) ( 1 一回七】壬 3 设t 2 ，是s 1 个随机数，则 饥= g ( u k ，d k ，机，a k ，詹一1 ) ，七= 暑，s i ，2( i i 4 ) | l = 1 一e 执 其中 一彻t 秒喾， 九一 娶 ( 1 ) a 。= 1 ，七= l 一) ! ：玑，七= 矗一1 ，2 t 、 则y = ( 掣l ，搬，钆) 是正( a ，b ) 上的个均匀设计，详细算法参见f a n ga n dy a n g ( 1 9 9 9 ) 对于更一般的试验区域，例如，任意的凸多面体，方开泰，田国梁，谢民育【7 l 也 提出一种单纯形法，用来构作任意凸多面体上的均匀设计如果x 是凸多面体上的均 匀分布，则它可以由服从某一d i r i c h l e t 分布的随机变量表示出来这样可以首先产生 一组服从d i r i c h l e t 分布的点集，其次对这组点集做相应的变换生成凸多面体上的均匀 设计具体算法见参考文献 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第一章引言 不难看出，上述的这几种方法实际上都是通过变换的方式来生成凸多面体上的均 匀设计，对均匀性的度量采取的也都是变换的均匀性度量本文解决的也是任意凸多 面体上的均匀性设计，与上述方法不同的是，本文从经典的格子点设计出发，对其改 进后直接在凸多面体上布点所提供的方法更直观易懂，更容易操作此外本文还提 出了一种直接衡量多面体上点集的均匀性准则势函数 本文的结构如下t 第二章预备知识介绍，主要叙述了均匀设计，u 型设计的定义 以及格子点法在单位立方体上构作均匀设计的步骤和算法实现第三章的内容是均匀 性度量，介绍了均匀设计的几种常用的度量如中心化场一偏差c d 2 ，可卷工2 一偏差 w 现等，更对势函数做了详尽的叙述和说明第四章则具体介绍构造凸多面体上均匀 设计的格子点法，给出了两种不同的布点方案和相应的算法实现，并针对每一种布点 方案给出个例子第五章主要是对势函数的有效性从几个方面进行了验证最后一 章对方法的优缺点进行比较，并指出了下一步工作的方向 4 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 均匀设计 在工农业生产，科学研究和经营管理中，经常需要进行各种试验以寻找最佳设计 参数，优化生产条件及合理的配方等正交设计( o r t h o g o n a ld e s i g n ) 是广泛应用于多 因素，多水平试验的一种行之有效的设计方法它利用数理统计学的原理，从全面试 验( f u l lt e s t ) 的点中挑选部分具有代表性的试验点进行试验设计这些试验点要满足 两个条件：( 1 ) 试验的每个因素的每个水平出现相同的次数( 2 ) 每两个因素的每一对 水平组合要出现相同的次数这使得被挑选的点在其试验范围内，具有“均匀分散， 整齐可比”的特点其中。均匀分散”是为了使被挑选的点具有代表性；。整齐可比” 则是为了使分析结果方便 利用正交设计安排的试验，次数虽然比全面试验次数大大减少，但是为了保证正 交设计的两个特点，它的试验次数必须是水平数平方的整数倍当试验涉及的因素以 及每个因素的水平数比较多的时候，用正交设计安排的试验次数还是很多事实上， 当多因素试验的因素水平大于5 时，人们已经望而生畏了1 8 1 对于周期长，费用高的 试验就更不适用了因此，人们迫切希望能有一种试验次数更少的适合多因素，多水 平试验的新设计方法 我国数学家方开泰和王元将数论与多元统计相结合，在正交设计的基础上，创造 出一种新的适用于多因素，多水平试验的设计方法他们指出正交设计为了照顾其 。整齐可比。性，对任意的两个因素必须是全面试验，每个因素的各水平必须有重复， 这样试验点在其试验范围内，并不能做到充分的。均匀分散。而且为了达到。整齐可 比- 性，试验点就必须比较多若只考虑试验点在其范围内的咄习匀分散”，这样每个 试验点就可以有更好的代表性，试验点的数目也可能较正交设计大幅度的减少这种 单纯地从“均匀分散”性出发的试验设计方法，方开泰和王元称之为均匀设计( u n i f o r m d e s i g n ) 5 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第二章预备知识 众所周之，在数值积分中，当维数较高时，用数论的方法可以得到很好的结果它 的出发点就是在积分区域内选择个分布比较均匀的点集，使得这些点离被积函数的 各种值充分的接近，从而使这些点能更好的反映被积函数值的分布情况1 9 】，这样用的 点不多却能得到很好的近似值均匀设计也是出于这种思想使试验点充分均匀的 散布在试验范围内，使得这些点更能代表整个试验的各种值 所以，均匀设计是单纯地从。均匀分散”性出发的试验设计方法，它将试验点在试 验区域内充分均匀地散布，使数据点具有更好的代表性假设d 是试验区域，n 为给 定的试验次数，r 是刀上的几元点集，所有r 形成的点集族记为r ，m ( r ) 是所选 的均匀性度量( 均匀性度量也是均匀设计的一个重要内容，我们将在下一章详细讲解 相关的知识) ，则均匀设计就是r 中的一个钆元点集露= ( x k ，k = 1 ，2 ，l 】，它满足 m ( 焉) = m i n p e 1 , , , m ( p )( 2 1 1 ) 对给定的试验区域d 和所选的均匀性度量m ，求相应的均匀设计其实是一个全局 优化的过程假设试验区域的维数为8 ，试验次数为n ，则当s 和n 逐渐增大时，这个 优化的过程将是个n ph a r d 问题f l o 】为减少计算量，减轻优化难度，通常都会限制 均匀设计的求解范围到u 型设计中。实际上我们要介绍的格子点法也是建立在u 型 设计的基础上 2 2u 型设计和u 型均匀设计 首先给出方( 2 0 0 4 ) 中u 型设计的定义 定义有n 次试验，s 个输入变量的任一个u 型设计可表成一个霭s 的矩阵， 第j u = 1 ，2 ，3 ) 列的元素由l ，2 ，彩组成，且这劬个数每个数出现的次数相同 该设计记为u ( n ；q l 舶) 若某些劬相等时，该设计为u ( n ；酊1 帮) ，7 1 ， 为正整数，且r l + + = s 当q l ；= = q 时。记为u ( n ；矿) 。 在文献中， u 型设计又称为格子点设计( l a t t i c ed e s i g n ) 或均衡设计( b a l a n c e d d e s i g n ) 当试验次数和因素的水平数相等( 均为他) 时，矩阵u = ( ) 的每一列的元素 为1 ，2 。，扎的个置换 6 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第二章预备知识 参考文献f a n g ，m a ，w i n k e r ( 2 0 0 1 ) 1 1 1 2 】证明，单因素试验时，若给定试验次数n 并 取中心化l 2 一偏差c d 2 作为均匀性度量，则【0 ，1 】上的均匀设计为 丽1 ：矿3 ，盟2 n ( 2 2 1 ) 2 7 l ：2 ，l r 一 “， 这说明佗个水平l ，2 ，住与试验点的关系为| _ 祭，七= 1 ，2 ，n 受此启发，对 多因素试验的u 型设计也将变换到。巧= 兰 ，并称由所组成的矩阵就是u 一 矩阵对应的设计阵，记作x 让 _ ： 选择一定的均匀性度量，从所有u 一矩阵对应的x 。中找出使所选的均匀性度量 最小的设计阵x ：这个x ：就是我们所找的u 类型均匀设计当然这样得到的x ：并 不是真正意义上的均匀设计，而只是个近似解但是它与真正均匀设计的接近程度 比较高，而且大大降低了优化过程中的计算量，所以还是非常有意义的如许多文献 所指，几乎所有的均匀设计都是在u 型设计的基础上构作的【1 3 1 但是用u 型设计集生成的均匀设计都是试验区域在单位立方体上的均匀设计，适 用范围比较有限而在实际生产中，有许多的统计问题，如带线性约束的优化问题， 带线性约束的均匀设计，混料设计以及带线性约束条件的混料均匀设计等，都需要在 个相应的凸多面体上构作均匀设计传统的【，型设计对这类均匀设计便无能为力 f a n g ，t i a n ，x i e ( 1 9 9 9 ) 提出的单纯形法，首次解决了凸多面体上均匀设计的构作问题，有 重要的意义但是这种方法也有缺陷，文献只给出了布点的途径却没有提到任意凸多 面体上的均匀性度量，从而无法直接比较所布点的均匀性的好坏另外，由于所用变 换的特殊性，他们的方法将很难推广到任意凸区域上的均匀设计构作 7 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第三章均匀性度量 第三章均匀性度量 3 1 常用的均匀性度量 在试验区域c 。上布，1 个试验点r = 【x 七= ( ：r k l ，z b ) ，七= 1 ，2 ，n 】，如何度 量其均匀性是均匀试验设计中个非常重要的课题一般而言，均匀性的度量主要有 三类：一类是基于距离概念提出的，如最大最小距离和最小最大距离等；另一类是来 自最优设计的度量，如d 一最优， e 一最优，a 一最优等；还有一类。也是构作均 匀设计应用最广泛的均匀性度量，就是基于偏差的度量( 叶扶德，刘民千( 2 0 0 0 ) 1 4 ) f a n g ，m a ( 2 0 0 5 ) 1 0 】中，偏差的定义如下。 定义令x = ( z l ，) 伊，【o ，x ) = 【o ，z 1 ) 【o ，) 为c 。中由原点。和 x 决定的矩形令( 只。，【o ，x ) ) 为中的点落入到【o ，x ) 中的个数当尹k 中的点在 俨中散布均匀时， r ( r ，【o ，x ) ) 加应与【o ，x ) 的体积z l ，接近，两者的差 d ( x ) ：l 业毕业一v o l ( o 圳 i s 1 1 ) 、 i n i 7 称之为点集r 在点x 的偏差当中的点在俨中散布均匀时，( ，【o ，x ) ) n 应 与【o ，x ) 的体积z l ，轧相接近所以偏差值越小，点的均匀性越好 在数论中最常用的偏差是耳一偏差，它的定义为 岛c r ，= 眨j 监掣刮p 叫m 他地， 当上述式子中p _ o o 时， d p ( r ) = 。( ) = m 凹距c f 掣一y 。，x ) ) i ( 3 1 3 ) 在文献上称之为星偏差，在均匀设计提出之初，王元和方开泰采用的就是这一偏差。 当p = 2 时，l 2 一偏差为 酬= 陋i 掣圳忖归 “， 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第三章均匀性度量 偏差地位重要，但也有不少缺点计算偏差很费电脑时，衡量均匀性也不够灵敏。此 外，由于切矩形【o ，x ) 都是从原点开始，所以这样定义的偏差把原点放在个很重要 的位置，对坐标系的旋转也缺乏不变性l 2 一偏差易于计算，但是却有严重的缺点由于 它在低于s 维的流形上的积分为0 ，所以无法考虑到低维投影的偏差对试验的影响而 由正交设计的定义可以知道，试验点投影到一维和二维的均匀性是十分重要的为改善 这些缺陷，h i c k e r n e l l ( 1 9 9 8 ) 1 5 1 6 改用泛函分析中的希尔伯特再生核空间来定义均匀 性度量，：通过取不同的核函数得到不同的偏差当试验区域为单位立方体时，h i c k e r n e l l 提出了好几种偏差，如中心化如一偏差( c e n t e r e dl 2 一d i s c r e p a n c y ) c d 2 ，对称化乞2 一偏 差s d 2 ( s y m m e t r i cl 2 - d i s c r e p a n c y ) ，可卷如一偏差( w r a p - a r o u n dl 2 一d i s c r e p a a c y ) w d 2 等其中以c d 2 ，w d 2 应用最广泛 一 h i c k e r n e l l 将岛偏差做了如下修改 坼，2 医f i 掣一v o z ( j x ) h _ ， 式子中“为 1 ，2 ，孑) 的个非空子集任一z = ( x l ，) c ，用某一事先确定 的方式决定的矩形记为五，它在酽中的投影记为。k ( r ，奴。) 表示r 在酽投影 中的点落入中的个数，v o z ( j x 。) 表示j x 。在v 空间中的体积，d x u = l - l j 印奶 这样定义的偏差就考虑到了对c 切子空间投影的均匀性 当p = 2 ，氏= i o ，x ) 时，为了减少原点的特殊地位，取单位立方体的2 个顶点，它 们各自与中心点( ，吾) 决定了2 ，个立方体这些立方体组成了伊的个剖分任 取z 俨，它必然落入这2 一个立方体中的个假如口= ( n l ，a 。) 是该立方体的一 个顶点，它与z 组成了个矩形 厶= ( y = ( 讥，蜘) 。：m i n ( a j ，叻) 协 z i ； 可以导出w d 2 的分析表达式 r w 。c p ，2 = ( 鲁) 。+ 去砉砉垂 罢一i x k j - z j i ic - 一i z k i - - x # l ， 修改后的技几种偏差右如下捍的件詹。 ( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 1 ) ( 3 1 1 2 ) ( a ) 对坐标系旋转有不变性；这就相当于将因素排列的次序做调换之后，相应的偏 差不变这个性质对所有的均匀性度量都应该是必要的 ( b ) 便于计算；c 忱，w d 2 ，s d 2 都有明确的计算公式，不仅便于计算，在实际的构 作均匀设计中也更容易操作 ( c ) 与因子设计中的许多准则有紧切地联系 】0 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第三章均匀性度量 ( d ) 对特定的偏差和相应的全变差，它们都满足k o k s m w h l a w l a 不等式 从偏差的定义可以看出，它是基于多维的方体出发的，以上这些改进的偏差也是 基于这个前提事实上，对比l 2 一偏差或中心化l 2 一偏差g d 2 ，可卷如一偏差w 见， 它们之间个很大的区别就是划分方体区域的方式不同对于岛一偏差，方体区域是 【o ，x ) ，也就是说，对区域内任意一点x ，它对应的区域是由原点和它自身决定的方体区 域；在c d 2 中，首先用中心点和所有的顶点把整体区域分成2 。块，然后判断x 落在 哪一块内最后的方体区域是由x 和它所在那一区域对应的顶点决定的；而在w d 2 中，方体区域则是由试验区域内的任意两点x 和x 按一定规则决定的 。j 一 现在，我们要在任意的凸多面体上进行均匀设计，显然不能直接用这些偏差作为 均匀性度量而试图通过改进这些偏差来定义凸多面体上的均匀性度量，实际上也是 不太可能的这是因为在任意的凸多面体内，很难定义合适的方体区域，而且即使定 义了类似的偏差，由于凸多面体的不规则性，我们也很难得到它们的解析表达式，从 而在实际均匀设计构作中难以发挥作用张润楚( 1 9 9 6 ) 1 1 7 提出变换偏差的概念，指出 在某些变换下，偏差度量均匀性的效力是可以保持的。称这种变换为保偏差变换。如 前面方和杨( 1 9 9 9 ) 中提到的变换就是一种保偏差变换。但是这些变换都有一定的特殊 性，使用范围很有限故我们需要重新选择一种适用范围比较广的均匀性度量，这种 度量不受试验区域的限制，可以度量任意凸多面体上点的散布的均匀性 3 2 势函数模型 假如在个正方形的平面上，有若干个带等量电荷的粒子由于电荷间的排斥作 用，这些粒子会相互远离由于正方形边界的限制，最终这些粒子会在该正方形内达 到某种平衡显然，会有很多粒子分布在正方形的边界上，这并非我们我们所要求的均 匀分布如果将正方形及其中的电荷在平面上延拓复制到无穷给定两个约束条件， 第一，所有正方形内电荷的分布完全相同，即一个正方形内电荷发生移动，其他所有 正方形内的相应电荷也相应的移动，以保证各正方形内电荷分布完全相同；第二，各 正方形内电荷不能移动到正方形外在该系统中，电荷在相互斥力的作用下，最终会 1 1 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第三章均匀性度量 达到平衡在这种平衡状态下，由于各个正方形内电荷的相互作用。电荷会尽量相互 远离地散布在正方形内，但又不会过于靠近边界符合我们想要的均匀设计要求 势函数模型是胡东红，李德华和王祖喜( 2 0 0 3 ) 1 8 根据物理学中势和力的模型提出 的一种新的均匀性度量，该函数模型是基于距离的概念提出的，考虑点与点之间的距 离和点与边界间的距离下面就详细介绍势函数模型，并对其进行一些改进，使它可 以在更广的范围上使用。 首先我们介绍势函数的定义 f 定义s 维单位空间伊= 【o ，1 ) 。，其中布有n 个点x l , x 2 ，x n ，该布点的势函数 记为f ( x l ，x 2 ，砀) ，定义为： nn 1， ，( x h 砌，) = i = 1k = 毫1 ；r a = li 毛 他2 1 ) 七ti 一七mi 公式中点。x k ( o m 是以) 【 点为中心，边长为2 的方体| x 一1 ，x i + 1 ) 中的点，他的坐标为 x 七( o ，仇= ( 茁跣。，z 躁：_ ) 其中 z ： 三：+ - 郴t m j = 0 ；，钿：j ； ( 3 2 2 ) lz 巧一1z 幻z 巧，钿= 1 这里z = 2 m , t l = ( 0 ，0 ，o ) ，t 2 = ( o ，0 ，1 ) ，t 3 = ( 0 ，0 ，1 ，o ) ，t 4 = ( o ，0 ，1 ，1 ) ， t l 一1 = ( 1 ，1 ，l ，o ) ，t l = ( 1 ，1 ，1 ，1 ) 仔细观察可以看出，上述势函数的定义可以写成两部分之和 nn ， nnl ， 八x l x 2 ，5 萎。量；芒莉+ 善。毛；三i 为。删 第一部分，仇= 1 时，t x = ( o ，0 ，o ) ，x 躁= x 七，所以这一部分其实就是各试验点间 距离的倒数之和而第二部分则是计算各点与它们在复制图形内的对应点之间的距离 的倒数之和在势函数中，第一部分是衡量点与点之间的距离，第二部分则是为了衡 量点与试验区域的各边界间的距离因为点与点间的距离太小太大或者点与边界的距 离太小太大都会影响到试验点分布的均匀性 在本节首段描述的物理模型中，当【0 ，1 】空间内所有的点x i ，i = 1 ，2 ，n 受各自对 1 2 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作 第三章均匀性度量 对应的方体k 一1 ，x i + 1 】内所有点的作用力的矢量和为零时，势函数的值最小，布点 也最均匀 由于原势函数是定义在单位立方体上的，故它的延拓复制通过平移就很容易求得 而对任意的凸多面体，由于它的不规则性，使得延拓复制无法通过平移达到或者延拓 复制后的区域有重叠，给计算造成了很大的麻烦考虑到第二部分衡量的是点与区域 边界问的距离，为简化此函数，个自然的想法，我们可以直接用试验点到试验区域 的边界的距离倒数之和代替原势函数中的第二部分 若n 维欧氏空闻r 中有一平面4 l z l + a 2 2 2 + + a n z n + a n + l = 0 ，则点( 1 ，抛，) 到此平面的距离为地丝等嚣告寿掣，这样势函数就改进为 似彬：，x 扣娄七妻；南+ 砉耋杂篆 ( 3 2 4 ) 势函数的值越小，点的均匀性越好从势函数的解析表达式看，只要知道点的坐标 和区域边界线或区域边界面的解析表达式就可以得到势函数的值，这使得势函数的求 值非常的简单。应用起来也更方便 1 3 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第四章 均匀设计的格子点构作及其算法实现 第四章均匀设计的格子点构作及其算法实现 5 4 1 格子点法构作单位立方体上的均匀设计 第二章讲u 一型设计的时候提到，几乎所有的均匀设计都是在u 一型设计的基础 上得到的，那么用矿一型设计是怎样得到均匀设计的呢? 下面就给出在u 一型设计的 基础上用优化的方法构作均匀设计的具体步骤我们这里不妨称其为格子点法 若在s 维欧氏空间r 5 中的单位立方体俨= 【o ，1 ) 中均匀布死个点，用格子点法的 具体步骤如下： 1 对每一维作垂直于这一维的一族平面z 1 = 丽1 ，x i 。2 = 瓦3 ，毛。m = 簪， ( i = 1 ，2 ，s ) 2 ，记所有的平面族的所有交点组成的点集为t 3 在t 中选出n 个点组成t 的个子集使得这n 个点中的任意两个点，它们 对应的每一维坐标都不相同 4 记t 的满足条件3 的所有子集组成t 的子集族r 5 利用优化的方法，找出使所选的均匀性度量达到最小值的点集，记为昂则这 个点集就是我们要找的均匀设计 若选用c d 2 作为均匀性度量，以上步骤可由以下伪代码实现： 1 初始化迭代次数丁 2 在靠中随机产生当前的设计d c ，令嘲：= d c 3 f o rt = 1 ：下d o 4 随机选择d 。中的两点，并交换它们对应的某一维坐标，得到d 一 5 i fc d 2 ( d 舢) c d 2 ( d 。) t h e n 6 伊：= d 1 棚 7 i fc d 2 ( d 伽) c d 2 ( d m n ) t h e n 1 4 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第四章均匀设计的格子点构作及其算法实现 8 ：= d 咖 9 e n di f 1 0 e l s ei fr a n d ( 1 0 0 0 1 3t h e n 1 1 d 。：= d 枷 1 2 e n di f 1 3 ，e n df o r 1 4 返回d 嘶n 并终止 以上伪代码中，为使程序实现方便，迭代过程我们采用的是随机优化法；第l o 步 则是为了使优化过程有0 0 0 3 的可能性来提升偏差，避免程序陷入局部的最小值点 详细叙述参见t a n g ( 2 0 0 5 ) 1 3 1 我们知道，对于正交设计，试验点投影到低维的均匀性由设计的组合性质保证 同样，在均匀设计中，试验点低维投影( 尤其是一维和二维) 的均匀性也很重要由格 子点法构作的均匀设计的具体步骤可以看出，用格子点找出的均匀设计，在构作过程 中首先就考虑了整个设计的一维投影的均匀性因此用格子点找出的均匀设计，它的 一维投影的均匀性是可以得到保证的 4 2 格子点法构作任意凸多面体上的均匀设计 分析上述算法，不难得知，立方体上的格子点法就是按照一定的要求在立方体上 布网格，通过网格把立方体区域分成面积相等的小方区域，然后在网格上选点，首先 考虑每一维上设计的均匀性在这个前提条件下，用优化的方法使设计的整体均匀性 尽可能的好 沿用这种首先考虑试验设计一维投影的均匀性的思想，我们把格子点法改进后加 以推广，使它在任意的凸多面体区域上也可行 在立方体中，每一维上的分布均匀性和总体分布在这一维上投影的均匀性是一致 的为此，在每一维上，只要按单因素试验时的均匀布点方式布点就可以保证总体分 布在每一维投影的均匀性但是对于任意的凸多面体，由于整个图形的不规则性，使 】5 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作 第四章 均匀设计的格子点构作及其算法实现 得单维上分布的均匀性不再能保证总体分布一维投影的均匀性 也就是说，如果在立方体上均匀分布n 个点，要使试验设计的一维投影均匀，只 需把每一维均分，然后按对应关系七一呈簪划分就可以而在任意凸多面体上，简单 的把每一维均分则不再能保证设计的一维投影的均匀性此时，考虑到总体分布与边 界分布的关系，我们可以把每一维按体积均匀分配，也就是说做一系列垂直于这一维 的超平面。使这一系列超平面把整个凸多面体分成体积相等的部分容易理解，这样 做就可以保证一维投影的均匀性了 。 若在个s 维凸多面体上找竹个均匀分布的点，则具体步骤如下。 1 设凸多面体的p 个顶点为x i = ( 戤l ，2 i 2 ，) ( 主= 1 ，2 ，办令a = ( 口l ，眈，锄) ， b = ( 6 l ，b 2 ，以) 其中d j = m i n ( x l j ，x 2 j ，锄) ，b j = m o z ( x t j ，z 2 j ，锄) 2 在每一维分量上。( 啦，k ) 之间，找族垂直于这一维的相互平行的超平面2 n 一1 个，使得这2 n 一1 个超平面把整个凸多面体分成体积相等，都是兹( 若凸多面体体积 为y ) 的小区域 3 在每一维中，都选出第奇数个平面落在试验区域内的所有维上平面族的交点 组成的点集记为t 4 在t 中选出n 个点组成t 的个子集，使得这礼个点中的任意两个点，它们 对应的每一维坐标都不相同 5 记满足条件4 的? 的所有子集组成的集合为 6 利用优化的方法，在找出使所选的均匀性测度达到最小值的点集，记为昂， 则这个点集就是我们所构作出的均匀设计 例考虑以原点为一顶点，以横，纵轴正方向上长度为2 的线段为两边的正方形。 被直线可= 一霉+ 2 截去右上角后形成的图形上的均匀分布 假设要在此区域上均匀分布4 个点，依照上面算法可得所有平行线族共有交点1 6 个，从图中可以看出个交点在区域外。舍去故t 为区域内的1 5 个点组成的点集 在这1 5 个点中，找出满足步骤4 的那些点集，使均匀性测度最好的那个点集就是我们 所构作的均匀设计如图( 2 ) 所示 1 6 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作 第四章 均匀设计的格子点构作及其算法实现 下面图中，是使用本方法构作的在这个区域内布更多个数的点的均匀设计从直 观上看，这些点的均匀性都是不错的 、 、 图( 3 ) 4 。3 任意凸区域上的格子点法构作均匀设计的另一种方案 用格子点法在任意凸多面体上构作均匀设计时对一些特殊的区域，我们还提出 了另外一种布网格的方案，下面就以几个具体例子说明为了叙述简便，我们都取二 维平面里的例子 例在单位圆内均匀布点n 个 布网格的具体步骤为。 1 以单位圆的圆心为公共圆心，半径比为、击，、杀，、簪画圆 2 从圆心引作条半径，使得这些半径每相邻两条夹角为簪 选交点的过程与上类似，要使得点集中任意的两个点不能在同一个圆弧上，也不 能在同一条半径上 与第四部分布网格的方式不同，这里不是平行于坐标轴去布网格线，而是选择与 单位圆形状相同的一族圆弧和一族半径来作为网格线，这样得到的最后网格，它分单 位圆得到的每一小块面积都是相等的，这和在单位立方体上布的网格是一致的图4 是在圆中分别布5 ，6 ，7 ，8 ，9 个点时所布的网格和最终选择的点集此处我们依然选择 势函数作为均匀性度量，并取点到区域边界的最短距离作为点到区域边界的距离 1 7 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第四章均匀设计的格子点构作及其算法实现 瓜 炒堕耍固 图( 4 ) 直观上看，这些点的分布似乎并不是很均匀，这和我们所选的均匀性度量势函数 有关这也提醒我们对于含有曲边或曲面的试验区域，以我们定义的势函数作为均匀 性度量还有欠缺之处，还需要进一步的改进或者重新选择更合适的均匀性度量但是 这里得到的试验方案也有一定的意义事实上，此处所布的网格对应到圆的极坐标下 其实就是格子点法在单位正方形上所布的网格，所以，在圆的极坐标下，它为均匀设 计 例在任意个三角形上均匀布点n 个，布网格的步骤与单位圆类似； 1 找出三角形的内心，连接内心和三角形的三个顶点在每条连线上，按照到内 心的距离比为 杀，、杀， 簪分割连线连接每条连线上对应的分割点，组成 一族三角形，使得每个三角形的对应边都和原三角形的对应边平行 2 从三角形的某一顶点出发，把三角形周长平均分成，l 份，连接内心和这些分割 点，则1 中的那一族三角形和这里的这一族直线组成了这里的网格 3 选点同圆的选点方法 这里取三角形的内心，是因为三角形的内心一定是在三角形的内部，而且取内心 也可以方便把整个三角形区域分成面积相等的小区域利用平行线等比例性质很容易 看出上面1 ，2 两个步骤把三角形分成面积相等的各小区域 事实上，更一般地，只要凸多边形有内接圆，就都可以用上面的方法布网格首先 找出这个多边形的内接圆圆心，连接圆心和多边形的每一个顶点，接着如上面例子， 在每一条连线上，都按照到内接圆圆心距离比为击，去，等分割连线，连 接每条连线上对应的分割点，形成一系列和原凸多边形相似的多边形然后把凸多边 形的边长用n 个点平均分成n 份，连接圆心和这些点所成的一系列直线和前面那一系 列凸多边形的边组成我们所布的网格，选点也与圆类似比如所有的正凸多边形都可 1 8 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第四章 均匀设计的格子点构作及其算法实现 以这样来布网格当试验区域用两种布网格的方法都可行的时候，我们可以从实际问 题出发，选择最合适的布网格方法 1 9 任意凸多面体上均匀设计的格子点构作第五章势函数的补充说明与检验 第五章势函数的补充说明和检验 5 1 势函数的补充说明 本节我们还要补充说明一个关于势函数的问题我们在改进势函数的时候